Đề thi học sinh giỏi môn toán tham khảo bồi dưỡng học sinh các tỉnh (6)

Sở giáo dục và đào tạo
*******
đề chính thức
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2004-2005
Môn toán Lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
============
Bài 1( 3, 5 điểm)
1) Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình x
2
+ 2004x + 1 = 0 và x
3
, x
4
là
nghiệm của phơng trình x
2
+ 2005x + 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức:
(x
1
+ x
3
)(x
2
+ x
3
)(x

1
- x
4
)(x
2
- x
4
)
2) Cho a, b, c, d là các số thực và a
2
+ b
2
< 1. Chứng minh phơng trình
(a
2
+ b
2
-1)x
2
- 2(ac + bd -1)x + c
2
+ d
2
- 1 = 0 luôn có nghiệm.
Bài 2 (1, 5 điểm)
Cho hai số tự nhiên m và n thoả mãn
m
n
n
m 11 +

+
+
là số nguyên.
Chứng minh ớc chung lớn nhất của m và n không lớn hơn
nm +
Bài 3 (3, 0 điểm)
Cho hai đờng tròn (O
1
)và (O
2
) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung
với hai đờng tròn gần B có tiếp điểm là C và D, C (O
1
) và D (O
2
). Qua A
kẻ đờng thẳng song song với CD cắt đờng tròn (O
1
) tại M, và cắt đờng tròn
(O
2
) tại N. Đờng thẳng BC, BD cắt đờng thẳng MN tại P và Q, đờng thẳng
CM và DN cắt nhau tại E. Chứng minh:
1) Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD;
2) Tam giác EPQ là tam giác cân.
((O
1
) là kí hiệu đờng tròn tâm O
1
)

Bài 4 (2, 0 điểm)
Giải hệ phơng trình:



=+
=+
11
1
55
yx
yx
_________________________