bộ 50 đề thi thử thpt quốc gia môn toán có đáp án đặng thành nam

!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%456%+#$6%7%+"89%:;6&%+"<6"%=3>%7%43?"@'6ABCD6%%
,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%%%%%%%%%%%%%%%%%:L6&%AM%?"E#%6"N>%O%"P1%B'6"%6"Q6%R/%)S'%"P1%T"U%%
Page%1/9%
!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%7%+"89F%:;6&%+"<6"%=3>%
456F%+#$6V%:W%XY%GZ[\G%
+"]'%&'36%@<>%^<'F%Z_G%T"`?a%A"56&%Ab%?"]'%&'36%&'3#%)*%
%
c'd6%"e%)L6&%AM%A"#$%"P1%7%,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%
fg/%ZhiaG%)'b>j%Cho%hàm%số%

y =
2x −1
x −1
(1)
.%
1. Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
2. Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
3. Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
fg/%KhiaG%)'b>j%Giải%các%phương%trình%%
1.

2 tan x(1− cos x ) =
1
cos x
−1
.%
2.

4 + ln(x +1) + x
3
− 2x

2
+ x −2 = 0
.%%%
fg/%OhZa\%)'b>j%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường%

y = x
2
− 3x +1; y = −4x + 3
.%Tính%
thể%tích%khối%tròn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hoành.%%
fg/%ihZa\%)'b>j%Gọi%

z
1
,z
2
%là%hai%nghiệm%của%phương%trình%

(1+ i )z
2
− 2iz −21+ i = 0
.%Tính%

A = z
1
2
− z
2
2
.%%%

fg/%\hZaG%)'b>j%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%
đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%
liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ô%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%của%hai%số%kim%quay%chỉ%khi% mâm%quay%dừng%là%một%số%
chia%hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%
fg/%JhZa\% )'b>j%Cho% hình%lăng% trụ% ABC.A’B’C’% có% đáy% ABC% là% tam% giác% vuông% cân% tại%A,%

BC = 2a
.%Hình%chiếu%vuông%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm% cạnh%AB,%góc%giữa%
đường%thẳng%A’C%và%mặt%đáy%bằng%60
0
.%Tính%thể%tích%khối%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%và%khoảng%
cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%
fg/%IhOa\%)'b>j%%
1. Trong% không% gian% với% hệ% toạ% độ% Oxyz% cho% điểm% A(1;0;Ç1)% và% mặt% phẳng%

(P ) : 2x + 2y − z −12 = 0
.%Viết%phương%trình%đường%thẳng%d%đi%qua%A%vuông%góc%với%(P).%
Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vuông%góc%của%A%trên%(P).%%
2. Trong%mặt%phẳng%với%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M%là%
điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn%

CM = 2BC
,%N%là%hình%chiếu%vuông%góc%của%B%trên%DM.%Tìm%
toạ%độ%điểm%B,%biết%

N (83/13;−1/13)
và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng%

2x + y + 5 = 0

.%%%
fg/%_hZa\%)'b>j%Giải%hệ%phương%trình

4x − xy
2
− x
3
= (x
2
+ y
2
− 4)( x + y −1)
(x − y)(x − 1)( y −1)(xy + x + y) = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(x, y ∈ !)
.%
fg/%HhZa\%)'b>j%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn%

a ≥ 7.max b,c
{ }
;a + b + c =1
.%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức%

P = a(b − c )
5
+ b(c − a)
5
+ c (a − b)
5
.%
%
kkk,l+kkk%
:m-%m=%7%+,n=2%:op4%7%qr=,%cst=%:W%GZ[\G%
!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%456%+#$6%7%+"89%:;6&%+"<6"%=3>%7%43?"@'6ABCD6%%
,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%%%%%%%%%%%%%%%%%:L6&%AM%?"E#%6"N>%O%"P1%B'6"%6"Q6%R/%)S'%"P1%T"U%%
Page%2/9%
+"36&%)'b>%?Ru6&%v6&F%% %
fg/%ZF%ZCZhKaG%)'b>jV%ZCK%D<%ZCO%>w'%M%ZaG%)'b>%
fg/%KF%KCZ%D<%KCK%>w'%M%KaG%)'b>%
fg/%IF%ICZhKaG%)'b>jV%ICKhZa\%)'b>j%
fg/%ZhiaG%)'b>j%Cho%hàm%số%

y =
2x −1
x −1
(1)
.%
1. Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
2. Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
3. Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
1. Học%sinh%tự%làm.%
2. Đường%thẳng%AB%có%pt%là%

y = 2
;%trung%điểm%của%AB%là%điểm%I(3;2).%
Giả%sử%tiếp%điểm%

M (m;
2m −1
m −1
),m ≠1
.Tiếp%tuyến%có%dạng:%

y = −
1
(m −1)
2
(x − m) +
2m −1
m −1
.%
Để%d%cách%đều%A,B%có%2%trường%hợp:%
+%Nếu%d//AB%khi%đó%

k
d
= k
AB
⇔ −
1
(m −1)
2
= 0

(vô%nghiệm).%
+%Nếu%d%đi%qua%I%khi%đó%

2 = −
1
(m −1)
2
(3− m)+
2m −1
m −1
⇔ m − 2 = 0 ⇔ m = 2
.%
Suy%ra%tiếp%tuyến%cần%tìm%là%

y = −x + 5
.%%%%
3. Giả%sử%

M (m;
2m −1
m −1
),m ≠1
.%Khi%đó%

d(M ;Ox) =
2m −1
m −1
;d(M ;Oy) = m
.%
Ta%cần%tìm%GTNN%của%biểu%thức%

P =
2m −1
m −1
+ m
.%
+%Nếu%

m >
1
2
⇒ P > m >
1
2
.%
+%Nếu%

m < 0 ⇒ P >
2m −1
m −1
>1
.%
+%Nếu%

0 ≤ m ≤
1
2
⇒ P =
2m −1
m −1

+ m =
m
2
+ m −1
m −1
=
(2m −1)(m +1)
2(m −1)
+
1
2
≥
1
2
.%
So%sánh%có%giá%trị%nhỏ%nhất%bằng%½.%Dấu%bằng%xảy%ra%khi%

m =
1
2
⇒ M
1
2
;0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜

⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.%%%%%
Vậy%điểm%cần%tìm%là%

M 1/ 2;0
( )
.%
fg/%KhiaG%)'b>j%Giải%các%phương%trình%%
1.

2 tan x (1− cos x ) =
1
cos x
−1
.%
2.

4 + ln(x +1) + x
3
− 2x
2
+ x − 2 = 0
.%%%
1. Điều%kiện:%

cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
π
2
+ k 2π
.%
Phương%trình%tương%đương%với:

2 sin x (1− cos x )
cos x
=
1− cos x
cos x
.%
!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%456%+#$6%7%+"89%:;6&%+"<6"%=3>%7%43?"@'6ABCD6%%
,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%%%%%%%%%%%%%%%%%:L6&%AM%?"E#%6"N>%O%"P1%B'6"%6"Q6%R/%)S'%"P1%T"U%%
Page%3/9%
%

⇔ (1−cos x )( 2sin x −1) = 0 ⇔
cos x = 1
sin x =
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔

x = k2π
x =
π
4
+ k 2π
x =
3π
4
+ k 2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.%%
Vậy%nghiệm%của%phương%trình%là%

x = k2π;x =
π
4
+ k 2π; x =
3π
4
+ k 2π,k ∈ !

.%%%
2. Điều%kiện:%

x > −1
ln(x +1) + 4 > 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔ x >−1+ e
−4
.%
Phương%trình%tương%đương%với:%

4 + ln(x +1) + x(x −1)
2
− 2 = 0
.%
+%Nếu%

x > 0
khi%đó%

VT > 4 + ln(x +1) − 2 > 0
,%pt%vô%nghiệm.%
+%Nếu%

x < 0
%khi%đó%

VT ≤ 4 + ln(x +1) − 2 < 0
,%pt%vô%nghiệm.%%%%
Nhận%thấy%

x = 0
%thoả%mãn.%Vậy%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất%

x = 0
.%
f"`%MC%Có%thể%giải%bằng%pp%hàm%số.%%
fg/%OhZa\%)'b>j%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường%

y = x
2
− 3x +1; y = −4x + 3
.%Tính%
thể%tích%khối%tròn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hoành.%%
Phương%trình%hoành%độ%giao%điểm:%

x
2
−3x +1 = −4x + 3 ⇔ x
2
+ x − 2 = 0 ⇔
x = −2
x =1
⎡

⎣
⎢
⎢
.%
Vì%vậy%%

V = π (x
2
−3x +1)
2
−(−4x + 3)
2
dx
−2
1
∫
= π (x −1)(x + 2)(x
2
−7x + 4) dx
−2
1
∫
= π −(x −1)(x + 2)(x
2
−7x + 4)dx
−2
7− 33
2
∫
+

(x −1)(x + 2)(x
2
−7x + 4)dx
7− 33
2
1
∫
=
7856
15
−
847 33
10
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
π
.%%%
f"`%MC%Thể%tích%khối%tròn%xoay%sinh%ra%khi%quay%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%đồ%thị%của%hai%hàm%số%

y = f (x); y = g(x)
và%các%đường%thẳng%

x = a; x = b(a < b)
được%tính%theo%công%thức%
%

V = π f
2
(x)− g
2
(x) dx
a
b
∫
.%
Nhiều%học%sinh%mắc%sai%lầm%khi%sử%dụng%công%thức%tự%chế%

V = π ( f (x) − g(x))
2
dx
a
b
∫
.%Các%em%
cần%chú%ý.%%%%%
fg/%ihZa\%)'b>j%Gọi%

z

1
,z
2
%là%hai%nghiệm%của%phương%trình%

(1+ i )z
2
− 2iz − 21+ i = 0
.%Tính%

A = z
1
2
− z
2
2
.%%%
Ta%có%

Δ' = i
2
−(1+ i )(−21+ i ) = 21+ 20i = (5+ 2i)
2
.%
Suy%ra%

z = −3+ 2i; z = 4− i
.%
!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%456%+#$6%7%+"89%:;6&%+"<6"%=3>%7%43?"@'6ABCD6%%
,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%%%%%%%%%%%%%%%%%:L6&%AM%?"E#%6"N>%O%"P1%B'6"%6"Q6%R/%)S'%"P1%T"U%%

Page%4/9%
Vì%vậy%

A = (−3+ 2i)
2
− (4− i)
2
= (5−12i )− (15− 8i ) = 10+ 4i = 2 29
.%%%%
f"`%MC%Một%số%học%sinh%tính%toán%sai%giá%trị%của%A%nên%bước%tính%toán%các%em%đặc%biệt%lưu%ý.%
fg/%\hZaG%)'b>j%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%
đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%
liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ô%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%2%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%
hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%
+%)%Số%cách%xuất%hiện%kết%quả%của%trò%chơi%là%

10.10 = 100
.%%
+%)%Ta%tìm%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3.%
Trước%tiên%phân%chia%10%số%ban%đầu%thành%3%loại:%Loại%I%gồm%các%số%chia%hết%cho%3%có%3%số%
(3,6,9);%loại%II%gồm%các%số%chia%3%dư%1%có%4%số%(1,4,7,10);%loại%III%gồm%các%số%chia%3%dư%2%số%có%3%số%
(%2,5,8).%Vậy%có%các%khả%năng%sau:%
+%Cả%2%lần%kim%quay%đều%chỉ%số%loại%I%có%3.3=9%cách.%
+%Có%1%lần%quay%chỉ%số%loại%II%và%1%lần%quay%chỉ%số%loại%III%có%2!.4.3=24%cách.%
Vậy%số%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3%là%
9+24=33%cách.%
Vậy%xác%suất%cần%tính%là%

P = 33/100 = 0,33

.%%%
f"`%MC%Có%thể%giải%bằng%cách%liệt%kê%số%phần%tử.%Xem%thêm%bình%luận%cuối%đề.%%
fg/%JhZa\%)'b>j%Cho%hình%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%có%đáy%ABC%là%tam%giác%vuông%cân%tại%A,%

BC = 2a
.%Hình%chiếu%vuông%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa%
đường%thẳng%A’C%và%mặt%đáy%bằng%60
0
.%Tính%thể%tích%khối%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%và%khoảng%
cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%
%
Gọi%H%là%trung%điểm%cạnh%AB%theo%giả%thiết%ta%có%

A'H ⊥ (ABC )
.%
Tam%giác%ABC%vuông%cân%tại%A,%suy%ra%

AB = AC = a 2
.%
Tam%giác%AHC%vuông%có:%
%

HC = AC
2
+ AH
2
= 2a
2
+
a

2
2
=
a 10
2
.%%
Có%HC%là%hình%chiếu%của%A’C%trên%(ABC)%nên%

A'CH
!
= 60
0
.%
Suy%ra%

A' H = HC.tan 60
0
=
a 30
2
.%
Vì%vậy%

V
ABC .A' B 'C
= A' H .S
ABC
=
a 30
2

.
1
2
.(a 2)
2
=
a
3
30
2
(đvtt).%%%%
Kẻ%HK%vuông%góc%với%AA’%tại%K%có%

AC ⊥ (ABB ' A') ⇒ AC ⊥ HK
.%
Suy%ra%

HK ⊥ (ACC ' A'),HK = d (H ;(ACC ' A'))
.%
Ta%có%

1
HK
2
=
1
AH
2
+
1

A' H
2
=
2
a
2
+
2
15a
2
⇒ HK =
a 30
8
.%
Vì%vậy%

d (B;(ACC ' A')) =
BA
HA
.d (H ;(ACC ' A')) = 2HK =
a 30
4
.%%%%%
fg/%IhOa\%)'b>j%%
!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%456%+#$6%7%+"89%:;6&%+"<6"%=3>%7%43?"@'6ABCD6%%
,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%%%%%%%%%%%%%%%%%:L6&%AM%?"E#%6"N>%O%"P1%B'6"%6"Q6%R/%)S'%"P1%T"U%%
!"#$%&'(%
)* +, #%/01.#%#2".%342%05%6-7%89%:;<=%>0-%82?@%AB)CDCE)F%3G%@H6%I0J.#%

(P ) : 2x + 2y − z −12 = 0

*%K2L6%I0MN.#%6,O.0%8MP.#%60J.#%Q%82%RS"%A%3S1.#%#T>%342%B!F*%
+O@%6-7%89%0O.0%>02LS%3S1.#%#T>%>U"%A%6,V.%B!F*%%
W* +, #%@H6%I0J.#%342%05%6,X>%6-7%89%:;<%>0-%0O.0%>0Y%.0Z6%A[\]%>T%8^.0%ABE_C`F*%ab2%c%
dG%82?@%60S9>%62"%[\%60-e%@f.%

CM = 2BC
g%h%dG%0O.0%>02LS%3S1.#%#T>%>U"%[%6,V.%]c*%+O@%
6-7%89%82?@%[g%i2L6%

N 83/13;−1/13
( )
3G%8^.0%\%60S9>%8MP.#%60J.#%

2x + y + 5 = 0
*%%%%%%
)* jMP.#%60J.#%Q%3S1.#%#T>%342%B!F%.V.%Q%.0k.%36I6%

n
!
= (2;2;−1)
%>U"%B!F%dG@%3l>%6N%>0^%
I0MN.#*%%KO%3Z<%

d :
x =1+ 2t
y = 2t
z = −1−t
⎧
⎨
⎪

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
(t ∈ !)
*%
+0"<%;g<g=%6m%I0MN.#%6,O.0%>U"%Q%3G-%I6%>U"%B!F%6"%8Mn>o%
%

2(1+ 2t ) + 2.2t − (−1− t ) −12 = 0 ⇔ 9t − 9 = 0 ⇔ t = 1
*%
pS<%,"%6-7%89%0O.0%>02LS%3S1.#%#T>%>U"%A%6,V.%B!F%dG%82?@%qBrCWCEWF*%
%
W*%ab2%

C (t;−2t −5)
*%ab2%s%dG%6k@%0O.0%>0Y%.0Z6%A[\]g%tS<%,"%s%dG%
6,S.#%82?@%>U"%A\%3G%[]*%
]-%8T%

I
t −4
2
;
−2t + 3
2

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
*%+"@%#2u>%[]h%3S1.#%672%h%>T%s%dG%6,S.#%
82?@%[]%.V.%

IN =
BD
2
= IB = IA
*%
+"%>T%I6o%

83
13
−
t −4
2
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ −
1
13
−
−2t + 3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
= −4 −

t −4
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ 8−
−2t + 3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

2
⇔ t = 1
*%
pS<%,"%

I −
3
2
;
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
;C (1;−7)
*%
ab2%[B"CiF%6"%>T%

CM
! "!!
= 2BC

! "!!
= 2(1−a;−7− b) ⇒ M (3− 2a;−21− 2b)
*%
+"%>T%

BN
! "!!
=
83−13a
13
;−
1+13b
13
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
,MN
! "!!!
=
44 + 26a
13

;
272+ 26b
13
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
*%
]-%[h%3S1.#%#T>%342%ch%.V.o%

BN
! "!!
.MN
! "!!!
= 0 ⇔ (83−13a)(44 + 26a)−(1+13b)(272+ 26b) = 0 (1)
*%
cH6%/0u>o%

IB
2
= IC
2

=
125
2
⇔ a +
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ b −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
125
2
(2)
*%%%%%%%%
+m%B)F%3G%BWF%6"%>To%
%

a
2
+ b
2
+ 3a −b = 60
13(a
2
+ b
2
)−61a +137b −130 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⇔
2a − 3b =13
a
2
+ b
2
+ 3a −b = 60
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
a = −4,b = −7
a =
83
13
,b = −
1
13
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
*%
jv2%>02LS%[%/0u>%h%tS<%,"%[BE_CEwF*%%%%

VW/%XYZ[\%)']>^%a2e2%05%I0MN.#%6,O.0

4x − xy
2
− x
3
= (x
2
+ y
2
− 4)( x + y −1)
(x − y)(x − 1)( y −1)(xy + x + y) = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
*%
j2xS%/25.o%

x ≥ 0; y ≥1
*%
!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%456%+#$6%7%+"89%:;6&%+"<6"%=3>%7%43?"@'6ABCD6%%
,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%%%%%%%%%%%%%%%%%:L6&%AM%?"E#%6"N>%O%"P1%B'6"%6"Q6%R/%)S'%"P1%T"U%%
!"#$%y'(%
!0MN.#%6,O.0%60z%.0{6%>U"%05%6MN.#%8MN.#%342o%
%

( x + y −1 + x)(x
2
+ y
2
− 4) = 0 ⇔
x + x + y −1 = 0
x
2
+ y
2
= 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
*%
|%K42%

x + x + y −1 = 0 ⇔
x = 0
y =1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
B60}%d72%60{<%/01.#%60-e%@f.F*%

|%K42%

x
2
+ y
2
= 4
%6"%>T%05%I0MN.#%6,O.0%

x
2
+ y
2
= 4
(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(1)
*%
%
K2L6%d72%I6%60z%0"2%>U"%05%QM42%Q7.#o%
%

( y
2

−1)x
3
−( y
3
−1)x
2
+ y
3
− y
2
− 4 = 0
⇔ (y
2
−1)x
2
−( y
3
−1)(4− y
2
) + y
3
− y
2
− 4 = 0
⇔ (y
2
−1)x
3
+ y
2

( y − 2)( y +1)
2
= 0
⇔ (y
2
−1)(4− y
2
)x + y
2
( y − 2)( y +1)
2
= 0
⇔ (y +1)( y − 2) y
2
( y +1)−( y −1)( y + 2)x
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 0
⇔
y = −1(l )
y = 2(t / m) ⇒ x = 0
y
2
( y +1) = ( y −1)( y + 2)x
⎡
⎣

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
*%
+"%;l6%I0MN.#%6,O.0o%

y
2
( y +1) = (y −1)( y + 2)x ⇔ y
2
( y +1) = (y −1)( y + 2) 4− y
2
*%
cH6%/0u>o

1 ≤ y ≤ 2
%tS<%,"%o%%
%

y
2
= y
2
+ y − 2+ (2− y) ≥ y
2
+ y − 2;
y +1= y
2

+ 2y +1 = (4− y
2
) + (2y
2
+ 2y − 3) > 4− y
2
*%
pS<%,"%

VT >VP
*+z>%I0MN.#%6,O.0%6,V.%31%.#025@*%%%
KZ<%05%I0MN.#%6,O.0%>T%.#025@%QS<%.0{6%

(x; y) = (0;2)
*%%
V"_%MC%+3%1N%?"]%&'('%YZ^%`a6&%K%1$1"%A"$1%B3/F%
V$1"%KF%~02%8T%8?%05%B)F%>T%.#025@%6"%I0e2%>To%

(x − y)(x −1) ≥ 0
*%
~02%8T%t}%QX.#%i{6%8J.#%60z>%Ac%•ac%6"%>To%
%

VT = ( y −1) (xy + x + y)(x
2
− xy − x + y)
⎡
⎣
⎢
⎤

⎦
⎥
≤
( y −1)(x
2
+ 2y)
2
4
=
( y −1)(4− y
2
+ 2y)
2
4
=
4( y −1)
2
.(5−( y −1)
2
)
4
8
≤
4( y −1)
2
+ 4(5−(y − 1)
2
)
5
⎛

⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
5
8
= 4
*%
jJ.#%60z>%;e<%,"%/02%3G%>0^%/02%

4( y −1)
2
= 5−( y −1)
2
x
2
− xy − x + y = xy + x + y
x
2
+ y
2
= 4
⎧

⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ x = 0; y = 2
*%%
V"_%MC%[M4>%>Sv2%>T%60?%>0z.#%@2.0%

( y −1)(4− y
2
+ 2y)
2
4
≤ 4
i€.#%i2L.%8•2%6MN.#%8MN.#%0-H>%
0G@%tv*%%%
!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%456%+#$6%7%+"89%:;6&%+"<6"%=3>%7%43?"@'6ABCD6%%
,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%%%%%%%%%%%%%%%%%:L6&%AM%?"E#%6"N>%O%"P1%B'6"%6"Q6%R/%)S'%"P1%T"U%%
!"#$%w'(%
V$1"%OF%~02%8T%8?%05%B)F%>T%.#025@%6"%I0e2%>To%

(x − y)(x −1) ≥ 0 ⇔
x ≥ y ≥1
x ≤1≤ y

⎡
⎣
⎢
⎢
*%
+,ZF%hLS%

x ≥ y ≥1
%/02%8T%t}%QX.#%Ac%•ac%6"%>To%

(x − y)( y −1) ≤
x − y + y −1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
(x −1)
2
4

*%
pS<%,"%

P = (x − y)( y −1)(x −1)(xy + x + y) ≤
(x −1)
3
4
(xy + x + y)
*%
\0‚%ƒ%t}%QX.#%i{6%8J.#%60z>%\"S>0<%•p>0„",=%6"%>To%

(x − y)
2
+ ( y −1)
2
≥
1
2
(x −1)
2
⇒
3
2
(x −1)
2
≤ (x −1)
2
+ (x − y)
2
+ ( y −1)

2
= 10−2(x + y + xy)
⇒ (x −1)
2
≤
4
3
(5− xy − x − y)
*%
jH6%

t = x + y + xy ≤ x
2
+ y
2
+1= 5 ⇒ t ∈ 3;5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
*%
~02%8T%

P
2
≤
(x −1)
6

16
(xy + x + y)
2
≤.
4
3
3
3
(5− t )
3
16
t
2
=
4t
2
(5− t )
3
27
*%
…l6%0G@%tv%

f (t) =
4t
2
(5− t )
3
27
%6,V.%8-7.%†rC&‡%6"%>To%

f '(t) = −
20t(t − 2)(t −5)
2
27
< 0 ⇒ f (t) ≤ f (3) =
32
3
<16
*%
pS<%,"%

P < 4
%B@ˆS%60Sˆ.%342%I0MN.#%6,O.0%60z%0"2%>U"%05F%3Z<%6,MP.#%0nI%.G<%31%.#025@*%
+,KF%hLS%

y ≥1≥ x
%/02%8T%t}%QX.#%i{6%8J.#%60z>%Ac%•ac%6"%>To%
%

( y −1)(1− x) ≤
y − x
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
2
*%
‰ZI%dSZ.%6MN.#%6Š%6,V.%6"%>To%
%

P
2
≤
( y − x)
6
16
(xy + x + y) ≤
4t
2
(5−t )
3
27
,t = xy + x + y ∈ 1;3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
*%
…l6%0G@%6,V.%8-7.%†)Cr‡%6"%>T%

f (t) =
4t
2
(5− t )
3
27
; f
max
= f (2) =16
*%
+z>%dG%

P
2
≤16 ⇒ P ≤ 4
*%]{S%i€.#%;e<%,"%/02%3G%>0^%/02%

t = xy + x + y = 2
y −1 =1− x
x
2
+ y
2
= 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x = 0
y = 2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
*%%%%%%%%
KZ<%05%I0MN.#%6,O.0%>T%.#025@%QS<%.0{6%

(x; y) = (0;2)
*%%%%
VW/%HYZ[\%)']>^%\0-%"gig>%dG%>u>%tv%60Š>%/01.#%k@%60-e%@f.%

a ≥ 7.max b,c
{ }
;a + b + c =1
*%
+O@%#2u%6,‹%.0Œ%.0{6%>U"%i2?S%60z>%

P = a(b − c )

5
+ b(c − a)
5
+ c (a − b)
5
*%
+"%>T%%
!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%456%+#$6%7%+"89%:;6&%+"<6"%=3>%7%43?"@'6ABCD6%%
,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%%%%%%%%%%%%%%%%%:L6&%AM%?"E#%6"N>%O%"P1%B'6"%6"Q6%R/%)S'%"P1%T"U%%
!"#$%`'(%

P = (a − b)(b − c )(c − a)(a
3
+ b
3
+ c
3
+ ab(a + b) + bc(c + a) + ca(c + a)− 9abc )
= (a −b)(b − c )(c − a)
1
3
(a + b + c )
3
+
2
3
(a
3
+ b
3

+ c
3
)−11abc
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= (a −b)(b − c )(c − a)
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
)−11abc +
1
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥

⎥
*%
+bRc1%?'d6%1"/9]6%D*%`']/%?"e1%)0'%fe6&%O%`'g6%)]%hi%fj%@MC%
kl9%?bm%?/9n?%)0'%?3%)Ro1F%

P = (a −b)(b − c )(c −a) .
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
) +
1
3
−11abc
≤ (a −b)(b − c )(c −a) .
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
) +
1
3

*%
[•2%3O%%

0 ≤ abc ≤
a + b + c
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
3
=
1
27
;
2
3
(a
3
+ b
3
+ c

3
) +
1
3
−11abc ≥
2
3
.3abc +
1
3
−11abc =
1
3
−9abc ≥0
*%
+"%82%6O@%#2u%6,‹%d4.%.0{6%>U"%

P
%/02%8T%"gig>%3"2%6,Ž%.0M%.0"S%/L6%0nI%342%#2e%602L6%.V.%6"%>T%
60?%#2e%t}%

a ≥ b ≥ c
*%
~02%8T%

P ≤
(a −b)(b −c )(a − c )
3
2(a
3

+ b
3
+ c
3
) +1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
*%
|%+"%>T%>u>%8u.0%#2u%>N%ie.o%

(a −b)(b − c )(a − c) ≤ ab(a −b) ≤ b(1−b)(1− 2b);
2(a
3
+ b
3
+ c
3
) = 2b
3
+ 2(a
3
+ c
3
) ≤ 2b
3
+ 2(a + c )

3
= 2b
3
+ 2(1− b)
3
%
pS<%,"%%

P ≤
b(1−b)(1−2b)(2b
3
+ 2(1− b)
3
+1)
3
=
b(1−b)(1−2b)(2b
2
− 2b +1)
3
*%
V"_%MC%j2xS%/25.%

a ≥ 7.max b,c
{ }
;a + b + c =1 ⇒ b ∈ 0;
1
8
⎡
⎣

⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
*%
…l6%0G@%tv%

f (b) =
b(1− b)(1− 2b)(2b
2
− 2b +1)
3
6,V.%8-7.%†DC)'`‡%6"%>T%
%

f '(b) = 20b
4
− 40b
3
+ 30b
2
−10b +1;
f ''(b) = 80b
3
−120b
2
+ 60b −10 = 40b
2

(2b −3) +10(6b −1) < 0,∀b ∈ 0;
1
8
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
*%
pS<%,"%

f '(b) ≥ f
1
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=

149
1024
> 0
*%KO%3Z<%•BiF%8•.#%i2L.%6,V.%8-7.%†DC)'`‡%*%%
pS<%,"%

P ≤ f
1
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
525
8192
⇔ −
525
8192
≤ P ≤
525
8192

*%]{S%i€.#%876%672%

b =
1
8
;c = 0;a =
7
8
*%
KZ<%#2u%6,‹%.0Œ%.0{6%>U"%!%i€.#%E&W&'`)(W*%%
V"_%MC%\kS%0Œ2%8H6%,"%dG%672%t"-%I0k.%6‘>0%8Mn>%!%.0M%6,V.*%h0Z.%60{<%/02%

a = b = c ⇒ P = 0
*%
]-%8T%!%>T%>u>%.0k.%6}%

(a − b)(b − c )(c −a)
*%hT2%60V@%>T%60?%/01.#%>’.%82xS%/25.%
!"#$%&'('%)*%+,-+%./01%2'3%456%+#$6%7%+"89%:;6&%+"<6"%=3>%7%43?"@'6ABCD6%%
,#?@'6EF%GHIJ%KJJ%KGK%%%%%%%%%%%%%%%%%%:L6&%AM%?"E#%6"N>%O%"P1%B'6"%6"Q6%R/%)S'%"P1%T"U%%
!"#$%('(%

a ≥ 7.max b,c
{ }
*%K25>%>0H.%60V@%82xS%/25.%.G<%>0^%.0€@%@X>%8‘.0%iG2%6-u.%>T%/L6%RSe%8“I*%
]7.#%6-u.%.G<%i7.%8b>%60"@%/0e-%>Sv.%“Kỹ$thuật$giải$Bất$đẳng$thức$bài$toán$Min8Max”%
>”.#%6u>%#2e*%j?%,•.%dS<5.%i7.%8b>%60}%tz>%342%iG2%6-u.%@z>%89%3m"%I0e2%%t"S%
p<'%?#$6C%\0-%"gig>%dG%>u>%tv%60Š>%/01.#%k@%60-e%@f.%

a + b + c = 1

*%+O@%#2u%6,‹%d4.%.0{6%3G%.0Œ%
.0{6%>U"%i2?S%60z>%

P = a(b − c )
3
+ b(c − a)
3
+ c (a − b)
3
*%%
:$6"%&'$%1"/6&%D*%)*%?"'%D<%`<'%@<>%1q3%"P1%B'6"%1"#%)*%B0%GZr\GF%%
Lưu$ý:%!0’.%8u.0%#2u%.G<%QŠ"%3G-%I0e.%0•2%>U"%0b>%t2.0%/02%dG@%iG2*%
jx%602%•%@z>%?Rs6&%)0'%A"N%342%8"%tv%60‘%t2.0%3G%.LS%/01.#%>T%>u>0%6,O.0%iG<%6v6%t–%
/01.#%>T%8U%60P2%#2".%8?%dG@%>u>%>kS%/0T*%\u>%>kS%6m%1W/%Z%)g6%ICZ%8x%>0-%@z>%89%3m"%I0e2%
,2V.#%>T%1W/%ZCO%t%1W/%KCK%D<%1W/%\%)u'%"v'%?R%h/9*%K42%>kS%W*W%>’.%t-%tu.0%.#025@%342%D%B>T%60?%
;l6%0G@%tv%6S<%.02V.%QG2F*%VW/%\%8Ž2%0Œ2%>u>%$@%I0e2%6M%QS<%I0k.%>02"%6ZI%0nI%)D%tv%60G.0%r%
d-72%%342%B0%hR%A"'%1"'3%1"#%OC%\0‚%ƒ%.LS%<VS%>’S%60"<%8•2%>02"%>0-%@%60O%6"%I0k.%>02"%6ZI%0nI%
60G.0%>u>%d-72%342%tv%QM%/02%>02"%>0-%@%B>T%60?%#2e2%i€.#%II%d256%/V%tv%/L6%RSe%E%6S<%.02V.%/02%
6—.#%tv%d’.%RS"<%dV.%rg_g˜%d’.%60O%t–%QG2%60O%60$-%dP2%#2e2%6,V.%6"%>T%>u>0%#2e2%6v2%MSF%*%jk<%dG%
@96%iG2%6-u.%>™.#%6MN.#%6Š%.0M%/02%6S.#%8•.#%60P2%>u>%> %;‚>%tš>%3Z<*%+S<%.02V.%60’<%60{<%
@96%tv%i7.%6,O.0%iG<%>u>0%QG2%Q-%3Z<%>02L@%I0’.%d4.%60P2%#2".%8?%#2e2%RS<L6%>u>%>kS%.G<%@G%
>0M"%>T%60P2%#2".%6ZI%6,S.#%tS<%.#0›%1$1%`<'%A"N%?w%YICK%)g6%H^C%VW/%ICK%6_?%?"x?%RS".%6,b.#%
>U"%iG2%6-u.%dG%I0u6%025.%y=zy{C%VW/%B0%X%3x%05%I0MN.#%6,O.0%t–%/0u%d7%342%.02xS%i7.*%q’S%
0L6%6O@%8Mn>%;œW|<œW•_%6m%I0MN.#%6,O.0%8’S%6S<%.02V.%/01.#%;}%dƒ%8Mn>%3L%>Ž.%d72B>02L@%
`Dž%tv%82?@%>U"%>kS%0Œ2F%•%[€.#%/Ÿ%.—.#%i2L.%8•2%/L6%0nI%8u.0%#2u%>N%ie.%6"%>T%/L6%RSe%iG2%
6-u.*%V"_%M%?"d>%1W/%X%@<%)'*/%A'n6%f|zG%D<%9|zZ%@<%186%?"'g?%8?%0-G.%6025.%dP2%#2e2%>0-%"n%
YZ^C% 2V.#%>kS%B0%O%@96%tv%i7.%@š>%t"2%d’@%•%>1.#%60z>%6‘.0%60?%6‘>0%/0v2%6,Ž.%;-"<%3x%82?@%
.G<%>u>%$@%186%@R/%MC%VW/%H%60’<%;S{6%I0u6%6m%@96%ƒ%6M•.#%>™%|%iG2%6-u.%@42%6S<%.02V.%8Ž2%
0Œ2%/0l-%dl-%6, #%RSu%6,O.0%62LI%>Z.%3G%02?S%8x%8L.%6,O.0%iG<%dP2%#2e2*%%
Vl/%?b_1%)*%1"#%)*%B0%GZr\G%

!"#$%&'()*%)"+$,%"' /%01.%23242354532464789"'(:%;%<'-:=5>%<'-:%?7>@A%
B#$%CD$,/%2364%5354%E4%F4%G32%8G*E%<'-:=5>%<'-:%?6G*E@A%
B#$%CD$,%9HI/%G354;4J%87*E%<'-:=5>%<'-:%?55*E@A%
K"LM%CN%<IO$%:P9%<Q%$"#$%&'()*%)"+$,%"' %$R:%$HM%9"'(:%E>SF>@3%K.M%$"'T$%UV%WX%<Y%W.MZ$%$T$%
)"LM%[\%,']%^%:P9%<Q%9HI%"_$%:Q)%9"`)%a"Ib$,%7>SE>@3%
4e1%)']>%?b#6&%A"#(6&%Z}~ZJ%)']>%B•%)€?%9d/%18/C% %
./3%)W9%1N%>•?%A'6"%6&"'n>%@<%1$1%@#€'%?#$6%‚/E6%?"/•1%1$1%E>%10%&x6&%"#<6%?"'n6%
@ƒ'%&'('%?"E#%"Rc6&%?0'%R/%)]%?'g?%A'n>%?"ƒ'%&'36%@<>%`<'C%:]%@<>%)Ro1%)'*/%6<9%)u'%"v'%1$1%
E>%186%b„6%@/9n6%6&39%?w%`W9%&'ƒ%`a6&%1$1"%&'('%1"'%?'g?%…%B/9%6&"†%>‡%b•6&%1$1%"Rc6&%1N%
?"]%?'gT%1Q6%`<'%?#$6%…%?"E#%hˆ'%A"#$%"P1%B$?%B3#%)]%&'('%)*%6&39%A"'%)*%)Ro1%T"$?%"<6"%Dc'%
D'n1%1L6%?"ƒ'%&'36%@<>%`<'%)_6&%ZXG%T"_?C%‰3/%)N%B#%B$6"%)$T%$6%1"'%?'g?%A„>%Š'hE#%?"89%
T"$?%"<6"%B3/%)N‹%%%%
Chúc$các$em$có$kết$quả$tốt$trong$các$đề$tiếp$theo!$
Thân$ái!$
Đông$Hà$Nội$ngày$22.01.2015$
Đặng$Thành$Nam$
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!1!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)*.\]*)
V1US)#4%)().]\*^\.*^])
L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K)
e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.))
Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số!

y = 2x
3
− 3x

2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Gọi!A,B!là!2!điểm!cực!trị!của!(1).!Chứng!
minh!rằng!tam!giác!AOB!vuông!cân!(với!O!là!gốc!toạ!độ).!
2. Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!điểm!có!hoành!độ!

x
1
> 0
!và!cắt!(1)!tại!
điểm!có!hoành!độ!

x
2
thoả!mãn!

2x
1
x
2
= −1
.!
Bh=).)i^c*)>%d6jF)Giải!các!phương!trình!!
1.

log
2
(x
2

−1)− log
2
(x +1)
2
=
1
2
log
2
(x − 2)
2
.)
2.

2(1+ sin x ) + 3 cot x = 0
.)
Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân!

I =
sin3x
1+ cos x
dx
0
π
2
∫
.!
Bh=)k)i^c*)>%d6jF!!
1. Cho!số!phức!z!thoả!mãn!

(1+ i ).z + i.z −1− 3i = 0
.!Viết!

z
3
!dưới!dạng!lượng!giác.!
2. Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số!

y = −
1
4
x
2
+ ln(x +1)
trên![0;2].!
Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABC!có

AB = a, AC = a 3,BC = 2a,SA = SB = SC
!và!tam!giác!
SBC!vuông.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BC.!!!!!
Bh=)-i^c*)>%d6jF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!mặt!phẳng!

(P ) : x + y − z +1 = 0
và!
đường!thẳng!

d :
x − 2
1
=

y −1
−1
=
z −1
−3
.!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của!d!và!(P).!Viết!phương!trình!
đường!thẳng!d’!vuông!góc!với!(P)!và!cắt!d!tại!H!sao!cho!

IH =
7 3
9
.d (H ;(P ))
.!!!!)
Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường!phân!
giác! trong! góc! A! là!

y − 3 = 0
.! Gọi!

M (1;4), N (3;1)
lần! lượt! là! các! điểm! thuộc! các! đường! thẳng!
AB,AC.!Tìm!toạ!độ!các!điểm!B,C!biết!trọng!tâm!tam!giác!ABC!là!điểm!

G
11
3
;
8
3
⎛

⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!!!!
Bh=)a)i^c*)>%d6jF!Giải!hệ!phương!trình!

x (3− y)+ y − 2x = 1
x
2
−( x − 2y)x = 5− 2y + 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!
Bh=)+)i^c*)>%d6jF!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn!

a,b,c ∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
;a + b + c = 3
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!
nhất!của!biểu!thức!

P =
2
11−a
2
− b
2
− c
2
−
a
3
+ b
3
+ c
3
ab + bc + ca + 5
.!
lll!mLlll)
)

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!2!
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN – BÌNH LUẬN
L4E&1)>%d6)#<n&1)o&1())
Bh=)^()^F^i^c])>%d6jX)^F.)i*c])>%d6j)
Bh=).().F^)GU).F.)6p%)3)*c])>%d6)
Bh=)k()kF^X)kF.)6p%)3)i*c])>%d6j)
Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số!

y = 2x
3
− 3x
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Gọi!A,B!là!2!điểm!cực!trị!của!(1).!Chứng!
minh!rằng!tam!giác!AOB!vuông!cân!(với!O!là!gốc!toạ!độ).!
2. Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!điểm!có!hoành!độ!

x
1
> 0
!và!cắt!(1)!tại!
điểm!có!hoành!độ!

x
2
thoả!mãn!

x
1
x
2
= −1/ 2
.!
1. Bước!khảo!sát!vẽ!đồ!thị!học!sinh!tự!làm.!
+!Hai!điểm!cực!trị!của!hàm!số!là!

A(0;1),B(1;0) ⇒ A ∈ Oy,B ∈ Ox ⇒ OA ⊥ OB,OA = OB = 1
.!
Vậy!tam!giác!AOB!vuông!cân!tại!O!(đpcm).!
2. Phương!trình!đường!thẳng!d!là!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!điểm!

x
1
.!
Suy!ra!

d : y = 6(x
1
2
− x
1
)(x − x
1
) + 2x
1
3

− 3x
1
2
+1
.!
Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):!
!

6(x
1
2
− x
1
)(x − x
1
) + 2x
1
3
−3x
1
2
+1= 2x
3
−3x
2
+1
⇔ 2(x
3
− x
1

3
)− 3(x
2
− x
1
2
)− 6(x
1
2
− x
1
)(x − x
1
)= 0
⇔ (x − x
1
)(2x
2
+ (2x
1
−3)x − 4x
1
2
+ 3x
1
) = 0
⇔ (x − x
1
)
2

(2x + 4x
1
−3) = 0 ⇔
x = x
1
x =
3− 4x
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Ta!phải!có!

x
2
=
3− 4x
1
2
;x
1
≠ x
2
⇔ x
1

≠
1
2
.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!
!

x
1
.
3− 4x
1
2
= −
1
2
⇔ 4x
1
2
−3x
1
−1 = 0 ⇔
x
1
= 1(t / m)
x
1
= −
1
4

(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Suy!ra!tiếp!điểm!M(1;0)!và!có!đường!thẳng!d!cần!tìm!là!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!suy!ra!d:

y = 0
.!!!!
Bh=).)i^c*)>%d6jF)Giải!các!phương!trình!!
1.

log
2
(x
2
−1)− log
2
(x +1)
2
=
1
2
log
2
(x − 2)
2

.)
2.

2(1+ sin x ) + 3 cot x = 0
.)
1. Điều!kiện:!

x
2
−1 > 0
x +1 ≠ 0
x − 2 ≠ 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
1 < x ≠ 2
x < −1
⎡
⎣
⎢
⎢

.!
Phương!trình!tương!đương!với:!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!3!

log
2
(x
2
−1)− log
2
(x +1)
2
=
1
2
log
2
(x − 2)
2
⇔ log
2
x
2
−1
(x +1)
2
= log

2
x − 2 ⇔ log
2
x −1
x +1
= log
2
x − 2
⇔
x −1
x +1
= x − 2 ⇔
x > 2
x −1
x +1
= x −2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
x < 2
x −1
x +1

= −x + 2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = − 3
x = 3
x = 1+ 2
⎡

⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!

x = − 3;x = 3; x = 1+ 2
.!!
2. Điều!kiện:!

sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ,k ∈ !
.!
Phương!trình!tương!đương!với:!
!

2(1+ sin x ) + 3.
cos x
sin x
= 0 ⇔ 2sin x(1+ sin x ) = − 3 cos x
⇒ 4sin
2
x(1+ sin x )
2
= 3cos
2
x = 3(1−sin

2
x )
⇔ (sin x +1)(2sin x −1)(2sin
2
x + 3sin x + 3) = 0
⇔
sin x = −1
sin x =
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = −
π
2
+ k2π
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
⎡

⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Thử!lại!chỉ!nhận!nghiệm!

x = −
π
2
+ k2π; x =
5π
6
+ k2π
.!!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!

x = −
π
2
+ k2π; x =
5π
6

+ k2π,k ∈ !
.!!
B4b)3F!Có!thể!đưa!về!pt!với!tan(x/2)!như!sau:!
!

4sin
x
2
cos
x
2
sin
x
2
+ cos
x
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2

+ 3 cos
2
x
2
−sin
2
x
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ 4 tan
x
2
tan
x
2
+1
⎛
⎝

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ 3 1+ tan
2
x
2
−tan
2
x
2
(1+ tan
2
x
2
)
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜

⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ tan
x
2
= −1;tan
x
2
= 2+ 3 ⇔ x = −
π
2
+ k2π;x =
5π
6
+ k2π,k ∈ !
.!!
V4;&)qr#F!Phương!trình!lượng!giác!hình!thức!khá!đơn!giản!nhưng!đòi!hỏi!kỹ!năng!xử!lý!nhất!
định.!Trong!trường!hợp!phương!trình!chỉ!có!sinx,!cosx!mà!không!phân!tích!được!thành!nhân!
tử!có!thể!bình!phương!hai!vế!để!đưa!về!phương!trình!đa!thức!một!ẩn!(của!sinx!hoặc!của!cosx).!
Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân!

I =
sin3x
1+ cos x
dx

0
π
2
∫
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!4!
Ta!có!:!

I =
3sin x −4sin
3
x
1+ cos x
dx
0
π
2
∫
=
sin x(3−4sin
2
x )
1+ cos x
dx
0
π
2

∫
=
sin x(4cos
2
x −1)
1+ cos x
dx
0
π
2
∫
.!
Đặt!
!!
t = cos x ⇒ dt = −sin xdx
!và!khi!đó!
!
!!
I =
4t
2
−1
t + 1
dt
0
1
∫
=
4(t
2

−1) + 3
t + 1
dt
0
1
∫
= 4(t −1) +
3
t + 1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
dt
0
1
∫
= 2t
2
− 4t + 3ln t + 1
( )
1
0
= −2 + 3ln 2
.!!!
Bh=)k)i^c*)>%d6jF!!
1. Cho!số!phức!z!thoả!mãn!

(1+ i ).z + i.z −1− 3i = 0
.!Viết!

z
3
!dưới!dạng!lượng!giác.!
2. Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số!

y = −
1
4
x
2
+ ln(x +1)
trên![0;2].!
1.!Giả!sử!

z = x + y.i(x, y ∈ !)
theo!giả!thiết!ta!có:!
!

(1+ i)(x + yi) + i.(x − yi)−1− 3i = 0
⇔ x −1+ (2x + y −3)i = 0 ⇔
x −1= 0
2x + y − 3 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⇔
x = 1
y = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ z =1+ i
.!
Vì!vậy!

z
3
= (1+ i )
3
= −2+ 2i = 2 2 −
1
2
+
1
2
i
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 2 2 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!
2.!Ta!có:!

y ' = −
x
2
+
1
x +1
; y ' = 0 ⇔ 2− x(x +1) = 0 ⇔
x = 1∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
x = −2 ∉ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.!
Tính!được:!

y(0) = 0; y(1) = ln 2−

1
4
; y(2) = ln3−1
.!
Vì!vậy!

y
max
= y(1) = ln 2−
1
4
; y
min
= y(0) = 0
.!
Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABC!có

AB = a, AC = a 3,BC = 2a,SA = SB = SC
!và!tam!giác!
SBC!vuông.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BC.!!!!!
!
Ta!có!

AB
2
+ AC
2
= BC
2
= 4a

2
nên!tam!giác!ABC!vuông!tại!
A.!
Mặt!khác!do!

SA = SB = SC
nên!S!nằm!trên!đường!thẳng!
đi!qua!tâm!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!và!vuông!
góc!với!mặt!đáy!(ABC).!
Gọi!H!là!trung!điểm!cạnh!BC,!thì!H!là!tâm!đường!tròn!
ngoại!tiếp!tam!giác!ABC.!Suy!ra!

SH ⊥ (ABC )
.!
Tam!giác!SBC!vuông!nên!

SH =
BC
2
= a
.!
Vì!vậy!

V
S .ABC
=
1
3
SH .S
ABC

=
1
3
.a.
1
2
a.a. 3 =
a
3
3
6
(đvtt).!!!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!5!
Kẻ!Ax!song!song!với!BC!và!kẻ!HK!vuông!góc!với!Ax!tại!K;!kẻ!HT!vuông!góc!với!SK!tại!T!dễ!có!

HT ⊥ (SAK )
!.!Kẻ!AI!vuông!góc!với!BC!tại!I.!Ta!có!

HK = AI =
AB.AC
BC
=
a.a 3
2a
=
a 3
2

.!
Chú!ý.!

BC //Ax ⇒ d (BC ;SA) = d(BC ;(SAK )) = d (H ;(SAK )) = HT
.!
Tam!giác!vuông!SHK!có!

1
HT
2
=
1
HK
2
+
1
SH
2
=
4
3a
2
+
1
a
2
⇒ HT =
a 21
7
.!

Vì!vậy!

d (BC;SA) =
a 21
7
.!!!!
Bh=) -) i^c*) >%d6jF) Trong! không! gian! với! trục! toạ! độ! Oxyz! cho! mặt! phẳng!

(P ) : x + y − z +1 = 0
và!đường!thẳng!

d :
x − 2
1
=
y −1
−1
=
z −1
−3
.!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của!d!và!
(P).! Viết! phương! trình! đường! thẳng! d’! vuông! góc! với! (P)! và! cắt! d! tại! H! sao! cho!

IH =
7 3
9
.d (H ;(P ))
.!!!!)
Toạ!độ!điểm!I!là!nghiệm!của!hệ:!

x + y − z +1 = 0
x − 2
1
=
y −1
−1
=
z −1
−3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⇔
x + y − z +1 = 0
−(x − 2)− ( y −1) = 0
−3(x −2)−(z −1) = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎪
⎪
⇔
x = 1
y = 2
z = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
.!
Vậy!I(1;2;4).!
Chuyển!d!về!dạng!tham!số!

d :
x = 2+ t
y = 1− t
z = 1− 3t
⎧
⎨
⎪
⎪

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇒ H (2 + t;1− t;1−3t )
.!
Ta!có!!

d (H ;(P )) =
(2+ t ) + (1− t )− (1− 3t) +1
1
2
+1
2
+ (−1)
2
=
3t + 3
3
;
IH = (t +1)
2
+ (t +1)
2
+ (3t + 3)
2
= 11t

2
+ 22t +11
.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!
!

3t + 3
3
.
7 3
9
= 11t
2
+ 22t +11 ⇔ 49(t +1)
2
= 9(11t
2
+ 22t +11) ⇔ t = −1⇒ H (1;2;4)
.!!
Đường!thẳng!cần!tìm!đi!qua!H!và!nhận!véc!tơ!pháp!tuyến!

n
!
= (1;1;−1)
!của!(P)!làm!vtcp.!
Vậy!đường!thẳng!cần!tìm!

d ' :
x −1
1

=
y − 2
1
=
y − 4
−1
.!!
Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường!phân!
giác! trong! góc! A! là!

y − 3 = 0
.! Gọi!

M (1;4), N (3;1)
lần! lượt! là! các! điểm! thuộc! các! đường! thẳng!
AB,AC.!Tìm!toạ!độ!các!điểm!B,C!biết!trọng!tâm!tam!giác!ABC!là!điểm!

G
11
3
;
8
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞

⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!!!!
Gọi!M’,N’!lần!lượt!là!các!điểm!đối!xứng!của!M,N!qua!phân!giác!trong!góc!A.!Ta!có!M’!thuộc!
AC,!N’!thuộc!AB.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!6!
Dễ!tìm!được!

M '(1;2),N '(3;5)
.!!
Đường!thẳng!AB!đi!qua!M,N’!có!phương!trình!là!

x − 2 y +7 = 0
.!
Đường!thẳng!AC!đi!qua!điểm!N,M’!có!phương!trình!là!

x + 2 y − 5 = 0
.!
Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!của!hệ!phương!trình!

x − 2y + 7 = 0
x + 2y −5 = 0
⎧
⎨

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = −1
y = 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ A(−1;3)
.!
Gọi!

B(2b −7;b) ∈ AB,C (−2c + 5;c ) ∈ AC
.!
Do!G!là!trọng!tâm!tam!giác!ABC!nên:!

−1+ (2b −7) + (−2c + 5) =11
3+ b + c = 8
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⇔
b + c = 5
b − c = 7
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
b = 6
c = −1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒
B(5;6)
C (7;−1)
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
.!
Vậy!toạ!độ!điểm!cần!tìm!là!

B(5;6),C (7;−1)
.!!
V4;&)qr#(! Đề!bài! thầy! chỉ! yêu! cầu! các! em! cần! vận! dụng! tính! chất! đối! xứng! của! điểm! qua!
đường!phân!giác!trong!của!tam!giác.!!
Bh=)a)i^c*)>%d6jF!Giải!hệ!phương!trình!

x (3− y)+ y − 2x = 1
x
2
−( x − 2y)x = 5− 2y + 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!
Điều!kiện:!

x ≥ 0; y ≤
5
2

.!!
Nhân!thêm!2!vào!phương!trình!đầu!của!hệ!rồi!cộng!theo!vế!với!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!
được:!!
!

x
2
−( x −2y)x −4x + 6 x −5−2 x y + 2y − 5− 2y = 0
⇔ (x + 2y −5)(x − x +1) + x − 5−2y = 0
⇔ (x + 2y −5) x − x +1+
1
x + 5−2y
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ x = 5−2y do x − x +1+
1

x + 5−2y
> 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
.!
Thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!!
!

2.
5− x
2
1− x
( )
−4x + 6 x = 2
⇔ (x +1) x = 5x −3 ⇔
x ≥
3

5
x (x +1)
2
= (5x −3)
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x =1
x =11+ 4 7
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!hệ!phương!trình!có!2!nghiệm!là!

(x; y) = (1;2); 11+ 4 7;−3− 2 7
( )
.!!

BI94).(!Phương!trình!đầu!của!hệ!ta!có:

( x −1)(2 x + y−1) = 0 ⇔
x = 1
y = 1− 2 x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.!!
+)!Với!
!!
x = 1 ⇒ y = 2
.!!
+)!Với!
!!
y = 1 − 2 x
!thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!và!đặt!t=căn(x)!ta!được:!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!7!


t
4
−5t
3
+ 2t

2
−3 = 4t + 3
⇔ (t
4
−5t
3
+ 2t
2
−t −3) + (t − 4t + 3) = 0
⇔ t
2
−4t −3
( )
(t
2
−t +1)+
t
2
−4t −3
t + 4t +3
= 0
⇔ t
2
−4t −3
( )
t
2
−t +1+
1
t + 4t +3

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0 ⇔ t = 2+ 7(t > 0)
.
sU%)#;@)#<n&1)#t)
Giải!hệ!phương!trình!

2y(x − x +1) − 4x + 6 x = 6
x
2
− x x = 5− 2y −1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎪
.!Đ/s:!(x;y)=(1;2).!
Bh=)+)i^c*)>%d6jF!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn!

a,b,c ∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
;a + b + c = 3
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!
nhất!của!biểu!thức!

P =
2
11−a
2
− b
2
− c
2
−
a
3
+ b
3
+ c
3

ab + bc + ca + 5
.!
Vì!ba!biến!đối!xứng!nên!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!

a = max a,b,c
{ }
⇒ a ∈ 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!
Khi!đó!!!

a
3
+ b
3
+ c
3
≤ a
3
+ (b + c )
3
= a
3
+ (3−a)
3

= 9(a −2)(a −1)+ 9 ≤ 9
;!
và!

11−a
2
− b
2
− c
2
= 11−(a + b + c )
2
+ 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1)
.!
Suy!ra!

P ≥
1
ab + bc + ca +1
−
9
ab + bc + ca + 5
.!
Đặt!

t = ab + bc + ca
.!Ta!có!

P ≥ f (t) =
1

t +1
−
9
t + 5
.!
Ta!có!

f '(t) =
9
(t + 5)
2
−
1
(t +1)
2
=
8t
2
+ 8t −16
(t +1)
2
(t + 5)
2
> 0
.!
Bởi!vì!

t = ab + bc + ca =
9−a
2

−b
2
− c
2
2
≥
9−a
2
−(b + c )
2
2
= 3a −a
2
= (a − 2)(1−a) + 2 ≥ 0
.!
Vì!vậy!f(t)!đồng!biến!trên![2;3]!suy!ra!

f (t) ≥ f (2) = −
20
21
.!
Đẳng!thức!xảy!ra!khi!

a = 2;b = 1;c = 0
hoặc!các!hoán!vị.!
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!“20/21.!
B4b)3F!Nút!thắt!của!bài!toán!là!đánh!giá!

a
3

+ b
3
+ c
3
≤ 9;ab + bc + ca ≥ 2
.!Nhiều!học!sinh!mắc!sai!
lầm!khi!chỉ!ra!f(t)!đạt!min!tại!t=1.!Bởi!vì!khi!đó!dấu!bằng!không!xảy!ra.!
Ta!có!thể!chỉ!ra!
!!
(2 − a)(2 − b)(2 − c) ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca =
4 + abc
2
≥ 2
.!!!
Ngoài!ra!bằng!cách!tương!tự!chứng!minh!được!các!bất!đẳng!thức!khác:!

ab + bc + ca ≥ 2;a
2
+ b
2
+ c
2
≤ 5
;!

a
4
+ b
4
+ c

4
≤17
.!
sU%)#;@)#<n&1)#t)
Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn!

a,b,c ∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
,a + b + c = 3
.!!
1) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P =
2
11−a
2
− b
2
− c
2
+
ab + bc + ca
a
3
+ b

3
+ c
3
.!!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!8!
2) Tìm!giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức!

P =
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
.!
3) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P =
2(18−a
4
− b
4
− c
4
)
11−a

2
− b
2
− c
2
−
a
3
+ b
3
+ c
3
ab + bc + ca + 7
.!!!
4) Cho!a,b,c!là! các!số!thực! thoả!mãn!

a,b,c ∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
;a + b + c = 3
.!Tìm! giá! trị!nhỏ! nhất! của!bi ểu!
thức!

P =
2
11−a

2
− b
2
− c
2
−
a
3
+ b
3
+ c
3
ab + bc + ca + 7
.!
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)

)
)
)
)
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Lời!giải:!
Không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!

a = max a,b,c
{ }
⇒ a ∈ 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!
Khi!đó!!!
!

a
3
+ b
3
+ c
3
≤ a
3
+ (b + c )
3
= a
3
+ (3−a)
3
= 9(a −2)(a −1)+ 9 ≤ 9
;!
và!

11−a
2
− b
2
− c
2
= 11−(a + b + c )
2
+ 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1)
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))

B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
1!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)*7\]*)
V1US)#4%)().+\*^\.*^])
L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K)
e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.))
Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số!

y = x
4
− 2x
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình!

x
4
− 2x
2
= m
có!bốn!
nghiệm!phân!biệt.!!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
Bh=).)i^c*)>%d6jF)
a) Giải!phương!trình!

log
2

(x
2
+ 6x +1)− log
2
x
2
+1 =
3
2
+ log
2
(x +1)
.!
b) Giải!phương!trình!

sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

cos2x = 2 2 cos x +
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!
Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân!

I = x
2
−7x + 6 dx
0
4
∫
.!
Bh=)k)i^c*)>%d6jF)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn!

z −1− i.z = 1
!và!

z
2
− 3
là!số!thuần!ảo.!!!
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển!

x
n
−
nx
2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
n
= a
0
+ a

1
x + + a
n
2
x
n
2
.!Tìm!số!hạng!
chứa!

x
20
trong!khai!triển,!biết!

4a
n
2
−2n+2
+ a
n
2
−3n+6
= 0
.!
Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!

AB = 2a,AD = a
.!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!vuông!góc!
với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc!

60
0
.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!
và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!
Bh=)-)i^c*)>%d6jF!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;3;1),!B(0;2;1)!và!
mặt!phẳng!

(P ) : x + y + z −7 = 0
.!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!nằm!trong!(P)!và!cách!đều!
hai!điểm!A,B.!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!tam!giác!MAB!có!diện!tích!nhỏ!nhất.!!
Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên!
cạnh!AB!thoả!mãn!

7BF = 5FA
,!đường!thẳng!đi!qua!trung!điểm!E!của!cạnh!AD!và!trọng!tâm!
G!của!tam!giác!ABC!có!phương!trình!là!

11x −7y + 6 = 0
.!Biết!

F −
13
6
;
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
!và!đỉnh!B!có!tung!độ!
âm.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vuông!ABCD.!
Bh=)a)i^c*)>%d6jF!Giải!hệ!phương!trình!

(x − y + 2xy )( y − x)x
2
= 1
2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!
Bh=)+)i^c*)>%d6j.!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P =
(a + b)

3
(2(a + b)(a
2
+ b
2
)
3
+
(b + c )
3
2(b + c )(b
2
+ c
2
)
3
+
(c + a)
3
2(c + a)(c
2
+ a
2
)
3
−16.
ab + bc + ca
ab + bc + ca +1
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
2!
lll!mLlll)
PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
L4E&1)>%d6)#<n&1)o&1)94")#p&1)3)&4q()
Bh=)^()H4J"):I#)^c*)>%d6X)Lr6)6)*c])>%d6X)^F.()*c])>%d6)
Bh=).().F^)GU).F.)6s%)3)*c])>%d6)
Bh=)k()E)GU)`)6s%)3)*c])>%d6)
Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số!

y = x
4
− 2x
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình!

x
4
− 2x
2
= m
có!bốn!
nghiệm!phân!biệt.!!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
1. Bước!khảo!sát!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!học!sinh!tự!làm.!
+)!Phương!trình!tương!đương!với:

m +1 = x
4
− 2x
2
+1
.!
Vậy!số!nghiệm!của!phương!trình!là!số!giao!điểm!của!đường!
thẳng!

y = m +1
với!đồ!thị!hàm!số!(1).!
Dựa!vào!đồ!thị!hàm!số!suy!ra!để!phương!trình!có!3!nghiệm!phân!
biệt!khi!và!chỉ!khi!

0 < m +1 <1 ⇔ −1 < m < 0
.!!!!
!
!
2. Giả!sử!tiếp!điểm!

M (m;m
4
− 2m
2
+1)
.!
Phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tại!M!là!

y = 4(m
3

− m)(x − m) + m
4
− 2m
2
+1
.!
Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):!
!

x
4
− 2x
2
+1= 4(m
3
− m)(x −m) + m
4
− 2m
2
+1
⇔ (x − m)
2
(x
2
+ 2mx + 3m
2
− 2) = 0
⇔
x = m
x

2
+ 2mx + 3m
2
− 2 = 0 (2)
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Để!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!nghiệm!khép!khác!m.!

⇔
Δ' = m
2
−(3m
2
− 2) = 0
−m ≠ m
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
m = −1
m =1
⎡
⎣

⎢
⎢
.!
Từ!đó!suy!ra!có!một!tiếp!tuyến!duy!nhất!thoả!mãn!bài!toán!là!

d : y = 0
.!!!!
Bh=).)i^c*)>%d6jF)
a) Giải!phương!trình!

log
2
(x
2
+ 6x +1)− log
2
x
2
+1 =
3
2
+ log
2
(x +1)
.!
b) Giải!phương!trình!

sin 2x −
π
3

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
cos2x = 2 2 cos x +
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!
1. Điều!kiện:!

x +1 > 0
x
2
+ 6x +1> 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔ x > 2 2 −3
.!
Phương!trình!tương!đương!với:!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
3!

log
2
x
2
+ 6x +1
x
2
+1
= log
2
2 2(x +1)

⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⇔
x
2
+ 6x +1
x
2
+1
= 2 2(x +1) ⇔ 2 2(x
2
+1)(x +1) = x
2
+ 6x +1
⇔ 2 2(x
2
+1)(x +1) = 3(x +1)
2
−2(x
2
+1)
⇔ 3.
x +1
x
2
+1

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
−2 2.
x +1
x
2
+1
−2 = 0
.!
Đặt!

t =
x +1
x
2
+1
> 0
phương!trình!trở!thành:!

!

3t
2
− 2 2t −2 = 0 ⇔
t = 2(t / m)
t = −
2
3
(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!

x +1
x
2
+1
= 2 ⇔ (x +1)
2
= 2(x
2
+1) ⇔ (x −1)
2

= 0 ⇔ x =1
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất!

x = 1
.!
B4b)3F!Phát!hiện!tính!đẳng!cấp!của!phương!trình!vô!tỷ.!!!!!
2. !Phương!trình!tương!đương!với:!

sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
(cos
2
x −sin
2
x ) = 2(cosx −sin x )
⇔ (cos x −sin x ) 2−(cos x + sin x )sin 2x −

π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ (cos x −sin x ) 2 −sin x +
π

4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛
⎝

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ cos x −sin x = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ,k ∈ !
.!
Bởi!vì!

2 −sin x +
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
.sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
≥ 2 − sin x +
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
.sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
≥ 2 −1> 0
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!!

x =
π
4
+ kπ,k ∈ !
.!!
Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân!

I = x
2
−7x + 6 dx
0
4
∫
.!
Ta!có:!!
!

I = (x
2
−7x + 6)dx
0
1
∫
− (x
2
−7x + 6)dx
1
4
∫
=
x
3
3
−
7x
2
2

+ 6x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
1
0
−
x
3
3
−
7x
2
2
+ 6x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜

⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
4
1
=
17
6
+
27
2
=
49
3
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
4!
Vậy!

I =
49
3
.!!

Bh=)k)i^c*)>%d6jF)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn!

z −1− i.z = 1
!và!

z
2
− 3
là!số!thuần!ảo.!!!
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển!

x
n
−
nx
2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

⎟
n
= a
0
+ a
1
x + + a
n
2
x
n
2
.!Tìm!số!hạng!
chứa!

x
20
trong!khai!triển,!biết!

4a
n
2
−2n+2
+ a
n
2
−3n+6
= 0
.!
a) Giả!sử!

z = x + y.i(x, y ∈ !)
!theo!giải!thiết!ta!có:!

x + yi −1− (x − yi).i = 1 ⇔ (x − y −1) + ( y − x )i = 1
⇔ (x − y −1)
2
+ ( y − x )
2
= 1 ⇔ 2(x − y)
2
− 2(x − y) = 0 ⇔
x = y
x − y =1
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
+)!Ta!có!

z
2
− 3 = (x + yi)
2
− 3 = x
2
− y
2
− 3+ 2xy.i

.!
Vì!

z
2
− 3
là!số!thuần!ảo!nên!

x
2
− y
2
− 3 = 0;2xy ≠ 0
.!
Vì!vậy!ta!có!hệ!

x
2
− y
2
−3 = 0
x = y
x − y −1 = 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎧
⎨
⎪

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x = 2
y = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ z = 2 + i
.!
Vậy!số!phức!cần!tìm!là!

z = 2 + i
.!!!!!!!!
b)!Cho!khai!triển!

x
n
−
nx

2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
n
= a
0
+ a
1
x + + a
n
2
x
n
2
(n > 2)
.!Tìm!số!hạng!chứa!

x

20
trong!khai!
triển,!biết!

4a
n
2
−2n+2
+ a
n
2
−3n+6
= 0
.!
Ta!có!

x
n
−
nx
2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
n
= (−1)
k
.
n
k
2
k
C
n
k
x
n(n−k )+2k
k=0
n
∑
.!
Suy!ra!

a
n
2
−2n+2
=
n

2
4
C
n
2
=
n
3
(n −1)
8
;a
n
2
−3n+6
= −
n
3
8
C
n
3
= −
n
4
(n −1)(n − 2)
48
.!
Vì!vậy!theo!giả!thiết!ta!có:!
!

4.
n
3
(n −1)
8
−
n
4
(n −1)(n − 2)
48
= 0 ⇔ n(n − 2)−24 = 0 ⇔
n = 6(t / m)
n = −4(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Vậy!số!hạng!cần!tìm!là!

(−1)
4
.
6
4
2
4
C
6
4

x
20
= 19200x
20
.!
Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!

AB = 2a,AD = a
.!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!góc!với!mặt!
đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc!

60
0
.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!
khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
"!
!
#$%!&!'(!)%*+!,% !/0*!12!3(!456!789!:*!&!'(!;:$<)!;=.!
;*.!)%>/!1?4!3(!

SH ⊥ (ABCD )
@!
A*!/B!

CH =
2
3

AC =
2
3
4a
2
+ a
2
=
2a 5
3
@!

SH = CH .tan 60
0
=
2a 5
3
. 3 =
2a 15
3
@!
CD!3E9!

V
S . ABCD
=
1
3
SH .AB.AD =
1

3
.
2a 15
3
.2a.a =
4a
3
15
9
@!!!!!
#$%!F!'(!;:8<)!,% !246!/B!152F!'(!GD<G!HD<G!G(<G@!
CD!3E9!25II1F!789!:*!25IIJK1FL@!
CD!3E9!

d (CM ;SA) = d(CM ;(SAN )) = d(C;(SAN )) = 3d (H ;(SAN ))
@!
MN!&M!38O<)!)B/!3P%!1F!;Q%!M6!RN!&A!38O<)!)B/!3P%!KM!;Q%!A!789!:*!

HT ⊥ (SAN )
@!
A*.!)%>/!21F!/B!

AN = AD
2
+ DN
2
= a 2
@!
CD!3E9!
!!

HK =
1
3
d C; AN
( )
=
2S
ACN
3AN
=
S
ABCD
6AN
=
2a
2
6.a 2
=
a 2
6
@!!!!!
A*.!)%>/!38O<)!K&M!/B!
!

1
HT
2
=
1
SH

2
+
1
HK
2
=
3
20a
2
+
18
a
2
⇒ HT =
2a 15
33
@!
CD!3E9!

d (CM ;SA) = 3HT =
2a 15
11
@!!!
BH=)-)IJK*)>%L6MF!A:+<)!RGO<)!)%*<!3P%!;:S/!;+Q!,T!UV9W!/G+!G*%!,% !1JXYXYZL6!?J[Y\YZL!3(!
.];!^G_<)!

(P ) : x + y + z −7 = 0
@!C%`;!^Gab<)!;:D<G!,ac<)!;G_<)!d!<e.!;:+<)!JfL!3(!/>/G!,g8!
G*%!,% !16?@!AD.!;+Q!,T!,% !5!;:h<!d!,-!;*.!)%>/!51?!/B!d%i<!;j/G!<Gk!<Gl;@!!
#%m!7n!

C (a;b;7− a −b) ∈ (P )
'(!.T;!,% !;G8T/!d@!
CD!

CA = CB ⇔ (a − 3)
2
+ (b −3)
2
+ (6− a −b)
2
= a
2
+ (b − 2)
2
+ (6− a −b)
2
@!
!

⇔ b = 7− 3a ⇒ C (a;7−3a;2a)
@!
CD!3E9!,ac<)!;G_<)!d!/B!^Gab<)!;:D<G!

d :
x = t
y = 7−3t
z = 2t
⎧
⎨

⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
,t ∈ !
@!
#$%!

M (t;7−3t;2t )
'(!,% !/o<!;D.@!
A*!/B!

AM
! "!!!
= (t −3;4 −3t;2t −1), BM
! "!!
= (t;5− 3t;2t −1)
@!
K89!:*!

AM
! "!!!
,BM
! "!!
⎡

⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= (1− 2t;6t − 3;10t − 15)
@!
MG%!,B!

S
ABC
=
1
2
AM
! "!!!
,BM
! "!!
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
5(28t
2
−68t + 47)
2
=

140 t −
17
14
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
200
7
2
≥
5 14
7
@!
4l8!He<)!Vm9!:*!RG%!3(!/Gp!RG%

t =
17
14
⇒ M

17
14
;
47
14
;
17
7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
@!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
q!
CE9!,% !/o<!;D.!'(!

M
17
14

;
47
14
;
17
7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
@!!
BH=),)IJK*)>%L6MF!A:+<)!.];!^G_<)!;+Q!,T!UV9!/G+!GD<G!38O<)!1?24@!#$%!r!'(!,% !;:h<!
/Q<G!1?!;G+m!.s<!

7BF = 5FA
6!,ac<)!;G_<)!,%!t8*!;:8<)!,% !u!/0*!/Q<G!14!3(!;:$<)!;=.!
#!/0*!;*.!)%>/!1?2!/B!^Gab<)!;:D<G!'(!

11x −7y + 6 = 0
@!?%`;!

F −

13
6
;
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
!3(!,p<G!?!/B!;8<)!,T!
=.@!AD.!;+Q!,T!/>/!,p<G!GD<G!38O<)!1?24@!
!
#$%!*!'(!,T!d(%!/Q<G!GD<G!38O<)!1?24@!
A*!/B!!

GE
! "!!
= BE
! "!!
− BG
! "!!
=

1
2
(BA
! "!
+ BD
! "!!
)−
1
3
BD
! "!!
=
3BA
! "!
+ BD
! "!!
6
;
GF
! "!!
= BF
! "!!
− BG
! "!!
=
5
12
BA
! "!
−

1
3
BD
! "!!
=
5BA
! "!
− 4BD
! "!!
12
@!
K89!:*!

72GE
! "!!
.GF
! "!!
= (3BA
! "!
+ BD
! "!!
)(5BA
! "!
− 4BD
! "!!
)
= 15BA
2
−7BA.BD − 4BD
2

= 15a
2
−7a
2
− 8a
2
= 0
@!!!
CD!3E9!#r!38O<)!)B/!3P%!#u@!
A+Q!,T!,% !#!'(!GD<G!/G%`8!/0*!r!;:h<!#u!;G+m!.s<!Gi!

11x −7y + 6 = 0
7 x +
13
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
+11 y−
3
2

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x = −
1
3
y =
1

3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇒G −
1
3
;
1
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟

⎟
⎟
@!
A*.!)%>/!?r#!/B!
!

GF
2
= BF
2
+ BG
2
− 2BF .BG cos 45
0
⇔
11
2
+ 7
2
36
=
25
144
a
2
+
2a
2
9
− 2.

5a
12
.
a
3
⇔ a = 2 10
@!
#$%!?J*YHL!;*!/B!
!

FB
2
=
25
144
a
2
=
125
18
BG
2
=
2a
2
9
=
80
9
⎧

⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
a +
13
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ b −

3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
125
18
a +
1
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟

⎟
⎟
⎟
2
+ b −
1
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
80
9
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
a = −3,b = −1
a = −
13
51
,b =
169
51
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
@!
vw%!/G%`8!3P%!,%g8!R%i<!789!:*!

B(−3;−1),BF
! "!!
=
5
12

BA
! "!
⇒ A(−1;5)
@!
#$%!x!'(!;=.!GD<G!38O<)!/B!

BI
! "!
=
3
2
BG
! "!!
⇒ I (1;1)
@!4+!x!'(!;:8<)!,% !12!<h<!

C (3;−3)
@!
C(!

AD
! "!!
= BC
! "!!
⇒ D(5;3)
@!!!!!!
CE9!;+Q!,T!Hw<!,% !/o<!;D.!'(!1JyZY"L6!?JyXYyZL6!2JXYyXL!3(!4J"YXL@!!
B4N)3F!2B!;G-!/Gz<)!.%<G!#u!38O<)!)B/!#r!He<)!^^!;:S/!;:+<)!;:S/!G+]/!7n!dS<)!,{<G!|}!
f%;*)+!JV~.!;Gh.!3%d~+!'c%!)%m%L@!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
•!
BH=)O)IJK*)>%L6MF!#%m%!Gi!^Gab<)!;:D<G!

(x − y + 2xy )( y − x)x
2
= 1
2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
@!
v%g8!R%i<€!

y ≥ x ≥ 0;2xy + ( y − 2x )(x + 2xy −4) ≥ 0
@!!!
FGE<!;Gl9!

x = 0
RGO<)!;G+m!.s<!Gi!^Gab<)!;:D<G@!
•‚;!3P%!

x > 0

3%`;!'Q%!^Gab<)!;:D<G!daP%!dQ<)€!

2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) − 2x + y − x − x
⇔
2xy − 4x
2
+ ( y − 2x )(x + 2xy − 4)
2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4)+ 2x
+
y − 2x
y − x + x
= 0
⇔ (y − 2x)
3x + 2xy −4
2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4)+ 2x
+
1
y − x + x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥

= 0 ⇔ y = 2x
@!
?ƒ%!3D!;„!^Gab<)!;:D<G!;Gz!<Gl;!/0*!Gi!;*!/B€!

x − y + 2xy =
1
( y − x )x
2
⇔ 3x + 2xy =
1
( y − x )x
2
+ ( y − x ) + x + x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+ x
@!
Kn!dS<)!Hl;!,_<)!;Gz/!15!…#5!;*!/B€!
!

1
( y − x)x
2
+ ( y − x ) + x + x ≥ 2

1
( y − x)x
2
.( y − x ) + 2 x
≥ 4
1
( y − x)x
2
.y.x
2
4
= 4
@!
K89!:*!

3x + 2xy −4 ≥ x ≥ 0
@!CD!3E9!

3x + 2xy − 4
2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4)+ 2x
+
1
y − x + x
> 0
@!!!!
!CP%!

y = 2x
!;G*9!3(+!^Gab<)!;:D<G!;Gz!<Gl;!/0*!Gi!;*!,a†/€!
!

x
4
= 1 ⇔
x = 1, y = 2(t / m)
x = −1, y = −2(l/)
⎡
⎣
⎢
⎢
@!
CE9!Gi!^Gab<)!;:D<G!/B!<)G%i.!d89!<Gl;!

(x; y) = (1;2)
@!!!
BH=)+)IJK*)>%L6M@!2G+!*6H6/!'(!/>/!7w!;G‡/!dab<)@!AD.!)%>!;:{!<Gk!<Gl;!/0*!H%-8!;Gz/!

P =
(a + b)
3
(2(a + b)(a
2
+ b
2
)
3
+
(b + c )
3
2(b + c )(b

2
+ c
2
)
3
+
(c + a)
3
2(c + a)(c
2
+ a
2
)
3
−16.
ab + bc + ca
ab + bc + ca +1
@!
A*!/Gz<)!.%<G€!

(a + b)
3
(2(a + b)(a
2
+ b
2
)
3
≥ 4ab
@!AGE;!3E9!Hl;!,_<)!;Gz/!;ab<)!,ab<)!3P%€!

!

(a + b)
9
≥128(a + b)(a
2
+ b
2
)a
3
b
3
⇔ (a + b)
8
≥128a
3
b
3
(a
2
+ b
2
)
@!
Kn!dS<)!Hl;!,_<)!;Gz/!15!…#5!;*!/B€!

(a + b)
4
= (a
2

+ b
2
+ 2ab)
2
≥ 8ab(a
2
+ b
2
)
@!
K89!:*!

(a + b)
8
≥ 64a
2
b
2
(a
2
+ b
2
)
2
≥ 64a
2
b
2
(a
2

+ b
2
).2ab =128a
3
b
3
(a
2
+ b
2
)
@!
?l;!,_<)!;Gz/!,ˆ<)6!,_<)!;Gz/!Vm9!:*!RG%!3(!/Gp!RG%!

a = b
@!
Aab<)!;‡!;*!/B€!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
‰!
!

(b + c )
3
2(b + c )(b
2
+ c
2
)

3
≥ 4bc;
(c + a)
3
2(c + a)(c
2
+ a
2
)
3
≥ 4ca
@!
A„!,B!789!:*€!

P ≥ 4(ab + bc + ca)−16
ab + bc + ca
ab + bc + ca +1
@!!!
v];!

t = ab + bc + ca > 0;P ≥ f (t) = 4t −
16t
t +1
@!
A*!/B!

f '(t) = 4−
16
(t +1)
2

; f '(t) = 0 ⇔ t = 1(t > 0)
@!
A*!/B!Š‹J;L!,Œ%!do8!;„!=.!7*<)!dab<)!RG%!,%!t8*!;•Z!<h<!,Q;!/‡/!;%-8!;Q%!;•Z@!
A„!,B!789!:*!

P ≥ f (t) ≥ f (1) = −4
@!!!!
v_<)!;Gz/!Vm9!:*!RG%!3(!/Gp!RG%!

a = b = c
ab + bc + ca = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔ a = b = c =
1
3
@!
CE9!)%>!;:{!<Gk!<Gl;!/0*!f!He<)!yŽ@!
B4N)3F!4+!7+!3P%!H*!^G=<!;Gz/!,o8!/B!^G=<!;Gz/!/8w%!'(!RG>/!<Gl;!3D!3E9!}!;aƒ<)!'(!,><G!)%>!
;GO<)!t8>!J*H•H/•/*L@!!!
!
!
!!
!
!!

!!