Dạy học bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trường trung học phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy
giáo Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà. Thầy đã tận tình hƣớng dẫn và giúp đỡ em thực
hiện đề tài, hồn thành khóa luận.
Em cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy cơ giáo khoa Tốn
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ em hồn thành khóa luận này.
Do đây là lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
thời gian và năng lực cịn có những hạn chế, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhƣng
khơng tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc sự góp ý của các Thầy
cơ và các bạn để khóa luận đƣợc hồn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Lan Hƣơng


LỜI CAM ĐOAN

Với sự hƣớng dẫn tận tình của Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà, sau một thời gian
nghiên cứu và thực hiện đề tài, tơi đã hồn thành khóa luận của mình. Để thực
hiện đề tài, tơi đã sử dụng và tham khảo các kết quả của các nhà khoa học, một
số sách tham khảo về bất đẳng thức. Tôi xin cam đoan khóa luận với đề tài “ Dạy
học bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trƣờng trung học phổ thơng theo
phƣơng pháp dạy học tích cực” là nghiên cứu của tơi, khơng trùng lặp với bất kỳ
khóa luận nào khác.

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Lan Hƣơng

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU TỐN HỌC
BBT: Bảng biến thiên
GV: Giáo viên
GTNN: Gía trị nhỏ nhất
HS: Học sinh
PPDH: Phƣơng pháp dạy học
THPT: Trung học phổ thông
VT: Vế trái

 f a, b, c  f a, b, c  f b, c, a  f c, , b, a .
cyc


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..................................... 3
1.1. Phƣơng pháp dạy học tích cực ............................................................... 3
1.2. Lý luận chung về bài toán ...................................................................... 7
1.3. Những kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức ............................ 9
CHƢƠNG 2. VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC
VÀO DẠY HỌC BÀI TỐN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở
TRƢỜNG THPT ......................................................................................... 13
2.1. Phƣơng pháp tích cực vận dụng trong chứng minh bất đẳng thức ...... 13
2.2. Vận dụng phƣơng pháp tích cực trong chứng minh bất đẳng thức ...... 18
2.2.1. Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào các bất đẳng
thức cơ bản .................................................................................................. 18
2.2.2. Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào hàm số ................ 28

2.2.3. Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào cách đặt ẩn
phụ ............................................................................................................... 47
2.2.4. Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách kết hợp
nhiều phƣơng pháp khác nhau .................................................................... 51
2.2.5. Khai thác các bài toán chứng minh bất đẳng thức ............................ 54
KẾT LUẬN ................................................................................................. 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 65


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Toán học có vai trị rất quan trọng trong q trình hình thành và phát triển
tƣ duy của học sinh. Trong toán học phổ thơng, các bài tốn bất đẳng thức chiếm
vị trí đặc biệt quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi tuyển sinh các
cấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp Quốc Gia, Quốc Tế… và thƣờng
xuất hiện dƣới dạng là bài tốn khó nhất trong đề. Đề bài của bài toán bất đẳng
thức tuy đƣợc phát biểu hết sức ngắn gọn, sáng sủa, đẹp đẽ nhƣng học sinh lại
gặp rất nhiều khó khăn khi đi tìm lời giải và càng khó khăn hơn trong kỹ năng
khai thác chúng. Trƣớc những vấn đề trên tơi nhận thấy cần đi tìm những thuật
giải, những hƣớng đi cụ thể để giải quyết các vấn đề đó. Nhƣng chúng ta đã biết
khơng có một chìa khố vạn năng nào có thể “mở khố” đƣợc mọi bài tốn.
Trong khi đó việc giảng dạy tốn học, làm cho học sinh giải quyết đƣợc vấn đề
đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh cũng nhƣ khai thác đƣợc các
bài tốn đó là rất cần thiết.
Bất đẳng thức là một trong những nội dung hay của Toán phổ thông, cũng
là một nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh. Nhìn bất đẳng

thức dƣới nhiều phƣơng diện khác nhau giúp học sinh linh hoạt trong lựa chọn
hình thức thể hiện nội dung này. Điều đó kích thích tƣ duy biện chứng, tƣ duy
sáng tạo cho các em.
Tuy nhiên, bất đẳng thức cũng là một nội dung khó, nếu khơng đổi mới
phƣơng pháp dạy học thì có thể dẫn đến tình trạng truyền thụ một chiều. Định
hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học hiện nay là tích cực hóa việc học của ngƣời
học. Để giải quyết mâu thuẫn trên đây ngƣời thầy cần tăng cƣờng giao lƣu giữa
thầy và trị trong q trình dạy học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ
duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dƣỡng
phƣơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho các em. Có nhƣ vậy
mới có thể vừa tích cực hóa đƣợc việc học của ngƣời học vừa rèn luyện đƣợc
tính linh hoạt nhìn nhận một vấn đề theo nhiều phƣơng diện khác nhau, nhằm
nâng cao khả năng tƣ duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dƣỡng niềm đam mê
toán học cho các em học sinh.
Từ những lý do trên, đề tài đƣợc chọn là : “Dạy học bài toán chứng minh
bất đẳng thức ở trường trung học phổ thơng theo phương pháp dạy học tích cực”

1


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu là vận dụng một số phƣơng pháp dạy học tích cực
trong dạy học bài tốn chứng minh bất đẳng thức cho học sinh THPT.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu về phƣơng pháp dạy học gợi mở vấn đáp, phát hiện và giải

quyết vấn đề.
- Vận dụng các phƣơng pháp dạy học tích cực trong dạy học bài toán
chứng minh bất đẳng thức ở trƣờng THPT.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu.
Đối tƣợng nghiên cứu: Các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trƣờng
trung học phổ thông.
Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp các bài toán thƣờng gặp về bất đẳng thức
ở trƣờng trung học phổ thông.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lý luận.
Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hƣớng cho
việc nghiên cứu; phân tích và tổng hợp những quan điểm dựa trên các tài liệu về
tâm lý học, giáo dục học, phƣơng pháp dạy học mơn Tốn và các tài liệu về bất
đẳng thức.
5. Ý nghĩa của đề tài.
Góp phần đổi mới phƣơng pháp giảng dạy, phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo cho học sinh. Từ đó nâng cao chất lƣợng dạy và học bất đẳng thức
ở trƣờng THPT.

2


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phƣơng pháp dạy học tích cực
1.1.1. Phƣơng pháp dạy học tích cực là gì?
a. Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học

Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy và học đã đƣợc xác định trong Nghị
quyết Trung ƣơng 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ƣơng 2 khóa VIII (12
- 1996), đƣợc thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12 - 1998), đƣợc cụ thể hóa trong
các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15 (4 - 1999). Luật
Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: "Phƣơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học
tập cho học sinh".
Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hƣớng tới hoạt động học tập
chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động.
b. Phƣơng pháp dạy học tích cực
Phƣơng pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ rút gọn,
đƣợc dùng ở nhiều nƣớc để chỉ những phƣơng pháp giáo dục, dạy học theo
hƣớng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của ngƣời học. "Tích cực" trong
PPDH - tích cực đƣợc dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái nghĩa với
không hoạt động, thụ động chứ khơng dùng theo nghĩa trái với tiêu cực.
PPDH tích cực hƣớng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận
thức của ngƣời học.
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy chỉ đạo cách học,
nhƣng ngƣợc lại thói quen học tập của trị cũng ảnh hƣởng tới cách dạy của thầy.
Chẳng hạn, có trƣờng hợp học sinh địi hỏi cách dạy tích cực hoạt động nhƣng
giáo viên chƣa đáp ứng đƣợc, hoặc có trƣờng hợp giáo viên hăng hái áp dụng
phƣơng pháp dạy học tích cực nhƣng khơng thành cơng vì học sinh chƣa thích
ứng, vẫn quen với lối học tập thụ động. Vì vậy, giáo viên phải kiên trì dùng cách
dạy hoạt động để dần dần xây dựng cho học sinh phƣơng pháp học tập chủ động
một cách vừa sức, từ thấp lên cao.Trong đổi mới phƣơng pháp dạy học phải có sự
hợp tác cả của thầy và trò, sự phối hợp nhịp nhàng hoạt động dạy với hoạt động
học thì mới thành công. Nhƣ vậy, việc dùng thuật ngữ "Dạy và học tích cực" để
phân biệt với "Dạy và học thụ động".

1.1.2. Đặc trƣng của các phƣơng pháp dạy học tích cực
a. Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh

3


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

Trong phƣơng pháp dạy học tích cực, ngƣời học - đối tƣợng của hoạt động
"dạy", đồng thời là chủ thể của hoạt động "học" - đƣợc cuốn hút vào các hoạt
động học tập do GV tổ chức và chỉ đạo, thơng qua đó tự lực khám phá những
điều mình chƣa rõ chứ khơng phải thụ động tiếp thu những tri thức đã đƣợc GV
sắp đặt. Đƣợc đặt vào những tình huống của đời sống thực tế, ngƣời học trực tiếp
quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩ
của mình, từ đó nắm đƣợc kiến thức kĩ năng mới, vừa nắm đƣợc phƣơng pháp
"làm ra" kiến thức, kĩ năng đó, khơng rập theo những khn mâu sẵn có, đƣợc
bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo. Dạy theo cách này thì GV khơng chỉ giản
đơn truyền đạt tri thức mà cịn hƣớng dẫn hành động. Chƣơng trình dạy học phải
giúp cho từng HS biết hành động và tích cực tham gia các chƣơng trình hành
động của cộng đồng.
b. Dạy và học chú trọng rèn luyện phƣơng pháp tự học
Phƣơng pháp tích cực xem việc rèn luyện phƣơng pháp học tập cho HS
không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêu
dạy học. Phải quan tâm dạy cho HS phƣơng pháp học ngay từ bậc Tiểu học và
càng lên bậc học cao hơn càng phải đƣợc chú trọng. Trong các phƣơng pháp học
thì cốt lõi là phƣơng pháp tự học. Nếu rèn luyện cho ngƣời học có đƣợc phƣơng
pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lịng ham học, khơi dậy
nội lực vốn có trong mỗi con ngƣời, kết quả học tập sẽ đƣợc nhân lên gấp bội. Vì

vậy, ngày nay ngƣời ta nhấn mạnh mặt hoạt động học trong qúa trình dạy học, nỗ
lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang tự học chủ động, đặt vấn đề
phát triển tự học ngay trong trƣờng phổ thông, không chỉ tự học ở nhà sau bài lên
lớp mà tự học cả trong tiết học có sự hƣớng dẫn của GV.
c. Dạy và học coi trọng hƣớng dẫn tìm tịi
Thơng qua hƣớng dẫn tìm tịi, GV sẽ giúp các em phát triển kĩ năng giải
quyết vấn đề và khẳng định HS có thể xác định đƣợc phƣơng pháp học thông qua
hoạt động. Dấu hiệu đặc trƣng này khơng chỉ đặc biệt có hiệu quả với HS lớn
tuổi mà còn áp dụng đƣợc cho cả HS nhỏ tuổi nếu có tài liệu cụ thể và sự quan
tâm của GV. Kinh nghiệm cho thấy đây còn là cách để ngƣời học tìm lời giải đáp
cho các vấn đề đặt ra. Về phía ngƣời dạy cần có sự hƣớng dẫn kịp thời giúp cho
sự tìm tịi của ngƣời học đạt kết quả tốt.
d. Tăng cƣờng học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác
Trong một lớp học mà trình độ kiến thức, tƣ duy của học sinh khơng thể
đồng đều tuyệt đối thì khi áp dụng phƣơng pháp tích cực buộc phải chấp nhận sự
phân hóa về cƣờng độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, nhất là khi bài học
đƣợc thiết kế thành một chuỗi cơng tác độc lập. Áp dụng phƣơng pháp tích cực ở
trình độ càng cao thì sự phân hóa này càng lớn. Việc sử dụng các phƣơng tiện

4


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

cơng nghệ thơng tin trong nhà trƣờng sẽ đáp ứng yêu cầu cá thể hóa hoạt động
học tập theo nhu cầu và khả năng của mỗi học sinh. Tuy nhiên, trong học tập,
không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều đƣợc hình thành bằng những hoạt
động độc lập cá nhân.

Trong nhà trƣờng, phƣơng pháp học tập hợp tác đƣợc tổ chức ở cấp nhóm,
tổ, lớp hoặc trƣờng. Đƣợc sử dụng phổ biến trong dạy học là hoạt động hợp tác
trong nhóm nhỏ 4 đến 6 ngƣời. Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất
là lúc phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phối
hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung.
Trong nền kinh tế thị trƣờng đã xuất hiện nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia,
liên quốc gia, năng lực hợp tác phải trở thành một mục tiêu giáo dục mà nhà
trƣờng phải chuẩn bị cho HS.
e. Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò
Trong dạy học, việc đánh giá HS khơng chỉ nhằm mục đích nhận định
thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo điều kiện
nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy. Trong phƣơng pháp
tích cực, GV phải hƣớng dẫn học sinh phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điều
chỉnh cách học. GV cần tạo điều kiện thuận lợi để HS đƣợc tham gia đánh giá lẫn
nhau. Tự đánh giá đúng và điều chỉnh hoạt động kịp thời là năng lực rất cần cho
sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trƣờng phải trang bị cho HS. Theo hƣớng
phát triển các phƣơng pháp tích cực để đào tạo những con ngƣời năng động, sớm
thích nghi với đời sống xã hội, thì việc kiểm tra, đánh giá không thể dừng lại ở
yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đã học mà phải khuyến khích
trí thơng minh, óc sáng tạo trong việc giải quyết những tình huống thực tế
Từ dạy và học thụ động sang dạy và học tích cực, GV khơng cịn đóng vai
trị đơn thuần là ngƣời truyền đạt kiến thức, GV trở thành ngƣời thiết kế, tổ chức,
hướng dẫn các hoạt động độc lập hoặc theo nhóm nhỏ để HS tự lực chiếm lĩnh
nội dung học tập, chủ động đạt các mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ theo yêu
cầu của chƣơng trình. Trên lớp, HS hoạt động là chính, GV có vẻ nhàn nhã hơn
nhƣng trƣớc đó, khi soạn giáo án, GV đã phải đầu tƣ công sức, thời gian rất
nhiều so với kiểu dạy và học thụ động mới có thể thực hiện bài lên lớp với vai trò
là ngƣời gợi mở, xúc tác, động viên, cố vấn, trọng tài trong các hoạt động tìm tịi
hào hứng, tranh luận sơi nổi của HS. GV phải có trình độ chun mơn sâu rộng,
có trình độ sƣ phạm lành nghề mới có thể tổ chức, hƣớng dẫn các hoạt động của

HS mà nhiều khi diễn biến ngoài tầm dự kiến của GV.

5


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

Nhƣ vậy, PPDH tích cực chú trọng đến việc tích cực hóa hoạt động học
tập của HS, thơng qua sự tổ chức hoạt động học của giáo viên cho HS. Yếu tố
quyết định đến sự thành công của dạy và học theo PPDH tích cực là GV phải
hƣớng dẫn HS có thể tự mình tìm tịi, khám phá ra tri thức, vận dụng và sáng tạo
để làm phong phú vốn tri thức của mình.
1.1.3. Các phƣơng pháp dạy học tích cực cần đƣợc phát huy ở trƣờng THPT
1.1.3.1. Phƣơng pháp gợi mở vấn đáp
a. Phƣơng pháp dạy học gợi mở - vấn đáp
Là quá trình tƣơng tác giữa GV và HS thông qua hệ thống các câu hỏi và
câu trả lời tƣơng ứng về một chủ đề nhất định đƣợc GV đặt ra. Qua việc trả lời hệ
thống câu hỏi dẫn dắt của GV, HS đƣợc thể hiện suy nghĩ, ý tƣởng của mình, từ
đó khám phá và lĩnh hội đối tƣợng học tập. GV giống nhƣ ngƣời tổ chức sự tìm
tịi, cịn HS giống nhƣ ngƣời tự lực phát hiện kiến thức mới, HS có đƣợc niềm
vui của sự khám phá trƣởng thành thêm một bƣớc về trình độ tƣ duy.
b. Quy trình thực hiện
- Trƣớc giờ học
- Trong giờ học
- Sau giờ học
c. Ƣu điểm
- Kích thích tính tƣ duy độc lập của HS, dạy HS cách tự suy nghĩ đúng
đắn.

- Lôi cuốn HS tham gia học tập, tạo khơng khí lớp học sơi nổi, sinh động,
kích thích hứng thú học tập và lịng tự tin của HS.
- Tạo điều kiện HS giúp đỡ lẫn nhau trong học tập.
- GV thu nhận nhiều thông tin phản hồi từ phía ngƣời học.
d. Hạn chế: Khó soạn thảo, địi hỏi GV phải chuẩn bị cơng phu nếu khơng kiến
thức sẽ thiểu tính hệ thống.
1.1.3.1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Phƣơng pháp dạy học mà ngƣời thầy tổ chức cho HS luôn đứng trƣớc tình
huống vấn đề về những nội dung tốn học, tạo động lực cho HS tìm tịi, sáng tạo
những con đƣờng để giải quyết vấn đề đó. Từ đó, HS tìm ra và tích lũy tri thức
một cách tích cực, chủ động, sáng tạo. Vì tƣ duy chỉ xuất hiện khi gặp tình huống
có vấn đề (Rubinstein). Ngƣời GV giống nhƣ một đạo diễn vừa tạo ra tình huống
có vấn đề, vừa hƣớng dẫn HS chủ động giải quyết vấn đề.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có các đặc điểm sau:
HS đƣợc đặt vào các tình huống có vấn đề chứ không phải đƣợc thông
báo tri thức dƣới dạng có sẵn.

6


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

HS hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri
thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề, chứ không phải
nghe thầy giảng một cách thụ động.
Mục đích của dạy học khơng chỉ làm cho HS lĩnh hội đƣợc kết quả của
quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà cịn làm cho họ có khả năng tự tiến
hành quá trình nhƣ vậy.

Căn cứ vào mức độ độc lập của HS trong quá trình phát hiện và giải quyết
vấn đề, ngƣời ta chia thành các cấp độ sau:
+ Tự nghiên cứu vấn đề
+ Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề
+ Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề
Quy trình thực hiện:
B1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
B2: Tìm giải pháp
B3: Trình bày giải pháp
B4: Nghiên cứu sâu giải pháp
1.2. Lý luận chung về bài toán
1.2.1. Bài toán và lời giải bài toán
1.2.1.1. Bài tốn
Theo J.Pơlia: bài tốn là việc đặt ra sự tìm kiếm có ý thức các phƣơng tiện
thích hợp để đạt mục đích xác định, nhiều khi trơng thấy rõ ràngnhuwng không
đạt đƣợc ngay.
Hai yếu tố cấu thành lên bài tốn:
- Mục đích xác định.
- Sự địi hỏi thực hiện mục đích.
1.2.1.2. Lời giải
Lời giải bài tốn là một tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các thao tác cần thiết để
đạt mục đích bài tốn.
Ta đồng nhất các khái niệm bài giải, cách giải, đáp án đều theo nghĩa lời giải
ở trên.
Bài tốn có thể có một lời giải, nhiều lời giải hoặc khơng có lời giải.
Giải đƣợc bài tốn đƣợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải
hoặc lý giải đƣợc rằng bài tốn khơng giải đƣợc.
1.2.2. Phân loại giải bài tốn và phƣơng pháp giải toán
1.2.2.1. Phân loại bài toán

7


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

Có nhiều cách để phân loại các bài tốn. Thơng thƣờng phân loại bài tốn
theo nhiều phƣơng pháp khác nhau để tiện mục đích sử dụng các bài tốn đó.
a. Phân loại theo hình thức
Dựa vào kết luận của bài toán
- Toán chứng minh: Là những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể
hiện rõ mục đích cuối cùng của mục đích bài tốn.
- Tốn tìm kiếm (tốn tìm tịi): Bài tốn mà trong kết luận của nó chƣa thể
hiện rõ kết luận cuối cùng của mục đích bài tốn.
b. Phân loại theo phƣơng pháp giải toán
Dựa vào thuật toán chung để giải bài toán.
- Bài tốn có angorit giải: Những bài tốn có thuật tốn chung để giải cho
lớp các bài toán chứa bài toán đó.
- Bài tốn khơng có angorit giải: Những bài tốn mà khơng có một thuật
tốn chung nào để giải đƣợc lớp các bài toán chứa bài toán đã cho.
Chú ý: Số lƣợng các bài tốn khơng có angorit giải là rất lớn so với các
bài tốn có angorit giải.
c. Phân loại theo nội dung
Ngƣời ta căn cứ vào nội dung, lĩnh vực chun mơn của bài tốn để chia
bài tốn thành lĩnh vực chuyên môn nhỏ hơn lĩnh vực chuyên mơn ban đầu.
1.2.2. Phƣơng pháp giải bài tốn
Bốn bƣớc giải bài tốn của J.Pơlia (cho những bài tốn khơng có angorit
giải)
Bƣớc 1: Tìm hiểu đề.

- Hãy xác định yếu tố đã cho và cần tìm (giả thiết, kết luận).
- Xác định yếu tố cố định, không đổi, thay đổi, biến thiên của bài tốn.
- Cái đã cho có đủ để tìm cái cần tìm.
Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng trình giải.
- Phƣơng pháp đi xuôi theo gợi ý của J.Pôlia là xuất phát từ những điều đã
cho (giả thiết) bằng suy luận và suy luận hợp logic từng bƣớc ta rút ra các kết
luận logic cho đến khi tìm đƣợc kết luận logic trùng với kết luận bài tốn thì
dừng.
- Phƣơng pháp đi ngƣợc: Xuất phát từ kết luận bài toán (cái cần tìm) bằng
suy luận hợp logic từng bƣớc đi ngƣợc lên để tìm ra các tiền đề logic của chúng,
cho đến khi tìm đƣợc những tiền đề logic trùng với giả thiết (cái đã cho) thì
dừng.
- Phƣơng pháp sử dụng phép suy đoán: Để giải các bài toán tƣơng đối khó
(khi áp dụng phƣơng pháp đi xi hoặc đi ngƣợc bế tắc) thì ta thƣờng nghĩ tới
các bài tốn có liên quan tƣơng tự đơn giản hơn đã biết cách giải.

8


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

- Sử dụng phƣơng pháp, kết quả của các bài tốn liên quan vào tìm lời giải
bài tốn đã cho.
Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trình giải
Xuất phát từ điều đã cho hoặc đã biết nào đó bằng suy luận hợp logic ta rút
ra đƣợc các kết luận logic mới cho đến khi trùng kết luận bài tốn thì dừng.
Bƣớc 4: Kiểm tra và khai thác bài toán
- Kiểm tra kết quả cuối cùng, các kết quả trung gian và tồn bộ lập luận của

lời giải bài tốn.
- Khuyến khích học sinh tìm cách giải khác nếu có của bài tốn.
- Nghiên cứu các bài tốn có liên quan với bài toán đã cho: Bài toán ngƣợc,
bài toán khái qt hóa, bài tốn tƣơng tự.
1.3. Những kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức
1.3.1. Khái niệm, tính chất bất đẳng thức
a) Quan hệ thứ tự trong R
Trong tập hợp các số thực có quan hệ thứ tự, tức là :
Với mỗi cặp số thực a, b bất kì , ln xảy ra một và chỉ một trong ba khả
năng:
- Hoặc a bằng b , ký hệu a  b
- Hoặc a lớn hơn b , ký hiệu a  b
- Hoặc a nhỏ hơn b , ký hiệu a  b
b) Định nghĩa bất đẳng thức
Giả sử A, B là hai biểu thức (trƣờng hợp đặc biệt A, B có thể là hai số).
Mệnh đề “ A lớn hơn B ”, ký hiệu A  B đƣợc gọi là một bất đẳng thức.
A, B gọi là các vế của bất đẳng thức ấy. Ngƣời ta cũng viết bất đẳng thức dƣới
dạng B  A , đó là mệnh đề “ B nhỏ hơn A ” tƣơng đƣơng với mệnh đề trên.
Nhƣ bất cứ một mệnh đề toán học nào, bất đẳng thức A  B có thể đúng
hoặc sai.
Quy ƣớc khi nói một bất đẳng thức mà khơng chỉ rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng
đó là một bất đẳng thức đúng.
c) Bất đẳng thức suy rộng
Khi so sánh hai biểu thức A và B , nhiều khi chƣa thể kết luận dứt khoát:
A bằng B , A lớn hơn B , A nhỏ hơn B , mà chỉ có thể đƣa ra một kết luận mềm
dẻo hơn, chẳng hạn: A lớn hơn hoặc bằng B .
Do vậy, ngƣời ta sử dụng mệnh đề sau đây dƣới dạng ký hiệu:
A  B : “ A lớn hơn hoặc bằng B ”.
A  B : “ A nhỏ hơn hoặc bằng B ”.

9


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

Các mệnh đề trên cũng đƣợc gọi là bất đẳng thức, rõ hơn: bất đẳng thức suy
rộng, để phân biệt với các bất đẳng thức nghiêm ngặt dạng A  B , A  B .
d) Tính chất bất đẳng thức
Tính chất 1: a  b  a  b  0 .
Tính chất 2:

a  b
a c
b  c

Tính chất 3: a  b  a  c  b  c .
Hệ quả 1: a  b  a  c  b  c .
Hệ quả 2: a  c  b  a  b  c .
Tính chất 4:

a  b
ac bd.
c  d
ac  bc
c0
nếu
c0
ac  bc

Tính chất 5: a  b  

Hệ quả 1: a  b  a  b .
a b
  ; (c  0)
Hệ quả 2: a  b   c c

 a  b ; (c  0)
c c


Tính chất 6: a  b  0  0 

1 1
 .
a b

Tính chất 7: a  b  0  a n  b n n  N * .
Tính chất 8: a  b  a 2n1  b 2n1n  N * .
Tính chất 9: a  b  0 

n

a  n bn  N * .

Tính chất 10: a  b  2n1 a  2n1 b n  N .
Ngồi ra ta cũng có các tính chất tương ứng với các bất đẳng thức suy
rộng.
1.3.2. Phân loại bài toán bất đẳng thức

Phân loại bài toán chứng minh bất đẳng thức theo phƣơng pháp giải.
Để chứng minh bất đẳng thức đại số, các phƣơng pháp phổ biến là:
PP1: Dùng phép biến đổi tƣơng đƣơng.
PP2: Phƣơng pháp phản chứng.
PP3: Dùng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
PP4: Dùng bất đẳng thức tam giác.
PP5: Làm trội.
PP6: Quy nạp toán học.
PP7: Dùng bất đẳng thức Cauchy.
PP8: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski.

10


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

PP9: Biến dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski.
PP10: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng.
PP11: Dùng bất đẳng thức Bernoulli.
PP12: Dùng tam thức bậc hai.
PP13: Phƣơng pháp lƣợng giác.
PP14: Dùng bất đẳng thức Jensen.
PP15: Dùng bất đẳng thức Tsebyshev.
PP16: Dùng hàm số.
PP17: Phƣơng pháp hình học.
1.3.3. Một số khó khăn và sai lầm thƣờng gặp của học sinh khi chứng minh
bất đẳng thức
- Học sinh sử dụng sai quy tắc suy luận trong chứng minh bất đẳng thức.

Ví dụ: Cho a, b, c dƣơng. Chứng minh rằng:

a  b  cb  c  ac  a  b  abc .
Hướng dẫn:
Ta thấy nhiều học sinh làm nhƣ sau:
Áp dụng bất đẳng thức AB   A  B  ta có


2



2



abcbca
2
(a  b  c)(b  c  a)  
 b .
2


2

b  c  a c  a  b   b  c  a  c  a  b 




2

 c2 .



2

c  a  ba  b  c    c  a  b  a  b  c   a 2 .


2


2

Nhân các vế tƣơng ứng ta có đpcm.
Các em đã quên điều kiện là khi nhân các bất đẳng thức cùng chiều này thì
biểu thức ở vế trái phải khơng âm. Nhƣ vậy ta phải xét hai trƣờng hợp:
Trƣờng hợp 1: a  b  c , b  c  a , c  a  b không âm. Sử dụng kết quả
trên
Trƣờng hợp 2: Một trong ba đại lƣợng a  b  c , b  c  a , c  a  b có ít
nhất một đại lƣợng âm. Khi đó có đúng một đại lƣơng âm vì tổng hai đại lƣợng
bất kì dƣơng. Vì vậy a  b  cb  c  ac  a  b  0  abc .
- Học sinh quên điều kiện sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ : Chứng minh a1  a   1 .
4

Nhiều học sinh trình bày nhƣ sau:

11


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: a . 1  a 

a 1 a 1
1
  a(1  a)  .
2
2
4

Các em quên rằng không đủ điều kiện để khẳng định a và 1  a không âm.
2

Ta phải trình bày nhƣ sau: a(1  a)  1   a  1   0 . Bất đẳng thức đúng.


4



2

Ngồi ra, học sinh có thể sai lầm khi sử dụng các phƣơng pháp của giải tích
nhƣ ngộ nhận: tích hai hàm đồng biến là hàm đồng biến, hiệu hai hàm nghịch

biến là hàm nghịch biến,...

12


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

CHƢƠNG 2
VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC
BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT
2.1. Phƣơng pháp tích cực vận dụng trong chứng minh bất đẳng thức
Một nhà khoa học đã nói rằng một phát minh khoa học lớn cho phép giải
quyết một vấn đề lớn, nhƣng ngay cả trong việc giải một bài tốn cũng có ít
nhiều phát minh. Bài tốn mà bạn giải có thể là bình thƣờng nhƣng nếu nó khêu
gợi đƣợc trí tị mị và buộc bạn phải sáng tạo, và nếu tự mình giải lấy bài tốn đó
thì bạn sẽ có thể biết đƣợc cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi.
Những tình cảm nhƣ vậy đến một độ tuổi nào đó, có thể khuấy động sự
ham thích cơng việc trí óc và mãi mãi để lại dấu vết trong cá tính ngƣời làm tốn.
Khi HS đã có sự đam mê đối với tốn học, lúc đó ngƣời thầy giáo hãy chỉ
cho HS một cách học hợp lý. Đứng trƣớc một bài toán, có phải sau khi tìm đƣợc
một lời giải đẹp, trình bày sạch sẽ là gấp sách lại hay không?
Trong dạy học mơn Tốn, GV thƣờng tạo ra các câu hỏi gợi mở để học sinh
phát hiện và giải quyết vấn đề, để tìm cách giải một bài tốn (có thể theo bảng
gợi ý của Polya). Thậm chí, trong q trình tìm lời giải một bài tốn, học sinh có
khi tự đối thoại với chính mình. Các câu hỏi đƣợc lặp lại qua các bài bất đẳng
thức giúp học sinh tập luyện tri thức ăn khớp với tri thức phƣơng pháp. Bất đẳng
thức là một nội dung hay và khó. Nếu khả năng của học sinh còn hạn chế, ngƣời
thầy cần làm cho học sinh có cảm giác rằng tự HS làm đƣợc, do đó thầy phải

giúp đỡ kín đáo mà khơng bắt học sinh lệ thuộc vào mình. Ngƣời thầy phải đặt vị
trí mình là một học sinh, nghiên cứu trƣờng hợp cụ thể của HS, cố gắng hiểu xem
HS nghĩ gì, đặt ra câu hỏi để học sinh có thể tự mình trả lời đƣợc, bằng cách
ngƣời thầy sử dụng những kinh nghiệm của bản thân, nhớ lại những khó khăn và
những thành cơng của mình trong việc giải tốn.
Trong dạy học mơn Tốn nói chung và dạy học bài tập chứng minh bất đẳng
thức nói riêng, yếu tố quyết định đến sự thành công của việc vận dụng phƣơng
pháp dạy học tích cực là hình thành cho học sinh kỹ năng phân tích, tìm ra đƣờng
lối chứng minh và khai thác đƣợc các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
a) Phân tích tìm đƣờng lối chứng minh bài toán bất đẳng thức
Điều quan trọng trong dạy học một bài tốn khơng chỉ là giúp HS tìm ra lời
giải bài tốn đó, mà quan trong hơn cả là giúp cho HS biết cách tự mình tìm ra
lời giải cho các bài tốn có liên quan, thuộc lớp bài tốn đã cho. Để hình thành
cho HS kỹ năng phân tích, tìm ra đƣờng lối chứng minh cho một lớp bài tốn thì

13


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

GV cần hƣớng dẫn HS thực hành thơng qua một số bài toán cụ thể thuộc lớp bài
toán đó.
Trƣớc hết, để chứng minh một bài tốn bất đẳng thức nào đó, ta cần phải
hiểu đƣợc nội dung của nó. Cần tìm hiểu xem bài tốn đã cho những gì? Ta cần
chứng minh điều gì? Với điều kiện đã cho thì ta có thể chứng minh đƣợc bất
đẳng thức đó khơng? Có gì mâu thuẫn khơng?
Tiếp theo, chúng ta hãy nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh. GV hƣớng
dẫn HS bằng cách nêu ra một số câu hỏi gợi mở. Bạn đã từng chứng minh bất

đẳng thức này chƣa? Đã từng chứng minh một bất đẳng thức nào ở dạng hơi
khác, nhƣng tƣơng tự nhƣ thế chƣa? Nhìn vào hai vế của bất đẳng thức, bạn có
nhận xét gì về vai trị của các số tham gia? Các biểu thức ở hai vế của bất đẳng
thức, cùng với mối liên hệ giữa các số tham gia, vai trò của chúng có gợi cho bạn
điều gì khơng? Chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức quen thuộc nào khơng? Có
thể vận dụng kết quả đã biết của bài tốn nào đã chứng minh cho bài tốn này
khơng? Có thể biến đổi, đặt ẩn phụ để đƣa bài toán cần chứng minh về bài toán
quen thuộc, dễ giải quyết hơn khơng? Có thể sử dụng các kiến thức liên quan đến
bất đẳng thức lƣợng giác, bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức hình học,… hay
khơng?...
Khi ngƣời thầy đặt câu hỏi cần nhằm vào hai mục đích: thứ nhất giúp học
sinh giải được một bài toán cụ thể, thứ hai là phát triển những khả năng của học
sinh để họ có thể tự lực giải những bài tốn sau này. Hai mục đích này liên hệ
mật thiết với nhau. Nếu học sinh giải đƣợc bài tốn cụ thể thì từ đó HS cũng có
thể có khả năng giải đƣợc bài toán tổng quát. Nhƣ vậy những câu hỏi mà thầy đặt
ra cho học sinh phải tổng quát và áp dụng vào nhiều trƣờng hợp. Nếu dùng nhiều
lần một câu hỏi, học sinh sẽ chú ý đến nó một cách trực giác và HS có thể tự đặt
ra đƣợc câu hỏi đó trong trƣờng hợp tƣơng tự. Nếu HS có thể tự đặt đƣợc câu hỏi
đó nhiều lần thì HS có thể rút ra đƣợc những ý kiến xác đáng. Ngƣời thầy phải
làm cho học sinh thấm nhuần những câu hỏi và những câu hỏi này sẽ góp phần
phát triển một thói quen của trí óc.
Gợi ý và câu hỏi là các cách GV đứng lớp giúp HS sử dụng vốn hiểu biết
có sẵn về một chủ đề. Gợi ý liên quan đến “các dấu hiệu” về những kinh nghiệm
có sẵn của học sinh. GV gợi ý cho HS, chờ đợi những kiến thức mới, điều này sẽ
khiến trong óc các em nảy ra những dự đốn về những thơng tin mới. Việc đặt ra
các câu hỏi cũng có một chức năng nhƣ vậy. Khi dạy học, cần tập trung vào
những vấn đề quan trọng, trọng tâm chứ không phải là vào những gì bất thƣờng.
Khoảng thời gian “chờ đợi” trƣớc khi tiếp nhận nhận câu trả lời của HS có tác
dụng làm cho hiểu biết của các em sâu sắc hơn.

14


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

Khi thầy hƣớng dẫn HS qua một hệ thống câu hỏi gợi mở, HS từng bƣớc
suy nghĩ trả lời, phát hiện và giải quyết vấn đề, tìm kiếm kiến thức mới. Qua đó
tƣ duy và một số phẩm chất đạo đức nảy nở và phát triển nhƣ tính chủ động, tự
tin, niềm phấn khởi, hứng thú dẫn đến tƣ duy sáng tạo trong việc chọn câu trả lời
chính xác. Tƣ duy và tính cách hầu nhƣ vơ hình, khó thấy nhƣng lại thấm dần
vào trí tuệ, hình thành nên nhân cách ngƣời lao động sáng tạo sau này. Tƣ duy và
tính cách khơng hình thành theo kiểu kiến thức mà thấm dần theo kiểu “lắng
đọng phù sa”, mỗi ngày một ít rất khó thấy, tích luỹ lâu ngày mới thấy rõ, giống
nhƣ từng hạt cát nhỏ li ti coi nhƣ khơng đáng kể, lâu ngày tích lại thành bãi phù
sa. Một vài hạt cát nhỏ thì chẳng có ý nghĩa gì nhƣng bãi cát phù sa thì rất có ý
nghĩa.
Ví dụ: Cho a, b, c là các số dƣơng. Chứng minh rằng:
a
a  8bc
2



b
b  8ca
2



c
c  8ab
2

 1.

Hướng dẫn
+ Bất đẳng thức này có tƣơng tự bất đẳng thức nào đã gặp không?
a b c a  b  c 
  
x y z ax  by  cz
2

Đó là bất đẳng thức

+ Có thể sử dụng kết quả của nó để giải quyết bài tốn không?
a
a 2  8bc



b
b 2  8ca



c
c 2  8ab

a  b  c 2



a a 2  8bc  b b 2  8ca  c c 2  8ab

+ Nhƣ vậy, để chứng minh bài toán, ta cần chứng minh điều gì?
Ta cần chứng minh:

a  b  c 2
a a 2  8bc  b b 2  8ca  c c 2  8ab

1

Hay a a 2  8bc  b b 2  8ca  c c 2  8ab  a  b  c 2
+ Bất đẳng thức này có gần gũi với bất đẳng thức quen thuộc nào không?

Bất đẳng thức BunhiaCopski: ax  by  cz 2  a 2  b 2  c 2 x 2  y 2  z 2 

+ Có thể áp dụng đƣợc bất đẳng thức này không?

a


a 2  8bc  b b 2  8ca  c c 2  8ab

a



2

a(a 2  8bc)  b b(b 2  8ca )  c c(c 2  8ab)



 a  b  c  a 3  b 3  c 3  24abc





2

+ Nhƣ vậy, đến đây để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta cần chứng minh điều
gì?

15


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

Ta cần chứng minh a 3  b 3  c 3  24 abc  a  b  c 3
+ Chứng minh bất đẳng thức trên nhƣ thế nào?

a  b  c 3  a 3  b 3  c 3  3a  b  c ab  bc  ca   3abc
 a 3  b 3  c 3  3.33 abc .33 a 2 b 2 c 2  3abc  a 3  b 3  c 3  24abc

Vậy bất đẳng thức đã cho đã đƣợc chứng minh.
Đẳng thức xảy ra  a  b  c .
b. Khai thác bài tốn chứng minh bất đẳng thức
Hình thành cho HS kỹ năng giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng
thức là thành công bƣớc đầu trong việc vận dụng phƣơng pháp dạy học tích cực
vào dạy học bài toán chứng minh bất đẳng thức. Để đạt đƣợc hiệu quả cao hơn
nữa, GV còn cần phải hƣớng dẫn cho các em biết cách khai thác các bài toán
chứng minh bất đẳng thức, làm cho các em hiểu đƣợc ý nghĩa của việc làm này,
từ đó tự các em nảy sinh trong suy nghĩ sự ham thích, say mê nghiên cứu, tìm tịi,
khai thác sâu hơn các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Khai thác các bài tốn
chứng minh bất đẳng thức có thể là tìm thêm nhiều lời giải cho bài toán của
chúng ta, hoặc cũng có thể là từ bài tốn ban đầu ta hãy sáng tạo thêm nhiều bài
toán mới, là trƣờng hợp đặc biệt, tƣơng tự, hay tổng quát hơn.
 x, y , z  0
 xy  yz  zx  1

Ví dụ: Cho 

Chứng minh rằng
+ Xét x  tan

1
1
1
9


 .
2
2

2
4
( x  y)
( y  z)
( z  x)

A
B
C
; y  tan ; z  tan với A, B, C là ba góc một tam giác.
2
2
2

A
B
C

tan 2 , tan 2 , tan 2  0

Ta có 
tan A . tan B  tan B . tan C  tan C . tan A  1

2
2
2
2
2
2


A
B
A
B
. cos 2
cos 2 . cos 2
1
1
2
2 
2
2.
Khi đó


2
2
( x  y)
 A B
2 C
A
B

cos
sin 2 

 tan  tan 
2
 2 
2

2

cos 2

Từ đó ta có bài tốn
Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
A
B
B
C
C
A
cos 2 . cos 2
cos 2 . cos 2
cos 2 . cos 2
2
2 +
2
2 +
2
2  9.
A
C
B
4
cos 2
cos 2
cos 2
2
2

2

16


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

+ Xét x  cot A, y  cot B, z  cot C . Với A, B, C là các góc trong tam giác ABC.
cot A, cot B, cot C  0
Ta có: 
cot A. cot B  cot B. cot C  cot C. cot A  1
Khi đó
1
1
sin A.sin B


x  y cot A  cot B
sin C

Từ đó ta có bài tốn
Bài 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
2

2

2

9
 sin A. sin B 
 sin B. sin C 
 sin C. sin A 

 
 
  .
4
 sin C 
 sin A 
 sin B 
2

a b 


.
2 2
 sin A. sin B 
 2R 2R   a b .
+ Áp dụng định lý sin ta có : 
 
 c 
4R 2 c 2
 sin C 


 2R 
2

Từ đó ta có bài tốn
Bài 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh
a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2
 2  2  9R 2 .
2
c
a
b

Nhận xét. Đây là một kết quả rất đẹp, khó nhận ra vì 9R2  a 2  b2  c2 với
mọi tam giác.
Bất đẳng thức là một nội dung khó và phƣơng pháp giải rất đa dạng,
chính vì thế nó cũng làm cho nhiều GV phổ thơng khó khăn trong việc dạy học
theo phƣơng pháp tích cực cho HS. Việc đƣa ra đƣợc hệ thống câu hỏi gợi mở,
vấn đáp, phát hiện và giải quyết vấn đề tác dụng tích cực đến tri giác, tƣ duy của
HS. Trí nhớ là hoạt động của phản xạ có điều kiện, thơng tin cần lặp đi lặp lại
nhiều lần mới thành lập được phản xạ có điều kiện. Do đó đƣa ra một hệ thống
câu hỏi gợi mở, vấn đáp, từng bƣớc phát hiện và giải quyết vấn đề tạo cho HS
một thói quen tƣ duy tích cực, chủ động và lặp đi lặp lại theo từng dạng bài toán
là một phƣơng pháp hiệu quả giúp tăng cƣờng sức nhớ, rèn luyện kỹ năng giải
toán.
Điểm quan trọng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề khơng phải là
những câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề. Trong nhiều trƣờng hợp, việc phát
hiện và giải quyết vấn đề của HS có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi
vấn đề chứ không phải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra. Đứng trƣớc nhiều

17

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

bài tốn khó, nhiều khi HS khơng hồn toàn phải sáng tạo cái mới mà phải biết
tổng hợp những kết quả đã học. Những câu hỏi của thầy giáo khơng hẳn là câu
hỏi gợi vấn đề mà có khi nhằm vào mục đích giúp tái hiện lại những kết quả đã
có, nhớ lại những bài tốn phụ, những bổ đề áp dụng giải đƣợc bài toán trƣớc
mắt.
Sự khai thác hiệu quả các bài toán chứng minh bất đẳng thức làm cho các
em thấy đƣợc những vẻ đẹp của các bài tốn này, càng thêm đam mê, u thích
hơn với các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Khi xuất phát từ trong chính suy
nghĩ, ý thức của các em sự say mê, u thích thì việc học Tốn nói chung và học
nội dung bất đẳng thức nói riêng trở lên dễ dàng, hiệu quả. Và khi ấy, chính sự
tích cực, chủ động và sáng tạo của các em trong việc học đã tạo lên thành công.
Thành công ở đây không chỉ là thành công trong một giờ dạy, trong một nội dung
bài học, mà điều quan trọng là đã rèn luyện cho các em tính tích cực, chủ động,
thói quen tƣ duy sáng tạo trong học tập, làm lên những thành công lớn trong việc
học của các em.
2.2. Vận dụng phƣơng pháp tích cực trong chứng minh bất đẳng thức
2.2.1. Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào các bất đẳng thức cơ
bản
2.2.1.1. Các bất đẳng thức cơ bản
a. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm
* Dạng tổng quát: Gỉa sử a1 , a2 ,..., an là n số thực khơng âm. Khi đó ta có:
+ Dạng 1:

a1  a 2  ...  a n n
 a1 a 2 ...a n
n

+ Dạng 2: a1  a2  ...  an  n.n a1a2 ...an
+ Dạng 3:

a1  a 2  ...  a n n
n

 a1 a 2 ...a n

Đẳng thức xảy ra  a1  a2  ...  an  0
* Hệ quả:
n

S
+ Nếu a1  a2  ...  an  S là const thì ta có Max(a1a2 ...an )    xảy ra
n

khi và chỉ khi a1  a2  ...  an 

S
n

+ Nếu a1a2 ...an  P const thì ta có Min(a1  a2  ...  an )  n.n P xảy ra khi
và chỉ khi a1  a2  ...  an  n P
b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
* Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tùy ý a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn , khi đó:

18

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

2
2
2
2
+ Dạng 1: a12  a2  ...  an b12  b2  ...  bn   a b  a b  ... a b 
1 1
2 2
n n

2

+ Dạng 2:
+ Dạng 3:

a
a


b


ab

2
1

2
2
2
2
 a2  ...  an b12  b2  ...  bn  a1b1  a2 b2  ...  an bn

2
1

2
2
 a2  ...  an

2
1

2
2
 b2  ...  bn

Dấu bằng ở dạng 1 và dang 2 xảy ra 

 a2 b2  ...  an bn

a
a1 a 2

 ...  n
b1 b2
bn

a
Dấu bằng ở dạng 3 xảy ra  a1  a 2  ...  n
b1

1 1

b2

bn

0

* Hệ quả:
+ Nếu a1 x1  a2 x2  ...  an xn  c là hằng số thì
2
2
Min( x12  x2  ...  xn ) 

x
x
x
c2
 1  2  ...  n
2
2
2
a1 a 2
an
a1  a 2  ...  a n

2
2
+ Nếu x12  x2  ...  xn  c 2 là hằng số thì

Maxa1 x1  a2 x2  ...  an xn

  c.

2
2
a12  a2  ...  an 

2
2
Mina1 x1  a 2 x2  ...  a n xn    c . a12  a 2  ...  a n 

x
x1 x2

 ...  n  0
a1 a 2
an

x
x1 x2

 ...  n  0
a1 a 2
an

2.2.1.2. Các ví dụ minh họa
a. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
1
a

Ví dụ 1: Cho a  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  a  .
Hướng dẫn:
Sai lầm thƣờng gặp: S  a 

1
1
 2 a.  2  MinS  2
a
a

Nguyên nhân sai lầm: MinS  2  a  1  1 mâu thuẫn với giả thiết a  3
a

Xét sự biến thiên của

a,

1
a

và S  a  1 để dự đoán MinS  2 .
a

Ta có nhận xét rằng: Khi a càng tăng thì

1
càng giảm nhƣng độ tăng của a
a

1
nên khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự
a
10
đốn khi a  3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta nói rằng MinS 
đạt tại
3
a  3.

rất lớn so với độ giảm của

Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kện các số tham gia
phải bằng nhau, nên tại điểm a  3 , ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy

19


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn

1
1
vì 3  . Lúc này ta giả sử dụng bất đẳng thức Cauchy
a

3
a 1
 a 1
cho cặp số  ,  để tại a  3 thì  tức là ta có sơ đồ:
 a
 a 

trực tiếp cho 2 số a và

a 3
  
1 3

a 3 
   9
3 
1  1
a 3


Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ trên ta đƣợc
Lời giải đúng: S  a  1   a  1   8a  2 a . 1  8.3  10 . Với a  3 thì


a

9

a

9

9 a

9

3

10
3

MinS 

Ví dụ 2: Cho a  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  a 

1
a2

Hướng dẫn
Ta có nhận xét khi a tăng thì
giảm của

1
giảm, độ tăng của a lớn hơn so với độ
a2

1
. Do đó a tăng thì S tăng, ta dự đốn S đạt giá trị nhỏ nhất khi
a2

a  2.

Ta có sơ đồ
a 2
  
1 2

a2
   8
4 
1 1
a2 4


Sai lầm thƣờng gặp:
1  a 1  7a
a 1 7a
2
7a
2
7.2 2 7 9
  2 
 2. . 2 




  
2
8 a

8
8
4 4 4
a
8a 8
8.2
8 a  8
9
Với a  2 thì MinS  .
4
9
Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù ta đã biến đổi S theo sơ đồ và MinS  là
4

S a

đáp số đúng nhƣng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số:
“Nếu a  2 thì

2
8a



2
8.2



2

là đánh giá sai”
4

Để điều chỉnh lời giải trên thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao
cho khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
Lời giải đúng: Biến đổi S và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

20


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán

1  a a 1  6a
a a 1 6.2 9
   2 
 3.3 . . 2 
 .
2
8 8 a
8
4
a
8 8 a  8
9
Với a  2 thì MinS  .
4

S a

Ví dụ 3: Cho a, b  0 . Chứng minh rằng:

ab
ab



ab 5

ab 2

Hướng dẫn:
+ Do VT của bất đẳng thức cần chứng minh là biểu thức đối xứng với a và b
nên có thể dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
a  b  0.
2a
 ab
 ab  a
1 2

Ta có sơ đồ: a  b  
    4 .
2 
 ab  a  1
 a  b 2a 2


+ Dựa vào sơ đồ trên, hãy biến đổi VT của bất đẳng thức trên?
Ta có:

ab
ab  a  b
ab  3a  b 




ab a  b  4 ab a  b 
ab



+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dƣơng
ab
ab



ab

ab
, ta có:
4 ab a  b
,

ab  a  b
ab  3a  b 
a  b ab 3a  b  5



 2.
.

 .
 4 ab  a  b  
ab 
2
ab
4 ab a  b
ab


Kết luận: Bất đẳng thức đƣợc chứng minh.
Đẳng thức xảy ra  a  b  0 .
a, b, c  0
. Chứng minh rằng: S  3 a  b  3 b  c  3 c  a  3 18 .
a b  c 1


Ví dụ 4: Cho 

Hướng dẫn:
Sai lầm thƣờng gặp
3

3

3

a  b 11
3
b  c 11
b  c  3 b  c .1.1 
3
c  a 11
c  a  3 c  a .1.1 
3
a  b  3 a  b .1.1 

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta đƣợc:

S

2a  b  c   6 8

3
3

Nguyên nhân sai lầm

21