GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG PHI THỦY TĨNH ỨNG DỤNG MÔ PHỎNG SÓNG TRIỀU VÀ DÒNG CHẢY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.62 MB, 72 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ THÁI
GIẢI SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH NƢỚC NÔNG PHI
THỦY TĨNH ỨNG DỤNG MÔ PHỎNG SÓNG TRIỀU
VÀ DÕNG CHẢY
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ THÁI
GIẢI SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH NƢỚC NÔNG PHI
THỦY TĨNH ỨNG DỤNG MÔ PHỎNG SÓNG TRIỀU
VÀ DÕNG CHẢY
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành : Cơ học chất lỏng
Mã số : 60440108
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phùng Đăng Hiếu
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Những lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới PGS.TS
Phùng Đăng Hiếu. Thầy đã hết sức quan tâm, tin tưởng, động viên và
hướng dẫn tôi nghiên cứu cũng như hoàn thành luận văn.
Trong suốt quá trình học tập, tôi đã được các thầy trong bộ môn Cơ
học, khoa Toán Cơ Tin học trực tiếp giảng dạy các chuyên đề sau đại
học, cũng như tạo mọi điều kiện tối đa để tôi có thể tập trung hoàn thành
luận văn. Đặc biệt là PGS.TS Trần Văn Cúc, PGS.TS Trần Văn Trản,
TS. Vũ Đỗ Long, PGS.TS Phạm Chí Vĩnh, TS. Bùi Thanh Tú là những
người Thầy mà tôi luôn kính trọng và biết ơn sâu sắc vì sự giảng dạy
quý báu, tận tình về kiến thức chuyên môn cũng như kinh nghiệm trong
cuộc sống.
Nhân đây tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo
PGS.TS. Nguyễn Văn Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán Cơ Tin học,
Phòng CT - CT Sinh viên ĐHKHTN đã tạo điều kiện cho tôi được bảo
vệ luận văn thạc sỹ.
Cuối cùng nhưng không thể thiếu được, cho tôi gửi lời cảm ơn đến
gia đình, bạn bè, những người đã luôn yêu thương, chăm lo và động viên
tôi vượt qua những khó khăn, để tôi có thể tập trung học tập và phấn đấu
rèn luyện chuyên môn.
Hà Nội, năm 2014
Tác giả
i
Mục lục
Chương 1: Tổng quan 1
1.1 Khái quát về biển đảo Việt Nam . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ý nghĩa và tính cấp thiết của vấn đề . . . . . . . . . . . 2
1.3 Khái quát luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . 3
1.3.2 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.4 Cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 2: Mô hình giải số hệ phương trình nước nông
phi thủy tĩnh 5
2.1 Hệ phương trình thủy động lực ba chiều . . . . . . . . . 5
2.1.1 Hệ phương trình xuất phát và các giả thiết áp dụng 5
2.1.2 Mô hình tính toán cho dòng chảy trong vùng nước
nông theo hệ phương trình phi thủy tĩnh . . . . . 11
Chương 3: Thuật toán và mô hình số trị 13
3.1 Mô hình số trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Mô hình số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Thành phần thủy tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Thành phần phi thủy tĩnh . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Điều kiện biên dao động khô - ướt . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Sơ đồ khối và thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Sơ đồ khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2 Bài toán 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.3 Bài toán 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ii
Chương 4: Các kết quả kiểm ứng dụng thực nghiệm 25
4.1 Kiểm nghiệm với điều kiện thí nghiệm vật lý . . . . . . . 25
4.1.1 Điều kiện thí nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Kết quả kiểm nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.3 Đánh giá độ nhạy của bước lưới và ảnh hưởng của
hệ số Courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Ứng dụng cho mô phỏng thủy triều ven bờ cho vịnh Đà
Nẵng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Khái quát khu vực ứng dụng . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 Điều kiện tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3 Kết quả tính toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . 41
Chương 5: Kết luận và kiến nghị 60
5.1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
iii
Danh sách hình vẽ
Hình 3.1: Lưới sai phân 14
Hình 3.2: Sơ đồ khối bài toán 1D 22
Hình 4.1: Sơ đồ thí nghiệm của Beji và Battjes (1993) 26
Hình 4.2: So sánh dao động mực nước giữa mô hình phi
thủy tĩnh và mô hình thủy tĩnh với số liệu thí nghiệm tại
điểm đo từ G
1
đến G
4
27
Hình 4.3: So sánh dao động mực nước giữa mô hình phi
thủy tĩnh và mô hình thủy tĩnh với số liệu thí nghiệm tại
điểm đo từ G
5
đến G
8
28
Hình 4.4: So sánh dao động mực nước giữa kết quả tính
toán theo mô hình số và số liệu thí nghiệm với bước lưới
thay đổi tại điểm đo G
1
(bước lưới: a) L/10; b) L/15; c)
L/25; d) L/50; e) L/100; f) L/200) 33
Hình 4.5: So sánh dao động mực nước giữa kết quả tính
toán theo mô hình số và số liệu thí nghiệm với bước lưới
thay đổi tại điểm đo G
3
(bước lưới: a) L/10; b) L/15; c)
L/25; d) L/50; e) L/100; f) L/200) 34
Hình 4.6: Ảnh vệ tinh vịnh Đà Nẵng 38
iv
Hình 4.7: So sánh dao động mực nước triều giữa tính toán
và phân tích theo hằng số điều hòa vịnh Đà Nẵng (a. Hòn
Chảo - b. Cửa vịnh - c. Giữa vịnh) 42
Hình 4.8: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn/ -3h (0h ngày 01/05/2014) 45
Hình 4.9: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn/-2h (1h ngày 01/05/2014) 45
Hình 4.10: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn/-1h (2h ngày 01/05/2014) 46
Hình 4.11: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn (3h ngày 01/05/2014) 46
Hình 4.12: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng (10h ngày 01/05/2014) 47
Hình 4.13: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng/+1h (11h ngày 01/05/2014) 47
Hình 4.14: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
trung bình (17h ngày 01/05/2014) 48
Hình 4.15: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
trung bình/+1h (18h ngày 01/05/2014) 48
Hình 4.16: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn/-2h (1h ngày 02/05/2014) 49
Hình 4.17: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn/-1h (2h ngày 02/05/2014) 49
v
Hình 4.18: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn (3h ngày 02/05/2014) 50
Hình 4.19: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng/-1h (11h ngày 02/05/2014) 50
Hình 4.20: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng (12h ngày 02/05/2014) 51
Hình 4.21: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
trung bình (18h ngày 02/05/2014) 51
Hình 4.22: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
trung bình/+1h (19h ngày 02/05/2014) 52
Hình 4.23: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn/-1h (2h ngày 03/05/2014) 52
Hình 4.24: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn (3h ngày 03/05/2014) 53
Hình 4.25: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng/-1h (11h ngày 03/05/2014) 53
Hình 4.26: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng (12h ngày 03/05/2014) 54
Hình 4.27: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
trung bình (19h ngày 03/05/2014) 54
Hình 4.28: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
trung bình/+1h (20h ngày 03/05/2014) 55
Hình 4.29: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng (12h ngày 04/05/2014) 55
vi
Hình 4.30: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng (13h ngày 05/05/2014) 56
Hình 4.31: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
trung bình/-1h (21h ngày 05/05/2014) 56
Hình 4.32: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
trung bình (22h ngày 05/05/2014) 57
Hình 4.33: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng/-1h (13h ngày 06/05/2014) 57
Hình 4.34: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng (14h ngày 06/05/2014) 58
Hình 4.35: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
trung bình (22h ngày 06/05/2014) 58
Hình 4.36: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
lớn (1h ngày 14/05/2014) 59
Hình 4.37: Phân bố vận tốc tính toán tại thời điểm nước
ròng (9h ngày 14/05/2014) 59
vii
Danh sách bảng
Bảng 4.1: Vị trí các điểm đo (x
0
= 6m tính từ điểm tạo
sóng) trong thí nghiệm của Beji và Battjes 26
Bảng 4.2: Sai số giữa kết quả tính toán bằng mô hình phi
thủy tĩnh và mô hình thủy tĩnh với số liệu thí nghiệm 29
Bảng 4.3: Chỉ số Nash giữa kết quả tính toán với số liệu
thí nghiệm 30
Bảng 4.4: Sai số tính toán giữa kết quả tính toán theo mô
hình số với độ dài bước lưới thay đổi tương đối so với độ
dài sóng 35
Bảng 4.5: Sai số tính toán với hệ số Courant thay đổi 36
Bảng 4.6: Hằng số điều hòa thủy triều trạm Sơn Trà -
Mực nước trung bình 96.1 cm 40
Bảng 4.7: Sai số giữa kết quả tính toán và số liệu phân tích 43
Bảng 4.8: Chỉ số Nash của quá trình tính toán dao động
thủy triều 43
viii
Chương 1
Tổng quan
1.1 Khái quát về biển đảo Việt Nam
Việt Nam là một quốc gia ven biển nằm trong khu vực trung tâm
của Đông Nam Á, là một quốc gia giàu tiềm năng biển. Với diện tích bờ
biển Việt Nam dài 3.260km, từ Quảng Ninh ở phía đông bắc tới Kiên
Giang ở phía tây nam và 114 cửa sông lớn nhỏ. Có 28/63 tỉnh, thành
phố của Việt Nam nằm ven biển, chiếm 42% diện tích và 45% dân số
cả nước, có khoảng 15,5 triệu người sống gần bờ biển và hơn 175 ngàn
người sống ở đảo. Tính trung bình tỷ lệ diện tích theo số km bờ biển thì
cứ 100 km
2
có 1km bờ biển (so với trung bình của thế giới là 600 km
2
đất liền trên 1km bờ biển).
Vùng biển Việt Nam có khoảng 3.000 đảo lớn nhỏ và 2 quần đảo xa
bờ là Hoàng Sa và Trường Sa. Trong đó, 84 đảo có diện tích trên 1km
2
,
24 đảo có diện tích trên 10 km
2
, 66 đảo có dân sinh sống với tổng số
dân là 175 nghìn người. Hai quần đảo Hoàng Sa và Trường Sa là một bộ
phận của lãnh thổ quốc gia đã làm tăng giá trị kinh tế và an ninh quốc
phòng đất nước. Các đảo có diện tích lớn nhất là: Cái Bầu: 200 km
2
,
trên 21 nghìn dân; Phú Quốc: 320 km
2
, 50 nghìn dân; Côn Đảo: 56,7
km
2
, 1.640 dân; Phú Quý: 32 km
2
, gần 18 nghìn dân; Cát Bà: 149 km
2
,
trên 15 nghìn dân; Đảo Lý Sơn: 10 km
2
, có trên 16 nghìn dân sinh sống.
1
1.2 Ý nghĩa và tính cấp thiết của vấn đề
Vùng biển và ven biển là nơi có nhiều nguồn tài nguyên thiên nhiên
phong phú và đa dạng giúp mang lại nhiều lợi ích kinh tế nói chung. Tuy
nhiên, biển lại luôn tiềm ẩn những nguy cơ gây nên những thảm họa
thiên tai nguy hiểm như: bão, nước dâng do bão, sóng lớn, thủy triều,
mực nước biển dâng dị thường
Việc mô phỏng và dự báo được sự lan truyền, biến dạng của sóng
triều, nước dâng do bão hay sóng thần trong khu vực ven bờ rất có ý
nghĩa trong việc cung cấp thông tin quan trọng cho cộng đồng góp phần
giảm thiểu những thiệt hại về người và tài sản do chúng gây ra.
Thông thường, việc mô phỏng thủy triều, sóng thần hay nước dâng
do bão thường dựa trên hệ phương trình nước nông truyền thống với giả
thiết phân bố áp suất thủy tĩnh như.
Nguyễn Thị Việt Liên (1996). Luận án phó tiến sỹ khoa học Toán
- Lý, Mô hình số trị bài toán thủy triều biển Đông. Tác giả đã đưa ra
mô hình số trị thủy động để dự báo phân bố mực triều và dòng triều.
Trần Văn Cúc (2002). Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VII, Mô
hình ba chiều dòng chảy ven bờ. Tác giả đã dựa trên việc kết hợp các mô
hình trước đó kèm theo những giả thiết thực nghiệm quen thuộc để đưa
ra một mô hình mà có thể tách bài toán lớn thủy nhiệt động lực thành
nhóm các bài toán nhỏ, độc lập.
Trần Văn Cúc và cộng sự (2003). Đề tài cấp trường - Trường ĐH
Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội, Mô hình toán học bài toán
ba chiều về hoàn lưu ở biển. Các tác giả đã phát triển mô hình ba chiều
dòng chảy ven bờ tách nhóm các bài toán độc lập để mô phỏng cho các
bài toán hoàn lưu vùng ven biển.
Phùng Đăng Hiếu (2008). VNU Journal of Science, Earth Sciences,
Finite volume method for long wave runup: 1D model. Tác giả đã đưa ra
mô hình số để giải hệ phương trình nước nông 1D đối với bài toán lan
truyền sóng và sóng phản xạ. Mô hình được xây dựng dựa trên phương
pháp thể tích hữu hạn.
Christophe Berthon, Franc,oise Foucher (2011). Springer - Verlag
Berlin Heidelberg Hydrostatic upwind scheme for shallow - water equa-
tions. Tác giả đã xấp xỉ hệ phương trình nước nông có địa hình không
bằng phẳng bằng cách rời rạc địa hình để mô hình cân bằng. Mô hình
cũng giải quyết được vấn đề đối với khu vực khô.
2
Rainer Lehfeldt và cộng sự (2007), Propagation of a Tsunami - Wave
in the North Sea. Tác giả đã nghiên cứu sóng thần trong ba trường hợp:
không chịu ảnh hưởng thủy triều, có chịu ảnh hưởng thủy triều, trong
điều kiện bão dâng bằng các phương pháp thủy động lực học khác nhau.
Ngoài ra còn một số tác giả khác trong nước như: Đinh Văn Mạnh,
Phan Ngọc Vinh, Lưu Quang Hưng, , và nhiều tác giả khác trên thế
giới.
Tuy nhiên, ngoài nước cũng đã có một số tác giả sử dụng hệ phương
trình nước nông phi thủy tĩnh để thử ngiệm tính toán như:
- Năm 1999, Stelling và Zijlema đã phát triển hệ phương trình nước
nông phi thủy tĩnh để tính toán sự lan truyền sóng trong phòng thí
nghiệm bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
- Năm 2004, Kowalik và cộng sự đã sử dụng hệ phương trình nước
nông phi thủy tĩnh để mô phỏng sóng thần ở Indonesia.
- Năm 2008, Stelling và Zijlema đã phát triển mô hình hệ phương
trình nước nông phi thủy tĩnh trên mô hình đã có bằng cách chia khối
nước thành nhiều lớp để tính toán cho bài toán trong miền tính giới hạn
xung quanh một trụ tròn.
- Năm 2008, Yoshuki Yamazaki và cộng sự đã sử dụng hệ phương
trình nước nông phi thủy tĩnh để thử nghiệm mô phỏng sự lan truyền
sóng và sóng phản xạ trong phòng thí nghiệm.
Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng một hệ phương trình mới đó
là hệ phương trình nước nông phi thủy tĩnh để thử nghiệm tính toán
cho bài toán thủy triều ven bờ. Nếu việc áp dụng mô hình này thành
công sẽ mở ra khả năng áp dụng tính toán dự báo thực tế cho một số
bài toán như: tính toán mô phỏng và dự báo nước dâng do bão kết hợp
với thủy triều hay việc tính toán sự lan truyền của sóng thần phát sinh
do động đất đáy biển.
1.3 Khái quát luận văn
1.3.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Ở đây, bài toán được quan tâm đến chính là tìm thành phần phân
bố vận tốc, áp suất, hình dạng mặt thoáng của biển vùng ven bờ có sự
tương tác với đáy ven bờ. Mục đích mô phỏng được sự lan truyền sóng
3
và sự tương tác của nó với vùng ven bờ. Trên cơ sở đó, có thể áp dụng
để dự báo được sự lan truyền sóng lớn như sóng thần, hay dao động của
mực nước biển dâng do bão, thủy triều
Đối tượng nghiên cứu trong phạm vi luận văn là các mô hình toán
học đóng vai trò quan trọng trong mô tả hoàn lưu biển, bao gồm hệ
phương trình nước nông phi thủy tĩnh. Luận văn giới hạn trong việc
nghiên cứu mô hình số trị, thí nghiệm số kiểm chứng mô hình và ứng
dụng cho bài toán lan truyền thủy triều ven bờ.
1.3.2 Mục tiêu nghiên cứu
- Nắm vững các giả thiết và cách xây dựng hệ phương trình nước
nông phi thủy tĩnh.
- Xây dựng được chương trình máy tính dựa trên việc giải số hệ
phương trình nước nông phi thủy tĩnh.
- Tính toán kiểm nghiệm so sánh với số liệu thí nghiệm và kết quả
tính toán theo hệ phương trình nước nông truyền thống.
- Ứng dụng cho bài toán thủy triều ven bờ.
1.3.3 Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng phương pháp mô hình hóa, phương pháp mô hình
số lập trình máy tính và phuơng pháp thống kê, phân tích.
1.3.4 Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm 5 chương
Chương 1: Tổng quan
Chương 2: Mô hình giải số hệ phương trình nước nông phi thủy tĩnh
Chương 3: Thuật toán và mô hình số trị
Chương 4: Các kết quả ứng dụng thực nghiệm
Chương 5: Kết luận và kiến nghị
4
Chương 2
Mô hình giải số hệ
phương trình nước nông
phi thủy tĩnh
2.1 Hệ phương trình thủy động lực ba chiều
2.1.1 Hệ phương trình xuất phát và các giả thiết
áp dụng
Hệ phương trình Navier - Stokes cho chất lỏng nhớt không nén được
[14], [1] trong hệ tọa độ Descartes có dạng:
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ ω
∂u
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂x
+ υ
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
(2.1)
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
+ ω
∂v
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂y
+ υ
∂
2
v
∂x
2
+
∂
2
v
∂y
2
+
∂
2
v
∂z
2
(2.2)
∂ω
∂t
+ u
∂ω
∂x
+ v
∂ω
∂y
+ ω
∂ω
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂z
+ υ
∂
2
ω
∂x
2
+
∂
2
ω
∂y
2
+
∂
2
ω
∂z
2
−g (2.3)
Phương trình liên tục của chất lỏng không nén được [1]:
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂ω
∂z
= 0 (2.4)
5
Phương trình mặt thoáng có dạng:
ζ = ζ (x, y, t) (2.5)
Trong đó:
- (u, v, ω) là các thành phần vận tốc
- t là thời gian
- ρ là khối lượng riêng của nước
- υ là hệ số độ nhớt động
- p là áp suất
- g là gia tốc trọng trường
Vận tốc theo phương đứng ω thay đổi tuyến tính từ đáy đến bề mặt
thoáng đối với các mô hình sóng phân tán yếu trong dòng chảy trung
bình. Vì vậy, thành phần tiêu tán và phân tán theo phương thẳng đứng
là rất nhỏ so với các thành phần theo phương ngang, do đó được bỏ qua
trong phương trình động lượng theo phương thẳng đứng (2.3) [14].
Áp suất tại một điểm bất kỳ được chia thành hai thành phần là áp
suất thủy tĩnh và phi thủy tĩnh như sau [14]:
P = ρg (ζ − z) + q (x, y) (2.6)
Thành phần ρg (ζ − z) là áp suất thủy tĩnh và thành phần q (x, y)
được gọi là áp suất phi thủy tĩnh, xuất hiện do quá trình chuyển động
của chất lỏng.
Điều kiện biên trên mặt thoáng và tại đáy như sau:
Tại z = ζ ta có:
ω|
z=ζ
=
d (ζ)
dt
=
∂ζ
∂t
+ u
∂ζ
∂x
+ v
∂ζ
∂y
(2.7)
Tại z = −h ta có:
ω|
z=−h
=
d (−h)
dt
= −u
∂h
∂x
− v
∂h
∂y
(2.8)
Trong đó, h là độ sâu nước từ đáy lên mặt thoáng yên tĩnh tại thời
điểm đang xét.
Đặt D = ζ + h là độ sâu tổng cộng của vùng nước được tính từ đáy
lên bề mặt thoáng
Tích phân hệ phương trình xuất phát theo độ sâu để biểu diễn cho
6
dòng trung bình. Trước khi thực hiện sử dụng định nghĩa trung bình
theo chiều sâu của một đại lượng bất kỳ f như sau [1]:
F =
1
D
ζ
−h
fdz (2.9)
- Tích phân phương trình liên tục (2.4):
1
D
ζ
−h
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂ω
∂z
dz = 0
Xét từng thành phần sau: Theo công thức (2.9)
ζ
−h
∂u
∂x
+
∂v
∂y
dz = D
∂U
∂x
+ D
∂V
∂y
(2.10)
ζ
−h
∂ω
∂z
dz = ω (ζ) − ω (−h)
Sử dụng điều kiện biên mặt thoáng động (2.7) và tại đáy biển (2.8) thay
vào phương trình trên được:
ζ
−h
∂ω
∂z
dz =
∂ζ
∂t
+ U
∂ζ
∂x
+ V
∂ζ
∂y
−
−U
∂h
∂x
− V
∂h
∂y
=
∂ζ
∂t
+ U
∂ζ
∂x
+ V
∂ζ
∂y
+ U
∂h
∂x
+ V
∂h
∂y
=
∂ζ
∂t
+ U
∂ζ
∂x
+
∂h
∂x
+ V
∂ζ
∂y
+
∂h
∂y
⇔
ζ
−h
∂ω
∂z
dz =
∂ζ
∂t
+ U
∂D
∂x
+ V
∂D
∂y
(2.11)
Cộng hai phương trình (2.10) và (2.11) ta được:
∂ζ
∂t
+
U
∂D
∂x
+ D
∂U
∂x
+
V
∂D
∂y
+ D
∂V
∂y
= 0
7
Hay
∂ζ
∂t
+
∂ (UD)
∂x
+
∂ (V D)
∂y
= 0 (2.12)
Trong đó, theo định nghĩa trung bình trong công thức (2.9) có:
U =
1
D
ζ
−h
udz
V =
1
D
ζ
−h
vdz
- Tiếp theo, lấy trung bình độ sâu 2 vế của phương trình động lượng
theo phương z (2.3) được:
1
D
ζ
−h
∂ω
∂t
dz +
1
D
ζ
−h
u
∂ω
∂x
+ v
∂ω
∂y
+ ω
∂ω
∂z
dz
= −
1
ρD
ζ
−h
∂P
∂z
dz +
υ
D
ζ
−h
∂
2
ω
∂x
2
+
∂
2
ω
∂y
2
+
∂
2
ω
∂z
2
dz −
g
D
ζ
−h
dz
(2.13)
Bỏ qua thành phần
1
D
ζ
−h
u
∂ω
∂x
+ v
∂ω
∂y
+ ω
∂ω
∂z
dz ở vế trái và thành phần
υ
D
ζ
−h
∂
2
ω
∂x
2
+
∂
2
ω
∂y
2
+
∂
2
ω
∂z
2
dz ở vế phải được:
1
D
ζ
−h
∂ω
∂t
dz =
∂W
∂t
(2.14)
Thành phần vế phải:
ζ
−h
∂P
∂z
dz = P (ζ) − P (−h)
Giả thiết rằng áp suất trên bề mặt mặt thoáng P (ζ) = 0, từ phương
trình (2.6) có:
ζ
−h
∂P
∂z
dz = 0 −{ρg (ζ + h) + q}
8
−
1
ρD
ζ
−h
∂P
∂z
dz =
q
ρD
+ g (2.15)
−
g
D
ζ
−h
dz = −g (2.16)
Do đó, kết hợp các phương trình (2.14); (2.15) và (2.16) được :
D
∂W
∂t
=
1
ρ
q ⇔
∂W
∂t
=
q
ρD
(2.17)
- Lấy trung bình độ sâu của phương trình động lượng theo phương x
(2.1) được:
ζ
−h
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ ω
∂u
∂z
dz = −
1
ρ
ζ
−h
∂P
∂x
dz+υ
ζ
−h
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
dz
(2.18)
Bỏ qua các đại lượng
1
D
ζ
−h
ω
∂u
∂z
dz và
υ
D
ζ
−h
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
dz. Do đó, từ phương
trình (2.18) kết hợp với phương trình (2.6) có:
ζ
−h
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ ω
∂u
∂z
dz = D
∂U
∂t
+ U
∂U
∂x
+ V
∂U
∂y
= −
1
ρ
ζ
−h
ρg
∂ζ
∂x
+
∂q
∂x
dz + υ
ζ
−h
∂
∂z
∂u
∂z
dz
(2.19)
Thành phần:
−
1
ρ
ζ
−h
ρg
∂ζ
∂x
+
∂q
∂x
dz = −g
∂ζ
∂x
D −
1
ρ
∂q
∂x
D
υ
ζ
−h
∂
∂z
∂u
∂z
dz = υ
∂u
∂z
z=ζ
−
∂u
∂z
z=−h
= υ (τ
sx
− τ
bx
)
Với τ
sx
; τ
bx
là các ứng suất trên mặt thoáng z = ζ và tại mặt đáy z = −h.
Các thành phần ứng suất đó được xác định [4], [6] như sau:
τ
sx
= γρU
U
2
+ V
2
9
Với γ là hệ số kéo theo của gió tại bề mặt
τ
bx
= ρg
U
√
U
2
+ V
2
C
2
z
với C
2
z
là hệ số ma sát đáy Chezy, phụ thuộc vào nhiều yếu tố của miền
tính.
Kết hợp các phương trình trên và sử dụng hệ số Chezy tính theo công
thức Manning, [14], [4] từ (2.18) suy ra [14] :
∂U
∂t
+U
∂U
∂x
+V
∂U
∂y
= −g
∂ζ
∂x
−
1
2
1
ρ
∂q
∂x
−
1
2
q
ρD
∂ (ζ − h)
∂x
−n
2
g
D
1/3
U
√
U
2
+ V
2
ρD
(2.20)
- Tương tự lấy trung bình độ sâu đối với phương trình động lượng
theo phương y (2.2):
1
D
ζ
−h
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
+ ω
∂v
∂z
dz = −
1
ρD
ζ
−h
∂P
∂y
dz +
υ
D
ζ
−h
∂
2
v
∂x
2
+
∂
2
v
∂y
2
+
∂
2
v
∂z
2
dz
(2.21)
Bỏ qua các thành phần
1
D
ζ
−h
ω
∂v
∂z
dz và
1
D
ζ
−h
υ
∂
2
v
∂x
2
+
∂
2
v
∂y
2
dz. Do đó,
phương trình (2.21) trở thành:
1
D
ζ
−h
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
dz = −
1
ρD
ζ
−h
ρg
∂ζ
∂y
+
∂q
∂y
dz +
υ
D
ζ
−h
∂
∂z
∂v
∂z
dz
(2.22)
Thành phần:
ζ
−h
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
dz = D
∂V
∂t
+ U
∂V
∂x
+ V
∂V
∂y
−
1
ρ
ζ
−h
∂P
∂y
dz = −
1
ρ
ζ
−h
ρg
∂ζ
∂y
+
∂q
∂y
dz = −gD
∂ζ
∂y
−
D
ρ
∂q
∂y
−
1
ρ
ζ
−h
ρg
∂ζ
∂y
+
∂q
∂y
dz = −g
∂ζ
∂y
D −
1
ρ
∂q
∂y
D
10
υ
ζ
−h
∂
∂z
∂v
∂z
dz = υ
∂v
∂z
z=ζ
−
∂v
∂z
z=−h
= υ (τ
sy
− τ
by
)
Với τ
sy
; τ
by
là các ứng suất trên mặt thoáng z = ζ và tại mặt đáy z = −h.
Các thành phần ứng suất được xác định [4], [6] như sau:
τ
sy
= γρV
U
2
+ V
2
Với γ là hệ số kéo theo của gió tại bề mặt
τ
by
= ρg
V
√
U
2
+ V
2
C
2
z
với C
2
z
là hệ số ma sát đáy Chezy, phụ thuộc vào nhiều yếu tố của miền
tính.
Kết hợp các phương trình trên, bỏ qua thành phần ứng suất bề mặt do
gió gây ra, và sử dụng hệ số Chezy được tính theo công thức Manning
[14] từ phương trình (2.21) suy ra:
∂V
∂t
+U
∂V
∂x
+V
∂V
∂y
= −g
∂ζ
∂y
−
1
2
1
ρ
∂q
∂y
−
1
2
q
ρD
∂ (ζ − h)
∂y
−n
2
g
D
1/3
V
√
U
2
+ V
2
ρD
(2.23)
Cuối cùng, kết hợp các phương trình (2.12); (2.17); (2.20) và (2.23)
được hệ phương trình thủy động lực học ba chiều sau khi đã lấy trung
bình theo chiều sâu.
2.1.2 Mô hình tính toán cho dòng chảy trong vùng
nước nông theo hệ phương trình phi thủy tĩnh
Với những kết quả xây dựng hệ phương trình như trên, các phương
trình sau được sử dụng để lập thành hệ phương trình cho mô hình tính
toán.
Phương trình bảo toàn động lượng cho dòng chảy trung bình
∂U
∂t
+U
∂U
∂x
+V
∂U
∂y
= −g
∂ζ
∂x
−
1
2
1
ρ
∂q
∂x
−
1
2
q
ρD
∂ (ζ − h)
∂x
−n
2
g
D
1/3
U
√
U
2
+ V
2
ρD
(2.24)
11
∂V
∂t
+U
∂V
∂x
+V
∂V
∂y
= −g
∂ζ
∂y
−
1
2
1
ρ
∂q
∂y
−
1
2
q
ρD
∂ (ζ − h)
∂y
−n
2
g
D
1/3
V
√
U
2
+ V
2
ρD
(2.25)
∂W
∂t
=
q
ρD
(2.26)
Phương trình bảo toàn khối lượng cho dòng chảy trung bình
∂ζ
∂t
+
∂ (UD)
∂x
+
∂ (V D)
∂y
= 0 (2.27)
Trong đó:
- (U,V,W) là các thành phần vận tốc theo các hướng x, y, z đã lấy
trung bình theo chiều sâu.
- q là áp suất phi thủy tĩnh tại đáy [14]
- n là hệ số nhám Manning.
ζ = ζ (x, y, t) là độ cao mặt thoáng
Hệ phương trình này đã được một số tác giả như Stelling [9], Kowalik
[13] sử dụng để so sánh với phương pháp giải mô hình nước nông thủy
tĩnh. Ta sẽ sử dụng mô hình số trị để giải hệ phương trình [14].
Điều kiện biên trên biên lỏng và biên cứng
Trên biên lỏng:
- Phương trình sinh nguồn:
ζ = A cos
2πt
T
(2.28)
với A là biên dao động của sóng
- Điều kiện biên phát xạ tự do:
U = ζ
g
h + ζ
(2.29)
Hay điều kiện biên Newmann:
∂
−→
u
∂
−→
n
= 0 (2.30)
Trên biên cứng:
- Điều kiện biên không thấm:
U
n
= 0 (2.31)
12
Chương 3
Thuật toán và mô hình
số trị
3.1 Mô hình số trị
Trong chương trước đã thiết lập được hệ phương trình nước nông
phi thủy tĩnh trong hệ toạ độ Descartes. Phương trình đạo hàm riêng đó
rất phức tạp và trong hầu hết các bài toán tìm nghiệm giải tích là rất
khó hoặc không thể tìm được. Tính toán số là một trong những công cụ
hiệu quả nhất để thu được nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình trên. Nếu
phương pháp tính và mô hình đủ tốt, nghiệm số cũng có khả năng phản
ánh được các tính chất vật lý của dòng chảy cùng với các đặc trưng thủy
nhiệt động lực học. Mô hình số trị được sử dụng rộng rãi để nghiên cứu
sự thay đổi các quá trình diễn ra trong biển và đại dương, bao gồm khả
năng phân tích, xây dựng và dự báo.
Đầu vào của bài toán là điều kiện ban đầu U
0
, V
0
, W
0
, ζ
0
, q
0
, các hằng
số và điều kiện địa hình. Đầu ra, là thành phần vận tốc theo phương
ngang U, V ; dao động mặt thoáng ζ; thành phần áp suất phi thủy tĩnh
q, và thành phần vận tốc W tại nút trung tâm, trong đó độ sâu h cho
trước.Vị trí đặt biến trên lưới sai phân được định nghĩa trên hình 3.1
13
Hình 3.1: Lưới sai phân
3.2 Mô hình số
Giải hệ phương trình nước nông phi tuyến này bằng cách tách hệ
phương trình thành hai bước tính: thành phần thủy tĩnh và thành phần
phi thủy tĩnh. Các bước giải sử dụng mô hình tính cụ thể như sau:
3.2.1 Thành phần thủy tĩnh
Trong bước tính thành phần thủy tĩnh sử dụng phương pháp sai phân
hiện như các phép sai phân theo [14]:
Sai phân phương trình liên tục (2.27) được độ cao bề mặt thoáng tại nút
trung tâm (j, k) trong điều kiện dòng chảy hướng theo x và y trong các
thành phần FLX và FLY như sau:
ζ
m+1
j,k
= ζ
m
j,k
−∆t
(F LX
j+1,k
− F LX
j,k
)
∆x
−∆t
(F LY
j,k
− F LY
j,k−1
)
∆y
(3.1)
Trong đó:
- m là bước thời gian
- ∆t là kích thước bước thời gian
14
- ∆x, ∆y là kích thước lưới theo phương x, y
- FLX và FLY là sai phân tương ứng của các thành phần ∂ (UD) , ∂ (V D)
trong phương trình (2.27)
Sử dụng mô hình ngược dòng cho các giới hạn dòng chảy tại nút lưới
(j, k) như sau [14]:
F LX
j,k
= U
m+1
p
ζ
m
j−1,k
+ U
m+1
n
ζ
m
j,k
+ U
m+1
j,k
(h
j−1,k
+ h
j,k
)
2
(3.2)
F LY
j,k
= V
m+1
p
ζ
m
j,k
+ V
m+1
n
ζ
m
j,k+1
+ V
m+1
j,k
(h
j,k
+ h
j,k+1
)
2
(3.3)
Trong đó:
U
m
p
=
U
m
j,k
+ |U
m
j,k
|
2
; U
m
n
=
U
m
j,k
− |U
m
j,k
|
2
; V
m
p
=
V
m
j,k
+ |V
m
j,k
|
2
; V
m
n
=
V
m
j,k
− |V
m
j,k
|
2
(3.4)
Lấy xấp xỉ hai phương trình trên bằng phương pháp ngoại suy tại độ
cao bề mặt từ điểm bên trong theo phương pháp ngược dòng, lấy giá trị
trung bình của 2 điểm liền kề nhau [6] được mô hình mới [12], [9] như
sau:
F LX
j,k
= U
m+1
j,k
(
ζ
m
j−1,k
+h
j−1,k
)
2
+ U
m+1
j,k
(
ζ
m
j,k
+h
j,k
)
2
F LY
j,k
= V
m+1
j,k
(
ζ
m
j,k
+h
j,k
)
2
+ V
m+1
j,k
(
ζ
m
j,k+1
+h
j,k+1
)
2
(3.5)
Phương pháp này sử dụng giá trị trung bình của độ cao bề mặt và
độ sâu của điểm liền kề nó để xác định dòng chảy và xác định một dòng
chảy khác cơ bản tương đương với nó của các phương trình nước nông
phi tuyến [12].
Phương trình động lượng theo phương ngang cho biết giá trị của U,
V tại thời điểm (m+1) trong phương trình (3.2) và (3.3) đối với việc cập
nhật độ cao bề mặt trong công thức (3.1). Trong không gian rời rạc, các
giá trị trung bình U và V được sử dụng trong các phương trình động
lượng theo hướng x, y tương ứng. Các thành phần giá trị vận tốc trung
bình này được định nghĩa bằng:
U
m
y
j,k
=
1
4
(U
j,k
+ U
j+1,k
+ U
j+1,k+1
+ U
j,k+1
) (3.6)
V
m
x
j,k
=
1
4
(V
j,k
+ V
j−1,k
+ V
j−1,k−1
+ V
j,k−1
) (3.7)
15
