Một số bài toán giải tích trong các kì thi giải toán trên máy tính cầm tay

40




TRẦN ĐÌNH CƯ
(GV Trường THPT Gia Hội, Huế)

ác bài toán giải tích là một dạng toán điển
hình thường gặp trong các kì thi giải toán
trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh và cấp Quốc
gia. Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị ôn
tập tốt và hướng đến các kì thi, bài viết xin
được giới thiệu một số thí dụ và bài tập là
những đề thi của các Sở GD–ĐT trong
những năm gần đây. Trong bài viết này, chúng
tôi đều tiến hành các thao tác trên máy
tính VINACAL 570ES PLUS II,
CASIO
f
x
−

570 ,VN PLUS hai dòng máy có nhiều tính
năng nhất được Bộ GD&ĐT cho phép mang
vào phòng thi.
I. TÍNH GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM
CỦA HÀM SỐ
• Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm
0

x
ta
nhấn liên tiếp các phím
lúc đó màn
hình hiển thị
()
d
d
x
x
=,
, . Nhập hàm số và
nhập giá trị
0
x
, sau đó ấn phím
• Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II
ta có thể tính giới hạn của hàm số tại điểm
0
x
bằng cách nhấn các phím
lúc đó màn hình hiển thị
(
)
lim
→,
,
x
. Nhập
hàm số và nhập giá trị

0
x
, sau đó ấn phím .
 Thí dụ 1. Tính giới hạn
56
0
121
lim
x
xx
A
x
→
+
−+
=
.
Lời giải. (VINACAL 570ES PLUS II) Ta thực
hiện theo quy trình bấm phím sau:


. Ta được
kết quả
0,1333333333
≈
−
x
. Để đổi số thập
phân vô hạn tuần hoàn này sang phân số ta ấn
phím như sau

1 3 ta
được kết quả
2
15
=
−A .
Ta có thể chuyển việc tính giới hạn trên thành
tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm
nhờ nhận xét.
0
() (0)
lim '(0)
0
→
−
==
−
x
fx f
Af
x

với
56
() 1 2 1
=
+− +fx x x .
Để tính
'(0)f ta thực hiện theo quy trình ấn
phím sau:

Ta được kết quả
0,1333333333.
A
≈
− 
Thí dụ 2. Cho hàm số
()
3
()
2ln 1
x
e
fx
xx x
2
=
+
++
.
Tính giá trị gần đúng của
()
1
'1 '
2
Sf f
⎛
⎞

=+
⎜
⎟
⎝
⎠

11
''.
310
ff
⎛⎞ ⎛ ⎞
+++
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
"

Lời giải. Để tính S ta thực hiện theo quy trình
ấn phím sau:
{Biến đếm}
{Biến tổng}




.
C

41
Lúc đó màn hỉnh hiển thị
1:XX C=+

()
3
2
1
d
d
2ln 1
X
x
X
e
C
x
XX X
=
⎛⎞
⎜⎟
=+
⎜⎟
++ +
⎝⎠

ấn tiếp
. Rồi ấn liên tiếp dấu
đến khi
10=X
thì trên màn hình xuất hiện
57, 7875854=−C . Để lấy kết quả với 4 chữ
số thập phân, ta tiếp tục ấn phím

. Kết quả 57, 7876≈−S . Từ đây về sau,
nếu không có gì đặc biệt thì các kết quả đều
lấy 4 chữ số thập phân.

II.
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Thí dụ 3. Giải phương trình
37sin
x
x
x=+

trên
(
)
0; .+∞
Lời giải. Xét hàm số () 3 7sin=− −
x
f
xxx
Ta có '( ) 3 ln 3 7 cos 1;
x
fx x=−−

2
''( ) 3 ln 3 7 sin
x

f
xx=+.
Nhận thấy
"( ) 0fx>
với
(
)
0;x∀∈ +∞ nên
'( )
f
x có nhiều nhất một nghiệm thuộc
(
)
0;
+
∞
.
Do đó
()
f
x
có nhiều nhất hai nghiệm thuộc
(
)
0; +∞ .
Dùng chức năng
để giải phương trình:
Chuyển máy về chế độ rad bằng cách ấn

.

Ghi vào màn
37sin()−−
X
XX bằng cách ấn
các phím

. Để tìm nghiệm ta ấn
được
1
0,1474477308,x
≈
tiếp tục
ấn
ta được
2
1, 943922627.x ≈

Kết quả
1
0,1474;x ≈
2
1, 9439x ≈ .
Thí dụ 4. Giải hệ phương trình

33
23
ln 0 (1)
2517 1 (2)
xx yy
x

ee
y
yx x
++
⎧
+− =
⎪
⎨
⎪
+−= −
⎩

Lời giải. Điều kiện 1>
x
, 0>
y
.
PT
33
(1) ln ln
xx yy
exe
y
++
⇔+=+ (3)
Xét hàm số
3
() ln
+
=+

tt
f
te t trên
(
)
1; .+∞
Ta có
()
3
2
1
'( ) 3 1 0,
tt
ft t e
t
+
=
++>
nên hàm số
()
f
t đồng biến trên
(
)
1; .+∞
Do đó PT (3) ⇔ () ()
f
xfy
=
⇔ .

x
y=
Thay
y = x vào PT (2), ta được

23
2517 1xx x
+
−= −
⇔
432
4292110500(*)xxxx−+−+=

Sử dụng chức năng
để giải PT (*)
bằng cách: ghi vào màn hình PT (*), sau đó
ấn liên tiếp
ta được
1
1, 550510257
≈
x , lưu x
1
vào ô nhớ A bằng
cách ấn tiếp phím
, để tìm nghiệm
thứ hai ta vẫn ghi lại vào màn hình PT(*) rồi
ấn
ta được
2

6, 449489743≈x
lưu nghiệm này vào ô nhớ
B bằng cách ấn
. Ta thấy
{màn hình hiện số 8}, dùng phím
dịch
chuyển đến dấu
, ấn {màn hình
hiện số 10} tức là
{
8
.10
+
=
=
AB
AB
hay ,
A
B là
nghiệm của phương trình
2
8100−+=XX , từ
đó (*) ⇔
46x =± . Vậy nghiệm của hệ
phương trình
(; )
xy
=

(
)
46;46,++


(; )
xy
=
(
)
46;46−−.
III. CỰC TRỊ HÀM SỐ, ĐIỂM UỐN
VÀ TIỆM CẬN
Thí dụ 5. Cho hàm số
432
() ,
f
xaxbxcxdxe
=
++++

(
)
0a ≠
thoả mãn
35
(0) ; (1) ;
42
ff==−
37

(2) ;
4
f =−

21
(3) ;
2
f
=−
35 139
(4) ; (5)
42
ff
==.
Gọi ,,
A
BC là các điểm cực trị của hàm số. Tính
gần đúng giá trị diện tích của tam giác
.
A
BC
Lời giải. (VINACAL 570ES PLUS II).
Từ

3
(0)
4
f
=
suy ra

3
4
=
e . Vào chương trình
giải hệ 4 phương trình 4 ẩn bằng cách ẩn


42
, nhập các hệ số để tìm a, b, c, d. Ta tìm
được hàm số
42
173
()
424
=−+fx x x . Khảo
sát hàm số này ta tìm được

32323
0; ; 7; ; 7;
422
AB C
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
−− −
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
.
Vậy
()
1
., 32,4105

2
ABC
SBCdABC=≈.
Lưu ý. Đối với máy VINACAL 570ES PLUS II
ta có thể giải được hệ 4 phương trình 4 ẩn số
và lưu trực tiếp được các nghiệm này vào
các biến nhớ
trong môi
trường EQN.

Thí dụ 6. Tìm các tiệm cận của hàm số
2
1||
238
.
2
x
xx
ye
x
−
++
=+
+

Lời giải. (VINACAL 570ES PLUS II).
Do
2
lim 0
x

y
→−
= nên tiệm cận đứng 2.x =−
Để tìm tiệm cận ngang, ta cần tính
2
1||
238
lim
2
−
→±∞
⎛⎞
++
⎜⎟
+
⎜⎟
+
⎝⎠
x
x
xx
e
x
.
Dùng chức năng tính giới hạn của hàm số

, màn hình hiển thị
(
)
lim

→,
,
x
.
Nhập hàm số
2
1| |
238
2
−
++
+
+
X
XX
e
X
và
cho
x
các giá trị rất lớn như 999 999;
999 999 999; 999 999 999 999 ta cùng được
giá trị
2=y hay
y
≈ 1,4142; cho
x
các
giá trị rất bé như
999 999;−

999 999 999;−
999 999 999 999− ta cùng được giá trị
2=−y hay
1, 41421
y
≈−
. Vậy có hai tiệm
cận đứng là
2 1, 4142=± ≈±y
.
Thí dụ 7. Cho hàm số
y
2
2
253
31
xx
x
x
−
+
=
−+
.
Xác định toạ độ điểm uốn của đồ thị hàm số
đã cho.
Lời giải. TXĐ
=
\D .
Ta có

()
2
2
2
13 14 2
';
31
xx
y
xx
−−
=
−+


(
)
()
32
3
2
613 21 6 3
''
31
xxx
y
xx
−
−−+
=

−+
.
Vào chương trình
để giải phương trình
bậc ba
32
13 21 6 3 0.xxx
−
−+=

1
2
3
1, 8005
'' 0 0, 2772
0, 4624
x
yx
x
≈
⎡
⎢
=⇔ ≈
⎢
≈−
⎣

l−u vµo « nhí A
l−u vµo « nhí B
l−u vµo « nhí C.

Sử dụng chức năng
tính giá trị hàm số
()
=
yfx
tại các giá trị
,,
A
BC (xem Đặc san
Số 5) ta được
1
0, 0539;y
≈

2
1, 8542;y ≈
3
2, 7282y
≈
.
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Thí dụ 8. (Đề thi HSG MTCT Quảng Trị 2012)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số
3
432
2011
31

17
2
2012
yx x xx=− − +−

trên đoạn
3; 2
⎡
⎤
−
⎣
⎦
.
Lời giải. Đặt 3; 2
⎡
⎤
=−
⎣
⎦
D
, và

3
432
2011
31
() 17 .
2
2012
=− − +−

fx x x x x

Ta có
3
32
33
'( ) 4 2 17 1
2
fx x x x
=
−−+.
Sử dụng
để giải PT '( ) 0fx= tìm được
1
1, 4275x
≈
(loại);
2
0,1824x
≈
;
3
0, 9603.x ≈−
Sử dụng chức năng
tính được

(
)
3 3, 0579;f −≈
(

)
2 3,1741;f ≈−

(
)
2
0, 9035fx ≈− ;
(
)
3
2, 7104.fx ≈−
Suy ra
3,1741 ( ) 3, 0579, .
−
≤≤ ∀∈
f
xxD
Do đó
0()3,1741≤≤fx .
Vậy
max ( ) 3,1741; min ( ) 0.
D
D
fx fx
≈
= 

43
V. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Thí dụ 9. (Đề thi HSG MTCT Quốc gia 2013)

Cho hàm số
()
2
3
3
() sin4 log sin 2.
xx
fx e x x
+
=++
a) Tính giá trị hàm số tại
12
x
π
=
;
b) Đường thẳng
y
ax b=+ là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
12
x
π
= .
Tìm
,ab.
Lời giải. a) Đưa máy về chế độ rad bằng
cách ấn . Ghi vào màn hình
2
3

3
sin 4 log (sin 2)
XX
eXX
+
++ rồi ấn các
phím
ta được kết
quả là
2, 516059996. Đưa giá trị này vào ô
nhớ
A
bằng cách ấn .
Vậy
2, 5161.
12
f
π
⎛⎞
≈
⎜⎟
⎝⎠

b) Ta có
(
)
';
12
af
π

=
(
)

12 12
bf a
ππ
=−
Để tính a ta ấn liên tiếp các phím




được kết quả a =
' 9, 0080.
12
f
π
⎛⎞
≈
⎜⎟
⎝⎠

Đưa giá trị này vào ô nhớ
B bằng cách ấn
.
Ghi vào màn hình
12
π
−

A
B và ấn phím ta
được
0,1578 . Vậy 0,1578.b
≈

Thí dụ 10. (Đề thi HSG MTCT Tuyên Quang 2011)
Cho hàm số
sin
() ( 0)
xxx
fx x x
++
=> (1).
Tính (theo radian) góc tạo bởi tiếp tuyến của
đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ
0
3x =
với đường thẳng
2012.
x
=
Lời giải.
Gọi
α
là góc tạo bởi tiếp tuyến tại điểm
0
3x =
với chiều dương của trục Ox. Khi đó
0

tan '( ) 0α= >fx . Đưa máy về chế độ rad,
sử dụng chức năng
tính đạo hàm
(
)
' 3 27, 5218045≈f . Góc cần tìm bằng
1
tan ( '( 3)).
2
−
π
− f
Kết quả
α
≈ 0, 0363 (rad).
BÀI TẬP
1. Tính các giới hạn sau
a)
(
)
2
sin sin 1
lim ;
2
x
xx
x
π
→
−

π
−

b)
35
3
0
121
lim .
382 1
x
xx
xx
→
+− +
+
−+

2. Cho hàm số
2
2
2
13
()
log ( 1)
23
+
+
=+
+

++
x
xx
fx
x
xx
.
Hãy tính giá trị gần đúng của
(1)
1
(1) '(3).
2
f
Pf f
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎝⎠

3. Giải phương trình
()
6
64log6121.
x
xx
=
++ +

4. Giải hệ phương trình
33

2
2013 2014 2013 2014
31 83.
x
xx x
xy x xy
⎧
+= +
⎪
⎨
−+= −
⎪
⎩

5. Cho hàm số
42
41
=
−+yx x . Tính chu vi
tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ
thị hàm số.
6. Cho hàm số
2
1
3
2
=
−−
x
yx

x
. Gọi ,,
A
BC
là ba điểm cực trị hàm số. Tính gần đúng các
giá trị toạ độ tâm và bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
7. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của các hàm số
a)
2
2
2
51
+
−
=
+
+
xx
y
x
x
; b)
2
32 .yx xx=+ + −
8.
Cho hàm số bậc ba
32
.

y
xbxcxd=+ ++

Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 6) và tiếp
tuyến tại điểm
141
;
28
B
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
thuộc đồ thị hàm số
có hệ số góc bằng
15
.
4