luận văn tốt nghiệp đại học iđêan

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======



NGUYỄN THỊ THƠ



IĐÊAN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. DƢƠNG THỊ LUYẾN

HÀ NỘI - 2014

Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến
LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của khoá luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô
giáo hướng dẫn Th.S Dƣơng Thị Luyến, cô đã tận tình hướng dẫn em trong
quá trình làm khoá luận này. Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn của
mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ
chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Đồng thời tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp K36 Cử nhân Toán – ngành
Toán Đại số khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại
lớp.

Hà Nội, ngày 29 tháng 5 năm 2014
Sinh viên


Nguyễn Thị Thơ



Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến
LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu, với sự cố gắng nỗ lực của bản thân cùng
sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của cô giáo hướng dẫn Thạc sĩ Dƣơng Thị
Luyến em đã hoàn thành bài khoá luận tốt nghiệp của mình.
Em xin cam đoan bài khoá luận này là do bản thân nghiên cứu cùng với
sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của cô giáo Thạc sĩ Dƣơng Thị Luyến
không hề trùng với bất kì đề tài nào.
Hà Nội, ngày 29 tháng 5 năm 2014
Sinh viên


Nguyễn Thị Thơ










Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
1.1. Vành, vành con, điều kiện tương đương, đặc số vành 2
1.2. Miền nguyên, trường 3
1.3. Iđêan 5
1.4. Vành thương 5
1.5. Đồng cấu vành 7
1.6. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự. 10
Chƣơng 2. MỘT SỐ LỚP IĐÊAN ĐẶC BIỆT 12
2.1. Iđêan hữu hạn sinh 12
2.2. Các phép toán của iđêan 13
2.3. Iđêan cực đại 20
2.4. Iđêan nguyên tố 25
2.5. Iđêan nguyên sơ 38
2.6. Mối liên hệ giữa iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại 41
2.7. Iđêan đối cực đại 44
2.8. Iđêan bất khả quy 46
KẾT LUẬN 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số là một ngành rất quan trọng trong Toán học. Nó không chỉ làm cơ
sở cho nhiều ngành Toán học khác mà còn có ứng dụng trong một số ngành
khoa học – kĩ thuật.
Kiến thức của đại số rất phong phú, đa dạng và trừu tượng, nó được xây

dựng và phát triển từ những kiến thức cơ bản của cấu trúc đại số như: nhóm,
vành, môđun,…Mặt khác các khái niệm về iđêan nguyên tố, iđêan cực đại là
những khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào
đại số hình học.
Có thể nói vấn đề iđêan là một phần quan trọng trong lý thuyết vành. Tuy
nhiên trong chương trình đại học, vấn đề này mới chỉ trình bày một cách sơ
lược. Vì vậy em chọn đề tài “Iđêan” để làm khoá luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số lớp iđêan, các tính chất và mối quan hệ giữa chúng.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số lớp iđêan đặc biệt: Iđêan cực đại, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ,
iđêan đối cực đại, iđêan bất khả quy.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá từ các tài liệu liên quan.



Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 2
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Vành, vành con, điều kiện tƣơng đƣơng, đặc số vành
1.1.1. Vành
a. Định nghĩa. Cho

là tập khác rỗng, trên

trang bị hai phép toán hai ngôi,
kí hiệu là
( ),(.)

và gọi là phép cộng và phép nhân.

được gọi là vành nếu
thoả mãn các điều kiện:
i.


cùng với phép cộng là nhóm abel.
ii.

cùng với phép nhân là nửa nhóm.
iii. Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là
,,x y z 
, ta có
(y )x z xy xz  
và
( )zx y xz yz  

b. Chú ý
 Vành

gọi là vành có đơn vị nếu


là một vị nhóm nhân.
 Vành

được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán.
 Vành


gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu

là vị nhóm nhân giao hoán.
 Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0.
 Phần tử đơn vị của phép nhân ( nếu có), kí hiệu là 1.
c. Tính chất

.0 0 0.xx
với mọi
x
.
 Nếu vành có ít nhất 2 phần tử thì
01
.

 
. . . . .( . ), , , .nx y nx y x n y x y n    
.

()x y z xz yz  
.
1.1.2. Vành con và điều kiện tƣơng đƣơng
a. Định nghĩa
Giả sử

là một vành,

là một bộ phận của

, ổn định với hai phép toán trong


, nghĩa là
xy 
,
.xy
với mọi
,xy
.

là một vành con của

nếu

cùng với 2 phép cảm sinh trên

là một vành.
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 3

b. Điều kiện tƣơng đƣơng
Cho

là một vành,

là một bộ phận khác rỗng của

. Các điều kiện sau đây
là tương đương:
i.


là một vành con của

.
ii.
, : , . ,x y x y x y x      
.
iii.
, : , . .x y x y x y    

1.1.3. Đặc số của vành
Cho

là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên dương
n
nhỏ nhất sao cho
.1 0n 
thì ta nói

có đặc số là
n
, ngược lại ta nói

có đặc số bằng 0.
Đặc số của

kí hiệu là:
Char

hoặc

 
Ch 
.
1.1.4. Tập con nhân đóng
Cho
R
là vành có đơn vị 1. Tập con
S
được gọi là tập con nhân đóng của
R
nếu:
i.
1 S
.
ii. Với
,x y S
thì
xy S
.
1.2. Miền nguyên, trƣờng
Trong toàn bộ phần này là vành giao hoán có đơn vị.
1.2.1. Ƣớc và bội của một phần tử
a. Định nghĩa. Cho

là vành giao hoán,
,,a b a 
gọi là bội của
b
hay
a

chia hết cho
b
, kí hiệu 
ab
nếu tồn tại
c
sao cho
.a bc
. Khi đó ta còn
nói
b
là ước của
a
, kí hiệu là
ba
.
b. Ƣớc của không
, 0,a a a 
được gọi là ước của không nếu tồn tại
,0bb 
sao cho
.0ab
.
1.2.2. Phần tử khả nghịch
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 4
Phần tử
u
được gọi là phần tử khả nghịch nếu

u
là ước của 1, tức là tồn
tại
v
sao cho
. 1.uv

1.2.3. Phần tử liên kết
Với
,'aa
ta nói
,'aa
liên kết với nhau nếu tồn tại
u
khả nghịch sao cho:
.'a ua
hoặc
'.a ua
.
Kí hiệu:
'aa
hoặc
'aa
.
1.2.4. Ƣớc thực sự
a
được gọi là ước thực sự của
b
nếu
a

là ước của
b
,
a

không khả nghịch và
a
không liên kết với
b
.
1.2.5. Phần tử bất khả quy
a
là phần tử bất khả quy nếu
0,aa
không khả nghịch và
a
không có ước
thực sự.
1.2.6. Phần tử nguyên tố
Phần tử
0a
, không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu từ
.a uv

thì
au
hoặc
av
.
1.2.7. Miền nguyên

Một vành giao hoán

có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước
của 0 được gọi là một miền nguyên.
1.2.8. Trƣờng
Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch trong vị nhóm
nhân được gọi là một trường.
Như vậy, nếu

là một trường thì:

 
,
là nhóm abel.

 
*
,.
là nhóm abel,
*
 
\
 
0
.
 Phép nhân phân phối với phép cộng.
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 5
1.3. Iđêan

1.3.1. Định nghĩa. Cho

là một vành,


là vành con của

. Khi đó:



gọi là iđêan trái của

nếu với
, : .x a xa  
.



gọi là iđêan phải của

nếu với
, : .x a ax  
.



gọi là iđêan của

nếu


vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của

.
Nhận xét
 Nếu

là vành không giao hoán thì iđêan trái và iđêan phải là phân biệt.
 Nếu

là vành giao hoán thì iđêan trái và iđêan phải là trùng nhau.
1.3.2. Điều kiện tƣơng đƣơng
Cho

là vành,

,
 
. Các điều kiện sau là tương đương:
i.


là iđêan của

.
ii. Với mọi
,ab
thì
ab 
và

x
thì
.ax
,
.xa
.
1.3.3. Tính chất
a. Cho

là một vành có đơn vị,


là iđêan của vành

. Nếu đơn vị của

, kí
hiệu là
1,1
thì
  
.

b. Giao của một họ bất kì các iđêan của

là một iđêan của

.
1.4. Vành thƣơng
1.4.1. Vành thƣơng

a. Định nghĩa. Cho

là iđêan của vành

. Tập
 
xx

   

cùng 2
phép toán
()
và
(.)
như sau:
 Phép cộng:
( ) ( )x y x y        
, với mọi
,xy

 Phép nhân:
( )( )x y xy      
, với mọi
,xy

lập thành 1 vành gọi
là vành thương của

trên iđêan


.
Nhận xét
 Nếu

là vành giao hoán thì


cũng là vành giao hoán.
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 6
 Nếu

là vành có đơn vị là 1 thì


cũng là vành có đơn vị là
1
.
1.4.2. Ví dụ
là vành,
n
là iđêan của với
n
. Khi đó tồn tại vành thương
 
x n x
n
  

với 2 phép toán cộng và nhân như sau:
 Phép cộng:
   
x n y n x y n     
, với mọi
,xy

 Phép nhân:
  
x n y n xy n   
, với mọi
,xy

Đặc biệt:
 
0,
là 2 iđêan của

nên tồn tại 2 vành thương

 
 
0
0
xx

    


 

   
0xx

      

.
1.4.3. Tính chất
Cho vành giao hoán
,R 
là iđêan của
R
.
a) Nếu
J
là iđêan của
R
sao cho
JI
thì
J

là một iđêan của vành thương
R

và với
rR
ta có
r
J



nếu và chỉ nếu
rJ
.
b) Mỗi iđêan

của
R

đều có dạng
K

với

là iđêan của
R
thỏa mãn
 
.
Tồn tại duy nhất iđêan
 
Raa J   
của
R
thỏa mãn điều kiện trên.
Chứng minh
a) Hiển nhiên.
b) Cho

là iđêan của

R

với
R
là vành giao hoán,


là iđêan của
R
. Tập


a R a   

 Rõ ràng
 
vì với mọi
a
thì
0a   

Với
,,a b r R 
ta có:
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 7
     
  
,a b a b a b a b

R
r r a ra ra
           
        


Do đó
,a b ra 
suy ra

là iđêan của
R
.
Theo định nghĩa tập

thì
.




 Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của

. Thật vậy
 Giả sử

là iđêan của
R
thỏa mãn:
,,


      


Với
a
thì
aa

   

. Suy ra
 

(1)
 Mặt khác, nếu
b
thì
b



. Theo ý a) ta có
b

(2)
Từ (1), (2) suy ra
  
.Suy ra điều giả sử
  

là sai.
Vậy

là duy nhất.
1.5. Đồng cấu vành
1.5.1. Định nghĩa.Cho
,Y
là 2 vành. Ánh xạ
:fY
gọi là đồng cấu
vành nếu với mọi
,xy

thỏa mãn :
( ) ( ) ( )
( . ) ( ). ( )
f x y f x f y
f x y f x f y
  






f
là đơn cấu nếu và chỉ nếu
f
là đồng cấu vành và
f

là đơn ánh.

f

là toàn cấu nếu và chỉ nếu
f

là đồng cấu vành và
f
là toàn ánh.

f

là đẳng cấu nếu và chỉ nếu
f

là đồng cấu vành và
f
là toàn cấu.
1.5.2. Tính chất
a) Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành.
b) Cho
:fY
là đồng cấu vành, trong đó

là một trường thì
f
là đồng cấu
không hoặc đơn cấu.
c) Cho

:fY
là một đồng cấu vành
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 8
 Nếu
f
có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành
:gY
sao
cho :
.1gf


thì
f
là đơn cấu.
 Nếu
f
có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành
:gY
sao
cho :
.1
Y
fg
thì
f
là toàn cấu.
 Nếu

f
có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì
f
là một đẳng cấu.
d)
:fY
là đồng cấu vành,

là một vành con của
,
là iđêan của
Y

thì :

 
f 
là một vành con của
Y
.

 
1
f


là một iđêan của

.
Đặc biệt. Cho

:fY
là đồng cấu vành.
Hạt nhân của
f
, kí hiệu
Kerf
,
 
( ) 0
Y
Kerf x f x  
.
Ảnh của đồng cấu
f
, kí hiệu
Im f
,
 
Im ( ) ( )f f f x Y x    
.
Khi đó


là vành con của

nên
Im f
là vành con của
Y
.


 
0
Y
là iđêan của
Y
nên
Kerf
là iđêan của

.
Vậy

f
là đơn cấu khi và chỉ khi
 
0Kerf


.

f
là toàn cấu khi và chỉ khi
Im .fY

c) Định lý cơ bản của đồng cấu vành
Cho đồng cấu vành
:fY
.
,

tương ứng là các iđêan của
,Y
sao cho
 
f  
. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành
:
Y
f



làm cho
biểu đồ sau giao hoán :



Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 9



f

Y


p
A

p
B






f

Y
B

Nghĩa là :
f
.
.
p p f



với
: , :
AB
Y
p p Y
B

 


là hai toàn cấu chính
tắc.
Đặc biệt: Nếu
Kerf
,
 
0
Y

thì
 
0
Y
YY
Y
B

. Khi đó biểu đồ sau
giao hoán :

f




Y


p

f


Kerf


Nghĩa là
f
.
pf
với
:p
Kerf


là toàn cấu chính tắc.
Hệ quả
1. Cho
f
:
Y
là đồng cấu vành thì
Kerf


Im f
.
2. Nếu
f
:

Y
là toàn cấu vành thì
Y
Kerf


.

3. Cho
,
là hai iđêan của

thỏa mãn
 
, khi đó
   
  

  
.
4.
,C

là các iđêan của

thì
BC
B
C B C




.
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 10
1.6. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự.
1.6.1. Định nghĩa. Cho tập
V 
. Quan hệ hai ngôi được gọi là quan hệ thứ
tự trên
V
(kí hiệu ) nếu thỏa mãn 3 tính chất sau:
i. Phản xạ: luôn có
uu
với
uV
.
ii. Phản xứng: Nếu
uv
vu





thì
uv
, với
,u v V

.
iii. Bắc cầu: Nếu
uv
vz





thì
uz
, với
,,u v z V
.
Khi đó ta viết
 
,V 
được gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi
,u v V
ta
luôn có
uv
uv





. Ta viết
uv

nếu
uv
uv





.
1.6.2. Định nghĩa
Cho

là tập sắp thứ tự, tập
, 
được gọi là tập con của

nếu

cùng
với quan hệ thứ tự bộ phận của

lập thành tập sắp thứ tự toàn phần.
Khi đó nếu
 
1
, ,
n
aa
, không giảm tính tổng quát ta có thể viết
12

n
a a a  
.
1.6.3. Phần tử cực đại
Cho
 
,
là tập sắp thứ tự.
 Phần tử
m
được gọi là phần tử cực đại của


nếu tồn tại
n
mà
mn
thì
mn
.
 Phần tử
m
được gọi là phần tử cực tiểu của

nếu tồn tại
n
mà
nm
thì

mn
.
Chú ý
 
,,  
là tập sắp thứ tự,
0
a 
gọi là cận trên (cận dưới) của

nếu với
mọi
a
thì
 
00
a a a a
.
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 11
1.6.4. Bổ đề Zorn
Cho
 
,
là tập sắp thứ tự khác  có tính chất: Mọi tập con sắp thứ tự toàn
phần (khác rỗng) của
V
đều chứa một cận trên của
V

. Khi đó
V
có ít nhất một
phần tử cực đại.
 Dựa vào các kiến thức cơ bản trên em sẽ đi sâu vào nghiên cứu một số lớp
iđêan đặc biệt như : Iđêan cực đại, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ,
iđêan đối cực đại, iđêan bất khả quy ở chương 2.












Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 12
Chƣơng 2. MỘT SỐ LỚP IĐÊAN ĐẶC BIỆT
2.1. Iđêan hữu hạn sinh
2.1.1. Tập sinh của iđêan
Cho vành

, tập
S
. Giao của tất cả các iđêan của


chứa
S
là iđêan nhỏ
nhất của

chứa
S
và gọi là iđêan của

sinh bởi
S
.
Kí hiệu:
S
.
Đặt
BS
thì
S
gọi là tập sinh của iđêan
B
.
 Nếu
S
là tập hữu hạn phần tử thì
B
là iđêan hữu hạn sinh.
Trường hợp đặc biệt:
, 

thì
 
0;    
.
2.1.2. Iđêan sinh bởi n phần tử
a. Định lý
Cho

là vành giao hoán, có đơn vị 1;
1
, ,
n
aa
. Khi đó
1
: , ,
n
B a a
là iđêan sinh bởi
n
phần tử
, 1,
i
a i n
và

1
,,
n
i i i

i
B a x x n


  



.
Chứng minh
Giả sử
1 1 1 1
, y
n n n n
a xa x a b ya a     
là hai phần tử tùy ý thuộc
B
và
x
là phần tử tùy ý thuộc

. Ta có
   
1 1 1 1

n n n n
a b xa x a ya y a      


   

1 1 1 1

n n n n
xa x a y a y a      


 
 
1 1 1

n n n
x y a x y a B     

Và
 
1 1 1 1

n n n n
xa ax x xa x a xxa xx a       
.
Vậy

là một iđêan của
,
chứa các
i
a
với
1,in
vì

1
0 1 0 , 1,
i i n
a a a a i n     

Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 13
Mặt khác, mọi iđêan chứa các
i
a
với
1,in
thì cũng chứa
11
, ,
nn
xa x a
với
1
, ,
n
xx
và do đó chứa
11

nn
xa x a
.
Vậy


là giao của tất cả các iđêan chứa các
i
a
với
1,in
hay

là iđêan sinh
bởi n phần tử
, 1, .
i
a i n

b. Iđêan chính

là một vành giao hoán, iđêan chính của

là iđêan sinh bởi tập gồm một
phần tử của
.
Với
 
,B .a a a x x a a       
.
c. Ví dụ. Vành có

 
 
3,5,7 3. 5. 7. , ,x y z x y z   

.

 
3 3. 3xx  
.
 Với
,mn
thì
   
,,m n m n
. Thật vậy
Đặt
 
 
, ; , ln ,d m n m n km k l    

Với mọi

: . . . . . .
m n k m l n
x x k m l n k d l d d
d d d


     



Suy ra
xd

do đó
d

(*)

Ngược lại, với mọi
yd
ta có :
.y d t
,
t

(1)

Do
( , )d m n
nên tồn tại
, : . .u v um vn d  

(2)
Từ (1), (2) ta có:
( . . ) . . . .y um vn t umt vnt   
suy ra
y
.
Vậy
d 

(**)

Từ (), () ta có :
 
,,m n m n
.
2.2. Các phép toán của iđêan
2.2.1. Tổng các iđêan
a. Định nghĩa
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 14
Cho
 




là họ các iđêan của vành giao hoán
R
. Ta định nghĩa tổng các
iđêan của họ đã cho, kí hiệu





là một iđêan của
R
sinh bởi tập





.
Đặc biệt: Nếu


thì
0





là iđêan không.
b. Biểu diễn phần tử
Cho
R
là vành giao hoán
 




là họ các iđêan của
R
. Khi đó

1
,
i

i
n
i
i
cc
  



 

   



.
Chứng minh
Đặt



  
. Từ (2.1.2.a) ta có :
1
,
n
i i i i
i
hr r R h




 


       




Do
i
h 
nên
i
h




suy ra
 
i
ii
h


 
.
Vì

i


là iđêan của
R
nên
 
,
i
i i i i i
rh rh




      
.
Do đó
1
n
ii
i
cc


  



.

Vậy
1
,
i i i
n
i
i
cc
   


 

   




c. Ví dụ
là vành giao hoán.
2
và
4J 
là 2 iđêan của . Khi đó
2.J 

2.2.2. Tích các iđêan
a. Định nghĩa.Cho
R
là vành giao hoán và

I,J
là 2 iđêan của
R
. Tích của
I
và
J
, kí hiệu
IJ
được định nghĩa là iđêan của
R
sinh bởi tập

 
,Jab a b   

Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 15
b. Biểu diễn phần tử
,IJ
là 2 iđêan của vành giao hoán
R
. Khi đó

1
, J, 1,
n
i i i i
i

IJ ab a b i n


   



.
Chứng minh
Theo định nghĩa tích hai iđêan thì:
 
IJ ,ab a b    
.
Mà theo (2.1.2.a) ta có
1
,
n
i i i i
i
rh r R h


   




Trong trường hợp này
i i i
h ab

với
,J
ii
ab 
.
Do
I,J
đều là iđêan của vành giao hoán
R
nên
ii
ii
ra
br J





suy ra
 
 
i i i
i i i
ra b
br a









Suy ra mọi phần tử
x
đều được biểu diễn
x ab
với
,Jab 
.
Vậy
1
IJ , J, 1,n
n
i i i i
i
ab a b i


     



.
c. Ví dụ
Trên vành giao hoán ,
,J = m , (n,m )n  
là các iđêan của , giả sử
nm

. Ta có
IJ mn
.
Thật vậy
 Với mọi
IJx
ta có:
,( , ).
i i i i
i
x ab a m b n

  


Hay ta viết:
,
i i i i
a mt b nk
, do đó
1
n
ii
i
x mt nk



suy ra
x nm

.
Vậy
IJ mn
(1)
 Ngược lại, với mọi
x mn
thì
( .1)( . ),x nmt m nt t  
suy ra
IJx
.
Vậy
IJmn 
(2)
Từ (1), (2) ta suy ra
IJ mn
(đpcm).
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 16
d. Tính chất
Cho
1
I, J, K, I , ,I
n
là các iđêan của vành giao hoán
R
. Khi đó
d
1

)
IJ JI I J  
.
d
2
)
   
IJ K I JK  
với
 
, J,cabc a b   
.
Chứng minh
d
1
)
IJ JI I J  

 Có
IJ=JI
. Thật vậy
Do
R
là vành giao hoán nên với
,a b R
ta có:
,ba ab a b b a   
nên
IJ , J,i=1,n , J,i=1,n JI
i i i i i i i i

ii
ab a b ba a b
 
   
      
   
   



 
IJ I J
. Thật vậy:
Có
IJ , J,i
i i i i
i
ab a b


   



, với bất kì
IJx
thì
1
n
ii

i
x ab



với
,J
ii
ab 
.
Do đó
I, J
là iđêan của vành giao hoán
R
và
, J R, i=1,n
ii
a R b   
nên
J
ii
ii
ba
ba





thì

1
1
n
ii
i
n
ii
i
ba
ba J













suy ra
1
J.
n
ii
i
x ba


  


Vì
x
bất kì nên
 
IJ I J
.
d
2
)
   
IJ K I JK  
với
 
, J,cabc a b   
.
Theo(2.1.2.a) ta có
1
, J,c ,i =1,n
n
i i i i i i
i
abc a b


    





IJ
và
JK
đều là iđêan của
R
và
1
IJ , J,i =1,n
n
i i i i
i
ab a b


  



nên
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 17
11
IJ( ) , J,c , 1, , 1,
mn
i i j i i j
ji

ab c a b i n j m



      





.
Ta có
1 1 1 2 1 1 1 2
11

mn
i i j n n n n n n m
ji
ab c abc a b c abc a b c a b c


       




Suy ra
11
, , J,c , 1, , 1,
mn

i i j i i j
ji
ab c a b i n j m


      



.
Vậy
 
IJ .  
(1)
Lại có
x
thì
1
, , J,c , 1, , 1,
n
i i j i i j
i
x abc a b i n j m

     


Do đó
1
( ) (IJ)

n
i i i
i
x ab c

  

. Vậy
(IJ)  
(2)
Từ (1), (2) suy ra
(IJ)  
.
Tương tự ta chứng minh được
(J )=  

Suy ra
 
IJ K=I(JK)
(đpcm).
Từ các tính chất
   
12
,dd
ta có thể đưa ra định nghĩa tích của một họ các
iđêan của
R
như sau:
e. Tích một họ các iđêan
 Định nghĩa.

Cho
12
, , ,
n
  
là một họ các iđêan của vành giao hoán
R
. Khi đó tích các
iđêan đã cho, kí hiệu là
1
n
i
i


, là một iđêan của
R
sinh bởi tập:

 
12
, 1,
n i i
L aa a a i n  

 Biểu diễn phần tử.

1j 2j j ij
1
1

, 1, ,j=1,
n
n
i n i
i
i
a a a a i n m



   





Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 18
 Nhận xét
i. Với
I,J,
là các iđêan của vành giao hoán
R
ta có:
(J+ )=IJ  
. Thật
vậy
1
(J+ ) = ( ) , J, , 1,

n
i i i i i i
i
a b c a b c i n


      





11
, J, , 1,
nn
i i i i i i i
ii
ab ac a b c i n


     



= IJ + 

ii. Trường hợp đặc biệt:
()
m
m

các phần tử được xác định như sau:
 Nếu
*
12
1
: , , 1,n, 1, .
n
m
i i im ij
i
m x x a a a a i j m

      


 Nếu
0m
thì
0
R
.
2.2.3. Giao các iđêan
a . Định nghĩa .Cho
 




là họ các iđêan của vành giao hoán
R

. Giao của
họ các iđêan
 




là một iđêan của
R
xác định như sau

 
;aa




   
.
b. Ví dụ . là vành giao hoán,
,J=nnm
là hai iđêan của .
Khi đó :
 
J = b ,b ,mn 
. Thật vậy
 Chứng minh
J b  
.
Ta có

 
,b m n
thì
1
1
.
.
b mm
b nn






Với mọi
Jx
ta có
xm
xn



do đó
xb
hay
.x bt b
.
Suy ra
J b  

(1)
 Chứng minh
J b  
.
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 19
Với mọi
xb

ta có
1
1
. . .
. . .
x bt mm t m
x bt nn t n
  


  


Do đó
Jx
nên
J b  
(2)
Từ (1), (2) ta có
 

J = b ,b ,mn 
.
 Với
2 ,J=4
thì
J=4
.
2.2.4. Thƣơng các iđêan
a. Định nghĩa
Cho
R
là vành giao hoán,

và
J
là hai iđêan của
R
. Ta định nghĩa thương
 
:J
xác định bởi
 
 
:J aJaR   
.
Đặc biệt:
 
0
thì thương
 

   
0:J aJ 0 0, Ja R a R ab b      

Thương
 
0:J
được gọi là linh hóa tử của
J
và được kí hiệu là
nnJ
hoặc
R
nn J
.
b. Nhận xét
1.
 
:J
là iđêan của R.
2.
IJ J I J I + J    
()
Chứng minh
1. Giả sử
,xy
là hai phần tử của
 
:J
và
a

là một phần tử của
R
. Ta có
J ,yJx  
nên
 
Jxy 
. Suy ra
 
:Jxy  
.
Và
J = a Jxa x 
nên
( :J)xa
.
Vậy
 
:J
là iđêan của
R
.
2. Với
IJx
có thể biểu diễn
x
dưới dạng :
1
, , J.
n

i i i i
i
x ab a b

  


Mà
J
ii
ab
nên
xJ
suy ra
 
IJ J  
(1)
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 20
Với mọi
J
J
x
x
x


  




nên
Jx
. Do đó
( J) ( J)    
(2)
Với mọi
Jx
thì
x
xJ





suy ra
0, ,0
0, ,0
x x x J
x x x J
    


    

suy ra
x I J
.

Do đó
   
JJ   
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.
c. Ví dụ .
( , ,.)
là vành giao hoán,
2 ,J=3
là 2 iđêan của . Khi đó
   
 
:J 2 :3 3 2aa    


 
3 2 ,a an n    


 
22aa   
.
2.3. Iđêan cực đại
2.3.1. Định nghĩa
Iđêan

của vành giao hoán
R
được gọi là iđêan cực đại nếu thỏa mãn 2 điều
kiện sau :

i.
R
.
ii. Nếu có iđêan

của
R
mà

thì
R
.
Ví dụ.Vành nguyên là vành giao hoán có
p
là iđêan cực đại khi và chỉ
khi
p
là số nguyên tố.
Chứng minh
Mọi iđêan của vành đều có dạng
n
với
n
.
Giả sử
p
là iđêan cực đại, ta phải chứng minh
p
là số nguyên tố.
Giả sử

p
không là số nguyên tố thì
12
.p p p
với
12
1 , .p p p

Với mọi
xp
ta có
1 1 2 1 1 1
. . . ,x p x p p x p p   
.
Suy ra
1
pp

trái với giả thiết
p
là iđêan cực đại.
Vậy
p
là số nguyên tố.
Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 21
Ngược lại, giả sử
p
là số nguyên tố.

Giả sử
p
không là iđêan cực đại thì tồn tại iđêan
m
của
,m 
sao cho
pm
ta suy ra
m

là ước thực sự của
p
.
Điều này trái với giả thiết
p
là số nguyên tố nên điều giả sử là sai.
Vậy
p
là iđêan cực đại.
2.3.2. Mệnh đề
Cho
R
là vành giao hoán, có đơn vị,

là iđêan cực đại của
R
nếu và chỉ nếu
R


là trường.
Chứng minh
Giả sử


là iđêan cực đại của
R
. Ta chứng minh
R

là trường. Thật vậy, do
R
là vành giao hoán, có đơn vị nên
R

là vành giao hoán, có đơn vị. Vậy
R

có ít nhất 2 phần tử là
0
và
1
.
Giả sử
R
x

mà
x 
suy ra

x
. Đặt
x 
thì

là iđêan của
R
và

. Do

là iđêan cực đại nên
R
.
Do đó
1
vậy tồn tại
0
,x R a 
sao cho
0
1 xx a

Suy ra
 
 
0 0 0
1 xx a xx x x        
.
Hay nghịch đảo của

x
là
0
x 
. Vậy
R

là một trường.
Ngược lại, giả sử
R

là trường thì
R


và có ít nhất 2 phần tử là
0 ,1 
Suy ra
R
(
vì nếu
R
thì
1 1 0 ).      

Giả sử

là iđêan của
R
thỏa mãn

,
khi đó tồn tại
x



.
Suy ra
x 
. Do
R

là trường nên tồn tại
0
R
x 

sao cho
 
 
0
1xx   
suy ra
0
1xx   
hay
0
1xx  
.