Bài tập toán chuyên đề

BÀI TẬP TOÁN CHUYÊN ĐỀ
…………………………………………………………………………………………
1


I.số phức và các phép toán
1.1,Tính các giá trị các căn số sau:
1.
3
A 1 i 3
= +

2.
4
B 1 i
= −

3.
3
D 1 i
= − +

1.2, Chứng minh rằng:
1.
z 1 z 1 z argz
− ≤ − +
2.
n
ế
u Rez > 0 , Rea > 0 thì
a z

a z
−
+
< 1
3. Nếu
1 2
z z 1
= =
và
z 1
≠ ±
thì
1 2
1 2
z z
1 z z
+
∈
+


4.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
Rez 0

≥
thì
1 z
1 z
2
+
+ ≥
5.
Tìm
i
Re(arctane )
ϕ
v
ớ
i
ϕ
nh
ọ
n.
1.3,
Tìm các không điểm và xác định cấp của chúng

1.
( )
(
)
3
2
f z z +1 tanz
=

2.
(
)
2
f z z sinz
=
3.
( )
( )
8
z
f z
z sinz
=
−

4.
3
z
z
f (z)
1 z e
=
+ −

1.4, Tìm tập hợp các điểm z thỏa mãn
1.
1 1
Re

z 2
<

2.
i z
0 arg
z i 2
− π
< <
+

2
3.
1 1 1 1
Re Im
4 z z 2
   
< + <
   
   

1.5, Tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m z th

ỏ
a mãn:
1.
const
ω =

2.
arg const
ω =

3.
(
)
Re ln const
ω =
(ch
ỉ
gi
ả
i trong tr
ườ
ng h
ợ
p
2
z z 1
ω = + −
)
Trong
đ

ó
a.

2
z z 1
ω = + −

b.

1/z
e
ω =
1.6, Tính giá tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ơ
c
ấ
p sau
a)

i
i
ω =

b)

2

( 1)
ω = −

c)

1/i
i
ω =

d)

3 i
(1 i)
−
ω = −
e)

lni
ω =

f)

2i
1 i
2
+
 
ω =
 
 

g)

So sánh
(
)
(
)
2
2 2
a ; a a
α
α α
& trong
đ
ó
a;
α∈


h)

V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a
z

∈

thì
cosz;sinz
∈


1.7, Tính giá tr
ị
c
ủ
a modun c
ủ
a hàm
sin z
ω =
t
ạ
i
z iln(2 5)
= π + +

1.8, gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)

cosz 3
=

b)

sin z 5
=

1.9, Tính t
ổ
ng c
ủ
a các chu
ỗ
i sau
a)

n n 1
n 1
1 1
1 z 1 z
−
≥
 
−
 
+ +
 
∑

3
b)

n
n n 1
n 2
z
(1 z )(1 z )
−
≥
− −
∑

1.10, Tìm bán kính h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a các chu
ỗ
i hàm s
ố
sau
a)

n
n
n 0
(1 i)

z
≥
+
∑

b)

n!
n 0
(2z)
≥
∑

c)

n
n
n 1
z
n
≥
∑

d)

2
n
n
n 1
1

1 z
n
≥
 
+
 
 
∑

e)

2n 1
2n 1
n 0
(2z)
+
+
≥
∑

f)

2
n
n 0
z
n!
≥
∑

1.11, chứng minh đẳng thức
2 2 2
2 2
2 2
W(z) W(z) W(z)
4
z
x y
∂ ∂
+ =
∂
∂ ∂

II, Tích phân hàm biến phức:
1.
C
dz
I
z
=
∫
trong đó
a)
{
}
C z 1/ Imz 0 ; 1 1
= = ≥ =

b)
{

}
C z 1/ Imz 0 ; 1 1
= = ≤ =

c)
{
}
C z 1 ; 1 1
= = =
với điểm đầu của đường tích phân là điểm
z 1
=

d)
{
}
C z 1 ; 1 i
= = − =
với điểm đầu
z 1
=

2.
C
I lnzdz
=
∫
trong đó
a)
{

}
C z 1 ;ln1 0
= = =
với điểm đầu
z 1
=

4
b)
{ }
C z 1 ;lni
2
π
= = =
với điểm đầu
z i
=

3.
C
I (1 i 2z)dz
= + −
∫
theo các đường nối điểm
1
z 0
=
với
2
z 1 i

= +

a) Theo đường thẳng
b) Theo parabol
2
y x
=

4.
z 1 1
dz
I
1
z
2
− =
=
−
∫



5.
2
C
zdz
I
z 9
=
+

∫
trong
đ
ó C là
đườ
ng

a)

z 1 2
− =
;
z
= 4

b)
z 2i 2
− =

c)
z 2i 2
+ =

6.
I =
3
2
C
z 2z 1
dz

(z 1)
+ +
−
∫

trong
đ
ó C là
đườ
ng
z
= 2

7.
2
C
(z 1)
I dz
z 2z 3 2i 3
−
=
− + −
∫

trong
đ
ó C là biên c
ủ
a
đườ

ng
z 1 3
− =

8.
2
C
zdz
I
z 1
=
+
∫
v
ớ
i C trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:

1.
z 1 R
+ =
, R<2
2.
z R
=
, R< 1

III, Chuỗi TayLor và Laurent
3.0 Khai tri
ể
n

TayLor t
ạ
i
z 0
=
và xác
đị
nh bán kính h
ộ
i t
ụ
R c
ủ
a chu
ỗ
i tìm
đượ
c
a)
z
e
f (z)
1 z
=
−

(
n
n n n 1 1
n 0
1
a z ; a a , a 1
n!
−
≥
= + =
∑
)
b)
f (z) z i
= +
trong
đ
ó

1 i
i
2
+
=

5
Tr
ả
l
ờ

i
n
n
n 2
1 i 1z 1.3.5 (2n 3) z
1 ( 1)
2i 2.4.6 (2n) i
2
≥
 
+ −
 
+ + −
 
 
 
 
 
∑

c)
3
f (z) z
= trong
đ
ó
3
i 3
1 1
2

= − +

3.1.
Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Laurent trong các miền đã chỉ ra
:
1.
2z 1
W
(z 1)(z 2)
+
=
− +
trong mi
ề
n
z 1
<
;
1 z 3
< <
; 2 z
< < ∞

2.
2
2
z 2z 5
W
(z 5)(z 2)
− +

=
+ −
trong lân c
ậ
n c
ủ
a z = 2 ;
1 z 2
< <

3.
sin z
W
1 z
=
−
trong lân c
ậ
n
đ
i
ể
m
z 1; z
= = ∞

3.2
.Tìm phần chính trong khai triển Laurent tại điểm z
0
của các hàm số sau:

1.
2
z 1
W
sin z
−
=
v
ớ
i z
0
= 0
2.
z
z
e 1
W
e 1
+
=
−
v
ớ
i z
0
= 0 ;
2 i
± π

IV, Thặng dư và ứng dụng

1)Một số công thức bổ sung
a.

[
]
1
Res f (z);z C
−
= ∞ = −

b.

[ ]
C
1
Res f (z);z f (z)dz
2 i
−
= ∞ =
π
∫

c.

[ ] [ ]
k
k
Res f(z);z a Res f(z);z 0
= + = ∞ =
∑

N
ế
u
f (z)
gi
ả
i tích trong mi
ề
n gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i C tr
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n
đ
i
ể
m b

ấ
t th
ườ
ng
k
a

cô l
ậ
p (k
ể
c
ả

đ
i
ể
m
z
= ∞
)
2)Tính thặng dư của các hàm số tại các điểm bất thường
k
a
cô lập (kể cả điểm
z
= ∞
nếu nó không phải là điểm giới hạn của các cực điểm)

1.

10
7
z
f (z)
(1 z)
=
+
t
ạ
i
đ
i
ể
m
z
= ∞

gợi ý

[
]
[
]
Res f (z); Res f(z); 1
∞ = − −

6
2.

2
f (z) cot z
=
gợi ý

[
]
k
Res f (z);k ( 1) ; k
π = − ∈


3.

1
f (z) sin z.sin
z
=

gợi ý

[
]
[
]
Res f (z);z 0 Res f (z);z 0
= = = ∞ =

4.

1
z
z
f (z) e
+
=
gợi ý

[ ] [ ]
n 0
1
Res f (z);0 Res f(z);
n!(n 1)!
∞
=
= − ∞ =
+
∑

5.
3
sin 2z
W
(z 1)
=
+

6.
2n
n

z
W
(z 1)
=
+

7.
2
1
W
z(1 z )
=
−

8.
1
W
sin z
=

9.
z
W sin
z 1
=
+

3)Tìm và phân loại các điểm bất thường,tìm thặng dư tại đó của các hàm:
1.
3

6
sin z
W
z
=

2.
2z 1
W
(z 1)(z 2)
+
=
− +

3.
2
2
z 2z 5
W
(z 5)(z 2)
− +
=
+ −

4.
2
z 2
W
z 5z 6
−

=
+ +

5.
1
W
(z 2)(z 3)
=
− −

6.
2
1
W
sin 2z
=

4)Dùng thặng dư tính các tích phân sau
:

7
1.
2
z
z 1
2
I e dz
z
=
=

∫

2.
6
z 1
z sin z
I dz
z
=
−
=
∫


3.
2
3
z 1
z 1 1
I (z z 1)e dz
+
+ =
= − +
∫

4.
2
2
z 1
z 2

I (z 2)e dz
+
=
= +
∫


5.
2
xcosxdx
I
x 2x 10
+∞
−∞
=
− +
∫

6.
2
xsin xdx
I
x 2x 10
+∞
−∞
=
− +
∫

7.

2
xsin xdx
I
x 4x 20
+∞
−∞
=
+ +
∫

8.
2
sin xdx
I
(x 4)(x 1)
+∞
−∞
=
− −
∫

V, phép biến đổi z
5.1 Tìm các bi
ế
n
đổ
i z c
ủ
a các dãy sau
1.

n n 1
n
1 1
khi n 0
x
4 4
0 khi n 0
−

   
+ ≥

   
=

   

<


2.
n
n
3
khi n 2
x
4
0 khi n 2

 

≥−

 
=

 

<−


8
3.
n
n
3
n khi n 2
x
4
0 khi n 2

 
≥−

 
=

 

<−


4.
n
n
3
n n khi n 0
x
4
0 khi n 0

 
+ ≥

 
=

 

<


5.
2 n
n
n 3 n khi n 0
x
0 khi n 0

+ ≥


=

<



6.
2
n
n
n 1
khi n 0
x
3
0 khi n 0

+
≥

=


<


7.
n
n
n4 n khi n 0
x

0 khi n 0

+ ≥

=

<



8.
n
n
3
n khi n 0
x
4
0 khi n 0

 
+ ≥

 
=

 

<


5.2.
Tìm biến đổi z ngược của các hàm số sau
:
1.
2
z
f (z) khi z 4
z 5z 4
= >
− +

2.
2
z
f (z) khi z 4
(z 1) (z 3)
= >
− +

3.
2
z
f (z) khi z 4
(z 1) (z 3)
= >
+ +

4.
2
z

f (z) khi z 2
4z 2 3z 1
= >
− +

5.
2
z
f (z) khi z 2
(4z 3)
= >
−

6.
2
2
z 1
f (z) khi z 3
(z 1) (z 2)
+
= >
+ +

9
7.
2
z 1
f (z) khi z 3
(z 2) (z 1)
+

= >
+ −

VI, phép biến đổi Laplace
6.1.
Tìm ảnh của các hàm gốc sau
1.
(
)
(
)
2t
f t t 1 e
= +

2.
f (t) sin t
=

3.
(
)
2t
f t te cos2t
−
=

4.
(
)

(
)
f t 2t 1 cos2t.sint
= +


5.

(
)
(
)
2t
f t 2t 1 e cos2t
= +

6.
t khi 0 t 1
f (t) 2 t khi 1 t 2
0 khi t 2
< <


= − < <


>


7.

2
t 1 khi 1 t 2
f (t)
0 khi t 2

+ < <

=

>



8.
(t )
f (t) e sin(t ) (t )
λ −α
= − α η − α

9.
2
3t khi 0 t 4
f (t) 2t 3 khi 4 t 6
4 khi t 6

≤ <

= − ≤ <



≥


10.
t
2 u
0
x(t) (u u e )du
−
= − +
∫

11.
t
2u
0
x(t) cos(t u)e du
= −
∫

6.2.
Tìm các hàm gốc của các hàm ảnh sau
:
1.
3 2
2p 3
F(p)
p 4p 5p
+
=

+ +

2.
2
1
F(p)
(p 1) (p 2)
=
− +

10
3.
3 3
1
F(p)
p (p 1)
=
−

4.
2
2
5p 15p 11
F(p)
(p 1)(p 2)
− −
=
+ −

5.

p
3
2
e
F(p)
p(p 1)
−
=
+

6.
2
4p 12
F(p)
p 8p 16
+
=
+ +

7.
2
3p 19
F(p)
2p 8p 19
+
=
+ +

8.
2

p 1
F(p)
(p 3)(p 2p 2)
−
=
− + +

9.
3p
2
2
e
F(p)
p
−
=
10.
2 2
1
F(p)
(p p 1)
=
+ +

11.
Tìm nghi
ệ
m c
ủ
a ph

ươ
ng trình Volterra
t
0
y(t u)y(u)du tsin t
− =
∫

6.3.
Ứ
ng d
ụ
ng phép bi
ế
n
đổ
i Laplace,tìm nghi
ệ
m riêng c
ủ
a ph
ươ
ng trình vi phân sau:
1.
t 2t
x 3x 2x e e
−
′′ ′
+ + = + v
ớ

i
x(0) 2;x (0) 3
′
= = −

2.
t
2
4x 4x x e
′′ ′
− + = v
ớ
i
x(0) 1;x (0) 0
′
= =

3.
x 2x 3x tcost
′′ ′
+ + =
v
ớ
i
x(0) 1/ 4;x (0) 0
′
= − =

4.
2t

x 4x 4x (t 1)e
−
′′ ′
− + = − v
ớ
i
x(0) 2;x (0) 0
′
= =

5.
2
x 2x 6t
′′ ′
+ =
v
ớ
i
x(0) 0;x (0) 3 / 2
′
= = −

6.
x 7x (14t 15)
′′ ′
− = − +
v
ớ
i
x(0) 1;x (0) 2

′
= =

7.
2
x 2x 3x 3 7t 3t
′′ ′
+ + = + +
v
ớ
i
x(0) 1 x (0)
′
= − =

11
8.
2
x 3x 2x 2t 1
′′ ′
+ + = +
v
ớ
i
x(0) 4;x (0) 3
′
= = −

9.
y (1 t)y ty 0

′′ ′
+ + + =
v
ớ
i
y(0) 1;y (0) 1
′
= = −

10.
t
0
y (t) y(t) sin t sin(t u)y(u)du
′′
+ = + −
∫
v
ớ
i
y(0) 0;y (0) 1
′
= = −

6.4
Ứ
ng d
ụ
ng phép bi
ế
n

đổ
i Laplace,tính
1.
2t 4t
0
e e
dt
t
+∞
− −
−
∫

2.
2t
o
(t 2)e costdt
+∞
−
+
∫

3.
t
0
e sin3t
I dt
t
+∞
−

=
∫

4.
0
cos6t cos4t
I dt
t
+∞
−
=
∫

5.

6.
t
t
0 0
e sin u
I dudt
u
+∞
−
=
∫ ∫

gợi ý
:
đổ

i th
ứ
t
ự
l
ấ
y tích phân

t
t u
t
0 0 0 u 0
e sin u sin u e sin u
I dudt e dt du du
u u u
+∞ +∞ +∞ +∞
− −
−
 
= = =
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

VII,Phép biến đổi Fourier:
7.1.Tìm bi
ế
n
đổ

i Fourier c
ủ
a các dãy s
ố
và hàm s
ố
sau:
1.
n n 1
n
1 1
khi n 0
x
4 4
0 khi n 0
−

   
+ ≥

   
=

   

<


2.
n

n
3
khi n 2
x
4
0 khi n 2

 
≥−

 
=

 

<−


12
3.
n
n
3
n khi n 2
x
4
0 khi n 2

 
≥−


 
=

 

<−


4.
n
n
n
3 n
khi n 0
x
4
2
0 khi n 0

 
+ ≥

 
=

 

<


5.
2 n n
n
n 3 2 khi n 0
x
0 khi n 0
− −

+ ≥

=

<



6.
n
n
1
n khi n 0
x
4
0 khi n 0

 
≥

 

=

 

<


7.
n
n
n
1 3
khi n 0
x
4
3
0 khi n 0

 
+ ≥

 
=

 

<


8.

[ ]
1 2t 1 khi 0 t 1
f (t)
0 khi t 0,1

− − ≤ ≤

=

∉



9.
( )
t khi 1 t 1
2 t khi 1 t 2
x t
t 2 khi 2 t 1
0 khi t 2
− ≤ <


− < ≤

=

− − − ≤ < −



>


10.
( )
t 1 khi 1 t 0,5
1 khi t 0,5
x t
t 1 khi 0,5 t 1
0 khi t 1
+ − ≤ < −


<

=

− + ≤ <


>



11.
Tìm hàm
f (t)
ch
ẵ
n th

ỏ
a mãn
0
1 khi 0 1
f (u)cos udu
0 khi 1
+∞
− α ≤ α <

α =

α >

∫
qua
đ
ó tính

13
12.
T
ừ
bi
ế
n
đổ
i Fourier c
ủ
a v
ớ

i
x 0
≥
.Tính
2
0
xsin mx
I = dx
x 1
+∞
+
∫

13.
Tìm hàm
f (t)
l
ẻ
th
ỏ
a mãn
đẳ
ng th
ứ
c sau

0
1 khi 0 t 1
f (u)sin(ut)du 2 khi 1 t 2
0 khi t 2

+∞
≤ <


= < ≤


>

∫

14.
Tìm bi
ế
n
đổ
i Fourier theo cosin và sin c
ủ
a

1 khi 0 x 1
f (x)
0 khi x 1
≤ <

=

≥
