Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên một số tính chất vật lý của hệ điện tử chuẩn một chiều dưới tác dụng của trường sóng điện từ

MỤC LỤC
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Danh mục các từ viết tắt và bảng đối chiếu thuật ngữ Anh - Việt . . . . . . . . vi
Danh mục một số ký hiệu thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Bảng các thông số cơ bản trong bán dẫn GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Danh mục các hình vẽ, đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Tổng quan về dây lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử khi
không có từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử khi
có mặt từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Phương pháp phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn . . . 15
1.3. Phương pháp toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1. Kỹ thuật toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2. Kỹ thuật toán tử chiếu độc lập trạng thái . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 2. ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC
LÊN HIỆU ỨNG GIA TĂNG PHONON . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1. Các biểu thức giải tích của hiệu ứng gia tăng phonon . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Hamiltonian của hệ electron và phonon giam cầm trong dây lượng tử 27
iii
2.1.2. Biểu thức giải tích của tốc độ thay đổi số phonon . . . . . . . . . . 29
2.2. Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ thay đổi phonon . . . 34
2.2.1. Trường hợp dây lượng tử hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Trường hợp dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chương 3. ẢNH NƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC
LÊN CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA HAI LOẠI PHONON . . 40
3.1. Hệ phương trình động lượng tử của hai loại phonon giam cầm trong dây
lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Phương trình tán sắc mô tả tương tác tham số . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3. Điều kiện cộng hưởng tham số của hai loại phonon giam cầm trong dây
lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1. Trường hợp dây lượng tử hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2. Trường hợp dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên biên độ trường ngưỡng và hệ
số biến đổi tham số của hai loại phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.1. Trường hợp dây lượng tử hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.2. Trường hợp dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chương 4. ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC
LÊN ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ CÁC ĐỈNH CỘNG HƯỞNG . . . . 55
4.1. Tổng quan về các loại cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1. Cộng hưởng electron-phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iv
4.1.2. Cộng hưởng cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.3. Độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2. Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên độ rộng vạch phổ đỉnh cộng
hưởng electron-phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.1. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ khi có mặt sóng điện từ . 59
4.2.2. Độ rộng vạch phổ đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon . . . . . 61
4.3. Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên độ rộng vạch phổ đỉnh cộng
hưởng cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ khi có sóng điện từ và từ
trường không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.2. Độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng cyclotron . . . . . . . . . . . . . 73
4.4. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
v
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ BẢNG ĐỐI
CHIẾU THUẬT NGỮ ANH - VIỆT
Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt
0D Zero Dimension Không chiều
1D One Dimension Một chiều
2D Two Dimension Hai chiều
3D Three Dimension Ba chiều
AP Absorption Power Công suất hấp thụ
CQW Cylindrical Quantum Wire Dây lượng tử hình trụ
CR Cyclotron Resonance Cộng hưởng cyclotron
CRLW Cyclotron Resonance Độ rộng vạch phổ
Line-width cộng hưởng cyclotron
EPR Electron-Phonon Resonance Cộng hưởng electron-phonon
EPRLW Electron-Phonon Resonance Độ rộng vạch phổ
Line-Width cộng hưởng electron-phonon
LW Line-Width Độ rộng vạch phổ
MBE Molecular Beam Epitaxy Epitaxy chùm phân tử
MPR Magneto-Phonon Resonance Cộng hưởng từ-phonon
MPRLW Magneto-Phonon Resonance Độ rộng vạch phổ
Line-Width cộng hưởng từ-phonon
ODEPR Optically Detected Dò tìm cộng hưởng
Electron-Phonon Resonance electron-phonon bằng quang học
ODEPRLW Optically Detected Electron-Phonon Độ rộng vạch phổ dò tìm
Resonance Line-Width cộng hưởng electron-phonon
ODMPR Optically Detected Dò tìm cộng hưởng
Magneto-Phonon Resonance từ-phonon bằng quang học
RQW Rectangular Quantum Wire Dây lượng tử hình chữ nhật
vi

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
Đại lượng Ký hiệu
Bán kính cyclotron a
c
Bán kính của CQW R
Kích thước của RQW theo phương x / y L
x
/ L
y
Biên độ trường ngưỡng E
th
Chỉ số lượng tử của electron , j
Chỉ số lượng tử của phonon m, n
Chỉ số mức Landau N
Công suất hấp thụ P (ω)
Điện tích của electron e
Độ rộng vạch phổ của đỉnh CR trong CQW/ RQW Γ
CQW/RQW
CR
Độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR trong CQW/ RQW Γ
CQW/RQW
ODEPR
Hằng số điện môi cao tần / tĩnh χ
∞
/ χ
0
Hệ số gia tăng F
Khối lượng hiệu dụng / khối lượng tĩnh của electron m
e
/ m

0
Năng lượng Fermi ε
F
Năng lượng của photon ω
Năng lượng của phonon ω
q
Năng lượng của phonon giam cầm ω
m,n,q
z
Năng lượng của phonon quang không giam cầm ω
0
Phần ảo của hàm dạng phổ khi không có từ trường γ
α,β
(ω)
Phần ảo của hàm dạng phổ khi có từ trường B(ω)
Tần số cyclotron ω
c
Tần số sóng điện từ ω
Tốc độ tạo phonon giam cầm G
m,n,q
z
Tốc độ tạo phonon không giam cầm G
vii
Bảng các thông số cơ bản trong bán dẫn GaAs
Thông số Ký hiệu Giá trị
Độ thẩm điện môi cao tần χ
∞
10.9
Độ thẩm điện môi tĩnh χ
0

13.1
Hằng số điện môi χ 13.9
Hằng số thế biến dạng κ 13.5 eV
Khối lượng của electron tự do m
0
9.1 ×10
−31
kg
Khối lượng hiệu dụng của electron m
e
0.067 ×m
0
Mật độ tinh thể ρ 5.32.10
−3
kg.m
−3
Năng lượng Fermi ε
F
0.05 eV
Năng lượng của phonon quang
(không bị giam cầm) ω
0
36.25 meV
Tham số vận tốc γ 4.73 ×10
3
m.s
−1
Vận tốc sóng âm v
a
5370 m.s

−1
viii
Danh sách hình vẽ
1.1 Mô hình dây lượng tử hình trụ (bên trái) và hình chữ nhật (bên phải) . . . 11
2.1 Sự phụ thuộc của tốc độ tạo phonon G vào số sóng q
z
trong CQW đối với
trường hợp phonon khối tại nhiệt độ 200 K (đường liền nét) và trường hợp
phonon giam cầm tại các nhiệt độ T khác nhau: 150 K (đường gạch gạch),
200 K (đường chấm chấm), 250 K (đường chấm gạch) . Ở đây, ω = 1.0×10
13
Hz, R = 16.3 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Sự phụ thuộc của tốc độ tạo phonon G vào bán kính R của CQW đối với
trường hợp phonon khối tại tần số ω = 1.0 × 10
13
Hz (đường liền nét)
và trường hợp phonon giam cầm tại các giá trị khác nhau của tần số ω
của điện trường: 1.0 × 10
13
Hz (đường gạch gạch), 2.0 × 10
13
Hz (đường
chấm chấm), 3.0 ×10
13
Hz (đường chấm gạch). Ở đây, q
z
= 2.0 ×10
8
m
−1

,
T = 200 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Sự phụ thuộc của tốc độ tạo phonon G vào số sóng q
z
trong RQW đối
với trường hợp phonon khối tại nhiệt độ T = 200 K (đường liền nét) và
trường hợp phonon giam cầm tại các nhiệt độ T khác nhau: 150 K (đường
gạch gạch), 200 K (đường chấm chấm), 250 K (đường chấm gạch). Ở đây,
ω = 2.0 ×10
13
Hz, L
x
= 10 nm, L
y
= 20 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ix
2.4 Sự phụ thuộc của tốc độ tạo phonon G vào kích thước L
x
của RQW đối với
trường hợp phonon khối tại tần số ω = 2.0 × 10
13
Hz (đường liền nét) và
mô hình phonon giam cầm tại các giá trị khác nhau của tần số ω của điện
trường: 1.0×10
13
Hz (đường gạch gạch), 2.0×10
13
Hz (đường chấm chấm),
3.0 × 10
13

Hz (đường chấm gạch). Ở đây, q
z
= 2.0 × 10
8
m
−1
, T = 200 K,
L
y
= 20 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Sự phụ thuộc của biên độ ngưỡng E
th
vào số sóng q
z
của phonon âm trong
CQW có bán kính R = 16.3 nm (bên trái), vào bán kính R của dây tại số
sóng q
z
= 2.0 ×10
8
m
−1
(bên phải) đối với trường hợp phonon khối (đường
liền nét) và trường hợp phonon giam cầm (đường gạch gạch). . . . . . . . . 50
3.2 Sự phụ thuộc của hệ số gia tăng F vào số sóng q
z
của phonon âm trong
CQW có bán kính R = 16.3 nm (bên trái), vào bán kính R của dây tại số
sóng q
z

= 2.0 ×10
8
m
−1
(bên phải) đối với trường hợp phonon khối (đường
liền nét) và trường hợp phonon giam cầm (đường gạch gạch). . . . . . . . . 51
3.3 Sự phụ thuộc của biên độ ngưỡng E
th
vào số sóng q
z
của phonon âm trong
RQW có kích thước L
x
= 10 nm, L
y
= 20 nm (bên trái); vào kích thước
L
x
của dây tại số sóng q
z
= 2.0 × 10
8
m
−1
(bên phải) đối với trường hợp
phonon khối (đường liền nét) và trường hợp phonon giam cầm (đường gạch
gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Sự phụ thuộc của hệ số gia tăng F vào số sóng q
z
của phonon âm trong

RQW có kích thước L
x
= 10 nm, L
y
= 20 nm (bên trái); vào kích thước
L
x
của dây tại số sóng q
z
= 2.0 × 10
8
m
−1
(bên phải) đối với trường hợp
phonon khối (đường liền nét) và trường hợp phonon giam cầm (đường gạch
gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
x
4.1 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) trong CQW vào năng lượng của
photon ω tại nhiệt độ T = 200 K với các giá trị khác nhau của bán kính
R: 14 nm (đường liền nét), 16 nm (đường gạch gạch) và 18 nm (đường
chấm chấm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng của photon ω
trong CQW đối với trường hợp phonon khối (đường gạch gạch) và trường
hợp phonon giam cầm (đường liền nét). Ở đây, R = 16 nm, T = 200 K. . . 64
4.3 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ Γ
CQW
ODEPR
của đỉnh dò tìm cộng hưởng
electron-phonon trong CQW vào bán kính R tại nhiệt độ T = 200 K đối
với trường hợp phonon khối (hình vuông) và trường hợp phonon bị giam

cầm (hình tròn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) trong RQW vào năng lượng của
photon ω tại nhiệt độ T = 200 K với các giá trị khác nhau của kích thước
L
x
của dây: 8 nm (đường liền nét), 10 nm (đường gạch gạch) và 12 nm
(đường chấm chấm). Ở đây, L
y
= 20 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng của photon ω
trong RQW đối với trường hợp phonon khối (đường gạch gạch) và phonon
giam cầm (đường liền nét). Ở đây, L
x
= 10 nm, L
y
= 20 nm , T = 200 K . 67
4.6 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ Γ
RQW
ODEPR
của đỉnh dò tìm cộng hưởng
electron-phonon trong RQW vào kích thước L
x
của dây tại nhiệt độ T =
200 K đối với trường hợp phonon khối (hình vuông) và trường hợp phonon
giam cầm (hình tròn). Ở đây, L
y
= 20 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng của photon ω
trong CQW có bán kính R = 16 nm tại các giá trị khác nhau của từ trường
B: 6.0 T (đường liền nét), 6.5 T (đường gạch gạch). Ở đây, T = 200 K. . . 73

xi
4.8 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P(ω) vào năng lượng photon ω trong
CQW tại nhiệt độ T = 200 K đối với trường hợp phonon khối (đường gạch
gạch) và trường hợp phonon giam cầm (đường liền nét). Ở đây, R = 16nm,
T = 200 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.9 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ Γ
CQW
CR
của đỉnh cộng hưởng cyclotron
trong CQW vào bán kính R đối với trường hợp phonon khối (hình vuông)
và trường hợp phonon giam cầm (hình tròn). Ở đây, B = 6 T, T = 200 K. 76
4.10 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng của photon ω
trong RQW có kích thước L
x
= 10 nm, L
y
= 20 nm tại các giá trị khác
nhau của từ trường B: 6 T (đường liền nét), 6.5 T (đường gạch gạch). Ở
đây, T = 200 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.11 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng của photon ω
trong RQW đối với trường hợp phonon khối (đường gạch gạch) và trường
hợp phonon giam cầm (đường liền nét). Ở đây, T = 200 K. . . . . . . . . . 79
4.12 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ Γ
RQW
CR
của đỉnh cộng hưởng cyclotron
trong RQW vào kính thước L
x
đối với trường hợp phonon khối (hình vuông)
và trường hợp phonon giam cầm (hình tròn). Ở đây, B = 6 T, T = 200 K. 80

xii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với những tiến bộ trong công nghệ chế tạo cấu trúc nanô và kỹ thuật epitaxy, các
vật liệu dựa trên cơ sở cấu trúc trong đó khí electron là thấp chiều ngày càng trở nên phổ
biến. Trong các cấu trúc trên, chuyển động của electron theo một số phương nào đó bị
giới hạn do hiệu ứng giảm kích thước, nên electron chỉ chuyển động tự do theo các phương
còn lại. Tùy thuộc số chiều theo đó electron chuyển động tự do mà ta gọi khí electron là
chuẩn hai chiều (Q2D), chuẩn một chiều (Q1D) hoặc chuẩn không chiều (Q0D). Bán dẫn
dựa trên cấu trúc trong đó khí electron là chuẩn một chiều được gọi tắt là bán dẫn dây
lượng tử.
Việc chuyển từ hệ electron 3 chiều sang hệ electron chuẩn thấp chiều đã làm thay
đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật lý của vật liệu,
đặc biệt là phản ứng của hệ electron đối với trường ngoài. Các vật liệu bán dẫn dựa trên
cấu trúc thấp chiều đã tạo ra các linh kiện, thiết bị hoạt động dựa trên những nguyên tắc
hoàn toàn mới, tạo nên công nghệ hiện đại có tính cách mạng trong khoa học, kỹ thuật
nói chung và trong lĩnh vực quang điện tử nói riêng. Đó là lý do tại sao các vật liệu dựa
trên cấu trúc thấp chiều được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Trong các vật liệu dựa trên cấu trúc thấp chiều, các tính chất vật lý của hệ phụ thuộc
vào dạng hình học, kích thước, thành phần vật liệu, môi trường vật liệu bao quanh, , và
tuân theo các quy luật của vật lý lượng tử. Nguồn gốc sâu xa của các tính chất này cũng
như các hiệu ứng được tạo ra là sự lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt tải (electron,
lỗ trống, ) và các chuẩn hạt (phonon, polaron, ) trong vật rắn do hiệu ứng giảm kích
thước hoặc khi có mặt điện trường, từ trường. Hiệu ứng giảm kích thước được nói đến ở
đây là nguyên nhân dẫn đến sự giam cầm của cả electron và phonon. Vì vậy, đối với các hệ
thấp chiều khác nhau, sự lượng tử hóa nói trên là khác nhau bởi vậy tính chất vật lý của
1
các hệ thấp chiều khác nhau là khác nhau và khác biệt so với vật liệu khối. Cũng chính vì
vậy, đối với các bán dẫn thấp chiều, đồng thời với việc tìm kiếm các hiệu ứng vật lý mới
thì việc tìm kiếm các đặc tính mới trong các hiệu ứng vật lý quen thuộc có vai trò không

kém phần quan trọng. Trong số các hiệu ứng này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến các
hiệu ứng liên quan đến tương tác electron-phonon khi có mặt của điện trường, từ trường,
đó là: hiệu ứng tạo ra phonon (phonon generation) do hấp thụ năng lượng của điện trường
ngoài; hiệu ứng cộng hưởng tham số (parametric resonance) của hai loại phonon âm và
phonon quang dưới tác dụng của trường laser; hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon khi
có mặt trường laser và cộng hưởng cyclotron khi có mặt cả điện trường và từ trường.
Trong số các hiệu ứng trên, hiệu ứng tạo ra phonon và hiệu ứng cộng hưởng tham số là
các hiệu ứng quen thuộc nhưng những đặc tính mới là những đặc tính sinh ra do sự giam
giữ của cả electron và phonon. Trong khi đó, hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon và
cộng hưởng cyclotron là những hiệu ứng chỉ sinh ra trong các hệ có phổ năng lượng của
electron bị lượng tử hóa do hiệu ứng giảm kích thước hoặc trường ngoài.
Hiệu ứng tạo ra phonon là hiệu ứng trong đó khí electron hấp thụ năng lượng của
trường laser để kích thích các dao động mạng, nhờ đó mà các phonon được sinh ra. Hiệu
ứng này có nhiều ứng dụng như: biến điệu tín hiệu quang học, biến điệu dòng điện, điều
khiển dịch chuyển electron nhờ các phonon, Hiệu ứng tạo ra phonon đã được nghiên
cứu trong bán dẫn khối [82, 88]; trong một số loại bán dẫn thấp chiều như giếng lượng
tử [46, 47, 74, 75, 100], siêu mạng [24], dây lượng tử [63]. Tuy các tác giả đã nghiên cứu
nhiều đặc trưng khác nhau, nhưng chưa xét đến tính giam giữ phonon do hiệu ứng giảm
kích thước. Vì vậy, việc nghiên cứu một cách có hệ thống với một số vấn đề chưa nghiên
cứu được thực hiện trong luận án.
Hiệu ứng cộng hưởng tham số của hai loại phonon cho thấy cơ chế về sự chuyển hóa
năng lượng giữa hai kích thích cùng loại dưới tác dụng của điện trường ngoài [14, 59, 69,
71, 91, 97]. Tương tác tham số và biến đổi tham số như thế dẫn đến sự suy giảm của loại
phonon này và gia tăng của một loại phonon khác khi điều kiện gia tăng tham số được
2
thỏa mãn. Hiệu ứng cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang khi có mặt
điện trường đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối [6, 11, 52], trong hố lượng tử [65] và
ảnh hưởng của sự giam cầm của phonon do hiệu ứng giảm kích thước lên hiệu ứng cộng
hưởng tham số mới chỉ được nghiên cứu ở hệ chuẩn hai chiều, còn đối với hệ chuẩn một
chiều thì theo chúng tôi biết chưa có một nghiên cứu nào.

Hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon xảy ra khi hiệu năng lượng giữa hai mức
của electron trong vật liệu bằng năng lượng của phonon quang. Nghiên cứu cộng hưởng
electron-phonon cho các thông tin về cấu trúc, xác suất tán xạ electron-phonon trong
vật liệu, cho phép xác định được khối lượng hiệu dụng của electron, phổ năng lượng, xác
định khoảng cách giữa các mức năng lượng của electron, Hiệu ứng cộng hưởng electron-
phonon đã được quan tâm nghiên cứu cả lí thuyết [37, 39] và thực nghiệm [95, 96] đối với
bán dẫn chuẩn hai chiều [51], chuẩn một chiều [50, 53]. Tuy nhiên, việc nghiên cứu ảnh
hưởng của sự giam cầm phonon do hiệu ứng giảm kích thước lên hiệu ứng cộng hưởng
electron-phonon vẫn chưa được quan tâm nghiên cứu. Ngoài ra, các công trình nghiên cứu
về cộng hưởng electron-phonon chủ yếu là tính toán giải tích chỉ ra cơ chế cộng hưởng,
kết quả tính toán số và xác định độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng mới chỉ thu được
đối với bán dẫn khối và giếng lượng tử. Vì vậy, trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu
ảnh hưởng của sự giam giữ phonon do hiệu ứng giảm kích thước lên độ rộng vạch phổ dò
tìm cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử khi có mặt sóng điện từ.
Hiệu ứng cộng hưởng cyclotron xảy ra khi năng lượng của photon bằng năng lượng
cyclotron. Nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng cyclotron cho ta các thông tin về cấu trúc,
xác suất tán xạ electron-phonon trong vật liệu, xác định được khối lượng hiệu dụng của
electron, Hiệu ứng này đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối [16, 17], hệ chuẩn hai
chiều [72, 76, 81, 87] và hệ chuẩn một chiều [68], tuy nhiên vẫn dựa trên giả thiết phonon
là phonon khối. Ngoài ra, cho đến nay theo chúng tôi được biết chưa có công trình nghiên
cứu lý thuyết nào xác định được độ rộng vạch phổ cộng hưởng electron-phonon, cũng như
cộng hưởng cyclotron.
3
Tóm lại, các hiệu ứng nói trên xảy ra trong các bán dẫn thấp chiều trong đó có dây
lượng tử đang được quan tâm nghiên cứu. Hơn nữa, bên cạnh sự giam giữ electron thì sự
giam giữ phonon do hiệu ứng giảm kích thước cũng đóng vai trò quan trọng trong bài toán
tương tác electron-phonon. Sự giam giữ phonon làm tăng tốc độ tán xạ electron-phonon
và sự phi tuyến trong quan hệ tán sắc của phonon âm và làm thay đổi mật độ trạng thái
phonon [85]. Các trạng thái polaron bị ảnh hưởng bởi các thay đổi trong Hamiltonian
Frohlich gây ra bởi sự giam giữ phonon. Do vậy, sự giam giữ phonon cần phải được đưa

vào tính toán để mô hình vật lý gần với thực tế. Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài nghiên
cứu “Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên một số tính chất vật lý
của hệ điện tử chuẩn một chiều dưới tác dụng của trường sóng điện từ” với
các vấn đề còn bỏ ngỏ nói trên.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận án là nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon do hiệu ứng
giảm kích thước lên các tính chất của hiệu ứng tạo ra phonon, cộng hưởng tham số giữa
hai loại phonon, cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng cyclotron dưới tác dụng của
trường laser, từ trường.
3. Nội dung nghiên cứu
Các nội dung cụ thể cần nghiên cứu bao gồm:
Thứ nhất, nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon do hiệu ứng giảm kích
thước lên điều kiện và tốc độ tạo ra phonon. Cụ thể là, thiết lập phương trình động lượng
tử cho phonon bị giam giữ, tìm biểu thức giải tích cho điều kiện và tốc độ tạo ra phonon
giam giữ; tính số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ tạo ra phonon vào các tham số
của hệ và tham số của trường sóng laser cho cả hai trường hợp phonon bị giam giữ và
phonon khối, so sánh kết quả thu được của hai trường hợp để tìm ra ảnh hưởng của sự
giam giữ của phonon.
4
Thứ hai, nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng tham số giữa hai loại phonon âm giam
cầm và phonon quang giam cầm để tìm ra ảnh hưởng của sự giam cầm phonon do hiệu
ứng giảm kích thước. Cụ thể, thiết lập hệ phương trình động lượng tử cho hai loại phonon
giam cầm, tìm biểu thức giải tích cho trường ngưỡng để có sự gia tăng tham số của phonon
âm giam cầm, hệ số biến đổi tham số giữa phonon quang giam cầm thành phonon âm
giam cầm, tính số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của các đại lượng này vào số sóng của phonon,
các tham số của dây trong cả hai trường hợp phonon bị giam cầm và phonon khối, so
sánh kết quả thu được của hai trường hợp.
Thứ ba, nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam cầm phonon do hiệu ứng giảm kích
thước lên điều kiện và độ rộng vạch phổ dò tìm cộng hưởng electron-phonon và cộng
hưởng cyclotron. Cụ thể, thiết lập biểu thức giải tích tường minh cho công suất hấp thụ

trong đó phonon bị giam giữ khi có mặt điện trường, khảo sát sự phụ thuộc của công suất
hấp thụ vào năng lượng photon, xác định vị trí các đỉnh cộng hưởng, khảo sát độ rộng
vạch phổ của các đỉnh cộng hưởng trong cả hai trường hợp phonon giam cầm và phonon
khối.
Các nội dung trên được nghiên cứu đối với hai loại dây lượng tử khác nhau (dây
lượng tử hình chữ nhật, dây lượng tử hình trụ) và với hai cơ chế tương tác chủ yếu là
tương tác electron-phonon âm và tương tác electron-phonon quang. Bên cạnh đó, luận án
còn chỉ ra hướng ứng dụng của các kết quả thu được.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phương trình động lượng tử [1] được sử dụng để nghiên cứu hai hiệu
ứng là tạo ra phonon và cộng hưởng tham số giữa hai loại phonon. Sự khác nhau của
việc áp dụng phương pháp trong việc nghiên cứu hai hiệu ứng là ở chỗ khi nghiên cứu
hiệu ứng tạo ra phonon ta chỉ cần thiết lập một phương trình động lượng tử cho một loại
phonon, trong khi đó, để nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng tham số của hai loại phonon ta
5
phải thiết lập một hệ phương trình động lượng tử cho cả hai loại phonon. Phương trình
tán sắc sẽ được thu nhận từ các phương trình động lượng tử nhờ sử dụng phương pháp
chuyển phổ Fourier và phép biến đổi Fourier-Laplace [7]. Giải phương trình tán sắc ta tìm
được phổ phonon, từ đó thiết lập được điều kiện cộng hưởng tham số và biến đổi tham
số giữa hai loại phonon.
Đối với hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng cyclotron, chúng tôi sử
dụng phương pháp toán tử chiếu. Phương pháp này cho phép ta đưa ra được biểu thức
tường minh của công suất hấp thụ, trong đó chứa các thông tin về mô hình tương tác và
có thể tính toán giải tích đến mức độ cần thiết. Để xác định độ rộng vạch phổ, chúng tôi
sử dụng “phương pháp profile” do nhóm đề xuất [67, 68]. Đây là phương pháp tính số cho
phép xác định độ rộng vạch phổ từ đồ thị mô tả sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
năng lượng photon thông qua xác định profile của đường cong với sự hỗ trợ của các phần
mềm tính toán như Mathematica, Matlab,
Các phương pháp mà chúng tôi sử dụng đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước
sử dụng có hiệu quả vào nghiên cứu các tính chất quang và tính chất động trong bán

dẫn [32, 94]. Khi áp dụng cho các bán dẫn thấp chiều, các phương pháp trên thể hiện có
nhiều ưu điểm vì các bán dẫn thấp chiều có phổ năng lượng dị hướng. Ngoài ra, các hiệu
ứng dịch chuyển thường do sự thay đổi mật độ hạt theo thời gian gây nên, do đó việc xác
lập phương trình động học là điều cần thiết. “Phương pháp profile” được nhóm chúng tôi
phát triển dựa trên khái niệm về độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng tại một nửa của
độ cao cực đại với sự hỗ trợ của máy tính. Bởi vậy, hướng nghiên cứu của chúng tôi thuộc
về khoa học vật liệu tính toán (Computational Material Science).
5. Phạm vi nghiên cứu
Các hiệu ứng vật lý được nghiên cứu trong luận án chủ yếu dựa trên tương tác
của hệ electron-phonon và trường ngoài. Tuy nhiên để đơn giản cho tính toán nhưng vẫn
6
không làm giảm ý nghĩa vật lý, luận án sử dụng giả thiết tương tác electron-phonon được
coi là trội, bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại. Ngoài ra, luận án sử dụng lý thuyết
phản ứng tuyến tính tức chỉ xét đến các cộng hưởng bậc một.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Luận án đề cập đến lý thuyết lượng tử về các hiệu ứng liên quan đến sự giam giữ
phonon do hiệu ứng giảm kích thước trong dây lượng tử khi có mặt sóng điện từ và từ
trường ngoài. Kết quả tính số và vẽ đồ thị được giải thích và có khả năng đối chiếu với
thực nghiệm, từ đó có thể khẳng định được tính đúng đắn của vấn đề đang nghiên cứu.
Luận án cũng chỉ ra khả năng tạo ra phonon nhờ hiệu ứng vận tốc kéo theo và sự chuyển
hóa năng lượng giữa các loại kích thích. Bên cạnh đó, trong chương bốn chúng tôi cũng
chỉ ra khả năng sử dụng trường sóng điện từ ngoài để dò tìm cộng hưởng, từ đó xác định
khoảng cách giữa các mức năng lượng của electron trong vật liệu, xác định khối lượng
hiệu dụng của electron,
Về mặt phương pháp, việc áp dụng phương pháp phương trình động lượng tử, phương
pháp toán tử chiếu với kỹ thuật toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái và kỹ thuật toán tử
chiếu độc lập trạng thái cho các bài toán khác nhau thu được nhiều kết quả hợp lý, khẳng
định khả năng, tính hiệu quả và sự đúng đắn khi nghiên cứu các tính chất quang và tính
chất động trong bán dẫn thấp chiều nói chung, dây lượng tử nói riêng. Các phương pháp
này có độ tin cậy cao về mặt khoa học vì đều dựa trên ý tưởng là tăng tốc độ hội tụ của

chuỗi nhờ đưa về dạng liên phân số vô hạn liên tục (kiểu của Mori). Điểm mới trong luận
án là áp dụng "phương pháp profile" để xác định độ rộng vạch phổ của các đỉnh cộng
hưởng thu được từ đồ thị của công suất hấp thụ vào năng lượng của photon. Đây là đại
lượng có thể xác định bằng thực nghiệm, bởi vậy kết quả của luận án có thể được sử dụng
để so sánh khi có kết quả đo đạc thực nghiệm tương ứng được công bố.
Bên cạnh tầm quan trọng về nội dung và phương pháp, kết quả nghiên cứu của luận
7
án cũng có thể đóng góp một phần nhỏ bé vào sự phát triển khoa học vật lý nanô trong
việc cung cấp các thông tin về các tính chất của dây lượng tử bán dẫn cần thiết cho công
nghệ chế tạo các linh kiện điện tử bằng vật liệu nanô hiện nay.
7. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận
án và các tài liệu tham khảo, phần nội dung của luận án gồm 4 chương, 16 mục với 1
hình vẽ, 20 đồ thị được bố trí như sau:
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số vấn đề tổng quan về bán dẫn dây lượng
tử, phổ năng lượng, hàm sóng của electron trong các loại dây, phương pháp phương trình
động lượng tử cho phonon và phương pháp toán tử chiếu. Trong chương 2, chúng tôi sử
dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho phonon để nghiên cứu hiệu ứng gia
tăng phonon do hấp thụ năng lượng của trường laser. Trong chương 3, sử dụng phương
pháp phương trình động lượng tử cho phonon chúng tôi nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng
tham số của phonon âm giam cầm và phonon quang giam cầm. Trong chương 4, chúng
tôi nghiên cứu độ rộng vạch phổ của các đỉnh dò tìm cộng hưởng electron-phonon và cộng
hưởng cyclotron.
Trong toàn bộ luận án, các kết quả khảo sát đều được thực hiện đối với cả dây lượng
tử hình trụ và dây lượng tử hình chữ nhật. Để làm nổi bật ảnh hưởng của sự giam giữ
phonon do hiệu ứng giảm kích thước, chúng tôi đã sử dụng phương pháp so sánh kết quả
thu được của trường hợp phonon giam cầm với trường hợp phonon không giam cầm.
Các kết quả nghiên cứu chính của luận án đã được công bố trong 4 bài báo đăng ở
các tạp chí nước ngoài và 2 báo cáo đăng ở tuyển tập các báo cáo ở Hội nghị Vật lý quốc
gia và quốc tế. Trong số 4 bài báo quốc tế có 3 bài đăng trong các tạp chí Journal of the

Korean Physical Society, Superlattices and Microstructures và Physica E là các tạp chí
thuộc hệ thống ISI.
8
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
Chương này trình bày một số vấn đề tổng quan về dây lượng tử, phổ năng lượng và
hàm sóng của electron trong cả hai loại dây lượng tử khi có mặt điện trường và từ trường
trong đó phonon bị giam giữ, phương pháp phương trình động lượng tử cho phonon và
phương pháp toán tử chiếu.
1.1. Tổng quan về dây lượng tử
Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa trên số chiều không gian mà hạt mang
điện có thể chuyển động tự do. Từ đó, ta có các hệ bán dẫn thấp chiều sau: giếng lượng
tử và siêu mạng (2 chiều), dây lượng tử (1 chiều), chấm lượng tử (0 chiều). Vì vậy, dây
lượng tử được xem là vật dẫn điện mà trong đó electron bị giam giữ theo hai chiều và
chuyển động tự do theo một chiều còn lại. Do tính chất bị giam giữ nên hàm sóng và
năng lượng của electron theo hai chiều bị lượng tử hóa và có dạng tùy thuộc vào dạng
thế giam giữ electron. Hàm sóng của electron theo chiều tự do là sóng phẳng De Broglie
ứng với năng lượng có giá trị liên tục.
1.1.1. Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử khi không
có từ trường
Một cách tổng quát, phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử
thu được bằng cách giải phương trình Schr¨odinger cho electron
ψ(r) +
2m
e

2
[E − U(r)] ψ(r) = 0, (1.1)
9
trong đó m

e
là khối lượng hiệu dụng của electron, U(r) là thế năng giam giữ do hiệu ứng
giảm kích thước gây ra. Thông thường, để tiện lợi cho việc khảo sát ta giả sử electron
chuyển động tự do theo phương z và bị giam giữ trong mặt phẳng (x, y) của hệ tọa độ
Descartes. Từ đó thế năng U(r) được phân tích thành hai thành phần
U(r) = U(x, y, z) = U(x, y) + U(z),
trong đó U(z) = 0 do giả thiết hiệu ứng giảm kích thước xảy ra đối với hai chiều x và
y; electron tự do theo phương z. Vì chuyển động của electron theo phương z độc lập với
chuyển động trong mặt phẳng (x, y) nên phương trình (1.1) có thể tách thành hai phương
trình
Ψ(z) +
2m
e

2
E
z
Ψ(z) = 0, (1.2)
Φ(x, y) +
2m
e

2
[E
x,y
− U(x, y)]Φ(x, y) = 0, (1.3)
trong đó Ψ(z) và E
z
trong phương trình (1.2) lần lượt là hàm sóng và năng lượng của
electron ứng với chuyển động theo trục z; E

x,y
và Φ(x, y) trong phương trình (1.3) lần
lượt là năng lượng và hàm sóng của electron trong mặt phẳng (x, y). Phương trình (1.2)
có nghiệm
E
z
=

2
k
2
z
2m
e
; Ψ(z) =
1
√
L
z
e
ik
z
z
,
với k
z
là thành phần véctơ sóng

k theo trục z, L
z

là kích thước của dây theo phương z.
Phương trình (1.3) cho nghiệm là E
x,y
và Φ(x, y) với dạng cụ thể phụ thuộc vào dạng của
thế năng U(x, y). Do đó, hàm sóng và phổ năng lượng toàn phần của electron trong dây
lượng tử dưới dạng
ψ(x, y, z) =
e
ik
z
z
√
L
z
Φ(x, y), (1.4)
ε(k
z
) = E
x,y
+

2
k
2
z
2m
e
. (1.5)
Sau đây ta xét hai loại dây lượng tử bán dẫn được áp dụng trong luận án, đó là dây
lượng tử hình trụ với hố thế sâu vô hạn và dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế sâu vô

hạn.
10
.
.
z
R
0
x
φ
z
0
x
L
y
L
x
y
Hình 1.1: Mô hình dây lượng tử hình trụ (bên trái) và hình chữ nhật (bên phải)
+ Dây lượng tử hình trụ với hố thế sâu vô hạn
Xét dây lượng tử hình trụ có bán kính tiết diện R, chiều dài L
z
(L
z
 R). Chọn hệ
tọa độ trụ (r, ϕ, z) sao cho trục của dây hướng dọc theo trục z. Giả thiết thế năng giam
giữ electron trong dây này có dạng
U(x, y) ≡ U(r, ϕ) =




0 khi r ≤ R,
∞ khi r > R.
Việc tìm phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử là một bài
toán cơ học lượng tử nhờ việc sử dụng phương pháp phân ly biến số được trình bày trong
hầu hết các tài liệu về cơ học lượng tử, chẳng hạn như trong [3, 4]. Hàm riêng và trị riêng
tương ứng với phương trình (1.3) có dạng
Φ
,j
(r, ϕ) =
1
√
πRJ
+1
(x
,j
)
J

(x
,j
r
R
)e
iϕ
,
(1.6)
E
,j
=


2
x
2
,j
2m
e
R
2
, (1.7)
trong đó  = , −1, 0, 1, là số lượng tử phương vị; j = 1, 2, 3, là số lượng tử xuyên
tâm; x
,j
là nghiệm thứ j của hàm Bessel bậc , tức là J

(x
,j
) = 0.
Hàm sóng toàn phần của electron bị giam giữ trong dây lượng tử hình trụ có thế
11
sâu vô hạn tương ứng với phương trình (1.1) có dạng [93]
ψ
,j,k
z
(r, ϕ, z) =
e
ik
z
z
√
L

z
C
,j
J


x
,j
r
R

e
iϕ
, (1.8)
với phổ năng lượng toàn phần tương ứng
ε
,j
(k
z
) =

2
k
2
z
2m
e
+

2

(x
,j
)
2
2m
e
R
2
, (1.9)
trong đó C
,j
= 1/(
√
πy
,j
R) là hệ số chuẩn hóa và y
,j
= J
+1
(x
,j
).
+ Dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế sâu vô hạn
Xét dây lượng tử có tiết diện ngang là hình chữ nhật. Ta chọn hệ trục tọa độ
Descartes sao cho trục của dây hướng dọc theo trục z. Ký hiệu kích thước của dây theo
các phương lần lượt là L
x
, L
y
và L

z
(L
z
 L
x
, L
y
). Giả thiết thế năng giam giữ electron
là thế vô hạn và có dạng
U(x, y) =



0, khi: 0 ≤ x ≤ L
x
, 0 ≤ y ≤ L
y
∞, khi: x < 0, x > L
x
, y < 0, y > L
y
.
Hàm riêng và trị riêng tương ứng với phương trình (1.3) có dạng [2]
Φ
,j
(x, y) =
2

L
x

L
y
sin

πx
L
x

sin

jπy
L
y

, (1.10)
E
,j
=

2
π
2
2m
e


2
L
2
x

+
j
2
L
2
y

, (1.11)
với , j = 1, 2, 3
Hàm sóng và phổ năng lượng toàn phần của electron trong dây lượng tử hình chữ
nhật tương ứng với phương trình (1.1) có dạng
ψ
,j,k
z
(x, y, z) =
1
√
L
z
e
ik
z
z
2

L
x
L
y
sin


πx
L
x

sin

jπy
L
y

,
(1.12)
ε
,j
(k
z
) =

2
k
2
z
2m
e
+

2
π
2

2m
e


2
L
2
x
+
j
2
L
2
y

. (1.13)
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử khi có
mặt từ trường
+ Dây lượng tử hình trụ với hố thế sâu vô hạn
12
Bài toán chuyển động của electron trong dây lượng tử hình trụ khi có mặt từ trường
không đổi hướng dọc theo trục của dây đối với trường hợp hố thế sâu vô hạn đã được
giải bởi Rensink [70] và Branis [13], trong đó phương trình Schr¨odinger cho electron bên
trong dây lượng tử có dạng
Hψ = −

2
2m
e


1
r
∂
∂r

r
∂
∂r

+
1
r
2
∂
2
∂φ
2
+
∂
2
∂z
2

ψ +
m
e
ω
2
c
8

r
2
ψ +
ω
c
2i
ψ + U(r, φ)ψ = Eψ.
(1.14)
Giải phương trình này ta thu được hàm sóng [13]
ψ
,j,k
z
(r, φ, z) =
Y
√
2πL
z
e
iφ
e
ik
z
z
e
−ξ/2
ξ
||/2
F
1
(−a

||,j
, || + 1; ξ) (1.15)
và phổ năng lượng của electron bên trong dây lượng tử được cho bởi biểu thức [13]
ε
,j
(k
z
) =

2
k
2
z
2m
e
+ ω
c

a
||,j
+

2
+
1
2
+
||
2


, (1.16)
trong đó ω
c
= eB/m
e
là tần số cyclotron; ξ = r
2
/(2a
2
c
), với a
c
= (/eB)
1/2
là bán kính
cyclotron; đại lượng F
1
(−a
||,j
|| + 1; ξ) là dạng tổng quát của hàm siêu bội [26, 64]; giá
trị của a
||,j
được xác định bởi điều kiện biên tại đó hàm sóng bị triệt tiêu, nghĩa là
F
1
(−a
||,j
, || + 1; ξ
R
) = 0, với ξ

R
= R
2
/2a
2
c
; thừa số chuẩn hóa Y được xác định từ biểu
thức
Y
−2
= a
2
c

ξ
R
0
e
−ξ
ξ
||
F
2
1
(−a
||,j
, || + 1; ξ). (1.17)
Ta thấy rằng phổ năng lượng của electron thu được ở đây khác với trường hợp của
electron không bị giam cầm vì a
||,j

không phải là một số nguyên. Tuy nhiên, Rensink đã
chỉ ra rằng khi từ trường rất mạnh, tức bán kính của dây lượng tử lớn hơn rất nhiều so
với bán kính cyclotron a
c
, lúc đó các trị riêng a
||,j
sẽ trở thành một số nguyên không âm.
Hàm sóng và phổ năng lượng của electron đối với trường hợp từ trường rất mạnh được
đặc trưng bởi hai số lượng tử N,  và được cho bởi [13]
ψ
N,,k
z
(r, φ, z) ≡ |N, , k
z
>=
1
√
2πL
e
iφ
e
ik
z
z
Φ
N,
(r), (1.18)
ε
N,
(k

z
) =

2
k
2
z
2m
e
+ ω
c

N +

2
+
1
2
+
||
2

, (1.19)
13
trong đó hàm sóng xuyên tâm Φ
N,
(r) được xác định bởi biểu thức
Φ
N,
(r) =


(N + ||)!
N!
1
a
c
||!
e
−ξ/2
ξ
||/2
F
1
(−N, || + 1; ξ), (1.20)
với a
||,j
trùng với chỉ số mức Landau N, N = 0, 1, 2, .
Trong trường hợp giới hạn từ trường rất yếu, bằng cách khai triển phương trình
(1.15) thành các số hạng có chứa hàm Bessel, Rensink đã thu được biểu thức của hàm
sóng và phổ năng lượng như sau
ψ
,j,k
z
(r, φ, z) ≡ |N, , k
z
>=
1
√
2πR
2

L
e
iφ
e
ik
z
z
1
J
||+1
(x
||,j
)
J
||

x
||,j
r
R

, (1.21)
ε
,j
(k
z
) =

2
k

2
z
2m
e
+ ω
c
||
2
+

2
x
2
||,j
2m
e
R
2
, (1.22)
trong đó a
||,j
= x
||,j
/4ξ
R
−||/2 − 1/2, với x
||,j
là nghiệm thứ j của hàm Bessel bậc ||.
+ Dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế sâu vô hạn
Xét mô hình dây lượng tử hình chữ nhật, khi đó khí electron chuyển động tự do

theo trục z, bị giam giữ theo các phương x, y bởi các thế vuông góc sâu vô hạn. Khi có
mặt từ trường tĩnh

B hướng theo trục Oz (

B||z) thì thế véctơ có dạng

A = (−By, 0, 0).
Sử dụng phép gần đúng khối lượng hiệu dụng cho electron bị giam cầm trong dây lượng
tử, hàm sóng ψ
N,,k
z
(x, y, z) và phổ năng lượng ε
N,
(k
z
) của electron có dạng
ψ
N,,k
z
(x, y, z) ≡ |N, , k
z
>= φ
N
(y −y
0
)θ

(x)
1

√
L
z
exp(ik
z
z), (1.23)
ε
N,
(k
z
) =

N +
1
2

ω
c
+ E

+

2
k
2
z
2m
e
, (1.24)
với φ

N
(y −y
0
) là hàm điều hòa có tâm tại y = y
0
= −k
z
/(m
e
ω
c
), có dạng
φ
N
(y −y
0
) =
1
(
√
π2
N
N!a
c
)
1/2
exp

−
1

2a
2
c
(y −y
0
)
2

H
N

y −y
0
a
c

(1.25)
và
θ

(x) =

2
L
x
sin

π
L
x

x

, (1.26)
E

= 
2

2
π
2
2m
e
L
2
x
, (1.27)
trong đó H
N
(y) là đa thức Hermite bậc N đối số y.
14
1.2. Phương pháp phương trình động lượng tử cho phonon trong
bán dẫn
Trong phần này, trước hết chúng ta thiết lập phương trình động lượng tử cho phonon
trong bán dẫn khi có mặt trường điện biến thiên. Khảo sát tương tác của hệ electron-
phonon trong bán dẫn đặt trong trường laser (sóng điện từ mạnh) có véctơ cường độ điện
trường

E(t) =


E
0
sin ωt, trong đó E
0
và ω tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện
từ. Thế véctơ tương ứng là

A(t) =
c
ω

E
0
cos ωt =

A
0
cos ωt, với c là vận tốc ánh sáng trong
chân không. Nếu bỏ qua các tương tác của các hạt cùng loại (tương tác electron-electron,
phonon-phonon) thì Hamiltonian của hệ electron-phonon, H = H
e
+H
ph
+H
e−ph
, có dạng
H =


k

ε(

k −
e
c

A(t))c
+

k
c

k
+

q
ω
q
b
+
q
b
q
+

q,

k
M(q)c
+


k+q
c

k
(b
+
−q
+ b
q
), (1.28)
trong đó c
+

k
và c

k
(b
+
q
và b
q
) lần lượt tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy electron
(phonon); |

k và |

k + q là trạng thái của electron trước và sau khi tán xạ;


k và q lần lượt
là véctơ sóng của electron và phonon; ω
q
là năng lượng của phonon; M(q) là yếu tố ma
trận tương tác electron-phonon, được xác định bởi công thức
M(q) = V (q)

k|e
iqr
|

k + q = V (q)I(q),
(1.29)
trong đó r là véctơ vị trí của electron; I(q) là thừa số dạng của electron trong tương tác
khi có trường laser; V (q) là hệ số tương tác electron-phonon, có dạng thuộc vào từng loại
phonon; . Đối với tương tác electron-phonon âm, ta có [17]


V (q)


2
≡


D(q)


2
=

κ
2
q
2ρv
a
V
0
, (1.30)
trong đó κ là hằng số thế biến dạng, v
a
là vận tốc sóng âm, ρ là mật độ tinh thể và V
0
là
thể tích chuẩn hóa. Đối với tương tác electron-phonon quang, ta có [89]


V (q)


2
≡


C(q)


2
=
e
2

ω
0
2V
0
χq
2

1
χ
∞
−
1
χ
0

, (1.31)
trong đó χ là hằng số điện, χ
∞
và χ
0
lần lượt là độ thẩm điện môi cao tần và tĩnh,
ω
0
=const là tần số phonon quang không tán sắc.
15