Khóa luận tốt nghiệp toán Tập lồi trong Rn và một số bài toán hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
===#T)CQGS===
LIÊU THỊ PHƯƠNG ■
TẬP LỒI TRONG R” VÀ MỘT SỐ BÀI
TOÁN HÌNH HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học ThS. GYC. PHAN HỒNG TRƯỜNG
HÀ NỘI - 2014
Để hoàn thành được bài khóa luận với đề tài: “ Tập lồi t ron g

i?"
v à một số b ài to án hì nh họ c”,

trước hết em xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoa
Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong
suốt thời gian qua.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo: THS. GVC PHAN
H ồn g

TRƯỜNG, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý
kiến quý báu để em có thể hoàn thành bài khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến
thức của bản thân nên chắc chắn đề tài này không ừánh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự cảm thong và những ý kiến đóng góp
của thầy cô, các bạn sinh viên để bài khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Liêu Thị Phưomg
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của em trong quá trình học
tập và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán, đặc
biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - Th.s, GVC PHAN HỒNG
TRƯỜNG.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liên
quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo.Khóa luận “ Tậ p

lồi
t ro ng

R
n
và một

số bài t oán h ìn h h ọc ”

không có sự trùng lặp với các
khóa luận khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!
Sinh viên
Liêu Thị Phưong
MỤC LỤC
I.
II.
III. I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
IV. Lý thuyết về tập hợp lồi ừong toán học là một phần không
thể thiếu của hình học. Nó có rất nhiều ứng dụng và có vị trí quan trọng
trong hình học, có liên quan hầu hết các ngành toán học như: Giải tích

lồi, toán kinh tế, hình học Có thể nói nghiên cứu về tập lồi là một đề tài
thú vị, nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.Với mong
muốn nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu phương pháp giải các
bài toán hình học hay hơn, thú vi hơn, nhằm bổ xung kiến thức cho bản
thâ n e m đ ã chọ n đ ề tài : “ Tập lồ i t ron g R

n



v à m ột số bài
toá n h ìn h h ọc ”

để làm đề tài khóa luận.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu И hơn các kiến thức về tập lồi.
- Làm rõ ứng dụng một số tính chất của tập lồi trong không gian
trong giải một số bài toán hình học.
3. Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu
- Đối tương nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán của hình học giải bằng cách
sử dụng một số tính chất của tập họp lồi.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày cơ sở lý thuyết về tập hợp lồi và một số tính chất.
- Nêu một số phương pháp giải bài toán của hình học bằng sử dụng
tính chất của tập hợp lồi.
5. Các phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu sử dụng các công cụ toán học.
- Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu có liên quan.
5

II. NÔI DUNG CHƯƠNG 1. TẬP HỢP LỒI
1.1. Môt sổ kiến thức bổ trơ
• •
• Giả SỬA c R"; Xi, x
2

£ A, khi đó đoạn thẳng nối Xi, x
2

là tập tất cả
những điểm X e A thỏa mãn:
V. X = ẰX! + (1-X,) x
2

, VA, E [0.1].
VI. Khi Xi = x
2

đoạn thẳng X1

X2

gồm chỉ có một điểm Xi.
VII. Khi Xi ^ x
2

đoạn thẳng X1

X2

gồm điểm Xi(khi X, =1) và
x
2
(khi À^O) và những điểm ứng với À-( A, e (0

, 1

)).
VIII. Hai điểm Xi, x
2

gọi là 2 mút của doạn thẳng Xi, x
2
, những
điểm khác cả đoạn thẳng X1

X2

gọi là ở giữa Xi và x
2
.
• Cho m + 1 điểm độc lập P
0
, Ta biết rằng m phẳng a đi
IX. qua m + 1 điểm đó gồm những điểm M sao cho( với điểm o nào đó
).
X.
XI.
XII. Tập họp đó gọi là rn đơn hình với các đính P
0

, P!, ,P
m
. và kí hiệu:
XIII. S(Po, Pi, ,?!!!).
• Cho m+1 điểm độc lập P
0
, Pi, ,P
m
. Tập họp những điểm M sao
cho:
XIV. m
XV. PoM = ^ lÃPÕPi, Xi e [0.1]
XVI. i=0
XVII. được gọi là m_hộp.
XVIII. 3
6
1.2. Định nghĩa tập lồi
XIX. Cho A là tập cho trước(trên đường thẳng, mặt phẳng hoặc
trong không gian). Tập A <= R
n
được gọi là lồi nếu Vxi, x
2

£A, VÀ,e R:
XX. Xxi + (1- A,)X
2
£ A, VA, e [0.1]
XXI.
XXII.
XXIII. A, B là tập lồi. Còn c, D không phải là tập lồi.

• [xi,x
2

], m_hộp, m_đơn hình là tập lồi
• Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi.
• Mỗi m_phẳng a trong không gian afin thực A là tập lồi vì nếu 2 điểm
P,Q là 2 điểm phân biệt thuộc A thì tất cả đường thẳng PQ thuộc a, do
đó đoạn thẳng PQ nằm trong a.
1.3. Tổ họp lồi
1.3.1. Định nghĩa: Véc tơ X E X được gọi là tổ họp lồi của các véc tơ
Xi, x
2

, ,x
m
eXnếu:
* Chú ý: tập 0 được gọi là tập lồi.
*VÍ dụ:
I.
II.
XXIV.
III.m m
IV.
V. i=0
VI. i=0
XXV.
1.3.2. Đinh lí: Giả sử tập A lồi, Xi, х
2
, ,хщ
e

A. Khi đó A chứa tất cả các
TỔ HỌP LỒI CỦA XI, Х
2
, ,ХЩ •
1.4. Bao lồi và bao lồi đóng
1.4.1. Bao lồi:
1.4.1.1. ĐỊNH NGHĨA: Giả s ử A c X .

Giao của tất cả các tập lồi chứa А được
gọi là bao lồi của tập A. Kí hiệu: coA.
• Ví dụ: Trong R
2

cho B(0, R) = {X : D (о, X) < } . Khi đó:
XXVI. coB(0, 1) = B(0, 1).
• Nhận xét: - coA là tậplồi nhỏ nhất chứa A.
- A lồi А = coA.
1.4.1.2. ĐỊNH LÍ: coA trùng với tập tất cả các tổ họp lồi của A.
• Hệ quả: Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ họp lồi của A.
1.4.2. Bao lồi đỏng:
1.4.2.1. ĐỊNH NGHĨA: Giả sử А с X. Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A
được gọi là bao lồi đóng cả tập A. Ki hiệu CO A.
• Nhận xét: CO A là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A.
1.4.2.2. MỆNH ĐỀ: Giả s ử A c X

lồi. Khi đó:
i) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi.
ii) Nếu Xi G intA, x
2

£ A thì :
XXVII. [x
b
x
2
) ={ ẰXi + (1 - Ằ)x
2

: 0< Ả < 1} Œ intA.
XXVIII.Nếu intA Ф 0 thì: A = int Л.
XXIX. int А = int A.
1.4.2.3. ĐỊNH //:• Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao
lồi của A, tức là:
XXX. со А = со А.
• Giả sử tập A D R
n
đóng và bị chặn. Khi đó coA đóng.
XXXI. Nghĩa là: coA = CO A.
XXXII. *Định lí Carathéodory :
XXXIII. Giả sử A cR“. Khi đó mỗi điểm của tập coA là tổ
hợp lồi không quá n+1 điểm khác nhau của A.
1.5. Nón lồi
1.5.1. Đinh nghĩa nón: Tập K c R "

được gọi là nón có đỉnh tại о nếu:
XXXIV. V X G к, 3 А, >0 => Ax G K.
1.5.2. Định n gh ĩa

nón lồi: Nón к có đỉnh tại о được gọi là nón
lồi nếu К là một tập lồi, nghĩa là:

XXXV. Vx,y EK, VA,, ỊÀ> 0 => Xx + juy £K.
• Ví dụ: /£” := {x = (х
ь
х
2

,—
5

Хп)
£
R
n
ỉ Xị> о V i = Ì.N}
XXXVI. (nón orthant không âm)
1.5.2.1. Mệnh đề:
XXXVII. Giả sử к„ (а e I ) là các nón lồi có đính tại x
0

với tập
I là tập chỉ số bất kì. Khi đó PỊẩ' „ là nón lồi có đỉnh tại x
0
.
XXXVIII. aeì
1.5.2.2. ĐỊNH IỈ: Tập к с R" là nón lồi có đỉnh tại Okhi và chỉ khi:
V x,y e K, V Ằ > 0 = > x

+ y G K, Xx GK.
• Hệ quả:
• Cho К là một nón lồi. Neu X

1

G к, X
2

G K, ,x
m
G к và (Xi> о, a
2
>
0, , a
m
>
0. Khi đó:
XXXIX. ỵ V G K .
XL. i=l
• Giả sử A là tập bất kì trong R
n
, к là tập tất cả các tổ hợp tyến tính
dương của A. Khi đó к là nón lồi nhỏ nhất chứa A.
1.5.3. Nón lồi sinh bỏi môt tâp
XLI. Giao tất cả các nón lồi (có đính tại 0) chứa tập A và điểm 0 là
một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi tập A. Kí hiệu: K
A
.
• Định

lí: Giả s ử A c

R", А Ф0, K

A
là nón lồi sinh bởi tập A. Khi đó
mỗi điểm X G K
A
, X Ф 0 có thể biểu diễn dưới dạng:
XLII. X = A4

X1

+ +A,
m
x
m
với Ai> 0,
Xi G A (i = 1 .ra), х
ь
х
2
, Дт độc lập tuyến tính( m < n).
1.5.4. Đinh nghĩa bao tuyến tính:
XLIII. Giao tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập A được gọi
là bao tuyến tính của tập A. Kí hiệu: linA.
1.5.5. Mênh đề:
XLIV. 1

) K
A
— K
coA
.

XLV. ii) Nếu A là tập lồi thì K
A
= PỊẩA ={ a £X: a = A,b, X > 0, b £
A}.
XLVI.я>0
1.6. Tập affine và bao affine
1.6.1. Tập affine:
• ĐỊNH NGHĨA'. Tập А с R" được gọi là tập affine nếu:
XLVII. (1- X,)x + ХУ eА ( Vx,y GA, VA, G R ) .
• Nhận xét: Nếu A là tập affine thì với a G R",
XLVIII. A + a ={ X + a: X G A} là tập affine.
• MỆNH ĐỀ: Tập м с R“ là không gian con khi và chỉ khi M là tập
affine chứa 0

.
• Hai tập affine song song’.
XLIX. Tập affine A được gọi là song song với tập affine M nếu 3
a G R "

sao cho:
L. A=M+a
LI. Kí hiệu: А // M.
• Các định lí:
* Mỗi tập affine А Ф 0 song song với một không gian con duy nhất L
được xác định như sau:
LII. L = A - A ={ X - у: X G A, y G A}.
* Giả sử / ? G R , 0

Фb ER
n

. Khi đó, tập H = {x e R
n
: (X,B) = SS }.
LIII. là một siêu phẳng ừong R
n
. Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu
diễn duy nhất bằng cách này.
* Giả sử В là m X n_ma trận, b £ R
n
. Khi đó tập hợp:
LIV. M ={x ỄR" : Bx = b } là affine trong R
n
và mọi tập affine đều
có thể biểu diễn dưới dạng trên
• Hệ quả: Mọi tập affine A trong R" là tương giao của một số hữu hạn
các siêu phẳng.
• Chiều của tập affine:
LV. Chiều của một tập affine không rỗng được định nghĩa là chiều
của không gian con song song với nó.
• Quy ước: dim 0 = -1.
• ĐỊNH NGHĨA: Tập affine ( n - 1) chiều trong R
n
được gọi là một siêu
phẳng.
1.6.2. Bao affine và tồ hot) affine:
• Các định nghĩa:
LVI. Đinh nghĩa 1: Giao của tất cả các tập affine chứa tập A c= R
n
được gọi
là bao affine của A, kí hiệu: AFFA.

LVII. Đinh nghĩa 2: Điểm X e R
n
được gọi là tổ họp affine của các điểm
LVIII. m m
LIX. xi,x2

, ,x
m
£ R
n
, nếu 3 Ằb ^ER. ^ Ai =1 sao cho: X = ^ AiXị.
LX. i=l 1=1
* Nhận xét: AFFA trùng với tập tất cả các tổ họp affine các điểm của
LXI. A: a f f A = {A4X1+ + ХщХщ, Xi G А, X
=1
}•
LXII. ;=1
LXIII.Đinh nghĩa 3: Tập m+1 điểm bo, bi, ,b
m
được gọi là tập affine nếu
A
FF{ bo, bi, ,b
m
} là m chiều.
* bo, b
b
,b
m
độc lập affine <=> br b
0

b
m
-b
0

độc lập tuyến tính. Khi đó:
■ b
0
, bi, ,b
m
độc lập affine nếu
LXIV.
LXV.
LXVI. Các số X o , A , i Ằ m

như thế được gọi là tọa độ trọng tâm của
X. Đinh nghĩa 4: Bao lồi k+1 điểm độc lập affine b
0
, b
b
,b
m
được gọi là đơn
hình k chiều.
LXVII. Các điểm bo, bi, ,b
m
được gọi là đỉnh của đơn hình.
LXVIII. ■ Định lí: Giả sử s là đơn hình n_chiều ừong R" với các đỉnh
bo, bi, ,b

m
. Khi đó ints Ф 0.
LXIX.Định nghĩa 5: Chiều của tập lồi A là chiều của AFFA.
LXX. Định nghĩa 6

: Giả sử A cR" là tập lồi. Khi đó dimA là cực đại của
chiều các đơn hình trong A.
1.7. Phần trong tương đối
• Định nghĩa: Phần trong tương đổi của tập A cR" là phần trong
của A trong af fA, kí hiệu là riA.
LXXI. Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập
A.
• Nhận xét: Ai D А
2
Ф riAi A riA
2
.
LXXII. intA = {x GR
n
: 3í> о, X + íB cA}.
LXXIII. riA = {x € af f A : 3 £> 0, (x + £B) r ^a ff Œ A }. (Trong đó
В là hình cầu đơn vị đóng trong R" )
• Các đỉnh lí:
LXXIV. «
• Giả sử A là tập lồi trong R", X €= ri A, y G Ã. Khi đó:
LXXV. (1- X )x + Xy
G
riA , Vx É [0,1]
LXXVI. Hệ quả: Giả sử A là tập lồi trong R". Khi đó riA lồi.
• Giả sử A là tập lồi trong R

n
. Khi đó:
LXXVII. aff(Ã) = affA.
• Giả sử A là tập lồi trong R". Khi đó, riA Ф 0 và:
LXXVIII. aff{riA) = affA .
LXXIX. Hệ quả: Giả sử A là tập lồi trong R".
Khi đó: a//(riA)=a//(Ã). dim à =
dim( riA ) = dimA.
LXXX. ( nếu А Ф 0 ^ riA Ф 0).
• Giả sử A là tập lồi trong R". Khi đó: RỈA= A
LXXXI. ri à = riA.
LXXXII. Hệ quả: Giả sử Al, A
2

là tập lồi ừong R
n
. Khi đó:
LXXXIII. = Ã
2
<^riAi = riA
2
.
LXXXIV. CHƯƠNG 2
LXXXV. ĐỊNH LÝ KELLY VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT cơ BẢN
CỦA TẬP HỢP LỒI ■ •
2.1. Một số tính chất của tập lồi
• TÍNH CHẤT 1 : Giả sửA
a
cR"(a E I ) ỉà các tập lồi, I là tập chỉ
sổ bất kì. Khi đó: A = Pl A„ là một tập lồi.

LXXXVI. aeì
• TÍNH CHẤT 2: Giả sử A
a
a R
n
(a £ I ) là các tập lồi, I là tập chỉ số bất
kì. Khi đó: A = (J chưa chắc đã là tập lồi.
LXXXVII. ( Hình ảnh minh họa cho hai tập loi A, B)
VII.
* V í dụ:

Cho А, в là các tập lồi. Với А = {а}, в là hình tròn tâm 0
bán kính R.
LXXXIX. Khi đó: A LJ В không phải tập lồi vì nếu lấy E e a, E e в
thi EF Ể A ^JB.
XC.
• TÍNH CHẤT 3: Giả sử Ai czR” là những tập lồi, Ai e R (i = l.m). Khi đó:
XCI. AiAị là tập lồi.
XCII. i=1
• TÍNH chấ t

4: Giả sử Ai <^R
n
là những tập lồi. Khi đó:
XCIII. ^ Ai là tập lồi.
XCIV. i=l
• TÍNH CHẤT 5: Giả sử A là tập lồi và Xi >0, X
2
> 0. Khi đó:
XCV. (À4+Ầ2 )A = À4A + A%2-

2.2. Định lý kelly
• Định lý Kelly trong không gian 1 chiều R
1
:
XCVI. Trên đường thẳng
cho n hình lồi ( n > 3). Biết rằng giaocủa hai
XCVII. hình lồi bất kì trong
chúng khác rỗng. Khi đó giao của cả n hìnhlồicũng
XCVIII. khác rỗng.
XCIX. Chứng minh:
C. Ta thấy hình lồi trên đường thẳng chỉ có thể là đoạn thẳng [A,B],
VIII.
CI. khoảng (a, b), hay [a; b), (a; b].(ở đây a có thể là -QO, b có thể là
+00

).
CII. Ta chỉ xét với các hình lồi là các đoạn thẳng, các trường họp
còn lại chứng minh tương tự.
CIII. Giả sử có n đoạn thẳng [ai; bị], i = ŨI có tính chất sau: Bất kì
giao của hai đoạn thẳng nào trong chúng cũng khác rỗng, tức là:
CIV. [ai; bi] n [aj; bj] *0, Vi ^j.
CV. Ta sẽ chứng minh: Pl
CVI. Ta chứng minh bổ đề sau:
CVII. [ai; bi] n [aj; bj] *00

min{bi, bj} > min{ai,aj}.
CVIII.Thật vậy: Giả sử [ai; bi] n [aj; bj] *0 , Khi đó 3c £ [ai; bi] n [aj; bj]
CIX. ^{a
t
Vc%

hay
CX.Đảo lại, Giả sử m ax

ỊA
Ẻ
; <2

;
. Ị

< min

ỊBỊ ; BJ Ị. Khi đó ta có thể
chọn c sao cho NAAXỊA^A^^C^NÀNỊB^B^. (1

)
CXI. Từ (1) suy ra DỊ <C <BỊ => c e [ai; bi]
CXII. a . j < c < b j =>c e[aj;bj]
CXIII.=> [aiỉ bi] n [Ọj; bj] *0

. Bổ đề được chứng m in h.
CXIV. Từ bổ đề trên suy ra nrin^. > maXA
T
CXV. , suy ra tồn tại c sao
cho:
CXVI. Ì<I<N 1

<ị<7

í

CXVII. miĩibị >c>maxa,
CXVIII. 1

<I<N 1

</<«
CXIX. =>c G [ai; bị], V i = ŨI hay Pl
CXX. Định lí kelly trong không gian 1 chiều được chứng minh.
CXXI. *Định lí Kelly trong không gian 2 chiều R
2
:
CXXII.Trong mặt phẳng cho n hình lồi (n >4). Biết rằng giao của ba
hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng. Khi đó giao của n hình lồi cũng khác
rỗng.
CXXIII. Chứng minh:
CXXIV. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo số n
các hình lồi.
- Xét khi n = 4.
CXXV. Gọi Fi, F
2
, F
3
, F
4

là 4 hình lồi sao cho giao của ba hình lồi bất
kì trong chúng khác rỗng.
CXXVI.Vì F
2
nF

3

n f

4

^ 0

nên tồn tại. A
Ỉ
EF
2
NF
3

NF
4
Tương tự tồn tại:\ € FỊ n F
3
n F
4
CXXVII. Aị & F
x
r\F
2

nf
4
A
4

eF
l
nf
2
nF
3
CXXVIII. CÓ hai trường hợp xảy ra:
i) Nếu bốn điểm Ai, A
2
, A
3
, A
4

không hoàn toàn khác nhau. Khi đó
không giảm tính tổng quát, giả sử Ai= A
2
.
CXXIX. Từ đó suy ra: \ &F
l
r\F
2
r\F
3
r\F^nên F
ỉ
r\F
2
r\F
z

r\F^ ^0
CXXX. Vậy định lí kelly đúng khi n =4.
ii) Ai, A
2
, A
3
, A
4

là 4 điểm phân biệt. Khi đó có 2 khả năng sảy
CXXXI. ra:
• Bao lồi của Ai, A
2
, A
3
, A
4

chính là tứ
giác lồi A1

A2

A3

A4

.
CXXXII. Giả sử o là giao của hai đường
chéo A1

A2

, A3

A4

.
CXXXIII. Do ẠeF
2

nF
3

nf
4

nên Ai GF
3

A
2
GF
Ỉ
N
Í
F
Ì
nF
4

nên A
2

e F
3



Vì F
3

lồi, mà A
2

£
F
3

nên [Ai, A
2
] e F
3
.
CXXXIV. Do đó o £F
3
.
CXXXV. Lập luận tương tự suy ra o ễF
2
, o e F
4

CXXXVI. Nghĩa là o
e
fl
Dođố
n
í0
-
• Bao lồi của chúng là tam giác chứa một
điểm còn lại bên trong.
CXXXVII. Không giảm tính tổng quát ta có thể
giả sử AA1A2A3 thuộc F
4
. Vì Ai, A
2
, A
3

đều thuộc F
4
, mà F
4

lồi.
CXXXVIII. Mặt khác: A
Ị
EF
L
nf
2

nF
3
CXXXIX.=>A4

ep|5

^0

.Từđó suy ra Pl 5^0
CXL. Vậy định lí kelly đúng khi n = 4.
Aì
Ai
- Giả sử kết luận của định lí Kelly đúng đến n > 4.
- Ta xét trường họp có n+1 hình lồi, tức có Fl, F
2

, ,F
n
hình lồi sao cho
với bất kì ba hình lồi nào trong chúng đều có giao khác rỗng.
CXLI. Xét các hình sau:
CXLII. K=Fr
CXLIII. F
2
=F
2
CXLIV. ^4=^4
CXLV.
F
n=

F
n^
F
n
+
1
CXLVI. Rõ ràng Fi' là hình lồi Vỉ =Ỉ,N-Ỉ (vì FỊ =FỊ)
CXLVII. F
N
cũng là lồi vì nó là giao của hai hình lồi F
N

và F
1
Xét3 hình lồi bất kì FỊ,F'J, ,P
K
trong N hình lồi FÌ,F
2
, ,F
N
Nếu trong chúng không có F
n
' ứiì theo giả thiét:
CXLVIII. F. R\F'J NF
K
= FỊ R\FJ
R\F
K
Ф
0

Nếu trong chúng có F
N
= F
N
nF
n+1

. Khi đó, giả
sử F
K
= F
N
Từ đó FL NF] NF
K
= F
Ì
nF. R\F
N
NF
N +L
CXLIX. Vì giao của 3 hình lồi trong các hlnh lồi ^,F
y
,F„,F
n+1
là
khác rỗng (giả thiết) nên theo trường hợp n = 4, ta có FỊ R)FJ nF„nF„

+1

Ф 0

CL. Vậy với hình lồi F[,F
2
, ,F
n
ứiỏa mãn điều kiện giao của ba
hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng nên theo giả thiết quy nạp suy ra F
Ỉ

NF
2
NF
N
. Nghĩa là: F
L
NF
2
П ПF„nF
n+1

Ф 0 Vậy định lí Kelly đúng trong
trường hợp N+1 hình lồi.
CLI. Do đó định lí Kelly đúng với mọi N > 4 .
* Tổng quát:(Định lí Kelly trong không gian chiều):
CLII. Giả SỬAỊCIR" , i = 1 M, M>N+1 là các tập lồi. Biết rằng giao
của N+1 tập Ai trong chúng đều khác rỗng. Khi đó:
CLIII. n
CLIV.□ Một số bài tập ứng dụng:
CLV. Trong hình học tổ họp thì định lý Kelly là một trong các định
lý rất quan trọng. Định lý này cho ta một điều kiện đủ để nhận biết khi nào
một họ các hình lồi có giao khác rỗng.

CLVI. Dưới đây là một số bài toán hình học tổ họp liên quan đến tính
giao khác rỗng của các hình lồi.
CLVII. Bà i 1 :

Xét không gian R
2
. Biết rằng có bốn nửa mặt phẳng
lấp đầy không gian. Chứng minh rằng: Tồn tại ba trong bốn mặt phẳng ấy
sao cho ba nửa mặt phẳng này cũng lấp đầy không gian.
CLVIII. Giải
CLIX. Gọi Pi, p
2
, Рз, P4

là bốn nửa mặt phẳng => PỊ lồi, với mọi I = 1.4
CLX. Theo giả thiết ta có:
CLXI. ^uP
2

u?
3

uP
4

=Ấ
2
CLXII. ^P
1
UP

2
^JP
3
^JP
4
-0
CLXIII. P
1
NP
2
NP
3
R\P
A
-0 ( Theo quy tắc Demorgan)
(1)
CLXIV. ( Ã là phần bù của tập họp А )
CLXV. Vì PỊ lồi nên PỊ cũng lồi với mọi ỉ =1.4
CLXVI. Giả sử phản chứng rằng không tồn tại ba nửa mặt phẳng
nào trong cácPỊ (ỉ =1.4) mà 3 nửa mặt phẳng này lấp đầy không gian.
CLXVII. Nghĩa là với mọi i, j, к phân biệt mà i, j, к G {1, 2, 3, 4}
thì:
CLXVIII. P
i
KjP
j
uP
k
czR
2

hãyP
i
^jPjKjP
k
jt0
(2)
CLXIX. Theo quy tắc Demorgan ^P
I
NP
J
NP
K
JT0 (3

)
CLXX. Theo định lí Kelly thì từ (3) => P
X
Г\Р
2
Г\Р
Ъ
Г\Р
А
Ф 0
(4)
CLXXI. Từ (4) suy ra mâu thuẫn với (1).
CLXXII. Điều giả sử phản chứng là sai. Vậy ta có điều phải chứng
minh.
CLXXIII. Bài 2: Trên mặt phẳng cho n hình tròn (n >4). Giả sử
cứmỗi ba hình

CLXXIV. tròn đều có một hình tròn bán kính R cắt cả ba hình tròn ấy.
Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính R cắt cả n hình tròn trên.
CLXXV. Giải
CLXXVI. Gọi Ai là hình tròn tâm Oi bán kính Ri, Ai = (Oi, Ri), I =
Ĩ.N.
CLXXVII. Gọi Bị là hình tròn tâm Oi bán kính Ri + R, Bị = (Oi,
Ri+R), I = 1 .N. Lấy i, j, к tùy ý ( 1 < ỉ' < 7

< К < N ), ta chứng minh:
CLXXVIII. Bị r>Bj r\B
k
^0
CLXXIX. Thật vậy: Theo giả thiết thì cứ mỗi ba hình tròn đều có
một hình ừòn bán kính R cắt cả 3 hình tròn ấy.
CLXXX.
CLXXXI. Giả sử hình tròn bán kính R là ( AỊ
K
,R ).
CLXXXII. Ta có (Ạ
J K
,R) cắt các hình tròn Ai nên: OAỊ
K
<R+RỊ hay (Oi,
Ri+R) chứa
IX.
CLXXXIII. Do đó: (Ạ
J K
,R) GBi
CLXXXIV. Lập luận tương tự ta cũng có: (Ạ
K

,R)
e
Bj
CLXXXV. (Ạ
JJc
,R) GB
k
CLXXXVI. Do vậy Bị r\B
j
r\B
k
* 0
CLXXXVII. Suy ra theo định lý Kelly ta có:
B
L
R\B
2
R\ R\B
N
^0 Giả sử A* e(fi( n n5J
CLXXXVIII.Xét hình tròn (A*, R). Do A* epỊ
CLXXXIX. Vì vậy hình ừòn (A*, R) cắt hình tròn (Oi, Ri) =>
đpcm.
CXC. B ài 3 :

Cho n đoạn thẳng song song ừên mặt phẳng (n > 3). Biết
rằng cứ với bất kì ba đoạn thẳng nào cũng có một đường thẳng cắt cả ba
đoạn thẳng ấy. Chứng minh tồn tại một đường thẳng cắt cả n đoạn thẳng
đã cho.
CXCI. Giải

CXCII.Giả sử có n đoạn thẳng Li (i = Ln) song song trên mặt phẳng.
CXCIII. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy bất kì sao cho trục tung song
song với Li(i= En) ( Hình 1)
CXCIV. u
CXCV. (Hình 1)
'i,ỉ =
l.n
CXCVI. Với mỗi Li xét tất cả các đường thẳng cắt Li.
CXCVII. Các đường thẳng đó có dạng y = aịX + bị. (a 0 ) , ( a

i5

b ị s
R , V

I = 1

N )
CXCVIII.
CXCIX.Nếu gọi AỊÌXỊ,YỊXBỊIXỊ,YF) thì ứng với mỗi giá trị bất kì các
đường thẳng song song y = ax + by với BE[Y] -CIXỊ,YF -DXỊ] sẽ cắt Lị, V/
= L.N .
CC. Biểu diễn số (ai, bị) ừên một hệ trục tọa độ khác. Theo nhận
xét trên ứng với mỗi giá tri a thì ta có một tập họp giá tri của b và độ dài của
tập này là YJ - YF
CCI. Cho a thay đổi sao cho a G (-00

, +00

) thì ta được một dải song

song vô hạn. Gọi dải này là Hi, ta thấy Hi là hình lồi ( Hình 3 )
X. № 9 F
XI.Môi đường thăng như vậy được đặc trưng bởi hai sô (a
Ì5
bi).
(Hình2)
XII.