BÀI TẬP TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CỰC HAY

Phan Đình Tú Vectơ
1. Các định nghĩa
• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là
AB
uuur
.
• Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu
AB
uuur
.
• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu
0
r
.
• Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu
a b, ,
r
r
để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ
0
r
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
Mọi vectơ
0
r
đều bằng nhau.

2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
.
• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
• Tính chất:
a b b a+ = +
r r
r r
;
( ) ( )
a b c a b c+ + = + +
r r
r r r r
;
a a0+ =
r
r r
b) Hiệu của hai vectơ
• Vectơ đối của
a
r
là vectơ
b
r

sao cho
a b 0+ =
r r
r
. Kí hiệu vectơ đối của
a
r
là
a
−
r
.
• Vectơ đối của
0
r
là
0
r
.
•
( )
a b a b− = + −
r r
r r
.
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
OB OA AB− =
uuur uuur uuur
.
c) Tích của một vectơ với một số

• Cho vectơ
a
r
và số k
∈
R.
ka
r
là một vectơ được xác định như sau:
+
ka
r
cùng hướng với
a
r
nếu k
≥
0,
ka
r
ngược hướng với
a
r
nếu k < 0.
+
ka k a.=
r r
.
• Tính chất:
( )

k a b ka kb+ = +
r r
r r
;
k l a ka la( )+ = +
r r r
;
( )
k la kl a( )=
r r
ka 0=
r
r
⇔ k = 0 hoặc
a 0=
r
r
.
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
( )
a vaø b a cuøng phöông k R b ka0 :≠ ⇔ ∃ ∈ =
r r r
r r r
• Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k
≠
0:
AB kAC=
uuur uuur
.
• Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng

phương
a b,
r
r
và
x
r
tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n
∈
R:
x ma nb= +
r
r r
.
Chú ý:
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔
MA MB 0+ =
uuur uuur
r
⇔
OA OB OM2+ =
uuur uuur uuur
(O tuỳ ý).
• Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ∆ABC ⇔
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
⇔

OA OB OC OG3+ + =
uuur uuur uuur uuur
(O tuỳ ý).
Trang 1
CHƯƠNG I
VECTƠ
CHƯƠNG I
VECTƠ
I. VECTƠ
I. VECTƠ
Vectơ Phan Đình Tú
VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ
Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác
0
r
) có điểm đầu và
điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Baøi 2. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh:
BC C A A B
′ ′ ′ ′
= =
uuuur uuur uuuur
.
b) Tìm các vectơ bằng
B C C A,
′ ′ ′ ′
uuuur uuuur
.
Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,

BC. Chứng minh:
MP QN MQ PN;= =
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:
a)
AC BA AD AB AD AC;− = + =
uuur uur uuur uuur uuur
.
b) Nếu
AB AD CB CD+ = −
uuur uuur uuur uuur
thì ABCD là hình chữ nhật.
Baøi 5. Cho hai véc tơ
a b,
r
r
. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng:
a b a b+ = −
r r
r r
.
Baøi 6. Cho ∆ABC đều cạnh a. Tính
AB AC AB AC;+ −
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
AB AC AD+ +
uuur uuur uuur
.

Baøi 8. Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ
HA HB HC, ,
uuur uuur uuur
.
Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ
AB AD+
uuur uuur
,
AB AC+
uuur uuur
,
AB AD−
uuur uuur
.
Baøi 10.
a)
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.
Baøi 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a)
AB DC AC DB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b)
AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.

Baøi 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
a) Nếu
AB CD=
uuur uuur
thì
AC BD=
uuur uuur
b)
AC BD AD BC IJ2+ = + =
uuur uuur uuur uuur uur
.
c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
.
d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và
BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.
Baøi 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh:
AB AI JA DA DB2( ) 3+ + + =
uuur uur uur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho ∆ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng
minh:
RJ IQ PS 0+ + =
uur uur uur
r
.
Baøi 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
a) Chứng minh:

IA IB IC2 0+ + =
uur uur uur r
.
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh:
OA OB OC OI2 4+ + =
uuur uuur uuur uur
.
Trang 2
Phan Đình Tú Vectơ
Baøi 6. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường
tròn ngoại tiếp. Chứng minh:
a)
AH OM2=
uuur uuur
b)
HA HB HC HO2+ + =
uuur uuur uuur uuur
c)
OA OB OC OH+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 7. Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt có các trọng tâm là G và G′.
a) Chứng minh
AA BB CC GG3
′ ′ ′ ′
+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
.
b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Baøi 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:

AM AB AC
1 2
3 3
= +
uuur uuur uuur
.
Baøi 9. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm
thuộc AC sao cho
CN NA2=
uuur uuur
. K là trung điểm của MN. Chứng minh:
a)
AK AB AC
1 1
4 6
= +
uuur uuur uuur
b)
KD AB AC
1 1
4 3
= +
uuur uuur uuur
.
Baøi 10. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
a)
AM OB OA
1
2
= −

uuur uuur uuur
b)
BN OC OB
1
2
= −
uuur uuur uuur
c)
( )
MN OC OB
1
2
= −
uuuur uuur uuur
.
Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
a)
AB CM BN
2 4
3 3
= − −
uuur uuur uuur
c)
AC CM BN
4 2
3 3
= − −
uuur uuur uuur
c)
MN BN CM

1 1
3 3
= −
uuuur uuur uuur
.
Baøi 12. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
a) Chứng minh:
AH AC AB
2 1
3 3
= −
uuur uuur uuur
và
( )
CH AB AC
1
3
= − +
uuur uuur uuur
.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH AC AB
1 5
6 6
= −
uuuur uuur uuur
.
Baøi 13. Cho hình bình hành ABCD, đặt
AB a AD b,= =
uuur uuur

r
r
. Gọi I là trung điểm của CD, G là
trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ
BI AG,
uur uuur
theo
a b,
r
r
.
Baøi 14. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ
BC vaø BD
uuur uuur
theo các vectơ
AB vaø AF
uuur uuur
.
Baøi 15. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ
AM
uuur
theo các vectơ
OA OB OC, ,
uuur uuur uuur
.
Baøi 16. Cho ∆ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB MC NA CN PA PB3 , 3 , 0= = + =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
r
.

a) Tính
PM PN,
uuur uuur
theo
AB AC,
uuur uuur
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Baøi 17. Cho ∆ABC. Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
a) Chứng minh:
AA BB CC
1 1 1
0+ + =
uuur uuur uuuur
r
b) Đặt
BB u CC v
1 1
,= =
uuur uuuur
r r
. Tính
BC CA AB, ,
uuur uur uuur
theo

u vaø v
r r
.
Baøi 18. Cho ∆ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh
BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
a) Tính
AI AF theo AB vaø AC,
uur uuur uuur uuur
.
b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Tính
AG theo AI vaø AF
uuur uur uuur
.
Baøi 19. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
a) Chứng minh:
HA HB HC5 0− + =
uuur uuur uuur
r
.
b) Đặt
AG a AH b,= =
uuur uuur
r
r
. Tính
AB AC,
uuur uuur
theo
a vaø b
r

r
.
Trang 3
Vectơ Phan Đình Tú
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông
thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng
OM a=
uuur
r
, trong đó O và
a
r
đã được
xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
– Hình bình hành.
– Trung điểm của đoạn thẳng.
– Trọng tâm tam giác, …
Baøi 1. Cho ∆ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
MA MB MC 0− + =
uuur uuur uuur r
.
Baøi 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng
AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI.
a) Chứng minh:
BN BA MB− =
uuur uur uuur
.
b) Tìm các điểm D, C sao cho:

NA NI ND NM BN NC;+ = − =
uuur uur uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 3. Cho hình bình hành ABCD.
a) Chứng minh rằng:
AB AC AD AC2+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
AM AB AC AD3 = + +
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Chứng minh:
MN AB DC
1
( )
2
= +
uuuur uuur uuur
.
b) Xác định điểm O sao cho:
OA OB OC OD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
.
Baøi 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung
điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có:
SA SB SC SD SO4+ + + =
uur uur uur uuur uuur
.

Baøi 6. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a)
IB IC2 3 0+ =
uur uur r
b)
JA JC JB CA2 + − =
uur uur uur uur
c)
KA KB KC BC2+ + =
uuur uuur uuur uuur
d)
LA LB LC3 2 0− + =
uur uur uuur r
.
Baøi 7. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a)
IA IB BC2 3 3− =
uur uur uuur
b)
JA JB JC2 0+ + =
uur uur uur r
c)
KA KB KC BC+ − =
uuur uuur uuur uuur
d)
LA LC AB AC2 2− = −
uur uuur uuur uuur
.
Baøi 8. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
a)

IA IB IC BC+ − =
uur uur uuur
b)
FA FB FC AB AC+ + = +
uur uuur uuur uuur uuur
c)
KA KB KC3 0+ + =
uuur uuur uuur
r
d)
LA LB LC3 2 0− + =
uuuur uur uuur
r
.
Baøi 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng
thức sau:
a)
IA IB IC ID4+ + =
uur uur uur uur
b)
FA FB FC FD2 2 3+ = −
uur uuur uuur uuur
c)
KA KB KC KD4 3 2 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
.
Baøi 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
MD MC AB= +

uuuur uuur uuur
,
ME MA BC= +
uuur uuur uuur
,
MF MB CA= +
uuur uuur uur
. Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) So sánh 2 véc tơ
MA MB MC vaø MD ME MF+ + + +
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
.
Baøi 11. Cho tứ giác ABCD.
a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho:
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
(G đgl trọng tâm của
tứ giác ABCD).
b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có:
( )
OG OA OB OC OD
1
4
= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
.
Trang 4
Phan Đình Tú Vectơ
Baøi 12. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của các tam

giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh:
a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′.
b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A′B′C′D′.
Baøi 13. Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao
cho các vectơ
v
r
đều bằng
k MI.
uuur
với mọi điểm M:
a)
v MA MB MC2= + +
uuur uuur uuur
r
b)
v MA MB MC2= − −
uuur uuur uuur
r
c)
v MA MB MC MD= + + +
uuur uuur uuur uuuur
r
d)
v MA MB MC MD2 2 3= + + +
uuur uuur uuur uuuur
r
.
Baøi 14.
a)

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
•
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng
thức
AB k AC=
uuur uuur
, với k
≠
0.
•
Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức
OM ON=
uuur uuur
, với O là một điểm nào đó hoặc
MN 0=
uuuur
r
.
Baøi 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho :
OA OB OC2 3 0+ − =
uuur uuur uuur r
. Chứng tỏ rằng A, B, C
thẳng hàng.
Baøi 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
BH BC BK BD
1 1
,
5 6
= =
uuur uuur uuur uuur

. Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
HD:
BH AH AB BK AK AB;= − = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 3. Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi:
IB IC2=
uur uur
,
JC JA
1
2
= −
uur uur
,
KA KB= −
uuur uuur
.
a) Tính
IJ IK theo AB vaø AC,
uur uur uuur uuur
. (HD:
IJ AB AC
4
3
= −
uur uuur uuur
)
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB).
Baøi 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P

sao cho
MB MC3=
uuur uuur
,
NA CN3=
uuur uuur
,
PA PB 0+ =
uur uuur
r
.
a) Tính
PM PN,
uuur uuur
theo
AB AC,
uuur uuur
.
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho
AD =
1
2
AF, AB =
1
2
AE. Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
Baøi 6. Cho ∆ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi:

IA IC3 0+ =
uur uur
r
,
JA JB JC2 3 0+ + =
uur uur uur
r
.
Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
Baøi 7. Cho ∆ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi:
MA MB3 4 0+ =
uuur uuur
r
,
NB NC3 0− =
uuur uuur
r
.
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ∆ABC.
Trang 5
Vectơ Phan Đình Tú
Baøi 8. Cho ∆ABC. Lấy các điểm M N, P:
MB MC NA NC PA PB2 2 0− = + = + =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
r
a) Tính
PM PN theo AB vaø AC,
uuur uuur uuur uuur
. b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Baøi 9. Cho ∆ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.

Chứng minh các tam giác RIP và JQS có cùng trọng tâm.
Baøi 10. Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua
C, C′ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có
chung trọng tâm.
Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi:
A B A C2 3 0
′ ′
+ =
uuur uuur
r
,
B C B A2 3 0
′ ′
+ =
uuur uuur
r
,
C A C B2 3 0
′ ′
+ =
uuur uuur
r
. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm.
Baøi 12. Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho:
AA BB CC
AB BC AC
′ ′ ′
= =
Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm.
Baøi 13. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A′, B′, C′ lần lượt là điểm đối xứng của

M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui tại một điểm N.
b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của ∆ABC.
Baøi 14. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn:
MA MB3 4 0+ =
uuur uuur
r
,
CN BC
1
2
=
uuur uuur
. Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ∆ABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD DE EC= =
uuur uuur uuur
.
a) Chứng minh
AB AC AD AE+ = +
uuur uuur uuur uuur
.
b) Tính
AS AB AD AC AE theo AI= + + +
uur uuur uuur uuur uuur uur
. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
Baøi 16. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
BM BC AB2= −
uuur uuur uuur
,

CN xAC BC= −
uuur uuur uuur
.
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính
IM
IN
.
Baøi 17. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho
a b c 0+ + ≠
.
a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn
aGA bGB cGC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
.
b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho
MP aMA bMB cMC= + +
uuur uuur uuur uuur
. Chứng minh ba điểm
G, M, P thẳng hàng.
Baøi 18. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn
MN MA MB MC2 3= + −
uuuur uuur uuur uuur
.
a) Tìm điểm I thoả mãn
IA IB IC2 3 0+ − =
uur uur uur
r
.

b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Baøi 19. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn
MN MA MB MC2= − +
uuuur uuur uuur uuur
.
a) Tìm điểm I sao cho
IA IB IC2 0− + =
uur uur uur
r
.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố
định.
Baøi 20.
a)
Trang 6
Phan Đình Tú Vectơ
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để
đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của
đoạn thẳng đó.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là
điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.
–
Baøi 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
MA MB MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
b)

MA MB MA MB2 2+ = +
uuur uuur uuur uuur
.
HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực của AB.
Baøi 2. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
MA MB MC MB MC
3
2
+ + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
b)
MA BC MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
c)
MA MB MB MC2 4+ = −
uuur uuur uuur uuur
d)
MA MB MC MA MB MC4 2+ + = − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm
∆
ABC).
b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA.
Baøi 3. Cho ∆ABC.
a) Xác định điểm I sao cho:
IA IB IC3 2 0− + =
uur uur uur
r

.
b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:
MN MA MB MC2 2= − +
uuuur uuur uuur uuur
luôn đi qua một điểm cố định.
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho:
HA HB HC HA HB3 2− + = −
uuur uuur uuur uuur uuur
.
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho:
KA KB KC KB KC2 3+ + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
Baøi 4. Cho ∆ABC.
a) Xác định điểm I sao cho:
IA IB IC3 2 0+ − =
uur uur uur
r
.
b) Xác định điểm D sao cho:
DB DC3 2 0− =
uuur uuur
r
.
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA MB MC MA MB MC3 2 2+ − = − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 5.
a)

Trang 7
Vect Phan ỡnh Tỳ
1. Trc to
Trc to (trc) l mt ng thng trờn ú ó xỏc nh mt im gc O v mt vect
n v
e
r
. Kớ hiu
( )
O e;
r
.
To ca vect trờn trc:
u a u a e( ) .= =
r r r
.
To ca im trờn trc:
M k OM k e( ) . =
uuur
r
.
di i s ca vect trờn trc:
AB a AB a e.= =
uuur
r
.
Chỳ ý: + Nu
AB cuứng hửụựng vụựi e
uuur
r

thỡ
AB AB=
.
Nu
AB ngửụùc hửụựng vụựi e
uuur
r
thỡ
AB AB=
.
+ Nu A(a), B(b) thỡ
AB b a=
.
+ H thc Sal: Vi A, B, C tu ý trờn trc, ta cú:
AB BC AC+ =
.
2. H trc to
H gm hai trc to Ox, Oy vuụng gúc vi nhau. Vect n v trờn Ox, Oy ln lt
l
i j,
r r
. O l gc to , Ox l trc honh, Oy l trc tung.
To ca vect i vi h trc to :
u x y u x i y j( ; ) . .= = +
r r
r r
.
To ca im i vi h trc to :
M x y OM x i y j( ; ) . . = +
uuur

r r
.
Tớnh cht: Cho
a x y b x y k R( ; ), ( ; ),

= =
r
r
,
A A B B C C
A x y B x y C x y( ; ), ( ; ), ( ; )
:
+
x x
a b
y y



=
=


=


r
r
+
a b x x y y( ; )

=
r
r
+
ka kx ky( ; )=
r
+
b
r
cựng phng vi
a 0
r
r
k

R:
x kx vaứ y ky

= =
.

x y
x y

=
(nu x

0, y

0).
+
B A B A
AB x x y y( ; )=
uuur
.
+ To trung im I ca on thng AB:
A B A B
I I
x x y y
x y;
2 2
+ +
= =
.
+ To trng tõm G ca tam giỏc ABC:
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y;
3 3
+ + + +
= =
.
+ To im M chia on AB theo t s k

1:
A B A B
M M
x kx y ky

x y
k k
;
1 1

= =

.
( M chia on AB theo t s k
MA kMB=
uuur uuur
).
Trang 8
II. TO
II. TO
Phan Đình Tú Vectơ
VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục
Baøi 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5.
a) Tìm tọa độ của
AB
uuur
.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho
MA MB2 5 0+ =
uuur uuur
r
.
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA NB2 3 1+ = −

.
Baøi 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1.
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho
MA MB3 2 1− =
.
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA NB AB3+ =
.
Baøi 3. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2), B(4), C(1), D(6).
a) Chứng minh rằng:
AC AD AB
1 1 2
+ =
.
b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh:
IC ID IA
2
. =
.
c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh:
AC AD AB AJ. .=
.
Baøi 4. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho
MA MB MC 0+ − =
uuur uuur uuur
r
.
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho

NA NB NC2 3− =
uuur uuur uuur
.
Baøi 5. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý.
a) Chứng minh:
AB CD AC DB DA BC. . . 0+ + =
.
b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng
các đoạn IJ và KL có chung trung điểm.
Baøi 6.
a)
VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục
Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:
a)
a i j b i j c i d j
1
2 3 ; 5 ; 3 ; 2
3
= + = − = = −
r r
r r r r r r
r r
.
b)
a i j b i j c i j d j e i
1 3
3 ; ; ; 4 ; 3
2 2
= − = + = − + = − =
r r

r r r r r r r r
r r r
.
Baøi 2. Viết dưới dạng
u xi yj= +
r r
r
khi biết toạ độ của vectơ
u
r
là:
a)
u u u u(2; 3); ( 1;4); (2;0); (0; 1)= − = − = = −
r r r r
.
b)
u u u u(1;3); (4; 1); (1;0); (0;0)= = − = =
r r r r
.
Baøi 3. Cho
a b(1; 2), (0;3)= − =
r
r
. Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a)
x a b y a b z a b; ; 2 3= + = − = −
r r r
r r r r r r
. b)
u a b v b w a b

1
3 2 ; 2 ; 4
2
= − = + = −
r r r
r r r r r
.
Baøi 4. Cho
a b c
1
(2;0), 1; , (4; 6)
2
 
= = − = −
 ÷
 
r
r r
.
a) Tìm toạ độ của vectơ
d a b c2 3 5= − +
r r
r r
.
Trang 9
Vectơ Phan Đình Tú
b) Tìm 2 số m, n sao cho:
ma b nc 0+ − =
r r
r r

.
c) Biểu diễn vectơ
c a btheo ,
r
r r
.
Baøi 5. Cho hai điểm
A B(3; 5), (1;0)−
.
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho:
OC AB3= −
uuur uuur
.
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Baøi 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
Baøi 7. Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2).
a) Tìm toạ độ các vectơ
AB AC BC, ,
uuur uuur uuur
.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho:
CM AB AC2 3= −
uuur uuur uuur
.
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho:
AN BN CN2 4 0+ − =

uuur uuur uuur
r
.
Baøi 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Baøi 9.
a)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Baøi 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B′ là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường
tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy xét quan hệ giữa các vectơ
AH vaø B C AB vaø HC;
′ ′
uuur uuur
uuur uuur
.
Baøi 2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh:
AC BD AD BC IJ2+ = + =
uuur uuur uuur uuur uur
.
b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
.
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn
thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm.
Baøi 3. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý.

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
MD MC AB= +
uuuur uuur uuur
,
ME MA BC= +
uuur uuur uuur
,
MF MB CA= +
uuur uuur uur
. Chứng minh các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) So sánh hai tổng vectơ:
MA MB MC+ +
uuur uuur uuur
và
MD ME MF+ +
uuuur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a) Chứng minh:
IA IB IC2 0+ + =
uur uur uur
r
.
b) Với điểm O bất kì, chứng minh:
OA OB OC OI2 4+ + =
uuur uuur uuur uur
.
Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC.
Chứng minh:
a)

AI AO AB2 2= +
uur uuur uuur
. b)
DG DA DB DC3 = + +
uuur uuur uuur uuur
.
Trang 10
Phan Đình Tú Vectơ
Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a) Chứng minh:
( )
AI A AB
1
D 2
2
= +
uur uuur uuur
b) Chứng minh:
OA OI OJ 0+ + =
uuur uur uur
r
.
c) Tìm điểm M thoả mãn:
MA MB MC 0− + =
uuur uuur uuur
r
.
Baøi 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
AD AB2=
uuur uuur

,
AE AC
2
5
=
uuur uuur
.
a) Tính
AG DE DG theo AB vaø AC, ,
uuur uuur uuur uuur uuur
.
b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng.
Baøi 8. Cho ∆ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
AD AC
2
5
=
uuur uuur
và M là trung điểm đoạn BD.
a) Tính
AM
uuur
theo
AB vaø AC
uuur uuur
.
b) AM cắt BC tại I. Tính
IC
IB
và

AI
AM
.
Baøi 9. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:
a)
MA MB=
uuur uuur
b)
MA MB MC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
c)
MA MB MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
d)
MA MB MA MB+ = +
uuur uuur uuur uuur
e)
MA MB MA MC+ = +
uuur uuur uuur uuur
Baøi 10. Cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Baøi 11. Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Baøi 12. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.

Trang 11
O x
y
M
x
y
 
1
-1
Vectơ Phan Đình Tú
1. Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vò tâm O. Xét góc nhọn α =
·
xOM
. Giả sử M(x; y).
sin
α
= y (tung độ)
cos
α
= x (hoành độ)
tan
α
=
y tung độ
x hoành độ
 
 ÷
 
(x

≠
0)
cot
α
=
x hoành độ
y tung độ
 
 ÷
 
(y
≠
0)
Chú ý: – Nếu
α
tù thì cos
α
< 0, tan
α
< 0, cot
α
< 0.
– tan
α
chỉ xác định khi
α

≠
90
0

, cot
α
chỉ xác định khi
α

≠
0
0
và
α

≠
180
0
.
2. Tính chất
• Góc phụ nhau • Góc bù nhau
0
0
0
0
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
cot(90 ) tan
α α
α α
α α
α α
− =

− =
− =
− =
0
0
0
0
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
cot(180 ) cot
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0

180
0
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1 0
cos
α
1
3
2
2
2
1
2
0 –1
tan
α
0
3
3
1
3
||

0
cot
α
||
3
1
3
3
0
||
4. Các hệ thức cơ bản
sin
tan (cos 0)
cos
cos
cot (sin 0)
sin
tan .cot 1 (sin .cos 0)
α
α α
α
α
α α
α
α α α α
= ≠
= ≠
= ≠
2 2
2

2
2
2
sin cos 1
1
1 tan (cos 0)
cos
1
1 cot (sin 0)
sin
α α
α α
α
α α
α
+ =
+ = ≠
+ = ≠
Chú ý:
0 sin 1; 1 cos 1
α α
≤ ≤ − ≤ ≤
.
Bài 11. Tính giá trị các biểu thức sau:
Trang 12
CHƯƠNG II
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG II
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

VÀ ỨNG DỤNG
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ
TỪ ĐẾN
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ
TỪ ĐẾN
O
A
B
a
r
b
r
a
r
b
r
Phan Đình Tú Vectơ
a)
a b c
0 0 0
sin0 cos0 sin90+ +
b)
a b c
0 0 0
cos90 sin90 sin180+ +
c)
a b c
2 0 2 0 2 0
sin90 cos90 cos180+ +
d)

2 0 2 0 2 0
3 sin 90 2cos 60 3tan 45− + −
e)
a a a
2 2 0 0 2 0 2
4 sin 45 3( tan45 ) (2 cos45 )− +
Baøi 12. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
x xsin cos+
khi x bằng 0
0
; 45
0
; 60
0
. b)
x x2sin cos2+
khi x bằng 45
0
; 30
0
.
Baøi 13. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
a)
1
sin
4
β
=
, β nhọn. b)

1
cos
3
α
= −
c)
xtan 2 2=
Baøi 14. Biết
0
6 2
sin15
4
−
=
. Tinh
0 0 0
cos15 , tan15 , cot15
.
Baøi 15. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
a)
x x
0 0
1
sin , 90 180
3
= < <
. Tính
x x
A
x x

tan 3cot 1
tan cot
+ +
=
+
.
b)
tan 2
α
=
. Tính
B
3 3
sin cos
sin 3cos 2sin
α α
α α α
−
=
+ +
Baøi 16. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x x
2
(sin cos ) 1 2sin .cos+ = +
b)
x x x x
4 4 2 2
sin cos 1 2sin .cos+ = −
c)

x x x x
2 2 2 2
tan sin tan .sin− =
d)
x x x x
6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cos+ = −
e)
x x x x x xsin .cos (1 tan )(1 cot ) 1 2sin .cos+ + = +
Baøi 17. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
y y ycos sin .tan+
b)
b b1 cos . 1 cos+ −
c)
a a
2
sin 1 tan+
d)
x
x x
x
2
2
1 cos
tan .cot
1 sin
−
+
−

e)
x x
x x
2 2
2
1 4sin .cos
(sin cos )
−
+
f)
x x x x x
0 0 2 2 2
sin(90 ) cos(180 ) sin (1 tan ) tan− + − + + −
Baøi 18. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 12 cos 78 cos 1 cos 89+ + +
b)
2 0 2 0 2 0 2 0
sin 3 sin 15 sin 75 sin 87+ + +
Baøi 19.
a)
1. Góc giữa hai vectơ
Trang 13
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Vect Phan ỡnh Tỳ
Cho
a b, 0
r r

r
. T mt im O bt kỡ v
OA a OB b,= =
uuur uuur
r
r
.
Khi ú
( )
ã
a b AOB,
=
r
r
vi 0
0

ã
AOB
180
0
.
Chỳ ý:
+
( )
a b,
r
r
= 90
0

a b
r
r
+
( )
a b,
r
r
= 0
0



a b,
r
r
cựng hng
+
( )
a b,
r
r
= 180
0

a b,
r
r
ngc hng
+
( ) ( )
a b b a, ,=
r r
r r
2. Tớch vụ hng ca hai vect
nh ngha:
( )
a b a b a b. . .cos ,
=
r r r
r r r
.
c bit:
a a a a
2
2
. = =
r r r r
.
Tớnh cht: Vi
a b c, ,
r
r r
bt kỡ v k

R, ta cú:
+
. .a b b a=
r r
r r
;
( )
. .a b c a b a c+ = +
r r
r r r r r
;

( )
( ) ( )
. . .ka b k a b a kb= =
r r r
r r r
;
2 2
0; 0 0a a a = =
r
r r r
.
+
( )
2
2 2
2 .a b a a b b+ = + +
r r r
r r r

;
( )
2
2 2
2 .a b a a b b = +
r r r
r r r
;

( ) ( )
2 2
a b a b a b = +
r r r
r r r
.
+
.a b
r
r
> 0


( )
,a b
r
r
nhoùn +
.a b
r
r

< 0


( )
,a b
r
r
tuứ

.a b
r
r
= 0


( )
,a b
r
r
vuoõng.
3. Biu thc to ca tớch vụ hng
Cho
a
r
= (a
1
, a
2
),
b

r
= (b
1
, b
2
). Khi ú:
a b a b a b
1 1 2 2
.
= +
r
r
.

a a a
2 2
1 2
= +
r
;
a b a b
a b
a a b b
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
.
+
=

+ +
r
r
;
a b a b a b
1 1 2 2
0 + =
r
r
Cho
A A B B
A x y B x y( ; ), ( ; )
. Khi ú:
B A B A
AB x x y y
2 2
( ) ( )= +
.
Baứi 1. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = a, BC = 2a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a)
AB AC.
uuur uuur
b)
AC CB.
uuur uuur
c)
AB BC.
uuur uuur
Baứi 2. Cho tam giỏc ABC u cnh bng a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a)

AB AC.
uuur uuur
b)
AC CB.
uuur uuur
c)
AB BC.
uuur uuur
Baứi 3. Cho bn im A, B, C, D bt kỡ.
a) Chng minh:
DA BC DB CA DC AB. . . 0+ + =
uuur uuur uuur uur uuur uuur
.
b) T ú suy ra mt cỏch chng minh nh lớ: "Ba ng cao trong tam giỏc ng qui".
Baứi 4. Cho tam giỏc ABC vi ba trung tuyn AD, BE, CF. Chng minh:
BC AD CA BE AB CF. . . 0+ + =
uuur uuur uur uuur uuur uuur
.
Baứi 5. Cho hai im M, N nm trờn ng trũn ng kớnh AB = 2R. Gi I l giao im ca
hai ng thng AM v BN.
a) Chng minh:
AM AI AB AI BN BI BA BI. . , . .= =
uuur uur uuur uur uuur uur uur uur
.
b) Tớnh
AM AI BN BI. .+
uuur uur uuur uur
theo R.
Baứi 6. Cho tam giỏc ABC cú AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tớnh

AB AC.
uuur uuur
, ri suy ra giỏ tr ca gúc A.
b) Tớnh
CA CB.
uur uuur
.
Trang 14
Phan Đình Tú Vectơ
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính
CD CB.
uuur uuur
.
Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
AB AC.
uuur uuur
b)
AB AD BD BC( )( )+ +
uuur uuur uuur uuur
c)
AC AB AD AB( )(2 )− −
uuur uuur uuur uuur
d)
AB BD.
uuur uuur
e)
AB AC AD DA DB DC( )( )+ + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
HD: a)

a
2
b)
a
2
c)
a
2
2
d)
a
2
−
e) 0
Baøi 8. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính
AB AC.
uuur uuur
, rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính
AG BC.
uuur uuur
.
c) Tính giá trị biểu thức S =
GA GB GB GC GC GA. . .+ +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
d) Gọi AD là phân giác trong của góc
·
BAC

(D ∈ BC). Tính
AD
uuur
theo
AB AC,
uuur uuur
, suy ra
AD.
HD: a)
AB AC
3
.
2
= −
uuur uuur
,
A
1
cos
4
= −
b)
AG BC
5
.
3
=
uuur uuur
c)
S

29
6
= −
d) Sử dụng tính chất đường phân giác
AB
DB DC
AC
.=
uuur uuur

⇒

AD AB AC
3 2
5 5
= +
uuur uuur uuur
,
AD
54
5
=
Baøi 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60
0
. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi:
IA IB JB JC2 0, 2+ = =
uur uur uur uur
r

.
HD: a) BC =
19
, AM =
7
2
b) IJ =
2
133
3
Baøi 10. Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh
AB BC CD DA AC DB
2 2 2 2
2 .− + − =
uuur uuur
.
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
AB CD BC DA
2 2 2 2
+ = +
.
Baøi 11. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH MA BC
2
1
.
4
=
uuuur uuur

.
Baøi 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a)
MA MC MB MD
2 2 2 2
+ = +
b)
MA MC MB MD. .=
uuur uuur uuur uuuur
c)
MA MB MD MA MO
2
. 2 .+ =
uuur uuuur uuur uuur
(O là tâm của hình chữ nhật).
Baøi 13. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M biết
CM AB AC2 3= −
uuur uuur uuur
.
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Baøi 14. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính
AB AC.
uuur uuur
. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.

e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả
TA TB TC2 3 0+ − =
uur uur uuur
r
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
Trang 15
Vectơ Phan Đình Tú
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a)
MA MA MB
2
2 .=
uuur uuur
b)
MA MB MB MC( )(2 ) 0− − =
uuur uuur uuur uuur
c)
MA MB MB MC( )( ) 0+ + =
uuur uuur uuur uuur
d)
MA MA MB MA MC
2
2 . .+ =
uuur uuur uuur uuur
Baøi 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a)
MA MC MB MD a
2
. .+ =
uuur uuur uuur uuuur
b)
MA MB MC MD a
2
. . 5+ =
uuur uuur uuur uuuur
c)
MA MB MC MD
2 2 2 2
3+ + =
d)
MA MB MC MC MB a
2
( )( ) 3+ + − =
uuur uuur uuur uuur uuur
Baøi 17. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M
sao cho:
MA MB MC MD IJ
2
1
. .
2
+ =
uuur uuur uuur uuuur
.
Baøi 18.

a)
Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m
a
, m
b
, m
c

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h
a
, h
b
, h
c

Trang 16
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A
B CH
O
M
A
B
C
D
T
R
Phan Đình Tú Vectơ

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin
a b c bc A
2 2 2
2 .cos= + −
;
b c a ca B
2 2 2
2 .cos= + −
;
c a b ab C
2 2 2
2 .cos= + −
2. Định lí sin
a b c
R
A B C
2
sin sin sin
= = =
3. Độ dài trung tuyến
a
b c a
m
2 2 2
2
2( )
4

+ −
=
;
b
a c b
m
2 2 2
2
2( )
4
+ −
=
;
c
a b c
m
2 2 2
2
2( )
4
+ −
=
4. Diện tích tam giác
S =
a b c
ah bh ch
1 1 1
2 2 2
= =

=
bc A ca B ab C
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
= =
=
abc
R4
=
pr
=
p p a p b p c( )( )( )− − −
(công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao.
•
BC AB AC
2 2 2
= +
(định lí Pi–ta–go)
•
AB BC BH
2
.=
,
AC BC CH
2
.=

•
AH BH CH
2
.=
,
AH AB AC
2 2 2
1 1 1
= +
•
AH BC AB AC. .=
•
b a B a C c B c C.sin .cos tan cot= = = =
;
c a C a B b C b C.sin .cos tan cot= = = =
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
P
M/(O)
=
MA MB MC MD MO R
2 2
. .= = −
uuur uuur uuur uuuur
• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
P
M/(O)
=
MT MO R

2 2 2
= −
Baøi 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a)
a b C c B.cos .cos
= +
b)
A B C C Bsin sin cos sin cos
= +
c)
a
h R B C2 sin sin=
d)
a b c
m m m a b c
2 2 2 2 2 2
3
( )
4
+ + = + +
e)
( )
ABC
S AB AC AB AC
2
2 2
1
. .
2
∆

= −
uuur uuur
Baøi 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Trang 17
Vectơ Phan Đình Tú
a) Nếu b + c = 2a thì
a b c
h h h
2 1 1
= +
b) Nếu bc = a
2
thì
b c a
B C A h h h
2 2
sin sin sin ,= =
c) A vuông ⇔
b c a
m m m
2 2 2
5+ =
Baøi 3. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.
a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức:
S AC BD
1
. .sin
2
α
=

.
b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Baøi 4. Cho ∆ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.
a) Chứng minh
AH a B B BH a B CH a B
2 2
.sin .cos , .cos , .sin= = =
.
b) Từ đó suy ra
AB BC BH AH BH HC
2 2
. , .= =
.
Baøi 5. Cho ∆AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a,
·
AOH
α
=
.
a) Tính các cạnh của ∆OAK theo a và α.
b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và α.
c) Từ đó tính
sin2 , cos2 , tan2
α α α
theo
sin , cos , tan
α α α
.
Baøi 6. Giải tam giác ABC, biết:
a)

µ
µ
c A B
0 0
14; 60 ; 40= = =
b)
µ
µ
b A C
0 0
4,5; 30 ; 75= = =
c)
µ
µ
c A C
0 0
35; 40 ; 120= = =
d)
µ
µ
a B C
0 0
137,5; 83 ; 57= = =

Baøi 7. Giải tam giác ABC, biết:
a)
µ
a b C
0
6,3; 6,3; 54= = =

b)
µ
b c A
0
32; 45; 87= = =
c)
µ
a b C
0
7; 23; 130= = =
d)
µ
b c A
0
14; 10; 145= = =

Baøi 8. Giải tam giác ABC, biết:
a)
a b c14; 18; 20= = =
b)
a b c6; 7,3; 4,8= = =
c)
a b c4; 5; 7= = =
d)
a b c2 3; 2 2; 6 2= = = −
Baøi 9.
a)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

x x
x x x
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
+
+ =
+
b)
x x
x x
x x
3 3
sin cos
1 sin .cos
sin cos
+
= −
+
c)
x
x
x x
2
2
2 2
tan 1 1
1
2tan
4sin .cos
 

−
− = −
 ÷
 
d)
x x
x
x x x
2 2
2
4 4 2
cos sin
1 tan
sin cos sin
−
= +
+ −
Trang 18
Phan Đình Tú Vectơ
e)
x x
x x
x x x x
2 2
sin cos
sin cos
cos (1 tan ) sin (1 cot )
− = −
+ +
f)

x x
x x
x x x x
cos sin 1
tan . cot
1 sin 1 cos sin .cos
   
+ + =
 ÷  ÷
+ +
   
g)
x x x x x
2 2 2 2 2
cos (cos 2sin sin tan ) 1+ + =
Baøi 2. Biết
0
5 1
sin18
4
−
=
. Tính cos18
0
, sin72
0
, sin162
0
, cos162
0

, sin108
0
, cos108
0
, tan72
0
.
Baøi 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A =
x x x
4 2 2
cos cos sin− +
b) B =
x x x
4 2 2
sin sin cos− +
Baøi 4. Cho các vectơ
a b,
r
r
.
a) Tính góc
( )
a b,
r
r
, biết
a b, 0≠
r r
r

và hai vectơ
u a b v a b2 , 5 4= + = −
r r
r r r r
vuông góc.
b) Tính
a b+
r
r
, biết
a b a b11, 23, 30= = − =
r r
r r
.
c) Tính góc
( )
a b,
r
r
, biết
a b a b a b a b( 3 ) (7 5 ), ( 4 ) (7 2 )+ ⊥ − − ⊥ −
r r r r
r r r r
.
d) Tính
a b a b, 2 3− +
r r
r r
, biết
a b a b

0
3, 2, ( , ) 120= = =
r r
r r
.
e) Tính
a b,
r
r
, biết
a b a b a b a b2, 4, (2 ) ( 3 )+ = − = + ⊥ +
r r r r
r r r r
.
Baøi 5. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6.
a) Tính
AB AC.
uuur uuur
và cosA.
b) M, N là hai điểm được xác định bởi
AM AB AN AC
2 3
,
3 4
= =
uuur uuur uuur uuur
. Tính MN.
Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD có AB =
3
, AD = 1,

·
BAD
0
60=
.
a) Tính
AB AD BA BC. , .
uuur uuur uur uuur
.
b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính
( )
AC BDcos ,
uuur uuur
.
Baøi 7. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân
đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI ⊥ DE.
Baøi 8. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm
của các tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng
minh HK ⊥ IJ.
Baøi 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo
AC lấy điểm N sao cho
AN AC
3
4
=
uuur uuur
.
a) Chứng minh DN vuông góc với MN.
b) Tính tổng
DN NC MN CB. .+

uuur uuur uuuur uuur
.
Baøi 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
AB AM AC AM. . 0− =
uuur uuur uuur uuur
b)
AB AM AC AM. . 0+ =
uuur uuur uuur uuur
c)
MA MB MA MC( )( ) 0+ + =
uuur uuur uuur uuur
d)
MA MB MC MA MB MC( 2 )( 2 ) 0+ + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Baøi 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a)
b c a b C c B
2 2
( .cos .cos )− = −
b)
b c A a c C b B
2 2
( )cos ( .cos .cos )− = −
b)
A B C C B B Csin sin .cos sin .cos sin( )= + = +
Baøi 12. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu
a b c b c a bc( )( ) 3+ + + − =
thì

µ
A
0
60=
.
b) Nếu
b c a
a
b c a
3 3 3
2
+ −
=
+ −
thì
µ
A
0
60=
.
Trang 19
Vectơ Phan Đình Tú
c) Nếu
A C Bcos( ) 3cos 1+ + =
thì
µ
B
0
60=
.

d) Nếu
b b a c a c
2 2 2 2
( ) ( )− = −
thì
µ
A
0
60=
.
Baøi 13. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu
b a
b A a B
c
2 2
cos cos
2
−
= −
thì ∆ABC cân đỉnh C.
b) Nếu
B
A
C
sin
2cos
sin
=
thì ∆ABC cân đỉnh B.

c) Nếu
a b C2 .cos
=
thì ∆ABC cân đỉnh A.
d) Nếu
b c a
B C B Ccos cos sin .sin
+ =
thì ∆ABC vuông tại A.
e) Nếu
S R B C
2
2 sin .sin=
thì ∆ABC vuông tại A.
Baøi 14. Cho ∆ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông
góc với nhau là:
b c a
2 2 2
5+ =
.
Baøi 15. Cho ∆ABC.
a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM
= 2, BK = 2. Tính MK.
b) Có
A
5
cos
9
=
, điểm D thuộc cạnh BC sao cho

·
·
ABC DAC=
, DA = 6,
BD
16
3
=
. Tính
chu vi tam giác ABC.
HD: a) MK =
8 30
15
b) AC = 5, BC =
25
3
, AB = 10
Baøi 16. Cho một tam giác có độ dài các cạnh là:
x x x x
2 2
1; 2 1; 1+ + + −
.
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng
0
120
.
Baøi 17. Cho ∆ABC có
µ
B

0
90<
, AQ và CP là các đường cao,
ABC BPQ
S S9
∆ ∆
=
.
a) Tính cosB.
b) Cho PQ =
2 2
. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
HD: a)
B
1
cos
3
=
b)
R
9
2
=
Baøi 18. Cho ∆ABC.
a) Có
µ
B
0
60=
, R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính của đường tròn ngoại

tiếp ∆ACI.
b) Có
µ
A
0
90=
, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp ∆BCM.
c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường tròn ngoại
tiếp ∆BCM.
HD: a) R = 2 b)
R
5 13
6
=
c)
R
8 23
3 30
=
Baøi 19. Cho hai đường tròn (O
1
, R) và (O
2
, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng
tiếp xúc với hai đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa
A và N). Đặt
·
·
AO C AO D

1 2
,
α β
= =
.
a) Tính AC theo R và α; AD theo r và β.
b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ACD.
Trang 20
Phan Đình Tú Vectơ
HD: a) AC =
R2 sin
2
α
, AD =
r2 sin
2
β
b)
Rr
.
Baøi 20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a,
·
CAB
α
=
,
·
CAD
β
=

.
a) Tính AC. b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, α, β.
HD: a) AC =
a
sin( )
α β
+
b)
a
S
2
cos( )
2sin( )
β α
α β
−
=
+
.
Baøi 21. Cho ∆ABC cân đỉnh A,
µ
A
α
=
, AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC =
3BD.
a) Tính BC, AD.
b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cosα
để bán kính của chúng bằng
1

2
bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
HD: a) BC =
m2 sin
2
α
, AD =
m
5 4cos
3
α
+
b)
11
cos
16
α
= −
.
Baøi 22.
a)
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trang 21
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Vectơ Phan Đình Tú

Vectơ
u 0≠
r
r
đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc
trùng với ∆.
Nhận xét:– Nếu
u
r
là một VTCP của
∆
thì
ku
r
(k
≠
0) cũng là một VTCP của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ
n 0≠
r
r
đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.
Nhận xét: – Nếu
n
r
là một VTPT của

∆
thì
kn
r
(k
≠
0) cũng là một VTPT của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
– Nếu
u
r
là một VTCP và
n
r
là một VTPT của
∆
thì
u n⊥
r r
.
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2

( ; )=
r
.
Phương trình tham số của ∆:
x x tu
y y tu
0 1
0 2

= +

= +

(1) ( t là tham số).
Nhận xét: – M(x; y)
∈

∆

⇔

∃
t
∈
R:
x x tu
y y tu
0 1
0 2


= +

= +

.
– Gọi k là hệ số góc của
∆
thì:
+ k = tan
α
, với
α
=
·
xAv
,
α

≠

0
90
.
+ k =
u
u
2
1
, với
u

1
0≠
.
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
.
Phương trình chính tắc của ∆:
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
=
(2) (u
1

≠
0, u
2

≠
0).

Chú ý: Trong trường hợp u
1
= 0 hoặc u
2
= 0 thì đường thẳng không có phương trình
chính tắc.
5. Phương trình tham số của đường thẳng
PT
ax by c 0+ + =
với
a b
2 2
0+ ≠
đgl phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu
∆
có phương trình
ax by c 0+ + =
thì
∆
có:
VTPT là
n a b( ; )=
r
và VTCP
u b a( ; )= −
r
hoặc
u b a( ; )= −
r

.
– Nếu
∆
đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
n a b( ; )=
r
thì phương trình của
∆
là:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0
− + − =
Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số
Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆
c = 0
0ax by+ =
∆
đi qua gốc toạ độ O
a = 0
0by c+ =
∆
// Ox hoặc
∆

≡
Ox
b = 0
0ax c
+ =
∆
// Oy hoặc
∆

≡
Oy
•

∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0): Phương trình của
∆
:
x y
a b
1+ =
.
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
Trang 22
Phan Đình Tú Vectơ
•

∆
đi qua điểm

M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k: Phương trình của
∆
:
y y k x x
0 0
( )− = −
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
.
Toạ độ giao điểm của ∆
1
và ∆
2
là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c

a x b y c
1 1 1
2 2 2
0
0

+ + =

+ + =

(1)
• ∆
1
cắt ∆
2
⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔
a b
a b
1 1
2 2
≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
• ∆
1
// ∆
2

⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= ≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
• ∆
1
≡ ∆
2
⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= =
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
7. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:

a x b y c
1 1 1
0+ + =
(có VTPT
n a b
1 1 1
( ; )=
r
)
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
(có VTPT
n a b
2 2 2
( ; )=
r
).
·
n n khi n n
n n khi n n
0
1 2 1 2
1 2
0 0
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90

( , )
180 ( , ) ( , ) 90
∆ ∆

≤

=

− >


r r r r
r r r r
·
·
n n a b a b
n n
n n
a b a b
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
cos( , ) cos( , )
.
.
∆ ∆
+

= = =
+ +
r r
r r
r r
Chú ý:
•

∆
1

⊥

∆
2

⇔

a a b b
1 2 1 2
0+ =
.
•
Cho
∆
1
:
y k x m
1 1
= +

,
∆
2
:
y k x m
2 2
= +
thì:
+
∆
1
//
∆
2

⇔
k
1
= k
2
+
∆
1
⊥

∆
2

⇔
k

1
. k
2
= –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
•
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và điểm
M x y
0 0 0
( ; )
.
ax by c
d M
a b
0 0
0
2 2
( , )
∆
+ +
=
+
•
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và hai điểm

M M N N
M x y N x y( ; ), ( ; )
∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + >
.
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + <
.
•
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2

là:
a x b y c a x b y c
a b a b
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+ + + +
= ±
+ +
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Trang 23
Vectơ Phan Đình Tú
• Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
∆
ta cần xác
định một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
∈

∆
và một VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
của
∆
.

PTTS của
∆
:
x x tu
y y tu
0 1
0 2

= +

= +

; PTCT của
∆
:
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
=
(u
1

≠
0, u
2

≠
0).

• Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
ta cần xác định một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
∈

∆
và một VTPT
n a b( ; )=
r
của
∆
.
PTTQ của
∆
:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0− + − =
• Một số bài toán thường gặp:
+
∆
đi qua hai điểm
A A B B
A x y B x y( ; ) , ( ; )
(với
A B A B
x x y y,≠ ≠

):
PT của
∆
:
A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
+
∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0): PT của
∆
:
x y
a b
1+ =
.
+
∆
đi qua điểm
M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k: PT của
∆

:
y y k x x
0 0
( )− = −
Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một
đường thẳng.
•
Để tìm điểm M
′
đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M và vuông góc với d.
– Xác định I = d
∩

∆
(I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M
′
sao cho I là trung điểm của MM
′
.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM
′
. Khi đó:
M
′
đối xứng của M qua d
⇔

d
MM u
I d


′
⊥

∈


uuuuur
r
(sử dụng toạ độ)
•
Để viết phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng
∆
, ta
có thể thực hiện như sau:
– Nếu d //
∆
:
+ Lấy A
∈
d. Xác định A
′
đối xứng với A qua

∆
.
+ Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và song song với d.
– Nếu d
∩

∆
= I:
+ Lấy A
∈
d (A
≠
I). Xác định A
′
đối xứng với A qua
∆
.
+ Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và I.
•
Để viết phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua điểm I,

∆
, ta có
thể thực hiện như sau:
– Lấy A
∈
d. Xác định A
′
đối xứng với A qua I.
– Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và song song với d.
Baøi 20. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP
u
r
:
a) M(–2; 3) ,
u (5; 1)= −
r
b) M(–1; 2),
u ( 2;3)= −
r
c) M(3; –1),
u ( 2; 5)= − −
r
d) M(1; 2),
u (5;0)=
r
e) M(7; –3),

u (0;3)=
r
f) M ≡ O(0; 0),
u (2;5)=
r
Baøi 21. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT
n
r
:
a) M(–2; 3) ,
n (5; 1)= −
r
b) M(–1; 2),
n ( 2;3)= −
r
c) M(3; –1),
n ( 2; 5)= − −
r
d) M(1; 2),
n (5;0)=
r
e) M(7; –3),
n (0;3)=
r
f) M ≡ O(0; 0),
n (2;5)=
r
Baøi 22. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc
k:
a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1

d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M ≡ O(0; 0), k = 4
Trang 24
Phan Đình Tú Vectơ
Baøi 23. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)
d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2)
g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6)
Baøi 24. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song
với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d:
x y4 10 1 0− + =
b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d
≡
Oy
d) M(2; –3), d:
x t
y t
1 2
3 4

= −

= +

e) M(0; 3), d:
x y1 4
3 2
− +
=
−

Baøi 25. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc
với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d:
x y4 10 1 0− + =
b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d
≡
Oy
d) M(2; –3), d:
x t
y t
1 2
3 4

= −

= +

e) M(0; 3), d:
x y1 4
3 2
− +
=
−
Baøi 26. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao
của tam giác với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
Baøi 27. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các
đường cao của tam giác, với:
a)

AB x y BC x y CA x y:2 3 1 0, : 3 7 0, : 5 2 1 0− − = + + = − + =
b)
AB x y BC x y CA x y: 2 2 0, :4 5 8 0, : 4 8 0+ + = + − = − − =
Baøi 28. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của
các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b)
M N P
3 5 5 7
; , ; , (2; 4)
2 2 2 2
   
− − −
 ÷  ÷
   
c)
M N P
3 1
2; , 1; , (1; 2)
2 2
   
− − −
 ÷  ÷
   
d)
M N P
3 7
;2 , ;3 , (1;4)
2 2
   
 ÷  ÷

   
Baøi 29. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn
bằng nhau, với:
a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1)
Baøi 30. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành
một tam giác có diện tích S, với:
a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –1), S = 4
Baøi 31. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường
thẳng d với:
a) M(2; 1),
d x y:2 3 0+ − =
b) M(3; – 1),
d x y: 2 5 30 0+ − =
c) M(4; 1),
d x y: 2 4 0− + =
d) M(– 5; 13),
d x y:2 3 3 0− − =
Baøi 32. Lập phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với:
a)
d x y x y:2 1 0, : 3 4 2 0
∆
− + = − + =
b)
d x y x y: 2 4 0, : 2 2 0
∆
− + = + − =
c)
d x y x y: 1 0, : 3 3 0

∆
+ − = − + =
d)
d x y x y:2 3 1 0, :2 3 1 0
∆
− + = − − =
Baøi 33. Lập phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:
a)
d x y I: 2 1 0, (2;1)− + =
b)
d x y I: 2 4 0, ( 3;0)− + = −
c)
d x y I: 1 0, (0;3)+ − =
d)
d x y I O:2 3 1 0, (0;0)− + = ≡
VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác
Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam
Trang 25