Đề thi học sinh giỏi môn toán tham khảo bồi dưỡng học sinh các tỉnh (23)

UBNN thị x Uông bíã Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp thị x ã
Phòng GD&ĐT Uông Bí năm học 2007 - 2008.
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 29 / 01/ 2008
Bài 1:
a) Tìm số tự nhiên a sao cho
20078
2
++ aa
là số chính phơng.
b) Cuối học kì, một học sinh có hơn 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết
tổng số điểm các bài kiểm tra đó là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài
kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10?

Bài 2:
a) Cho x =
3
3
1
2 1
2 1


. Tính giá trị của biểu thức P = x
3
+ 3x + 2008.
b) Cho
111
22
=+ xyyx

. Chứng minh rằng:
1
22
=+ yx
.
Bài 3:
a) Cho x, y là hai số dơng. Chứng minh rằng:
yxyx +
+
411
.
b) Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn:
4=++ cba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
cba
P
411
++=
.
Bài 4: Cho tam giác đều ABC, đờng cao AH. M là điểm bất kì trên đáy BC. P,
Q lần lợt là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi O là trung điểm của AM.
a) Chứng minh 5 điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác OPHQ là hình gì? Chứng minh.
c) Tìm vị trí của M trên BC sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất.
Hết
hớng dẫn chấm thi hsg thị xã uông bí năm học 2007 -2008
môn toán
Lời giải sơ lợc Biểu điểm
Bài

1.a
Biến đổi:
( ) ( )
Nb 1991420078
2
2
2
=++=++ baaa
( )( )
441991 ++= abab
(1)
0,25
( )
4++ ab
là ớc của 1991 (2)
0,25
có
484442007
2
++ abbb
(3)
0,25
Từ (1), (2), (3)
( )
( )

=
=++



=
=++

II
14
19914
I
114
1814
ab
ab
ab
ab
0,25
Giải (I) đợc:



=
=

96
81
b
a
, Giải (II) đợc:



=
=
966
991
b
a
0,25
Vậy
991 ;81
21
== aa
thì
20078
2
++ aa
là số chính phơng
0,25
Bài
1.b
Gọi số bài kiểm tra đạt điểm 8, 9, 10 lần lợt là x, y, z
Ta có
( )

( )
( )





=++
>++

3 1001098
2 11
1 ,,
*
zyx
zyx
Nzyx

0,25
Từ (2) và (3)
( )
zyxzyxzyx ++=++>++= 88881098100
hay
5,12<++ zyx
kết hợp với (1), (2)
zyxzyx ==++ 1212
thay vào
(3) ta có
( )
2y

4y
2z-22y
42 =



<
=
=+

zy
0,5
Từ đó tính đợc
1,2,9 === zyx
Vậy học sinh đó đạt chín điểm 8, hai điểm 9 và một điểm 10.
0,25
Bài
2.a
Đặt
vu =

=
3
3
12
1
;12
. ta có:
( )
( )

=
=
2
1 1.
xvu
vu
0,25
( ) ( )
( )
200620083
323
12
1
12.3
3
33
3
3
=++
=

===
xx
xxvuuvvuvux

0,5
Vậy giá trị cần tìm của P là 2006 0,25

Bài
2.b
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
(
)
1112
111211111
2222
22222222
=+
=++=+
xyxyxyyx
xyxyxyyxxyyx
0,5
Lại có:
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
222222
2
22
1121111 xyxyxyyxxyxy +=
( )( )
( )( )
011122
1121
222222
22222222
=++=

++=
xyxyyxyx
xyxyyxyxyx
0,5
Vậy
1
22
=+ yx
0,25
Bài
3.a
( )
4
4411
2
xyyx
yxxy
yx
yxyx
+
+

+

+
+
do x, y, x+y dơng
( )
0
2

yx
BĐT cuối cùng đúng. Do đó:
yxyx +
+
411

1,0
Bài
3.b
Theo câu a:
yxyx +
+
411
dấu bằng khi
( )
yxyx == 0
2
. ta có
cba
cbacbacbacba
ba
baba
=+=
++

+
+
=+
+
++
=
+
+
khibằng dấu 4
4
.4
11
4
44411
khibằng dấu
411
0,25
0,5
Vậy
4
min
=P
khi
2;1 === cba
0,25
Bài 4
a
có
vAQMvAHMvAPM 1 ,1 , 1 ===

=> P, H, Q thuộc đờng tròn đờng kính
AM. Vậy 5 điểm A, P, H, M, Q cùng thuộc đờng tròn đờng kính AM .
1,25
b
xét đờng tròn đờng kính AM tâm O bán kính R. có
OQOPRHQPHQAHPAH ======
0
30
nên POQH là hình thoi
1,0
c
Tính đợc
3RPQ =
vậy
minmin
RPQ
lại có
AHAMR
=
2
vậy PQ
min
khi và
chỉ khi
HM

1,0
O
Q
P

H
C
A
B
M