Đề thi học sinh giỏi môn toán tham khảo bồi dưỡng học sinh các tỉnh (31)

ĐỀ KIỂM TRA
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P(x)
b) Tìm x để P(x) = 1
Bài 2: a) Cho x>0, y>0 thỏa mãn x + y 6, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Cho a>0, b>0, c>0, d>0.Chứng minh rằng:

Bài 3: a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m; n sao cho 2m + 1 chia hết cho n
và 2n +1 chia hết cho m.
b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chia hết
cho 9
c) Có tồn tại hay không cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau:
Bài 4:a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng,
trong các điểm đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng
không lớn hơn
b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng
trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích
không lớn hơn
Bài 5: Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA,
AB tại A’, B’, C’.
a) Gọi giao điểm của (I) với IA, IB, IC lần lượt tại M, N, P. Chứng minh
A’M, B’N, C’P đồng quy
b) Kéo dài AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D (khác A).
Chứng minh rằng 2r ( r là bán kính đường tròn (I) )