Phân rã boson vô hướng thành hai muon

Mục lục
Mở đầu 1
1 Tổng quan về hạt Higgs 5
1.1 Higgs trong mô hình tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tương tác giữa Higgs boson với nhau và với trường chuẩn . . . . 8
1.3 Tương tác giữa Higgs boson với fermion . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Các quá trình sinh ra hạt Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Các kênh phân rã của Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Phân rã hạt Higgs thành hai muon 15
2.1 Lý thuyết chung cho các quá trình tán xạ và phân rã . . . . . . . 15
2.2 Phân rã hạt Higgs thành hai muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Bổ chính một vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Các giản đồ năng lượng riêng của Higgs . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Tái chuẩn hóa khối lượng và hàm truyền hạt Higgs . . . . 38
3 Kết quả số và đối chiếu số liệu thực nghiệm 45
Kết luận 51
Tài liệu tham khảo 52
Phụ lục 54
A Một số công thức 54
B Một số quy tắc Feynman 57
Mở đầu
Từ thực nghiệm vật lý hiện nay chúng ta có thể cho rằng các hạt vi mô liên kết
với nhau thông qua bốn loại lực cơ bản: mạnh, yếu, điện từ và hấp dẫn. Đa phần
các hiện tượng vật lý xuất hiện trong tự nhiên, dù phức tạp đến bao nhiêu, cũng
có thể giải thích được trên cơ sở của bốn loại tương tác đó. Trong suốt một thời
gian dài, các nhà vật lý đã không ngừng nỗ lực tìm cách thống nhất các tương
tác này lại với nhau, tức là tìm kiếm một lý thuyết duy nhất có khả năng mô tả
cả 4 loại tương tác. Thống nhất các tương tác trên cùng một nền tảng sẽ giúp
ta có cái nhìn toàn diện, sâu sắc hơn về bản chất các hiện tượng, các mối quan
hệ động lực giữa chúng, đồng thời cũng từ đó đưa ra hàng loạt các tiên đoán
mới.

Một trong những phát kiến quan trọng là lý thuyết trường chuẩn, được coi
như sự tổng quát hóa Điện động lực học Maxwell. Ý tưởng cơ bản của lý thuyết
trường chuẩn là tìm được một nhóm các phép biến đổi trong liên tục thích hợp
cho trường chất, gọi là nhóm chuẩn, sao cho, lý thuyết về trường chất sẽ bất
biến đổi với nhóm chuẩn đó. Điều này đòi hỏi phải đưa thêm vào các trường
thế vector, gọi là trường chuẩn, với vai trò là trường truyền tương tác giữa các
trường chất. Tùy theo từng nhóm chuẩn cụ thể ta sẽ thu được các lý thuyết
tương tác khác nhau. Chẳng hạn, nếu nhóm chuẩn là nhóm U(1), ta sẽ có lý
thuyết tương tác điện từ. Nếu nhóm chuẩn là nhóm SU(2), ta sẽ có lý thuyết
tương tác yếu. Nếu chọn nhóm chuẩn là nhóm tích trực tiếp U(1)
Y
×SU(2)
L
, ta
sẽ được lý thuyết tương tác điện yếu
Tuy vậy, lý thuyết trường chuẩn cho tương tác yếu lại gặp phải một khó
khăn nghiêm trọng. Tính bất biến chuẩn kéo theo các trường chuẩn truyền
tương tác yếu phải có khối lượng bằng không. Trong khi đó, trên thực tế, các
hạt truyền tương tác yếu W
±
, Z
0
đều có khối lượng đáng kể, gấp gần trăm lần
khối lượng proton. Để giải quyết khó khăn này, Peter Higgs đã đề xuất phương
1
án đưa thêm vào một lưỡng tuyến trường vô hướng mà sau này được gọi là
trường Higgs. Lagragian của trường Higgs không có số hạng khối lượng thích
hợp nhưng lại có chân không suy biến. Chính nhờ sự suy biến này và thông qua
một cơ chế, sau này dược gọi là cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát, sẽ sinh ra các hạt
Nambu-Goldstone không khối lượng. Tương tác giữa các hạt Nambu-Goldstone

và trường chuẩn sẽ làm cho trường chuẩn trở nên có khối lượng, đồng thời xuất
hiện thêm một hạt boson vô hướng có khối lượng gọi là hạt Higgs. Cơ chế sinh
khối lượng cho trường chuẩn như trên được gọi là cơ chế Higgs.
Dựa vào ý tưởng trên, năm 1960, Weinberg-Salam đề xuất một mô hình
thống nhất tương tác điện từ và yếu với nhau thành một tương tác duy nhất,
gọi là tương tác điện yếu, với nhóm chuẩn được chọn là nhóm tích trực tiếp
U(1)
Y
× SU(2)
L
. Tiếp đó, mô hình Weinberg-Salam đã được mở rộng ra cho
nhóm chuẩn U(1)
Y
×SU(2)
L
×SU(3)
C
, trở thành một mô hình có khả năng mô
tả đồng thời 3 loại tương tác: tương tác điện từ, yếu và mạnh. Mô hình như trên
được gọi là Mô hình tiêu chuẩn (Standard model - SM).
Hiện thời, Mô hình tiêu chuẩn vẫn đang được hoàn thiện và mở rộng. Nếu
chọn nhóm chuẩn là một nhóm đơn chứa nhóm chuẩn của standard model, ví dụ
SU(5), ta sẽ dược lý thuyết thống nhất lớn (Grand Unified Theory – GUT). Nếu
xét đến siêu đối xứng, mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (Minimum
Supersymmetric Standard Model-MSSM) với nhóm chuẩn vẫn là của SM, các
trường được thay bằng các siêu trường, một lưỡng tuyến Higgs được thay bằng
hai lưỡng tuyến, nó sẽ có tới 5 hạt Higgs. Ngoài một hạt được coi là hạt Higgs
SM, 4 hạt còn lại có thể tham gia cùng các siêu hạt khác để tạo nên hạt cơ bản
của vật chất tối và năng lượng tối.
Đến nay, SM hoặc mở rộng của nó (MSSM) vẫn được xem như lý thuyết

thành công cho ba trong bốn tương tác cơ bản của vật chất, giải thích được hầu
hết các kết quả thực nghiệm và dự đoán được nhiều hiện tượng mà sau đó đã
được thực nghiệm kiểm chứng. Một trong số những thành tựu đó là dự đoán
được sự tồn tại của dòng trung hòa, của hạt boson tương tác yếu W
±
, Z, và của
quark c. Nếu tìm thấy hạt Higgs bằng thực nghiệm, tính đúng đắn của Mô hình
tiêu chuẩn và cơ chế Higgs sẽ không cần bàn cãi.
Trong suốt hơn 40 năm trước đây, công cuộc tìm kiếm hạt Higgs hầu như
không có kết quả mong muốn. Có những lúc các nhà vật lý đã tính đến việc
tìm kiếm các phương án khác nhau thay thế cho cơ chế Higgs. Do mô hình tiêu
2
chuẩn có quá nhiều tham số nên việc tiên đoán phạm vi khối lượng khả dĩ của
hạt Higgs trở nên rất khó khăn, điều này làm cho việc tìm kiếm trở nên dàn
trải, cực kỳ tốn kém mà vẫn chưa có được kết quả cần thiết.
May mắn thay, vào tháng 7 năm 2012, các thí nghiệm ATLAS và CMS tại
Máy va chạm hadron khổng lồ (Large Hadron Collider - LHC) của CERN đã
phát hiện ra một hạt boson vô hướng mới, với khối lượng vào khoảng 126 GeV,
có khả năng là ứng cử viên sáng giá cho hạt Higgs. Trong suốt 8 tháng tiếp đó,
nhiều thí nghiệm đã được thực hiện nhằm xác minh các tính chất vật lý của
loại hạt mới này thông qua các quá trình phân rã và tương tác của nó với các
hạt khác. Đến tháng 3 năm 2013, các nhà khoa học đã thu thập được khá nhiều
bằng chứng để xác định hạt boson mới này chính là hạt Higgs boson. Điều này
đánh dấu một mốc quan trọng trong vật lý hạt cơ bản là việc xác minh tính
đúng đắn của cơ chế Higgs. Hiện nay, nhiều nghiên cứu quy mô vẫn đang được
tiến hành nhằm đạt đến một hiểu biết sâu sắc hơn về tính chất của loại hạt mới
này, đặc biệt là xác định xem đây là hạt Higgs được dự đoán trong Mô hình tiêu
chuẩn hay là một trong các hạt Higgs trong các Mô hình tiêu chuẩn mở rộng.
Tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi này đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Nội
dung của luận văn này là góp một phần nhỏ vào công việc đó.

Luận văn được chia làm ba chương, trừ phần mở đầu và kết luân. Cuối luận
văn là tài liệu dẫn và tài liệu tham khảo và phụ lục dẫn các công thức cần thiết
cho tính toán.
• Chương 1 của luận văn sẽ trình bày một cách tổng quan về các tính chất
của hạt Higgs trong Mô hình tiêu chuẩn, các kiểu tương tác của nó với
các hạt chất và các hạt boson trường chuẩn, đồng thời liệt kê một số kênh
sinh, rã chiếm ưu thế của hạt Higgs 125 GeV.
• Trong chương 2, ta đi vào tính toán chi tiết các đặc trưng của phân rã
Higgs thành muon, trước tiên là cho giản đồ cây. Sau đó ta lần lượt xét tới
các bổ chính 1 vòng cho hàm truyền của Higgs boson bằng cách tách phân
kỳ cho các tích phân vòng, sau đó tái chuẩn hóa lại lý thuyết để thu được
1 hàm truyền hữu hạn.
• Trong chương 3, ta tiến hành kiểm tra hạt boson vô hướng thu được trong
thực nghiệm bằng cách giả thiết rằng nó chính là hạt Higgs boson nhưng
3
với hằng số kết cặp Higgs-muon g là chưa biết. Sử dụng các kết quả ở
chương 2, ta sẽ tính số sự kiện phân rã từ Higgs thành 2 muon như là một
hàm theo g. Đối chiếu kết quả này với số liệu thực nghiệm ta sẽ suy ngược
lại được hằng số kết cặp g. Cuối cùng ta sẽ dựa vào kết quả thu được để
kết luận liệu hạt boson vô hướng đó có phải là hạt Higgs trong Mô hình
tiêu chuẩn hay không.
4
Chương 1
Tổng quan về hạt Higgs
1.1 Higgs trong mô hình tiêu chuẩn
Nói chung, Higgs trong mô hình tiêu chuẩn không khác mấy so với mô hình
tương tác điên yếu của Weinberg-Salam, cho nên, ta sẽ chọn trường hợp sau để
trình bày về Higgs.
Trong mô hình Weinberg-Salam, tương tác điện yếu giữa các fermion được
mô tả bằng hệ 4 trường chuẩn A

a
µ
, a = 1, 2, 3 và B
µ
. Chúng là các phần tử trong
biểu diễn phó của nhóm SU(2) và U(1). Trường fermion bất biến đối với nhóm
chuẩn U(1)
Y
× SU(2)
L
khi đạo hàm thường của lưỡng tuyến SU(2) được thay
bằng đạo hàm hiệp biến:
∂
µ
ψ → D
µ
ψ = ∂
µ
ψ − igA
a
µ
τ
a
ψ − ig

Y
ψ
B
µ
ψ

trong đó, τ
a
=
σ
a
2
, σ
a
là các ma trận Pauli; g, g’ là hằng số tương tác yếu và
điện tử. Các fermion được chia thành hai phần, phần thuận tay trái (left-handed
part) và phần thuận tay phải (right-handed part):
ψ =
1
2
(1 −γ
5
) +
1
2
(1 + γ
5
) = ψ
L
+ ψ
R
Chỉ số Y chỉ rằng, mỗi đa tuyến chất có một giá trị tích yếu Y xác định. Chỉ số
L chỉ rằng, chỉ có phần thuận tay trái của fermion là tham gia tương tác yếu.
5
Như vậy, thay cho hai hạt ν
e

và e, ta có một lưỡng tuyến và một đơn tuyến:
L =

ν
e
e

L
, e
R
Lưỡng tuyến L có isospin yếu bằng
1
2
tham gia tương tác mạnh, trong khi đơn
tuyến e
R
có isospin yếu bằng không, không tham gia tương tác yếu. Neutrino
chỉ có phần thuận tay trái. Tương tự như vậy với các quark u và d:
Q =

u
d

L
, u
R
, d
R
Để đơn giản, L, Q, e , u. . . sẽ được coi như hàm trường mô tả các hạt tương
ứng.

Các đa tuyến đều có Y sao cho hệ thức Nishijima thỏa mãn:
Q = I
3
+
Y
2
Như vậy, L có Y = −1, e
R
có Y = −2, Q có Y = 1/3, trong khi Y
u
R
= 4/3,
Y
d
R
= −2/3. Trường Higgs được mô tả bằng lưỡng tuyến của SU(2) và có siêu
tích yếu bằng Y = 1:
φ =

φ
+
φ
0

Lagrangian của trường Higgs có dạng:
L
Higgs
= (D
µ
φ)

†
D
µ
φ −µ
2
(φ
†
φ) −λ(φ
†
φ)
2
D
µ
φ =

∂
µ
− igA
a
µ
τ
a
− ig

Y
φ
B
µ

φ

trong đó, µ
2
< 0, λ > 0. Chính dấu âm của µ
2
làm cho chân không của trường
Higgs bị suy biến: cực tiểu của thế năng xảy ra khi:
φ
†
φ = −
µ
2
2λ
= 0
Tức là chân không suy biến. Ta sẽ chọn:
φ =

−µ
2
λ
= ν ⇔ φ
0
=
1
√
2

0
ν

6

Khi đó, trong bốn vi tử sinh của U(1)
Y
×SU(2)
L
, ba vi tử sinh không triệt tiêu
chân không, chúng tương ứng với ba hạt Nambu-Goldstone, chỉ có một vi tử
sinh triệt tiêu chân không:
τ
1

0
ν

=
1
2

0 1
1 0

0
ν

=
1
2

0
ν


= 0
τ
2

0
ν

=
1
2

0 −i
i 0

0
ν

=
−i
2

0
ν

= 0

τ
3
−
1

2


0
ν

=

0 0
0 1

0
ν

=

0
ν

= 0

τ
3
+
1
2


0
ν


=

1 0
0 0

0
ν

=

0
0

= 0
Như vậy, đối xứng U(1)
Y
×SU (2)
L
bị phá vỡ chỉ còn lại đối xứng điện tử. Trường
Nambu-Goldstone tương tác với trường chuẩn làm cho chúng trở nên có khối
lượng. Số hạng khối lượng của trường chuẩn có dạng:
(D
µ
φ)
†
D
µ
φ → ···+
1

8
(0 ν)(gA
a
µ
σ
a
+ g

B
µ
)(gA
bµ
σ
b
+ g

B
µ
)

0
ν

+ . . .
= ···+
1
2
ν
2
4


g
2
(A
1
µ
)
2
+ g
2
(A
2
µ
)
2
+ (−gA
3
µ
+ g

B
µ
)
2

+ . . .
Điều này nghĩa là trường chuẩn:
W
±
=

1
√
2
(A
1
µ
± iA
2
µ
)
sẽ có khối lượng bằng m
W
= gν/2, trường chuẩn:
Z =
(gA
3
µ
− g

B
µ
)

g
2
+ g
2
có khối lượng bằng m
Z
= ν


g
2
+ g
2
/2, còn trường chuẩn:
A
µ
=
(gA
3
µ
+ g

B
µ
)

g
2
+ g
2
là không có khối lượng. Trường A
µ
chính là trường điện từ.
7
Do tính bất biến chuẩn, trường Higgs được chọn dưới dạng:
φ =
1
√

2
exp

i
ν

χ(x).τ


0
ν + H(x)

−→
1
√
2

0
ν + H(x)

Do đó, phần thế năng của trường Higgs sẽ là:
L = µ
2
H
2
− λνH
3
−
1
4

λH
4
= −
1
2
m
2
H
H
2
−

λ
2
m
H
H
3
−
1
4
λH
4
Ba bậc tự do Nambu-Goldstone χ biến mất, chúng bị “nuốt” vào thành phần
thứ ba của trường chuẩn. Trường vô hướng còn lại H trở nên có khối lượng:
m
H
= −2µ
2
= 2λν

2
1.2 Tương tác giữa Higgs boson với nhau và với
trường chuẩn
Tương tác giữa trường Higgs với các trường chuẩn được suy ra từ số hạng:
(D
µ
φ)
†
D
µ
φ → ···+
1
8
(0 ν)(gA
a
µ
σ
a
+ g

B
µ
)(gA
bµ
σ
b
+ g

B
µ

)

0
ν

+ . . .
Phần chứa các số hạng tương tác Higgs với chính nó:
−ν
2
(φ
†
φ) −λ(φ
†
φ)
2
= −ν
2
(0 ν + H)

0
ν + H

− λ

(0 ν + H)

0
ν + H

2

(1.1)
Từ đó thêm vào số hạng động năng, suy ra:
L
Higgs
=
1
2
∂
µ
H∂
µ
H −
1
2
m
2
H
H
2
−
m
2
H
2ν
H
3
−
m
2
H

8ν
2
H
4
−
−
2m
2
W
ν
HW
+
µ
W
−µ
−
m
2
Z
ν
HZ
µ
Z
µ
−
m
2
W
ν
2

H
2
W
+
µ
W
−µ
−
m
2
Z
2ν
2
H
2
Z
µ
Z
µ
+ . . .
1.3 Tương tác giữa Higgs boson với fermion
Do với tương tác yếu của phần thuận tay phải và tay trái là khác nhau, cho
nên số hạng khối lượng của trường fermion cũng không bất biến chuẩn. Để khắc
phục tình trạng này, trong SM ta cũng coi khối lượng của fermion bằng không.
8
Chúng sẽ trở nên có khối lượng nhờ tương tác Yukawa giữa trường Higgs và
trường fermion:
L
Y ukawa
= −Γ

ij
u
Q
i
φu
j
R
− Γ
ij
d
Q
i
φd
j
R
− Γ
ij
e
L
i
φe
j
R
Trong đó, chỉ số i, j để chỉ thế hệ. Lepton và quark trong SM được chia thành
ba hế hệ giống hệt nhau về tính chất chỉ khác nhau về khối lượng;
(I) : L
1
=

ν

e

L
, e
1
R
= e
R
, Q
1
=

u
d

L
, u
1
R
= u
R
, d
1
R
= d
R
(II) : L
2
=


ν
µ

L
, e
2
R
= µ
R
, Q
2
=

c
s

L
, u
2
R
= c
R
, d
2
R
= s
R
(III) : L
3
=


ν
τ

L
, e
3
R
= τ
R
, Q
3
=

t
b

L
, u
3
R
= t
R
, d
3
R
= b
R
Như vậy, nếu thay trường Higgs bằng:
1

√
2

0
ν + H

Ta sẽ khối lượng của fermion bằng:
m
f
= Γ
f
ν

(2)
Và có tương tác với fermion sẽ cho đóng góp vào L
Higgs
số hạng:
−

f
m
f
ν
Hff (1.2)
Như vậy, phần Lagrangian của Higgs trong Mô hình tiêu chuẩn:
L
Higgs
=
1
2

∂
µ
H∂
µ
H −
1
2
m
2
H
H
2
−
m
2
H
2ν
H
3
−
m
2
H
8ν
2
H
4
−
−
2m

2
W
ν
HW
+
µ
W
−µ
−
m
2
Z
ν
HZ
µ
Z
µ
−
m
2
W
ν
2
H
2
W
+
µ
W
−µ

−
m
2
Z
2ν
2
H
2
Z
µ
Z
µ
−

f
m
f
ν
Hff (1.3)
Từ đó, ta thấy Higgs có các kiểu tương tác như sau:
• Tương tác bậc 3 và bậc 4 với chính nó.
9
• Tương tác bậc 3 và bậc 4 với hạt truyền tương tác yếu W
±
, Z.
• Tương tác bậc 3 với các fermion.
• Không tương tác với boson không khối lượng như photon và gluon.
(Các quy tắc Feynman cho Higgs đã được trình bày cụ thể trong phụ lục B).
Sau đây, ta xét các kênh sinh và phân rã của Higgs.
1.4 Các quá trình sinh ra hạt Higgs

Bốn kênh sinh ra hạt Higgs boson quan trọng nhất tại LHC là:
Kết hợp hai gluon
Hai gluon ban đầu kết hợp với nhau thông qua vòng các quark nặng như top
quark và sinh ra hạt Higgs. Đây là quá trình sinh hạt Higgs có tiết diện tán xạ
lớn nhất và được sử dụng nhiều nhất tại LHC.
g
q
g
Kết hợp hai vector boson
Hai boson tương tác yếu được bức xạ từ các quark ban đầu, kết hợp với nhau
tạo thành hạt Higgs. Đây là quá trình chiếm ưu thế thứ hai sau quá trình kết
hợp hai gluon.
10
W/Z
Kết hợp hai top quark
Top và phản top quark sinh ra từ gluon kết hợp với nhau tạo thành hạt Higgs.
t
t
t
H
t
Higgs-strahlung
Boson tương tác yếu sinh ra trong quá trình hủy cặp quark bức xạ ra một hạt
Higgs.
W/Z
W/Z
11
1.5 Các kênh phân rã của Higgs
Phân rã thành hai fermion
H

f
f
Do bề rộng phân rã loại này tỷ lệ với khối lượng của hạt fermion sinh ra, cho
nên các kênh phân rã chủ đạo sẽ là các kênh sinh ra các hạt có khối lượng lớn
như H −→ bb, H −→ ττ Tuy nhiên, do các kênh phân rã này thường đi kèm
với nhiều tín hiệu nhiễu do một số phản ứng nền gây ra nên việc xác định hạt
Higgs gặp khá nhiều khó khăn.
Phân rã thành hai boson tương tác yếu
H
W/Z
W/Z
Phân rã thành hai hoặc bốn lepton qua boson tương tác
yếu
H
W/Z
l
l
12
H
l
l
l
l
Nếu hạt trung gian là Z, sản phẩm sẽ là 4 lepton và phản lepton. Nếu hạt trung
gian là W, sản phẩm sẽ là 2 lepton và 2 neutrino. Kênh phân rã sau có bề rộng
phân rã lớn hơn, nhưng đồng thời sự có mặt của các neutrino cũng khiến cho
độ phân giải trong phổ khối lượng tệ đi.
Phân rã thành hai gluon
g
q

g
H
Phân rã thành hai photon
γ
q
γ
H
γ
W/Z
γ
H
13
Hình 1.1: Tỷ lệ phần trăm các kênh phân rã của Higgs (m
H
= 125 GeV )
Trong các kênh phân rã trên, các phân rã trực tiếp từ Higgs thành các fermion
có vai trò quan trọng không những trong việc xác định sự tồn tại của hạt Higgs
mà còn góp phần cung cấp nhiều thông tin quan trọng cho các loại tương tác
Yukawa giữa Higgs và fermion trong Mô hình tiêu chuẩn (SM). Thật vậy, trong
khi các số hạng tương tác giữa hạt Higgs với các boson trường chuẩn đều có thể
thu được một cách chính thống từ lý thuyết trường chuẩn thì tương tác giữa
Higgs và fermion không được như vậy. Người ta phải thêm vào bằng tay các số
hạng Yukawa với mục đích sinh khối cho các fermion trong mô hình, và hệ quả là
sự xuất hiện của các số hạng Lagrangian tương tác giữa Higgs và fermion. Việc
thêm thắt mang tính chủ quan này cần phải được xác minh bằng thực nghiệm
thông qua các phân rã trực tiếp từ Higgs thành fermion.
Ngoài ra, chú ý rằng trong biểu đồ ở trên, các phân rã hiếm như H −→ γγ,
H −→ µ
+
µ

−
chiếm không tới 1%. Mặc dù vậy, chúng vẫn có một vai trò rất
quan trọng bởi vì, trong khi các kênh phân rã chủ đạo có nhiệm vụ phát hiện
ra "hạt Higgs" thì các kênh phân rã hiếm lại rất quan trọng trọng việc cung
cấp thêm thông tin về loại hạt vừa được tìm thấy, từ đó xác định xem hạt đó
có đúng là hạt Higgs hay không. Trong chương sau, ta sẽ quan tâm đặc biệt tới
một phân rã hiếm là H −→ µ
+
µ
−
, kênh phân rã duy nhất có sự kết cặp trực tiếp
của Higgs với các fermion thế hệ thứ hai trong Mô hình tiêu chuẩn mà người ta
đo được ở LHC.
14
Chương 2
Phân rã hạt Higgs thành
hai muon
2.1 Lý thuyết chung cho các quá trình tán xạ
và phân rã
Trong vật lý hạt cơ bản, hai bài toán thường gặp nhất là bài toán tính tiết diện
tán xạ của quá trình tán xạ hai hạt và bài toán tính tốc độ phân rã (hoặc thời
gian sống) của quá trình phân rã một hạt thành hai hay nhiều hạt khác. Do
hạn chế về công cụ toán học, ta không thể giải quyết triệt để hai bài toán trên
mà phải giải gần đúng thông qua phương pháp nhiễu loạn, trong đó, biên độ
dời chuyển trạng thái được khai triển thành chuỗi các đóng góp bậc 1,2,3, cho
đến vô hạn, với các số hạng bậc càng cao cho đóng góp càng thấp vào quá trình.
Theo Feynman, mỗi đóng góp như vậy tương ứng với một giản đồ, hơn nữa ông
còn đề ra các quy tắc gọi là quy tắc Feynman cho phép ta viết các biểu thức
biên độ đóng góp ứng với từng giản đồ. Từ đó, ta có thể tính được biên độ dời
chuyển toàn phần chính xác đến một bậc nhất định nào đó. Một khi đã tính

được biên độ dời chuyển, tiết diện tán xạ hoặc tốc độ phân rã hoàn toàn có thể
tính được dựa vào các biểu thức liên hệ đối với xác suất dời chuyển trạng thái,
tức bình phương biên độ dời chuyển trạng thái. Sau đây ta xét lần lượt 2 bài
toán tán xạ và phân rã.
15
Bài toán tán xạ 2 hạt a + b −→ 1 + 2 + ··· + n
Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân:
dσ =
1
4B
· dΦ ·|M
fi
|
2
(2.1)
Với M
fi
là yếu tố ma trận tương ứng của quá trình, B =

(p
1
· p
2
)
2
− m
1
m
2
(bất

biến đối với phép biến đổi Lorentz), dΦ là không gian pha bất biến:
dΦ =

j

d
3
p

j
(2π)
3
2E

j

(2π)
4
δ
4
(

j
p

j
− p
1
− p
2

) (2.2)
Đối với trường hợp chỉ có 2 hạt sản phẩm, đồng thời xét trong hệ quy chiếu gắn
với khối tâm của hệ, không gian pha bất biến trở thành:
dΦ =
d
3
p

1
(2π)
3
2E

1
d
3
p

2
(2π)
3
2E

2
· (2π)
4
δ
4
(p


1
+ p

2
− p
1
− p
2
)
=
1
16π
2
d
3
p

1
E

1
d
3
p

2
E

2
· δ(E


1
+ E

2
− E
i
)δ
3
(p

1
+ p

2
− p
i
)
=
1
16π
2
d
3
p

1
E

1

E

2
· δ(E

1
+ E

2
− E
i
)
=
1
16π
2
d
3
p

E

1
E

2
· δ(E

1
+ E


2
− E
i
)
=
1
16π
2
p
2
dp

dΩ
E

1
E

2
· δ(E

1
+ E

2
− E
i
) (2.3)
Ở trên ta đã chuyển từ hệ tọa độ Cartesian sang hệ tọa độ cầu, với dΩ =

−dϕd(cosθ) là vi phân góc khối.
Ta có:
E

1
=

p
2
+ m
2
1
; E

2
=

p
2
+ m
2
2
⇒
d(E

1
+ E

2
− E

i
)
dp

=
p

E

1
+
p

E

2
= p

.
E

1
+ E

2
E

1
E


2
= p

.
E
i
E

1
E

2
Mặc khác, theo tính chất hàm delta:
δ(f(x)) =
1
f

(x
0
)
δ(x −x
0
)
Giả sử x
0
là nghiệm duy nhất của f(x)
16
Từ đó, (2.3) trở thành:
dΦ =
1

16π
2
p
2
dp

dΩ
E

1
E

2
·
E

1
E

2
p

C
E
i
δ(p

− p

C

)
⇒ dΦ =
1
16π
2
p

C
dΩ
E
i
(2.4)
Trong đó p

C
là nghiệm của biểu thức trong hàm delta, tức là xung lượng thỏa
mãn điều kiện bảo toàn năng lượng. Để đơn giản, ta đổi trở lại ký hiệu p

và
ngầm hiểu nó thỏa mãn định luật bảo toàn năng lượng. Khi đó, không gian pha
bất biến trở thành:
dΦ =
1
16π
2
p

dΩ
E
i

(2.5)
Lại có, trong hệ quy chiếu khối tâm:
B
2
= (p
1
· p
2
)
2
− m
1
m
2
= (E
1
E
2
+ p
2
i
)
2
− (E
2
1
− p
2
i
)(E

2
2
− p
2
i
) = (E
1
p
i
+ E
2
p
i
)
2
⇒ B = p
i
E
i
= p

E
i
(2.6)
Thay (2.5), (2.6) vào (2.1) ta được công thức tính tiết diện tán xạ vi phân:
dσ =
1
64π
2
E

2
i
· |M
fi
|
2
dΩ (2.7)
Chú ý, trong biểu thức trên phải lấy tổng theo tất cả các trạng thái phân cực
các hạt sản phẩm và lấy trung bình cộng theo các trạng thái phân cực của hai
hạt ban đầu.
Bài toán phân rã hạt a −→ 1 + 2 + ··· + n
Ta cũng có công thức tính bề rộng phân rã vi phân:
dΓ =
1
2m
a
· dΦ ·|M
fi
|
2
(2.8)
Với M
fi
là yếu tố ma trận tương ứng của quá trình, dΦ là không gian pha bất
biến:
dΦ =

j

d

3
p

j
(2π)
3
2E

j

(2π)
4
δ
4
(

j
p

j
− p) (2.9)
17
Tính toán tương tự như phần trước, đối với trường hợp chỉ có 2 hạt sản phẩm,
đồng thời xét trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm của hệ, không gian pha bất
biến trở thành:
dΦ =
1
16π
2
p


dΩ
E
i
=
1
16π
2
p

dΩ
m
a
(2.10)
Và công thức bề rộng phân rã vi phân:
dΓ =
1
32π
2
p

m
2
a
|M
fi
|
2
dΩ (2.11)
Trong đó, p


là độ lớn xung lượng 3 chiều của 1 hạt sản phẩm trong hệ quy chiếu
khối tâm. Biểu thức cũng được lấy tổng theo tất cả các trạng thái phân cực các
hạt sản phẩm và lấy trung bình cộng theo các trạng thái phân cực của hạt ban
đầu.
Ví dụ minh họa
Xét phân rã H −→ W
+
W
−
. Giản đồ cho đóng góp bậc 1 của quá trình:
p
−→
k
1
k
2
H
W
−
, 
2
W
+
, 
1
Lagrangian tương tác giữa hạt Higgs và hạt W là:
L
H−W
= −

2m
2
W
ν
HW
+
W
−
(2.12)
Trong đó, m
W
là khối lượng hạt W, ν là trung bình chân không của trường
Higgs.
Đỉnh tương tác ứng với thừa số (−i
2m
2
W
ν
).
Xét quá trình phân rã trong hệ quy chiếu khối tâm, trong đó hạt Higgs ban
đầu đứng yên với xung lượng 4 chiều p = (m, 0, 0, 0), sau đó phân rã thành 2 hạt
W
+
và W
−
với xung lượng tương ứng là k
1
= (ω
1
,


k
1
) và k
2
= (ω
2
,

k
2
).
18
Dễ thấy

k
1
= −

k
2
=

k, và ω
1
= ω
2
=

k

2
+ m
2
W
=
m
2
.
Từ đó, |

k| =

m
2
4
− m
2
W
.
Theo (2.11), ta có bề rộng phân rã vi phân của quá trình:
dΓ =
1
32π
2

m
2
4
− m
2

W
m
2


1
,
2
|M
fi
|
2
dΩ (2.13)
Yếu tố ma trận tương ứng:
S
fi
= −i(2π)
4
δ
4
(p
f
− p
i
)

2m
2
W
ν

(
∗
1
· 
∗
2
)

≡ −i(2π)
4
δ
4
(p
f
− p
i
) ·M
fi
(2.14)
Ta có:


1
,
2
|M|
2
=
4m
4

W
ν
2


1
,
2
(
σ
1

2 σ
)(
∗ µ
1

∗
2 µ
) =
4m
4
W
ν
2


1
,
2

(
σ
1

∗ µ
1
)(
2 σ

∗
2 µ
) =
=
4m
4
W
ν
2

−g
σµ
+
k
σ
1
k
µ
1
m
2

W

−g
σµ
+
k
2σ
k
2µ
m
2
W

=
=
4m
4
W
ν
2

4 −
k
2
2
m
2
W
−
k

2
1
m
2
W
+
(k
1
· k
2
)
2
m
4
W

=

k
2
1
= k
2
2
= m
2
W

=
=

4
ν
2

2m
4
W
+ (ω
1
ω
2
+ k
2
)
2

=
4
ν
2

2m
4
W
+ (
m
2
4
+
m

2
4
− m
2
W
)
2

=
4
ν
2

2m
4
W
+ (
m
2
2
− m
2
W
)
2

(2.15)
Từ đó, ta có:
dΓ =
1

32π
2

m
2
4
− m
2
W
m
2


1
,
2
|M
fi
|
2
dΩ
=
1
32π
2

m
2
4
− m

2
W
m
2
·
4
ν
2

2m
4
W
+ (
m
2
2
− m
2
W
)
2

=
m
3
64π
2
ν
2
·


1 −
4m
2
W
m
2
·

8m
4
W
m
4
+ (1 −
2m
2
W
m
2
)
2

dΩ (2.16)
19
Lấy tích phân biểu thức trên với Ω : 0 −→ 4π ta được bề rộng phân rã của quá
trình:
Γ =
m
3

16πν
2
·

1 −
4m
2
W
m
2
·

8m
4
W
m
4
+ (1 −
2m
2
W
m
2
)
2

(2.17)
Nếu khối lượng hạt Higgs lớn thì:
Γ ≈
m

3
16πν
2
(2.18)
2.2 Phân rã hạt Higgs thành hai muon
Ta bắt đầu xem xét phân rã H −→ µ
+
µ
−
. Trong mục này, ta chỉ xét đóng góp
của giản đồ cây. Các bổ chính một vòng sẽ được tính toán chi tiết ở mục sau.
k
−→
p
2
p
1
H
µ
−
µ
+
Lagrangian tương tác giữa hạt Higgs và fermion nói chung là:
L
H−f
= −g
H
ψψH = −
m
f

ν
ψψH (2.19)
Trong đó, m
f
là khối lượng fermion, ν là trung bình chân không của trường
Higgs, g
H
là hằng số kết cặp giữa hạt Higgs và fermion. Đỉnh tương tác ứng với
thừa số (−i
m
f
ν
).
Xét quá trình phân rã trong hệ quy chiếu khối tâm, trong đó hạt Higgs ban
đầu đứng yên với xung lượng 4 chiều k = (m, 0, 0, 0), sau đó phân rã thành 2 hạt
µ
−
và µ
+
với xung lượng tương ứng là p
1
= (E
1
, p
1
) và p
2
= (E
2
, p

2
).
Dễ thấy p
1
= −p
2
= p, và E
1
= E
2
=

p
2
+ m
2
µ
=
m
2
.
Từ đó, |p| =

m
2
4
− m
2
µ
.

20
Yếu tố ma trận tương ứng:
S
fi
= −i(2π)
4
δ
4
(p
f
− p
i
)

m
µ
ν
uv

≡ −i(2π)
4
δ
4
(p
f
− p
i
) ·M (2.20)
Ta cũng có:


spin
|M|
2
=

spin
M
∗
M =

spin
m
2
µ
ν
2
(v
i
u
i
)(u
j
v
j
) =

spin
m
2
µ

ν
2
(u
i
u
j
)(v
j
v
i
) =
=
m
2
µ
ν
2
T r

/
p
1
+ m
µ

/
p
2
− m
µ


=
=
m
2
µ
ν
2

T r(
/
p
1
/
p
2
) −4m
2
µ

=
(các số hạng chứa một số lẻ ma trận gamma triệt tiêu)
=
4m
2
µ
ν
2

(p

1
p
2
) −m
2
µ

(2.21)
Tốc độ phân rã vi phân:
dΓ =
1
32π
2

m
2
4
− m
2
µ
m
2

spin
|M
fi
|
2
dΩ
=

1
32π
2

m
2
4
− m
2
µ
m
2
·
4m
2
µ
ν
2

(p
1
p
2
) −m
2
µ

dΩ
Với:
(p

1
p
2
) = E
1
E
2
+ p
2
=
m
2
4
+
m
2
4
− m
2
µ
=
m
2
2
− m
2
µ
Từ đó tính được:
dΓ =
m

2
µ
4π
2
m
2
ν
2
·

m
2
4
− m
2
µ

3
2
dΩ =
m
32π
2

m
µ
ν

2


1 −
4m
2
µ
m
2

3
2
dΩ
Lấy tích phân 2 vế, với Ω : 0 −→ 4π ta được bề rộng phân rã của quá trình:
Γ =
m
8π

m
µ
ν

2

1 −
4m
2
µ
m
2

3
2

(2.22)
21
Xét gần đúng m
µ
 m, bề rộng phân rã trở thành:
Γ =
m
8π

m
µ
ν

2
=
g
2
H
m
8π
(2.23)
Với g
H
=
m
µ
ν
là hằng số kết cặp của hạt Higgs và muon.
2.3 Bổ chính một vòng
2.3.1 Các giản đồ năng lượng riêng của Higgs

Giản đồ vòng Higgs 1
p
k
p
k − p
Yếu tố ma trận ứng với giản đồ trên:
iΠ
(H1)
=
3!3!
2
(g
2
µ
2
)

d
d
k
(2π)
d
1
(k
2
− m
2
)[(k − p)
2
− m

2
]
= 18g
2
µ
2

d
d
k
(2π)
d

1
0
dx
1
{(k
2
− m
2
)(1 −x) + x[(k − p)
2
− m
2
]}
2
= 18g
2
µ

2

d
d
k
(2π)
d

1
0
dx
1
{(k − px)
2
− [m
2
− p
2
x(1 −x)]}
2
= (k −→ k + px) =
= 18g
2
µ
2

1
0
dx


d
d
k
(2π)
d
1
{k
2
− [m
2
− p
2
x(1 −x)]}
2
≡ 18g
2
µ
2

1
0
dx

d
d
k
(2π)
d
1
{k

2
− c
2
}
2
Với:
c
2
= m
2
− p
2
x(1 −x) (2.24)
22
Áp dụng các công thức tích phân trong không gian d chiều và các công thức
khai triển hàm gamma và hàm mũ, chú ý rằng d = 4 −2, ta được:
iΠ
(H1)
=
18ig
2
µ
2
(4π)
d
2

1
0
dxΓ() ·(c

2
)
−
=
18ig
2
16π
2

1
0
dxΓ() ·(
c
2
4πµ
2
)
−
≈
18ig
2
16π
2

1
0
dx

1


− γ


1 − ln

c
2
4πµ
2

≈
9ig
2
8π
2
1

−
9ig
2
8π
2

1
0
dx

ln

c

2
4πµ
2

+ γ

(2.25)
Vì các đại lượng vật lý phải không phụ thuộc vào tham số µ nên ta có thể thực
hiện biến đổi µ
2
−→ µ
2
e
γ
4π
(γ là hằng số Euler) để đơn giản kết quả tính toán:
Π
(H1)
=
9g
2
8π
2
1

−
9g
2
8π
2


1
0
ln

c
2
µ
2

dx (2.26)
Trong đó, g là hằng số coupling tự tương tác bậc 3 của trường Higgs: g =
m
2
2ν
(ν
là giá trị trung bình chân không của trường Higgs).
Từ đó:
Π
(H1)
=
9m
4
32π
2
ν
2
1

−

9m
4
32π
2
ν
2

1
0
ln

c
2
µ
2

dx (2.27)
≡ Π
(H1)

+ Π
(H1)
0
Với 2 thành phần phân kỳ và hữu hạn (khi  −→ 0) lần lượt là:
Π
(H1)

=
9m
4

32π
2
ν
2
1

(2.28)
Π
(H1)
0
= −
9m
4
32π
2
ν
2

1
0
ln

c
2
µ
2

dx (2.29)
23
Giản đồ vòng Higgs 2

k
p p
k
Yếu tố ma trận ứng với giản đồ trên:
iΠ
(H2)
=
4!
2
(gµ
2
)

d
d
k
(2π)
d
1
k
2
− m
2
=
−12igµ
2
m
2
16π
2

(4π)
−
Γ( −1) ·(m
2
)
−
≈
3igm
2
4π
2

1

+ 1 − γ


1 − ln

m
2
4πµ
2

≈
3igm
2
4π
2


1

− ln

m
2
4πµ
2

+ 1 − γ

= (µ
2
−→ µ
2
e
γ
4π
) =
3igm
2
4π
2

1

+ 1 − ln

m
2

µ
2

=

g =
m
2
8ν
2

=
=
3im
4
32π
2
ν
2

1

+ 1 − ln

m
2
µ
2

Từ đó:

Π
(H2)
=
3m
4
32π
2
ν
2

1

+ 1 − ln

m
2
µ
2

(2.30)
≡ Π
(H2)

+ Π
(H2)
0
Với 2 thành phần phân kỳ và hữu hạn (khi  −→ 0) lần lượt là:
Π
(H2)


=
3m
4
32π
2
ν
2
1

(2.31)
Π
(H2)
0
=
3m
4
32π
2
ν
2

1 −ln

m
2
µ
2

(2.32)
24