tích vô hướng của hai vectơ

Kiểm tra bài cũ
Cho tam giác đều ABC. Tính các gãc:
( AB , AC ) ; ( BA , CA ) ; ( AB , BC )
A



B

 
0
AB; AC 60



C


Kiểm tra bài cũ
Cho tam giác đều ABC. Tính các gãc:
( AB , AC ) ; ( BA , CA ) ; ( AB , BC )




BA; CA 600

A



B

C


Kiểm tra bài cũ
Cho tam giác đều ABC. Tính các gãc:
( AB , AC ) ; ( BA , CA ) ; ( AB , BC )



 
0
AB; BC 120

A



B

C



Tích vô hớng của hai vectơ

Nội dung bài học:
1) Định nghĩa tích vô hớng của hai vectơ

2) Các tính chất của tích vô hớng
3) Biểu thức toạ độ của tích v« híng
4) øng dơng


A = F .OOcos
Trong đó

F là cờng độ lực F tính bằng Niutơn (N)

OO độ dài OO tính bằng mét (m)
Là góc giữa OO và F

F

O


O’


1. Định nghĩa
Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Tích vô h
ớng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là
a . b , đợc xác định bởi công thức sau:
a . b = a. bcos( a , b )
Trêng hỵp Ýt nhÊt mét trong hai vectơ a và b
bằng vectơ 0 ta quy ớc a . b =0

1. nh ngha
Ví dụ :
Cho tam giác đều ABC có cạnh a và chiều
cao AH. Tính các tích vô hớng sau:
BA . BC

;

AB . BC

CB . AH

;

AC . AC

;
;


1. Định nghĩa
A
BA . BC
= BA . BC cos(BA , BC)
= a.a.cos600
=(1/2)a2
B

H

C


1. Định nghĩa
AB . BC =
A
= AB . BC cos(AC,BC)
= a.a.cos1200
=-(1/2)a2

B

H

C


Tích vô hớng của hai vectơ

1) Định nghĩa tích vô híng cđa hai vect¬
A

CB. AH =
= CB .AH cos(CB , AH)
= CB .AH cos900
=0

B

H

C


1. Định nghĩa
AC . AC =
= AC 2

A

= a2

B

H

C



a; b

0


1. Định nghĩa
Chú ý:


 

 
1. Cho a; b  0 thì a.b 0  a  b

  2  

2
0
2. a.a a  a a .cos0  a


2. Các tính chất của tích vơ hướng
Víi ba vect¬ a, b, c bất kì và mọi số k ta cã:
a . b = b. a
a ( b ± c ) = a . b ± a . c ( TÝnh chÊt ph©n phèi ) c ) = a . b ± c ) = a . b ± a . c ( TÝnh chÊt ph©n phèi ) a . c

( TÝnh chất giao hoán )
( Tính chất phân phối )

(ka ). b = k ( a . b )
a2≥0 , a2 = 0  a = 0

NhËn xÐt: ( a + b)2 = a 2 + b2 + 2 a . b
( a – b )2 = a2 + b2 – 2 a . b
( a + b )( a – b ) = a2 – b2


Hot ng 1

Cho a và b khác 0 . Khi nµo
a. b = 0 ?

a. b = a . b ? a. b = - a . b ?


a.b=0

a=0
b=0
( a , b ) = 00 tøc lµ a  b

[

a. b = a . b  a , b cïng híng
a. b = - a . b  a , b ngỵc híng


3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Nếu trong hệ tọa độ Oxy cho hai vectơ



a (a1 , a2 ) ; b (b1 , b2 ) thì tích vô hướng là:


a.b a1.b1  a2 .b2

      


Chứng minh: Theo giả thiết ta có: a a1 i  a2 j , b b1 i  b2 j
     



a.b (a1 i  a2 j )(b1 i  b2 j )

 2
2

a1b1 i  a1b2 i. j  a2b1 i. j a2b2 j
  
2
2
a1b1  a2b2 ( i. j  j.i 0, i  j 1)
Nhận xét:

 
     
a  b  a1b1  a2b2 0 (a 0, b 0)


Ví dụ: Cho A(1;1), B(2,4), C(10;-2).
a. Tính tích vô hướng AB. AC
b. ABC là tam giác gì, vì sao?
Giải:

AB (1;3) , AC (9; 3)
AB. AC 1.9  3.( 3) 0
ABC là tam giác vuông vì AB  AC


4.Ứng dụng


a)Độ dài của vectơ a ( a1 ; a2 )

a  a12  a22
b) Góc giữa hai vectơ


cos(a, b) 



  
a (a1; a2 ), b (b1; b2 ), a 0, b 0
a1.b1  a2 .b2
a12  a22 . b12  b22

c) Khoảng cách giữa hai điểm

A( x A ; y A ), B( xB ; yB )

AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2
VD: Cho hai điểm A(1;3), B(4;2)
a) Tính chu vi tam giác OAB
b) Tìm cosin góc OAB