giải tích lồi (tài liệu toán đại học)

GIẢI TÍCH LỒI
Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế
20/10/2005
1
Mục lục
Mục lục 1
Chương 1 Tập lồi 3
1.1. Tập lồi - Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Nón lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4. Định lý Carathéodory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Định lý Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii. . . . . . 7
1.2.3. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Không gian tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn. . . . . . . 16
1.4.2. Các tính chất tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 21
2.1. Định lý tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Định lý Tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3. Định lý Tách mạnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2
2.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
2.2.1. Tôpô yếu trên X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2. Tôpô yếu* trên X
∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4. Không gian Banach phản xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 3 Hàm lồi 28
3.1. Cấu trúc hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1. Định nghĩa hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2. Các phép toán trên hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine. . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4. Dưới vi phân hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi. . . . . . . . . . . . 37
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Chương 1
TẬP LỒI
1.1. Tập lồi - Đa tạp affine.
1.1.1. Đa tạp affine.
Cho X là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) lần lượt
là đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x

và y. Tức là
L(x, y) = {λx + (1 −λ)y | λ ∈ R},
[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]},
(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)},
[x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]}.
Một tập M ⊂ X được g ọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọi
cặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M. Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau
a) Giao của một họ bất kỳ các đa tạp affine là một đa tạp affine.
Nếu A ⊂ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao affine của A, ký hiệu
Aff(A), là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A. Từ tính chất a) Aff(A) là một
đa tạp affine và là đa tạp affine bé nhất chứa A.
Thật ra tập Aff(A) có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọi
véctơ có dạng
x =
m

i=1
λ
i
a
i
, với λ
i
∈ R thoả mãn

λ
i
= 1
là một tổ hợp affine của các véctơ {a
1

, a
2
, ··· , a
m
}. Ta nhận được các tính chất sau
b) Aff(A) = {x | x là tổ hợp affine của các vectơ thuộc A}.
4
c) A là đa tạp affine khi và chỉ khi A = Aff(A), tức là
A =

m

1
λ
i
a
i
| m ∈ N
∗
; a
i
∈ A; λ
i
∈ R :

λ
i
= 1

d) M là đa tạp affine khi và chỉ khi với mọi m ∈ M ta có M −m ≤ X, tức là

M = m + V, với V là một không gian con của X.
Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V :
dim M := dim V ; codim M := codim V.
Nếu codim M = 1 ta nói M là một siêu phẳng.
Bây giờ nếu Y cũng là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không gian
các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Đặc biệt nếu Y = R, ta đặt X
#
:= L(X, R), là
không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X.
e) M ⊂ X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X
#
\ {0} và α ∈ R sao cho
M = f
−1
(α) = {x ∈ X | f(x) = α}.
f) Nếu codim M = k ∈ N thì tồn tại các siêu phẳng M
1
, M
2
, ··· , M
k
sao cho
M =
k

1
M
i
.
1.1.2. Tập lồi.

Tập hợp C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C.
a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi.
Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu co A, là giao
của tất cả các tập lồi chứa A. Từ tính chất trên co A cũng là một tập lồi và là tập
lồi bé nhất chứa A.
Một tổ hợp affine x =

m
i=1
λ
i
a
i
với các λ
i
≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồi
của các véctơ {a
1
, ··· , a
m
}.
b) co A = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}.
c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C, tức là
C =

m

1
λ
i

a
i
| m ∈ N
∗
; a
i
∈ C; λ
i
≥ 0 :
m

1
λ
i
= 1

.
Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff(C):
dim C := dim Aff(C).
d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA cũng lồi.
5
1.1.3. Nón lồi.
Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta có
λk ∈ K. Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi. Một tổ hợp tuyến
tính

m
i=1
λ
i

a
i
sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λ
i
≥ 0 với mọi i, là tổ hợp
dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λ
i
dương chặt.
a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi.
Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con co A, là nón lồi bé nhất
chứa A. Lúc đó,
b) con co A = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộ c A}.
c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con co K, tức là
K =

m

1
λ
i
k
i
| m ∈ N; k
i
∈ K; λ
i
≥ 0 :
m

1

λ
i
> 0}.
d) Nếu K
1
, K
2
là các nón lồi chứa gốc thì K
1
+ K
2
= co(K
1
∪ K
2
).
1.1.4. Định lý Carathéodory.
Định lý 1.1. Cho A ⊂ X. Lúc đó, với mọi k ∈ con co A \ {0}, tồn tại hệ độc lập
tuyến tính {a
1
, a
2
, ··· , a
m
} ⊂ A và các số dương λ
1
, ··· , λ
m
sao cho
k =

m

1
λ
i
a
i
.
Chứng minh. Giả sử k ∈ con co A \ {0}, lúc đó k được biểu diễn dưới dạng tổ
hợp dương của các vectơ thuộc A: k =

m
1
λ
i
a
i
với λ
i
> 0 với mọi i. Nếu hệ
{a
1
, a
2
, ··· , a
m
} phụ thuộc tuyến tính, thì tồn tại bộ hệ số (µ
1
, ··· , µ
m

), với ít nhất
một µ
j
> 0, sao cho

m
1
µ
i
a
i
= 0. Bây giờ nếu đặt
t
0
= min

λ
j
µ
j



µ
j
> 0

=
λ
s

µ
s
,
ta được λ
i
:= λ
i
− t
0
µ
i
≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, và
k =

i=s
λ
i
a
i
;

i=s
λ
i
= 1.
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2 (Carathéodory). Giả sử dim X = n < ∞ và A ⊂ X. Lúc đó, với mọi
x ∈ co A, x là tổ hợp lồi của một họ không quá n + 1 vectơ thuộc A. Tức là, tồn tại
hệ {a
0

, a
1
, ··· , a
m
} ⊂ A và các số λ
0
, ··· , λ
m
≥ 0, với m ≤ n, sao cho
m

0
λ
i
= 1 và x =
m

0
λ
i
a
i
.
6
Chứng minh. Đặt B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y = X ×R. Dễ thấy co B = co A ×{1}.
Do đó, với mọi x ∈ co A ta có y = (x, 1) ∈ co B ⊆ con co B. Theo Định lý 1.1 tồn
tại m vectơ độc lập tuyến tính {(a
0
, 1), (a
1

, 1), ··· , (a
m
, 1)} ⊆ B và các số dương λ
i
sao cho
(x, 1) =
m

0
λ
i
(a
i
, 1),
tức là
x =
m

0
λ
i
a
i
;
m

0
λ
i
= 1.

Cuối cùng, chú ý rằng dim Y = n+1 nên m ≤ n và định lý đã được chứng minh.
1.2. Định lý tách tập lồi.
1.2.1. Định lý Hahn-Banach.
Cho X là một không gian vectơ. Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếm
hàm dưới tuyến tính nếu
a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X;
b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X.
Định lý 1.3 (Hahn-Banach). Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, M
là một không gian con của X và f ∈ M
#
thoả mãn
f(m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M.
Lúc đó, tồn tại F ∈ X
#
sao cho
a) F |
M
= f;
b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Ta xét tập hợp U mà mỗi phần tử của nó là một cặp (Y, g) trong đó
M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y
#
, g|
M
= f và g(y) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ Y . Trên U ta định nghĩa
quan hệ hai ngôi α xác định bởi
(Y, g) α(Z, h) ⇔ Y ≤ Z; h|
Y
= g.
Có thể kiểm chứng được (U, α) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tậ p con sắp

thẳng đều tồn tại phần tử chận trên. Theo Bổ đề Zorn, trong U tồn tại phần tử tối
đại (Y, g). Ta sẽ chỉ ra Y = X và điều đó kết thúc chứng minh.
Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X \ Y . Với mọi cặp y
1
, y
2
∈ Y ta có
g(y
1
) −g(y
2
) = g(y
1
− y
2
) ≤ ϕ(y
1
− y
2
) ≤ ϕ(y
1
+ v) + ϕ(−y
2
− v)
7
⇒ λ = sup{g(y
1
) −ϕ(y
1
+ v) | y

1
∈ Y } ≤ µ = inf{g(y
2
) + ϕ(−y
2
− v) | y
2
∈ Y }.
Với mỗi y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y + tv) = g(y) −tλ. Dễ kiểm chứng được rằng
h ∈ Z
#
, với Z là không gian con sinh bởi Y và v, thỏa mãn h|
Y
= g. Mặt khác,
h(y + tv) ≤ ϕ (y + tv) với mọi y + tv ∈ Z. Vậy (Y, g) = (Z, h) ∈ U và (Y, g) α(Z, h),
mâu thuẫn vì (Y, g) là phần tử tối đại. Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X. Lúc
đó, với mọi f ∈ M
∗
, tồn tại F ∈ X
∗
sao cho
F |
M
= f và F  = f.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.3 với ϕ(x) = fx.
Hệ quả 1.2. Cho X là không gian định chuẩn và x
0
∈ X \ {0}. Lúc đó, tồn tại
f ∈ X

∗
sao cho
f = 1 và f(x
0
) = x
0
.
Chứng minh. Sử dụng Hệ quả 1.1 với M = span{x
0
} và f(λx
0
) = λx
0
.
1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii.
Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp thụ nếu
∀v ∈ X, ∃ > 0, (−v, v) ⊂ A
hay, một cách tương đương,
∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, v ∈ tA.
Một điểm x
0
được gọi là điểm bọc của A nếu A −x
0
là hấp thụ. Tập tất cả các
điểm bọc của A, ký hiệu core A, được gọi là lõi của A. Như vậy,
x
0
∈ core A ⇔ ∀v ∈ X, ∃ > 0, ∀λ ∈ (−, ) : x
0
+ λv ∈ A.

Rõ ràng, khái niệm điểm bọc là một mở rộng của khái niệm điểm trong của không
gian định chuẩn. Hơn nữa, ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.4. Nếu X là một không gian định chuẩn và A ⊂ X, thì
a) Int A ⊂ core A.
b) Nếu dim X < ∞ và A lồi, thì Int A = core A.
8
Chứng minh. Khẳng định a) suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Để chứng minh b) ta
giả thiết {e
1
, e
2
, ··· , e
n
} là một cơ sở của X. Vì mọi chuẩn trên X đều tương đương
nên không mất tính tổng quát ta có thể xét chuẩn · 
1
xác định bởi

n

i=1
x
i
e
i

1
:=
n


i=1
|x
i
|.
Với mọi x
0
∈ core A, tồn tại  > 0 sao cho x
0
± e
i
∈ A với mọi i = 1 n. Do A
lồi nên B := co{x
0
± e
i
| 1 ≤ i ≤ n} ⊂ A. Để kết thúc chứng minh ta chú ý rằng
B chính là hình cầu tâm x
0
, bán kính  trong (X,  ·
1
).
Mệnh đề 1.5. Nếu C ⊂ X là tập lồi, thì core C và tập hợp dưới đây cũng lồi
lin C := {y ∈ X | ∃c ∈ C, [c, y) ⊂ C}.
Chứng minh. Giả sử c
1
, c
2
∈ core C và t ∈ (0, 1). Lúc đó, với mọi v ∈ X tồn
tại  > 0 sao cho c
i

+ λv ∈ C với mọi λ ∈ (−, ). Vì C lồi nên ta cũng có
tc
1
+ (1 − t)c
2
+ λv = t(c
1
+ λv) + (1 − t)(c
2
+ λv) ∈ C với mọi λ ∈ (−, ). Vậy
tc
1
+ (1 − t)c
2
∈ core C, hay core C lồi.
Để chứng minh lin C lồi ta cũng lấy y
1
, y
2
∈ lin C và t ∈ (0, 1). Theo định nghĩa,
tồn tại c
1
, c
2
∈ C sao cho [c
1
, y
1
) ⊆ C và [c
2

, y
2
) ⊆ C. Dễ kiểm chứng được rằng
[c
t
, ty
1
+ (1 −t)y
2
) ⊆ C với c
t
:= tc
1
+ (1 −t)c
2
∈ C. Vì vậy ty
1
+ (1 −t)y
2
∈ lin C,
hay lin C lồi.
Bây giờ, cho C là một tập lồi hấp thụ trong X. Ta định nghĩa phiếm hàm
Minkowskii của C là hàm được xác định bởi
p
C
(x) := inf{λ > 0 | x ∈ λC}; x ∈ X.
Rõ ràng, 0 ≤ p
C
(x) < ∞ với mọi x ∈ X.
Định lý 1.6. p

C
là phiếm hàm dưới tuyến tính và
{x ∈ X | p
C
(x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ X | p
C
(x) ≤ 1}.
Cụ thể hơn, ta có {x ∈ X | p
C
(x) < 1} = core C và {x ∈ X | p
C
(x) ≤ 1} = lin C.
1.2.3. Định lý tách tập lồi.
Cho A và B là hai tập con của không gian vectơ X. Một phiếm hàm tuyến tính
f ∈ X
#
\ {0} được gọi là tách A và B nếu
f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a) ≥ f(b)); ∀a ∈ A, b ∈ B.
Điều này tương đương với nói rằng, tồn tại một số α ∈ R sao cho
f(a) ≤ α ≤ f(b); ∀a ∈ A, b ∈ B.
9
Lúc đó, ta nói siêu phẳng
H(f; α) := f
−1
(α) = {x ∈ X | f(x) = α}
tách A và B. Trường hợp B là tập một điểm: B = {x
0
}, ta nói đơn g iản siêu phẳng
H(f; α) tách A và x
0

. Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất.
Định lý 1.7 (Định lý tách cơ bản). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, core A = ∅
và A ∩B = ∅. Lúc đó, tồn tại siêu phẳng tách A và B.
Bổ đề 1.1. Nếu C là tập lồi hấp thụ và x
0
∈ C thì tồn tại siêu phẳng tách C và x
0
.
Chứng minh. Đặt M := span{x
0
} và g : M → R xác định bởi g(λx
0
) := λ với mọi
λ ∈ R. Lúc đó g ∈ M
#
, hơn nữa, do p
C
(x
0
) ≥ 1 nên g(m) ≤ p
C
(m) với mọi m ∈ M .
Áp dụng Định lý Hahn-Banach tồn tại f ∈ X
#
sao cho f|
M
= g và f(x) ≤ p
C
(x)
với mọi x ∈ X. Rõ ràng f(x

0
) = 1. Mặt khác, với mọi c ∈ C ta có f(c) ≤ p
C
(c) ≤ 1.
Nên f tách C và x
0
.
Chứng minh Định lý 1.7. Giả sử a
0
∈ core A và b
0
∈ B. Đặt x
0
:= a
0
− b
0
và
C := A −B −(a
0
−b
0
). Lúc đó, C lồi, hấp thụ và không chứa x
0
. Từ Bổ đề trên tồn
tại f ∈ X
#
\ {0} tách C và x
0
. Dễ kiểm chứng được rằng f cũng tách A và B.

1.3. Không gian tôpô lồi địa phương.
1.3.1. Không gian tôpô.
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ τ ⊂ P(X) được gọi là một tôpô trên
X nếu nó thoả mãn các tính chất sau:
i) ∅, X ∈ τ,
ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ,
iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ.
Lúc đó, X được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là mộ t
tập mở trong X.
Bây giờ cho A ⊂ X, x
0
∈ X, ta nói x
0
- là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U ⊂ A,
- là một điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U và U ∩ A = ∅,
- là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai.
Ta nói phần trong (phần ngoài, biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểm
trong (điểm ngoài, điểm biên tương ứng) của A và ký hiệu là Int A (Ext A, ∂A).
10
Nếu x
0
là điểm trong của A ta cũng nói A là một lân cận của x
0
. Tập A đượ c gọi là
đóng nếu ∂A ⊂ A. Với A là tập bất kỳ, ta gọi bao đóng của A là tập A := A ∪ ∂A.
Các kết quả dưới đây có thể được kiểm chứng dễ dàng.
a) A là đóng khi và chỉ khi X \ A là mở.
b) Với A là tập tuỳ ý, Int A là tập mở, và là tập con mở lớn nhất của A, A mở
khi và chỉ khi A = Int A.
c) Với A là tập tuỳ ý, A là tập đóng, và là tập đóng bé nhất chứa A, A đóng

khi và chỉ khi A = A.
Từ tính chất a) và các tính chất của tập mở ta suy ra các tính chất của tập
đóng:
i) ∅ và X là các tập đóng,
ii) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng,
iii) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.
Cho không gian tôpô (X, τ ). Một họ B ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của
τ nếu mọi tập U ∈ τ đều được biểu diễn dưới dạng hợp các tập thuộc B. Một họ
V ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của x
0
∈ X nếu với mọi lân cận U của x
0
đều
tồn tại V ∈ V sao cho x
0
∈ V ⊆ U. Ta có kết quả sau:
Cho B ⊆ P(X). Để tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ sở thì điều kiện cần và
đủ là B thỏa mãn các tính chất sau
(i)

V ∈B
V = X,
(ii) ∀ U, V ∈ B, ∀ x ∈ U ∩V , ∃W ∈ B: x ∈ W ⊆ U ∩V.
Cho một họ C ⊆ P(X) tùy ý. Dễ kiểm chứng được rằng họ sau đây
B :=

k

i=1
C

i
| k ∈ N
∗
; C
i
∈ C, 1 ≤ i ≤ k

thỏa mãn (i-ii), nên sẽ là cơ sở của một tôpô τ nào đó trên X. Lúc đó, ta nói C là
tiền cơ sở của τ .
Một tập được sắp thứ tự (I, <) được gọi là tập định hướng nếu với mọi λ, µ ∈ I
tồn tại γ ∈ I sao cho λ < γ và µ < γ. Một dãy suy rộng trong X là một ánh xạ
ϕ từ một tập được định hướng I vào X. Nếu ký hiệu x
λ
:= ϕ(λ) thì ta có thể nói
(x
λ
) là một dãy suy rộng trong X. Giả sử (x
λ
)
λ∈I
là một dãy suy rộng, J là một tập
định hướng khác và φ là một ánh xạ từ J vào I, với λ
µ
:= φ(µ); µ ∈ J, thoả mãn:
+ Với mọi µ < µ

ta có λ
µ
< λ
µ


;
+ Với mọi λ ∈ I tồn tại µ ∈ J sao cho λ < λ
µ
.
11
Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy (suy rộng) con của dãy ϕ hay (x
λ
µ
) là dãy con của
dãy (x
λ
).
Dãy suy rộng (x
λ
) trong không gian tôpô (X, τ ) được gọi là hội tụ đến ¯x nếu
vơi mọi lân cận V của ¯x, tồn tại λ
0
sao cho với mọi λ > λ
0
ta có x
λ
∈ V . Lúc đó, ta
ký hiệu x
λ
→ ¯x. Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi dãy suy rộng
trong A đều tồn tại dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A. Ta có thêm các kết quả
sau
d) A là tập đóng ⇐⇒ với mọi dãy (x
λ

) ⊂ A, nếu x
λ
→ ¯x thì ¯x ∈ A.
Ta gọi một phủ mở của A là một họ {U
α
| α ∈ Λ} các tập mở sao cho
A ⊂

α∈Λ
U
α
.
Lúc đó, nếu có họ hữu hạn H = {α
1
, α
2
, ··· , α
k
} ⊂ Λ sao cho
A ⊂

α∈H
U
α
,
thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên.
e) A là tập compact ⇐⇒ mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn.
1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính.
Cho không gian vectơ X. Lúc đó, một tôpô τ trên X được gọi là tương thích
với cấu trúc đại số trên X nếu dưới tôpô này, các ánh xạ sau liên tục.

+ :X × X → X,
. :R × X → X.
Tức là:
Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận U của x, V
của y sao cho U + V ⊂ W.
Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và mọi lân cận W của λx, tồn tại  > 0 và lân cận V
của x sao cho µV ⊂ W với mọi µ ∈ (λ − , λ + ).
Lúc đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không gian
vectơ tôp ô hay không gian tôpô tuyến tính.
Bổ đề 1.2. Trong không gian tôpô tuyến tính X,
Phép tịnh tiến: T
a
(x) := a + x,
Phép vị tự: ϕ
α
(x) := αx,
với a ∈ X, α ∈ R \{0}, là các phép đồng phôi từ X lên X.
12
Chứng minh. Vì đó là các song ánh liên tục và T
−1
a
= T
−a
, ϕ
−1
α
= ϕ
α
−1
.

Hệ quả 1.3. Trên không gian tôpô tuyến tính ta có
a) V là lân cận gốc ⇔ V + a là lân cận của a;
b) V là lân cận của x
0
⇔ αV là lân cận của αx
0
, với mọi α = 0.
Một tập A ⊆ X được gọi là cân đối nếu với mọi |λ| ≤ 1 ta có λA ⊆ A.
Mệnh đề 1.8. Nếu V là lân cận gốc trong không gian tôpô tuyến tính X, thì
a) V là tập hấp thụ.
b) Tồn tại một lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊂ V .
Chứng minh. Để khỏi nhầm lẫn, trong chứng minh này, ta ký hiệu θ là vectơ gốc
trong X.
a) Vì 0.x = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại  > 0 và lân cận U của x sao cho
λU ⊆ V với mọi λ ∈ (−, ). Suy ra λx ⊆ V với mọi λ ∈ (−, ). Vậy V hấp thụ.
b) Vì θ + θ = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại các lân cận gốc U
1
, U
2
sao cho
U
1
+ U
2
⊆ V . Vì 0.θ = θ nên với lân cận gốc U
0
:= U
1
∩U
2

tồn tại  > 0 và lân cận
gốc W sa o cho λW ⊆ U
0
với mọi λ ∈ (−, ). Đặt
U :=

|λ|<
λW
ta có U là lân cận cân đối của gốc và U + U ⊆ V .
Định lý 1.9. Cho X là một không gian vectơ.
a) Nếu τ là một tôpô tuyến tính, thì tồn tại cơ sở lân cận gốc V ⊂ τ thoả mãn
i) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ V,
ii) α V ∈ V với mọi α = 0 và V ∈ V,
iii) Với mọi V ∈ V tồn tại U ∈ V sao cho U + U ⊂ V ,
iv) Với mọi V
1
, V
2
∈ V, tồn tại U ∈ V sao cho U ⊂ V
1
∩ V
2
.
b) Ngược lại, nếu V ⊂ P(X) là họ các tập thoả mãn các điều kiện (i-iv), thì tồn
tại tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc. Cụ thể,
τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ V, x + V ⊂ U}.
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.15. Trong khẳng định a) đặt V là tập các lân cận
gốc cân đối, còn trong b) chỉ cần kiểm tra τ đã cho là một tôpô tuyến tính.
13
Mệnh đề 1.10. Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc, thì τ

là tôpô Hausdorff khi và chỉ khi

V ∈V
V = {0}.
Chứng minh. Cần là hiển nhiên. Để chứng minh đủ ta chú ý rằng nếu V là một lân
cận gốc không chứa a ∈ X, thì với lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊆ V , ta sẽ
có U ∩(a + U) = ∅.
1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương.
Từ kết quả của mục trước, ta thấy cấu trúc của một tôpô tuyến tính hoàn toàn
được xác định bởi hệ cơ sở lân cậ n gốc. Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốc gồm
toàn các tập lồi thì τ sẽ được gọi là tôpô (tuyến tính) lồi địa phương và X được gọi
là không gian tôpô (tuyến tính) lồi địa phương.
Định lý 1.11. Cho X là một không gian vectơ.
a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc V
gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ.
b) Ngược lại, nếu V
0
là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau
V :=


m

1
V
i
|  > 0; m ∈ N; V
i
∈ V
0


là cơ sở lân cận gốc của một tôpô lồi địa phương nào đó. Hơn nữa, tôpô này
là Hausdorff khi và chỉ khi

V ∈V
0
; >0
V = {0}.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.9 với V là họ các lân cận lồi, cân đối.
Nếu chú ý rằng, với mọi V ∈ V ta có V ⊂ 2V , thì ta có thể khẳng định rằng
mọi tôpô lồi địa phương đều tồn tại một cơ sở lân cận gốc lồi, cân đối và đóng.
Ví dụ 1.1. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi
họ chỉ gồm một tập: V
0
= {B(0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cậ n gốc tương ứng là
V = {B(0; 1) |  > 0} = {B(0; ) |  > 0}.
Ví dụ 1.2. Với mỗi p > 0 ta vẫn ký hiệu
l
p
= {x = (x
n
) ⊂ R |
∞

1
|x
n
|
p
< ∞}.

14
Đó là các không gian vectơ. Đặt
V

:=

x ∈ l
p




∞

1
|x
n
|
p

1
p
< 

.
Lúc đó, V = {V

|  > 0} là cơ sở lân cận gốc của một tôpô tuyến tính trên l
p
. Hơn

nữa, ta có thể chứng minh được rằng l
p
là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi
p ≥ 1.
1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất.
Trên không gian vectơ X có thể có nhiều tôpô lồi địa phương khác nhau. Ta
gọi tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên X là tôpô τ
0
sinh bởi họ V
0
gồm tất cả các
tập lồi, cân đối, hấp thụ trong X. Sở dĩ có tên gọi như vậy vì với mọi tôpô lồi địa
phương τ trên X, ta có τ ⊂ τ
0
.
Định lý 1.12. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất τ
0
trên X là Hausdorff. Trong tôpô
ấy ta có
a) Mọi tập lồi, hấp thụ đều là lân cận gốc;
b) Nếu C là tập con lồi của X, thì core C = Int C;
c) Cho Y là một không gian lồi địa phương tuỳ ý. Lúc đó, mọi ánh xạ tuyến tính
từ X vào Y đều liên tục.
Chứng minh.
a) Vì mọi tập lồi, hấp thụ đều chứa một tập V ∈ τ
0
.
b) Nếu x
0
∈ core C thì C − x

0
hấp thụ và lồi, nên cũng là lân cận gốc, do đó
x
0
∈ Int C.
c) Vì ảnh ngược của một tập lồi, hấp thụ qua ánh xạ tuyến tính cũng là một
tập lồi, hấp thụ.
Định lý 1.13. Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì trong X chỉ có một tôpô lồi
địa phương Hausdorff duy nhất. Đó chính là tôpô Euclide thông thường.
Chứng minh. Giả sử dim X = n và {e
1
, ··· , e
n
} là một cơ sở trực chuẩn, theo
tôpô Euclide, của X. Ký hiệu τ
E
là tôpô Euclide và τ là một tôpô lồi địa phương
Hausdorff nào đó trên X. Với mỗi τ−lân cậ n lồi của gốc V , tồn tại  > 0 sa o cho
{±e
i
| 1 ≤ i ≤ n} ⊂ V . Do V lồi nên V ⊃ co{±e
i
| 1 ≤ i ≤ n} ⊃

n
B(0; 1),
với B(0; 1) là τ
E
−hình cầu đơn vị. Vậy τ ⊂ τ
E

. Từ đó suy ra toán tử đồng nhất
I : (X, τ
E
) → (X, τ ) là song ánh liên tục và τ
E
−mặt cầu đơn vị S(0; 1), với tư
cách là ảnh liên tục của một tập compact, là tập τ−compact. Vì τ Hausdorff nên
S(0; 1) là đóng. Mặt khác 0 ∈ S(0; 1), nên tồn tại τ −lân cận gốc lồi U sao cho
U ∩S(0; 1) = ∅. Dễ chứng minh được rằng U ⊆ B(0; 1). Vậy τ = τ
E
.
15
Từ định lý trên ta thấy tôpô Euclide cũng là tôpô lồi địa phương mạnh nhất
trên không gian hữu hạn chiều. Khẳng định sau là hiển nhiên
Hệ quả 1.4. Trong R
n
với tôpô Euclide ta có
a) Nếu C ⊂ R
n
là tập lồi thì Int C = core C;
b) Mọi ánh xạ tuyến tính từ R
n
vào một không gian lồi địa phương Y đều liên
tục.
Hệ quả 1.5. Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian lồi địa phương
Hausdorff đều đóng.
Chứng minh. Cho (X, τ) là không gian lồi địa phương Hausdorff và M là không
gian con hữu hạn chiều của X. Do Định lý 1.13 tôpô cảm sinh của τ lên M chính
là tôpô Euclide. Đặt U
n

= B
M
(0;
1
n
) là hình cầu mở tâm 0 bán kính
1
n
trong M. Với
mỗi n tồn tại τ −lân cận gốc lồi, cân đối V
n
sao cho V
n
∩ M ⊆ U
n
.
Giả sử (x
λ
)
λ∈I
là dãy trong M , hội tụ về x ∈ X. Ta sẽ chứng minh x ∈ M.
Do x
λ
→ x, với mỗi n ∈ N , tồn tại λ
n
∈ I sao cho x
λ
∈ x + V
n
, với mọi λ ≥ λ

n
.
Chú ý rằng, ta có thể chọn sao cho λ
n
< λ
n+1
với mọi n. Như vậy (x
λ
n
) là một dãy
con của (x
λ
). Bây giờ lấy x
λ
m
và x
λ
n
, với m < n, ta có x
λ
m
, x
λ
n
∈ x + V
m
. Vì vậy
x
λ
m

−x
λ
n
∈ V
m
−V
m
= 2V
m
. Mặt khác, x
λ
m
−x
λ
n
∈ M, nên x
λ
m
−x
λ
n
∈ 2U
m
, hay
x
λ
m
− x
λ
n

 <
2
m
. Vậy (x
λ
m
) là dãy Cauchy trong M nên hội tụ đến y ∈ M. Do
tính duy nhất của giới hạn trong không gian Hausdorff ta có x = y ∈ M.
1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô.
Giả sử (X, τ
X
), (Y, τ
Y
) là hai không gian tôpô lồi địa phương. Lúc đó, không
gian vectơ tích X ×Y với tôpô tích Tikhonov (tức là tôpô trên X ×Y có cơ sở gồm
tất cả các tập U × V với U ∈ τ
X
và V ∈ τ
Y
) cũng là không gian lồi địa phương, cụ
thể ta có kết quả sau
Định lý 1.14.
a) Tích của hai không gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y là không gian lồi địa
phương (Hausdorff) X ×Y .
b) Nếu Z là một không gian lồi địa phương thì mọi ánh xạ A ∈ L(X × Y, Z) đều
có dạng A(x, y) = A
1
(x) + A
2
(y), với A

1
∈ L(X, Z) và A
2
∈ L(Y, Z) là các
ánh xạ được xác định bởi
A
1
(x) = A(x, 0); A
2
(y) = A(0, y).
Hơn nữa, A liên tục khi và chỉ khi A
1
và A
2
đều liên tục.
16
Bây giờ giả sử M ≤ X và N là phần bù đại số của M (tức là, M + N = X và
M ∩N = {0}, lúc đó với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất một cặp m ∈ M và n ∈ N sao
cho x = m + n). Với tô pô cảm sinh, M và N cũng là các không gian lồi địa phương
và do đó ta có không gian lồi địa phương M × N. Xét ánh xạ
ϕ :M ×N → X
(m, n) → m + n.
Dễ thấy rằng ϕ là một song ánh tuyến tính liên tục. Nếu ϕ
−1
cũng là một ánh xạ
liên tục, thì M , N sẽ được gọi là phần bù tôpô của nhau và ký hiệu
X = M ⊕ N.
Mệnh đề 1.15. Giả sử X là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, M là không
gian con đóng của X và codim M < ∞. Lúc đó mọi phần bù đại số của M đều là
phần bù tôpô.

Để chứng minh mệnh đề này ta cần sử dụng kết quả sau.
Bổ đề 1.3. Cho M và C là hai tập con của một không gian tôpô tuyến tính sao cho
M đóng, C compact. Lúc đó M + C là tập đóng.
Chứng minh Mệnh đề 1.15. Giả sử N là phần bù đại số của M. Lúc đó dim N < ∞
nên tôpô cảm sinh trên N là tôp ô Euclide. Ta chỉ cần chứng minh ánh xạ chiếu
p
N
: X → N xác định bởi p
N
(m + n) = n, với mọi m ∈ M , n ∈ N, là liên tục. Đặt
C = S
N
(0; 1) là mặt cầu đơn vị trong N. Theo Bổ đề 1.3, C + M là tập đóng. Mặt
khác, 0 ∈ C + M, vì vậy tồn tại lân cận gốc lồi V trong X sao cho V ∩(C + M) = ∅.
Dễ chứng minh được rằng p
N
(V ) ⊆ B
N
(0; 1). Từ đó p
N
(V ) ⊆ B
N
(0; ) với mọi
 > 0. Vậy p
N
liên tục tại gốc nên liên tục.
1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương.
Trong suốt mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết X là một không
gian tôpô lồi địa phương.
1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn.

Mệnh đề 1.16.
a) Cho C là tập lồi, hấp thụ trong X. Lúc đó p
C
là hàm liên tục khi và chỉ khi C
là một lân cận gốc. Hơn nữa, ta có
Int C = {x ∈ X | p
C
(x) < 1}; C = {x ∈ X | p
C
(x) ≤ 1}.
17
b) Cho C và D là hai tập lồi, hấp thụ trong X và α > 0. Lúc đó,
p
(αC)
=
1
α
p
C
; p
(C∪D)
= max{p
C
, p
D
}.
c) Nếu p là một phiếm hàm dưới tuyến tính không âm trên X thì p = p
C
, với
C = {x ∈ X | p(x) < 1}.

Chứng minh. Từ Định lý 1.6 ta có 0 ∈ p
−1
C
(−∞, 1) ⊆ C và 0 ∈ C ⊆ p
−1
C
[0, ]. Vì
vậy, p
C
liên tục khi và chỉ khi C là lân cận gốc. Lúc đó dễ thấy
p
−1
C
(−∞, 1) ⊆ Int C ⊆ C ⊆ p
−1
C
(−∞, 1].
Mặt khác, có thể chứng minh rằng p
C
(x) = 1 ⇒ x ∈ ∂C. Vậy a) được chứng minh.
b) được suy ra từ định nghĩa. Để chứng minh c) ta sử dụng các mệnh đề:
p(x) < 1 ⇒ p
C
(x) ≤ 1; p
C
(x) < 1 ⇒ x ∈ C ⇒ p(x) < 1,
và nhận xét rằng, nếu p và q là hai phiếm hàm thuần nhất dương, không âm thỏa
mãn p(x) < 1 ⇒ q(x) ≤ 1 thì q(x) ≤ p(x) với mọi x.
Phiếm hàm p trên X được gọi là một nửa chuẩn nếu
a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), với mọi x, y ∈ X;

b) p(λx) = |λ|p(x), với mọi λ ∈ R và x ∈ X.
Vậy, p là một chuẩn nếu p là nửa chuẩn và p(x) = 0 ⇔ x = 0. Ta dễ dàng kiểm
chứng được mệnh đề sau
Mệnh đề 1.17. Cho p là một phiếm hàm trên X.
a) p là nửa chuẩn nếu và chỉ nếu p = p
C
với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ.
b) p là chuẩn nếu và chỉ nếu p = p
C
với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ và
không chứa trọn đường thẳng nào.
Từ Định lý 1.11 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ X
hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ V
0
(theo nghĩa
τ là tôpô tuyến tính yếu nhất nhận mọi tập V ∈ V
0
làm lân cận gốc). Kết hợp với
Mệnh đề 1.16 và Mệnh đề 1.17 ta có thể khẳng định thêm rằng τ hoàn toàn được
xác định bởi một họ P
0
các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất
sao cho mọi nửa chuẩn p ∈ P
0
đều liên tục). Đặc biệt, mọi chuẩn đều hoàn toàn
được xác định bởi một tập C lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa đường thẳng nào
(lúc đó, với chuẩn này, B(0; 1) ⊂ C ⊂ B

(0; 1)).
18

1.4.2. Các tính chất tôpô.
Cho C là tập lồi trong X. Ta vẫn ký hiệu Int C là phần trong của C. Ngoài ra,
ta gọi phần trong tương đối của C là phần trong của tập này theo tôpô cảm sinh
trong Aff(C). Cụ thể,
ri C := {x ∈ C | tồn tại lân cận gốc V : (x + V ) ∩Aff(C) ⊂ C}.
Định lý 1.18. Cho C là tập lồi khác rỗng trong X. Lúc đó,
a) Int C, C là các tập lồi.
b) Nếu x ∈ Int C và y ∈ C thì [x, y) ⊂ Int C.
c) Nếu Int C = ∅ thì C = Int C, Int C = Int C và core C = Int C.
d) Nếu dim C < ∞ thì ri C = ∅ và C = ri C; ri C = ri C.
Chứng minh.
a) Nếu x, y ∈ Int C, thì tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C và y+ V ⊆ C.
Do đó, với mọi λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 −λ)y + V ⊆ C, nên λx + (1 − λ)y ∈ Int C.
Vậy Int C lồi. Bây giờ lấy x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1). Với mọi lân cận gốc lồi V , tồn tại
x ∈ (x + V ) ∩C và y ∈ (y + V ) ∩C, lúc đó λx + (1 −λ)y ∈ (λx + (1 −λ)y + V ) ∩C.
Vậy λx + (1 −λ)y ∈ C, suy ra C là tập lồi.
b) Ta chứng minh w = µx + (1 −µ)y ∈ Int C, với mọi µ ∈ (0, 1]. Đặt λ =
µ
2
và
z = λx+(1−λ)y. Vì x ∈ Int C nên tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C. Lại vì
y ∈
C nên y ∈ C+
λ
1−λ
V , do đó z ∈ λx+(1− λ)(C +
λ
1−λ
V ) = λ(x +V )+(1−λ)C ⊆ C.
Để ý rằng w = tx + (1 − t)z với t =

λ
1−λ
, ta có w + tV ⊆ t(x + V ) + (1 − t)z ⊆ C.
Vậy w ∈ Int C.
c) Khẳng định C = Int C suy ra trực tiếp từ b). Giả sử c ∈ Int C. Với mọi
w ∈ Int C tồn tại  > 0 đủ bé sao cho y = w + (w −c) ∈ C. Vì w ∈ [c, y) nên theo
b) w ∈ Int C, suy ra Int C = Int C. Việc chứng minh core C = Int C được tiến hành
tương tự.
d) Không mất tính tổng quát giả thiết 0 ∈ C. Trước hết ta chứng minh rằng, nếu
dim C = dim X = n thì Int C = ∅. Thật vậy, lúc đó tồn tại hệ hệ độc lập tuyến tính
{c
1
, c
2
, ··· , c
n
} ⊆ C. Vì tôpô trên X trùng với tôpô Euclide nhận {c
1
, c
2
, ··· , c
n
}
làm hệ trực chuẩn nên ta có thể kiểm chứng được Int C = ∅. Từ đó, nếu dim C < ∞
thì ri C chính là phần trong của C với tôpô cảm sinh trên Aff(C), nên khác rỗng.
Sử dụng c) ta nhận được các khẳng định còn lại.
Cho A ⊂ X, ta ký hiệu coA là tập lồi đóng bé nhất chứa A. Từ định lý trên, ta
thấy coA = co A. Tuy nhiên chú ý rằng nói chung ta chỉ có bao hàm thức co A ⊂ coA.
Mệnh đề 1.19. Nếu A ⊂ X là một tập compact và tồn tại số nguyên dương n sao
cho, với mọi x ∈ co A đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của không quá n

phần tử thuộc A, thì co A là tập compact.
19
Chứng minh. Dễ thấy ánh xạ ϕ từ không gian tôpô tích R
n
× X
n
vào X, xác
định bởi ϕ(λ
1
, ··· , λ
n
, x
1
, ··· , x
n
) =

n
i=1
λ
i
x
i
là liên tục. Mặt khác tập K =
{(λ
1
, λ
2
, ··· , λ
n

) ∈ [0, 1]
n
|

n
1
λ
i
= 1} là compact trong R
n
. Vì vậy co A =
ϕ(K × A
n
) cũng là tập compact trong X.
Từ mệnh đề trên ta lập tức nhận được các hệ quả sau
Hệ quả 1.6. Nếu C
1
, C
2
, ··· , C
n
⊂ X là các tập lồi compact, thì
co(C
1
∪ C
2
∪ ··· ∪C
n
)
cũng là tập compact.

Hệ quả 1.7. Nếu dim X < ∞ và A là tập compact, thì co A cũng là tập compact.
Hệ quả này được chứng minh nhờ sử dụng Định lý Carathéodory. Mệnh đề sau
cho ta một kết quả mở rộng trên không gian Banach.
Mệnh đề 1.20. Nếu A là một tập compact trong không gian Banach X, thì coA là
tập compact.
Chứng minh. Với mọi  > 0, do A hoàn toàn bị chặn nên tồn tại {a
1
, ··· , a
k
} ⊆ X
sao cho A ⊆ ∪
k
1
B(a
i
;

2
). Lại do C := co{a
1
, ··· , a
k
} compact, nên hoàn toàn bị chặn,
tồn tại {b
1
, ··· , b
m
} ⊆ X sao cho C ⊆ ∪
m
1

B(b
j
;

2
). Lúc đó, co A ⊆ co

∪
k
1
B(a
i
;

2
)

=
C + B(0;

2
) ⊆ ∪
m
1
B(b
j
; ). Vậy co A là tập hoàn toàn bị chặn nên coA compact.
1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi.
Cho tập lồi khác rỗng C ⊂ X. Ta nói vectơ d là một phương lùi xa của C nếu
x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0.

Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được ký hiệu là
o
+
(C). Vậy,
o
+
(C) = {d ∈ X | x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0}.
Mệnh đề 1.21. o
+
(C) là nón lồi chứa gốc. Hơn nữa,
o
+
(C) = {d ∈ X | C + d ⊂ C}
Chứng minh. Thật vậy, nếu C + d ⊂ C thì C + nd ⊂ C với mọi n ∈ N
∗
. Lại do C
lồi nên C + λd ⊂ C với mọi λ > 0. Tức là d ∈ o
+
(C).
20
Ví dụ 1.3. Trong R
2
cho các tập
C
1
= {(x, y) | x > 0; y ≥
1
x
};
C

2
= {(x, y) | y ≥ x
2
};
C
3
= {(x, y) | x
2
+ y
2
≤ 1};
C
4
= {(x, y) | y ≥
√
1 + x
2
};
C
5
= {(x, y) | (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x = y = 0)}.
Lúc đó,
o
+
(C
1
) = {(u, v) | u ≥ 0; v ≥ 0};
o
+
(C

2
) = {(0, v) | v ≥ 0};
o
+
(C
3
) = {(0, 0)};
o
+
(C
4
) = {(u, v) | v ≥ |u|};
o
+
(C
5
) = C
5
.
Ví dụ 1.4. Cho a
i
∈ R
n
, α
i
∈ R; 1 ≤ i ≤ m. Xét tập hợp
C
6
= {x ∈ R
n

| a
i
, x ≤ α
i
; 1 ≤ i ≤ m} = ∅.
Ta có
o
+
(C
6
) = {x ∈ R
n
| a
i
, x ≤ 0; 1 ≤ i ≤ m}.
Mệnh đề 1.22. Cho C lồi đóng khác rỗng. Lúc đó, o
+
(C) là nón lồi đóng và
a) d ∈ o
+
(C) ⇔ ∃x
0
∈ C, ∀λ > 0 : x
0
+ λd ∈ C.
b) o
+
(C) = ∩
λ>0
λ(C − x

0
); với mọi x
0
∈ C.
Chứng minh.
a) (⇐) Ta chứng minh x + λd ∈ C với mọi x ∈ C và λ > 0. Với mọi n ∈ N
∗
ta
có x
n
:= (1 −
1
n
)x +
1
n
(x
0
+ nλd) ∈ C. Rõ ràng x
n
→ x + λd. Mặt khác, C đóng nên
x + λd ∈ C.
b) Suy ra trực tiếp từ a).
Mệnh đề 1.23. Tập lồi đóng khác rỗng C ⊂ R
n
bị chặn khi và chỉ khi o
+
(C) = {0}.
Chứng minh. Giả sử c ∈ C. Dễ thấy C bị chặn thì o
+

(C) = {0}. Ngược lại, nếu C
không bị chặn thì tồn tại dãy (x
n
) ⊂ C sao cho x
n
− c → +∞. Không mất tính
tổng quát có thể giả thiết
x
n
−c
x
n
−c
→ s ∈ S(0; 1). Từ Mệnh đề 1.22 ta có s ∈ o
+
(C)
nên o
+
(C) = {0}.
Bài tập 1.1. Tìm một tập A compact trong không gian Banach X mà co A không
compact.
Bài tập 1.2. Tìm một tập lồi C không bị chặn trong R
2
mà o
+
(C) = {0}.
Chương 2
KHÔNG GIAN LIÊN HỢP
TÔPÔ YẾU
2.1. Định lý tách.

2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Cho X là một không gia n tôpô lồi địa phương. Ta vẫn ký hiệu X
#
là không
gian các phiếm hàm tuyến tính trên X. Với mỗi f ∈ X
#
\ {0} và α ∈ R tập hợp
H(f; α) = {x ∈ X | f(x) = α} = f
−1
(α)
là một siêu phẳng trong X, song song với không gian con Ker f = f
−1
(0).
Mệnh đề 2.1. Siêu phẳng H(f; α) là đóng khi và chỉ khi f liên tục.
Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên. Để chứng minh điều kiện cần ta giả sử
H(f; 1) đóng. Vì 0 ∈ H(f; 1) tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho V ∩H(f; 1) = ∅. Lúc
đó, f bị chặn trên bởi 1 trên V nên liên tục.
Ta ký hiệu tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là X
∗
và gọi
là không gian liên hợp, hay không gian đối ngẫu tôpô của X. Dễ kiểm chứng được
rằng X
∗
là một không gian vectơ con của không gian đối ngẫu đại số X
#
.
Hệ quả 2.1. Nếu tôpô trên X là tôpô lồi địa phương mạnh nhất, thì mọi siêu phẳng
trong X đều đóng. Nói cách khác, X
∗
= X

#
.
Chứng minh. Phần bù của siêu phẳng H(f; α) là hợp của hai tập lồi C = f
−1
(−∞, α)
và D = f
−1
(α, +∞). Dễ kiểm chứng được core C = C và core D = D, từ đó C và
D là các tập mở suy ra H(f; α) đóng.
22
Ta nói siêu phẳng H(f; α) để tập A ⊂ X về một phía nếu A là tập con của
một trong hai nửa không gian sau:
H
+
(f; α) := {x ∈ X | f(x) ≥ α}; H
−
(f; α) := {x ∈ X | f(x) ≤ α}.
Như vậy, theo định nghĩa trong Mục 1.2.3. siêu phẳng H(f; α) tách hai tập A
và B khi và chỉ khi siêu phẳng đó để hai tập này về hai phía khác nhau. Tức là
A ⊂ H
+
(f; α) và B ⊂ H
−
(f; α) (hoặc ngược lại).
Mệnh đề 2.2.
a) Nếu siêu phẳng H(f; α) để A về một phía, thì H(f; α) ∩core A = ∅.
b) Một siêu phẳng để một tập có phần trong khác rỗng về một phía thì đóng.
2.1.2. Định lý Tách.
Định lý 2.3 (Định lý Tách). Giả sử hai tập lồi A và B trong không gian X rời
nhau. Hơn nữa, nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn

a) Int A ∪Int B = ∅,
b) dim X < ∞,
thì có một siêu phẳng đóng tách A và B.
Chứng minh. Đặt C = A − B ta có C lồi và không chứa gốc. Ta chứng minh tồn
tại phiếm hàm tuyến tính liên tục tách C với {0}.
a) Nếu Int A ∪ Int B = ∅, thì Int C = ∅. Theo Định lý 1.7, tồn tại siêu phẳng
tách 0 với C. Do Mệnh đề 2.2, đó là siêu phẳng đóng.
b) Bây giờ giả sử dim X = n < ∞. Nếu dim C < n thì tồn tại siêu phẳng (đóng)
chứa C nên tách C với 0, còn nếu dim C = n ta trở về trường hợp a).
Cho tập lồi C ⊂ X và một điểm x
0
∈ C. H(f ; α) được gọ i là siêu phẳng tựa
của C tại x
0
, nếu nó chứa x
0
và để C về một phía. Lúc đó, ta nói x
0
là điểm tựa
của C trên siêu phẳng H(f; α) và f là phiếm hàm tựa của tập lồi C tại x
0
. Nếu hơn
nữa, C ⊂ H
−
(f; α) thì f được gọi là một vectơ pháp tuyến ngoài của C tại x
0
. Lúc
đó,
f(c −x
0

) ≤ 0; ∀c ∈ C.
Ta ký hiệu N
C
(x
0
) là tập hợp tất cả các vectơ pháp tuyến ngoài liên tục của C tại
x
0
; tức là
N
C
(x
0
) := {f ∈ X
∗
| f(c − x
0
) ≤ 0; ∀c ∈ C}.
Hệ quả 2.2. Cho tập lồi C và x
0
∈ C.
a) N
C
(x
0
) là nón lồi chứa gốc trong X
∗
.
b) Nếu Int C = ∅ và x
0

∈ ∂C, thì N
C
(x
0
) = {0}.
Từ kết quả này ta thường gọi N
C
(x
0
) là nón pháp tuyến của C tại x
0
.
23
2.1.3. Định lý Tách mạnh.
Ta nói hai tập A và B là tách mạnh được nếu tồn tại phiếm hàm f = 0 và các
số γ > β sao cho A ⊂ H
−
(f; β) và B ⊂ H
+
(f; γ). Lúc đó, nếu có α ∈ (β, γ) ta cũng
nói siêu phẳng H(f; α) tách mạnh A và B.
Định lý 2.4 (Định lý Tách mạnh). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau
trong X sao cho A đóng và B compact. Lúc đó, tồn tại một siêu phẳng đóng tách
mạnh A và B.
Chứng minh. Đặt C = A − B ta có C là tập lồi, đóng không chứa gốc. Do đó tồn
tại lân cận lồi gốc lồi V sao cho V ∩C = ∅. Do Định lý 2.3 tồn tại phiếm hàm liên
tục f tách C và V , nên tách mạnh C và 0.
Hệ quả 2.3. Cho M là một không gian con của X và x
0
∈ X \M. Lúc đó, tồn tại

f ∈ X
∗
sao cho
f(x
0
) = 1 và f (m) = 0 với mọi m ∈ M.
Hệ quả 2.4. Một không gian con M là trù mật trong X khi và chỉ khi, với mọi
phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X mà bằng không trên M thì f = 0.
Cuối cùng, ta nhận được mệnh đề sau mà là mở rộng một phần của Hệ quả 1.1.
Mệnh đề 2.5. Cho M là một không gian con của X. Lúc đó, với mọi g ∈ M
∗
tồn
tại f ∈ X
∗
sao cho
f|
M
= g.
2.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*.
2.2.1. Tôpô yếu trên X.
Cho (X, τ ) là không gian tôpô lồi địa phương. Với mỗi f ∈ X
∗
, tập hợp
V (f ; 1) := {x ∈ X | |f(x)| < 1}
là một tập lồi cân đối hấp thụ trong X. Do đó, từ kết quả Định lý 1.9, họ
V
0
:= {V (f; 1) | f ∈ X
∗
}

sẽ xác định một tôpô lồi địa phương τ
w
trên X. Tôpô này nhận họ sau làm cơ sở
lân cận gốc:
V =

m

i=1
V (f
i
; ) | m ∈ N
∗
;  > 0; f
i
∈ X
∗
, 1 ≤ i ≤ m

.
24
Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương yếu nhất trên X bảo đảm
sự liên tục của tất cả các phiếm hàm f ∈ X
∗
. Nói riêng, τ
w
⊂ τ. Do đó, ta sẽ gọi τ
w
là tôpô yếu trên X để phân biệt với tôpô mạnh là τ. Tương ứng với tôpô này ta có
các khái niệm mới trên X như tập mở yếu, tập đóng yếu, hội tụ yếu, compact yếu

Ta sẽ ký hiệu x
λ
w
→ ¯x để chỉ rằng dãy suy rộng (x
λ
) hội tụ yếu đến ¯x để phân biệt
với ký hiệu x
λ
→ ¯x nói rằng (x
λ
) hội tụ mạnh đến ¯x.
Mệnh đề 2.6. Cho dãy suy rộng (x
λ
) trong X và ¯x ∈ X. Lúc đó,
x
λ
w
→ ¯x ⇐⇒ f (x
λ
) → f (¯x); ∀f ∈ X
∗
.
Mệnh đề 2.7. Nếu tôpô mạnh trên X là Hausdorff thì tôpô yếu cũng Hausdorff.
Vì tôpô yếu là yếu hơn tôpô mạnh, nên mọi tập đóng yếu (mở yếu) đều đóng
(mở). Điều ngược lại thì không nhất thiết đúng. Tuy vậy, đối với tập lồi thì hai khái
niệm đóng và đóng yếu là tương đương. Điều này được thể hiện trong kết quả sau:
Mệnh đề 2.8. Mọi tập lồi đóng trong X cũng đóng yếu.
Hệ quả 2.5 (Bổ đề Mazur). Giả sử X là không gian định chuẩn và (x
n
) là một dãy

trong X hội tụ yếu đến ¯x. Lúc đó, tồn tại một dãy (y
n
) hội tụ (mạnh) đến ¯x sao
cho y
n
∈ co{x
k
| k ∈ N}, với mọi n ∈ N.
2.2.2. Tôpô yếu* trên X
∗
.
Như đã nhận xét trong 1.1.1. X
∗
là một không gian vectơ con của không gian
X
#
. Sau đây chúng ta sẽ tìm cách xây dựng một tôpô lồi địa phương trên X
∗
.
Tương ứng với mỗi x ∈ X, ta thiết lập một phiếm hàm φ
x
trên X
∗
được xác
định bởi
φ
x
(f) := f(x); ∀f ∈ X
∗
.

Dễ kiểm chứng được rằng đây là một phiếm hàm tuyến tính trên X
∗
, và do đó, nếu
đồng nhất mỗi x ∈ X với φ
x
ta có thể xem X như một họ các phiếm hàm tuyến
tính trên X
∗
. Tôpô tuyến tính yếu nhất τ
w
∗
trên X
∗
bảo đảm sự liên tục của mọi
x ∈ X được gọi là tôpô yếu* trên X
∗
. Tương tự tôpô yếu, ta có thể thấy τ
w
∗
là tôpô
lồi địa phương, có cơ sở lân cận gốc gồm các tập có dạng
B
∗
=

m

i=1
V
∗

(x
i
; ) | m ∈ N;  > 0; x
i
∈ X, 1 ≤ i ≤ m

,
trong đó,
V
∗
(x; ) := {f ∈ X
∗
| |f(x)| < }.
Một điều đáng chú ý là bất luận tôpô trên X như thế nào, tôpô yếu* trên X
∗
luôn
luôn là Hausdorff. Tương tự sự hội tụ trong tôpô yếu, ta ký hiệu f
λ
w
∗
→ f để chỉ rằng
dãy suy rộng (f
λ
) hội tụ theo tôpô yếu* về phiếm hàm f trong X
∗
.