Sự sinh các radion trong mô hình chuẩn mở rộng

Mục lục
1 TIẾT DIỆN TÁN XẠ CỦA CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ
TRONG VẬT LÝ HẠT CƠ BẢN 10
1.1 Ma trận tán xạ S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Ý nghĩa vật lý của ma trận tán xạ S . . . . . . . . . 12
1.2 Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Biểu thức tán xạ vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 MÔ HÌNH CHUẨN MỞ RỘNG CÓ HẠT RADION 25
2.1 Mô hình Randall Sundrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Liên kết của radion với các photon . . . . . . . . . . . . . . 28
3 SỰ SINH CÁC RADION TRONG MÔ HÌNH CHUẨN
MỞ RỘNG 30
3.1 Sự sinh các radion trong mô hình chuẩn mở rộng . . . . . . 30
3.2 Kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 KẾT LUẬN 41
3
LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn thạc sĩ với
đề tài: "Sự sinh các radion trong mô hình chuẩn mở rộng". Tôi xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành đến GS.TS Hà Huy
Bằng - người thầy đã hướng dẫn và chỉ bảo tôi tận tình trong suốt quá
trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn toàn thể các thầy cô Khoa Vật lý trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm
nhận giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy tham gia
giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán đã giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã quan
tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên tinh thần để tôi có thể hoàn

thành khóa học này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2014
Học viên
Vũ Thị Hương
4
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU,
HÌNH VẼ
Hình 3.1: Giản đồ Feynman của quá trình e
−
γ → φe
−
.
Hình 3.2: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ của quá trình e
−
γ → φe
−
vào khối
lượng radion ở
√
s = 3T eV .
Bảng 3.1: Số sự kiện xảy ra với các giá trị khác nhau của khối lượng radion
5
MỞ ĐẦU
Vật lý hạt là một ngành của Vật lý nghiên cứu về các hạt sơ cấp chứa
trong vật chất và bức xạ, cùng với những tương tác giữa chúng.
Vật lý hạt còn được gọi là Vật lý năng lượng cao bởi vì rất nhiều hạt
trong số đó không xuất hiện ở điều kiện môi trường tự nhiên mà chỉ được
tạo ra hay phát hiện trong các vụ va chạm giữa các hạt nhờ các máy gia tốc.
Các nghiên cứu trong Vật lý hạt hiện đại tập trung vào các hạt hạ

nguyên tử, là những hạt có cấu trúc nhỏ hơn nguyên tử. Nó bao gồm
những hạt cấu thành nguyên tử như electron, proton, neutron (proton và
neutron được tạo ra bởi các hạt sơ cấp gọi là quark); các hạt được tạo ra
bởi quá trình bức xạ hay phân rã như photon, neutrino, muon; và một số
lượng lớn các hạt ngoại lai.
Có hai loại: hạt cơ bản hay còn gọi là hạt sơ cấp - là những hạt không
thể chia nhỏ được nữa như electron hay photon và hạt tổ hợp - là những
hạt được cấu thành bởi các hạt khác như proton và neutron, được cấu
thành từ các hạt quark.
Tất cả các hạt quan sát được cho đến nay và tương tác giữa chúng được
mô tả đầy đủ bởi một phần của lý thuyết trường lượng tử gọi là Mô hình
chuẩn (SM). Mô hình này giới thiệu 47 thành phần hạt sơ cấp, cùng với
dạng tổ hợp của nó, do đó số hạt được nghiên cứu trong vật lý hạt lên tới
con số vài trăm.
Mô hình chuẩn của vật lý hạt là thuyết miêu tả về tương tác mạnh,
tương tác yếu, tương tác điện từ cũng như các hạt cơ bản cấu tạo nên vật
chất.
6
Mô hình chuẩn là sự kết hợp của lý thuyết điện yếu (bao gồm cả tương
tác yếu lẫn lực điện từ) và thuyết sắc động lực học lượng tử (QCD) của
tương tác hạt nhân mạnh. Tất cả những thuyết này đều là lý thuyết gauge,
có nghĩa là chúng mô hình hóa các lực giữa các fermion bằng cách tạo ra
các boson, có tác dụng như các thành phần trung gian. Hệ Lagrangian
của mỗi tập hợp các hạt boson trung gian không thay đổi dưới một dạng
biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn được gọi là gauge
boson. Các boson trong Mô hình chuẩn là:
• Photon, hạt trung gian truyền tương tác điện từ.
• W và Z boson, hạt trung gian trong lực hạt nhân yếu.
• 8 gluon, hạt truyền trung gian trong lực hạt nhân mạnh: 6 trong số các
gluon được đánh dấu bằng các cặp "màu" và "đổi màu", 2 gluuon còn lại

là cặp màu được "pha trộn" phức tạp hơn.
• Higgs boson, hạt gây ra bất đối xứng trong các nhóm gauge, và cũng là
loại hạt tạo ra khối lượng quán tính.
Biến đổi gauge của các gauge boson có thể được miêu tả bởi một nhóm
unita, goi là nhóm gauge. Nhóm gauge của tương tác mạnh là SU(3), nhóm
gauge của tương tác yếu là SU(2)xSU(1). Vì vậy, Mô hình chuẩn thường
được gọi là SU(3)xSU(2)xSU(1). Higgs boson là boson duy nhất không
thuộc gauge boson, các tính chất của boson này vẫn đang gây nhiều tranh
cãi. Graviton là boson được cho là hạt truyền tương tác của tương tác hấp
dẫn nên không được nhắc đến trong Mô hình chuẩn.
Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Có 12
dạng fermion khác nhau trong Mô hình chuẩn. Cùng với các hạt proton,
neutron và electron, những fermion cấu thành nên phần lớn các vật chất.
Mô hình chuẩn xác định mỗi electron là hạt cơ bản; proton và neutron là
hạt tổ hợp, được tạo thành bởi các hạt nhở hơn có tên gọi là quark. Các
hạt quark dính với nhau bởi tương tác mạnh.
Mô hình chuẩn ở một mức độ đã được kiểm nghiệm thành công về độ
chính xác và cung cấp tốt nhất những hiểu biết cơ bản hiện nay về các
hiện tượng của vật lý hạt. Sự thành công của SM thật đáng kinh ngạc. Nó
dự đoán sự tồn tại của các quank nặng nhất (charm, bottom và top) và các
boson gauge Z, W trước khi chúng quan sát được bằng thực nghiệm. Mô
hình chuẩn dự đoán các hạt W và Z với khối lượng 82GeV/c
2
và 93GeV /c
2
7
phù hợp với thực nghiệm. Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về
3 lực miêu tả bởi mô hình chuẩn đều đúng như những dự đoán của thuyết
này.
Mặc dầu mô hình chuẩn được công nhận là đúng thông qua những thí

nghiệm kiểm chứng hiện đại nhất ngày nay. Tuy nhiên Mô hình chuẩn vẫn
chưa thể trở thành một thuyết hoàn chỉnh trong vật lý cơ bản. Đó là do
các nguyên nhân sau:
• Mô hình chuẩn không đưa ra được lời giải thích thỏa đáng cho các giá
trị của nhiều tham số. Mô hình này còn chứa 19 tham số tự do, như khối
lượng của các hạt. Các tham số này không thể tính toán một cách độc lập.
• Có rất nhiều lý do để tin rằng Mô hình chuẩn chỉ là mô hình cơ bản ở
giới hạn năng lượng thấp khoảng 200 GeV, nó không tiên đoán được các
hiện tượng vật lý ở thang năng lượng cao cỡ TeV.
• Mô hình này không cung cấp một lý thuyết lượng tử tiên đoán của trọng
lực. Nó không miêu tả tương tác hấp dẫn.
• Những thách thức trọng tâm của vật lý hạt ngày nay là vật lý Higgs,
vật chất tối và vấn đề bất đối xứng baryon. Không có cách nào SM có thể
giải thích vật chất tối của vũ trụ hay vấn đề bất đối xứng baryon. Trong
thực tế, quan sát thấy rằng gần ba mươi phần trăm năng lượng của vũ trụ
là vật chất tối - khả năng cho sự tồn tại của các hạt ngoài SM ở vùng vật
chất tối là khá cao.
• Hiện tại, các số liệu về khối lượng của neutrino là những bằng chứng
thực nghiệm đầu tiên của sự không hoàn thiện trong mô hình chuẩn. Theo
Mô hình chuẩn thì neutrino không có khối lượng, nhưng các số liệu đo
neutrino khí quyển do nhóm Super – Kamiokande công bố năm 1998 đã
cung cấp những bằng chứng về sự dao động của neutrino khẳng định rằng
các hạt neutrino có khối lượng
• Mô hình này đang gặp một thử thách không nhỏ, đó là nghi vấn về sự
xuất hiện của các hằng số không bền, như c hay e, hay cả hằng số mạng
tinh thể. Nếu như các định luật vật lý được chứng minh có vị trí phụ thuộc
và có thể khác nhau ở các tọa độ đặc biệt trong không gian, điều đó có
nghĩa là tất cả các thí nghiệm sử dụng để chứng minh cho mô hình chuẩn
đều không hợp lệ.
Vì vậy các nhà xây dựng mô hình đã đưa ra các ý tưởng có thể mở rộng

8
mô hình chuẩn (với phạm vi năng lượng cao hơn hay khoảng cách nhỏ
hơn). Công việc này được thúc đẩy bởi các bài toán nảy sinh ra từ những
số liệu của thí nghiệm. Nó bao gồm siêu đối xứng, tiếp đến là bộ máy
Higgs, hay mô hình Randall-Sundrum, là sự kết hợp của những ý tưởng
trên và một số ý tưởng khác.
Đã có rất nhiều sự quan tâm dành cho các mô hình vật lý trên thang
yếu sử dụng các chiều thêm vào trong việc giải quyết các vấn đề hệ thống
phân bậc. Gần đây, mô hình Randall và Sundrum (RS) được đề xuất có
thể giải quyết vấn đề hệ thống phân bậc bằng việc tập trung tất cả các
hạt trong Mô hình chuẩn trên brane IR.
Trong mô hình RS, sự thăng giáng kích thước của chiều thêm vào được
đặc trưng bởi một trường vô hướng, goi là radion, nó ổn định dạng của
chiều thêm vào mà làm thay đổi rất bé các tham số và kích thích hấp dẫn
thấp nhất trong khuôn khổ này. Các radion có thể bật ra trở thành hạt
mới nhẹ nhất trong RS, điều đó có nghĩa là chứng minh sự tồn tại của
radion khi kể đến đóng góp của nó vào tiết diện tán xạ toàn phần của một
quá trình va chạm là một trong những bằng chứng khẳng định tính đúng
đắn của mô hình RS. Gần đây, một số tác giả cũng đã thảo luận việc tìm
kiếm radion trong các quá trình ở Tevaron và máy gia tốc LHC. Vì vậy,
tôi chọn đề tài “Sự sinh các Radion trong mô hình chuẩn mở rộng”.
Nội dung luận văn xem xét sự tạo thành của radion trong va chạm năng
lượng cao e
−
γ, tính được tiết diện tán xạ vi phân toàn phần. Bài luận văn
này bao gồm:
Chương 1: Đưa ra một số kiến thức chung về ma trận tán xạ, tiết diện
tán xạ.
Chương 2: Trình bày về mô hình chuẩn mở rộng có hạt Radion.
Chương 3: Tính tiết diện tán xạ vi phân toàn phần trong va chạm năng

lượng cao e
−
γ. Từ đó rút ra nhận xét về khả năng tạo thành radion.
Chương 4: Kết luận
9
Chương 1
TIẾT DIỆN TÁN XẠ CỦA CÁC
QUÁ TRÌNH TÁN XẠ TRONG
VẬT LÝ HẠT CƠ BẢN
1.1 Ma trận tán xạ S
1.1.1 Khái niệm
Phương trình chuyển động trong biểu diễn tương tác là:
i
∂Φ (t)
∂t
= H (t) Φ (t) (1.1)
trong đó H (t) là Hamiltonien tương tác, Φ (t) là vector trang thái tại thời
điểm t.
Giả sử tại thời điểm ban đầu t
0
cho vector trạng thái ban đầu là Φ (t
0
),
hãy xác định vector trạng thái tại các thời điểm t > t
0
Phương trình (1.1) là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất nên ta có
thể viết nghiệm của nó dưới dạng:
Φ (t) = S (t, t
0
) Φ (t

0
) (1.2)
với S (t, t
0
) là toán tử tuyến tính. Thay (1.2) vào (1.1), lấy tích phân 2 vế
ta được:
S (t, t
0
) = 1 −i
t

t
0
dt
1
H (t
1
) S (t
1
, t
0
) (1.3)
10
Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải (1.3) ta tìm được dạng của
toán tử tuyến tính S (t, t
0
) ở dạng gần đúng như sau:
S (t, t
0
) =

∞

n=0
S
n
(t, t
0
) (1.4)
trong đó
S
0
(t, t
0
) = 1
S
1
(t, t
0
) = −i
t

t
0
dt
1
H (t
1
)
S
2

(t, t
0
) = (−i)
2
t

t
0
dt
1
t
0

t
1
dt
2
H (t
1
)H (t
2
)

S
n
(t, t
0
) = (−i)
n
t


t
0
dt
1
t
0

t
1
dt
2

t
0

t
n−1
dt
n
H (t
1
)H (t
2
) H (t
n
) (1.5)
Nhận xét
• S (t, t
0

) là toán tử Unita:
S
+
(t, t
0
) S (t, t
0
) = 1 (1.6)
• Công thức của S (t, t
0
) ở dang tổng quát (1.4) chứa các số hạng tích
phân có cận dưới là t
0
nhưng các cận trên lại khác nhau. Để thuận tiện
trong tính toán, ta đưa biểu thức tổng quát của S (t, t
0
) về dạng sau:
S
n
(t, t
0
) =
(−i)
n
n!
t

t
0
dt

1
t
0

t
1
dt
2

t
0

t
n−1
dt
n
P [H (t
1
) H (t
2
) H (t
n
)] (1.7)
trong đó:
P [H (t
1
) H (t
2
) H (t
n

)] = H (t
i1
) H (t
i2
) H (t
in
) (1.8)
với t
i1
≥ t
i2
≥ ≥ t
in
. Khi xét bài toán tán xạ, ta coi hệ ban đầu là hoàn
toàn tự do (các hạt không tương tác với nhau). Sau tương tác, các hạt
11
tồn tại ở trạng thái hoàn toàn tự do, nhưng chuyển động của các hạt sau
tương tác khác với chuyển động tự do của hạt trước tương tác do có sự va
chạm giữa hạt và bia. Khi đó ta coi t
0
→ −∞, t → +∞ và biểu thức của
S
n
(t, t
0
) được viết như sau:
S (+∞, −∞) =
=
∞


n=0
(−i)
n
n!
t

t
0
dt
1
t
0

t
1
dt
2

t
0

t
n−1
dt
n
P [H (t
1
) H (t
2
) H (t

n
)] (1.9)
Viết dưới dạng hàm mũ:
S ≡ S (+∞, −∞) = P


exp


−i
+∞

−∞
dtH (t)




(1.10)
1.1.2 Ý nghĩa vật lý của ma trận tán xạ S
Theo (1.2) ta có
Φ (t) = S (t, t
0
) Φ (t
0
)
nghĩa là vector trạng thái của hệ tại thời điểm t là Φ (t) có thể thu được
nhờ tác dụng của toán tử S (t, t
0
) lên vector trạng thái của hệ ở thời điểm

ban đầu là Φ (t
0
). Ta coi ban đầu hệ ở thời điểm t
0
→ −∞, khi đó các
hạt hoàn toàn tự do và vector trạng thái của hệ Φ (t
0
) = Φ (−∞) = Φ
i
.
Sau quá trình tán xạ, tại thời điểm cuối t → +∞, hệ ở trạng thái mới
Φ (t) = Φ (∞) liên hệ với trạng thái đầu bằng hệ thức:
Φ (+∞) = SΦ (−∞) = SΦ
i
(1.11)
Sau khi tương tác, các hạt ở xa nhau vô cùng (không tương tác với
nhau), và ta cũng có thể coi Φ (+∞) như là vector trạng thái của hệ mới
các hạt tự do. Vector trạng thái Φ (+∞) của hệ được khai triển theo bộ
đầy đủ các vector trạng thái của hệ Φ
n
như sau:
Φ (+∞) =

n
C
n
Φ
n
(1.12)
với

C
n
= Φ
n
|Φ (+∞) = Φ
n
|SΦ
i
 (1.13)
12
Tại thời điểm t → ∞, xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái Φ
n
được tính
theo công thức:
W
n
= |C
n
|
2
= |Φ
n
|SΦ
i
|
2
(1.14)
Nếu tại thời điểm ban đầu hệ ở trạng thái Φ
i
thì xác suất tìm thấy hệ

ở trạng thái cuối Φ
f
là:
W
i→f
= |C
f
|
2
= |Φ
f
|SΦ
i
|
2
(1.15)
Để tìm W
i→f
ta cần tính yếu tố ma trận:
S
i→f
= Φ
f
|Φ
i
 (1.16)
Như vậy ma trận tán xạ S (t, t
0
) =
∞


n=0
S
n
(t, t
0
) có yếu tố ma trận là:
S
n
i→f
= S
n
(t, t
0
) =
=
(−i)
n
n!
t

t
0
dt
1
t
0

t
1

dt
2

t
0

t
n−1
dt
n
Φ
f
|P [H (t
1
) H (t
2
) H (t
n
)]|Φ
i

(1.17)
Khi không có tương tác
S
0
fi
= δ
fi
(1.18)
Khi có tương tác, yếu tố ma trận S

n
được viết dưới dạng sau
S
n
= δ
fi
+ iR
fi
(1.19)
trong đó ma trận
S
fi
= 2π
4
δ
4
(P
f
− P
i
) M
fi
(1.20)
1.2 Tiết diện tán xạ
1.2.1 Khái niệm
Giả sử có một hạt bia ở trong một miền không gian A và một hạt đạn
đi qua miền không gian này. Xác suất tán xạ P được định nghĩa như sau:
P = σ
1
A

13
trong đó σ là xác suất tán xạ trong một đơn vị thể tích và được gọi là
tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình tán xạ. Xác suất tán xạ P và
miền không gian A đều không phụ thuộc vào hệ quy chiếu là khối tâm hay
phòng thí nghiệm. Do vậy, tiết diện tán xạ σ không phụ thuộc vào hệ quy
chiếu ta chọn.
Trường hợp tán xạ có nhiều hạt tới và nhiều hạt bia, khi đó tốc độ tán xạ
R được định nghĩa như sau:
R = F.A.N
t
.P (1.21)
trong đó F là số hạt tới trong một đơn vị thể tích và một đơn vị thời gian:
F = n
i
v
rel
(1.22)
với n
i
là mật độ hạt tới,v
rel
là vận tốc tương đối giữa hai hạt với nhau
(v
rel
= v
ab
), N
t
là số hạt bia.
Khi đó biểu thức tốc độ tán xạ R được viết lại như sau:

R = n
i
v
rel
N
t
(1.23)
Trong nhiều trường hợp ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc khối.
Ta có khái niệm: Tiết diện tán xạ riêng phần, hay tiết diện tán xạ vi phân
dσ
dΦ
. Do góc khối dΩ phụ thuộc vào hệ quy chiếu cho nên tiết diện tán xạ
vi phân
dσ
dΩ
phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
1.2.2 Biểu thức tán xạ vi phân
Xác suất cho một chuyển dời từ trạng thái i (P
i
) đến trạng thái f (P
f
)
với i = f là:
W
fi
= |S
fi
|
2
= |R

fi
|
2
= (2π)
8

δ
4
(P
f
− P
i
)

2
|M
fi
|
2
(1.24)
Ta có

δ
4
(q)

2
= δ
4
(q) δ

4
(0) ,

δ
4
(q)

2
= δ
4
(q) δ
4
(0) (1.25)
trong đó
δ
4
(0) = lim
q→0

δ
4
(q)

= lim
q→0

d
4
x
1

(2π)
4
e
iq
µ
x
µ
=

d
4
x
(2π)
4
=
V T
(2π)
4
(1.26)
14
Do đó
W
if
= (2π)
2

δ
4
(p
f

− p
i
)

|M
fi
|
2
V T (1.27)
Xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian là:
rate
fi
=
W
fi
T
= (2π)
4

δ
4
(p
f
− p
i
)

|M
fi
|

2
V (1.28)
Biến đổi công thức trên về dạng sau

rate
fi
=(2π)
4


δ
4
(p
f
− p
i
)

|M
fi
|
2
n

k=1
d
3
p
k
(2π)

3
V
n+1
(1.29)
tổng lấy theo nhiều hạt ở trạng thái cuối. Mặt khác:

rate
fi
=n
i
v
rel
N
t
σ
fi
=
1
V
v
rel
σ
fi
(1.30)
So sánh (1.29) với (1.30), ta có:
σ
fi
=
V
n+2

v
rel
(2π)
4


δ
4
(p
f
− p
i
)

|M
fi
|
2
n

k=1
d
3
p
k
(2π)
3
(1.31)
ở đây
V

n+2
=
1
2E
a
2E
b
n

k=1
2E
k
(1.32)
Từ đó suy ra
σ
fi
=
(2π)
4
4E
a
E
b
v
rel


δ
4
(p

f
− p
i
)

|M
fi
|
2
n

k=1
d
3
p
k
(2π)
3
n

k=1
2E
k
(1.33)
trong đó E
a
, E
b
là năng lượng của các hạt tới a, b, và
v

rel
= v
ab
= v
a
− v
b
(1.34)
là vận tốc tương đối giữa 2 hạt
15
Tiết diện tán xạ vi phân
dσ
fi
=
|M
fi
|
2
4E
a
E
b
v
rel
(2π)
4
δ
4
(p
f

− p
i
)
n

k=1
d
3
p
k
(2π)
3
n

k=1
2E
k
(1.35)
Hay
dσ =
|M|
2
4F
dΦ
f
(1.36)
trong đó
F = E
a
E

b
v
rel
v
i
F
lab
=




P (k)



m
b
(1.37)
F
cm
=




P (k)




(E
a
+ E
b
)
dΦ = (2π)
4
δ
4
(p
f
− p
i
)
n

k=1
d
3
p
k
(2π)
3
n

k=1
2E
k
(1.38)
Đối với trường hợp hệ hạt đồng nhất, ta có:

dσ =
|M|
2
4F
dΦ
f
S (1.39)
trong đó
S =

i
1
l
i
!
(1.40)
ở đây l
i
là số hạt đồng nhất loại i tại trạng thái cuối.
Xét quá trình tán xạ với hai hạt ở trạng thái đầu có xung lượng là
(p
1
, p
2
), khối lượng (m
1
, m
2
), cho (n −2) hạt ở trạng thái cuối có xung
lượng (p

3
, p
4
, , p
n
), khối lượng (m
3
, m
4
, , m
n
).
Phần thể tích không gian pha của trạng thái cuối là:
dΦ
f
(p
3
, p
4
, , p
n
) =
= (2π)
4
δ
4
(p
3
+ p
4

+ p
n
− p
i
)
1
(2π)
3(n−2)
d
3
p
3
2E
3
d
3
p
4
2E
4

d
3
p
n
2E
n
(1.41)
16
với p

i
= p
1
+ p
2
.
Nếu quan tâm đến xác suất tán xạ theo một phương nào đó (ϕ, θ) trong
góc khối dΩ = dϕd cos θ thì
dσ =

dΩ
|M|
2
4F
dΦ
f
(1.42)
Trường hợp n = 4 (quá trình tán xạ với hai hạt tới, hai hạt ra):
Tại góc cố định (ϕ, θ), kết quả tích phân theo không gian pha của hai
hạt sau phép lấy tích phân đối với toàn p
4
và toàn E
3
là

dΩ
dΦ
f
(p
3

, p
4
) =

dΩ
(2π)
4
δ
4
(p
3
+ p
4
− p
1
− p
2
)
1
(2π)
6
d
3
p
3
2E
3
d
3
p

4
2E
4
=
dΩp
3
2
16πE
3
E
4
d |p
3
|
d (E
3
+ E
4
)
(1.43)
Do đó
dσ
dΩ
=
|M|
2
64π
2
F
p

3
2
E
3
E
4
d |p
3
|
d (E
3
+ E
4
)
(1.44)
với
E
2
3
− p
3
2
= m
2
3
E
2
4
− p
4

2
= E
2
4
−

p
1
2
+ p
2
2
− p
3
2

= m
2
4
(1.45)
Đối với các hạt không có spin, sự phụ thuộc của ma trận M vào xung
lượng chỉ thông qua bất biến Lorentz bởi các biến s, t và u được gọi là các
biến Mandelstam được định nghĩa như sau:
s = (p
1
+ p
2
)
2
= (p

3
+ p
4
)
2
t = (p
1
− p
3
)
2
= (p
4
− p
2
)
2
u = (p
1
− p
4
)
2
= (p
3
− p
2
)
2
(1.46)

Do đó
s + t + u = m
2
1
+ m
2
2
+ m
2
3
+ m
2
4
+ 2p
1
[(p
1
+ p
2
) − (p
3
+ p
4
)] (1.47)
17
Trong hệ quy chiếu khối tâm, các xung lượng 4 chiều được định nghĩa
như sau:
p
1
= (E

1
, p) ,
p
2
= (E
2
, −p) ,
p
3
= (E
3
, q) ,
p
4
= (E
4
, −q)
(1.48)
Áp dụng các định luật bảo toàn năng xung lượng ta được
s + t + u = m
2
1
+ m
2
2
+ m
2
3
+ m
2

4
(1.49)
Ta có
E
3
E
4
d (E
3
+ E
4
)
d |p
3
|
= E
3
E
4



d

m
2
3
+ |q|
2
d |q|

+
d

m
2
4
+ |q|
2
d |q|



= |q|(E
3
+ E
4
) = |q|(E
1
+ E
2
) (1.50)
Mặt khác
F
cm
= |q|(E
1
+ E
2
) (1.51)
√

s = (E
1
+ E
2
) (1.52)
Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân được viết lại như sau:

dσ
dΩ

cm
=
1
64π
2
s
|q|
|p|
|M|
2
(1.53)
Chú ý rằng
|p|
2
=
1
4
λ

s, m

2
1
, m
2
2

(1.54)
|q|
2
=
1
4s
λ

s, m
2
3
, m
2
4

(1.55)
Với
λ (a, b, c) = (a −b − c)
2
− 4bc =

a −

√

b +
√
c

2

a −

√
b −
√
c

2

(1.56)
Mà
t = (p
1
− p
3
)
2
= m
2
1
+ m
2
3
− 2p

1
p
3
= m
2
1
+ m
2
3
− 2E
1
E
3
+ 2 |p
1
||p
3
|cosθ
= m
2
1
+ m
2
3
− 2E
1
E
3
+ 2 |p
1

||q|cosθ (1.57)
18
Ta suy ra
dt = 2 |p||q|cosθ (1.58)
Ta có góc khối
dΩ = 2πdcosθ =
π
|p||q|
dt, 0 ≤ θ ≤ π (1.59)
Do đó ở dạng khác, chúng ta có thể viết biểu thức tiết diện tán xạ vi
phân theo các biến s và t như sau:

dσ
dΩ

cm
=
|M|
2
64π|p|
2
(1.60)
Khi lấy tổng theo spin của các hạt ở trạng thái cuối, và lấy trung bình
theo spin của các hạt ở trạng thái đầu, ta thay:
|M|
2
→

s
3

s
4


M


2
=
1
(2s
1
+ 1) (2s
2
+ 1)

s
3
s
4

s
3
s
4


M



2
(1.61)
Có thể viết lại (1.53) dưới dạng sau:

dσ
dΩ

cm
=
|M|
2
16πλ (s, m
2
1
, m
2
2
)
(1.62)
Bây giờ ta xét bài toán trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm:
p
µ
1
= (E
1
, p) ; p
µ
2
= (m
2

, 0) ; p
µ
3
= (E
3
, q) ; p
µ
4
= (E
4
, p
4
) (1.63)
Ta dễ dàng thu được các hệ thức sau:
E
4
= E
1
+ m
2
− E
2
p
2
4
= (p − q)
2
= p
2
+ q

2
− 2 |p||q|cos (θ
lab
)
E
3
E
4
d (E
3
+ E
4
)
d |q|
= |q|(E
1
+ E
2
) − |p|cos (θ
lab
) (1.64)
Thay (1.64) vào (1.44) ta được

dσ
dΩ

cm
=
|M|
2

64π
2
m
2
|q|
|p|
1
(E
1
+ E
2
) −
|p|
|q|
cos (θ
lab
)
(1.65)
19
Trong trường hợp m
1
= m
3
, m
2
= m
4
:

dσ

dΩ

cm
=
|M|
2
64π
2
m
2
2
|q|
|p|

1 −
p
2
2m
2
2
|q|
2

m
2
E
3
− m
2
1



(1.66)
Công thức chung
Có 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1 : 1 + 2 → 3 + 4 + + n
dσ =
1.s
4

(p
1
p
2
)
2
− (m
1
m
2
)
2

|M|
2
(2π)
4
δ
4
(p

1
+ p
2
− p
3
− p
4
− − p
n
) .
.
d
3
p
3
(2π)
3
2E
3
d
3
p
4
(2π)
3
2E
4

d
3

p
n
(2π)
3
2E
n
(1.67)
Trong đó s =
1
j!
với j là số hạt đồng nhất ở trạng thái cuối
p
i
= (E
i
, p
i
) , E
i
=

m
2
i
+ p
i
2
(1.68)
Trường hợp 2 : 1 → 2 + 3 + + n
dσ =

s
2m
1

|M|
2
(2π)
4
δ
4
(p
1
− p
2
− p
3
− − p
n
) .
.
d
3
p
2
(2π)
3
2E
2
d
3

p
3
(2π)
3
2E
3

d
3
p
n
(2π)
3
2E
n
(1.69)
p
1
= (m
1
, 0) chọn p
1
= 0
Các trường hợp đặc biệt
Có 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1 : 1 → 2 + 3
Ta có:
p
1
= 0 ⇒ p

2
1
= E
2
− p
1
2
/E = m/ = m
2
1
− 0
2
= m
2
1
(1.70)
δ
4
(p
1
− p
2
− p
3
) = δ (m
1
− E
2
− E
3

) δ
3
(−p
2
− p
3
) (1.71)
Vì
E
2
i
− p
i
2
= m
2
i
⇒ E
i
=

m
2
i
+ p
i
2
20
Γ =
3

2(4π)
2
m
1


|M|
2
δ (m
1
− E
2
− E
3
).
.δ
3
(−p
2
− p
3
)
d
3
p
2
.d
3
p
3


m
2
2
+ p
2
2
.

m
2
3
+ p
3
2
= /p
3
= −p
2
/
Γ =
s
2(4π)
2
m
1


|M|
2

δ

m
1
−

m
2
2
+ p
2
2
−

m
2
3
+ p
2
2

.d
3
p
2

m
2
2
+ p

2
2

m
2
3
+ p
2
2
(1.72)
Trong tọa độ cầu
d
3
p
2
= |p
2
|
2
d |p
2
|sin θdθdϕ
= ρ
2
dρ sin θdθdϕ (1.73)
và
 
sin θdθdϕ = 4π (1.74)



M
2


là vô hướng chỉ phụ thuộc ρ = |p
2
| Do đó
Γ =
s
8πm
1
∞

0
|M|
2
δ

m
1
−

m
2
2
+ ρ
2
−

m

2
3
+ ρ
2

ρ
2
dρ

m
2
2
+ ρ
2
.

m
2
3
+ ρ
2
(1.75)
Chú ý: δ (kx) =
1
|k|
δ (x)
E là năng lượng tổng cộng của các hạt ra:
E =

m

2
2
+ ρ
2
+

m
2
3
+ ρ
2
, ρ = 0 ⇒ E = m
2
+ m
3
Nên
dE =
1
2

m
2
2
+ ρ
2
.2ρdρ +
1
2

m

2
3
+ ρ
2
.2ρdρ =
Eρdρ

m
2
2
+ ρ
2

m
2
3
+ ρ
2
21
Suy ra
Γ =
s
8πm
1
∞

m
2
+m
3

|M|
2
δ (m
1
− E)
ρ
E
dE
=
s
8πm
2
1
|M|
2
ρ
0
(1.76)
với ρ
0
= ρ khi E = m
1
Mặt khác, ta lại có:
m
1
=

m
2
2

+ ρ
2
0
+

m
2
3
+ ρ
2
0
m
2
1
= m
2
2
+ m
2
3
+ 2ρ
2
0
+ 2

(m
2
2
+ ρ
2

0
) (m
2
3
+ ρ
2
0
)
⇒ ρ
0
=
1
2m
1

m
4
1
+ m
4
2
+ m
4
3
− 2m
2
1
m
2
2

− 2m
2
1
m
2
3
− −2m
2
2
m
2
3
(1.77)
Vậy nếu m
2
= m
3
= 0 ta thu được:
Γ =
s
8πm
1
∞

0
|M|
2
δ (m
1
− 2ρ) ρdρ

2ρ
2
=
s
8πm
1
∞

0
|M|
2
1
2
δ

ρ −
m
1
2

dρ
(1.78)
và khi ρ =
m
1
2
thì:
Γ =
s|M|
2

16πm
1
(1.79)
Trường hợp 2 : 1 + 2 → 3 + 4
Trong hệ khối tâm ta có:
p
2
= −p
1
= −p (1.80)
p
1
p
2
= E
1
E
2
− p
1
p
2
= E
1
E
2
+ p
1
2
= E

1
E
2
+ p
2
2
(1.81)
E
2
1
− p
1
2
= m
2
1
= P
2
1
, E
2
2
− p
2
2
= m
2
2
= p
2

2
(1.82)
22
Nên

(p
1
p
2
)
2
− (m
1
m
2
)
2
=
=


E
1
E
2
+ p
1
2

2

− m
2
1
m
2
2
=


E
2
1
E
2
2
+ 2E
1
E
2
.p
1
2
+ p
1
4

−

E
2

1
E
2
2
− E
2
1
p
1
2
− E
2
2
p
1
+ p
4
1

⇒

(p
1
p
2
)
2
− (m
1
m

2
)
2
= |p
1
|. (E
1
+ E
2
) (1.83)
dσ =
s
4. |p
1
|(E
1
+ E
2
)
|M|
2
(2π)
4
δ (p
1
+ p
2
− p
3
− p

4
)
d
3
p
3
(2π)
3
2E
3
d
3
p
4
(2π)
3
2E
4
=
1
64π
2
s|M|
2
(E
1
+ E
2
) |p
1

|
δ (p
1
+ p
2
− p
3
− p
4
)
d
3
p
3
d
4
p
4
E
3
E
4
=
s |M|
64π
2
(E
1
+ E
2

) |p
1
|
δ (E
1
+ E
2
− E
3
− E
4
)
d
3
p
3
d
4
p
4
E
3
E
4
(1.84)
Tích phân theo p
4
, p
4
= −p

3
ta được:
σ =
s
64π
2
(E
1
+ E
2
) |
−→
p
1
|

|M|
2
δ

E
1
+ E
2
−

m
2
3
+

−→
p
3

.
.
d
3
−→
p
3
√
m
2
3
+
−→
p
3
2
√
m
2
4
+
−→
p
3
2
(1.85)

Viết lại
d
3
p
3
= ρ
2
dρdΩ = ρ
2
dρ sin θdθdϕ (1.86)
|M|
2
chỉ phụ thuộc vào ρ
Suy ra:
dσ
dΩ
=
s
64π
2
(E
1
+ E
2
) |p
1
|
∞

0

|M|
2
δ

E
1
+ E
2
−

m
2
3
+ ρ
2
−

m
2
4
+ ρ
2

.
.
ρ
2
dρ
√
m

2
3
+ p
3
2
√
m
2
4
+ p
3
2
dΩ
(1.87)
mà
E = E
3
+ E
4
=

m
2
3
+ ρ
2
+

m
2

4
+ ρ
2
(1.88)
Nên
dE =
Eρdρ

m
2
3
+ ρ
2
.

m
2
4
+ ρ
2
(1.89)
23
Suy ra
dσ
dΩ
=
s
64π
2
(E

1
+ E
2
) |p
1
|
∞

m
3
+m
4
|M|
2
δ (E
1
+ E
2
− E)
ρ
E
dE
=
s
64π
2
(E
1
+ E
2

) |p
1
|
1
(E
1
+ E
2
)
|M|
2
ρ
0
(1.90)
ρ = ρ
0
khi E = E
1
+ E
2
=

m
2
3
+ ρ
2
0
+


m
2
4
+ ρ
2
0
Nên
E
2
= (E
1
+ E
2
)
2
= m
2
3
+ m
2
4
+ 2ρ
2
0
+ 2

(m
2
3
+ ρ

2
0
) (m
2
4
+ ρ
2
0
)
⇒

(E
1
+ E
2
)
2
− m
2
3
− m
2
4
− 2ρ
2
0

2
= 4


m
2
3
m
2
4
+ m
2
3
ρ
2
0
+ m
2
4
ρ
2
0
+ ρ
4
0

⇒

(E
1
+ E
2
)
2

− m
2
3
− m
2
4

2
− 4

(E
1
+ E
2
)
2
− m
2
3
− m
2
4

ρ
2
0
= 4m
2
3
m

2
4
+ 4

m
2
3
+ m
2
4

ρ
2
0
⇒ 4(E
1
+ E
2
)
2
ρ
2
0
=

(E
1
+ E
2
)

2
− m
2
3
− m
2
4

2
− 4m
2
3
m
2
4
Do đó
ρ
0
=
1
2 (E
1
+ E
2
)

(E
1
+ E
2

)
4
+ m
4
3
− m
4
4
− 2(E
1
+ E
2
)
2
m
2
3
−
−2(E
1
+ E
2
)
2
m
2
4
− 2m
2
3

m
2
4
(1.91)
Vậy:
dσ
dΩ
=
s
64π
2
(E
1
+ E
2
)
2
|p
1
|
|M|
2
1
2 (E
1
+ E
2
)
.
.


(E
1
+ E
2
)
4
+ m
4
3
− m
4
4
− 2(E
1
+ E
2
)
2
m
2
3
− 2(E
1
+ E
2
)
2
m
2

4
− 2m
2
3
m
2
4
(1.92)
Chú ý thêm:
ρ
0
= |p
3
| = |p
3
| = |q|
Cuối cùng
dσ
dΩ
=
s
64π
2
(E
1
+ E
2
)
2
|M|

2
|q|
|p|
(1.93)
24
Chương 2
MÔ HÌNH CHUẨN MỞ RỘNG
CÓ HẠT RADION
2.1 Mô hình Randall Sundrum
Các mô hình Randall Sundrum (RS) được dựa trên không – thời gian
5D mở rộng compact hóa trên orbifold S
1
/Z
2
, quỹ đạo đa tạp trong đó
có hai ba - brane (4D siêu bề mặt) định xứ tại hai điểm cố định: brane
Planck y = 0 và brane TeV tại y =
1
2
. Bình thường 4D Poincare bất biến
được hiển thị và duy trì bởi giải pháp cổ điển phương trình Einstein sau:
ds
2
= e
−2σ(y)
η
µν
dx
µ
dx

ν
− b
2
0
dy
2
σ (y) = m
0
b
0
|y| (2.1)
ở đây x
µ
(µ = 0, 1, 2, 3) là các thành phần tọa độ trên siêu mặt bốn chiều
y không đổi, metric tương ứng n
µν
= diag (1, −1, −1, −1). Và m
0
, b
0
lần
lượt là tham số khối lượng và bán kính compact. Thực hiện dao động hấp
dẫn nhỏ với metric RS ta được:
n
µν
→ g
µν
= n
µν
+ εh

µν
(x, y)
b
0
→ b
0
+ b (x) (2.2)
ta thu được hai thành phần mới trên TeV brane đó là các mode KK (Kaluza
- Klein) h
(n)
µν
(x) và trường radion chuẩn tắc Φ
0
(x) tương ứng được cho bởi
h
µν
(x, y) =
∞

n=0
h
(n)
µν
(x)
χ
(n)
(y)
√
b
0

Φ
0
(x) =
√
6M
P l
Ω
b
(x) (2.3)
25
trong đó Ω
b
(x) = e
−m
0
[b
0
+b(x)]
2
, ε liên hệ với khối lượng Planck bốn chiều
M
P l
và năm chiều M
5
theo biểu thức sau:
ε
2
= 16πG
5
=

1
M
3
5
M
P l
≡
1
√
8πG
N
M
2
pl
2
=
1 − Ω
2
0
ε
2
m
0
(2.4)
ở đây Ω ≡ e
−m
0
b
0
2

được gọi là yếu tố dọc. Bởi vì brane TeV được sắp xếp
để được y =
1
2
, ,một vô hướng bình thường nhân với yếu tố dọc, ví dụ
m
phys
= Ω
0
m
0
. Kể từ khi giá trị trung bình của
m
0
b
0
2
∼
=
35 có thể tạo ra
TeV quy mô khối lượng vật lý thì vấn đề hệ thống phân bậc được giải thích.
Lagrangian hiệu dụng 4 chiều có dạng:
L = −
Φ
0
Λ
Φ
T
µ
µ

−
1
ˆ
Λ
W
T
µν
(x)
∞

n=0
h
(n)
µν
(x) (2.5)
với Λ
Φ
=
√
6M
pl
Ω
0
là trung bình chân không của trường radion,
ˆ
Λ
W
=
√
2M

pl
Ω
0
và T
µν
là tensor năng xung lượng ở mức cây ta có:
T
µ
µ
=

f
m
f
ff − 2m
2
W
W
+
µ
W
−µ
− m
2
Z
Z
µ
Z
µ
+


2m
2
h
0
h
2
0
− ∂
µ
h
0
∂
µ
h
0

+
(2.6)
Trong brane TeV xuất hiện số hạng trộn giữa hấp dẫn và vô hướng là:
S
ξ
= −ξ

d
4
x
√
−g
vis

R (g
vis
) H
+
H (2.7)
Ở đây R (g
vis
) là tenxo vô hướng Ricci rút gọn trên brane TeV,
g
µν
vis
= Ω
2
b
(x) (n
µν
+ εh
µν
) (2.8)
ˆ
H là trường Higgs thỏa mãn H
0
= Ω
0
ˆ
H. Tham số ξ biểu thị độ lớn của số
hạng trộn. Với ξ = 0 ta không có hàm riêng khối lượng của boson Higgs
thuần túy hay radion thuần túy. Số hàng ξ này trộn các trường h
0
và Φ

0
26
thành các hàm riêng khối lượng h và Φ cho bởi:

h
0
Φ
0

=

1
0
−6ξγ
Z
1
Z

cosθ
−sin θ
sin θ
cosθ

h
Φ

=

d
b

c
a

h
Φ

(2.9)
trong đó:
γ ≡
ν
0
Λ
Φ
, Z
2
≡ 1 − 6ξγ
2
(1 + 6ξ) = β − 36ξ
2
γ
2
β ≡ 1 −6ξγ
2
, a ≡
cosθ
Z
, b ≡ −
sin θ
Z
c ≡ sin θ −

6ξγ
Z
cosθ, d ≡ cosθ+
6ξγ
Z
sin θ (2.10)
Góc trộn θ được xác định bởi
tan 2θ = 12ξγZ
m
2
h
0
m
2
h
0
(Z
2
− 36ξ
2
γ
2
) − m
2
Φ
0
(2.11)
Các trường mới h và Φ là các hàm riêng khối lượng và không khối lượng:
m
2

h,Φ
=
1
2Z
2

m
2
Φ
0
+ βm
2
h
0
∓


m
2
Φ
0
+ βm
2
h
0

2
− 4Z
2
m

2
h
0
m
2
Φ
0

(2.12)
Sự trộn giữa các trạng thái cho phép rã các hạt nặng hơn thành các
hạt nhẹ hơn nếu động năng đủ lớn. Nói chung tiết diện tán xạ, độ rộng
phân rã vầ tỷ số giữa hằng số rã riêng và hằng số rã đều chịu ảnh hưởng
đáng kể bởi giá trị của tham số trộn. Ngoài ra còn có hai ràng buộc đối
với giá trị của ξ. Một là bắt nguồn từ đòi hỏi nghiệm của hàm ngược của
phương trình (2.12) là xác định dương. Điều này cho thấy Bosson Higgs
là hạt nặng hơn:
m
2
h
m
2
Φ
> 1 +
2β
Z
2

1 −
Z
2

2β

+
2β
Z
2

1 −
Z
2
β

1
2
(2.13)
Một ràng buộc khác là do hệ số của số hạng động năng radion khi bỏ đi sự
trộn động năng. Do đó, nó phải dương

Z
2
> 0

để giữ cho số hạng động
năng của radion xác định dương, nghĩa là:
−
1
12

1 +


1 +
4
γ
2

< ξ <
1
12


1 +
4
γ
2
− 1

(2.14)
27