bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****************






BÙI THỊ MAI








BÀI TOÁN CÓ ĐẠI LƢỢNG BIẾN THIÊN
VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI




KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GVC. VƢƠNG THÔNG






HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu, cùng với sự giúp đỡ của
các thầy cô và các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được
hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy
Vƣơng Thông, Thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên
cứu và hoàn thành khóa luận với đề tài: “Bài toán có đại lƣợng biến
thiên và phƣơng pháp giải”.
Qua đây em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các
thầy cô trong khoa, các thầy cô giáo trong tổ Đại số trường ĐHSP Hà
Nội 2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho
em trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này.
Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu có hạn và chưa có kinh
nghiệm trong công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không
tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin
chân thành cảm ơn !

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Bùi Thị Mai

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do
chính sức lực của bản thân tham khảo tài liệu. Đề tài của tôi chưa được
công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác.

Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện


Bùi Thị Mai

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1
Chƣơng 1: XÉT TRONG TOÁN SƠ CẤP 2
1. Hàm số chứa tham số 2
1.1. Bài toán tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số 2
1.1.1. Tìm điểm cố định của họ hàm số 2
1.1.2. Tìm các điểm mà họ hàm số luôn không đi qua 7
1.2 Bài toán tìm quỹ tích một loại điểm 9
1.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham số 13
2 Phƣơng trình chứa tham số 18

2.1 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm trên D 18
2.2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa
mãn 1 số điều kiện nào đó trên D 23
3. Bất phƣơng trình chứa tham số 26
3.1 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm
trên D 26
3.2 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm
thỏa mãn một số điều kiện trên D 29
4. Hệ chứa tham số 34
Chƣơng 2 XÉT TRONG TOÁN CAO CẤP 43
Xét X[d] : X – vành, d là phần tử 43
1. X cố định, d thay đổi 43
2. X thay đổi, d cố định 47
Chƣơng 3: KẾT LUẬN 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO 50
1
LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa
học khác, là thành phần không thể thiếu của văn hóa phổ thông. Môn
toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí
tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người. Nó bắt
nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn. Cùng
với thời gian và sự tiến bộ của loài người. Toán học ngày càng phát triển
và chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng.
Trong đó toán học ứng dụng đóng vai trò quan trọng. Đại số, là một phần
trọng yếu của Toán học. Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu chuyên
sâu vào lĩnh vực đại số. Đặc biệt là những bài toán có đại lượng biến
thiên, nó không chỉ gặp ở phổ thông mà còn ở các bậc cao hơn.

Trên cơ sở những kiến thức đã học và với mong muốn tiếp cận và
tìm hiểu những bài toán biến thiên, được sự chỉ bảo của Thầy VƢƠNG
THÔNG em mạnh dạn chọn đề tài: “Bài toán có đại lƣợng biến thiên
và phƣơng pháp giải”
2. Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu những bài toán có đại lượng biến thiên
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp


2
Chƣơng 1: XÉT TRONG TOÁN SƠ CẤP

1. Hàm số chứa tham số
1.1 Bài toán tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số
Cho họ hàm số y = (x,m) m  D là tham số, x- đối số. Khi gán cho
m các giá trị cụ thể, ta có một hàm số cụ thể và có đồ thị tương ứng.
Khi m thay đổi, do đó đồ thị cũng thay đổi theo.Từ đó,các điểm trên mặt
phẳng chia làm các loại sau:
i. Điểm mà mọi đồ thị đi qua gọi là điểm cố định của họ đồ thị hàm số.
ii. Điểm trên mặt phẳng không có đồ thị nào của họ đi qua
iii. Điểm trên mặt phẳng có một số đồ thị đi qua.
1.1.1 Tìm điểm cố định của họ hàm số y= (x,m).
* Phƣơng pháp giải bằng đa thức
- Cơ sở lý luận:
Nếu y
0
– (x,m) đưa được về dạng đa thức của tham số m thì từ

(x
0
,m) – y
0
= 0 m D, ta có hệ phương trình ẩn x
0
, y
0
. Giải hệ này ta
tìm được (x
0
, y
0
).
- Thuật toán:
Bƣớc 1: Đưa (x
0
,m) – y
0
về đa thức với biến m
Giả sử M
0
(x
0,
y
0
) là điểm cố định của hàm số. Khi đó
y
0
=


(x
0
,m)m  D (1)
(1) (x
0
, y
0
) – y
0
= 0 m  D
Ta viết vế trái dưới dạng một đa thức ẩn m. Giả sử là:
a
0
(x
0
,y
0
) + a
1
(x
0
,y
0
)m + …+ a
k
(x
0
,y
0

)m
k
= 0

m

D
Vế trái là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng k ẩn m, có số nghiệm nhiều
hơn bậc của đa thức khi và chỉ khi vế trái là đa thức không.
3
0 0 0
1 0 0
00
( , ) 0
( , ) 0

( , ) 0
k
a x y
a x y
a x y












Bƣớc 2:Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm (x
0
,y
0
) thì họ hàm số có
bấy nhiêu điểm cố định.
-Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Cho họ hàm số
y = x
3
– ( m + 1)x
2
– (2m
2
– 3m + 2)x + 2m(2m – 1) (Cm)
m là tham số.
Tìm điểm cố định của họ hàm số trên
Bài giải:
Bƣớc 1: Gọi M
0
(x
0
, y
0
) là điểm cố định của họ hàm số, khi đó ta có
y
0

= x
0
3
– ( m + 1)x
0
2
– ( 2m
2
– 3m + 2)x
0
+ 2m( 2m – 1) m
( 4 – 2x
0
)m
2
+ ( 3x
0
– x
0
2
– 2 )m + (x
0
3
– x
0
2
-2x
0
– y
0

)= 0(1)m
Từ ( 1) suy ra hệ phương trình sau đây:
0
2
00
32
0 0 0 0
4 2 0 (2)
3 2 0 (3)
2 0 (4)
x
xx
x x x y



  


   


Bƣớc 2:Từ ( 2 ) ta có: x
0
= 2 thay vào ( 4) có y
0
= 0, thay vào ( 3 ) thấy
đúng
Vậy hệ (2)(3)(4) có nghiệm duy nhất x
0

= 2, y
0
= 0
Suy ra, với mọi m, ( Cm ) có một điểm cố định là M
0
(2;0)
Ví dụ 2:
Cho họ hàm số y = mx
3
+ ( 1 – m)x (Cm) (m là tham số).
Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ (Cm) đi qua với mọi m.
Bài giải:
4
Bƣớc 1:Gọi ( x
0
, y
0
) là điểm cần tìm, khi đó ta có:
y
0
= mx
0
3
+ ( 1 – m)x
0
m
 m( x
0
3
– x

0
) + x
0
– y
0
= 0 (1) m
Từ ( 1 ) suy ra hệ phương trình sau đây:
3
00
00
0 (2)
0 (3)
xx
xy






Bƣớc 2:Từ ( 2) ta có: x
0
= 0; x
0
= 1; x
0
= -1. Thay vào ( 3) suy ra họ hàm
số đã cho luôn đi qua ba điểm cố định sau: A(0;0); B(1;1); C(-1;-1).
Ví dụ 3:
Cho hàm sốy =

3
1
x
3
–mx
2
– x + m +
3
2
(Cm)
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (Cm)
Bài giải:
Bƣớc 1: Gọi M
0
(x
0
, y
0
) là điểm cần tìm, khi đó ta có:
y
0
=
3
1
x
0
– mx
0
2
– x

0
+m +
3
2
 m
 m( 1 – x
0
2
) +
3
1
x
0
3
– x
0
+
3
2
- y
0
= 0 (1) m
Từ (1) suy ra hệ phương trình sau đây:








)3(0
3
2
3
1
)2(01
00
3
0
2
0
yxx
x

Bƣớc 2:Từ (2) ta có x
0
= 1; x
0
= -1 thay vào (3) suy ra họ hàm số đã cho
luôn đi qua hai điểm cố định sau: A(1; 0); B(-1;
3
4
)

5
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số
2
123
2




x
mmxmx
y
(C
m
)
Chứng minh rằng các tiệm cận xiên của họ (Cm) luôn đi qua một điểm
cố địnhvới mọi m?
Bài 2: Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ hàm số
y = (m + 1)x
2
+ (4m – 5)x + 4m + 4
luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định
Bài 3: Cho họ hàm số
1
)343(2
2
2



m
mmmx
y
, m là tham số
Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số trên đi qua một điểm cố định
* phƣơng pháp dùng đạo hàm

- Cơ sở lý luận:
Từ y
0
= (x
0
, m) ( m là tham số). Lấy đạo hàm theo m cả hai vế, ta
có:
0),(
0


mxf
m

- Thuật toán:
Viết vế trái dưới dạng đa thức ẩn m, giả sử là:
a
0
(x
0
) + a
1
(x
0
)m + + a
n
(x
0
)m
k

= 0
Bƣớc 1:Phương trình trên có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi vế trái là
đa thức không.
 
 










0

0)(
0
0
01
00
xa
xa
xa
n

Bƣớc 2: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm thì họ hàm số đã cho có
bấy nhiêu điểm cố định.
6

Tìm y
0
: cho m giá trị cụ thể thuộc D, thay y
0
= (x
0
, m), từ đó ta tìm
được điểm A
0
(x
0
, y
0
)
- Ví dụ minh họa:
Cho họ hàm số
y = x
3
– (m + 1)x
2
– (2m
2
– 3m + 2 )x +2m(2m -1),
m là tham số (Cm).
Tìm điểm cố định của hàm số trên.
Bài giải
Bƣớc 1: Giả sử M
0
(x
0

, y
0
) là điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua. Khi đó,
đặt
F(m) = (4 – 2x
0
)m
2
+ (3x
0
– x
0
2
– 2)m + (x
0
3
– x
0
2
– 2x
0
) = y
0
()
(m  R)
Suy ra
23)24(2),(
2
0000



xxmxxmf
m
, m  R (1)
Từ (1) suy ra
 
0
2
00
2 4 2 0 (2)
3 2 0 (3)
x
xx




  



 x
0
= 2
Bƣớc 2: Thay m = 0 vào () thì y
0
= x
0
3
– x

0
2
– 2x
0
 x
0
= 2, y
0
= 0
Vậy (Cm) luôn đi qua một điểm cố định M
0
(2; 0)
- Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hàm số y = (m + 1)x
3
– (2m + 1)x – m + 1 (Cm).
Chứng minh rằng đồ thị (Cm) luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng  m?
Bài 2: Cho họ hàm số
y = x
3
+ ( m + m )x
2
– 4x – 4(m + m ) (Cm)
Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m?

7
1.1.2 Tìm các điểm mà họ hàm số không đi qua
- Cơ sở lý luận:
Giả sử A
0

(x
0
, y
0
) là điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào
của họ hàm số y =(x, m) đi qua. Suy ra phương trình y
0
= (x
0
, m) vô
nghiệm đối với ẩn m. Khi đó ta có được mối liên hệ x
0
, y
0
. Từ đó, ta tìm
được A
0
(x
0
, y
0
) mà họ hàm số không đi qua.
- Thuật toán:
Bài toán đưa về xét phương trình: y
0
- (x
0
,m) = 0 (ẩn m) là vô
nghiệm. Đây là bài toán khó, chỉ xét được một số dạng đơn giản sau:
 Phương trình bậc nhất

 Phương trình bậc hai
 Một số dạng khác
- Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thị hàm số.
mx
mxx
y



2
2

không đi qua khi m thay đổi
Bài giải:
Gọi (x
0
, y
0
) là điểm phải tìm, khi đó ta có:
mx
mxx
y



0
0
2
0

0
2
( x
0
≠ m )
 (x
0
+ y
0
)m + (x
0
2
– x
0
y
0
– 2 ) = 0
Để (x
0
, y
0
) là điểm mà đồ thị không thể đi qua, điều kiện cần và đủ
là phương trình của ẩn số m không có nghiệm, tức là





02
0

00
2
0
00
yxx
yx

Tức là x
0
≠- y
0
≠
1

8
Vậy các điểm thỏa mãn nằm trên đường thẳng y = -x, bỏ đi hai điểm
(1;-1) và (-1 ;1)
Ví dụ 2
Cho hàm số
y = (m – 2)x
2
– 2(m +1)x + m + 1 (Cm)
Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đường nào của
họ hàm số đi qua ?
Bài giải
Gọi (x
0
,y
0
) là điểm phải tìm. Khi đó phương trình sau đây (ẩn m) vô

nghiệm
y
0
= (m – 2)x
0
2
– 2(m +1 )x
0
+ m +1

m(x
0
2
– 2x
0
+ 1) – 2x
0
2
– 2x
0
+ 1 – y
0
= 0 (1)
Phương trình (1) vô nghiệm khi hệ sau thỏa mãn :














3
1
0122
012
0
0
00
2
0
0
2
0
y
x
yxx
xx

Vậy các điểm thỏa mãn nằm trên đường thẳng x = 1, bỏ đi điểm
M (1; -3)
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho họ hàm số
mx
mxx

y



8
2
,m là tham số
Tìm những điểm mà các đồ thị hàm số trên không đi qua.
Bài 2 : Cho họ hàm số
mx
mxm
y



22
)1(
,m là tham số
Tìm những điểm mà họ tiệm cận xiên của họ hàm số trên không đi qua
Bài 3 : Cho họ đường thẳng
y = (m + 1)x + m
2
+ m (Cm)
Tìm các điểm mà họ đó không đi qua với mọi m?


9
1.2 Bài toán tìm quỹ tích một loại điểm
* Phƣơng pháp hàm số
- Cơ sở lý luận

Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên
của hàm số (x, m) trên D rồi biện luận để tìm được giá trị của tham số
m để tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu.
Dựa vào quy tắc thứ hai tìm cực đại, cực tiểu
Nếu 
’
(x
0
) = 0 và
a) Nếu 
’’
(x
0
)  0, thì y = 
’
(x) đạt cực đại tại x
0

b) Nếu 
’’
(x
0
)  0, thì y = 
’
(x) đạt cực tiểu tại x
0

- Thuật toán:
Bƣớc 1 : Phân tích
Bƣớc 2 : chứng minh phần thuận

Bƣớc 3 : chứng minh phần đảo
Bƣớc 4 : Muốn tìm quỹ tích ta cần phải có phần giới hạn quỹ tích
- Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Với giá trị nào của m thì hàm số
y = x
4
+ 4mx
3
+ 3(m + 1)x
2
+ 1
chỉ có cực tiểu và không có cực đại
Bài giải
Ta có y = x
4
+ 4mx
3
+ 3(m + 1)x
2
+ 1

 
xmmxxy 16124
23,



 
 
13622

2
 mmxxx

Đặt g(x)
 
1362
2
 mmxx

Nếu g(x) ≥ 0 x, tức là nếu

’
= 9m
2
– 6(m + 1) = 3(3m
2
-2m -2) ≤ 0
Hay
3
71
3
71 


m

10
Thì y
’
đổi dấu từ - sang + khi x chạy qua giá trị 0

Do đó hàm số đã cho chỉ có cực tiểu (tại x = 0) và không có cực đại
Nếu 
’
 0 hay
m 
3
71
hoặc m 
3
71

g(x) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Nếu hai nghiệm này khác 0 thì y
’
= 0
có ba nghiệm phân biêt và y
’
đổi dấu từ + sang – khi x đi qua nghiệm
thứ hai, như vậy hàm số có cực đại
Vì vậy trong trường hợp này để y không có cực đại thì trong hai
nghiệm của g(x) phải có một nghiệm bằng 0, tức là g(0) = 0. Điều này
chỉ xảy ra khi m = -1.
Vậy các giá trị của m là
1
3
71
3

71




mvàm

Ví dụ 2 : Cho hàm số
1
)1)(2(2
22



x
xmmmx
y

Trong đó m là tham số. Tìm quỹ tích điểm cực đại của đồ thị khi m thay
đổi.
Bài giải
Ta có:
2
'
)1(
)2(2



x

xmx
y

Đồ thị hàm số chỉ có cực đại, cực tiểu khi m ≠ 0. Khi đó, ta có bảng
biến thiên





11
a) Với m  0
X
-
0 1
2
+
,
y

+
0 -
-
0 +

y


-
mm 2

2



-
+

+

b) m  0
X
-
0 1
2
+
,
y

-
0 +
+
0 -

Y
+
+

-
mm 6
2


-

a) Khi m 0 điểm cực đại I của đồ thị có tọa độ
x = 0, y = m
2
– 2m = (m – 1)
2
– 1
Nếu m thay đổi từ 0 đến + thì (m – 1)
2
– 1 thay đổi từ -1 đến +
Vậy điểm I chạy trên trục tung qua tất cả các điểm có tung độ lớn hơn -1.
b) Khi m  0 điểm cực đại I có toạ độ
x = 2, y = m
2
+ 6m = (m + 3)
2
– 9
Nếu m thay đổi từ 0 đến - thì (m + 3)
2
– 9 thay đổi từ -9 đến +
Vậy điểm I chạy trên đường thẳng x = 2, qua tất cả các điểm có tung độ
lớn hơn -9.
Như vậy quỹ tích điểm I là
Nửa trục tung, gồm các điểm có tung độ y  -1

Nửa đường thẳng x = 2, gồm các điểm có tung độ y  -9
12
Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho họ hàm số y = x
3
+mx
2
, m là tham số.
Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị.
Bài 2 : Cho hàm số
mx
mxmx
y



)1(2
2
, với giá trị nào của m thì hàm
số có cực đại,cực tiểu. Tìm quỹ tích các điểm cực tiểu của đồ thị.


13
1.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham số
- Cơ sở lý luận:
Cho hàm số (x) xác định trên miền D. Ta nói rằng M là giá trị lớn
nhất của (x) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
a) (x) ≤ M, x  D
b)  x
0

 D : (x
0
) = M
Khi đó ta kí hiệu M = max
x  D
(x)
Mặt khác, số m gọi là giá trị bé nhất của (x) trên D, nếu đồng thời thỏa
mãn hai điều kiện sau đây:
a) (x) ≥ m, x  D
b)  x
0
 D : (x
0
) = m
Ta kí hiệu m = min
xD
(x)
- Thuật toán :
Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số khá đa dạng, phong phú và
có thể nói là khó không những đối với học sinh phổ thông mà còn đối
với sinh viên các trường đại học đặc biệt là các hàm số chứa tham số.
Rất nhiều trường hợp, việc tìm GTLN, GTNN của hàm số gặp không ít
khó khăn, thậm chí không tìm được. Tuy nhiên, chúng ta mong muốn
biết được một số tính chất nào đó của GTLN, GTNN
Vì vậy, với dạng GTLN, GTNN của hàm số mang tính định tính
thông qua các giá trị của hàm số tại một số điểm đặc biệt của hàm số.
- Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Cho hàm số
m
x

x
m
x
x
xf 






tan1
tan1
)1(
2sin1
sin1
)(

Xét trên miền







4
0:

xxD

Tìm GTNN của hàm số trên D
Bài giải
14
Ta có
2
2
2
2
)tan1(
)tan1(
)cos(sin
)cos(sin
2sin1
2sin1
x
x
xx
xx
x
x









Đặt

x
x
t
tan1
tan1




Khi đó từ
4
0

 x
suy ra
 t1

Ta đưa bài toán từ tìm min (x) về tìm min
1≤t≤+
F(t)
Với F(t) = t
2
– (m+ 1)t + m.

Ta có
 
'
( ) 2 1F t t m  

1

( ) 0
2
m
F t t


  

Xét hai trường hợp sau
a) Nếu
2
1m
≤ 1 thì m ≤ 1 ta lập bảng biến thiên

t
-
2
1m

1
+
)(
'
tF

-
0 +
+

F(t)

0
1

Vậy min
1≤t≤+

F(t) = F(1) = 0  min
x

D
f(x) = 0
b) Nếu
2
1m
 1 hay m  1 ta có bảng biến thiên
15
t
-
1
2
1m

+
)(
'
tF

_
0 +

F(t)

0


 
4
1
2


m

+
Vậy min F(t) =
2
1 ( 1)
()
24
mm
F


)
Kết luận

 min f(x) = 0 nếu m ≤ 1
min f(x) =
4
)1(
2


m
nếu m  1
Ví dụ 2 :
Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ
22
2
3
x y a
x y xy
  


  


Tìm a để biểu thức M = x
2
+ y
2
+xy = 3 đạt GTLN, GTNN
Bài giải
Ta có
22

2
3
x y a
x y xy
  


  



22
22
( ) 3 (2 )
x y a x y a
x y xy xy a
     



    

(*)
Hệ () có nghiệm khi và chỉ khi
( 2- a)
2
– 4[(2 – a)
2
– 3] ≥ 0
12 – 3(2- a)

2
≥ 0  ( 2 – a)
2
≤ 4
-2≤2 –a ≤ 2  0 ≤ a ≤ 4
Do đó, với a  [ 0 ; 4] thì hệ () có nghiệm
Ta có
16
M = x
2
+y
2
- xy = ( x
2
+ y
2
+ xy ) – 2xy
= 3 – 2[( 2- a)
2
– 3] = -2a
2
+ 8a + 1
Xét f(a) = -2a
2
+ 8a + 1
f’(a) = -4a + 8 ; f
’
(a) = 0  a = 2
f(2) = 9 ; f(0) = 1 ;f(4) = 1
Do đó GTNN của M là 1, đạt được khi a = 0 hoặc a = 4

GTLN của M là 9, đạt được khi a = 2
Ví dụ 3
Cho hàm số
22
1200712)( xaxxxf 

Trong đó a là tham số thực tùy ý
Gọi M = max
x[-1;1]
f(x) ; m = min
x[-1 ;1]
f(x)
Chứng minh rằng







2
2007
1
m
M


Bài giải
Ta có
(1) 1

( 1) 1
M f a
M f a
  


   


Suy ra
1))1()1((
2
1
 ffM
(đpcm)
Tương tự ta có









2
2007
2
)
2

1
(
2
2007
2
)
2
1
(
a
fm
a
fm


)]
2
1
()
2
1
([
2
1
 ffm
theo (2)
Vậy
2
2007
m

17
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số f(x) = |4ax
3
+ 2bx
2
+ ( 1-3a )x – b |
Trong đó a; b là các số thực tùy ý. Gọi M =max
x[-1;1]
f(x).
CMR
2
3
M

Bài 2: Giả sử M là giá trị lớn nhất của |b| sao cho
4bx
3
+ (a – 3b )x ≤ 1, với mọi giá trị x  [-1;1] và với mọi số thực a.
CMR M ≤ 1
Bài 3: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ





3
2
22

xyyx
ayx

Tìm a để biểu thức M =x
2
+ y
2
+ xy đạt GTLN, GTNN

18
2. Phƣơng trình chứa tham số
2.1 Tìm điều kiện của tham số m để phƣơng trình f(x; m) = 0 có
nghiệm trên D
* Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
- Cơ sở lý luận:
Nhiều khi để giải một phương trình tham số, nếu sử dụng biến đổi
tương đương hoặc biến đổi hệ quả sẽ dẫn đến các phương trình phức tạp
hơn phương trình ban đầu. Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta dùng
phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình dạng quen thuộc mà
ta đã biết cách giải.
- Thuật toán:
Phương pháp này được tiến hành theo 3 bước sau:
Bƣớc 1: Đặt ẩn phụ, nêu điền kiện của ẩn phụ
Bƣớc 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình chứa ẩn phụ.
Giải phương trình chứa ẩn phụ, đối chiếu với điều kiện ẩn phụ đã nêu để
tìm nghiệm thích hợp của phương trình này.
Bƣớc 3: Tìm nghiệm phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn
phụ.
- Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình

 
1
1
2
2
2


xx
m
xx
có nghiệm
Bài giải
Viết lại phương trình dưới dạng:
 
1
12
2
2


xx
m
xx
(1)
Đặt t = x
2
+ x + 1 ,
4
3

t
, Khi đó:
   
2
1 2 1 2 0t t m t t m      
(2)
19
Phng trỡnh ó cho cú nghim phng trỡnh (2) cú nghim

3
4
t








3
(2) coự moọt nghieọm lụựn hụn baống
4
3
(2) coự hai nghieọm lụựn hụn baống
4


4
3

4
3
2
0)
4
3
(
0
0)
4
3
(

m
S
af
af

Vy vi m
4
3
phng trỡnh ó cho cú nghim
Vớ d 2 : Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim

6 9 6 9
6
xm
x x x x
(1)
Bi gii
K : x 9 0 x 9
t n ph
9 xt
. Khi ú x = t
2
+ 9

Phng trỡnh ó cho tr thnh :
mttt 9))3()3((6
222



9336
2
mttt









)30(027
)3(0912
2
2
tmt
tmtt

Vi t 3 thỡ t
2
12t + 9 + m = 0 (t 6)
2
= 27 m

Phng trỡnh ny cú nghim khi m 27
Vi 0 t 3 thỡ t
2
= 27 m cú nghim khi m 27
20
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi m ≤ 27

Bài tập vận dụng
Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
mxxxx  )3)(1(31
(1)
Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
3
222
2)53()53(


xxx
m
(1)
Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
mxxxx  444


* Phƣơng pháp hàm số
-Cơ sở lý luận
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán
rất quen thuộc trong chương trình phổ thông. Ta có thể sử dụng tính chất
đơn điệu của hàm số,giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số…để
giải phương trình chứa tham số

- Thuật toán:
Trước khi thực hiện ta biến đổi phương trình f(x ;m) = 0 về dạng
tổng quát f(x) = g(x)
Khi đó dựa vào tính chất phương trình có nghiệm tương đương hai
đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y= g(x) cắt nhau. Do đó để giải bài toán
này ta tiến hành theo các bước sau :
Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x).
Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đồ thị hàm số
y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x).
Chú ý: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên D và m = min
x

D
f(x)
M = max
x

D
f(x) thì phương trình f(x) = k có nghiệm

m ≤ k ≤ M.
21
- Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình sau có
nghiệm
mxxxx 32)3)(1(
2


ĐK (x+1)(3-x) ≥ 0  -1 ≤ x ≤ 3

Đặt
)3)(1( xxt 

Ta có (x +1)(3-x) = 4 – (x-1)
2
≤ 4  0 ≤ t ≤ 2
Mặt khác ta có
(x+1)(3-x) = - x
2
+ 2x + 3 = -(x
2
– 2x ) + 3
 x
2
– 2x + 3m = - (x+1)(3-x) + 3+3m = -t
2
+ 3+ 3m
Vậy bài toán trở thành tìm m sao cho phương trình
t = -t
2
+ 3 + 3m có nghiệm thỏa mãn điều kiện 0 ≤ t ≤ 2
Hay f(t) = t
2
+ t – 3 = 3m có nghiệm với mọi 0 ≤ t ≤ 2
Xét hàm f(t) có
012)(
'
 ttf
t  [0 ;2]. Từ đó ta có bảng biến thiên
t

0
2
)(
'
tf

+

f(t)
-3
3

Từ bảng biến thiên suy ra -3 ≤3m ≤ 3  -1 ≤ m ≤ 1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2 : Xác định m để phương trình sau có nghiệm
mxx 12

Bài giải
Đặt
1 xt
, t ≥ 0
Phương trình đã cho tương đương với