CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giới hạn hữu hạn
 Cho khoảng K chứa điểm x
0
và hàm số y=f(x) xác đònh trên K hoặc trên K\
{x
0
}. khi và chỉ khi với dãy số ( bất kỳ ,x
n
\{x
0
} và x
n
,ta có limf(x
n
)=L .
 Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (x
o
;b) . khi và chỉ
khi với dãy số (x
n
) bất kỳ x
0
<x
n
<b và x
n
, ta có limf(x)=L .
 Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;x

0
). , khi và chỉ
khi với dãy số (x
n
) bất kỳ , a<x
n
<x
0
và x
n
, ta có limf(x
n
)=L .
 Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;+∞) . , khi và chỉ
khi với dãy (x
n
) bất kỳ ,x
n
>a và x
n
, thì limf(x
n
)=L
 Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (-∞;a) . , khi và chỉ
khi với dãy số (x
n
) bất kỳ ,x
n
<a và thì limf(x
n

)=L.
2. Giới hạn ở vô cực
 Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng(a;+∞) . , khi và
chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn>a và ,ta có limf(xn)=-∞ .
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>1
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
 Cho K là khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác đònh trên K hoặc trên K\
{x0}. .khi và chỉ khi với mọi dãy số bất kỳ (xn) ,xn thuộc
K\{x0} và x
n
, ta có limf(xn)=+∞ .
Chú ý : f(x) có giới hạn +∞ ,khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞
3.Các giới hạn đặc biệt
Với k là một số nguyên dương
4. Đònh lý về giới hạn hữu hạn
* Đònh lý 1
a) Nếu và , thì



Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>2
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

b) Nếu f(x)≥ 0 và , thì L ≥ 0 và

Đònh lý 2
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) .
L>0
+∞ +∞
-∞ -∞
L <0
+∞ -∞
-∞ +∞
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
Dấu của g(x)
L ±∞ Tuỳ ý 0
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>3
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
L>0 0
+ +∞
- -∞
L <0 0
+ -∞
- +∞
B. Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
I. Thông thường ta áp dụng các quy tắc và đònh lý về giới hạn của hàm số là ta
tìm được ngay giá trò của giới hạn .
Ví dụ , Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím

CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>4
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
II. Một số dạngvô đònh thường gặp và cách biến đổi .
1. Để tính . Ta làm như sau:
• Phân tích tử và mẫu thành nhân tử . Sau đó giản ước nhân tử chung :
• Nếu u(x) và v(x) chứa biến số dưới dấu căn ,thì có thể nhân tử và mẫu với biểu
thức liên hợp ,trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước .
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>5
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
• Một số biểu thức liện hợp thường dùng :
* Chú ý : Trong (**) nếu A(x0)=B(x0)=0 ,ta lại phân tích tiếp chúng thành :
* Khi u(x) hoặc v(x) chứa căn thức cùng bậc :
Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp ( như đã cho ở trên )
Sau đó rút gọn làm xuất hiện thừa số chung .
Giản ước thừa số chung ,sẽ mất dạng vô đònh
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>6
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ1 . ( Bài 4.57-tr-143-BTGT11-NC).
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Vì , thì x+2<0 ,cho nên
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím

CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>7
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2 ( Bài 4.59-tr144-BTGT11-NC)
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>8
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2. Để tìm giới hạn :(Dạng : )
Ta có thể làm như sau :
• Chia tử và mẫu cho , với n là số mũ cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử
và mẫu thành tích chứa nhân tử x
n
,rồi giản ước ).
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>9
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
• Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức ,thì đưa x
k
ra ngoài dấu căn
( với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho
luỹ thừa của x .
• - Chú ý đến cận : Khi x nghóa là x>0 ; còn x , nghóa là x<0
• - Giống như đối với dạng , hoặc ta phân tích thành nhân tử ,hoặc ta nhân liên
hợp ,hoặc ta đưa x ra ngoài dấu căn thức ( phải chú ý đến cận mà bỏ dấu trò

tuyệt đối )
Ví dụ 1. (Bài 32-tr159-GT11-NC)
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>10
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2. (Bài 44-tr167-GT11NC)
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>11
CCH TèM GII HN CA HM S
Vớ duù 3. Tỡm caực giụựi haùn sau :


+
2
2
x
3x(2x 1)
1. lim
(5x 1)(x 2x)
+
+
+ +

2
x
x x 1
2. lim
x x 1

+

2
3 2
3 lim
3 1
x
x x x
x

+ + + +
+ +
2
2
x
x x 2 3x 1
4. lim
4x 1 1 x
ứ giaỷi:
Cỏc bn cú th tham kho cỏc ti liu khỏc ca
NGUYN VN CHUYấN bng cỏch gi phớm
CTRL v CLICK vo ng link di õy:
/>12
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

.
( )
( ) ( )
→ −∞ → −∞ → −∞
 
−
 ÷
−
−
 
= = =
− +
   
− +
− +
 ÷ ÷
   
2
2
2
2
x x x
1
3 2
3 2x 1
3x(2x 1) 6
x
1. lim lim lim
1 2
5x 1 x 2 5

(5x 1)(x 2x)
5 1
x x
→+∞ →+∞
+
+
= =
+ +
+ +
2
2
x x
2
1 1
x x 1
x
x
2. lim lim 0
1 1
x x 1
1
x
x
→ −∞ → −∞ → −∞
− + − − +
− +
= = =
−
 
−

−
 ÷
 
2
3 3
1 2 1 2
3 2 1
3 lim lim lim
1
1
3 1 3
3
3
x x x
x x
x x x
x x
x
x
x
x
→± ∞ →± ∞
 
+ + + +
 ÷
>

+ + + +
 


= =
− <

 
+ + −

+ + −
 ÷
 
2
2
2
x x
2
1 2 1
x 1 x 3
4 khi x 0
x x 2 3x 1
x x
x
2
4. lim lim
khi 0
1 1
4x 1 1 x
3
x 4 x 1
x
x
Ví duï 4. Tìm caùc giôùi haïn sau

→−∞
+ +
−
3 3 2
2
1. lim
2 2
x
x x x
x
→−∞
+ + + +
−
33 2 2 3 2 2
3
2
( 2 ) 2
2 lim
3 2
x
x x x x x x
x x
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUYÊN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>13
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
→−∞
− +
−

2
3 2
3. lim
3 1
x
x x x
x
→+∞
+ − +
+ −
x
(x x x 1)( x 1)
4. lim
(x 2)(x 1)
Bài giải :
→−∞ →−∞
 
+ +
 ÷
+ +
 
= =
−
 
−
 ÷
 
3
3 3 2
2

1 1
2
1. lim lim 1
1
2 2
2 1
x x
x
x
x x x
x
x
x
→−∞ →−∞
 
 
 
+ + + +
 ÷
  
+ + + +
 
= =
−
−
2
2
3
3
33 2 2 3 2 2

3
2
2 2
1 1 1
( 2 ) 2
2 lim lim 1
2
3 2
3
x x
x
x x
x x x x x x
x x
x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
 
+ −
+ −
 
+ − +
 
= =
+ −
 

− + −
+ −
 
 
+ −
= = = → +∞ → ∞
− + −
3 2
3 2
3 2
2
x x x
3
x
2 3
x x 1
x x 1
(x x x 1)( x 1)
4. lim lim lim
(x 2)(x 1)
x x 2 x 2
x 2 x 1
1 1
1
t
t
lim 1 khi :t x ; khix ,t
1 2 2
1
t

t t
Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn sau:
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>14
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
a)
x
2x 1
lim
x 1
→+∞
+
−
b)
2
2
x
x 1
lim
1 3x 5x
→−∞
+
− −
c)
2
x
x x 1

lim
x x 1
→ +∞
+
+ +
d)
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)
→ −∞
−
− +
e)
3
3 2
3 2 2
lim
2 2 1
x
x x
x x
→±∞
− +
− + −
f)
3 2
4

3 2 1
lim
4 3 2
x
x x
x x
→±∞
− −
+ −
g)
3 2
2
2 2
lim
3 1
x
x x
x x
→±∞
− −
− −
h)
4 2
3
3 1
lim
2 2
x
x x
x x

→±∞
− +
− + −
i)
2 2
4
x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
→±∞
− +
+
j)
2 3
2 2
x
(2x 3) (4x 7)
lim
(3x 4) (5x 1)
→ ±∞
− +
− −
k)
2
x
4x 1
lim
3x 1
→∞

+
−
l)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
→+∞
− +
−
→±∞
− + + −
− +
2
2
x
4x 2x 1 2 x
o) lim
9x 3x 2x
p)
2
2
x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x
→ ±∞

+ + + +
+ + −
q)
2
x
x x 3
lim
x 1
→+∞
+
+

3. Để tính giới hạn :( Dạng ∞-∞ ) .
Hoặc
• Ta nhân và chia với biểu thức liên hợp ( nếu có biểu thức chứa biến số dưới
dấu căn thức ) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều
phân thức )
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>15
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Dạng vô đònh
∞ −∞
và dạng 0.
∞
Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hám số sau
3
1. lim (2 3 )
x

x x
→ +∞
−
→ ±∞
− +
2
2 lim 3 4
x
x x
→−∞
+ −
2
x
3. lim ( x x x)
2
4. lim ( 3 2 )
x
x x x
→ +∞
− + −
5. lim ( 2 2)
x
x x
→ +∞
+ − −
→ ± ∞
− + − − +
2 2
x
6. lim ( x 4x 3 x 3x 2)

Bài giải
3 3
2
3
1. lim (2 3 ) lim 2
x x
x x x
x
→ +∞ → +∞
 
− = − = +∞
 ÷
 
→ ±∞ →±∞
+∞ → +∞

− + = − + =

−∞ → −∞

2
2
3 4
2. lim 3 4 lim 1
x x
khix
x x x
khix
x x
→−∞ →−∞ →−∞

→−∞ →−∞
   
+ − = + − = − + − = +∞
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
⇔ = =
+ +
− + +
2
x x x
2
x x
1 1
3. lim ( x x x) lim x 1 x lim x 1 1 .0 ?
x x
x 1
lim lim ?
1
x x x
1 1
x
2
2
3 2
4. lim ( 3 2 ) lim 1
x x
x x x x do x x x
x x
→ +∞ → +∞

 
− + − = − + = +∞ → +∞ ⇒ =
 ÷
 ÷
 
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>16
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
4 4
5. lim ( 2 2) lim lim 0
2 2
2 2
1 1
x x x
x x
x x
x
x x
→ +∞ → +∞ → +∞
+ − − = = =
 
+ + −
+ + −
 ÷
 

→ ± ∞ → ± ∞
→ ± ∞

− +
− + − − + =
− + + − +
 

− −
 ÷
→ −∞

 
= =

 
− → +∞

− + + − +
 ÷

 
2 2
2 2
x x
x
2 2
x 1
6. lim ( x 4x 3 x 3x 2) lim
x 4x 3 x 3x 2
1
1
x 1

khi x
x
2
lim
1
4 3 3 2
khi x
x 1 1
2
x x
x x
Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau
Bài giải :
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>17
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 3. ( Bài 40-tr166-GT11-NC)1
.Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>18
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài tập tự luyện
Tính các giới hạn sau:

e)

2
x
lim ( x x x)
→+∞
+ −
g)
)23(lim
2
xxx
x
−+−
−∞→

h)
2
lim ( 2 4 )
x
x x x
→±∞
− + −
k)
2
lim ( 5 )
x
x x x
→±∞
+ +
l)
2
x

lim (2x 1 4x 4x 3)
→ ± ∞
− − − −
m)
2
x
lim (3x 2 9x 12x 3)
→ ± ∞
+ − + −

n)
)223(lim
2
−++−
+∞→
xxx
x
t)
3
3 2
x
lim ( x x x x)
→±∞
− + +
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>19
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
o)

)223(lim
2
−++−
− ∞→
xxx
x
p)
2
lim ( 3 2 1)
x
x x x
→±∞
− + + −

q)
2
lim ( 3 1 3)
x
x x x
→±∞
− + − +
r)
2
lim ( 4 3 2 1)
x
x x x
→ ±∞
− + − +

s)

3
3 2
x
lim ( x x x)
→ ±∞
+ −


v)
3
2 3
x
lim ( x 1 x 1)
→ + ∞
+ − −
w)
3
3 2
lim ( 2 1 3 )
x
x x x x
→±∞
+ − − −
4. Để tìm giới hạn
Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .
• Khéo léo thêm và bớt vào tử số hay mẫu số ( có chứa căn không cùng chỉ số )
một số hợp lý ( thường là thêm vào số x0)
• Tách giới hạn đã cho thành hai giới hạn mà sao cho mỗi giới hạn chỉ chứa căn
thức có cùng chỉ số và áp dụng các đònh lý ,hoặc quy tắc tìm giới hạn đã biết .
• Chẳng hạn ,ta tìm :

Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>20
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
• Chú ý : Đôi khi ta phải thêm ,bớt một đại lượng h(x) sao cho h(x0)=c. Sau đó
áp dụng cách phân tích trên để giải . ( Thông qua ví dụ : )
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau
Bài giải :
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau.
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>21
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài giải :
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>22
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài giải :
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>23

CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 5. Tìm giới hạn sau :
Giải :
Ta thêm ,bớt một hàm số h(x)=1+x ,với h(0)=1. Khi đó
5 Để tìm giới hạn :
Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .( với căn có chỉ số cao hơn
3- từ 4 trở đi ).
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>24
CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
• Ta đổi biến số bằng cách đặt u=
• Chuyển giới hạn đã cho từ biến x trở thành biến u với giới hạn mới có thể áp
dụng các đònh lý và quy tắc tìm giới hạn là có thể tìm được ngay .
Ví dụ1: minh hoạ ( ĐH-SP II-99).
Tìm giới hạn sau :
Bài giải :
Ta có :
• Đặt :

• Đặt :
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác của
NGUYỄN VĂN CHUN bằng cách giữ phím
CTRL và CLICK vào đường link dưới đây:
/>25