PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
==========
s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Tên đề tài:
“PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI”
Lĩnh vực/Môn: Toán
Tác giả : Lê Thị Thủy
Chức vụ : Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên



N¨m häc 2012 – 2013
SƠ YẾU LÍ LỊCH
Họ và tên : Lê Thị Thuỷ
Ngày, tháng, năm sinh: 06/11/1976
1
Năm vào ngành: 1997
Chức vụ và đơn vị công tác : Tổ trưởng tổ Tự nhiên trường THCS Cao Dương
Trình độ văn hoá : 12/12
Trình độ ngoại ngữ
Trình độ tin học: chứng chỉ tin học văn phòng.
Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học sư phạm Toán
Hệ đào tạo : Từ xa
Nhiệm vụ được giao : Giảng dạy môn Toán lớp 9A,B ; Dạy Hoá lớp 9A,C
Khen thưởng : Chiến sĩ thi đua cấp cơ sở năm học 2006 – 2007; 2007- 2008;
2008 – 2009; 2009 – 2010; 2010- 2011. Giải ba Hội thi Giáo viên giỏi môn Hoá
học, giải nhì Hội thi Giáo viên giỏi môn Toán cấp huyện các năm học 2009 –
2010; 2012 – 2013. Giải ba Hội thi “ Cô giáo tài năng duyên dáng” cấp huyện
các năm học 2010 – 2011.

NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG
PHÁP GIẢI
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài
2
Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ
bản và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải được
nhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng. Đặc biệt trong mấy năm gần
đây các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao. Trong
đó có một phần kiến thức được vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “Phương trình
nghiệm nguyên”. Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên
quan đến phương trình nghiệm nguyên. Chuyên đề “Phương trình nghiệm
nguyên” là chuyên đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu được,
vận dụng được là vấn đề đáng suy nghĩ của giáo viên. Qua nghiên cứu và giảng
dạy học sinh về “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy đây là vấn đề hay, giúp
học sinh trau dồi tư duy toán học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìm
nhiều lời giải hay cho các bài toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mê
trong học toán. Học sinh nắm chắc về “Phương trình nghiệm nguyên” là chìa
khoá vàng giải được nhiều loại toán khác như: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất,
tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phương trình nghiệm nguyên…
Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy về “Phương trình
nghiệm nguyên” đã được đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội
đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi.
Kinh nghiệm dạy “Phương trình nghiệm nguyên” gồm hai phần chính:
Phần 1: Hướng dẫn giảng dạy phần lý thuyết.
Phần 2: Hướng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phương pháp.
II. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh trường THCS Cao Dương – Thanh Oai – Hà Nội. Đối tượng
khảo sát thực nghiệm: học sinh lớp 9A, 9B của trường.

III. Phương pháp nghiên cứu:
-Tìm hiểu các tài liệu có liên quan
- Tổng hợp tài liệu.
- Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp.
- Kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh.
- Phương pháp đàm thoại.
IV. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:
- Phạm vị thực hiện: Lớp 9A trường THCS Cao Dương – Huyện Thanh Oai –
Thành phố Hà Nội
- Thời gian thực hiện: Năm học 2011- 2012 đến hết năm học 2012 – 2013.
3
Phần II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A – Tình hình thực trạng trước khi nghiên cứu:
* Với yêu cầu của bài toán là tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Hầu
hết học sinh không giải được, số học sinh giải được chỉ chiếm tỉ lệ dưới 36%.
* Những bài toán về giải phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ: Giải các phương trình nghiệm nguyên:
1) 5x - 7y = 15
2) 3x
2
+ 5y
2
= 345
3) x
3
- 7x
2
+ 15x - 25 = 0
4)
1

111
=++
zyx
5) xy - 4x = 35 - 5
Hầu hết học sinh đều bỡ ngỡ không tìm được cách giải, số học sinh giải
được chỉ chiếm rất ít
Nhìn chung các bài toán có liên quan đến giá trị nguyên là những bài toán
khó và mới đối với học sinh. Để học sinh nắm được cách giải các dạng toán này
thì giáo viên phải tổng kết và áp dụng được vấn đề này.
B - Số liệu diều tra trước khi thực hiện đề tài :
Qua kiểm tra 43 học sinh lớp 9B với nội dung bài tập như sau:
“Giải phương trình nghiệm nguyên 5x - 7y =15.
Kết quả điểm bài kiểm tra được ghi lại như sau:
Điểm 0, 1, 2 3, 4 Dưới TB 5, 6 7, 8 9, 10 Trên TB
Số bài 10 21 31 8 3 1 12
Tỷ lệ 23,3% 49,8% 72,1% 18,6% 7% 2.3% 27,9%
C – Nội dung của kinh nghiệm.
* HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÝ THUYẾT THEO THỨ TỰ SAU:
I. Nhắc lại về phép chia hết.
1. Định nghĩa phép chia hết:
a, b
∈
z (b
≠
0)
∃
q, r
∈
Z a = bq + r với 0
≤

r <
b
- Nếu r = 0
⇒
a

b
- Nếu r
≠
0
⇒
a không chia hết cho b
2. Một số tính chất:
∀
a,b,c,d
∈
Z
- Nếu a
≠
0 thì a

a và 0

a
- Nếu a

b và b

c
⇒

a

c
- Nếu a

b và b

a
⇒
a = ± b
4
- Nếu a

b và a

c
⇒
a

BCNN(b; c)
- Nếu a

b, a

c và (b, c) = 1
⇒
a

bc
- Nếu a


b
⇒
ac

b
3. Một số định lí thường dùng.
- Nếu a

c và b

c
⇒
(a ± b)

c
- Nếu a

c và b

d
⇒
ab

cd
- Nếu a

b
⇒
a

n


b
n
( n nguyên dương)
Một số hệ quả áp dụng:
+
∀
a, b
∈
z và n nguyên dương ta có (a
n
– b
n
)

(a – b)
+
∀
a, b
∈
z và n chẵn (n nguyên dương) ta có (a
n
– b
n
)

(a + b)
+

∀
a, b
∈
z và n lẻ (n nguyên dương) ta có (a
n
+ b
n
)

(a + b)
4. Tính chất của số chính phương
- Số chính phương không tận cùng bằng 2; 3; 7; 8.
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p
2
.
- Số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1.
- Số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc dư 1.
- Số chính phương chia cho 8 dư 0, dư 1 hoặc dư 4.
5. Các dấu hiệu chia hết.
+ Dấu hiệu chia hết cho 2:
+ Dấu hiệu chia hết cho 3:
+ Dấu hiệu chia hết cho 4:
+ Dấu hiệu chia hết cho 5:
+ Dấu hiệu chia hết cho 8:
+ Dấu hiệu chia hết cho 9:
+ Dấu hiệu chia hết cho 10:
+ Dấu hiệu chia hết cho 11:
Số có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8.
Số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Số có 2chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.

Số có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0.
Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Số có chữ số tận cùng là 0.
Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và
tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11.
II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên:
+ Tập hợp số nguyên dương Z
+
=
{ }
3;2;1
+ Tập hợp số nguyên âm Z
-
=
{ }
3;2;1
−−−
+ Tập hợp số nguyên Z =
{ }
3;2;1;0;1;2;3 −−−
III. Nhắc lại về phương trình nghiệm nguyên:
5
Giải phương trình nghiệm nguyên F(x,y,z,…) = 0 là tìm tập hợp nghiệm
(x,y,z,…) trong đó x,y,z,…
∈
Z .
* HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP THEO TỪNG PHƯƠNG PHÁP.
I. Phương pháp xét tính chia hết
1. Đưa về phương trình ước số: Đưa phương trình về dạng vế trái là tích

của các đa thức có hệ số nguyên, vế phải là một hằng số nguyên. Để tìm nghiệm
của phương trình ta tìm các ước của hằng số đó.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2xy – 4x + y = 7
Giải
Biến đổi phương trình tương đương (2x + 1)(y – 2) = 5
2x + 1 và y – 2 là các ước của 5, ta có
2x + 1 1 -1 5 -5
y - 2 5 -5 1 -1
x 0 -1 2 -3
y 7 -3 3 1
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x;y) là (0 ; 7), (-1 ; -3), (2 ; 3), (-3 ; 1).
2. Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chất chia hết.
Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
2
– xy = 6x – 5y – 8
Giải
Biểu thị y theo x được (x – 5)y = x
2
– 6x + 8
Với x = 5 ta có 0y = 3, vô nghiệm.
Với x
≠
5 ta có y =
5
86
2
−
+−

x
xx
= x – 1 +
5
3
−
x

Suy ra 3

x – 5 hay
x – 5
∈
Ư(3), ta có :
x - 5 -3 -1 1 3
x 2 4 6 8
y 0 0 8 8
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) là (2 ; 0), (4 ; 0), (6 ; 8), (8 ; 8).
Kinh nghiệm giải : Ta thường sử dụng phương pháp biểu thị một ẩn theo ẩn
còn lại rồi dùng tính chất chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên khi một
6
trong hai ẩn của phương trình có bậc cao nhất là bậc một. Khi đó ta biểu diễn ẩn
này theo ẩn kia rồi giải phương trình.
II. Phương pháp dùng tính chất của số chính phương.
1. Tạo ra bình phương đúng
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2x
2
+ 4x = 19 – 3y
2

.
Giải
Phương trình tương đương với 2(x + 1)
2
= 3(7 – y
2
)
Ta thấy 2(x + 1)
2
chia hết cho 2
⇒
3(7 – y
2
)

2
⇒
(7 – y
2
)

2
⇒
y lẻ
Đồng thời 2(x + 1)
2

≥
0
⇒

3(7 – y
2
)
≥
0
⇒
(7 – y
2
)
≥
0 nên y
2
= 1

⇒
2(x + 1)
2
= 18
⇒
x = 2 hoặc x = 4.
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x;y) là (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1)
2. Xét các số chính phương liên tiếp.
Giữa hai số chính phương liên tiếp không thể có số chính phương nào. Do đó
với mọi số nguyên a và x, ta có:
-
Không tồn tại x để a
2
< x
2
< (a + 1)

2
-
Nếu a
2
< x
2
< (a + 2)
2
thì x
2
= (a + 1)
2
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
4
+ z
4
– y
4
+ 2x
2
z
2
+ 3x
2
+ 4z
2
+ 1 = 0
Giải
Biến đổi y

4
= x
4
+ z
4
+ 2x
2
z
2
+ 3x
2
+ 4z
2
+ 1
= (x
2
+ z
2
+ 1)
2
+ (x
2
+ 2z
2
) = (x
2
+ z
2
+ 2)
2

+ (-x
2
– 3)
Vì x
2
+ 2z
2

≥
0 và - x
2
– 3 > 0
∀
x,z
⇒
(x
2
+ z
2
+ 1)
2

≤
y
4
< (x
2
+ z
2
+ 2)

2
⇒
y
4
= (x
2
+ z
2
+ 1)
2

⇒
x
2
+ 2z
2
= 0
⇒
x = z = 0
⇒
y
4
= 1
⇒
y = 1 hoặc y = -1.
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y; z) là (0 ; 1; 0), (0 ; -1; 0).
3. Sử dụng điều kiện biệt số
∆
là số chính phương
Đối với các phương trình f

),( yx
= 0 với hệ số nguyên có thể viết được dưới
dạng phương trình bậc hai đối với một ẩn, ngoài điều kiện
≥∆
0 muốn phương
trình có nghiệm nguyên còn cần điều kiện
∆
là số chính phương, vì nếu
∆
không là số chính phương thì nghiệm là số vô tỉ. Tuy nhiên điều kiện này là
7
chưa đủ, do đó phải thử giá trị tìm được vào phương trình đã cho hoặc tìm ra cụ
thể nghiệm nguyên của phương trình.
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
2
+ 2y
2
+ 3xy + 2x + 3y + 4 = 0
Giải
Viết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai đối với x :
x
2
+ (3y + 2)x + (2y
2
+ 3y + 4) = 0
∆
= (3y + 2)
2
- 4(2y

2
+ 3y + 4) = y
2
– 12.
Để phương trình có nghiệm nguyên thì y
2
– 12 là số chính phương
Đặt y
2
– 12 = m
2
với m
∈
N, ta có
y
2
– m
2
= 12
⇔
(y + m) (y – m) = 12
⇒
y + m và y – m là các ước của 12.
Đồng thời (y + m) – (y – m) = 2m là số chẵn nên y + m và y – m cùng chẵn
trong đó y + m
≥
y – m. Ta có
y + m 6 -2
y - m 2 -6
y 4 -4

Với y = 4 ta có x
2
+ 14x + 48 = 0. Giải được x
1
= -6, x
2
= -8
Với y = - 4 ta có x
2
- 10x + 24 = 0. Giải được x
3
= 4, x
4
= 6
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) là (-6 ; 4), (-8 ; 4), (4 ; -4),
(6 ; -4)
` 4. Sử dụng tính chất: “Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số
chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0”.
Chứng minh:
Giả sử a(a + 1) = k
2
(1) với a
∈
Z , k
∈
N.
Giả sử a
≠
0, a + 1
≠

0 thì k
2
≠
0. Do k
∈
N nên k > 0
Từ (1) suy ra a
2
+ a = k
2

⇔
4a
2
+ 4a = 4k
2

⇔
4a
2
+ 4a + 1 = 4k
2
+ 1.

⇔
(2a + 1)
2
= 4k
2
+ 1. (2)

Do k > 0 nên 4k
2
< 4k
2
+ 1 < 4k
2
+ 4k + 1. (3)
Từ (2) và (3) suy ra (2k)
2
< (2a + 1)
2
< (2k + 1)
2
. Điều này không xảy ra
Vậy nếu a(a + 1) = k
2
thì một trong hai số a hoặc a + 1 bằng 0.
Ví dụ 6: (Ví dụ 19 trang 22 – Tài liệu “ Phương trình nghiện nguyên và
kinh nghiệm giải” – Vũ Hữu Bình)
8
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
2
+ y
2
+ xy = x
2
y
2
(1)

Giải
Thêm xy vào hai vế ta được
x
2
+ y
2
+ 2xy = x
2
y
2
+ xy.

⇔
(x + y)
2
= xy(xy + 1)
xy và xy +1 là hai số chính phương liên tiếp có tích là một số chính
phương nên tồn tại một số bằng 0.
Nếu xy = 0 thay vào (1) ta có x
2
+ y
2
= 0 nên x = y = 0.
Nếu xy + 1 = 0
⇔
xy = -1 nên (x, y) bằng (1 ; -1) hoặc (-1 ; 1)
Thử lại ta được các cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phương
trình đã cho.
III. Phương pháp dùng bất đẳng thức.
1. Sắp thứ tự các ẩn: áp dụng trong trường hợp các ẩn có vai trò bình

đẳng trong phương trình
Ví dụ 7: (Bài tập 284 Tuyển tập các bài toán chọn lọc –Vũ Dương Thụy,
Trương Công Thành, Nguyễn Ngọc Đạm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
x + y + z = xyz (1)
Giải
Không mất tính tổng quát giả sử 1
≤
x
≤
y
≤
z.
Đặt x = 1 + k, y = 1 + m, z = 1 + n
⇒
0
≤
k
≤
m
≤
n. k,m,n
∈
N
⇒
3 + k + m + n = (1 + k) (1 + m) (1 + n)
= 1 + k + m + n +km + kn + mn + kmn
⇒
km + kn + mn + kmn = 2
Nếu k

≥
1
⇒
km
≥
1,kn
≥
1, mn
≥
1, kmn
≥
1
⇒
VT
≥
4
≠
2
⇒
k = 0
⇒
mn = 2
⇒
nếu m = 1 thì n = 2 vì m
≤
n
⇒
x = 1, y = 2, z = 3.
Ta được cặp nghiệm (x; y; z) = (1 ; 2; 3) và các hoán vị (1; 3; 2) là (2 ; 1; 3),
(2; 3; 1), (3 ; 1; 2), (3 ; 2; 1).

2. Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm: áp dụng
đối với các phương trình có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một
ẩn, ta sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là
≥∆
0. Qua
đó chặn được khoảng giá trị của ẩn còn lại.
9
Ví dụ 8: (Ví dụ 122 trang 70 sách Nâng cao và phát triển toán 9, tập 2 – Vũ
Hưu Bình)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
2
+ y
2
– x – y = xy.
Giải
Viết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai đối với ẩn x ta được
x
2
– (y + 1)x + (y
2
– y) = 0.

∆
= (y + 1)
2
– 4(y
2
– y) = – 3y
2

+ 6y + 1
Để phương trình có nghiệm thì
≥∆
0, tức là: – 3y
2
+ 6y + 1
≥
0
⇔
3(y – 1)
2
≤
4
⇔
(y – 1)
2
≤

3
4
⇔

3
4
1 ≤−y
⇔

3
4
1

3
4
≤−≤− y
⇔

1
3
4
1
3
4
+≤≤+− y
Mà y là số nguyên nên y
∈
{ }
2;1;0
Thay y = 0 ta được x
2
– x = 0 nên x = 0 hoặc x = 1.
Thay y = 1 ta được x
2
– x = 0 nên x = 0 hoặc x = 1.
IV. Phương pháp xét số dư từng vế.
Phương pháp này thường được áp dụng để chứng minh phương trình
không có nghiệm nguyên bằng cách chứng minh số dư trong phép chia hai vế
của phương trình cho cùng một số nào đó khác nhau.
Ví dụ 9 : ( Bài tập 142 trang 54 – “Bài tập nâng cao và một số chuyên đề
toán 9” – Bùi Văn Tuyên).
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x

2
+ 2y
2
+ 2xy – 10yz + 25z
2
= 567
Giải
Biến đổi về phương trình (x + y)
2
+ (y – 5z)
2
= 567
Mỗi số chính phương chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1.
Vế trái là tổng của hai số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư là 0; 1 hoặc 2.
Vế phải chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình vô nghiệm
V. Phương pháp lùi vô hạn.
10
Ví dụ 10: (Ví dụ 20 trang 25 – Tài liệu “ Phương trình nghiện nguyên và kinh
nghiệm giải” – Vũ Hữu Bình)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
3
+ 2y
3
= 4z
3
(1)
Giải
Hiển nhiên x


2. Đặt x = 2x
1
với x
1

là số nguyên. Thay vào (1) rồi chia hai vế
cho 2 được
4x
1
3
+ y
3
= 2z
3
(2)
Do đó y

2. Đặt y = 2y
1
với y
1
là số nguyên. Thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2
được
2x
1
3
+ 4y
1
3
= z

3
(3)
Do đó z

2. Đặt z = 2z
1
với z
1
là số nguyên. Thay vào (3) rồi chia hai vế cho 2
được
x
1
3
+ 2y
1
3
= 4z
1
3
(4)
Như vậy nếu (x; y; z) là nghiệm của (1) thì (x
1

; y
1
; z
1
) cũng là nghiệm của (1)
trong đó x = 2 x
1

, y = 2y
1
, z = 2z
1
.
Lập luận tương tự như trên, (x
2

; y
2
; z
2
) cũng là nghiệm của (1) trong đó x
1
= 2
x
2
, y
1
= 2y
2
, z
1
= 2z
2
.
Cứ tiếp tục lập luận như vậy đi đến x, y, zđều chia hết cho 2
k
với k là số tự nhiên
tùy ý. Điều này chỉ xảy ra khi x = y = z = 0.

Đó là nghiệm duy nhất của (1)
Lưu ý. Phương pháp giải trên là phương pháp lùi vô hạn
VI - Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp loại
trừ.
*Cách giải: - Biện luận để làm ngắn miền nghiệm.
Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 12
x
+ 5
y
= 13
x

*Hướng dẫn:
- Ta thấy x = 2 là nghiệm của PT vì 12
2
+ 5
2
= 13
2
- Biến đổi PT 12
x
+ 5
y
= 13
x

⇔
1)
13
5

()
13
12
( =+
xx
.
+ Nếu x > 2
⇒
x
)
13
12
(
<
2
)
13
12
(
và
x
)
13
5
(
<
2
)
13
5

(
⇒

1)
13
5
()
13
12
( <+
xx
không xảy
ra.
11
+ Nếu x < 2
⇒
x
)
13
12
(
>
2
)
13
12
(
và
x
)

13
5
(
>
2
)
13
5
(
⇒

1)
13
5
()
13
12
( >+
xx
không xảy
ra.
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất.
* HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP THEO TỪNG DẠNG.
I. Phương trình bậc nhất với hai ẩn. Có dạng ax + by = c với nghiệm
nguyên (a, b, c
∈
Z)
Cách giải :
- Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của ẩn.
- Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ, chẳng hạn x, theo

ẩn kia.
- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x.
- Đặt điều kiện để phân số của x bằng một số nguyên t
1
, ta được một
phương trình bậc nhất hai ẩn y và t
1
.
- Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới
dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Ví dụ 12 :
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
3x + 4y = 29
Giải
3x + 4y = 29
⇔
3x = 29 – 4y
⇔
x =
3
2
9
3
429 y
y
y
−
+−=
−
x,y

∈
Z
⇒

3
2 y−
∈
Z
⇒
2 – y = 3t (t
∈
Z)
⇒




−=
+=
ty
tx
32
74

II. Phương trình bậc hai với hai ẩn.
Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x
2
– xy + y
2
= 2x – y (1)

⇔
x
2
- (y + 2)x + (y
2
+ y) = 0 (2)
Điều kiện để phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm là
∆
≥
0.
⇔
-3y
2
+ 4
≥
0
⇔
-3y
2

≥
- 4
⇔
3y
2

≤
4
Do y thuộc Z nên y
{ }

1;0;1
−∈
Với y = 0 thay vào (2) được x
2
– 2x = 0. Ta có x
1
= 0 ; x
2
= 2.
12
Với y = 1 thay vào (2) được x
2
– 3x + 2 = 0. Ta có x
3
= 1 ; x
4
= 2.
Với y = - 1 thay vào (2) được x
2
–x = 0. Ta có x
5
= 0 ; x
6
= 1.
Phương trình có các cặp nghiệm (x, y) là:
(0; 0), (2; 0), (1; 1), (2;1), (0; -1), (1;-1)
Ví dụ 14: Giải PT nghiệm nguyên dương x
2
– 6xy + 13y
2

= 100
x
2
– 6xy + 13y
2
= 100
⇔
x
2
– 6xy + 9y
2
= 100 – 4y
2
⇔
(x – 3y)
2
= 4(25 – y
2
)
0≥

⇒
y
≤
5 và 25 – y
2
là số chính phương.
Thay các giá trị của y, ta có các nghiệm nguyên dương là :
(x ;y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)}
Ví dụ 15: Tìm nghiệm tự nhiên của PT xy

2
+ 3y
2
– x = 108
xy
2
+ 3y
2
– x = 108
⇔
xy
2
+ 3y
2
– x – 5 = 105
⇔
(y
2
– 1)(x + 3) = 105
⇒
y
2
– 1 là ước của 105
Thay vào ta chỉ được y = 6
⇒
x = 0.
Vậy PT có nghiệm tự nhiên là




=
=
6
0
y
x
Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
2
+ 2y
2
– 2xy + 4x – 3y – 26 = 0
⇔
x
2
+ 2(2 – y )x + (2y
2
– 3y – 26) = 0
'
∆
= ( 2 – y)
2
– (2y
2
– 3y – 26) = – y
2
– y + 30
'
∆

≥
0
⇔
– y
2
– y + 30
≥
0
⇔
(y + 6) (y – 5)
≤
0
⇔
– 6
≤
y
≤
5.
Chỉ có hai trường hợp y = – 6 và y = 5 cho
'
∆
là số chính phương.
Thay các giá trị của y vào phương trình tìm và giải được các cặp nghiệm (x, y)
bằng (- 8; -6), (3; 5)
III. Phương trình bậc ba với hai ẩn.
Với dạng phương trình bậc ba với hai ẩn ta thường đặt ẩn phụ x + y = a
hoặc x – y = a và xy = b rồi đưa phương trình có bậc 3 đối với ẩn a bậc 1 đối với
ẩn b, biến đổi đưa về phương trình ước số. Ngoài ra cũng có thể xét các số lập
phương liên tiếp hoặc dùng phương pháp bất đẳng thức.
Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x
3
– y
3
= xy + 25.
Giải
⇔
(x – y)
3
+ 3xy(x – y) = xy + 25.
Đặt x – y = a, xy = b (a, b là các số nguyên), ta có:
13
a
3
+ 3ab = b + 25
⇔
a
3
– 25 = b(1 - 3a)
Suy ra a
3
– 25

1 - 3a nên 27( a
3
– 25)

1 - 3a nên 3a – 1 là ước của 674
chọn được 3a – 1
{ }

674;337;2;1
−−∈
Tương ứng với mỗi giá trị trên tìm được



−=
=
25
0
b
a




=
=
12
1
b
a




−=
−=
4169
112

b
a




−=
=
16900
225
b
a
Do phải có a
2
+ 4b
≥
0 nên chỉ có một trường hợp a = 1, b = 12 cho đáp số sau:
Nghiệm (x, y) là (4; 3), (- 3; - 4)
IV. Phương trình bậc bốn với hai ẩn.
Ví dụ 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y
2

Giải
x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y
2
⇔
(x
2
+ 8x)(x

2
+ 8x + 7) =

y
2
, đặt z = x
2
+ 8x
⇔
z(z + 7) = y
2

⇒




−≤
≥
7
0
z
z
- Ta có (z + 3)
2
< z(z + 7) < (z + 4)
2
với mọi z > 9.
⇒
(z + 3)

2
< y
2
< (z + 4)
2
không xảy ra
⇒
z
≤
9
Vậy z
≤
-7 hoặc 0
≤
z
≤
9
- Thay vào ta có:
(x; y) = (-9; -12); (-9; 12); (-8; 0); (-7; 0); (-4; -12); (-4; 12); (-1; 0); (0 ; 0);
(1; -12); (1; 12)
Ví dụ 19: (Ví dụ 37 trang 49 – Tài liệu “ Phương trình nghiện nguyên và
kinh nghiệm giải” – Vũ Hữu Bình)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
4
– 4x
2
+ y
2
+ 2x

2
y – 9 = 0
Giải
x
4
– 4x
2
+ y
2
+ 2x
2
y – 9 = 0
⇔
(x
2
+ y)
2
– 4x
2
= 9

⇔
(x
2
+ y + 2x) (x
2
+ y – 2x) = 9
x
2
+ y + 2x và x

2
+ y – 2x là ước của 9 nên ta có bảng giá trị sau:
x
2
+ y + 2x 1 3 9 -1 -3 -9
x
2
+ y – 2x 9 3 1 -9 -3 -1
14
2x -4 0 4 4 0 -4
x -2 0 2 2 0 -2
y 1 3 1 -9 -3 -9
Vậy (x; y) = (-2; -1); (0; 3); (2; 1); (2; -9); (0; -3); (- 2; -9).
V. Phương trình đa thức với ba ẩn trở lên.
Ví dụ 20: Giải phương trình nghiệm nguyên
14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz
Giải
14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz
⇔
7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz)
⇔
x +
7
3
2
12
+−=
+
yz
z

⇔
x +
3
1
2
1
2
1
2
1
+
+−=
+
z
y

⇒






=
=
−=
3
1
2
z

y
x
Ví dụ 21: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên :
x
2
+ y
2
+ z
2
= 2015 (1)
Giải
Tổng x
2
+ y
2
+ z
2
là số lẻ nên trong ba số x
2
, y
2
, z
2
có một số lẻ hai số chẵn hoặc
cả ba số đều lẻ.
* Trường hợp trong ba số x
2
, y
2
, z

2
có một số lẻ hai số chẵn thì vế trái của (1)
chia cho 4 dư 1 còn vế phải là 2015 chia cho 4 dư 3, loại.
* Trường hợp trong ba số x
2
, y
2
, z
2
đều lẻ thì vế trái của (1) chia cho 8 dư 3
còn vế phải là 2015 chia cho 8 dư 1, loại.
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên
Ví dụ 22: Giải PT nghiệm nguyên
3
=++
y
zx
x
yz
z
xy
*Hướng dẫn:
- Nếu trong 3 số x, y, z có cùng một số âm thì
3 =
y
zx
x
yz
z
xy

++
< 0 không xảy ra.
- Nếu x, y, z có cùng dương hoặc có 2 số âm thì
15
3 =
3
≥++
y
xz
x
zy
z
yx
3
1
. Vậy
1
===
zyx
V. Hệ phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ 23 : Giải bài toán cổ:
Trăm trâu trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Hỏi trâu mỗi loại ?
Giải
- Gọi số trâu đứng là x con.
- Gọi số trâu nằm là y con. (Với x,y,z nguyên dương)

- Gọi số trâu già là z con.
Theo bài ra ta có



=++
=++
⇔





=++
=++
)2(300915
)1(100
100
3
35
100
zyx
zyx
z
yx
zyx
- Lấy (2) - (1)
⇒
7x + 4y = 100
⇒

y = 25 – 2x +
4
x

⇒
x: 4
⇒
x = 4t
(t
∈
Z)
⇒
y = 25 – 7t
⇒
z = 75 + 3t.
Ta có y > 0
⇒
t
≤
3. Ta có các nghiệm sau :





=
=
=






=
=
=





=
=
=
84
4
12
;
81
1
8
;
78
18
4
z
y
x
z
y

x
z
y
x
BÀI TẬP BỔ SUNG, MỞ RỘNG
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình:
a) 3x + 2y = 85 b) 3x - 5y = 7
c) 5x + 25 = - 3xy + 8y
2
Bài 2: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2007- 2008)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x
3
– x
2
y + 3x – 2y – 5 = 0.
16
Bài 3: (Đề tuyển sinh lớp 10 hệ chuyên- vòng 2-Đại học quốc gia Hà Nội 2008-
2009)
1.Tìm các số x, y nguyên thoả mãn đẳng thức
2x
2
+ y
2
+ 3xy + 3x + 2y + 2 = 0.
2. Tìm các số nguyên dương a,b,c sao cho
( )( )( )
abc
cabcab 111
−−−

là một
số nguyên.
Bài 4: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2008- 2009)
Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn :
x
2
+ 2y
2
+ 2xy +y – 2 = 0
Bài 5: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2009- 2010)
Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn :
2xy
2
+ x + y + 1 = x
2
+ 2y
2
+ xy
Bài 6: ( Sách nâng cao và một số chuyên đề toán 9 – Bùi Văn Tuyên)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
6xy
3
+ 3x
2
– 10y
3
= -2
Bài 7: ( Sách 400 bài tập đại số – Trương Công Thành – Vũ Dương Thuỵ –
Nguyễn Ngọc Đạm )
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

1! + 2! + 3! + 4! + + x! = y
2
.
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương:
a) 7x + 4y = 85 b) 8x + 9y = 79 c)
14
111
=+
yx
Bài 9: ( Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
a) x
2
– y
2
= 1998. b) x
3
- y
3
= 91
c) x
4
– y
4
= 3y
2
+ 1 d) 8y
2
– 25 = 3xy + 5x
e) 2x

2
+ y
2
+ 3xy + 3x + 2y +2 = 0
Bài 10: ( Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình)
Tìm các số nguyên x để :
a) x
2
+ 7x là số chính phương .
b) x
2
+ x + 6 là số chính phương.
Bài 11: (Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình)
Tìm các số hữu tỉ x để :
c) x
2
+ 7x là số chính phương .
17
d) x
2
+ x + 6 là số chính phương.
Bài 12: Tìm x, y
∈
N thoả mãn 7.2
x
= 3
y
+ 4
Bài 13: Cho đường thẳng d có PT 2x + 3y = 11. Tìm các điểm nằm trên đường
thẳng d có toạ độ là các số nguyên và nằm trong góc phần tư thứ I.

Bài 14: Chứng minh rằng trên đường thẳng 6x – 2y = 1, không tồn tại điểm nào
có toạ độ là các số nguyên.
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của hệ PT





−=+
−=+
−=+
1
1
1
yzxt
ytxz
ztxy
Bài 16: Tìm a để HPT có có nghiệm nguyên



+=+
=+
1
2
aayx
ayax
Bài 17: Biết rằng phương trình x
2
– 3x + 1 = 0 có nghiệm x = a. Hãy tìm một

giá trị của b
∈
Z để phwơng trình x
16
– b.x
8
+ 1 = 0 có nghiệm x = a.
Bài 18: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2010- 2011)
Tìm các số nguyên dương x, y, z thoả mãn :
2(y + z) = x(yz - 1).
Bài 19: ( Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm học 2011- 2012)
Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn :
2x
2
+ 3y
2
– 5xy – x + 3y – 4 = 0.
Bài 20: (Đề thi vào lớp 10 -THPT- Hải Dương - 2004-2005)
Cho HPT



=−+
=+−
2)1(
)1(
ymx
myxm
có nghiệm duy nhất là (x; y).
? Tìm giá trị của m để biểu thức

yx
yx
+
−
32
nhận giá trị nguyên.
Bài 21: (Đề thi vào lớp 10 -THPT- Thái Bình- 2002-2003)
Cho biểu thức K =
x
x
x
xx
x
x
x
x 2003
)
1
14
1
1
1
1
(
2
2
+
−
−−
+

+
−
−
−
+
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Với những giá trị nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ?
Bài 22: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2007- 2008)
Cho biểu thức A =








+
+
−
+








−

−−
−
−
+
1
2
1
3
:
1
32
1
1
x
x
x
x
xx
x
x
với x
1,0 ≠≥ x
18
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A nguyên.
Bài 23: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2012- 2013)
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n
2
– 14n – 256 là một số chính
phương.

IV- KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG
1- Kết quả chung:
Sau khi được học các phương pháp giải “Phương trình nghiệm nguyên”, học
sinh không những giải tốt những bài toán về “Phương trình nghiệm nguyên”, mà
các em còn giải được một số bài toán có liên quan khác như:
Dạng toán chia hết.
Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Dạng toán hệ phương trình nghiệm nguyên.
Thông qua các dạng toán về “Phương trình nghiệm nguyên” giúp các em học
sinh phát triển tư duy tốt hơn, nhiều em thể hiện rõ sự yêu thích, say mê học
toán hơn.
2- Kết quả cụ thể:
Sau khi thực hiện đề tài này tôi cho HS lớp 9A là lớp thực hiện đề tài lớp 9B
là lớp không thực hiện đề tài cùng làm một bài kiểm tra với nội dung như
sau:
Bài 1:
Cho M =








−
−
−
+
+

+
−
−+
−+
1
1
1
.
2
2
1
2
333
xx
x
x
x
xx
xx
với
1,0
≠≥
xx
1. Rút gọn biểu thức M ;
2. Tìm x để M =
x
;
3. Tìm các số tự nhiên x để giá trị của M là số tự nhiên.
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của các PT sau:
a)

17
13111
=++
zyx
b) x
2
– 6x + y
2
+ 10 y = 24.
Kết quả kiểm tra được thống kê lại như sau:
Lớp 9B là lớp không ứng dụng đề tài có kết quả là:
Điểm 0, 1, 2 3, 4 Dưới TB 5, 6 7, 8 9, 10 Trên TB
19
Số bài 10 21 31 8 3 1 12
Tỷ lệ 23,3% 49,8% 72,1% 18,6% 7% 2.3% 27,9%
Lớp 9A là lớp ứng dụng đề tài có kết quả là:
Điểm 0, 1, 2 3, 4 Dưới TB 5, 6 7, 8 9, 10 Trên TB
Số bài 0 8 8 7 13 5 25
Tỷ lệ 0% 24,2% 24,2% 21,2% 39,4% 15,2% 75,8%
b - Kiểm tra 10 em học sinh lớp 9A và 10 học sinh 9B (khá và giỏi) với bài toán:
Bài 1: Giải PT nghiệm nguyên dương 2
x
= 1 + 3
y
.7
z
Bài 2: Giải PT nghiệm nguyên x
2
+ y
2

+ z
2
= x
2
y
2
Bài 3: Chứng tỏ PT xy
5
= x
5
y + 1999 không có nghiệm nguyên.
- Đối với 10 em được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì có 7 em giải
đúng kết quả bài 1 là x = 6, y = 2.
+ 9 em giải đúng bài 2 ( Kết quả x = y = z = 0)
+ 6 em làm đúng bài 3.
- Đối với 10 em chưa được học về “Phương trình nghiệm nguyên” thì chỉ có 1
em học giải đúng bài 1, 2 em làm đúng bài 2 và không em nào làm được bài 3.
*Bài học kinh nghiệm.
Qua kinh nghiệm về dạy “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy giáo
viên muốn đạt kết quả cao cần chú ý những điểm sau:
+ Phải hướng dẫn học sinh nắm chắc phần lý thuyết
+ Phải rèn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải và thưc hành nhiều với các bài
toán từ dễ đến khó.
+ Khi giải một bài toán có vận dụng “Phương trình nghiệm nguyên” trước hết
phải đoán dạng, sau đó mới chọn lựa phương pháp để giải.
+ Giáo viên cần hướng dẫn học sinh tổng quát hoá bài toán và chọn cách giải
hay nhất.
+ Giáo viên cần nghiên cứu các dạng toán nâng cao hơn từ các bài toán sẵn có,
đã làm.
Kinh nghiệm này có thể áp dụng từng phần cho học sinh khối 6, 7, 8, 9.

Chủ yếu bồi dưỡng học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào lớp 10. Đặc biệt kinh nghiệm
dạy “Phương trình nghiệm nguyên” có tác dụng tốt trong việc dạy bồi dưỡng
học sinh khá giỏi ở THCS, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện, cấp thành phố.
20
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ NHỮNG KHUYẾN NGHỊ
Qua thực tế một số năm giảng dạy toán 9, tôi xin mạnh dạn đưa ra một số
khuyến nghị như sau:
- Đưa một số bài tập về phương trình nghiệm nguyên xen kẽ vào chương
trình chính khoá với mức độ phù hợp nhằm phát huy năng lực toàn diện cho
học sinh trau rồi tư duy, rèn nếp suy nghĩ tìm tòi lời giải và vận dụng cho nhiều
loại bài toán khác. Với thời gian ít ỏi như vậy chắc còn nhiều khiếm khuyết,
song tôi vẫn mạnh dạn trình bày với sự mong muốn quý phòng, ban, các thầy
cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp bổ sung góp ý cho đề tài này được hoàn chỉnh
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
PHẦN IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9 – Tác giả Vũ Dương Thụy,
Trương Công Thành, Nguyễn Ngọc Đạm.
2. Tuyển tập các bài toán chọn lọc – Tác giả Vũ Dương Thụy, Trương Công
Thành, Nguyễn Ngọc Đạm.
3. 400 Bài tập Đại số – Tác giả Vũ Dương Thụy, Trương Công Thành,
Nguyễn Ngọc Đạm.
21
4. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 – Tác giả Bùi Văn Tuyên
5. Nâng cao và phát ttriển toán 9 – Tác giả Vũ Hữu Bình.
6. Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải– Tác giả Vũ Hữu Bình
7. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp – Tác giả Nguyễn Văn Vĩnh,
Nguyễn Đức Đồng.
8. Các đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 và những chủ đề thường gặp
– Tác giả Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn

Hữu Nhân, Trần Đức Nguyên, Lưu Xuân Tình.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Hà Nội, ngày 09 tháng 03 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác
Người thực hiện
Lê Thị Thuỷ
Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ



CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
(Kí tên, đóng dấu)
22
Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA
HỘI ĐỒNG GIÁM KHẢO
23