Phương trình lượng giác trong đề thi đại học

I. BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Thí dụ 1.
33 2
2(sin cos3 cos sin3 ) 3sin 2 .xx xx x+=

(,
2
xk
π
=
,
62
xm
ππ
= +
, ).km∈

Thí dụ 2.
2 2 44
23
sin cos cos sin .
36 4
x x xx
ππ
  
+ + −= − +
  
  

(,
6

xk
π
π
=±+
).k ∈

Lưu ý: Nếu trong phương trình có các số hạng bậc hai dạng
2
sin ( );u
α
+
2
cos ( )u
β
+
ta thường làm như sau:
- Sử dụng công thức hạ bậc để đưa các số hạng bậc hai về bậc nhất của
cos
góc nhân đôi.
- Sử dụng công thức biến tổng thành tích để rút gọn và quy về phương trình cơ bản hoặc đơn giản hơn.
Công thức:
44 22
cos sin cos sin cos2 .xx xx x−=−=

Thí dụ 3.
2(cos2 sin3 ) 5(cos3 sin2 ) 0.xx xx++ −=

( 2,
2
xk

π
π
=−+
23 2
,
5 10 5
xm
απ π
=−++
, ).km∈
2
(cos ,
29
α
=
5
sin ).
29
α
=

Lưu ý: Giải PT
(sin cos ) (sin cos ) 0au vbv u++ +=
bằng cách đặt
22
cos ;
a
ab
α
=

+
22
sin ;
b
ab
α
=
+
22
0,ab+≠

đưa về dạng
sin( ) cos( ) 0.uv
αα
++ −=

(A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng
(0;2 )
π
của phương trình

cos3 sin3
5 sin cos2 3.
1 2sin2
xx
xx
x
+

+=+


+


12
5
(, )
33
xx
ππ
= =
.
(A-2003)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2 .
1 tan 2
x
x xx
x
−= + −
+

(,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

(A-2009)
(1 2sin ) cos
3.
(1 2sin )(1 sin )
xx
xx
−
=
+−

2
(,
18 3
xk
ππ
=−+
).k ∈

(B-2003)
2
cot tan 4sin 2 .
sin2
xx x
x
−+ =

(,
3
xk

π
π
=±+
).k ∈

(B-2004)
2
5sin 2 3(1 sin )tan .x xx−= −

( 2,
6
xk
π
π
= +
5
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2006)
cot sin 1 tan tan 4.
2
x
xx x


++ =



(,
12
xk
π
π
= +
5
,
12
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2009)
3
sin cos sin2 3cos3 2(cos4 sin ).x xx x x x+ +=+

( 2,
6
xk
π
π
=−+

2
,
42 7
xm
ππ
= +
, ).km∈

(D-2002) Tìm
x
thuộc đoạn
[ ]
0;14
nghiệm đúng của phương trình:

cos3 4cos2 3cos 4 0.x xx− + −=

(,
2
x
π
=
3
,
2
x
π
=
5
,

2
x
π
=
7
).
2
x
π
=

(D-2005)
44
3
cos sin cos sin 3 0.
4 42
xx x x
ππ
  
+ + − − −=
  
  

(,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

(D-2007)
2
sin cos 3cos 2.
22
xx
x

++ =



( 2,
2
xk
π
π
= +
2,
6
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2009)
3cos5 2sin3 cos2 sin 0.x xxx− −=

(,

18 3
xk
ππ
= +
,
62
xm
ππ
=−+
, ).km∈

(D-2010)
sin2 cos2 3sin cos 1 0.x x xx− + − −=

( 2,
6
xk
π
π
= +
5
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

II. ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA

Thí dụ 4. Chứng minh rằng nếu cả ba góc của tam giác
ABC
cùng là nghiệm của phương trình sau thì
ABC
là
tam giác đều:
tan 2sin2 2 3.xx+=


Lưu ý: Nếu trong phương trình có
tan (2 ) 0a u bf u c+ +=
trong đó
f
là một trong các hàm số
sin,
cos,
tan,
cot,

thì đặt
tantu=
và biến đổi phương trình theo công thức
2
2
sin2 ;
1
t
u
t
=

+
2
2
1
cos2 ;
1
t
u
t
−
=
+
2
2
tan2
1
t
u
t
=
−
về phương
trình bậc 2 hoặc 3 đối với
.t

Thí dụ 5.
33
3
1 sin cos sin2 .
2

xx x++ =

( 2,
2
xk
π
π
=−+
2,xm
ππ
= +
, ).km∈

Lưu ý: Nếu đặt
sin costxx= +
thì
2
sin 2 1;xt= −
2
1
sin .cos .
2
t
xx
−
=

Nếu đặt
sin costxx= −
thì

2
sin2 1 ;xt= −
2
1
sin .cos .
2
t
xx
−
=

Trong cả 2 trường hợp, NHẤT THIẾT phải đặt và thử lại điều kiện
2.t ≤

Thí dụ 6.
3
sin .sin2 sin3 6cos .xx x x+=

( arctan 2 ,xk
π
= +
,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

Lưu ý: Nếu trong PT chỉ có các số hạng bậc nhất và bậc ba đối với

sin x
và
cos ,x
ta có thể chia hai vế của
phương trình cho
3
cos x
hoặc
3
sin x
để đưa PT đã cho về PT bậc ba của
tan x
hoặc
cot .x

III. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Thí dụ 7. Giải phương trình:
sin sin2
1.
sin3
xx
x
+
= −

(,
2
xk
π
π

= +
).k ∈

Lưu ý: Công thức
sin3 sin (2cos 1)(2cos 1) 4sin sin sin .
33
xxx x x x x
ππ
  
= + −= + −
  
  

cos3 cos (1 2sin )(1 2sin ) 4cos cos cos .
33
xx x x x x x
ππ
  
=− += + −
  
  

Thí dụ 8.
2sin 2 cos 3sin 2 0.
4
x xx
π

− + + +=




( 2,
6
xk
π
π
=−+
7
2,
6
xm
π
π
= +
2,
2
n
π
π
−+
2,p
ππ
+
, , , ).kmnp∈

Lưu ý: Nếu trong phương trình có số hạng dạng:

2
sin sin ;a xb xc++

2
cos cosa xb xc++
thì lưu ý cách phân
tích thành tích:
2
12
( )( ).at bt c a t t t t+ += − −

Thí dụ 9.
2sin 3cos 2tan 3cot 5 0.xxxx+ + + +=

1
( arccos 1 2 ,
4
2
xk
π
π

=± −+


3
arctan ,
2
xm
π
=−+
, ).km∈

Lưu ý: Các hệ thức hay dùng:
(sin tan 1) (cos cot 1) (sin cos sin cos ) ;
cos sin
ab
ax x b x x x x xx
xx

+ ++ + += + + +


(tan sin 1) (cot cos 1) (sin cos sin cos ) .
cos sin
ab
axx bxx xxxx
xx

− ++ − += + − +



(A-2005)
22
cos 3 cos2 cos 0.xx x−=
(
,
2
xk
π
=
).k ∈

(A-2006)
66
2(cos sin ) sin cos
0.
2 2sin
x x xx
x
+−
=
−

5
( 2,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

(A-2007)
22
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 .xx xx x+ ++ =+

(,
4
xk
π
π

=−+
2,
2
xm
π
π
= +
2,xp
π
=

, , ).kmp∈

(A-2008)
11 7
4sin .
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π

+=−




−



(,
4
xk
π
π
=−+
,
8
xm
π
π
=−+
5
,
8
xp
π
π
= +
, , ).kmp∈

(A-2010)
(1 sin cos2 )sin
1
4
cos .

1 tan
2
x xx
x
x
π

++ +


=
+

( 2,
6
xk
π
π
=−+
7
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

(A-2011)
2

1 sin 2 cos2
2sin sin2 .
1 cot
xx
xx
x
++
=
+

(,
2
xk
π
π
= +
2,
4
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2002)
2222
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 .xxxx−=−

(,
9

k
x
π
=

,
2
m
x
π
=
, ).km∈

(B-2005)
1 sin cos sin2 cos2 0.xx x x++ + + =

(,
4
xk
π
π
=−+
2
2,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

(B-2007)
2
2sin 2 sin7 1 sin .xx x+ −=

(,
84
xk
ππ
= +
52
,
18 3
xm
ππ
= +
, ).km∈

(B-2008)
3 3 22
sin 3cos sin cos 3sin cos .x x x x xx−= −

(,
42
k
x
ππ
= +
,
3

xm
π
π
=−+
, ).km∈

(B-2010)
(sin2 cos2 )cos 2cos2 sin 0.x xx x x+ + −=

(,
42
xk
ππ
= +
).k ∈

(B-2011)
sin 2 cos sin cos cos2 sin cos .xx xx x x x+ = ++

( 2,
2
xk
π
π
= +
2
,
33
xm
ππ

= +
, ).km∈

(D-2003)
2 22
sin tan cos 0.
24 2
xx
x
π

− −=



( 2,
2
xk
π
π
= +
,
4
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2004)

(2cos 1)(2sin cos ) sin2 sin .x x x xx− +=−

( 2,
3
xk
π
π
=±+
,
4
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2006)
cos3 cos2 cos 1 0.x xx+ − −=

(,xk
π
=
2
2,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

(D-2008)
2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cos .x xx x+ +=+

2
( 2,
3
xk
π
π
=±+
,
4
xm
π
π
= +
, ).km∈

(D-2011)
sin2 2cos sin 1
0.
tan 3
x xx
x
+ −−
=
+

( 2,

3
xk
π
π
= +
).k ∈

IV. ĐÁNH GIÁ HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Thí dụ 10.
2
(cos4 cos2 ) 5 sin3 .xx x−=+

( 2,
2
xk
π
π
= +
).k ∈

Lưu ý: Các BĐT thường dùng để ước lượng:
sin 1;x ≤
cos 1;
x
≤
22
sin cos .a xb x a b+ ≤+

Nếu
,mn

là các số tự nhiên lớn hơn 2 thì
22
sin cos sin cos 1.
mn
xxxx± ≤+ =

(A-2004) Cho
∆
ABC
không tù, thỏa mãn điều kiện
cos2 2 2 cos 2 2 cos 3.ABC++=
( 90 , 45 )A BC= = =

.