cách giải phương trình bậc cao và một số hệ phương trình cơ bản

C
Biên so

PH

Trong quá trình gi
cao. N
1
Ta dùng máy tính Casio đ
N
tránh d
Nh
N
Ta có th


Trong đó:

1.2
Phương án 1:
Ta nh
N
Phương án 2:
Ta th
hay không, n
1.3
H

C
huyên đ
ề

Biên so
ạ
n: Đ

PH
Ầ
N I

Trong quá trình gi
cao. N
ế
u nh
1
.1 Gặ
p phương tr
Ta dùng máy tính Casio đ
N
ế
u dùng máy tính Casio không tìm
tránh d
ẫ
n đ
Nh
ắc lạ
i sơ đ
N
ếu
a

là nghi

Ta có th
ể
k
Hệ

s
a


Trong đó:


nn
ba
=

11
.
nnn
bba
a

=+
212
.
nnn
bba
a

=+

1.2
Gặ
p phương tr
Phương án 1:
Ta nh
ậ
p phương tr
N
ếu tìm
đư
Phương án 2:
Ta th
ử
chia phương tr
hay không, n
1.3
Ph
ương tr
H
orner ph
ân t

ề
bồi dưỡ
ng môn Toán cho h
n: Đ
ặ
ng Trung Hi
N I
. MỘ

T S

GIẢ
I PHƯƠNG TR
Trong quá trình gi
ả
i phương tr
u nh
ận dạ
ng ra d
p phương tr
ình b
Ta dùng máy tính Casio đ
322
axbxcxdxaxbxc
+++=Û-++=Û
(Để
u dùng máy tính Casio không tìm
n đ
ế
n phương tr
i sơ đ
ồ
Horner (h
là nghi
ệm củ
a phương tr
k
ẻ bả
ng sau:

s
ố

n
a

a

n
b



nn
ba
11
.
nnn
bba
a

=+

212
.
nnn
bba
a

=+

p phương tr
ình b
Phương án 1:

p phương tr
ình
đư
ợc nghiệ
m nguyên / h
Phương án 2:

chia phương tr
hay không, n
ế
u có th
ương tr
ình b
ậ
ân t
ích hạ
b
ng môn Toán cho h
ng Trung Hi
ếu -
www.gvhieu.com
T S
Ố
CÁCH ĐƠN GI
I PHƯƠNG TR

i phương tr
ình ch
ng ra d
ấu hiệ
u đ
ình b
ậc 3:
axbxcxd
Ta dùng máy tính Casio đ
ể giả
i, n
322
axbxcxdxaxbxc
+++=Û-++=Û
tìm a’, b’, c’ ta có th
u dùng máy tính Casio không tìm
n phương tr
ình bậ
c 3 ho
Horner (h
ết sứ
c c
a phương tr
(*)()( )0
ng sau:


1n
a
-

a

1n
b
-

b
ình b
ậc 4:
axbxcxdxe
ình
đó vào máy tính casio, dùng l
m nguyên / h
chia phương tr
ình bậ
c 4 đó cho
u có th
ể đưa đượ
c ta đ
ậ
c cao h
ơn:
b
ậc dần dầ
n xu



ng môn Toán cho h

ọ
c sinh l

www.gvhieu.com
CÁCH ĐƠN GI
I PHƯƠNG TR
ÌNH B
ình ch
ắc chắ
n khi bi
u đ
ặc biệ
t ta có th
32
axbxcxd
+++=
i, n
ế
u có 1 nghi
322
0()(''')0
axbxcxdxaxbxc
a
+++=Û-++=Û
tìm a’, b’, c’ ta có th
ể
u dùng máy tính Casio không tìm
đượ
c nghi
c 3 ho

ặc sử

c c
ần thiế
t, nên ghi nh
a phương tr
ình
nn
nn
axaxaxa
++++=
(*)()( )0
xbxbxb
a
Û-+++=
2n
a
-

…
2n
b
-

…
432
axbxcxdxe
++++=
đó vào máy tính casio, dùng l
m nguyên / h

ữu tỉ
thì dùng s
c 4 đó cho
2
x

c ta đ
ặt ẩ
n ph
ơn:
Nếu tìm
đ
ầ
n xuống.




nhân
Cộng
c sinh l
ớ
p 10A1
www.gvhieu.com

CÁCH ĐƠN GI
ẢN
ÌNH B
Ậ
C CAO

n khi bi
ến đ
ổ
t ta có th
ể giả
i chúng, khi đó phương tr
0
axbxcxd
+++=

u có 1 nghi
ệ
m nguyên / h
322
0()(''')0
axbxcxdxaxbxc
a
+++=Û-++=Û
ể
dùng sơ
đ
c nghi
ệ
m nguyên/h

dụ
ng công th
t, nên ghi nh
1
110

0
nn
nn
axaxaxa
-
-
++++=
12
(*)()( )0
nn
nn
xbxbxb
a

-
Û-+++=
…
…
(Mẹ
o nh
432
axbxcxdxe
++++=
đó vào máy tính casio, dùng l
ệ
thì dùng s
ơ đ
ồ
2
x

xem có th
n ph
ụ
tx
=+
đ
ược nghi
ệ

kế
t qu
p 10A1
“Tặ
ng mi

“Học tậ
p là ni
C CAO

ổ
i ta thườ
ng th
i chúng, khi đó phương tr
0
m nguyên / h
ữ
u t
0()(''')0

axbxcxdxaxbxc
+++=Û-++=Û
đ
ồ
Horner ho
m nguyên/h
ữ
u t
ng công th
ức
Cardano
t, nên ghi nh
ớ như hằ
ng đ
110
0
axaxaxa
++++=
12
11
(*)()( )0
nn
nn
xbxbxb

-
Û-+++=
…
1
a

…
1
b

o nh
ớ: đầ
u rơi, sau đó nhân ngang, c
0
axbxcxdxe
++++=

ệ
nh shitf SOVLE đ
ồ
Horner h
ạ
xem có th
ể đưa về
d
1
tx
x
=+

ệ
m nguy
ên ho

t qu

ả
ng mi
ễ
n phí cho h
p là ni
ề
m vui khám phá
ng th
ấy dẫ
n đ
i chúng, khi đó phương tr
u t
ỉ là
a

thì:
2
0()(''')0
'''0
x
axbxc
a
=
é
+++=Û-++=Û
ê
++=
ë
Horner ho
ặ

c chia đa th
u t
ỉ
thì ta quay l
Cardano

(khó!)
ng đ
ẳng th
ứ
110
0
axaxaxa
++++=

(*) thì:
11
(*)()( )0
xbxbxb
Û-+++=

a

0
a

b

0

u rơi, sau đó nhân ngang, c
nh shitf SOVLE đ
ể
tìm nghi
ạ
xuống b
ậ
d
ạng
2
mxnxp
æöæö
ç÷ç÷
èøèø
ên ho
ặc hữ
u t
N
Name:…
…
n phí cho h
ọ
c sinh
m vui khám phá
”
n đ
ến một
phương tr
i chúng, khi đó phương tr
ình sẽ đượ

c gi
thì:

'''0
axbxc
a
=
++=
c chia đa th
ức)
thì ta quay l
ạ
i tìm cách khác
(khó!)

ứ
c đáng nh
ớ
(*) thì:

u rơi, sau đó nhân ngang, c
tìm nghi
ệ
m.
ậ
c ba, rồ
i tìm cách gi
2
2
11

mxnxp
xx
æöæö
++±=
ç÷ç÷
èøèø
u t
ỉ thì d
ùng l
N
ế
u làm đúng thì
đây luôn b
ằ
…
………
…
c sinh
”12|2013
”
[1]

phương tr
ình b
ậ
c gi
ải.
'''0
++=

i tìm cách khác
ớ
)
u rơi, sau đó nhân ngang, c
ộ
ng chéo)
m.

i tìm cách gi
ả
11
mxnxp
xx
æöæö
++±=
ç÷ç÷
èøèø

ùng l
ược đồ
u làm đúng thì
ở
ằ
ng 0
…
……….

]

ình b

ậc
i tìm cách khác
để
ng chéo)

ả
i.
mxnxp
++±=


C
Biờn so

1.
a)
d)

a)
d)
h
1.
a)
c)
e)
g
1.
(HD: Vi

2.1

2
2
H


C
huyờn

Biờn so

n:

1.
1 Gi
i cỏc phng tr
a)
32
xxx
+=
d)
32
68150
xxx
-+-=

1.2. Gi
i cỏc phng tr
a)
432
26210

xxxx
+=
d)
432
635623560
xxxx
-+-+=
h
)
432
22174105500
xxxx
-+-+=
1.
3. Gi
i cỏc phng tr
a)
432
22760
xxxx
-+-+=
c)
5432
xxxxx
=
e)
22
(43)(412)56
xxxx
+++-=-

g
)
44
(1)(3)2
xx
-+-=
1.
4. Tỡm
i
(HD: Vi

t l

2.1
H g
m hai phng tr
Vớ d
1:
2
.2 H g
m m
Vớ d
2:
2
.3 H
phng tr
H
i x
ng ụi v
Vớ d 3

:
Vớ d 4
: Gi



bi d
ng mụn Toỏn cho h
n:

ng Trung Hi
i cỏc phng tr
32
25250
xxx
+=
32
68150
xxx
-+-=
i cỏc phng tr
432
26210
xxxx
+=
432
635623560
xxxx
-+-+=
432

22174105500
xxxx
-+-+=
i cỏc phng tr
432
22760
xxxx
-+-+=
5432
142523100
xxxxx
=
22
(43)(412)56
xxxx
+++-=-
44
(1)(3)2
xx
-+-=
i
u kin c

t l

i phng tr
PH
N II
m hai phng tr
1:

Gii h
phng tr
m m

t phng tr
2:
Gii h
phng tr
phng tr
ỡnh
ng ụi v

i x, y l h
:
Gii h
ỡ
ớ
ợ
: Gi
i h
xxyy
yxyx
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
ng mụn Toỏn cho h
ng Trung Hi
u -

www.gvhieu.com
i cỏc phng tr
ỡnh b
c ba
25250
+=

68150
-+-=

i cỏc phng tr
ỡnh b
c 4 sau:
26210
xxxx
+=


432
635623560
xxxx
-+-+=
432
22174105500
xxxx
-+-+=
i cỏc phng tr
ỡnh sau:
22760
xxxx

-+-+=

5432
142523100
xxxxx
=
(43)(412)56
xxxx
+++-=-
(1)(3)2
-+-=



a tham s

4322
102(11)2(56)20
xxmxmxmm
++++=
i phng tr
ỡnh trờn
N II
. M
T S
m hai phng tr
ỡnh b

phng tr
ỡnh

t phng tr
ỡnh b
phng tr
ỡnh
ỡnh
i xng:

i x, y l h

m khi ta thay x b
22
xxyy
xyxy
ỡ
-+=
ớ
+-=
ợ
2
2
3220
3220
xxyy
yxyx
ỡ
+ =
ù
ớ
+ =
ù

ợ
ng mụn Toỏn cho h

c sinh l

www.gvhieu.com
c ba
sau:

b)
32
xxx

e)
3619260
c 4 sau:


b)
325230
xxxx
635623560
-+-+=
e)
432
xxxx
22174105500
-+-+=

ỡnh sau:

142523100
=

(43)(412)56
+++-=-




m
phng tr
4322
102(11)2(56)20
xxmxmxmm
++++=
ỡnh trờn
theo m
. Tớnh
T S
H


c hai
'''0
axbxc
axbxc
ỡ
ù

ớý
ù
ợ
ỡnh
2
2
44390
25360
xx
xx
ỡ
=
ù
ớ
++=
ù
ợ
ỡnh b

c cao v m
ỡnh
22
328
446
xy
xyxy
+=
ỡ
ớ
+-=

ợ

m khi ta thay x b
22
10
4
xxyy
xyxy
-+=
+-=

3220
3220
xxyy
yxyx
+ =
+ =

c sinh l

p 10A1
www.gvhieu.com

BI T

32
990
xxx
+ =
32

3619260
xxx
-+-=
432
325230
xxxx
+-++=
432
410
xxxx
+-++=

b)
43
27830
xxx
+-+=

d)
5432
223911872521800
xxxxx
+++++=

f)
(23)(2)(5)12
xxx
-+-=-

h)

44
(3)(1)82
xx
-++=
phng tr
ỡnh sau cú nghi
4322
102(11)2(56)20
xxmxmxmm
++++=
. Tớnh
m
theo x)

PHNG TR
2
2
'''0
axbxc
axbxc
ỡ
++=
ù
ớý
++=
ù
ợ
44390
25360
xx

xx
=
++=
c cao v m

t phng tr
22
328
446
xy
xyxy
+=
+-=

m khi ta thay x b

i y
3220
3220
p 10A1
T
ng mi

Hc t
p l ni

P
990
xxx
+ =

32
3619260
xxx
-+-=

432
325230
xxxx
+-++=
432
410
xxxx
+-++=

43
27830
xxx
+-+=
5432
223911872521800
xxxxx
+++++=
2
(23)(2)(5)12
xxx
-+-=-
44
(3)(1)82
xx

-++=
ỡnh sau cú nghi

4322
102(11)2(56)20
xxmxmxmm
++++=
theo x)

PHNG TR
èNH
0
'''0
axbxc
axbxc
++=
ớý
++=
44390
25360
=
++=

t phng tr
ỡnh b

446
+-=

i y
thỡ h
phng tr
ng mi

n phớ cho h
p l ni

m vui khỏm phỏ

c)
32
xxx
3619260
-+-=

f)
6132240
xxx
325230
+-++=
c)
432
xxxx
410

f)
432
xxxx
27830

xxx
+-+=

5432
223911872521800
xxxxx
+++++=
(23)(2)(5)12
xxx
-+-=-


44
(3)(1)82
-++=


m
4322
102(11)2(56)20
xxmxmxmm
++++=

èNH
TH

1
2
S
SSS

S
đ
ỹ
ớý
đ
ỵ
c nht:
phng tr
ỡnh
n phớ cho h

c sinh
m vui khỏm phỏ

32
52100
xxx
-+-=
32
6132240
xxx
+ =
432
32310
xxxx
+ +=
432
5101040
xxxx
-+-+=

223911872521800
xxxxx
+++++=
(23)(2)(5)12

102(11)2(56)20
++++=


NG G

12
SSS
ỹ
=ầ
ớý
ỵ

ỡnh
ú khụng
c sinh
12|2013

[2]

32
52100
xxx
-+-=

6132240
xxx
+ =

432
32310
xxxx
+ +=
432
5101040
xxxx
-+-+=
223911872521800
+++++=


P
12
SSS
ú khụng
i.
]

52100
6132240
+ =

32310
+ +=

5101040
-+-+=

C
Biên so

2.
2.
TAM GIÁC PASCAL
Khi khai tri


…

Đ

C
huyên đ
ề
Biên so
ạ
n: Đ

2.
1. Giả
i các
a)
2
2
xx

xx
ì
=
ï
í
++=
ï
î
2.
2. Giả
i các
a)
2
325
xy
xxyxy
+=
ì
í
++-+=
î
c)
22
22
2529
xxyy
xxyy
ì
ï
í

-+=
ï
î
e)
2
2
253420
253420
xxyxy
yxyyx
ì
ï
í
ï
î
g)
22
4245
3323
xxyyxy
xyxy
ì
í
-++=
î
TAM GIÁC PASCAL
Khi khai tri


222

()2
abaabb
+=++
33223
()33
abaababb
+=+++
4432234
()464
abaabababb
+=++++
…


Đ
ể
khai tri

ề
bồi dưỡ
ng môn Toán cho h
n: Đ
ặ
ng Trung Hi
i các
hệ
phương tr
2
2
2260

62100
xx
xx
=
++=
i các
hệ
phương tr
2
325
4280
xy
xxyxy
+=
++-+=
22
22
2529
8
xxyy
xxyy
++=
-+=
2
2
253420
253420
xxyxy
yxyyx
-+-+=

-+-+=
22
4245
3323
xxyyxy
xyxy
-++-=
-++=
TAM GIÁC PASCAL
Khi khai tri
ển hằ
ng đăng th
222
()2
abaabb
+=++
33223
()33
abaababb
+=+++
4432234
()464
abaabababb
+=++++
khai tri
ển
()
n
ab
-

ng môn Toán cho h
ng Trung Hi
ếu -
www.gvhieu.com
phương tr
ình sau:
2260
62100
=
++=


phương tr
ình sau:
4280
xxyxy
++-+=


22
2529
8
xxyy
++=
-+=


253420
253420

xxyxy
yxyyx
-+-+=
-+-+=
22
4245
3323
xxyyxy
xyxy
-++-=
-++=
TAM GIÁC PASCAL

ng đăng th
ức
()
222
abaabb
+=++

33223
()33
abaababb
+=+++

4432234
()464
abaabababb
+=++++
()

n
ab
-
ta chỉ cầ
n đi


ng môn Toán cho h
ọ
c sinh l

www.gvhieu.com
ình sau:


ình sau:

4280


253420
253420
-+-+=
-+-+=


4245
xxyyxy
-++-=

()
n
ab+
ta có th
4432234
()464
abaabababb
+=++++

n đi
ền từ
ng d
c sinh l
ớ
p 10A1
www.gvhieu.com

BÀI T
Ậ

b)
2
3440
xx
xx
ì
ï
í
ï

î

b)
22
243
xy
xxyyxy
ì
í
î

d)
22
4426
xxyy
xyxy
ì
í
î

f)
322560
322560
xxyxy
yxyyx
ì
ï
í
ï
î

h)
557446
335224
xyxyxy
xyxyxy
ì
ï
í
ï
î


PHỤ L
Ụ
ta có th
ể sử d
ụ
ng d
ấu +,-
, +,
1 5
p 10A1
“Tặ
ng mi

“Học tậ
p là ni
Ậ
P:

2
2
3440
11
20
3
xx
xx
ì
=
ï
í
++=
ï
î
22
243
32257
xy
xxyyxy
-=
ì
í
-++-=
î
22
312
4426
xxyy
xyxy

ì
++=
í
+-=
î
2
2
322560
322560
xxyxy
yxyyx
ì
+ =
ï
í
+ =
ï
î
22
22
557446
335224
xyxyxy
xyxyxy
ì
+ +=
ï
í
+-+-=
ï

î
Ụ
C
ụ
ng quy t
ắ
, +,
-
… vào trư
1 2 1
1 3
1 4 6
1 5

10 10 5 1
ng mi
ễ
n phí cho h
p là ni
ề
m vui khám phá
3440
20
=
++=

22
243
32257
xxyyxy

-=
-++-=
22
312
4426
xxyy
xyxy
++=
+-=

322560
322560
xxyxy
yxyyx
+ =
+ =
557446
335224
xyxyxy
xyxyxy
+ +=
+-+-=
c sau đây đ
… vào trư
ớc hệ số.

1
1 1
1 2 1
1 3

3 1
1 4 6

4 1
10 10 5 1
………

n phí cho h
ọ
c sinh
m vui khám phá
”
32257
xxyyxy
-++-=

322560
322560
+ =
+ =

557446
335224
xyxyxy
xyxyxy
+ +=
+-+-=

c sau đây đ

ể
ghi các h

1 2 1

3 1

4 1

10 10 5 1

c sinh
”12|2013
”
[3]

ghi các h
ệ số.
10 10 5 1

]

C
Biên so
3.1
N
phương tr
3.1.
3.1.
3.2

3.2.
Trong cách gi
ph
a)
b)
C
huyên đ
ề
Biên so
ạ
n: Đ
PHẦ
N I
Lờ
i nói đ
;;
hiể
u m
Nhìn chung, gi
tòi,
lên th
3.1
THỰ
C HI
N
ộ
i dung cơ b
phương tr
ình vô t
3.1.

1.
()()
fxgx
Ví dụ 1
:
3.1.
2.
()()
fxgx
Ví dụ 2
:
3
.1
3
.2
3
.3
3
.4
3
.5
3
.6
3
.7
3
.8
3.2
. DÙNG
3.2.

1. Đặ
t
Trong cách gi
ph
ụ
. Sau đó bi
a)

Phương tr
Ví dụ
3:
b)
Quy về
b
Ví dụ
4:
ề
bồi dưỡ
ng môn Toán cho h
n: Đ
ặ
ng Trung Hi
N I
II. M
Ộ
i nói đ
ầu:
Phương tr
3
4

;;

Có r
u m
ột số
cách thư
Nhìn chung, gi
tòi,
để ý tỉ mỉ

lên th
ật nhiề
u v
C HI
Ệ
N PHÉP BI
i dung cơ b
ản củ
a phương pháp này là ta th
ình vô t
ỉ về
d
()()
fxgx
=Û
:

1713
xx
+=-

()()
fxgx
=ÛÛ
:

322
xxxx
-=+-
.1
3332
xx
+ =-
.2
22
xx
++=
.3
23
5211
xxxxx
++++=+
.4
42
112
xxx
-++=
.5
431032
=-
.6

22
286122
xxxx
+++-=+
.7
Tìm m để

.8
Tìm m để

. DÙNG
ẨN PH
Ụ
t
ẩn phụ
và quy v
Trong cách gi
ả
i này ta c
. Sau đó bi
ểu thị
toàn b
Phương tr
ình dạ
ng:
3:

3890
xx
=

b
ậc hai
4:

22
436450
xxxx
++-+-=
ng môn Toán cho h
ng Trung Hi
ếu -
www.gvhieu.com
Ộ
T SỐ
PHƯƠNG PHÁP GI
Phương tr
ình vô t
;;
Có r
ất nhi
ề
cách thư
ờ
ng dùng gi
Nhìn chung, gi
ải phươn
g trình vô t

vì không khéo là nó d
u v

ề nhậ
n th
N PHÉP BI
Ế
N Đ
a phương pháp này là ta th
d
ạ
ng quen thu
()0
()()
()()
gx
fxgx
fxgx
³
ì
=Û
í
=
î
1713
xx
+=-

()0()0
()()
()()()()
gxfx
fxgx

fxgxfxgx
³³
ìì
=ÛÛ
íí
==
îî
322
2
xxxx
-=+-
3332
xx
+ =-

2
22
xx
++=


23
5211
xxxxx
++++=+
112
xxx
-++=

431032
xx
=-
22
286122
xxxx
+++-=+
phương tr
ình
phương tr
ình
Ụ
ĐỂ GI
Ả
và quy v
ề bậ
c hai
i này ta c
ố gắ
ng nh
toàn b
ộ
phương tr
ng:

.()()0
afxbfxc
++=
3890
xx

=

22
436450
xxxx
++-+-=
ng môn Toán cho h
ọ
c sinh l

www.gvhieu.com
PHƯƠNG PHÁP GI
ình vô t
ỉ
là các phương tr
ề
u phương pháp gi
ng dùng gi
ả
i phương tr
i phươn
g trình vô t
vì không khéo là nó d
n th
ức khi mà
i mò
N Đ
Ổ
I TƯƠNG
a phương pháp này là ta th

ng quen thu
ộ
c (phương tr
2
()0
()()
fxgx
³
=

()0()0
()()()()
gxfx
fxgxfxgx
³³
ìì
=ÛÛ
íí
==
îî
2
xxxx
-=+-

3332
+ =-



5211

xxxxx
++++=+


112
xxx

431032
xx
=-


286122
xxxx
+++-=+


ình
2
231
xmxx
+-=+
ình
22
24
xmxx
-=-
Ả
I PHƯƠNG TR
ậ

c hai
ng nh
ận ra dấ
u hi
phương tr
ình đ
ã cho theo
.()()0
afxbfxc
++=
436450
xxxx
++-+-=


c sinh l
ớ
p 10A1
www.gvhieu.com


PHƯƠNG PHÁP GI
là các phương tr
u phương pháp gi
ả
i phương tr
i phương tr
g trình vô t
ỉ là vấ
n đ

vì không khéo là nó d
ẫn đế
n phương tr
i mò

tìm cách gi
I TƯƠNG

ĐƯƠNG
a phương pháp này là ta th
ực hiệ
n nh
c (phương tr
ình bậ
c hai, phương tr
()0()0
()()()()
gxfx
fxgxfxgx
³³
ìì
=ÛÛ
íí
==
îî
BÀI T
Ậ


5211

286122
+++-=+

231
xmxx
+-=+
22
24
xmxx
-=-
I PHƯƠNG TR
ÌNH VÔ T
u hi
ệu đặc biệ
t c
ã cho theo
ẩ
n ph
.()()0
afxbfxc
++=
, đặt
tfx
436450

(Hd: đặ
t

p 10A1
“Tặ
ng mi

“Học tậ
p là ni
PHƯƠNG PHÁP GI
Ả
I PHƯƠNG TR
là các phương tr
ình có ch
i phương tr
i phương tr
ình vô tỉ.

n đ
ề
tương đ
n phương tr
ình b
tìm cách gi
ả
i phương tr
ĐƯƠNG

n nh
ữ
ng phép bi
c hai, phương tr
()0()0

()()()()
fxgxfxgx

Ậ
P

ĐS:

ĐS:

ĐS: x=0

ĐS:

ĐS:x=3

ĐS:
231
xmxx
+-=+

có hai nghi
22
24
xmxx
-=-

ÌNH VÔ T
Ỉ
t c

ủ
a phương tr
n ph
ụ rồ
i tìm cách quy v
()
tfx
=

t
2
45
txx
=+-
ng mi
ễ
n phí cho h
p là ni
ề
m vui khám phá
I PHƯƠNG TR
ình có ch
ứa biế
n trong d
i phương tr
ình loạ
i này. Sau đây, chúng ta t
tương đ
ối khó, đ
òi h

ình b
ậ
c cao. Nhưng đ
i phương tr
ình
ng phép bi
ến đổ
i tương đương đ
c hai, phương tr
ình tích…)
ĐS:
2
x =-

ĐS:
2;1/2(15)
x
=-+
ĐS: x=0

ĐS:
1;1/2(171)
x
=-
ĐS:x=3

ĐS:
1
x =±

có hai nghi
ệ
m phân bi
a phương tr
ình, rồ
i đ
i tìm cách quy v
()
tfx

Điều kiệ
n:
45
txx
=+-
)
n phí cho h
ọ
c sinh
m vui khám phá
”
I PHƯƠNG TR
ÌNH VÔ T
n trong d
ấ
u căn, có th
i này. Sau đây, chúng ta t
òi h
ỏi ngư
ờ

c cao. Nhưng đ
ổ
ình
.
i tương đương đ
ình tích…)

2
2;1/2(15)
=-+


1;1/2(171)
=-

1
m phân bi
ệt.
i đ
ặt biểu th
ứ
i tìm cách quy v
ề bậc hai.

n:
0t ³

c sinh
”12|2013
”

[4]

ÌNH VÔ T
u căn, có th
i này. Sau đây, chúng ta t
ờ
i giải phả
i tìm
c cao. Nhưng đ
ổ
i lại ta s
ẽ
i tương đương đ
ể biến đổi
2;1/2(15)

1;1/2(171)
ứ
c đó bằng
ẩ

]

ÌNH VÔ T
Ỉ
u căn, có th
ể là
i này. Sau đây, chúng ta t
ìm
i tìm

ẽ
lớn
ẩ
n
C
Biên so
3.2.
a)
b)
c)
3.2.
a)
b)

C
huyên đ
ề
Biên so
ạ
n: Đ
Ví dụ
5:
Ví dụ 6
:
Ví dụ 7
:
3.2.
2. Dùng
a)

Dùng m
Ví dụ 8
:
Ví dụ 9
:
b)

Dùng hai
Ví dụ
10
Ví dụ
11
c)

Dùng 3
Ví dụ
12
Hd: đ
Khi đó
Mặ
t khác
Từ
(1) và (2) ta có
3.2.
3. Phương pháp dùng
a)

Dùng m
Ví dụ
13

Hd: đ
b)

Dùng hai
Cách này thư
Cách gi
Lúc đó ta có h
Ví dụ
14
Ví dụ 1
5

ề
bồi dưỡ
ng môn Toán cho h
n: Đ
ặ
ng Trung Hi
5:

11
xxxx
=
:

(
322244103
xxxx
+ +-=-
:

361833
xxxx
++ +-=
2. Dùng
ẩn phụ
đưa v
Dùng m
ột ẩn phụ
:
:

2
xx
++=
:
(
200611
+ =
Dùng hai
ẩn phụ:

10
:
22
4512193
xxxxx
++ +=-
11
:

(
23
23238
xxx
-+=+
Dùng 3
ẩn phụ:
12
:
3
718812
xxxxx
+ +-+=
Hd: đ
ặt
3
71;8;81
axbxxcxx
=+= =-+
Khi đó
abcabc
++=Û++=
t khác
333
abc
++=
(1) và (2) ta có
3. Phương pháp dùng
Dùng m
ột biến ph

ụ
13
:
2
xx
++=
Hd: đ
ặt
txt
=+³
Dùng hai
ẩn phụ:

Cách này thư
ờ
Cách gi
ải: Đ
ặ
Lúc đó ta có h
14
:
44
57405
xx
-++=
5
:
21
+=

ng môn Toán cho h
ng Trung Hi
ếu -
www.gvhieu.com
2
11
xxxx
=
)
322244103
xxxx
+ +-=-
361833
xxxx
++ +-=
đưa v
ề
phương tr
:

39
24
xx
++=

(Hd: đ
)
(
200611
xxx

+ =

22
4512193
xxxxx
++ +=-
)
23
23238
xxx
-+=+
33
22
718812
xxxxx
+ +-+=
3
71;8;81
axbxxcxx
=+= =-+
(
??
abcabc
++=Û++=
333
?
abc
++=

(1) và (2) ta có

()()?
abcabc
++-++=
3. Phương pháp dùng
ẩ
n ph
ụ
kết hợ
p v
55
xx
++=

5,0
txt
=+³

. Ta có

ờ
ng áp dụ
ng cho phương tr
ặ
t
mn
uafxvbfx
=+=-
Lúc đó ta có h
ệ
mm

uvc
uvab
+=
ì
í
+=+
î
44
57405
xx
-++=
4
4
1
21
xx
+=


ng môn Toán cho h
ọ
c sinh l

www.gvhieu.com
2
11
xxxx
=

2
322244103
xxxx
+ +-=-
2
361833
xxxx
++ +-=
phương tr
ình tích
(Hd: đ
ặt
tx
=+
)
2
200611
xxx
+ =

(Hd: đ
22
4512193
xxxxx
++ +=-
23
23238
xxx
-+=+

(Hd: đ
33
22
718812
xxxxx
+ +-+=
33
22
71;8;81
axbxxcxx
=+= =-+
)
3
??
abcabc
++=Û++=
?
++=

3333
()()?
abcabc
++-++=
n ph
ụ đưa v
ề
p v
ới biến hi
ệ
5,0

=+³
. Ta có
xt
=-
ng cho phương tr
(),()
mn
uafxvbfx
=+=-
mm
uvc
uvab
+=
+=+

57405
-++=

4
1
2
xx
+=


c sinh l
ớ
p 10A1
www.gvhieu.com

(Hd: đặ
t
2
322244103
xxxx
+ +-=-

2
361833
xxxx
++ +-=


ình tích

3
2
tx
=+

, đi
xxx
(Hd: đ
ặt
tx
4512193
xxxxx
++ +=-

(Hd: đ
(Hd: đ
ặt
axxbx
=-+=+
718812
xxxxx
+ +-+=

33
22
71;8;81
axbxxcxx
=+= =-+
??
++=Û++=
(1)

(2)
3333
()()?
abcabc
++-++=
ề
hệ
ệ
n có:
2
5
xt

=-

ì
ï
Þ
í
ï
î
ng cho phương tr
ình d
(),()
mn
uafxvbfx
=+=-

.

(ĐS:
p 10A1
“Tặ
ng mi

“Học tậ
p là ni
t
1
txx
=
xxxx

(Hd: đặt
txx

(Hd: đặt
txx
, đi
ều kiện
t
³
1
tx
=-

, rút
(Hd: đ
ặt
451;21
axxbxx
=++=-+
2
24;2
axxbx
=-+=+
22
71;8;81
axbxxcxx
=+= =-+

()()?
++-++=

Từ đó
có
2
2
5(1)
5(2)
xt
tx
ì
+=
ï
Þ
í
-=
ï
î
(ĐS:
ình d
ạng
mn
afxbfxc
++-=
(),()
uafxvbfx
.

4
1,2
13
2

v
±-
=
ng mi
ễ
n phí cho h
p là ni
ề
m vui khám phá
1
txx
=
)
222
txx
=+
36
txx
=++-
0
t
³
)
tx
, rút
x
ra th
22
451;21
axxbxx

=++=-+
24;2
axxbx
=-+=+
có
{1;0;1;9}
S
=-
5(1)
5(2)
. Lấ
y (1)
(ĐS:
(121)/2;(121)/2
xx
=-=
()()
mn
afxbfxc
++-=
4
4
13
2
2
±-
, từ

n phí cho h
ọ

c sinh
m vui khám phá
”
222
txx
=+
)
36
txx
=++-
)
ra th
ế vào pt)
22
451;21
axxbxx
=++=-+
24;2
axxbx
=-+=+
)
{1;0;1;9}
=-

y (1)
-
(2)…
(121)/2;(121)/2
xx
=-=

()()
afxbfxc
++-=


đó tìm u
, r
c sinh
”12|2013
”
[5]

txx
22
451;21
axxbxx
=++=-+
)
(2)…

(121)/2;(121)/2
xx
=-=
afxbfxc
++-=

, r
ồi tìm x)
]

(121)/2;(121)/2
)
C
Biên so
c)
D
D

TÀI LI
-
-
-
C
huyên đ
ề
Biên so
ạ
n: Đ
c)
Dùng ẩ
n ph
D
ạng 1:
Gi
Cách gi
Đây là h
Ví dụ
16
D
ạng 2:

Gi
Cách gi
Ví dụ
17

3.9

3
.10
3
.11
3
.12
3
.13
3.1
4
TÀI LI
Ệ
U THAM
-
Một số
PP gi
-
Diễ
n đàn toán h
-

www.mathvn.com
ề

bồi dưỡ
ng môn Toán cho h
n: Đ
ặ
ng Trung Hi
n ph
ụ
đưa v
Gi
ả
i phương tr
Cách gi
ải: Đ
ặ
Đây là h
ệ đố
i x
16
:
3
12.21
xx
+=-
Gi
ả
i phương tr
Cách gi
ải: Đ
ặ
17

:
20072007
xx
=++

2882
xxxx
-+-=
.10

2122211
xxxxx
++-++ =
.11

33
33
.353530
xxxx
-+-=
.12

22
51495120
xxxxx
-+=++
.13

3333
3152943

xxxx
++-+-=-
4

7
4
xxx
-+=-
U THAM
KH
PP gi
ả
i PT vô t
n đàn toán h
ọc
-
www.mathvn.com

ng môn Toán cho h
ng Trung Hi
ếu -
www.gvhieu.com
đưa v
ề hệ đố
i x
i phương tr
ình
n
xbaaxb
+=-

ặ
t
n
taxb
=-
i x
ứng, để
gi
3
12.21
xx
+=-


i phương tr
ình
xaax
=++
ặ
t
tax
=+
20072007
xx
=++
2
2882
xxxx
-+-=
2122211

xxxxx
++-++ =
(
33
33
.353530
xxxx
-+-=
22
51495120
xxxxx
-+=++
3333
3152943
xxxx
++-+-=-
(
2
11
xxx
-+=-
KH
ẢO:
i PT vô t
ỉ -
Nguy
-

ng môn Toán cho h
ọ
c sinh l

www.gvhieu.com
i x
ứng:
.
n
n
xbaaxb
+=-
taxb
=-
, ta đượ
c h
gi
ải ta lấy
(1)(2)
12.21

xaax
=++
tax
=+
, ta đượ
c h
20072007
xx
=++

2
2882
xxxx
-+-=

(Hd
2
2122211
xxxxx
++-++ =
)
33
.353530
xxxx
-+-=

22
51495120
xxxxx
-+=++
3333
3152943
xxxx
++-+-=-
)
2
11
xxx
-+=-

(Hd: đ
Nguy
ễn Quố
c Hoàn

c sinh l
ớ
p 10A1
www.gvhieu.com

xbaaxb
+=-

c h
ệ .
n
n
xbat
tbax
ì
+=
ï
í
+=
ï
î
(1)(2)
-

xaax
=++

c h
ệ
xat
tax
ì
=+
ï
í
=+
ï
î
BÀI T
Ậ
2882
(Hd
: bình ph
2122211
xxxxx
++-++ =

(Hd: đ
.353530

(Hd: đặt
txx
22

51495120
xxxxx
-+=++

(Hd: đ
3333
3152943
xxxx
++-+-=-

(Hd: đ
(Hd: đ
ặt
uxvx
==-
c Hoàn



p 10A1
“Tặ
ng mi

“Học tậ
p là ni
(1)
(2)
n
n
xbat

tbax
ì
+=
ï
í
+=
ï
î
(1)(2)


(1)
(2)
xat
tax
=+
=+

. Gi
Ậ
P
: bình ph
ương, đ
ặ
(Hd: đ
ặt
txx
=++-
3
35

txx
=+-
51495120
(Hd: đ
ặt
axxbx
= =+
(Hd: đ
ặt
333
31;5;29
axbxcx
=+=-=-
,1
uxvx
==-

ng mi
ễ
n phí cho h
p là ni
ề
m vui khám phá
(1)
(2)
.

(ĐS:
xx
(1)

(2)
. Gi
ải, lấy
(1)(2)
ặ
t
2
txx
=-+
12
txx
=++-
3
35
txx
=+-
)
2
45;4
axxbx
= =+
(ĐS:
333
31;5;29
axbxcx
=+=-=-
(ĐS:
,1
uxvx
==-

)
n phí cho h
ọ
c sinh
m vui khám phá
”
15
1;
2
xx
-±
==
(1)(2)
-

2
1016
txx
=-+
)

12
txx
=++-
)
(ĐS:
45;4
axxbx
= =+
(ĐS:

(561)/2;8
xx
=+=
333
31;5;29
axbxcx
=+=-=-
(ĐS:
3;4;8/5
xxx
=-==
(ĐS:
xx
c sinh
”12|2013
”
[6]

15
2
-±
)
(1)(2)
1016

(Đs:
x
=
(ĐS:
x

=
(ĐS:
2;3
xx
==
45;4
axxbx
= =+
)
(561)/2;8
xx
=+=
333
31;5;29
axbxcx
=+=-=-
)
3;4;8/5
xxx
=-==
0;9/16
xx
==
]

10
x
=
)
3

x
=
)
2;3
xx
==
)
(561)/2;8
xx
=+=
)
3;4;8/5
xxx
=-==
)
0;9/16
==
)