Đề thi học sinh giỏi môn toán tham khảo bồi dưỡng học sinh các tỉnh (8)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2006-2007
ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24 / 3 /2007
Đề thi gồm 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình:
( 1) 2 2
( 4) 12 4 44
a x by a b
c x cy b a
ì
- - = - -
ï
ï
ï
í
ï
+ + = - +
ï
ï
î
Tìm các số a, b, c để hệ phương trình có vô số nghiệm, trong đó có
nghiệm
1x =
và
3y =
.

Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm các số thực x để biểu thức
3 3
3 3x x+ + -
là số nguyên.
Câu 3 (3,0 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n (
n
·
Î
8
N
) phương trình:

2 3 2
2( 1)( 1) 1 6 13 6 0x n n x n n n+ - + + - - - =
không có nghiệm hữu tỉ.
2) Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn đẳng thức:
7 7 11 7 28a b- = -
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm (O). Gọi CD là
đường kính của đường tròn, qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường
thẳng AB tại E, nối E với O cắt cạnh BC, cạnh CA tại M và N.
1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm O, D, E, I nằm
trên một đường tròn;
2) Chứng minh O là trung điểm của MN.
Hết
Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……….
Chữ kí giám thị 1:…………………Chữ kí giám thị 2:……………………