Đề thi học sinh giỏi môn toán tham khảo bồi dưỡng học sinh các tỉnh (24)

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Tin
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2005-2006
150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề chính thức
Bài 1: (2,75 điểm)
a) Xác định các hệ sốĠ của hàm sốĠ, biết đồ thị (P) của hàm số cắt trục Oy tại
điểmĠ, cắt trục Ox tại điểmĠ và đi qua điểmĠ.
b) Với giá trị nào của x thì hàm số vừa xác định có giá trị nhỏ nhất ? tìm giá trị nhỏ
nhất đó của hàm số.
c) Xác định sự biến thiên của hàm số đã tìm được ở câu a) khiĠ và khi
3
4
x >
.
Bài 2: (2,75 điểm)
a) Giải hệ phương trình:Ġ
b) ChoĠ. Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1 1
a d
b c
b c ad
+
 
+ + <
 ÷
 
Bài 3: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R, tam giác cân ABC nội tiếp trong đường

tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏĠ, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D.
a) Tính độ dài của các cạnh còn lại của tam giác ABC theo R.
b) Chứng minh rằng: TíchĠ luôn là hằng số.
c) Tính số đo của gócĠ. Chứng tỏ rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
MCD chạy trên một đường cố định khi M di động trên cung nhỏ
»
AC
.
Bài 4: (1 điểm)
Bốn học sinh Hồng, Hà, Long, Giang làm trực nhật, trong đó có một học sinh vẽ
tranh lên tường. Thầy Chủ nhiệm hỏi: "Ai đã vẽ tranh lên tường ?"
Các bạn lần lượt trả lời:
Hà: - Thưa Thầy, có thể bạn Giang, cũng có thể bạn Long đã vẽ ạ !
Giang: - Thưa Thầy, Em không vẽ đâu ạ !
Hồng: - Thưa Thầy, chính bạn Long vẽ ạ !
Long: - Bạn Hồng ơi, bạn nhầm rồi. Thưa Thầy, em không vẽ đâu ạ !
Biết rằng có ba học sinh nói đúng, còn một học sinh nói sai. Hỏi ai đã vẽ tranh lên
tường ?
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên tin
Thừa Thiên Huế Năm học 2005-2006
Đề chính thức Đáp án và thang điểm
Bài Ỷ Nội dung Điểm
1 2,75
1.a
+ (P) cắt Oy tạiĠ, nên:Ġ. 0,25
+ (P) cắt Ox tạiĠ, nên:Ġ 0,25
+ (P) đi qua điểmĠ, nên:Ġ 0,25
+ Giải hệ (1) và (2) ta có:Ġ. Hàm số cần xác định là:
2
2 3 5 ( )y x x P= − −

0,50
1.b +Ta có:Ġ có tập xác định là
R
0,25
2
49
2 3 5 ,
8
y x x x= − − ≥ − ∀ ∈R
0,25
Giá trị nhỏ nhất của hàm số làĠ khi và chỉ khi:
3 3
0
4 4
x x− = ⇔ =
0,25
1.c
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3 3 3 3
, : 0
4 4 4 4 4
x x x x x x x x
   
∀ < < ⇒ − < − < ⇒ − > −
 ÷  ÷
   
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2

1 1 2 2 1 2
3 49 3 49 3 49 3 49
2 2
4 16 4 16 4 16 4 16
2 3 5 2 3 5
x x x x
x x x x y y
   
       
⇒ − − > − − ⇒ − − > − −
   
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
   
   
⇒ − − > − − ⇒ >
Vậy: hàm số nghịch biến khiĠ.
0,25
0,25
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3 3 3 3
, : 0
4 4 4 4 4
x x x x x x x x
   
∀ < < ⇒ < − < − ⇒ − < −
 ÷  ÷
   
2 2 2 2

1 2 1 2
2 2
1 1 2 2 1 2
3 49 3 49 3 49 3 49
2 2
4 16 4 16 4 16 4 16
2 3 5 2 3 5
x x x x
x x x x y y
   
       
⇒ − − < − − ⇒ − − < − −
   
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
   
   
⇒ − − < − − ⇒ <
Vậy: hàm số đồng biến khiĠ.
0,25
2 2,75
2.a
( )
( ) ( )
30
30
( 0; 0)
35
35
xy x y

x y y x
x y
x x y y
x y x xy y

+ =

+ =
 
⇔ ≥ ≥
 
+ =
+ − + =




0,50
( )
( ) ( )
( )
2
30
3 35
xy x y
x y x y xy

+ =

⇔


+ + − =


0,25
§Æt
0; 0S x y P xy= + ≥ = ≥
, hÖ trë thµnh:

( )
2
3 3
30
30 30
5; 6
3 35
3 35 125
SP
SP SP
S P
S S P
S SP S
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔ = =
  
− =

− = =
 


0,50
x
vµ
y
lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
2
5 6 0X X− + =
.
Suy ra:
( ) ( )
2; 3 3; 2x y hay x y= = = =
.
Do ?ú:?
0,25
0,25
2.b
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1
0
a d b c a d
b c
b c ad bc ad
+ + +
 

+ + < ⇔ − <
 ÷
 
0,25
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
0 0
b c ad a d bc
b c ad a d bc
abcd
+ − +
⇔ < ⇔ + − + <
(vì a, b, c, d dương)
0,25
( ) ( )
2 2 2 2
0 0b ad c ad a bc d bc bd ab cd ac cd ab⇔ + − − < ⇔ − + − <
( ) ( )
0ab cd bd ac⇔ − − <
0,25
MàĠvàĠ, nên:Ġ
ĠvàĠ, nên :Ġ
Suy ra:Ġ (đpcm)
0,25
3 3,5
3.a + Ta có: BC là đường kính của đường tròn (O), do đó tam giác ABC chỉ có thể
cân t?i Ạ
+ Suy ra tam giác ABC vuông cân tại A, nên:

2AB AC R= =
0,25
0,50
3.b Ta có:Ġ 0,50
Xét hai tam giác AMC và ACD có:? chung,Ġ, nởn:
AM AC
AMC ACD
AC AD
∆ ∆ ⇒ =:
. Suy ra:
2 2
2AM AD AC R× = =
0,25
0,50
3.c Ta có:Ġ (không đổi) 0,50
Trong đường tròn ( I ) ngoại tiếp tam giác MCD, ta có:
Ġ, mà tam giác CID cân tại I, nênĺ
0,50
IC tạo với đường thẳng CD cố định một góc có số đo bằng 450 không đổi, do
đó khi M di động trên cung nhỏĠ I chạy trên đường thẳng đi qua C và tạo với
CD một góc 450.
0,50
4 1,0
Dùng phương pháp loại suy:
+ Giả sử Hà nói sai, thì 3 người còn lại nói đúng: Khi đó, cả 2 bạn Giang và
Long đều không vẽ, do đó bạn Giang nói đúng, nhưng bạn Hồng nói sai (mâu
thuẫn, vì cả Hà và Hồng đều nói sai). Khả năng này không xảy ra.
0,25
+ Giả sử Giang nói sai: Khi đó Hà nói đúng, nghĩa là Long không vẽ, do đó bạn

Hồng lại nói sai (Giang và Hồng đều nói sai, dẫn đến mâu thuẫn). Khả năng
này không xảy ra.
0,25
+ Giả sử Hồng nói sai: Khi đó, Long không vẽ, Long nói đúng, mà Giang
không thể nói sai, do đó Hà nói sai vì cả Long và Giang đều không vẽ (cả Hồng
và Hà đều nói sai, mâu thuẫn). Khả năng này không xảy ra.
0,25
+ Chỉ còn lại khả năng Long nói sai: tức là Long đã vẽ tranh lên tường, Hồng
nói đúng, Giang nói đúng (không thể nói sai) và Hà cũng nói đúng. Vậy: người
vẽ tranh lên tường là Long.
0,25