SKKN phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài chứng minh bất đẳng thức

Đặt vần đề:
Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm
lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên
tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết.
Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không
tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển
cần được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự
nhiên đặc biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS
đang phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được
xem nhẹ vấn đề này. Qua một bài toán có thể phát triển tư duy lô gíc, tư
duy trừu tượng, tư duy lí luận của học sinh. Điều quan trọng là giáo
viên truyền thụ kiến thức như thế nào để phát triển tư duy của học sinh
một cách tốt nhất.
Trong thực tế học sinh thường thụ động tiếp thu kiến thức, thường làm bài
tập một cách máy móc, không linh hoạt và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả
bài toán. Với bài toán đó nếu được biến đổi thành bài toán khác thì đa số
học sinh không nhận ra, lúng túng và không làm được. Đây là cách học
hết sức nguy hiểm cho học sinh lười học và không phát triển được tư duy.
Đối với môn Toán bài tập rất phức tạp và đa dạng, học sinh không thể làm
hết được bài tập mà chỉ nắm được dạng bài tập nên học sinh cần hiểu
được bản chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh,
sau đó tạo ra bài toán mới, dạng toán mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát
triển được tư duy.
Bất đẳng thức là dạng bài tập khó trong các dạng bài tập ở THCS, bất
đẳng thức yêu cầu tư duy rất cao, sự nhạy cảm toán học cũng như kĩ năng
của môn Đại Số. Nếu học sinh biết cách giải một số bài tập bất đẳng thức
cùng dạng thì đã thực sự trưởng thành về mặt tư duy toán học. Những bài
tập bất đẳng thức rất đa dạng học sinh không thể làm hết mà chỉ có thể
nắm được một số dạng, chính vì vậy học sinh cần nắm được bản chất của
bài tập và phân loại bài toán là việc vô cùng cần thiết. Vì vậy mà giáo

viên cần đưa cho học sinh bài tập có hệ thống và liên hệ các bài tập cùng
dạng với nhau giúp các em tự tin hơn.
Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu
cầu quan trọng đối với học sinh. Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu
sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là
1
làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm
vui khi học toán. Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh
hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó
đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể
tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy.
Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách
nhìn về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với
lứa tuổi, bằng cách dạy một bài bất đẳng thức quen thuộc trong 3 tiết, biến
đổi thành các bài toán khác nhau hoặc vận dụng làm các bài bất đẳng thức
khó hơn. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán
lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp
ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại.
Phần 3. Cơ sở khoa học:
1. Cơ sở lí luận:
Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo
từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc
biệt phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần
phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học
sinh một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học
sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc
học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. Các bài
tập toán trong SGK chủ yếu hình thành kĩ năng cho học sinh, mục đích
phát triển tư duy cho học sinh ở mức độ thấp nhằm đảm bảo tính giáo dục
phù hợp với học sinh đại trà. Giải bài tập toán chứng minh bất đẳng thức

trong quá trình ôn thi HSG là điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hình
thành và phát triển tư duy ở mức độ cao hơn.
2. Cơ sở thực tiễn:
Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn,
trường có 8 lớp chia đều cho các khối. Phần lớn học sinh chăm học, ý
thức tốt nhưng tác phong tư duy và tác phong học tập chưa đúng làm cho
kết quả của học sinh chưa cao, đặc biệt là kết quả thi học sinh giỏi. Chính
vì vậy vấn đề ôn thi HSG cần được đẩy mạnh. Năm học 2006-2007, tôi
được phân công dạy đội tuyển Toán 9 và Giải toán trên máy tính, số
lượng được dự thi là 4HS. Tôi lựa chọn 6 HS để ôn thi và nhằm phát triển
tư duy cho nhóm HS đó. Mục “phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài
chứng minh bất đẳng thức” nằm trong chuyên đề bất đẳng thức được thực
2
hiện trong 3 đến 4 tiết gồm hệ thống bài tập trên lớp và hệ thống bài tập
tương tự giao về nhà cho HS
Phần 4. Nội dung:
Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học
cơ sở nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó.
Bài toán xuất phát:
Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a
3
+b
3

≥
ab(a+b). (*)
Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với :
⇔ (a+b)(a
2
–ab+b

2
) – ab(a+b)
≥
0
⇔ (a+b)(a
2
-2ab +b
2
)
≥
0
⇔ (a+b)(a-b)
2

≥
0 đúng với mọi a,b dương.
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
Học sinh có thể biến đổi theo hướng khác:
Với a,b dương ta vẫn có thể biến đổi (*) thành :
ba
ba
+
+
33
≥
ab
⇔ a
2
– ab + b
2

≥
ab
⇔ ( a - b)
2

≥
0 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt không
có gì mới lạ. Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập
này. GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng:
Bất đẳng thức (*) vẫn còn đúng khi a,b không âm. Nếu a,b là các số
dương thì bất đẳng thức (*) có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng
thức khác?
Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức:
⇔
3
a
b
+ b
2

≥
a(a+b) ( do b>0)
⇔
3
a
b
+ b

2

≥
a
2
+ ab
Tương tự với a,b,c dương thì :

3
b
c
+ c
2

≥
b
2
+ bc

3
c
a
+ a
2
≥
c
2
+ ac
Từ đó ta có bài toán hay:
Bài 2: Với 3 số a,b,c dương chứng minh rằng :

3

3
a
b
+
3
b
c
+
3
c
a

≥
ab +bc+ca
Đây là bài toán không hề đơn giản, nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật
của bất đẳng thức CôSi thì rất khó.
Học sinh có thể thử bằng cách như sau:
3
a
b
+ b
2

≥
2a
ab
dấu “=” xảy ra
khi a = b

Tương tự
3
b
c
+ c
2

≥
2b
bc

3
c
a
+ a
2

≥
2c
ac
Với cách thử này giáo viên sẽ dẫn học sinh đến một bài tập khác:

3
a
b
+
3
b
c
+

3
c
a

≥
2a
ab
+2b
bc
+2c
ac
- (a
2
+b
2
+c
2
)
Khi đó học sinh sẽ xuất hiện câu hỏi:
Hai bất đẳng thức
3
a
b
+
3
b
c
+
3
c

a

≥
ab +bc+ca
và
3
a
b
+
3
b
c
+
3
c
a

≥
2a
ab
+2b
bc
+2c
ac
- (a
2
+b
2
+c
2

)
thì bất đẳng thức nào chặt hơn?
Cách làm đơn giản nhất là GV cho học sinh thử một vài giá trị đặc biệt sẽ
nhận thấy ab +bc+ca
≥
2a
ab
+2b
bc
+2c
ac
- (a
2
+b
2
+c
2
)
GV yêu cầu học sinh về nhà tìm hướng chứng minh.
Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số
dương, ta có hướng biến đổi khác:
Từ a
3
+b
3

≥
ab(a+b) (*) suy ra:
3 3
a

ab
b
+

≥
a+b
tương tự
3 3
cb
c b
+

≥
c+b

3 3
a
ac
c
+

≥
a+c Với a,b,c là các số dương.
Từ đó ta có bài toán:
Bài 3: Với a,b,c dương chứng minh rằng:

3 3
a
ab
b

+
+
3 3
cb
c b
+
+
3 3
a
ac
c
+

≥
2(a+b+c)
Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh có thể biến đổi thành nhiều
cách nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Cô si
3 3
a
ab
b
+

≥

ab
abab2
= 2
ab
4

Tương tự ta có:
3 3
a
ab
b
+
+
3 3
cb
c b
+
+
3 3
a
ac
c
+

≥
2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
Học sinh lại gặp vấn đề tương tự, trong hai bất đẳng thức:

3 3
a
ab

b
+
+
3 3
cb
c b
+
+
3 3
a
ac
c
+

≥
2(a+b+c)

3 3
a
ab
b
+
+
3 3
cb
c b
+
+
3 3
a

ac
c
+

≥
2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
thì bất đẳng thức nào chặt hơn?
Yêu cầu này đơn giản hơn vì hầu hết học sinh đều quen thuộc với bất
đẳng thức: 2(a+b+c)
≥
2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
(a,b là số dương)
Như vậy bài tập
3 3
a
ab
b
+
+
3 3

cb
c b
+
+
3 3
a
ac
c
+

≥
2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
hay hơn bất
đẳng thức trong bài tập 3.
Ta có bài tập sau:
Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

3 3
a
ab
b
+
+
3 3
cb

c b
+
+
3 3
a
ac
c
+

≥
2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
GV nhắc nhở học sinh luôn có ý thức tự đặt câu hỏi. Ví dụ: “hai vế bất
đẳng thức a
3
+b
3

≥
ab(a+b)(*) có gì quen thuộc?”. “Biến đổi như thế
nào để có lập phương của một tổng?”.
Khi đó HS biến đổi (*) ⇔ 3(a
3
+b
3
)

≥
3ab(a+b)
⇔ 4(a
3
+b
3
)
≥
a
3
+ b
3
+ 3ab(a+b).
⇔ 4(a
3
+b
3
)
≥
(a+b)
3
.
Từ đó ta đề xuất được bài toán mới:
Bài 5: Với a,b,c dương chứng minh rằng:
8(a
3
+b
3
+c
3

)
≥
(a+b)
3
+(c+b)
3
+(a+c)
3
Bài tập này học sinh có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương
đương, hoặc sử dụng phương pháp tách để chứng minh.
Ta đã có: 4(a
3
+b
3
)
≥
(a+b)
3
Tương tự: 4(b
3
+c
3
)
≥
(b+c)
3
4(a
3
+c
3

)
≥
(a+c)
3
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều này ta suy ra điều phải
chứng minh.
Ta áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương của vế phải bài 5 thì được
điều gì?
5
Học sinh thấy ngay (a+b)
3

≥
(2
ab
)
3
= 8ab
ab
(b+c)
3

≥
8bc
bc
(a+c)
3

≥
8ac

ca
Khi đó tự học sinh sẽ thấy bài toán mới đẹp hơn bài 5.
Bài 6: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
a
3
+b
3
+c
3

≥
ab
ab
+bc
bc
+ac
ca
Bài toán sẽ trở nên khó hơn nếu bổ xung thêm giả thiết abc = 1.Khi đó:
ab =
c
1
; bc =
a
1
; ac =
b
1
Như vậy học sinh đã tạo ra được bài toán mới hay hơn bài 6.
Bài 7: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
a

3
+b
3
+c
3

≥


aa
1
+
bb
1
+
cc
1
Kĩ năng tách các hạng tử là một trong những kĩ năng quan trọng để
chứng minh bất đẳng thức. GV biến đổi bất đẳng thức (*) cũng tạo ra
được một số bài tập cho HS rèn luyện kĩ năng này.
Bài 8: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
2(a
3
+b
3
+c
3
)
≥
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức (*) cho lần lượt cặp số a,b,c ta có:
a
3
+b
3
≥
ab(a+b)
b
3
+c
3

≥
bc(b+c)
a
3
+c
3
≥
ca(c+a)
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
2(a
3
+b
3
+c
3
)
≥
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ta thấy rằng khi sử dụng bất đẳng thức CôSi cho đôi một các số dương
a,b,c thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ta có a + b
≥
2
ab
; b + c
≥
2
bc
và c + a
≥
2
ac
Khi đó ta có một bài toán mới:
Bài 9: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
a
3
+b
3
+c
3

≥
ab
ab
+ bc
bc
+ ac

ac
6
GV đưa bài tập này ra không bình luận gì thêm. Nếu học sinh nào
làm theo hướng làm của bài tập 8 thì thật máy móc. Bài tập đơn giản như
vậy mà phải áp dụng cả bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức CôSi.
Dùng kĩ thuật tách hạng tử và bất đẳng thức CôSi là đủ. Khi đó lời giải sẽ
rất gọn gàng và thể hiện được tính sáng tạo của học sinh.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương ta có:
a
3
+b
3

≥
2ab
ab
b
3
+c
3

≥
2bc
bc
a
3
+c
3

≥
2 ac
ac
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều trên ta được:
a
3
+b
3
+c
3

≥
ab
ab
+ bc
bc
+ ac
ac
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Nếu học sinh biến đổi bất đẳng thức a
3
+b
3

≥
ab(a+b)(*) theo hướng
sau:
⇔ a
3
+b

3
+abc
≥
ab(a+b) +abc
⇔ a
3
+ b
3
+abc
≥
ab(a+b+c)
⇔
abcba
++
33
1

≤

1
( )ab a b c+ +
Tương tự ta có:

abccb
++
33
1

≤

1
( )cb a b c
+ +

abcca
++
33
1

≤

1
( )ac a b c+ +
Suy ra:
abcba
++
33
1
+
abccb
++
33
1
+
abcca
++
33
1
≤
1

( )ab a b c+ +
+
1
( )cb a b c
+ +
+
1
( )ac a b c+ +
⇔
abcba
++
33
1
+
abccb
++
33
1
+
abcca
++
33
1
≤
1.
1
=
++
++
abc

cba
cba
Ta có bài toán sau:
Bài 10: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng :

abcba
++
33
1
+
abccb ++
33
1
+
abcca ++
33
1
≤

abc
1

Đây là một bài toán khó nếu học sinh lần đầu gặp thì không biết sẽ bắt
đầu từ đâu. Tuy nhiên bài toán này có trong hầu hết các quyển sách viết
về bất đẳng thức. Các lời giải đều gọn gàng nhưng không tự nhiên. Sự
7
hướng dẫn của Giáo viên sẽ giúp cho học sinh thấy tự nhiên hơn và thấy
bài toán “đơn giản” hơn.

Đặc biệt hoá bài toán này trong trường hợp abc = 1. Ta có bài toán mới

(bài thi vào trường Đại học Thuỷ Lợi năm học 1999)
Bài 11: Cho a,b,c dương và abc = 1. Chứng minh rằng:

1
1
33
++
ba
+
1
1
33
++
cb
+
1
1
33
++
ca
≤
1
Lời giải bài toán này giống như bài 8, khi sử dụng kết quả bài toán này ta
sẽ chứng minh được bài toán sau đây:
Bài 12: Cho a,b,c là các số dương và abc = 1. Chứng minh rằng:

1
555555
≤
++

+
++
+
++
acac
ca
bccb
bc
abba
ab
Ta sẽ chứng minh cho
acac
ca
bccb
bc
abba
ab
++
+
++
+
++
555555

≤

3 3
1
1a b+ +
+

3 3
1
1c b
+ +
+
3 3
1
1a c+ +

≤
1
bằng cách chứng minh:
abba
ab
++
55

≤
3 3
1
1a b+ +

bccb
bc
++
55

≤

3 3

1
1c b
+ +

acac
ca
++
55

≤

3 3
1
1a c+ +
Thật vậy
abba
ab
++
55

≤
3 3
1
1a b+ +
⇔ a
5
+b
5
+ab
≥

ab( a
3
+b
3
+1)
⇔ a
5
+b
5

≥
ab( a
3
+b
3
)
⇔ a
5
+b
5

≥
ba
4
+ab
4
⇔ (a-b)(a
4
–b
4

)
≥
0
⇔ (a-b)(a
2
-b
2
)(a
2
+b
2
)
≥
0
⇔ (a-b)
2
(a
2
+b
2
)(a+b)
≥
0 đúng. Dấu “=” xảy ra khi a=b
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Chúng ta xét một bài bất đẳng thức khó trong tập “Chuyên đề Bất đẳng
thức, trang 7, tác giả Trần Văn Hạo, NXB GD năm 2001”
Bài 13: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng:

22
3

baba
a
++
+
22
3
bbcc
b
++
+
22
3
aacc
c
++

≥

3
cba ++
GV hướng dẫn học sinh tìm cách đánh giá a
2
+ab+b
2
≤ ???
8
Chắc chắn học sinh sẽ nghĩ đến bất đẳng thức
ab ≤
2
22

ba
+
hoặc ab ≤ (
2
ba
+
)
2
nếu sử dụng ab ≤
2
22
ba
+
thì a
2
+ab+b
2
≤
2
3
(a
2
+b
2
)
Suy ra
22
3
baba
a

++

≥
)(3
2
22
3
ba
a
+
Tương tự
22
3
bbcc
b
++

≥
)(3
2
22
3
cb
b
+


22
3
aacc

c
++

≥
)(3
2
22
3
ac
c
+

Như vậy

22
3
baba
a
++
+
22
3
bbcc
b
++
+
22
3
aacc
c

++

≥
)(3
2
22
3
ba
a
+
+
)(3
2
22
3
cb
b
+
+
)(3
2
22
3
ac
c
+
Công việc tiếp theo của học sinh không hề đơn giản. Đến đây bài toán trở
lên khó hơn rất nhiều.
Nên giáo viên hướng dẫn học sinh đi theo con đường khác: làm xuất hiện
biểu thức a

2
+ab+b
2
từ bất đẳng thức a
3
+b
3

≥
ab(a+b)(*)
Ta có (*) ⇔ 3a
3

≥
2a
3
+2a
2
b +2ab
2
–ab
2
–a
2
b – b
3
⇔ 3a
3

≥

(2a-b)(a
2
+ab+b
2
)
Không những tạo ra a
2
+ab+b
2
mà còn tạo ra được cả biểu thức
22
3
baba
a
++
Như vậy
22
3
baba
a
++

≥

3
2 ba
−
Tương tự ta có:
22
3

bbcc
b
++

≥

3
2 cb −

22
3
aacc
c
++

≥

3
2 ac
−

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh.
Bài tập khó như vậy nhưng được biến đổi từ bài tập rất bình thường!
Điều đó giúp HS thấy tự tin hơn, chỉ cần bình tĩnh và chắc chắn kiến thức
cơ bản là có thể làm được.
Đến đây giáo viên nên tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ về hướng
làm trước đã thất bại. Sau khi chứng minh được thì hướng làm trước có
thực hiện được không?
Ta đã có :
22

3
baba
a
++
+
22
3
bbcc
b
++
+
22
3
aacc
c
++

≥
)(3
2
22
3
ba
a
+
+
)(3
2
22
3

cb
b
+
+
)(3
2
22
3
ac
c
+
9
Cần chứng minh:
)(3
2
22
3
ba
a
+
+
)(3
2
22
3
cb
b
+
+
)(3

2
22
3
ac
c
+
≥
3
cba
++
Qua việc chứng minh bằng cách trên chúng ta có ý tưởng gì chứng minh
bài này?
Bằng cách tuơng tự học sinh sẽ nghĩ ra:
Chứng minh:
)(3
2
22
3
ba
a
+

≥
3
2 ba
−

)(3
2
22

3
cb
b
+

≥
3
2 cb −

)(3
2
22
3
ac
c
+

≥
3
2 ac
−
Đến đây thì thật đơn giản để chứng minh các bất đẳng thức này:
Thật vậy:
)(3
2
22
3
ba
a
+

≥
3
2 ba
−
⇔ b(b – a)
2

≥
0 (đúng)
Dấu “=” xảy ra khi a = b
Như vậy hướng làm đầu tiên vẫn thực hiện được nhưng phức tạp, lời giải
không đẹp. Tuy nhiên, điều đáng mừng là chúng ta đã tìm ra bất đẳng
thức chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh trong bài 13.
Kết quả khi tìm tòi lời giải bài 13 ta có bài toán mới:
Bài 14: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

22
3
2
ba
a
+
+
22
3
2
cb
b
+

+
22
3
2
ac
c
+
≥
a + b + c
Từ bất đẳng thức a
3
+b
3

≥
ab(a+b) (*) ta có hướng phát triển khác:
⇔
4
33
ba +

≥

4
22
abba +

Tương tự ta có :
4
33

bc
+

≥

4
22
cbbc
+


4
33
ca
+

≥

4
22
acca
+
Từ đó suy ra
4
33
ba +
+
4
33
bc

+
+
4
33
ca
+
≥
4
22
abba +
+
4
22
cbbc +
+
4
22
acca
+
⇔
4
33
ba +
+
4
33
bc
+
+
4

33
ca
+
≥

4
)(
2
cba +
+
4
)(
2
cba +
+
4
)(
2
cab +
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm:
Ta có
cb
a
+
4
+
4
)(
2

cba +

≥
2
4
)(
.
24
cba
cb
a +
+
= a
3
10
Như vậy
cb
a
+
4

≥
a
3
-
4
)(
2
cba +
Tương tự:

ca
b
+
4

≥
b
3
-
4
)(
2
cab +

ab
c
+
4

≥
c
3
-
4
)(
2
abc +
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều này ta có:

cb

a
+
4
+
ca
b
+
4
+
ab
c
+
4
≥
a
3
+ b
3
+ c
3
– (
4
)(
2
cba +
+
4
)(
2
cab +

+
4
)(
2
abc +
)
Kết hợp với (1) ta có một kết quả đẹp:

cb
a
+
4
+
ca
b
+
4
+
ab
c
+
4
≥
a
3
+ b
3
+ c
3
– (

4
33
ba +
+
4
33
bc
+
+
4
33
ca
+
)
Từ đó ta có bài toán tiếp theo:
Bài 15: Cho các số a,b,c dương. Chứng minh rằng:

cb
a
+
4
+
ca
b
+
4
+
ab
c
+

4

≥

2
333
cba ++
Chỉ qua một số kĩ thuật biến đổi cơ bản ta đã có một bất đẳng thức
đẹp. Mặc dù biết được cách biến đổi để tạo ra bài 15 nhưng nếu HS
không sâu sắc khi yêu cầu chứng minh bài 15 cũng là một việc hết sức
khó khăn đối với HS. Khi đến bài tập này, GV cần cho HS thời gian để tư
duy, nhớ lại một số bước khi biến đổi. Sau khi thực hiện được bài tập này
thì HS trưởng thành rất nhiều kể cả tư duy và kĩ năng trình bày.
Nếu biến a
3
+b
3

≥
ab(a+b) (*) theo cách giống như tạo ra bài 5
thì (*) ⇔ 4(a
3
+b
3
)
≥
(a+b)
3

⇔

2
33
ba +

≥

3
2






+
ba
⇔
3
2






+
ba
≥

33

2
ba
+

⇔
3
2






+
ba
c
≥

33
3
2
ba
c
+

Tương tự ta có:
3
2







+ bc
a
≥

33
3
2
bc
a
+

3
2






+
ca
b
≥

33
3

2
ca
b
+
Suy ra 8














+
+






+
+







+
333
ba
c
ac
b
cb
a

≥
2






+
+
+
+
+
33
3
33

3
33
3
ba
c
ac
b
cb
a

Với nhiều học sinh bất đẳng thức Nesbit trở nên rất quen thuộc
11

zy
x
+
+
zx
y
+
+
yx
z
+
≥

2
3
(x,y,z >0)
Nên















+
+






+
+







+
333
ba
c
ac
b
cb
a

≥

4
1






+
+
+
+
+
33
3
33
3
33
3

ba
c
ac
b
cb
a
≥
4
1
.
2
3
=
8
3
Như vậy ta lại tạo ra được bài toán mới.
Bài 16: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

3






+
cb
a
+
3







+
ca
b
+
3






+
ab
c
≥

8
3
Có nhiều hướng khác nhau tổng quát bất đẳng thức (*) nhưng chủ
yếu có hai hướng. Một là tổng quát số mũ; hai là tổng quát số hạng tử.
Hướng thứ nhất, ta có bài tập sau:
Bài 17: Cho a,b dương n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a
n

+b
n

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab
(**)
Thật vậy, Với n = 1 đẳng thức xảy ra.
Với n
≥
2 do vai trò a,b như nhau không làm mất tính tổng quát,
giả sử a
≤
b suy ra a
n-1

≤
b
n-1
. Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép ta có:
a
n
+b
n
= a. a
n-1

+b. b
n-1

≥

2
))((
11 −−
++
nn
baba

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab
(Bất đẳng thức đã được chứng minh)
Những bài toán tổng quát giúp HS phát triển tư duy trừu tượng ở mức
độ cao hơn nhưng việc hình thành nên bài toán tổng quát là tương đối
khó. Thông thường tìm các bài toán tổng quát bằng cách dự đoán hoặc
bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn. Đối với HS trung học cơ sở
thì không yêu cầu học sinh đi tìm các bài toán tổng quát. Tuy nhiên
những bài toán tổng quát có ý nghĩa rất lớn trong việc phát triển tư duy
cho học sinh, sau đây là một số ví dụ:
Với n = 2 thì a
n
+b

n

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab
trở thành a
2
+b
2

≥
(a+b)
ab
(2)
Với n = 3 thì a
n
+b
n

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab

trở thành a
3
+b
3

≥
(a+b)ab (3)
Với n = 4 thì a
n
+b
n

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab
trở thành a
4
+b
4

≥
(a+b)ab
ab
(4)
Với n = 5 thì a
n

+b
n

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab
trở thành a
5
+b
5

≥
(a+b)a
2
b
2
(5)
…
Như vậy ta có bài tập đơn giản sau:
Bài 18: Cho a,b dương. Chứng minh rằng
a
2
+ b
2

≥

(a+b)
ab
(2)
12
Học sinh đã rất quen thuộc với bất đẳng thức a
2
+b
2

≥
2ab
Dễ dàng nhận thấy bất đẳng thức kép a
2
+b
2

≥
(a+b)
ab

≥
2ab
Khi GV đưa riêng yêu cầu chứng minh a
2
+b
2

≥
(a+b)
ab

với a,b là
các số dương. Nhiều học sinh không làm được do ảnh hưởng bởi bất
đẳng thức tổng quát chứng minh bằng bất đẳng thức Trêbưsép. Lúc này
vấn đề là GV phải khơi dậy được ở học sinh tính sáng tạo.
GV gợi ý bất đẳng thức a
2
+b
2

≥
(a+b)
ab
(2) xảy ra dấu “=” khi nào?
HS sẽ nhận thấy dấu “=” xảy ra khi a = b
Từ đó HS sẽ có ý tưởng biến đổi a
2
+b
2

≥
(a+b)
ab
(2)
⇔ 2(a
2
+b
2
)
≥
2(a+b)

ab
⇔ (a -
ab
)
2
+(b -
ab
)
2
+(a-b)
2

≥
0 (đúng)
Dấu “=” xảy ra khi a = b
Đối với bất đẳng thức a
4
+b
4

≥
(a+b)ab
ab
(4) cách chứng minh tương tự
như đối với bất đẳng thức a
2
+ b
2

≥

(a+b)
ab
(2)
Với n =5 ta có bài toán thú vị
Bài 19: Cho a,b dương. Chứng minh rằng:
a
5
+b
5

≥
a
2
b
2
(a+b) (5)
Khi tôi yêu cầu chứng minh bất đẳng thức này thì HS không làm được,
nói chung những bài toán tổng quát là khó nhưng có những bài toán đặc
biệt không đơn giản chút nào.
Để làm được bài này thì kĩ năng sử dụng bất đẳng thức CôSi phải tốt.
Sau đây là kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức CôSi vào bài tập này:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương a
5
, a
5
, a
5
, b
5
, b

5

ta có: a
5
+ a
5
+ a
5
+b
5
+ b
5

≥
5.a
3
b
2

⇔ 3a
5
+ 2b
5

≥
5.a
3
b
2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương a

5
, a
5
, b
5
, b
5
, b
5

ta có: a
5
+ a
5
+ b
5
+b
5
+ b
5

≥
5.a
2
b
3

⇔ 2a
5
+ 3b

5

≥
5.a
2
b
3
Từ đó suy ra:
a
5
+b
5

≥
a
2
b
2
(a+b) (đpcm).
Khai thác bất đẳng này theo hướng khai thác bất đẳng thức (*) ta có
một số bài tập tương tự. Yêu cầu học sinh về nhà làm bài tập.
Bài 20: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng:
2(a
5
+b
5
+c
5
)
≥

a
2
b
2
(a+b) +b
2
c
2
(b+c) +c
2
a
2
(c+a)
Bài 21: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng:
13
a
5
+b
5
+c
5

≥
a
2
b
2
ab
+b
2

c
2
bc
+c
2
a
2
ca
Bài 22: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng:

2
3
b
a
+
2
3
c
b
+
2
3
a
c
≥
a+b+c
Ba bài tập này giống hệt như các bài tập khi biến đổi từ bất đẳng thức (*)
nên yêu cầu học sinh về nhà làm các bài tập tương tự này để rèn kĩ năng.
Quay trở lại bài tập 8, chứng minh bất đẳng thức sau:
2(a

3
+b
3
+c
3
)
≥
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)
Nếu thêm vào điều kiện abc = 2 suy ra ab =
c
2
nên ab(a+b) =
c
ba )(2
+
Tương tự ta có: bc(b+c) =
a
bc )(2
+
; ac(a+c) =
b
ac )(2 +
Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 23: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn: abc = 2. Chứng minh rằng:
a
3
+ b
3
+ c
3

≥

c
ba
+
+
a
bc
+
+
b
ac
+
Việc chứng minh bài tập 23 không khó khăn gì nhưng khi có được bài
tập 23 thì chúng ta tạo ra được bài tập mới hay hơn.
Bài 24: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : abc = 2 Chứng minh rằng:
a
3
+b
3
+c
3

≥
a
cb
+
+ b
ca
+

+c
ab +
Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski cho 6 số ta có:
(a
cb
+
+ b
ca
+
+c
ab +
)
2
= (
3
a
a
cb
+
+
3
b
b
ac +
+
3
c
c
ab +
)

2

≤
(a
3
+b
3
+c
3
)(
a
cb +
+
b
ca +
+
c
ab
+
)
Áp dụng bài 22 ta có: a
3
+ b
3
+ c
3
≥

c
ba

+
+
a
bc
+
+
b
ac
+
Suy ra (a
3
+b
3
+c
3
)
2

≥
(a
3
+b
3
+c
3
) (
c
ba
+
+

a
bc +
+
b
ac +
)

≥
(a
cb
+
+ b
ca
+
+c
ab +
)
2
suy ra điều phải chứng minh.
Hướng thứ hai ta có bài tập sau:
Bài 25: Cho a
1
, a
2
, …a
m

là các số dương, ∀n
≥
m. Chứng minh rằng:

a
1
n
+a
2
n
+ …+a
m
n

≥
a
1
a
2
…a
m
(a
1
n-m
+a
2
n-m
+ …+a
m
n-m
)
Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho n số dương ta có :
14
a

n
1
+… a
n
1
+a
2
n
+…+a
m
n

≥
n
n
n
m
nmnn
aaa )(
2
1
1
+−
⇔ (n-m+1) a
1
n
+a
2
n
+ …+a

m
n

≥
n a
1
n-m+1
a
2
…a
m
Tương tự : (n-m+1) a
2
n
+a
3
n
+ …+a
m
n
+a
1
n

≥
n .a
2
n-m+1
.a
1

…a
m
(n-m+1) a
m
n
+a
1
n
+ …+a
m-1
n

≥
n .a
m
n-m+1
.a
1
…a
m-1
Cộng từng vế của các bất đẳng thức ta suy ra được bất đẳng thức cần
chứng minh.
Áp dụng các bất đẳng thức mở rộng ở trên ta làm các bài tập sau:
Bài 26: Cho a,b,c dương thỏa mãn abc =1. Chứng minh:

cb
a
+
6
+

ca
b
+
6
+
ab
c
+
6

≥

2
3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

cb
a
+
6
+
4
cb +

≥
2
4
.
6

cb
cb
a
+
+
= a
3

⇔
cb
a
+
6

≥
a
3
-
4
cb +
Tương tự:
ca
b
+
6

≥
b
3
-

4
ca
+

ab
c
+
6

≥
c
3
-
4
ab
+
Suy ra
cb
a
+
6
+
ca
b
+
6
+
ab
c
+

6

≥
a
3
+b
3
+c
3
-
2
cba ++
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có ngay: a
3
+b
3
+c
3
-
2
cba ++

Suy ra
cb
a
+
6
+
ca
b

+
6
+
ab
c
+
6

≥

2
3
(đpcm).
Phần 5. Kết quả thực nghiệm:
Trong suốt quá trình ôn thi HSG lớp 9 năm học 2006-2007 tôi nhận
thấy: Sau khi làm các bài tập chứng minh bất đẳng thức trong chuyên đề
15
≥
2
3
“Phát triển tư duy của học sinh qua một bài toán bất đẳng thức” kĩ năng
trình bày một bài toán chứng minh bất đẳng thức của học sinh của học
sinh tiến bộ đáng kể đặc biệt là phương pháp tách hạng tử. Học sinh tự tin
hơn, không còn sợ những bài bất toán lạ, bước đầu biết tìm tòi mò mẫm.
Kết quả khả quan hơn cả là chuyên đề này giúp học sinh yêu toán hơn,
các em đã có ý thức tự đọc sách, tự tìm tòi và làm bài tập trong các quyển
sách “Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số và Hình 9 - của tác giả V.D
Thụy và N.N Đạm” “Toán bồi dưỡng của tác giả Vũ Hữu Bình”
Chính vì sự cố gắng đó điểm kiểm tra của một số em tốt hơn các bạn ở
trên lớp, nhiều lần đạt điểm tuyệt đối.

Kết quả thi HSG năm học 2006-2007 các em đã mang về cho trường 4
giải (1 giải nhất, 1 giải nhì, 2 giải khuyến khích).
Phần 6. Kết luận:
Bất đẳng thức (*) là một bất đẳng thức quen thuộc và dễ chứng minh
nhưng các bất đẳng thức từ (*) suy ra thì không phải học sinh nào cũng có
thể làm được một cách gọn gàng. Rất nhiều bài trong số các bài tập trên
xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học nhưng tất cả các bài
tập đó đều xuất phát từ bài tập cơ bản. Qua hệ thống bài tập này tôi muốn
giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về một bài bất đẳng thức và giúp các
em có ý thức hơn khi học các bài toán cơ bản.
Trong thực tế giảng dạy, tôi chỉ áp dụng khi dạy học sinh giỏi. Tất cả các
em đều hào hứng với dạng bài tập như vậy, các em đã tự tin hơn khi làm
các bài tập về bất đẳng thức và các bài tập liên quan. Mặc dù đây là loại
toán rất rộng và khó nhưng tôi cũng mạnh dạn hướng dẫn các em tự tìm
tòi, mò mẫm và sáng tạo vì nghị quyết TW2 ghi rõ: "Đổi mới mạnh mẽ
16
phương pháp giáo dục đào tạo khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện nếp tư duy sáng tạo cho người học… phát triển mạnh phong trào tự
học, tự đào tạo thường xuyên và rộng khắp trong toàn dân nhất là thanh
niên"
Đây chỉ là ý tưởng dạy học của tôi chắc chắn còn nhiều sai sót rất mong
được đồng nghiệp giúp đỡ.
Nhân Hòa, ngày 15 tháng 2 năm 2006
Xác nhận của lãnh đạo Người thực hiện

GV: Đoàn Quốc Việt
Phần 7. Tài liệu tham khảo:
1, Tâm lí lứa tuổi
Nhà xuất bản ĐH sư phạm Hà Nội
2, Phương pháp dạy toán THCS

Nhà xuất bản GD
3, Chuyên đề Bất đẳng thức
Trần Văn Hạo (chủ biên)- Nhà xuất bản giáo dục
4, 180 bài bất đẳng thức
Võ Đại Mau - Nhà xuất bản TP HCM
5, Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
Trần Phương - Nhà xuất bản giáo dục
6, Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cấp II
Nguyễn Vũ Thanh- Nhà xuất bản giáo dục
17