Hình 11 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

ThS Đinh Xuân Nhân 0984321969
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm
( )
1; 3A −
, đường thẳng
: 3 1 0d x y− + =
và đường
tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 1 9C x y− + + =
.
a) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép đối xứng Đ
Ox
.
b) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép đối xứng Đ
Oy
.
Giải
a)
 Ảnh của điểm A qua phép đối xứng Đ
Ox
Gọi
( )
' '; 'A x y
là điểm sao cho Đ
Ox
(A) = A’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
( )

' ' 1
' 1;3
' ' 3
x x x
A
y y y
= =
 
⇒ ⇒
 
= − =
 
.
 Ảnh của đường thẳng
: 3 1 0d x y− + =
qua phép đối xứng Đ
Ox
.
Gọi Đ
Ox
(d) = d’.
Gọi
( ) ( )
; , ' '; ' 'M x y d M x y d∈ ∈
sao cho Đ
Ox
(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
' '
' '

x x x x
y y y y
= =
 
⇒
 
= − = −
 
.
( ) ( )
'; ' : 3 1 0 ' 3 ' 1 0 ' 3 ' 1 0M x y d x y x y x y− ∈ − + = ⇒ − − + = ⇒ + + =
.
Vậy
' : 3 1 0d x y+ + =
.
Nhận xét: Đường thẳng d đi qua điểm M(2;1) và có vecto pháp tuyến
( )
1; 3n = −
r
.
Nếu gọi M’ và đường thẳng d’ là ảnh của M và đường thẳng d qua phép đối xứng
Đ
Ox
. Khi đó, đường thẳng d’ đi qua M’ và có vecto pháp tuyến
( )
1; 3n = −
r
. Điều này
có đúng không ? Vì sao ?
 Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng Đ

Ox
.
Cách 1.
Đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 1 9C x y− + + =
có tâm
( )
2; 1I −
và bán kính
3R =
.
Gọi
( )
' '; 'I x y
là điểm sao cho Đ
Ox
(I) = I’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
( )
' 2
' 2;1
' 1
x x
I
y y
= =

⇒


= − =

.
Gọi Đ
Ox
((C)) = (C’).
Đường tròn (C’) có tâm
( )
' 2;1I
và bán kính
3R =
.
( ) ( ) ( )
2 2
' : 2 1 9C x y⇒ − + − =
.
Cách 2.
Gọi Đ
Ox
((C)) = (C’).
Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
; , ' '; ' 'M x y C M x y C∈ ∈
sao cho Đ
Ox
(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
' '
' '

x x x x
y y y y
= =
 
⇒
 
= − = −
 
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
'; ' : 2 1 9 ' 2 ' 1 9 ' 2 ' 1 9M x y C x y x y x y− ∈ − + + = ⇒ − + − + = ⇒ − + − =
.
ThS Đinh Xuân Nhân 0984321969
Vậy
( ) ( ) ( )
2 2
' : 2 1 9C x y− + − =
.
b) Giải tương tự câu a.
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm
( )
2; 5M −
, đường thẳng
: 2 3 0d x y− + =
và đường
tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 1 1C x y+ + + =

.
a) Tìm điểm N có ảnh qua phép đối xứng trục Ox là M.
b) Tìm điểm A có ảnh qua phép đối xứng trục Oy là M.
c) Tìm đường thẳng
∆
có ảnh qua phép đối xứng trục Ox là d.
d) Tìm đường thẳng
1
∆
có ảnh qua phép đối xứng trục Oy là d.
e) Tìm đường tròn (C
1
) có ảnh qua phép đối xứng trục Ox là (C).
Giải
Câu a, c dành cho độc giả.
b) Theo đề bài
( )
2; 5M −
là ảnh của
( )
;A x y
qua phép đối xứng trục Oy.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy:
( )
' ' 2
2; 5
' ' 5
x x x x
A
y y y y

= − = − = −
 
⇒ ⇒ − −
 
= = = −
 
.
d) Theo đề bài
: 2 3 0d x y− + =
là ảnh của
1
∆
qua phép đối xứng trục Oy.
Gọi
( ) ( )
1
; , ' '; 'M x y M x y d∈ ∆ ∈
sao cho Đ
Ox
(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy:
'
'
x x
y y
= −


=


.
( ) ( )
' ; :2 3 0 2 3 0 2 3 0M x y d x y x y x y− ∈ − + = ⇒ − − + = ⇒ + − =
.
Vậy
1
: 2 3 0x y∆ + − =
.
e) Theo đề bài
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 1 1C x y+ + + =
là ảnh của (C
1
) qua phép đối xứng trục Oy.
Gọi
( )
( )
( ) ( )
1
; , ' '; 'M x y C M x y C∈ ∈
sao cho Đ
Oy
(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy:
'
'
x x
y y
= −



=

.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
' ; : 2 1 1 2 1 1 2 1 1M x y C x y x y x y− ∈ + + + = ⇒ − + + + = ⇒ − + + =
.
Vậy
( )
( ) ( )
2 2
1
: 2 1 1C x y− + + =
.
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm
( )
2;4A −
, đường thẳng
: 4 5 0d x y+ + =
và đường
tròn
( ) ( )
2
2
: 2 1C x y+ + =
.
a) Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox, tìm điểm A” là ảnh của A’ qua
phép đối xứng trục Oy.

b) Viết phương trình đường thẳng d” là ảnh của d qua liên tiếp theo thứ tự hai phép
đối xứng trục Oy và trục Ox.
c) Viết phương trình (C”) là ảnh của (C) qua liên tiếp phép đối xứng trục Ox và phép
tịnh tiến
u
T
r
với
( )
2; 3u = −
r
.
Giải.
a) Ta có
( )
' '; 'A x y
là ảnh của
( )
2;4A −
qua phép đối xứng trục Ox.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
( )
' 2
' 2; 4
' 4
x x
A
y y
= = −


⇒ − −

= − = −

.
Theo đề bài
( )
" "; "A x y
là ảnh của
( )
' 2; 4A − −
qua phép đối xứng trục Oy.
ThS Đinh Xuân Nhân 0984321969
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy:
( )
" 2
" 2; 4
" 4
x x
A
y y
= − =

⇒ −

= = −

.
b) Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Gọi

( ) ( )
; , ' '; ' 'M x y d M x y d∈ ∈
sao cho Đ
Oy
(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Oy:
' '
' '
x x x x
y y y y
= − = −
 
⇒
 
= =
 
.
( ) ( )
'; ' : 4 5 0 ' 4 ' 5 0 ' 4 ' 5 0M x y d x y x y x y− ∈ + + = ⇒ − + + = ⇒ − + + =
' : 4 5 0d x y⇒ − + + =
.
Gọi d” là ảnh của d’ qua phép đối xứng trục Ox.
Gọi
( ) ( )
; ', ' '; ' "N x y d N x y d∈ ∈
sao cho Đ
Ox
(N) = N’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
' '

' '
x x x x
y y y y
= =
 
⇒
 
= − = −
 
.
( ) ( )
'; ' ': 4 5 0 ' 4 ' 5 0 ' 4 ' 5 0N x y d x y x y x y− ∈ − + + = ⇒ − + − + = ⇒ + − =
": 4 5 0d x y⇒ + − =
.
c) Gọi (C’) là ảnh của
( ) ( )
2
2
: 2 1C x y+ + =
qua phép đối xứng trục Ox.
Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
; , ' '; ' 'M x y C M x y C∈ ∈
sao cho Đ
Ox
(M) = M’.
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox:
' '
' '
x x x x

y y y y
= =
 
⇒
 
= − = −
 
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
'; ' : 2 1 ' ' 2 1 ' ' 2 1M x y C x y x y x y− ∈ + + = ⇒ + − + = ⇒ + − =
.
Vậy
( ) ( )
2
2
' : 2 1C x y+ − =
.
Theo đề bài (C”) là ảnh của (C’) qua phép tịnh tiến
u
T
r
với
( )
2; 3u = −
r
.
Gọi
( ) ( ) ( ) ( )

; ' , ' '; ' "N x y C N x y C∈ ∈
sao cho
( )
'
u
T N N
r
=
.
Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
u
T
r
:
' ' ' 2
' ' ' 3
x x a x x a x x
y y b y y b y y
= + = − = −
  
⇒ ⇒
  
= + = − = +
  
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
' 2; ' 3 ' : 2 1 ' 2 ' 3 2 1 ' 2 ' 1 1N x y C x y x y x y− + ∈ + − = ⇒ − + + − = ⇒ − + + =
.

Vậy
( ) ( ) ( )
2 2
" : 2 1 1C x y− + + =
.
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng
: 4 5 0d x y+ + =
.
a) Tìm ảnh của các điểm
( ) ( )
2; 3 , 1; 1A B− − −
qua phép đối xứng trục d.
b) Tìm ảnh của đường thẳng
: 3 0x y∆ − + =
qua phép đối xứng trục d.
c) Tìm ảnh của đường tròn
( ) ( )
2
2
: 2 1C x y+ + =
qua phép đối xứng trục d.
Giải
a) Gọi
1
d
là đường thẳng qua
( )
2; 3A −
và vuông góc với
: 4 5 0d x y+ + =

.
( ) ( )
1 1
: 4 2 3 0 : 4 11 0d x y d x y− − + = ⇒ − − =
.
Gọi I là giao điểm của d và d
1
. Giải hệ
39
4 5 0
39 31
17
;
4 11 0 31
17 17
17
x
x y
I
x y
y

=

+ + =


 
⇔ ⇒ −
 

 ÷
− − =
 


= −


.
Gọi
( )
' '; 'A x y
là ảnh của A qua phép đối xứng trục d. Suy ra I là trung điểm AA’.
d
M
A'
A
B
N
H'
M
H
E
F
O
B
C
A
ThS Đinh Xuân Nhân 0984321969
39 44

' 2 2 2
17 17
31 11
' 2 2 3
17 17
I A
I A
x x x
y y y

= − = − =



 

= − = − + = −
 ÷

 

.
Vậy
44 11
' ;
17 17
A
 
−
 ÷

 
.
b) Hướng dẫn: Gọi I là giao của
: 3 0x y∆ − + =
với d. Chọn điểm M tuỳ ý thuộc
: 3 0x y
∆ − + =
. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d. Đường thẳng IM’
là ảnh cần tìm.
c) Hướng dẫn: Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C). Tìm ảnh I’ của I qua
phép đối xứng trục d. Đường tròn (C’) cần tìm có tâm I’ và bán kính R.
Bài 5. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d nhưng nằm cùng phía đối với
d. Tìm M thuộc d sao cho MA + MB bé nhất.
Giải.
Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục d.
Gọi N là điểm tuỳ ý thuộc d. Ta có
' 'NA NB NA NB A B+ = + ≥
.
Suy ra tổng
NA NB+
bé nhất bằng độ dài
'A B
. Khi
đó, N nằm giữa A’B. Mặt khác N lại thuộc đường thẳng
d. Vậy N trùng với M là giao điểm của A’B và d
Vậy M là điểm cần tìm.
Bài 5 này có thể mở rộng thành bài toán sau.
Bài 6. Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên
Ox và điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Gọi A

1
, A
2
lần lượt là ảnh của A qua phép đối xưng trục Ox, Oy. Bằng cách
lập luận tương tự như trên ta sẽ tìm được 2 điểm B, C.
Bài 7. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định và điểm A lưu động. Gọi H là trực
tâm của tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm H khi A lưu động trên (O).
Bài này có nhiều cách giải: dùng phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm. Ở đây,
tôi chỉ trình bày cách dùng phép đối xứng trục:
Giải.
Gọi H’ là giao điểm thứ hai của AH và đường tròn (O).
ThS Đinh Xuân Nhân 0984321969
Xét hai góc
·
BCF
và
·
BAH
có
, CF AB CB AH⊥ ⊥
. Suy ra hai góc
·
BCF
và
·
BAH
có
các cạnh tương ứng vuông góc nên
·
·

( )
1BCF BAH=
.
Mặt khác, vì hai góc
·
BAH
và
·
BCH
cùng chắn cung BH trong đường tròn (O) nên
·
·
( )
2BAH BCH=
.
Từ (1), (2) suy ra
·
·
BCF BCH=
. Khi đó, tam giác HCH’ có CM vừa là đường phân giác,
vừa là đường cao. Suy ra M là trung điểm của HH’.
Vậy H’ là ảnh của H qua phép đối xứng trục BC.
Mặt khác, H’ nằm trên đường tròn (O). Vậy tập hợp điểm H nằm trên đường tròn (I) đối
xứng với đường tròn (O) qua trục BC, ngoại trừ hai điểm B, C.
Các bạn hãy suy nghĩ xem vì sao loại trừ hai điểm B, C ?
ThS Đinh Xuân Nhân