CHUYÊN đề sự BIẾN THIÊN của hàm số và KHẢO sát hàm số

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
§1. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHƠNG CHỨA THAM SỐ
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến,
hàm đơn điệu trên một khoảng. Ở đây, tôi không nhắc lại các khái niệm ấy mà chỉ
đề cập đến việc xét sự biến thiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm.
1. Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm
Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) . Khi đó
• f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ f đồng biến trên ( a; b ) ;
• f ' ( x ) < 0 ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ f nghịch biến trên ( a; b ) ;
• f ' ( x ) = 0 ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ f không đổi trên ( a; b ) .
Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét
dấu của đạo hàm. Như vậy ta cần nắm được
• Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất;
• Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai;
• Quy tắc xét dấu của một biểu thức.
2. Quy tắc xét dấu một biểu thức
Giả sử hàm y = g ( x ) không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm x1 , x2 , …, xn đôi
một khác nhau và x1 < x2 < L < xn . Ký hiệu I là một trong các khoảng ( −∞; x1 ) ,

( x1; x2 ) , …, ( xn−1; xn ) , ( xn ; +∞ ) . Khi nó nếu

g liên tục trên I thì khơng đổi dấu trên

đó.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số y =

Giải. Ta có TXĐ = ¡ \ { 1} , y ' =

x2 − 2 x

( x − 1)

2

x2 − x + 1
.
x −1

. Ta thấy với mọi x ∈ TXĐ, dấu của y ' chính

là dấu của tam thức bậc hai x 2 − 2 x . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
1


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

1
x −1+
x2 − x + 1
x = +∞
lim f ( x ) = lim
= lim
,

x →+∞
x →+∞
x →+∞
1
x −1
1−
x
lim f ( x ) = lim

x →−∞

x −1 +

x →−∞

lim − f ( x ) = +∞

1
x → ÷
2

1−

,

1
x

1
x = −∞

,

lim + f ( x ) = −∞

1
x → ÷
2

.

Kết luận. f đồng biến trên ( −∞;0 ) và ( 2; +∞ ) , nghịch biến trên ( 0;1) và ( 1; 2 ) .
Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số y = 1 − x 2 .

Giải. Ta có TXĐ = [ −1;1] , y ' =

−x
1 − x2

với

mọi x ∈ ( −1;1) . Do đó với mọi x ∈ ( −1;1) , y '
trái dấu với x . Ta có bảng biến thiên của
hàm số như hình bên.

Kết luận. hàm số đồng biến trên ( −1;0 ) , nghịch biến trên ( 0;1) .
Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số y = 1 − x + 1 + x .

Giải. Ta có TXĐ = [ −1;1] và
y '( x) = −

=

(

1
1
1− x − 1+ x
+
=
2 1− x 2 1+ x
2 1 − x2
−x

1− x + 1+ x

)

1 − x2

∀x ∈ ( −1;1) .

Do đó với mọi x ∈ ( −1;1) , y ' trái dấu với Kết luận. hàm số đồng biến trên ( −1;0 ) ,
x . Ta có bảng biến thiên của hàm số như
nghịch biến trên ( 0;1) .
hình bên.
Nhận xét. Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy
tắc xét dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau,
ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình.
2

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = 2 x + 1 − x 2 .

Giải. Ta thấy x ∈ TXÑ ⇔ 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ [ −1;1] . Vậy TXÑ = [ −1;1] .
x

y'= 2−

=

1 − x2

2 1 − x2 − x
1 − x2

, x ∈ ( −1;1) ∀x ∈ ( −1;1) .

Bảng biến thiên:

Ta có y ' ≤ 0 ⇔ 2 1 − x 2 − x ≤ 0
x ≥ 0

⇔ 2 1 − x2 ≤ x ⇔ 
2
2
4 ( 1 − x ) ≤ x


⇔ x≥

2
.
5

y'= 0 ⇔ x =

2
.
5


Kết luận. hàm đã cho đồng biến trên  −1;


2 
 2 
;1÷.
÷, nghịch biến trên 
5
 5 

Ví dụ 5. [ĐHA08] Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
y = 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x .

Giải. Ta có TXĐ = [ 0;6] và
y'=


1 1
−
2  4 ( 2x ) 3



 +  1 − 1  ( x ∈ ( 0;6 ) ).

÷
3
4
( 6 − x )   2x 6 − x 

1

Ta thấy:
• y '( 2) = 0 ;

Bảng biến thiên

• x ∈ ( 0; 2 ) ⇒ 2 x < 6 − x
0 < 4 ( 2 x ) 3 < 4 ( 6 − x ) 3

⇒
0 < 2 x < 6 − x

1
 1
>

4
3
3
4
 ( 2x)
( 6 − x)
⇒
1
 1
 2x > 6 − x

⇒ y '( x) > 0 ;

Kết luận: hàm số đồng biến trên ( 0; 2 ) ,
nghịch biến trên ( 2;6 ) .

• Tương tự, ta có y ' ( x ) < 0 ∀x ∈ ( 2;6 ) .
3


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

C. BÀI TẬP
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây
1) y = −2 x 3 + 2 x 2 − x − 2 ;
2 3
2
2) y = − x − 2 x + 16 x − 31 ;

3
3
3) y = x − 3 x 2 + 3 x + 5 ;
1 4
x + x3 − x + 5 ;
2
5) y = −3 x 4 + 22 x 3 − 51x 2 + 36 x + 1 ;
4) y =

4 5
3
6) y = − x + x + 8 ;
5
2− x
7) y =
;
1+ x
3x + 3
8) y =
;
2x + 3

− x2 + 2x − 4
;
x−2
1
1
10) y = −
;
x x−2

3x
11) y = 2
;
x +1
x +1
12) y =
;
3 x
9) y =

13) y = x + 2 + 3 − x ;
14)

x2 + 2 x + 3 ;

15) y = x − 2 ;
2
16) y = x − 2 x ;

17) y = 4 x − 2 + 4 5 − x ;
18) y = x + 3 + 3 3 x + 3 + 4 4 x + 3 + 1 − x + 3 3 1 − x + 4 4 1 − x ;
19) y = 2 1 − x − x − 2 − x .
Bài 2. Chứng minh
1) y = x 2 − 9 đồng biến trên ( 3; +∞ ) .
4
nghịch biến trên các khoảng ( −2;0 ) , ( 0; 2 ) .
x
3− x
3) y =
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

2x +1
2) y = x +

2 x 2 + 3x
4) y =
đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
2x +1
5) y = − x + x 2 + 8 nghịch biến trên ¡ .
6) y = x + cos 2 x đồng biến trên ¡ .

D. HƯỚNG DẪN HOẶC ĐÁP SỐ
Bài 1.. 1 Hàm số nghịch biến trên ¡ ; 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng

( −∞; −4 ) và ( 2; +∞ ) , đồng biến trên ( −4; 2 ) ; 3 Hàm số đồng biến trên

¡ ; 4 Hàm số

1
1 

nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và  ; 2 ÷, đồng biến trên các khoảng  −1; ÷
2
2 



và ( 2; +∞ ) ; 5 Hàm số đồng biến trên các khoảng  −∞; ÷ và ( 2;3) , nghịch biến trên
2
1





4


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

1

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG





3

các khoảng  ; 2 ÷ và ( 3; +∞ ) ; 6 Hàm số nghịch biến trên các khoảng  −∞; − ÷ và

2 ÷
2 


 3


3 3


 2 ; +∞ ÷ , đồng biến trên  − 2 ; 2 ÷ ; 7 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác
÷

÷





định (nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) ); 8 Hàm số đồng biến trên
3

 3

từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng  −∞; − ÷ và  − ; +∞ ÷ ); 9 Hàm


2

 2



số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và ( 4; +∞ ) , đồng biến trên các khoảng ( 0; 2 )
và ( 2; 4 ) ;
10 Hướng dẫn.
4 ( x − 1)

TXÑ = ¡ \ { 0; 2} , y ' =

x2 ( x − 2)

2

.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( −∞;0 ) và ( 0;1) , đồng biến trên các
khoảng ( 1; 2 ) và ( 2; +∞ ) .
11 Hướng dẫn.
TXÑ = ¡ , y ′ =

(

3 1 − x2

(x

2

)

+1

)
2

.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng

( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) , đồng biến trên ( −1;1) .

12 Hướng dẫn.

5


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

TXÑ = [ 0; +∞ ) , y ′ =

x −1
.
6x x

Hàm số nghịch biến trên ( 0;1) ,
đồng biến trên ( 1; +∞ ) .

1

1 
13 Hàm số nghịch biến trên  −2; ÷, đồng biến trên  ;3 ÷; 14 Hàm số nghịch biến
2
2








2
trên ( −∞; −1) , đồng biến trên ( −1; +∞ ) ; 15 Hướng dẫn. y = x − 2 = ( x − 2 ) ⇒

y'=

x−2
x − 2 . Hàm số nghịch biến trên

( −∞; 2 ) , đồng biến trên ( 2; +∞ ) ; 16 Hàm số

nghịch biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và ( 1; 2 ) , đồng biến trên các khoảng ( 0;1) và

( 2; +∞ ) ;
17 Hướng dẫn.
TXÑ = [ 2;5] ,


1
1
y′ =
−
4  4 ( x − 2) 3





3 
4
( 5 − x) 
1

( x ∈ ( 2;5) ).
y' = 0 ⇔ x − 2 = 5− x ⇔ x =

7
.
2

3

1
2
4

>  ÷
 4 ( x − 2) 3
3

 7
x ∈  2; ÷ ⇒ 
3
 2

1
2

4
<  ÷

3
3
 4 ( 5 − x)




7

Hàm số nghịch đồng trên  2; ÷, nghịch
 2
7



biến trên  ;5 ÷.
2 

7 
⇒ y ' > 0 . Tương tự: x ∈  ;5 ÷ ⇒ y ' < 0 .
2 

18 Hàm số đồng biến trên ( −3; −1) , nghịch biến trên ( −1;1) ; 19 Hàm số nghịch biến
trên ( 0;1) , đồng biến trên ( 1; 2 ) .

6

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

7


§2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong tiết học này, ta quan tâm đến các vấn đề sau:
bậc nhất

1. Sự biến thiên của hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm “ baäc nhất ”
a) Hàm bậc ba
Hàm bậc ba có dạng y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ). Ta có y ' = 3ax 2 + 2bx + c là tam thức
bậc hai có ∆ ' = b 2 − 3ac . Ta có bảng sau:
a
+

Sự biến thiên của y
• Đồng biến trên các khoảng ( −∞; x1 ) và ( x2 ; +∞ ) ;

∆
+

+
−
−

• Nghịch biến trên khoảng ( x1 ; x2 ) .
≤ 0 • Đồng biến trên ¡ .
• Nghịch biến trên các khoảng ( −∞; x1 ) và ( x2 ; +∞ ) ;
+

• Đồng biến trên khoảng ( x1 ; x2 ) .
≤ 0 • Nghịch biến trên ¡ .

Trong đó, x1 < x2 là các nghiệm của y ' trong trường hợp y ' có hai nghiệm phân
biệt.
b) Hàm bậc bốn trùng phương
Hàm bậc bốn trùng phương có dạng y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ).
 2
3
Ta có y ' = 4ax + 2bx = 4ax  x +


a
+

b
≥0

+

−

b 
÷.
2a 

Sự biến thiên của y
• y nghịch biến trên ( −∞;0 ) , đồng biến trên ( −∞;0 ) ;
• Nghịch biến trên các khoảng

( 0;

−

( −∞; −

)

)

(

• Nghịch biến trên các khoảng

)

− 2ba ; +∞ .

(−

)
).

− 2ba ; +∞ .

• Đồng biến trên các khoảng ( −∞; − − 2ba ) và ( 0; − 2ba

(

và

− 2ba .

• Đồng biến trên các khoảng ( − − 2ba ;0 ) và
+

− 2ba

− 2ba ;0

)

và


−

≤0

• Đồng biến trên ( −∞;0 ) , nghịch biến trên ( −∞;0 ) .

bậc nhất

c) Hàm “ bậc nhất ”
bậc nhất

Hàm “ bậc nhất ” có dạng y =

ax + b
( a , c , ad − bc ≠ 0 )
cx + d

ad − bc

Ta có y ' = cx + d 2 không đổi dấu trên tập xác định. Do đó:
(
)
• ad − bc > 0 ⇔ y đồng biến trên từng khoảng xác định;
• ad − bc < 0 ⇔ y nghịch biến trên từng khoảng xác định .
2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng
f đồng biến (nghịch biến) trên ( a; b ) ⇔ f có ít nhất một khoảng đồng biến
(nghịch biến) và ( a; b ) là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
3
Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = 4 x + mx .

Giải. Ta có TXĐ = ¡ , y ' = 12 x 2 + m . Ta có hai trường hợp sau
• Trường hợp 1. m ≥ 0 ⇒ y ' ≥ 0 ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số đồng biến trên ¡ .
m
m
• Trường hợp 2. m < 0 ⇒ y ' có hai nghiệm phân biệt x1 = − − , x2 = − .
12

Bảng biến thiên

12

lim y = −∞ , lim y = +∞ .

x →−∞

x →+∞

Trong trường hợp này, hàm số đồng


m



m



biến trên  −∞; − − ÷ và  − ; +∞ ÷,

 12
÷
12 ÷






nghịch biến trên  − −



m
m
; − ÷.
12
12 ÷


1 3
2
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = − x + 2 x + ( 2m + 1) x − 3m + 2 nghịch biến trên ¡ .
3

Giải. Ta có y ' = − x 2 + 4 x + 2m + 1 . y ' là tam thức bậc hai có hệ số của x 2 là −1 < 0 ,
∆ ' = 2m + 5 . Do đó hàm số nghịch biến trên ¡ khi và chỉ khi


5
∆' ≤ 0 ⇔ m ≤ − .
2

• Chú ý (Điều kiện để tam thức bậc hai có dấu khơng đổi)
2
Xét tam thức bậc hai t ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0 , ∆ = b 2 − 4ac ). Ta có

a > 0
;

∆ ≤ 0

+) t ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ¡ ⇔ 

a < 0
.
∆ ≤ 0

+) t ( x ) ≤ 0 ∀x ∈ ¡ ⇔ 

3
2
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = 2 x − 3 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + 7 đồng biến trên ( 1; 2 ) .

x = m

2
Giải. Ta có y ' = 6 x − 6 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) . y ' = 0 ⇔ 
.
x = m +1

lim y = −∞ , lim y = +∞ .

Bảng biến thiên:

x →−∞

x →+∞

Ta thấy hàm số đồng biến trên ( −∞; m )

và ( m + 1; +∞ ) . Do đó hàm số đồng biến
trên ( 1; 2 ) khi và chỉ khi
( 1; 2 ) ⊂ ( −∞; m )
m ≥ 2
⇔ 

.
m ≤ 0
( 1; 2 ) ⊂ ( m + 1; +∞ )


3
2
Ví dụ 4. [ĐHA13] Tìm m để hàm số y = − x + 3 x + 3mx − 1 nghịch biến trên khoảng

( 0; +∞ ) .
Giải. Ta có y ' = −3x 2 + 6 x + 3m .
Cách1. y ' là tam thức bậc hai có ∆ ' = 9 + 9m .
• TH1: ∆ ' ≤ 0 ⇔ m ≤ −1 . Khi đó y ' ≤ 0 ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số nghịch biến trên ¡ nên
cũng nghịch biến trên ( 0; +∞ ) .
• TH2:

∆' > 0

⇔

m > −1 .

x1 = 1 − m + 1 < x2 = 1 + m + 1 .

Khi

đó,

y'

có

hai

nghiệm

phân

biệt


Do đó hàm số có hai khoảng nghịch
biến là ( −∞; x1 ) và ( x2 ; +∞ ) (xem bảng
biến thiên).
Hàm số nghịch biến trên ( 0; +∞ )
⇔

( 0; +∞ ) ⊂ ( x2 ; +∞ )

⇔ x2 ≤ 0

⇔ 1+ m +1 ≤ 0 ⇔ m ∈ ∅ .

Tóm lại hàm số đã cho nghịch biến trên

( 0; +∞ ) khi và chỉ khi

m ≤ −1 .

4
2
Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số y = x + mx + 4 .
3
2
Giải. Ta có y ' = 4 x + 2mx = 2 x ( 2 x + m ) .

• TH1: m ≥ 0 ⇒ y ' có nghiệm duy nhất x = 0 và đổi dấu đúng một lần khi x đi qua
0.
Bảng biến thiên:
Ở đây, xlim y = +∞ .
→±∞
KL: hàm số đồng nghịch biến trên
( −∞;0 ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) .

m
• TH2: m < 0 ⇒ y ' có ba nghiệm phân biệt là 0 và ± − và đổi dấu liên tiếp khi
2

x đi qua các nghiệm.

Bảng biến thiên:
Ở đây, xlim y = +∞ .
→±∞
KL: hàm số đồng nghịch biến trên các

khoảng ( −∞; −
biến trên ( −

−m
2

−m
2

)

)

và ( 4;

;0 và

(

−m
2

) và đồng
; +∞ ) .
−m
2


Ví dụ 6. Tìm m để hàm số y =

mx + 1
đồng biến trên từng khoảng xác định.
4x + m

m2 − 4
 m
y′ =
Giải. Ta có TXĐ = ¡ \ −  và
2 .
( 4x + m)
 4

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
m > 2
y ' > 0 ∀x ∈ TXĐ ⇔ m 2 − 4 > 0 ⇔ 
.
 m < −2

C. BÀI TẬP
Tìm m để hàm số

3
2
2
1) y = x + ( m − 1) x + ( m − 4 ) x + 9 đồng biến trên ¡ ;

2) y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4 đồng biến trên ¡ ;
1
1
đồng biến trến ( 2; +∞ ) ;

3
3
1
4) y = − x3 + ( m − 1) x 2 + ( m + 3) x − 4 đồng biến trên ( 0;3) ;
3
4
2
5) y = mx + ( 1 − m ) x + 4 đồng biến trên ( 1;3) ;

3) y = mx3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x +

2x + 3
đồng biến trên từng khoảng xác định;
x−m
2mx + 3
7) y =
nghịch biến trên từng khoảng xác định.
2x + m

6) y =

D. ĐÁP SỐ
1 m ≤ −3 hoặc m ≥ 2 ; 2 m ≤ −1 hoặc m ≥ 1 ; 3
3
0 ≤ m ≤1; 6 m < − ; 7 − 3 < m < 3 .
2

m≥

2

12
1
; 4 m≥ ; 5 m≤−
hoặc
3
7
17


§3. Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để xét phương trình
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Trong nhiều trường hợp, việc xét phương trình
f ( x) = m

(1)

được đưa về xét sự tương giao giữa đường
thẳng y = m với đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) .
Sau đây là một số kết luận hay gặp
• (1) có nghiệm khi và chỉ khi d có điểm chung
với (C).
• Số nghiệm của (1) bằng số điểm chung của
đường thẳng d với (C).
• Nghiệm của (1) là hồnh độ điểm chung của
d và (C).
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho phương trình x + 1 − x = m .

(1)
1) Tìm m để (1) có nghiệm.

2) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt.
Giải. Điều kiện: x ≤ 1 . Xét f ( x ) = x + 1 − x , x ≤ 1 . Ta có
f ′( x) = 1−

Bảng biến thiên

1
2 1− x −1
3 − 4x
=
=
( x < 1 ).
2 1− x
2 1− x
2 1− x 2 1− x +1

(

)

Kết luận
1) (1) có nghiệm ⇔ đường thẳng y = m có
điểm chung với đồ thị hàm số y = f ( x ) ⇔
m≤

5
;
4

2) ( 1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng
y = m có 2 điểm chung với đồ thị hàm số
y = f ( x) ⇔ 1 ≤ m <

5
.
4

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [ 1; 2]
x 2 − mx + m = 0 .

(1)

Giải. Dễ thấy x = 1 không phải nghiệm của (1) nên:
x2
2
(1) ⇔ x = m ( x − 1) ⇔ m =
.
x −1

2 x ( x − 1) − x 2 x 2 − 2 x
x2
=
Xét hàm f ( x ) =
với x ∈ ( 1; 2] , ta có f ′ ( x ) =
2
2 .
x −1
( x − 1)
( x − 1)

Bảng biến thiên

Kết luận
(1) có nghiệm ⇔ đường thẳng y = m có
điểm chung với đồ thị hàm số y = f ( x ) ,
x ∈ ( 1; 2] ⇔ m ≥ 4 .

Ví dụ 3. [ĐHA08] Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
4

2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m .

(1)

Giải. Đặt f ( x ) là vế phải của phương trình (1). Sau đây ta khảo sát sự biến thiên
của f ( x ) .
Ta có TXĐ = [ 0;6] và
f '( x) =

1
2 4 ( 2x )

3

−

1
2 4 ( 6 − x)

3

+

1
1
−
x ∈ ( 0;6 ) ).
2x
6− x (


Ta thấy f ' ( 2 ) = 0 và
1
1

>
 4
3
3
0 < 2 x < 4
24 ( 6 − x)
 2 ( 2x)
⇒ 
⇒ 0 < 2x < 6 − x ⇒ 
⇒ f '( x) > 0 .
0< x<2
6 − x > 4
1
 1

 2x > 6 − x


Tương tự, f ' ( x ) < 0 ∀x ∈ ( 2;6 ) .
Bảng biến thiên:

Kết luận:
(1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ 24 6 + 2 6 ≤ m < 3 2 + 6 .

Ví dụ 4. [ĐHB09] Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt.
x2 x2 − 2 = m .

(1)

Giải. Đặt f ( x ) là vế trái của phương trình (1). Sau đây ta khảo sát sự biến thiên
của f ( x ) .
Ta có TXĐ=¡ , f ( x ) = x 2

(x

2

− 2)

2

⇒ f '( x) = 2x x − 2 + x .
2

=

2

2 ( x2 − 2) x
x2 − 2

4 x ( x 2 − 2 ) ( x 2 − 1)
x2 − 2

2 x ( x 2 − 2 ) + 2 x3 ( x 2 − 2 )
2

=

x2 − 2

( x ≠ ± 2 ).

2
2
Ta thấy với x ≠ ± 2 , f ' ( x ) cùng dấu với 4 x ( x − 2 ) ( x − 1) .

Bảng biến thiên:

Ở đây, xlim f ( x ) = +∞ .
→±∞
Kết luận:

( 1) có

6 nghiệm phân biệt ⇔ 0 < m < 1 .

Ví dụ 5. [ĐHB07] Chứng minh với mọi giá trị dương m , phương trình sau có hai

nghiệm thực phân biệt:
x2 + 2x − 8 = m ( x − 2) .

(1)

Giải. Điều kiện: x ≥ 2 . Ta thấy vế trái của (1) không âm với mọi x ≥ 2 , do đó:
(1)

⇔

(x

2

+ 2 x – 8) = m ( x – 2) ⇔
2

x = 2
⇔  3
2
 x + 6 x − 32 = m

(2)

( x − 2 ) ( x – 2 ) ( x + 4 )


2

– m = 0


.

3
2
2
Xét f ( x ) = x + 6 x − 32 , x > 2 . Ta có f ' ( x ) = 3x + 12 x > 0 , ∀x > 2 .

Từ bảng biến thiến suy ra: với m > 0 thì
(2) ln có đúng một nghiệm x > 2 ⇒
(1) có đúng 2 nghiệm (ĐPCM).

Bảng biến thiên:

Ví dụ 6. [ĐHD04] Chứng minh phương trình sau có đúng 1 nghiệm
x5 − x 2 − 2 x − 1 = 0 .

(1)

Giải. Giả sử x0 là nghiệm của (1), ta có
5
5
x0 = ( x0 + 1) ⇒ x0 ≥ 0 ⇒ x0 ≥ 0 ⇒

2

( x0 + 1)

2

5
≥ 1 ⇒ x0 ≥ 1 ⇒ x0 ≥ 1 .


Do đó, để chứng minh (1) có nghiệm duy nhất ta chỉ cần chứng minh (1) có
5
2
nghiệm duy nhất thuộc [ 1; +∞ ) . Xét f ( x ) = x − x − 2 x − 1 , x ≥ 1 . Ta có

f ' ( x ) = 5 x 4 − 2 x − 2 = x 4 + 2 ( x 4 − x ) + 2 ( x 4 − 1) > 0 ∀x ≥ 1 .

Bảng biến thiên của f ( x ) , x ≥ 1

Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) ( x ≥ 1 ) có
đúng một điểm chung với trục hồnh ⇒
(1) có nghiệm duy nhất thuộc [ 1; +∞ ) ⇒
(1) có nghiệm duy nhất (ĐPCM).

Ví dụ 7. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

(x

2

+ 2 x ) + ( x + 1) + m = 0 .
3

2

(1)

Giải. Ta có
(1) ⇔ ( x 2 + 2 x ) + ( x 2 + 2 x ) = −m − 1 .
3

Đặt
t = x2 + 2 x ,

(2)

phương trình đã cho trở thành
t 3 + t = −m − 1 .

(2) ⇔ x 2 + 2 x − t = 0 ( ∆ ' = 1 + t ). (2) có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ t ≥ −1 .
3
2
Xét f ( t ) = t + t , t ≥ −1 . Ta có f ' ( t ) = 3t + 1 > 0 ∀t ≥ −1 .

(3)


Ta thấy t = −1 ( ∆ ' = 0 ) cho đúng một
nghiệm x , t > −1 ( ∆ ' > 0 ) cho đúng hai
nghiệm x .

Do đó (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (3)
có nghiệm t > −1 ⇔ −m − 1 > 0 ⇔
m < −1 .

Ví dụ 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
sin 3 x − cos3 x = m .

(1)

Giải. Ta có
(1) ⇔ ( sin x − cos x ) ( 1 + sin x cos x ) = m .
π

Đặt t = sin x − cos x = 2 sin  x − ÷.


(2)

4

(2) có nghiệm x ⇔ t ∈  − 2; 2  . Từ ( 2 ) , bình phương hai vế ta được


t = 1 − 2sin x cos x ⇔ sin x cos x =
2

1− t2
.
2

Do đó, với phép đặt ẩn phụ (2), phương trình (1) trở thảnh
 1− t2 
3
t 1 +
÷ = m ⇔ t − 3t = −2m .
2 


(3)

3
2
2
Xét f ( t ) = t − 3t , t ∈  − 2; 2  . Ta có f ' ( t ) = 3t − 3 = 3 ( t − 1) .



Do đó ( 1) có nghiệm ⇔ ( 3) có nghiệm
t ∈  − 2; 2 


−1 ≤ m ≤ 1 .

Ví dụ 9. [ĐHB04] Tìm m để phương trình sau có nghiệm

⇔

−2 ≤ −2m ≤ 2

⇔

(

)

(1)

t = 1 + x2 − 1 − x2 .

m

(2)

1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .

Giải. Điều kiện: x ∈ [ −1;1] . Đặt

Ta tìm điều kiện của t để (2) có nghiệm đối với x . Xét f ( x ) = 1 + x 2 − 1 − x 2 ,
x ∈ [ −1;1] .


Ta có f ′ ( x ) = x 

1

 1+ x

2

+


÷ (với x ∈ ( −1;1) ) ⇒
1 − x2 
1

f '( x)

cùng dấu với x

∀x ∈ ( −1;1) .

Bảng biến thiên của f ( x ) :

Suy ra: (2) có nghiệm đối với x khi và
chỉ khi t ∈ 0; 2  .



Ta có 2 1 − x 4 = 2 − t 2 ⇒ (2) trở thành
m ( t + 2 ) = −t 2 + t + 2 ⇔ m =

−t 2 + t + 2
(do t ∈ 0; 2  ).


t+2

(3)

−t 2 − 4t
−t 2 + t + 2
′( t ) =
≤ 0 ∀t ∈  0; 2  , dấu “ = ”
Xét hàm g ( t ) =
, t ∈ 0; 2  . Ta có g
2




( t + 2)
t+2

xảy ra ⇔ t = 0 .
Bảng biến thiên của g ( t ) :

(1) có nghiệm ⇔
t ∈ 0; 2  ⇔



(3) có nghiệm

2 −1 ≤ m ≤ 1.


Ví dụ 10. [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

( 1)

3 x −1 + m x + 1 = 2 4 x2 −1 .

Giải. Điều kiện: x ≥ 1 . Chia hai vế cho
đương:
3

Đặt t = 4

x + 1 > 0 ta được phương trình tương

x −1
x −1
+ m = 24
.
x +1
x +1

x −1 4
2
= 1−
, dễ thấy phương trình này có nghiệm x ≥ 1 ⇔ 0 ≤ t < 1 .
x +1
x +1

Với phép đặt ẩn phụ như trên, phương trình đang xét trở thành:
3t 2 + m = 2t ⇔ m = −3t 2 + 2t .

(2)

2
Xét f ( t ) = −3t + 2t ( 0 ≤ t < 1 ), ta có f ' ( t ) = −6t + 2 .

Bảng biến thiên của f ( t ) là:

(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [ 0;1)
⇔ −1 < m ≤

C. BÀI TẬP
Bài 1. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) 2 + x + 2 − x = m ;

1
.
3


2) x + 1 − x 2 = m ;
3) x 2 + x + 1 + x 2 + x − 1 − m 2 = 0 ;
4) x x + x + 12 = m ( 5 − x + 4 − x ) ;
5) x + 6 − x − x ( 6 − x ) = m ;
6) ( x − 3) ( x + 1) + 4 ( x − 3)

x +1
=m.
x −3

Bài 2. [ĐHA02] Tìm k để phương trình − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 có ba nghiệm phân

biệt.
Bài 3. Chứng minh với mọi m ∈ [ −2; 2] , phương trình x 3 − 3 x 2 + m 2 = 0 ln có ít nhất

hai nghiệm phân biệt.
Bài 4. Tìm m để phương trình x 4 − 2 x 2 + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc

khoảng ( −2; 2 ) .
2
2
Bài 5. Tìm m để phương trình ( x + 2 x ) − ( m + 1) ( x + 2 x ) + m + 1 = 0 có nghiệm thuộc
2

đoạn [ −3;0] .
2
2
Bài 6. [ĐHA02] Cho phương trình log 3 x + log3 x + 1 − 2m − 1 = 0 .

1) Giải phương trình khi m = 2 .
3
2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3  .


3
2
Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( x + 1) − m ( x − 1) = 0 .

Bài 8. Giải phương trình 2 x + 3x = 3 x + 2 .

D. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Bài 1.. 1 m ∈  2; 2 2  ; 2 m ∈  −1; 2  ; 3 m ≥ 2 ;





4 m ∈  12 ( 5 − 4 ) ;12  ; 5 HD



đặt t = x + 6 − x . ĐS: −3 + 2 3 ≤ m ≤ 6 ; 6 HD đặt t = ( x − 3)

x +1
. ĐS: m ≥ −4 .
x−3


k ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 0; 2 ) ∪ ( 2;3) . Bài 4.. −2 < m < 0 . Bài 5.

Bài 2..

t = x 2 + 2 x . ĐS: −

.

HD

đặt

3

2
< m < −1 . Bài 6. 1 x = 3± 3 ; 2 HD đặt t = log 3 x + 1 . ĐS: 0 ≤ m ≤ 2 .
2

27
27
27
: phương trình có 1 nghiệm; k = : phương trình có 2 nghiệm; k >
2
2
2
x
x
x
x
: phương trình có 3 nghiệm. Bài 8. G 2 + 3 = 3x + 2 (1). (1) ⇔ 2 + 3 − 3x + 2 = 0

Bài 7. k <
(2).

Xét

f ( x ) = 2 x + 3x − 3 x + 2 ,

ta

có

f ' ( x ) = 2 x ln 2 + 3x ln 3 − 3 ,

f " ( x ) = 2 x ln 2 2 + 3x ln 2 3 > 0 ∀x ⇒ f ' ( x ) đồng biến trên ¡ , lại có xlim f ' ( x ) = −3 và
→−∞
lim f ' ( x ) = +∞ ⇒ phương trình f ' ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất (giả sử nghiệm đó là

x →+∞

α ). Vì f ' ( x ) đồng biến nên f ' ( x ) < 0 ∀x ∈ ( −∞; α ) , f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ ( α ; +∞ ) ⇒ f ( x )

đồng biến trên ( −∞; α ) , nghịch biến trên ( α ; +∞ ) ⇒ ( 2 ) có tối đa hai nghiệm, mặt
khác ta thấy 0 và 1 là các nghiệm của ( 2 ) ⇒ { 0;1} là tập nghiệm của ( 2 ) hay { 0;1}
là tập nghiệm của ( 1) .
KHẢO SÁT HÀM SỐ
A.Hàm hữu tỷ:
Câu 1: Cho hàm số y =

2x + 1
.
x−2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến
bằng –5.
Câu 2. Cho hàm số y =

2x + 1
có đồ thị là (C)
x+2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Chứng minh đường thẳng d: y = – x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai

điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu 3:(2 điểm):
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
cách đều 2 tiệm cận.

3x − 4
. Tìm các điểm thuộc (C)
x−2


2. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn [0,
2π/3].
sin6x + cos6x = m (sin4x + cos4x)
Câu 4:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =

2x − 4
x +1

2. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0)
và N(–1; –1)
x
(C)
x −1

Câu 5:(2.0 điểm) Cho hàm số y =

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm
đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

Câu 6: (2,0 điểm) Cho hàm số y =

x+2
, có đồ thị là (C)
x−2

1. Khảo sát và vẽ (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–6; 5)
Câu 7: (2 điểm): Cho hàm số y =

2x − 3
có đồ thị là (C)
x−2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm
cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất.
Câu 8: (2 điểm): Cho hàm số y =

2x − 1
(C)
x −1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho ΔOAB vuông tại O.
Câu 9: (2 điểm) Cho hàm số y =

2x + 1
có đồ thị (C).

x −1


1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A
và B. Gọi I là giao hai tiệm cận, tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị
nhỏ nhất.
Câu 10: (2 điểm) Cho hàm số y =

2x − 3
(C)
x−2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường
tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm điểm M sao
cho đường trịn ngoại tiếp ΔIAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu 11: (2 điểm) Cho hàm số y =

x+3
x −1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Cho điểm Mo(xo; yo) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại Mo cắt các
tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh M o là trung điểm của đoạn
thẳng AB.
Câu 12: Cho hàm số y =

x
(C)

x −1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm
đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Câu 13: (2,0 điểm) Cho hàm số y =

2x + 1
(C)
x +1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của
(C) nhỏ nhất.
Câu 14: Cho hàm số y =

3x − 5
(C)
x−2

1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.


2. Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=-2x+7.
Câu 15: Cho hàm số y =

2x − 3
(C)
x−2

1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2.Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm trên (C) điểm M sao cho tiếp
tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại J,K sao cho đường trịn ngoại tiếp
tam giác IJK có diện tích nhỏ nhất.
B. Hàm đa thức bậc ba:
Câu 16: Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1 và x2 thỏa x1 = – 4x2.
Câu 17. Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2. Xác định các giá trị của m để hàm số y = f(x) khơng có cực trị.
Câu 18: Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 có đồ thị là (Cm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
2. Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m
sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có
diện tích bằng 8 2 .
1
3

Câu 19: (2,0 điểm) Cho hàm số y = ( m − 1) x 3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định
của nó.
Câu 20. Cho hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 9x + m – 2 (1) có đồ thị là (Cm)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1.