Bài giảng: Phép đối xứng trục (Hình học 11 - Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 11
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH
VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

§3 Phép đối xứng trục


Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.

Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

2

Đ3

phép đối xứng trục
bài giảng theo chơng
chơng trình chuẩn

1. định nghĩa phép đối xứng trục

(a)
Nhắc lại: Điểm M' đợc gọi là đối xứng với điểm M
qua đờng thẳng a nếu a là đờng trung trực của đoạn
M'
M
thẳng MM'.
Trờng hợp đặc biệt, nếu M nằm trên a thì ta xem M đối xứng với chính nó qua a.
Định nghĩa 1: Phép đối xứng qua đờng thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm
M thành M' đối xứng với M qua ®êng th¼ng a.
PhÐp ®èi xøng qua ®êng th¼ng a thêng đợc kí hiệu là Đa.
Vậy, ta thấy:
M' = Đa(M) a là trung trực đoạn MM'.
Hoạt động: Nêu cách dựng điểm M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục a.

Thí dụ 1:
Hình bên là ảnh của ABC qua phép đối
xứng với trục là đờng trung trực của cạnh BC.
A
A'
Ta thấy:
A' = Đa(A); C = Đa(B); B = §a(C)
N

 A'CB = §a(ABC).
M = §a(M); N = §a(N).
M (a)
B
C
Ho¹t động: 1. Qua phép đối xứng trục Đa những điểm nào biến thành chính
nó.
2. Nếu phép đối xứng trục Đ a biến điểm M thành điểm M' thì nó
biến điểm M' thành điểm nào ?
3. Nếu phép đối xứng trục Đa biến hình (H) thành hình (H') thì nó
biến hình (H') thành hình nào ?
2. Định lí

Định lí: Phép đối xứng trục là phép dời hình.
Hoạt động: HÃy chứng minh ®Þnh lÝ.y chøng minh ®Þnh lÝ.

ThÝ dơ 2:
Qua phÐp ®èi xứng trục Đa (a là trục đối xứng), đờng thẳng d biến
thành đờng thẳng d'. HÃy trả lời các câu hỏi sau:
a. Khi nào thì d song song với d'?
b. Khi nào thì d trùng với d'?
c. Khi nào thì d cắt với d'? Giao điểm của d và d' có tính chất gì?
d. Khi nào d vuông góc với d'?
Giải
a. d // a.
b. d a hoặc d a.
c. d cắt a và không vuông góc với a. Khi đó giao điểm của d và d' nằm trên đ ờng
thẳng a.
d. g(d, a) = 450.

3. biẻu thức toạ độ của phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,
Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:
x ' x

.
y '  y
 PhÐp ®èi xøng qua trơc Oy biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:
3


x ' x

y ' y

.

Hoạt động: 1. HÃy chứng minh định lí.y chứng minh các kết quả trên.

2. Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(1; 2) thành điểm nào ?
3. Phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(3; 1) thành điểm nào ?
4. Nêu cách tìm toạ độ điểm M1 là ảnh của điểm M qua phép đối
xứng trục () trong trờng hợp () không trùng với Ox, Oy.

Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d): x + 5y + 2 = 0.
Viết phơng trình ảnh của (d) qua phép đối xứng có trục là:

a. Ox.
b. Oy.
Giải
a. Bằng cách thay y thành y, ta nhận đợc phơng trình đờng thẳng (d1) là ảnh của
(d) qua phép ®èi xøng trơc Ox, cơ thĨ:
(d1): x  5y + 2 = 0.
b. Bằng cách thay x thành x, ta nhận đợc phơng trình đờng thẳng (d2) là ảnh của
(d) qua phÐp ®èi xøng trơc Oy, cơ thĨ:
(d2): x + 5y + 2 = 0  (d2): x  5y 2 = 0.



Hoạt động: Nêu cách tìm phơng trình đờng thẳng (d1) là ảnh của đờng thẳng (d)

qua phép đối xứng trục () trong trờng hợp () không trùng với Ox,
Oy.

Thí dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C1) có phơng trình:
(C1): x2 + y2 4x + 5y + 1 = 0.
Viết phơng trình ảnh của đờng tròn trên qua phép đối xứng có trục Oy.
Giải
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Mỗi điểm M(x, y)(C1') là ảnh của một ®iĨm M0(x0, y0)  (C1) qua phÐp
®èi xøng cã trơc Oy, ta cã:



M 0 (x 0 ; y 0 )  (C1 )



Oy lµ trung trùc cđa M 0 M

x

x
y


2
0

 y

2
0

0



x

0

y



4x

0

 5y

 1 0

0

 (x)2 + y2 – 4(x) + 5y + 1 = 0  x2 + y2 + 4x + 5y + 1 = 0.
Phơng trình (*) chính là phơng trình của (C1').
Cách 2: Đờng tròn (C1) có tâm I1(2;

5
) và bán kính R1 =
2

Đờng tròn (C1') ®èi xøng víi ®êng trßn (C1) qua Oy cã:
 tam I1 '(  2;  5 / 2)

5 2
2
) =

37  (C1'): (x + 2) + (y +
2
b¸n kÝnh R1 ' 
2

 (C1'): x2 + y2 + 4x + 5y + 1 = 0.

(*)

37 .
2






37
2






2

Hoạt động: Nêu cách tìm phơng trình đờng tròn (C1) là ảnh của đờng tròn (C)

qua phép đối xứng trục () trong trờng hợp () không trùng với Ox,
Oy.
4. trục đối xứng của một hình

Định nghĩa 2: Đờng thẳng d đợc gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối
xứng trục Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H.
Thí dụ 5:
Qua phép đối xứng trục Đa.

4


a. Những tam giác nào biến thành chính nó ?
b. Những đờng tròn nào biến thành chính nó ?
Giải
a. Với ABC cân tại A và a là đờng trung trực của BC thì Đa(ABC) = ACB.
b. Mọi đờng tròn đều biến thành chính nó nếu a đi qua tâm của ®êng trßn.
ThÝ dơ 6:
a. ChØ ra trơc ®èi xøng (nÕu có) của mỗi hình sau đây (mỗi hình là một từ bao
gồm một số chữ cái):
MÂM, HOC, NHANH, HE, SHE, COACH, IS, IT, SOS, CHEO
b. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn có trục đối xứng.



Giải
a. Ta có trục đối xứng:

mâm,
he,

hoc,
cheo

nhanh,

b. Giả sử hàm số y = f(x) là hàm số chẵn, khi đó ta có:
f(x) = f(x) đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

bài tập lần 1
Bài tập 1. Cho ABC có BC = a, CA = b, AB = c, p là nửa chu vi, h a là độ dài
đờng cao tõ A. Chøng minh r»ng ha  p( p  a ) .
Bài tập 2. Cho hai điểm B và C cố định nằm trên đờng tròn (O; R) và điểm A
thay đổi trên đờng tròn đó. HÃy dùng phép ®èi xøng trơc ®Ĩ chøng minh r»ng trùc
t©m H cđa tam giác ABC nằm trên một đờng tròn cố định.
Bài tập 3. Cho đờng thẳng (d) và hai điểm A, B cùng phía với (d). Tìm điểm M
trên (d) sao cho MA + MB nhá nhÊt.
Bµi tËp 4. Cho ABC nhọn, D là điểm cố định trên BC. Tìm hai ®iĨm E, F theo
thø tù thc AB vµ AC sao cho DEF cã chu vi nhá nhÊt.
Bµi tËp 5. Cho ABC cân tại A. Một đờng thẳng di động () qua A. Gọi D là điểm
đối xứng của C qua (). Đờng thẳng BD cắt () tại M. Tìm quỹ tích các điểm D và
M.
Bài tập 6. Cho đờng thẳng xx và hai điểm P, Q cùng nằm một phía ®èi víi xx’.


Dùng ®iĨm Axx’ sao cho PAx
= QAx
'.
Bµi tËp 7. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(5; 2). Tìm toạ độ của điểm
M1 là ảnh của điểm M qua phÐp ®èi xøng trơc (d), biÕt:
a. (d)  Ox.
b. (d)  Oy.
c. (d): x  y  1 = 0.
Bài tập 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (C1) có phơng trình:
(C2): x2 + y2 + 10y 5 = 0.
Viết phơng trình ảnh của đờng tròn trên qua phép đối xứng có trục Oy.
Bài tập 9. Cho ABC biết A(2; 1) và hai đờng phân giác trong của góc B, C có
phơng trình (dB): x2y + 1 = 0 vµ (dC): x + y + 3 = 0. Lập phơng trình cạnh BC.
Bài tập 10. Cho hàm số y =

x 1
. Chứng minh rằng đờng thẳng y = x + 2 là trục
x 1

đối xứng của đồ thị hàm số.
Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao.



5


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 800.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
1. định nghĩa phép đối xứng trục

(a)
Nhắc lại: Điểm M' đợc gọi là đối xứng với điểm M qua

M'
đờng thẳng a nếu a là đờng trung trực của đoạn thẳng
M
MM'.
Trờng hợp đặc biệt: nếu M nằm trên a thì ta xem M đối xứng với chính nó qua a.
Định nghĩa 1: Phép đối xứng qua đờng thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm
M thành M' ®èi xøng víi M qua ®êng th¼ng a.
PhÐp ®èi xøng qua đờng thẳng a thờng đợc kí hiệu là Đa.
Vậy, ta đợc:
M' = Đa(M) a là trung trực đoạn MM'.
5. Định lí

Định lí: Phép đối xứng trục là phép dêi h×nh.
6


6. biẻu thức toạ độ của phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,
Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') víi:
 x ' x
.

 y '  y
 PhÐp ®èi xøng qua trơc Oy biÕn ®iĨm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:
x ' x
.

y ' y
7. trục đối xứng của một hình

Định nghĩa 2: Đờng thẳng d đợc gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối
xứng trục Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H.
B. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Tìm phép đối xứng trục biến hình (H1) thành hình (H2).
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép đối xứng trục.
Ví dụ 1:
Cho hai hình vuông ABCD và AMNP có cạnh bằng a. Tìm phép đối
xứng trục biến hình vuông ABCD thành AMNP.



Hớng dẫn: Với hai hình vuông ABCD và AMNP có chung đỉnh A thì CD và MN

Giải

luôn có điểm chung E, từ đó dễ nhận thấy đờng thẳng AE chính là
trục đối xứng của hình phức hợp ABCD.AMNP.

P
Giả sử CD cắt MN tại E, ta đi chøng minh:
S(AE)(ABCD) = APNM.
ThËt v©y:
AED = AEM  M = S(AE)(D).
A
D N
AEC = AEN  N = S(AE)(C).
AEB = AEP P = S(AE)(B).
(d)

E
M
Ví dụ 2:
Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) lần lợt có tâm O1, O2 và Bđều có bánCkính
R. Chứng minh rằng (C 2) là ảnh của (C1) qua phép đối xứng trục (d), với (d) là
trung trực đoạn O1O2.

Hớng dẫn: HÃy đi tìm trục đối xứng biến điểm O thành điểm O và dễ thấy đó
chính là đờng trung trực của đoạn thẳng O O .
Giải
M
M
1

2

1

2

2
Lấy M1 tuỳ ý thuộc (C1) và gọi M2 là ảnh của
1
M qua Sd.
Vì O2M2 và O1M1 đối xứng nhau qua (d), nªn ta
cã:
O1
O2
O2M2 = O1M1.
Ta cã:

(C2)
(C1)
M1(C1)  O1M1 = R O2M2 = R M2(C2)
(d)
Ngợc lại: lấy M2 là một điểm tuỳ ý thuộc (C 2) và gọi M1 là tạo ảnh của nó qua
Sd. Ta có:
M2(C2)  O2M2 = R  O1M1 = R  M1(C1)
VËy (C2) là ảnh của (C1) qua Sd.

Bài toán 2: Giải bài toán định tính.
7


Phơng pháp áp dụng
Ta thờng gặp các dạng yêu cầu sau:
Dạng 1: Chứng minh (H1) là ảnh của (H2) qua phép đối xứng trục Đ a, ta thực
hiện theo các bíc:
Bíc 1:
LÊy ®iĨm M1 t ý thc (H1), ta ®i chứng minh M2 = Đa(M1)
(H2).
Bớc 2:
Ngợc lại, lấy điểm M2 tuú ý thuéc (H2), ta ®i chøng minh
M1 = §a(M2)  (H1).
D¹ng 2: Chøng minh tÝnh chÊt K, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Xác định một hoặc nhiều phép đối xứng trục để thiết lập
mối liên kết giữa c¸c u tè.
Bíc 2:
Sư dơng c¸c tÝnh chÊt cđa phÐp đối xứng trục để giải các
yêu cầu của bài toán.

Ví dô 1:
Cho ABC cã BC = a, CA = b, AB = c, p lµ nưa chu vi, h a là độ dài
đờng cao từ A. Chứng minh rằng ha  p( p  a ) .

 Híng dÉn: §Ĩ chøng minh tÝnh chÊt h

p(p  a) chóng ta ®· sử dụng một
a
phép đối xứng trục (d), tuy nhiên cần phải trả lời ở đây là " Chọn trục
(d) nh thế nào?. Điều này có thể đợc lý giải sơ lợc nh sau:
Liên quan tới đờng cao AH = ha nên cần lựa chọn trục đối xứng
trục (d) đi qua A hoặc H. ở đây, chúng ta chọn (d) đi qua A và
vuông góc với AH để nhận đợc phần tử trung gian quan trọng là
B1C, phần tử này có đợc biểu diễn thông qua b và c hoặc qua a và
ha , từ đó nhận đợc mối liên hệ giữa a, b, c và ha.
Công việc còn lại chỉ là sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam
giác kết hợp với định lý Pitago.
Các em học sinh hÃy trả lời thêm câu hỏi " Có tồn tại phép đối xứng trục
khác (d) không và nếu có thì tính chất của phép đối xứng đó là gì ? ".

Giải
Dựng đờng thẳng (d) qua A song song cới BC. Gọi
B1, C1 lần lợt là điểm đối xứng của B, C qua đờng thẳng
B1
(d).
Ta có:
(d)
AC1 = AC = b,
AB1 = AB = c,
BB1 = CC1 = 2AH = 2ha,

BB'BC.
B
XÐt AB1C, ta cã:
AB1 + AC  B1C = BC 2  BB 12  b + c  a 2  4 h 2a
 ha2 

1
[(b + c) 2a 2] = p(pa)  ha 
4

p( p  a )

C1
A

C

H
, đpcm.

Ví dụ 2:
Cho hai điểm B và C cố định nằm trên đờng tròn (O; R) và điểm A
thay đổi trên đờng tròn đó. HÃy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực
tâm H của tam giác ABC nằm trên một đờng tròn cố định.

Hớng dẫn: Chúng ta đà từng sử dụng phép tịnh tiến để thực hiện bài toán quỹ tích
trên, và để tận dụng kết quả đà biết đó các em chỉ cần tìm trục đối
xứng cho hai đờng tròn (O) và (O').

A

Giải

Giả sử AH cắt đờng tròn tại H'.
Ta có:

H

B
8

C
H'


H'CB = H'AB = HCB H'CH cân tại C
BC là đờng trung trực của H'H H = ĐBC(H').
Và vì H' (O) nên H ĐBC((O)).
Bài toán 3: Giải bài toán định lợng.
Phơng pháp áp dụng
1. Bằng việc thiết lập đợc các phép tịnh tiến thích hợp, ngoài việc chứng minh đợc các tính chất hình học ta còn có thể tính toán đợc các yếu tố trong một hình.
2. Bằng việc lựa chọn phép đối xứng trục thích hợp cho điểm M, ta đa bài toàn giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất về các biểu thức độ dài, khi đó ta cần nhớ các kết quả:
MA + MB AB;
MAMB AB.
Ví dụ 1:
Cho đờng thẳng (d) và hai điểm A, B cùng phía với (d). Tìm ®iĨm M
trªn (d) sao cho MA + MB nhá nhÊt.

 Hớng dẫn: Với yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức là tổng của hai đoạn

thẳng thì khi sử dụng kiến thức của hình học phẳng chúng ta thờng
chuyển nó về dạng có thể áp dụng tính chất tổng hai cạnh trong một
tam giác. Và trong trờng hợp này với điểm M thuộc đờng thẳng (d)
nên chúng ta sÏ lùa chän phÐp ®èi xøng trơc (d) ®Ĩ chun biểu thức
MA + MB thành một biểu thức tơng đơng gắn với điểm M0 đặc biệt
trên (d).

Giải
Gọi A1 là ®iĨm ®èi xøng víi A qua (d). Ta cã:
MA + MB = MA1 + MB A1B.
Vậy, ta đợc:
(MA + MB)Min = A1B,
đạt đợc khi A1, M, B thẳng hàng.

B

A
(d)

M

H

M

A1 phép
Chú ý: Chúng ta sẽ còn gặp lại dạng toán này trong bài toán hệ toạ độ của
đối xứng trục.
Ví dụ 2:

Cho ABC nhọn, D là điểm cố định trên BC. Tìm hai điểm E, F theo
thứ tự thuộc AB vµ AC sao cho DEF cã chu vi nhá nhất.

Hớng dẫn: Với yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa chu vi (lµ biĨu thøc tỉng cđa ba đoạn

thẳng) thì khi sử dụng kiến thức của hình học phẳng chúng ta thờng
chuyển nó về dạng có thể áp dụng tính chất thẳng hàng của một đờng
gấp khúc. Và trong trờng hợp này với hai điểm E, F theo thø tù thc
AB, AC nªn chóng ta sÏ lùa chän các phép đối xứng trục AB, AC để
chuyển biểu thức DE + DF + EF thành một biểu thức tơng đơng gắn
với các điểm D1, D2 theo thứ tự là ¶nh cđa D qua phÐp ®èi xøng trơc
AB, AC..

 Gi¶i
Gäi D1 là điểm đối xứng với D qua AB.
Gọi D2 là điểm đối xứng với D qua AC.
E
Ta có chu vi DEF đợc cho bởi:
D1
CVDEF = DE + DF + EF = D1E + D2F + EF.
B
VËy DEF cã chu vi nhá nhÊt
 D1E + D2F + EF nhá nhÊt EF thuộc đờng thẳng D1D2

A

F

D2

D C

9


E, F theo thứ tự là giao điểm của D1D2 với AB, AC.
Khi đó (CVDEF)Min = D1D2.
Bài toán 4: Tìm tập hợp điểm M.
Phơng pháp áp dụng
Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Tìm một phép đối xứng trục Đa, biến điểm E di động thành điểm M .
Bớc 2:
Tìm tập hợp (H) của các điểm E.
Bớc 3:
Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép đối xứng trục
Đa.
Ví dụ 1:
Cho ABC cân tại A. Một đờng thẳng di động () qua A. Gọi D là điểm
đối xứng của C qua (). Đờng thẳng BD cắt () tại M. Tìm quỹ tích các điểm D và
M.
Giải
a. Tìm tập hợp điểm D: Từ giả thiết suy ra AD = AC
không đổi, do đó quỹ tích các điểm D thuộc đờng tròn
D
A
tâm A, bán kính AC.
M
b. Tìm tập hợp điểm M: Ta có:
()

= MCD
+ MDC
= 2 MDC
= 2 BDC
BMC
B

C


= BAC
không đổi.
Vậy, quỹ tích điểm M thuộc cung tròn chứa góc A của đờng tròn ngoại tiếp
ABC.
Bài toán 5: Dựng hình.
Phơng pháp áp dụng
Ta luôn thực hiện theo 4 bớc đà biết.
Ví dụ 1:
Cho đờng thẳng xx và hai ®iĨm P, Q cïng n»m mét phÝa ®èi víi xx’.


Dùng ®iĨm Axx’ sao cho PAx
= QAx
'.


Híng dÉn: Sư dơng phép tịnh tiến để biến góc PAx
thành P Ax để tËn dơng tÝnh
chÊt ®èi ®Ønh cđa hai gãc, tõ ®ã uy ra P , A, Q thẳng hàng.
Giải
1

1

Phân tích: Giả sử đà dựng đợc điểm Axx sao cho
Q

P

= QAx
'.
PAx
Thực hiƯn phÐp ®èi xøng trơc (xx’).
S(xx’): P  P1,
A
H x
x’
Khi ®ã



PAx = P1 Ax = QAx'  P1, A, Q thẳng hàng.
P1
Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện:
Dựng điểm P1 víi P1 = S(xx’)(P).

 LÊy ®iĨm chung A cđa (xx) và (P1Q).
Khi đó A là điểm phải dựng.
Chứng minh: Theo c¸ch dùng, ta cã:



QAx' = P1 Ax = PAx .
Biện luận: Số nghiệm của bài toán bằng số nghiệm chung của (xx) và (P 1Q)
luôn tồn tại duy nhÊt mét ®iĨm A.
10


Bài toán 6: Hệ toạ độ đối với phép đối xứng trục.
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(5; 2). Tìm toạ độ của điểm
M1 là ảnh cđa ®iĨm M qua phÐp ®èi xøng trơc (d), biÕt:
a. (d)  Ox.
b. (d)  Oy.
c. (d): x  y 1 = 0.

Hớng dẫn: Ta lần lợt:
1. Với các câu a), b) thực hiện tơng tự thí dụ 3.
2. Víi c©u c) ta lùa chän mét trong hai cách sau:
Cách 1: Đi tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của điểm M trên
(d), từ đó suy ra toạ độ của M 1 dựa trên tính chất H là
trung điểm của MM1.
Cách 2: Sử dụng lập luận:


MM1 u d

.

Trung điểm H của MM1 thuộc (d)

Giải
a. Sử dơng c«ng thøc ta cã ngay M1(5; 2).
b. Sư dơng c«ng thøc ta cã ngay M1(5; 2).
c. Ta cã thĨ trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Ta lần lợt:
Gọi () là đờng thẳng thoả mÃn:



Qua M
Qua M(5; 2)  (): x + y  7 = 0.

( ) : 
 () : 
 vtpt n(1; 1)
( )  (d)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) thì (d) () = {H}. do đóH}. do đó
toạ độ của H là nghiệm của hệ phơng trình:

x  y  7 0
 x 4
 
 H(4; 3).

 x  y  1 0
 y 3

V× H là trung điểm của MM1 nên ta đợc M1(3; 4).
Cách 2: Gi¶ sư M1(x; y), ta cã:


1.(x  5)  1.(y  2) 0
MM1  u d (1; 1)

  x  5   y  2 

Trung ®iĨm H cña MM1 thuéc (d)
 2    2   1 0
 


 x  y  7 0
 x 3
 
 M1(3; 4).
 
 x  y 1 0
y 4
Vậy, ta đợc M1(3; 4).
Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (C1) có phơng tr×nh:
(C2): x2 + y2 + 10y – 5 = 0.
ViÕt phơng trình ảnh của đờng tròn trên qua phép đối xøng cã trơc Oy.
Híng dÉn: Thùc hiƯn t¬ng tù thÝ dụ 4.
Giải
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:




11


Cách 1: Mỗi điểm M(x, y)(C2') là ảnh của một ®iĨm M0(x0, y0)  (C2) qua phÐp
®èi xøng cã trơc Oy, ta cã:
 M ( x , y )  (C )


Oy lµ trung trùc cđa M M
 (x)2 + y2 + 10y  5 = 0  x2 + y2 + 10y 5 = 0.
(*)
Phơng trình (*) chính là phơng trình của (C2').
0

0

0

2

0

x

x
y

2
0



0



0

y

y

2
0

10 y

0



5

0

x

Cách 2: Đờng tròn (C2) có tâm I2(0; 5) và bán kính R2 = 30 .
Đờng tròn (C2') đối xứng với đờng tròn (C2) qua Oy cã:
' ( 0;  5)

 tam I

 (C2'): x2 + (y + 5)2 = ( 30 )2

'
30
 b ¸ n kÝnh R
 (C2'): x2 + y2 + 10y – 5 = 0.
VÝ dô 3:
Cho ABC biÕt A(2; 1) và hai đờng phân giác trong của góc B, C có
phơng trình (dB): x2y + 1 = 0 và (dC): x + y + 3 = 0. Lập phơng trình cạnh BC.
Giải
Nhận xét rằng: nếu lấy A 1, A2 theo thứ tự là điểm đối xứng của A qua (d B) và
(dC) thì A1, A2BC.
Vậy, phơng trình đờng thẳng (A1A2) cũng chính là phơng trình đờng thẳng
(BC). Ta lần lợt đi xác định A1, A2:
a. Xác định A1: Gọi (d1) là đờng thẳng thoả mÃn:
qua
A ( 2, 1)


(d1):
(d1): 
( 2,1)
 vtpt a

A
 (d1): 2x + y3 = 0.
(dB)
Gọi E = (d1)(dB), toạ độ điểm E là nghiệm hÖ: (dC)
2 x  y  3  0

 E(1; 1).
x 2 y 1 0
EF
Vì E là tung ®iĨm AA1, do ®ã:
2 x
 x
0

x
B
C

 A1(0; 3).
2 y
 y
3

y
A1
A2
b. Xác định A2: Gọi (d2) là đờng thẳng thoả m·n:
qua A ( 2,  1)



(d2):
 (d2): 
(1,  1)  (d2): xy3 = 0.
 vtpt a
Gäi F = (d2)(dC), toạ độ điểm F là nghiệm hệ:
x y  3 0

 F(0;3).
 x  y  3 0
V× F là tung điểm AA2, do đó:
2 x
x
0

x

A2(2;5).

2 y
y
3
y
Vậy, phơng trình (BC) đợc xác định bởi:
qua A ( 0,3)

(BC): 
 (BC): 4xy + 3 = 0.
(  2,  5)
qua A
2

2

qua A

( d 1 )  ( d B )

B

A1

E

A

A1

E

A

 qua A

( d 2 )  ( d C )

C

A2

F

A

A2

F

A

1

2

VÝ dơ 4:

Cho hµm sè y =

x 1
. Chứng minh rằng đờng thẳng y = x + 2 là trục
x 1

đối xứng của đồ thị hàm số.
Giải
Đờng thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số các đờng thẳng
vuông góc với đờng thẳng y = x + 2 (có dạng y = x + m) nếu cắt đồ thị tại A và
B thì trung điểm I của AB phải thuộc đờng thẳng y = x + 2.
Hoành độ giao điểm A, B là các nghiệm của phơng trình:
x 1
2
x 1 = x + m  x (m2)x1m = 0

(1)
Gi¶ sử xA, xB là các nghiệm của (1) thì:
x
m 2
x

.
x
 m  1
x
A
A

12

B

B


Gọi I là trung điểm của AB, ta có:
I:

xA xB

x I 
2

 y  x  m

I
 I

 I:


x



y



I

I

m 2
2
m 2

2


.

Thay toạ độ của I vào phơng trình đờng thẳng y = x + 2, ta đợc:
m 2
m 2

=
+ 2 0 = 0 (luôn đúng) I thuộc đờng thẳng y = x + 2
2
2

Vậy, đờng thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

bài tập lần 2
Bài tập 1. Cho hai điểm phân biệt A, B. Có những phép dời hình nào biến A thành
A, biến B thành B.
Bài tập 2. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB = AB. Chứng minh rằng có thể tìm
thấy một phép đối xứng trục hoặc hợp thành của hai phép đối xứng trục biÕn A
thµnh A’, biÕn B thµnh B’.
Bµi tËp 3. Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình f khác với phép đồng nhất
sao cho f(A) = A, f(B) = B. Chøng minh r»ng:
a. NÕu ®iĨm M n»m trên đờng thẳng AB thì f(M) = M.
b. f là phép đối xứng qua đờng thẳng AB.
Bài tập 4. Chứng minh rằng:
a. Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một
phép tịnh tiến.
b. Mỗi phép tịnh tiến đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục
có trục đối xứng song song bằng nhiều cách.
Bài tập 5. Gọi a là phân giác ngoài tại A của ABC. Chứng minh rằng với mọi
điểm M trên a chu vi MBC không nhỏ hơn chu vi ABC.
Bài tập 6. Cho elíp (E) với hai tiêu điểm F1, F2. Gọi M là điểm nằm trên (E) nhng
không nằm trên đờng thẳng F1F2 và a là phân giác ngoài tại M của MF1F2. Chứng
minh rằng a chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đờng thẳng a nh thế đợc gọi là tiếp
tuyến của (E) tại điểm M).
Bài tập 7. Cho ABC với I là tâm đờng tròn nội tiếp và P là một điểm nằm trong
tam giác. Gọi A, B, C lần lợt là các điểm đối xứng với P qua các đờng thẳng IA,

IB, IC. Chứng minh rằng các đờng thẳng AA, BB và CC đồng quy.
Bài tập 8. Trong các tam giác có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h, hÃy tìm tam
giác có bán kính đờng tròn nội tiếp nhỏ nhất.
Bài tập 9. Cho ABC nhọn.
a. Tìm ba điểm D, E, F theo thø tù thuéc BC, AB vµ AC sao cho DEF có
chu vi nhỏ nhất.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi DEF theo các cạnh a, b, c của ABC.
Bài tập 10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M1 là điểm đối xứng với
điểm M qua (d), biết:
a. (d) Ox và M(1; 2).
b. (d)  Oy vµ M(2; 3).
c. (d): x  2 = 0 vµ M(1; 1).
d. (d): y + 1 = 0 và M(1; 3).
Bài tập 11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M1 là ®iĨm ®èi xøng víi
®iĨm M qua (d), biÕt:
x 4 t

a. (d): x + y2 = 0 vµ M(1; 1).
b. (d):
và M(3; 1).
y 3 3t
Bài tập 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng thẳng (d1) là ảnh
của đờng thẳng (d): xy + 4 = 0 qua phÐp ®èi xøng víi trơc (), biÕt:
a. ()  Ox.
b. ()  Oy.
c. (): x + y + 3 = 0.
Bài tập 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng thẳng (d1) là ảnh
của đờng thẳng (d) qua phÐp ®èi xøng víi trơc (), biÕt:
13

a. (d): 4xy + 3 = 0 vµ (): xy = 0.
b. (d): 6x3y + 4 = 0 vµ (): 4x2y + 3 = 0.
Bài tập 14. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C) có phơng trình:
(C): x2 + y2  2x  4y + 3 = 0.
Viết phơng trình ảnh của đờng tròn trên qua phép ®èi xøng cã trôc:
a. (d): x  2 = 0.
b. (d): y  1 = 0.
c. (d): x + y  5 = 0.
Bµi tËp 15. Cho hµm sè y = x44x32x2 + 12x1. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm
số có một trục đối xứng thẳng đứng.
hớng dẫn đáp sốp số
Bài tập 1.
Gọi f là phép dời hình thoả mÃn điều kiện đầu bài (tức f(A) = A và
f(B) = B).
Lấy điểm C không thẳng hàng với A, B và giả sử f(C) = C, khi đó chỉ có thể
xảy ra một trong hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Nếu C C thì f là phép đồng nhất.
Trờng hợp 2: NÕu C  C’ th×
ABC = ABC’  C và C đối xứng đờng thẳng AB.
Tức f là phép đối xứng qua đờng thẳng AB.
Bài tập 2.
Ta xét các trờng hợp:
Trờng hợp 1: Nếu A A và B B thì phép đối xứng trục AB thoả mÃn điều
kiện đầu bài.
Trờng hợp 2: Nếu A A thì gọi a là trung trực của đoạn AA, ta có ngay:
Đa(A) = A và Đa(B) = B1.
Khi đó:
Nếu B B1 thì phép đối xứng trục Đa thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Nếu B B1 thì gọi b là trung trực của đoạn B1B, ta có ngay:

Đb(A) = A và Đb(B1) = B.
Tức hợp thành của hai phép đối xứng trục Đa và Đb thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Bài tập 3.
a. Với điểm M nằm trên đờng thẳng AB và f(M) = M, ta có:
f(AB) = AB và giữ nguyên thức tự các bộ ba điểm (A, B, M), (A, B, M’).
Ngoµi ra:
AM AM '
 M M.

BM BM '
b. Với điểm N không nằm trên đờng thẳng AB và f(N) = N, ta có:
N N, vì nếu trái lại thì f là phép đồng nhất, mâu thuẫn.
ABN = ABN N và N đối xứng đờng thẳng AB.
Vậy f là phép đối xứng qua đờng thẳng AB.
Bài tập 4.
a. Gọi Đa, Đb theo thứ tự là các phép đối xứng trục a, b có a // b và f là hợp thành
của Đa và Đb.
Với hai điểm A, B theo thứ tự thc a, b sao cho AB vu«ng gãc víi a.
Víi điểm M bất kì, giả sử Đa(M) = M1 và §b(M1) = M2.
a
b
Ta cã nhËn xÐt:





MM 2 = MM1 + M1M 2 = 2 O1M1 + 2 M1O 2
M O1 M 1 O2 M 2








= 2( O1M1 + M1O 2 ) = 2 O1O 2 = 2 AB .
A
B


VËy, phÐp biến hình biến M thành M2 là một phép tịnh tiÕn T theo vect¬ v = 2 AB .

14




b. Với phép tịnh tiến T theo vectơ v , lấy đờng thẳng a vuông góc với v và gọi
b T1  (a) , ta cã ngay:
2

v

Tv § b ( Đa ) .
Và vì có nhiều cách chọn đờng thẳng a nên có nhiều phép đối xứng trục Đ a và
Đb có hợp thành là Tv .
Bài tập 5.
Gọi C1 là điểm đối xứng với C qua
M

C
phân giác ngoài AM cña gãc A, ta cã:
MB + MC = MB + MC1
H
 BC1 = AB + AC1 = AB + AC
 MB + MC + BC  AB + AC + BC, đpcm.
B
A
C1
Chú ý: Trong nhiều tài liệu tham khảo, ví dụ trên đợc phát biểu dới dạng thu
gọn: Lấy một điểm M trên đờng phân giác ngoài góc A của ABC.
Chøng minh r»ng MB + MC > AB + AC”. Và kết quả của ví dụ này
sẽ đợc sử dụng cho các bài toán khác.
Bài tập 6.
Giả sử elíp (E) có độ dài trục lớn bằng 2a, khi đó:
(a)
M
MF1 + MF2 = 2a (theo định nghĩa elíp).
M

Khi đó, với điểm M bất kì nằm trên a thì:
MF1 + MF2 MF1 + MF2 = 2a.
DÊu “=” chØ x¶y ra khi M M.
F1
F2
Nh vậy, với mọi điểm M khác M trên a ta luôn có:
MF1 + MF2 > = 2a M' (E) a chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất.
Bài tập 7.
Bạn đọc tự vẽ hình
Ta xét các trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu P trùng I thì các đờng thẳng AA, BB và CC đồng quy tại I.

Trờng hợp 2: Nếu P nằm trong góc AIB
thì ta gọi PA, PB, PC là các điểm đối xứng với

P theo thứ tự qua các cạnh BC, CA, AB, ta có nhận xét với cách đặt PAB
và

PAI
:



AA ' P AP  PAA

P
' 2  2.
C
C
 'AP A
 'AC  CAP

 'AC  CAP

A
A
    2 2  2.
B

(1)

(2)

B

 'AP , kÕt hỵp víi APC = APB suy ra AA là đTừ (1) và (2) suy ra PC AA ' A
B
ờng trung trực của đoạn PBPC.
Chứng minh tiếp tuyến ta cũng có:
BB là đờng trung trực của đoạn PAPC.
CC là đờng trung trực của đoạn PAPB.
Từ đó, suy ra các đờng thẳng AA, BB và CC đồng quy tại I.


Các trờng hợp P nằm trong góc BIC,
đợc chứng minh tơng tự.
AIC
Bài tập 8.
Không mất tính tổng quát ta giả sử ABC có đáy BC = a cố định
và độ dài đờng cao AH = h.
Từ đó suy ra đỉnh A chạy trên đờng thẳng (d) song song và cách BC một
khoảng bằng h.
C'
Ta cã:

SABC =

ah
1
ah = pr  r =
.

2
p
2

A

B

(d)

C15


Tõ ®ã, suy ra:
r nhá nhÊt  ABC cã chu vi nhá nhÊt  AB + AC nhá nhÊt
 A, B, C' thẳng hàng, với C' là điểm đối xứng với C qua (d).
Bài tập 9.
Bạn đọc tự vẽ hình
a. Chúng ta đà biết kết quả rằng với điểm D cố định thì:
(CVDEF)Min = D1D2.
Do đó, khi D di động trªn BC, chu vi DEF nhá nhÊt  D1D2 nhá nhÊt.
Trong AD1D2, ta cã:


AD1 = AD2 = AD, D 1 AD 2 = 2 A
không đổi,
do đó D1D2 nhỏ nhất
AD nhá nhÊt  AD  BC  D lµ chân đờng cao đỉnh A của ABC
Vì vai trò của D, E, F nh nhau nên ta kết luận đợc r»ng chu vi DEF nhá nhÊt khi
vµ chØ khi D, E, F theo thứ tự là chân các đờng cao của ABC.

b. Gọi K là trung điểm của D1D2, ta cã:


D1D2 = 2D1K = 2AD1.sin D 1 AK = 2AD.sin A
.
(1)
Mặt khác ta có:
SABC =

1
1

AD.BC =
AB.AC.sin A
=
2
2

p( p a )( p  b )( p  c)

suy ra:
AD = 2 p(p  a )(p  b )(p  c) .
(2)

a


sin A
= 2 p( p  a )(p  b )(p c) .

bc

Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:
8p( p  a )(p  b )(p  c)
D1D2 =
= (CVDEF)Min.
abc
Bài tập 10.
a. M1(1; 2). b. M1(2; 3).
c. Giả sử M1(x; y), ta cã:
 x 1
2
 x 3

 
 M1(3; 1).
2
y 1
y 1
Vậy, ta đợc M1(3; 1).
d. Gi¶ sư M1(x; y), ta cã:
 x  1
 x  1

 
 M1(1; 5).
y 3
 y  5
2 1
Vậy, ta đợc M1(1; 5).

Bài tập 11.
a. NhËn xÐt r»ng M  (d) nªn M1  M.
b. Gi¶ sư M1(x; y), ta cã:

16

(3)



4(x  3)  3(y  1) 0



 x  3
MM1  u d (4;3)
x 3
4t
 
 

Trung ®iĨm H cña MM1 thuéc (d)
 y 7
 2
y  1
 2 3 3t
Vậy, ta đợc M1(3; 7).
Bài tập 12.
a. (d1): x + y + 4 = 0. b. (d1): x + y  4 = 0.
c. NhËn xÐt r»ng (d) vuông góc với () nên phép đối xứng qua trục () biến đờng

thẳng (d) thành chính nó, tức (d1): xy + 4 = 0.
Bµi tËp 13.
a. NhËn xÐt r»ng (d)() = {H}. do đóI}, khi đó toạ độ điểm I lµ nghiƯm cđa hƯ:
 4 x  y  3 0

 I(1;1).
 x  y 0
LÊy ®iĨm A(0; 3)(d), gäi H là hình chiếu vuông góc của A lên (), ta cã:
 (AH)  ( )  (AH): x + y + C = 0.
 A  (AH)  3 + C = 0  C = 3.
VËy (AH): x + y3 = 0. Khi đó toạ độ điểm H lµ nghiƯm cđa hƯ:
x  y  3 0

x  y 0

H( 3 ; 3 ).
2

2

Gọi A1 là điểm ®èi xøng víi A qua ()  H lµ trung điểm AA1 A1(3; 0).
Đờng thẳng (d1) đợc cho bởi:
(d1):

qua

qua

I (  1,  1)
A 1 (3, 0 )

 (d1):

y 1
x 1
=
 (d1): x4y3
3 1
1

=0
b. NhËn xÐt r»ng (d)//(), khi đó viết lại phơng trình hai đờng thẳng dới dạng:
(d): 2xy + 4 = 0 vµ (): 2xy + 3 = 0.
3

2

Khi ®ã (d1): 2xy + C = 0, víi C đợc xác định bởi:
5
C = 1 (Cd + C)  3 = 1 ( 4 + C)  C =
.

3
5
Vậy, phơng trình đờng thẳng (d1): 2xy +
= 0.
3
2

2

2

3

Bài tập 14.
Đờng tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 2 đợc viết lại dới
dạng:
(C): (x 1)2 + (y2)2 = 2.
a. Ta cã thÓ lùa chän mét trong các cách sau:
Cách 1: Với mỗi M0(x0; y0)(C) sẽ:
M(x; y)(C) sao cho M ®èi xøng víi M0 qua ®êng thẳng x = 2
x, y thoả mÃn:
(x 0  1) 2  (y 0  2) 2 2
(4  x  1) 2  (y  2) 2 2


  x 0 4  x
 x 0  x 4
 y y
 y y
 0
 0
 (x3)2 + (y2)2 = 2.
Vậy phơng trình đờng tròn (C): (x3)2 + (y2)2 = 2.
17


Cách 2: Đờng tròn (C') đối xứng với đờng tròn (C) qua (d) có bán kính R = 2 và
tâm I’(x; y) tho¶ m·n:

 x 1
2
 x 3

 
 I’(3; ).
2
y 2
y 2
Vậy, ta đợc:
tâm I '(3;2)
(C’): 
 (C'): (x3)2 + (y2)2 = 2.
b¸n kÝnh R  2
b. Ta cã thĨ lùa chän mét trong c¸c cách sau:
Cách 1: Với mỗi M0(x0; y0)(C) sẽ:
M(x; y)(C) sao cho M đối xứng với M0 qua đờng thẳng y = 1
  x, y tho¶ m·n:
(x 0  1) 2  (y 0  2) 2 2
(x  1) 2  (2  y  2) 2 2


  x 0 x
 x 0 x
 y  y 2
 y  y 2
 0
 0
2
2

 (x1) + y = 2.
Vậy phơng trình đờng tròn (C): (x1)2 + y2 = 2.
Cách 2: Đờng tròn (C') đối xứng với đờng tròn (C) qua (d) có bán kính R = 2 và
tâm I’(x; y) tho¶ m·n:
 x 1
 x 1

 
 I’(1; ).
y 2
y 0
2 1
Vậy, ta đợc:
tâm I '(1;0)
(C’): 
 (C'): (x1)2 + y2 = 2.
b¸n kÝnh R 2
c. Đờng tròn (C') đối xứng với đờng tròn (C) qua (d) có bán kính R = 2 và tâm
I(x; y) thoả mÃn:


1(x 1) 1(y 2) 0
II'  u d (1;  1)

  x  1   y  2 

Trung ®iĨm H cđa II ' thuéc(d)
 2    2   5 0
 



 x  y  1 0
 x 3
 
 
 I’(3; 4).
 x  y  7 0
y 4
Vậy, ta đợc:
tâm I '(3;4)
(C):
(C'): (x3)2 + (y  4)2 = 2.
b¸n kÝnh R  2
Bµi tËp 15.
x = 1.

18