SKKN Hệ thống bài tập về Phương trình vô tỷ

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
LỜI NÓI ĐẦU
Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới , giáo dục phải
luôn luôn đi trước một bước , vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói
chung và mỗi người thầy nói riêng phải gánh vác một trọng trách
hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với
vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới ( học
hỏi, nghiên cứu ) để đề ra những định hướng kịp thời.
Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà
trường là chủ yếu, và trong mỗi nhà trường thì bản thân mỗi giáo
viên phải luôn luôn phấn đấu nâng cao hiệu suất giờ lên lớp , có
làm được như vậy thì mới nâng cao được chất lượng đào tạo, gây
được uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học
sinh và toàn xã hội.
Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi
đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra
những phương pháp thích hợp cho giảng dạy , những vấn đề cụ
thể phù hợp với đối tượng thực tế. Một trong những chuyên đề
mà tôi tâm đắc nhất là " Phương trình vô tỷ ".
Tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu viết về "Phương trình
vô tỷ ", phần nào các tác giả đã đưa ra những bài toán tương đối
đa dạng, tuy nhiên còn tản mạn trong nhiều cuốn sách khác nhau.
Để giáo viên có tài liệu bồi dưỡng chuyên đề cho học sinh khá,
giỏi - Tôi xin mạn phép các tác giả được lựa chọn ra một số bài
toán, phân giải, giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức và nắm
chắc chuyên đề trên.
Phương trình vô tỷ mới được đưa vào trong chương trình
toán lớp 9 cải cách giáo dục và mới chỉ là các dạng rất đơn giản,
vì vậy việc dạy "Phương trình vô tỷ "là kiến thức mới và rất khó
đối với giáo viên dạy toán cấp 2. Mặc dù số tiết học trong phân

phối chương trình không có nhưng trong đề thi thường hay gặp
dạng phương trình vô tỷ.
"Phương trình vô tỷ " là một vấn đề dạy giải bài tập có một
đặc thù riêng - Ta có thể đưa về các phương trình đã biết cách
giải, thông qua đó mà tìm nghiệm của phương trình nói trên.
Hệ thống bài tập về "Phương trình vô tỷ " có thể làm tài
liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh ( khá, giỏi ) dạy và
học. Rèn luyện cho học sinh năng lực từ những kiến thức quen
biết , nhận dạng và đưa những dạng bài tập chưa biết cách giải

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
về dạng quen biết đã biết cách giải, có được hệ thống bài tập để
ôn luyện cho học sinh thi cuối cấp cũng như thi vào PTTH.
PHẦN NỘI DUNG
1- Định nghĩa Phương trình vô tỷ

.
Phương trình vô tỷ là phương trình đại số trong đó ít nhất
một số hạng là biểu thức vô tỷ đối với ẩn số ( tức là ẩn số nằm
trong dấu căn ).
Trong chương trình THCS, ta thường gặp những phương
trình vô tỷ mà chứa ẩn số trong các biểu thức dưới dấu căn bậc
hai.

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
2- Đường lối chung

.

- Tìm miền xác định của phương trình .
- Khử căn đưa về phương trình đại số.
- Giải phương trình đại số .
- Nhận định kết quả và trả lời.
3- Các phương pháp và ví dụ

.
a-Phương pháp nâng lên luỹ thừa.
Dạng 1:


( )
xf

=
( )
xg
Sơ đồ cách giải :

( )
xf

( )
xg=

( )
0≥xg
Đ/k:
( )
0≥xf

( )
xf

=

( )
[ ]
xg
2


Ví dụ 1 : Giải phương trình

1+x

1−= x

( )
1
Điều kiện :




≥⇔
≥−
≥+
1
01

01
x
x
x


Với điều kiện trên, 2 vế không âm, bình phương 2 vế của
(1) ta được phương trình tương đương:
1
+
x

x=
2
12
+−
x
x
2
- 3x = 0 x = 0 hoặc x = 3.
Đối chiếu với điều kiện trên ta thấy chỉ có x = 3 thoả mãn
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 3
* Nhận xét:

Khi giải phương trình dạng trên , học sinh
thường hay mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho g
( )
x

0≥

.
Chẳng hạn, ở ví dụ 1 nếu không đặt điều kiện
011
≥−
x
thì
khi giải phương trình x
2
- 3x = 0 học sinh sẽ trả lời là phương

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
trình có 2 nghiệm là: x
1
= 0 ; x
2
= 3, nhưng thay x= 0 vào
phương trình (1) thì vế phải bằng 1 ; vế trái bằng -1.
Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh chưa nắm chắc tính chất
của luỹ thừa bậc hai :
Dạng 2:
( )
xf +

( )
xg+

( )
xh=
- Tìm điều kiện dể phương trình có nghĩa :

( )
0≥xf
`
( )
0≥xg

( )
0≥xh
- Biến đổi 2 vế của phương trình không âm ( với phương
trình chứa căn bậc hai ) ta bình phương 2 vế để được phương
trình tương đương. Sau đó đưa phương trình về dạng đã biết cách
giải.
Ví dụ : Giải phương trình :

3+x

25 −−= x
.
Chuyển vế :

3+x

+
21 −x
5=
Điều kiện :





≥⇔
≥−
≥=
2
02
03
x
x
x


Hai vế không âm, bình phương hai vế ta được:

( )( )
23223 −++−++ xxxx
25=

62
2
−+⇔ xx

x224 −=


6
2
−+⇔ xx

x−= 12

( )
12≤x
Bình phương 2 vế ta có :
x
2
+ x - 6 = 144 - 24 x + x
2


15025 =⇔ x
x = 6 ( thoả mãn )

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 6.
Dạng 3:


( ) ( ) ( )
xhxgxf =+
Cách giải tương tự như dạng 2.
Ví dụ: Giải phương trình :
xxx 1271 =−−+
Chuyển vế:
7121 −+−=+ xxx
Điều kiện:






≤≤⇔
≥−
≥−
≥+
127
07
012
01
x
x
x
x
Hai vế không âm. Bình phương hai vế ta được:
( )( )
71227121 −−+−+−=+ xxxxx
484192
2
−=−+−⇔ xxx
Do
127 ≤≤ x
, 2 vế không âm. Bình phương 2 vế ta được:
- 4x
2
+ 76x-336 = x
2
-8x + 16
5x
2

-84x + 352 =0
;
5
44
1
=⇔ x
x
2
=8 ( Thoả mãn )
Vậy phương trình có 2 nghiệm
8;
5
44
21
== xx
Dạng 4:
( ) ( ) ( ) ( )
xkxhxgxf +=+
Cách giải tương tự dạng 3.
Ví dụ : Giải phương trình .
0941 =+++−+− xxxx

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
Chuyển vế :
419 +++=++ xxxx
Điều kiện :
0
≥
x

Bình phương 2 vế ta được:
45241929
22
++++++=++++ xxxxxxxx
452924
22
++=++⇔ xxxx
4592
22
++=++ xxxx
Bình phương 2 vế ta được:
459944
222
++=++++ xxxxxx
xxx −=+9
2
(x≤ 0 )
Bình phương 2 vế ta được:
x
2
+9x =x
2
9x = 0
x=0 ( Thoả mãn ).
Vậy phương trình có một nghiệm x=0.
Nhận xét

: Khi giải phương trình vô tỷ ta cần chú ý đến
việc tìm miền xác định của phương trình .
Sau khi biến đổi 2 vế của phương trình không âm

( Với phương trình chứa căn bậc 2 ) ta bình phương 2 vế để được
phương trình tương đương .
Nếu bước khử căn vừa rồichưa khử hết được các căn thức
bậc hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đặt điều kiện để bình
phương tiếp.
Thực hiện các phép biến đổi tương đương để đưa phương
trình về dạng phương trình quen thuộc ( bậc nhất hoặc bậc hai ).
Giải phương trình trung gian rồi nhận định kết quả và trả
lời về số nghiệm của phương trình đầu.
Tuy nhiên với những phương trình chỉ có ẩn số nằm trong
dấu căn bậc 2, tức là phương trình có dạng:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
( )
xfa
±
( )
cxgb =
( a,b,c là hệ số )
ngoài cách giải nêu trên ta còn có thể khử căn bằng cách nhân 2
vế của phương trình với biểu thức liên hợp của vế trái .
Ví dụ : Giải phương trình
211
2
=+−+++ xxxx
(1)
Ta thấy

0

4
3
2
1
1
2
2
+






±=+± xxx
∀ x
Vậy miền xác định :
Rx
∈∀
Nhân hai vế của phương trình với :

11
22
+−−++ xxxx
ta được phương trình tương đương:

( )
(
)
11211

2222
+−−++=+−−++ xxxxxxxx
11
22
+−−++=⇔ xxxxx
(2)
Cộng vế theo vế phương trình (1) và (2) ta có phương trình
tương đương :
xxx +=++ 212
2
( )
( )








=⇔
−≥
=
⇔
≥+
+=++
⇔ 0
2
03
02

214
2
2
2
x
x
x
x
xxx
Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép x
1
=x
2
=0
b- Phương pháp đặt ẩn phụ.
* Với những phương trình vô tỷ có dạng đặc biệt.
( ) ( )
0=+± cxfbxaf
Dùngphép biến đổi sau:
Đặt
( )
0≥= txf

Ta đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2 :
0
2
=+± cbtat
Ví dụ : Giải phương trình

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm

 Ph¬ng tr×nh v« tØ
3393232
22
=++++ xxxx

042932932
22
=−+++++⇔ xxxx
Đặt điều kiện :
`






++=++
2
9
2
3
2932
22
xxxx

0
16
63
4
3

2
2









+






+= x
∀ x
Đặt :
0932
2
yxx =++
ta có
y
2
+y -42 =0
Giải phương trình được :
y

1
=6 ( thoả mãn)
Y
2
= -7 ( loại )
02732
369326932
2
22
=−+⇔
=++⇔=++⇔
xx
xxxx
Giải phương trình được :
2
9
;3
21
−== xx
Vậy phương trình có nghiệm là :
2
9
;3
21
−== xx
* Đối với phương trình có dạng :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xgxhxfnxhxf =++
ta dùng phép biến đổi sau :
Đặt

( ) ( )
xhxft +=
Ví dụ giải phương trình
( )( )
xxxxx
xxxxx
21321221
2132221
2
−=−++−++⇔
−=−−+−++
(1)

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
Đặt điều kiện :
2
13
2 ≤≤ x
Đặt :

( )( )
( )( )
12212
21221
021
2
2
+−=−+→
−++−++=→

=−++
xtxx
xxxxt
txx 
Phương trình (1) có dạng :
t
2
+ t- 2x + 1 = 13 -2x t
2
+ t - 12 = 0
Giải phương trình được :
t
1
= 3 ( thoả mãn )
t
2
= -4 ( loại )
.321 =−++⇒ xx
Hai vế không âm, bình phương 2 vế ta được :
xxx
xxx
xxx
−=−−
−=−−⇔
=−−+−
52
21022
92212
2
2

2
(x≤ 5 )
Bình phương 2 vế ta được :
x
2
- x- 2 = 25 -10x + x
2
9x = 27
x =3 ( thoả mãn )
Vậy phương trình có một nghiệm x =3.
Chú ý

: Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt
ẩn dụ , ta cần hướng dẫn học sinh đặt điều kiện cho ẩn dụ. Số
nghiệm của phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiêm phương
trình bậc hai trung gian và điều kiện có nghĩa của phương trình
đầu .
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì
phương trình đầu vô nghiệm.

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm nhưng
nghiệm đó không thuộc miền xác định của phương trình đầu thì
phương trình đầu vô nghiệm.
+ Trái lại, nếu các nghiệm số tìm được của phương trình
bậc hai trung gian làm cho các ẩn số của phương trình đầu thuộc
miền xác định của nó thì phương trình đã cho có nghiệm.
c -Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuyệt đối.

Ví dụ : Giải phương trình
( )
191611441 =+−−−+−−+− xxxx
(1)
Điều kiện :
.1
≥
x
( )
( ) ( )
13121
131211
22
=−−+−−⇔
=−−+−−⇔
xx
xx
Nếu
51 x
≤
ta có phương trình :
5
41
21
412
11312
=
=−
=−
=−

=−−+−−
x
x
x
x
xx
không thuộc khoảng đang xét .
Nếu
105 x
≤
ta có phương trình :
0
11321
=
=−−+−−
ox
xx
Nghiệm của phương trình là :
105 x≤
+ Nếu
10≥x
ta có phương trình :
31
612
13121
=−
=−
=−−+−−
x
x

xx

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
x-1 =9
x=10 ( thoả mãn ).
Vậy phương trình có nghiệm :
105 ≤≤ x
d - Phương pháp bất đẳng thức :
Dạng 1

: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó
phương trình vô nghiệm.
Ví dụ : Giải phương trình :
23151 −=−−− xxx
Điều kiện để phương trình có nghĩa là
1
≥
x
. Với điều kiện
này thì
xx 5
do đó
→−− 151 xx 
vế trái của phương trình là số
âm, còn vế phải không âm.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Dạng 2

: Sử dụng tính đối nghịch ở 2 vế :

Ví dụ : Giải phương trình :

2
2414105763 xxxxxx −−=+++++
Ta có vế trái
( ) ( )
594915413
22
=+≥+++++= xx
Vế phải

( )
( )
515125
2
2
≤+−=++−= xxx
.
Vậy phương trình có nghiệm khi 2 vế đều bằng 5.
Lúc đó x+1 =0 x=-1
Thử lại : VT =
514105763 =+−++−
VP = 4+2-1=5
Vậy phương trình có 1 nghiệm x =-1
Dạng 3

: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số .
Ví dụ : Giải phương trình
312
3

=++− xx
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình .

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
+ Với
3x
thì
.3
12
3


VT
x
→
−
;
21 +x
+ Với
3x
thì
12
3
−x
;
21 +x
3VT
→
Vậy x=3 là nghiệm của phương trình .

Dạng 4

. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu (=) ở bất đẳng thức
không chặt.
Ví dụ : Giải phương trình

2
14
14
=
−
+
−
x
x
x
x
(1)
Điều kiện :
4
1
x
Ta có bất đẳng thức
2≥+
a
b
b
a
(a,b > 0)
Dấu (=) xảy ra a=b

Do đó
(1)
01414
2
=+−⇔−=⇔ xxxx







4
1
x
Giải phương trình được :
32 ±=x
( thoả mãn )
e- Phương pháp đưa về hệ phương trình .
Ví dụ: Giải phương trình :
222
2
+−=− xxx
Điều kiện :
2≥x
Đặt
12 −=− yx
( y ≥ 1 )
→ x-2 = y
2

- 2y + 1 

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
Thay
12 −=− yx
vào phương trình đã cho ta được:
y - 1 = x
2
-2x + 2 
Kết hợp  và  ta có hệ:
y
2
-2y - x + 3 = 0 
x
2
- 2x -y +3 = 0 
Trừ hai vế của hệ ta được:
y
2
- x
2
- y + x = 0
⇔ ( y - x )( y + x - 1 ) = 0
y = x
x + y = 1
-Nếu x=y Thay vào  ta có x
2
- 3x + 3 = 0 vô nghiệm
-Nếu x + y = 1 → y = 1 - x thay vào  ta được:

x
2
- x + 2 = 0 vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
Giải các phương trình sau:
1,
131 =−+ xx

2,
22 −=− xx
3,
134
2
−=+− xxx
4,
231 −−=+ xx
5,
271
33
=−−+ xx
6,
23151 −=−−− xxx

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
7,
52101 +++=+++ xxxx
8,
212 =++ xx

9,
1112 −−=−− xxx
10,
21212 =−−+−+ xxxx
11,
13962510
22
−=++++− xxxxx
12,
732813232222 =−+++−+− xxxx
13,
765
22
=−+− xx
14,
xxxxxx 654524428183
222
+−−=+−++−
15,
271064
2
+−=−+− xxxx
16,
749
2
−−=+ xxx
17,
2
1
2

1
2
=+
−
x
x
HƯỚNG DẪN GIẢI
1- Chuyển vế được
xx −=− 131
Điều kiện :



≤
≥
13
1
x
x
Bình phương 2 vếta được :
x-1= 169 - 26x + x
2
⇔ x
2
-27x +170 =0
Giải phương trình được
x
1
=17 ( loại )

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
x
2
= 10 ( thoả mãn )
2- Điều kiện :
2≥x
.
Bình phương 2 vế ta được
x - 2 = x
2
- 4x + 4
⇔ x
2
+ 5x + 6 = 0
Giải phương trình được
x
1
= 2 ; x
2
= 3
3 - điều kiện




≥+−
≥
034
1

2
xx
x
*
Bình phương 2 vế ta được :
x
2
- 4x + 3 = x
2
-2x + 1
⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 (thoả mãn )
4 - Chuyển vế ta được :
321 =−++ xx
Điều kiện :
2
≥
x
.
Bình phương 2 vế ta được :
( )( )
921221 =−+=−++ xxxx
Biến đổi được về phương trình :
xxx −=−− 52
2
( x<5)
Bình phương 2 vế tiếp ta được :
x
2
- x - 2 = 25 - 10x + x
2

⇔ 9x = 27
x = 3 ( thoả mãn )
5- Lập phương 2 vế ta được :
x + 1 + 7 - x + 3
( )( )
8271
3
=−+ xx

( )( ) ( )( )
071071
3
=−+⇔=−+⇔ xxxx

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
Giải phương trình ta được:
x
1
= 1 ; x
2
= 7
6 - Chuyển vế đưa về phương trình :
15231 −+−=− xxx
Điều kiện
10−≥x
*
Bình phương 2 vế ta được :
( )( )
1523215231 −−+−+−=− xxxxx

xxx 72213152
2
−=+−⇔







≤
7
2
x
(**)
Đối chiếu với điều kiện (*) và (**)thì không có giá trị nào
của x thoả mãn
Vậy phương trình vô nghiệm.
7 - Điều kiện
7
−≥
x
(*)
Bình phương 2 vế và biến đổi ta được phương trình .
11011
2
−−=++ xxx
Điều kiện

01 ≥−− x
⇔
1−≤x
(**)
Kết hợp điều kiện (*) và (**)thì x = 1 là nghiệm của
phương trình .
8 - Điều kiện :
0≥x
Biến đổi phương trình về dạng phương trình chứa ẩn trong
dấu giá trị tuyệt đối .
Đáp số : x = 1
9 - Biến đổi phương trình về dạng :
1111 −−=−− xx

Điều kiện
1
≥
x
VP = VT ⇔
011 ≥−−x
⇔
11 ≥−x
⇔
2≥x
10 - Điều kiện :
1≥x
. Đưa phương trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuyệt đối :

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm

 Ph¬ng tr×nh v« tØ
21111 =−−++− xx
(1)
Nếu
21
≤≤
x
ta có (1) ⇔
21111 =−−++− xx
Phương trình có nghiệm

21 ≤≤ x
Nếu
2
≥
x
thì (1) ⇔
212 =−x
⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm :
21
≤≤
x
11 - Điều kiện :
3
1
≥x
rồi đưa phương trình chứa ẩn trong
dấu giá trị tuyệt đối .
Đáp số x= 3

12 - Điều kiện
2
3
≥
x
, đua về phương trình chứa ẩn trong
dấu giá trị tuyệt đối .
Đáp số x = 2
13 - Điều kiện
6≥x
Phương trình đã cho có thể viết dưới dạng
x
2
- 6 +
6−x
- 6 = 0
Đặt
06
2
≥=− tx
ta đượoc phương trình t
2
+ t - 6 = 0
Giải phương trình trung gian được
t
1
= 2 ( thoả mãn )
t
2
= - 3 < 0 ( loại )

26
2
=−⇒
x
⇔ x
2
-6 = 4 ⇔ x
2
= 10 ⇒ x = ±
10
14 - Đưa phương trình về dạng :
( ) ( ) ( )
222
34934133 −−=+−++− xxx
(1)
Ta thấy VT ≥ 1+3 =4
VP ≤ 4
⇒ (1) có nghiệm ⇔ 2 vế đều bằng 4. ⇔ x- 3 = 0 ⇔x = 3
15 - Điều kiện : 4 ≤ x ≤ .
Xét
( )
( )
422512264
2
2
=+≤−−+=−+− xxx

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ
→

264 ≤−+− xx
x
2
- 10x + 27 = ( x-5)
2
+ 2 ≥ 2
Phương trình có nghiệm ⇔ cả 2 vế đều bằng
2 ⇔ x-5 ⇒ x=5 ( thoả mãn)
16 - Đặt

29
−=+
yx
( y ≥ 2) phương trình đã cho có dạng
y - 2 = x
2
- 4x -7 (1)
⇒ x + 9 = y
2
- 4y + 4 (2)
Kết hợp (1) và(2) ta có hệ y
2
- x - 4y - 5 = 0 (1)
x
2
- 4x - y - 5 = 0 (2)
Trừ 2 vế ta được :
( x - y ) ( x + y - 3 ) = 0 ⇒




−=→=+
=
xyyx
yx
33
+ Nếu x = y thay vào (2) ta được x
2
- 5x - 5 = 0
giải phương trình được x
1,2
=
2
535±
+ Nếu y = 3 - x thay vào (2)ta được x
2
- 3x - 8 = 0
giải phương trình được x
3,4
=
2
413±
17 - Đặt :
02
2
yx =−
→ x
2
+ y
2

= 2
Ta có hệ






=+
=+
2
2
11
22
yx
xy
⇔
( )



=−+
=+
22
2
2
xyyx
xyyx
Đặt
v = x+ y ; v = 2xy ⇒




=−
=
2
2
vv
vv