kiến thức cơ bản và nâng cao hình học 12 ngô long hậu

l<}o5T
NG6
LONG H^U - MAI
KIEN
THUrC
ca BAN VA
NANG
CAO
nrsn
HOC
12
Tdi
ban Idn
thit
nhdt
NHA
XUAT BAN DAI HOC SlT PHAM
£^ ndi
ttdiL
Cu6'n
sach
Kien
thiJtc
ca ban vcl
ndng
cao
Hinh
hoc 12 nay nham
giiip
cac em hoc sinh lop 12 nSm
viing

noi dung ca ban va nang cao kien
thiJc
Hinh
hoc.
Ke't ca'u cudn
sach
duac
chia
thanh 3 chuang:
Chuang I:
Khoi
da
dien
vd the
tich
ciia
chimg.
Chirong II: Mat non, mat tin, mat can.
Chuang III:
Phuang
phdp
tga do
trong
kbong
gian.
Bai on tap cua cac
chuang
vd on tap
ciioi
nam

duac
ddnh
so
thi'nu
tifddu
cho den hit
(1,2 ,
148).
Wd'i ket ca'u tren, cuon
sach
chiia dung 2 noi dung chinh: Li
tluiyet
- Bai tap va
Huang
dan
gidi.
t
Trong moi chuang gom 3 noi dung chinh:
A.
Ly
thuyet
can nha;
B. Vidu;
C. De bai tap.
Trong m6i ph^n li thuyet c6 cac muc 16n dugc ki hieu bang cac
chu so La Ma (I,
II, ),
cac muc I6n nay
iJng
v6i $1,

$2,
trong
sach
giao
khoa
Hinh
hoc 12.
Khi
lam bai tap a noi dung C, neu gap vu6ng mk, ban dpc nan xem
ki
noi dung B, vi trong do cac tac gia da dua ra nhung vi du mau cung vdi
viec
phan tich c6
tinh
hudng din cho hoc sinh suy luan khi giai cac bai
tap tuang tir.
Bai vay, cuon
sach
khong nhung
giiip
cho cac em hoc sinh c6 dieu
kien
thuan
Igfi
trong
viec
hoc tap va on thi
Hinh
hoc 12, ma con la tai'
lieu

tham khao tin cay cho cac
thAy
c6
giao
giang day mon hoc nay.
Cuon
sach
Kien
thAc
ca ban vd
ndng
cao
Hinh
hoc 12 tai ban Vkn
nay c6 chinh li va bo sung, xin
duac
gi^i thieu v6i cac em hoc sinh,
Cling
cac vi phu huynh va
thiy
c6 giao.
CAC
TAC GIA
Chuomg
I
KHOI
DA
DIEN
VA TH£
TICH

tuA
CHUNG
i
A. LY THUYET CAN NHCJ
I.
I.
KHAI NifiM
KH6I
DA DifiN
1. Hinh
chop,
hinh Idng tru, hinh
chop
cut la hinh da dien.
PhSn
ban trong cua mo hinh da dien (ke ca hinh da dien) goi la khoi da
dien
2.
Tong
quat:
Hinh
da dien (goi tat la da dien) la hinh
khSng
gian dugfc
tao bcri mot s6' huu han mien da
giac
phang
thoa
man hai
tinh

chat
sau:
a. Hai mi^n da
giac
phan
hiti
hoac
khong c6 diem chung,
hoac
c6 mot
dinh
chung,
hoac
c6 m6t
canh
chung.
b. M6i
canh
ciia m6t da
giac
nao cung la
canh
chung ciia dung hai mien
da
giac.
3. M6i kh6'i da dien c6 th^
phan
chia
dugc
thanh nhieu kh6'i tii

didn
4. Kh6'i da dien loi la khoi da dien c6
tinh
chat
doan thang noi hai diem
bat ky cua no luon
thu6c
ve khoi da dien 66,
hoac
la toan bo khoi da dien
luon
nam ve mot phia d6'i vdi mat phang chiia m6t mat
ctia
khoi da dien.
II.
KHOI DA DifiN D^U
1.
Kh6'i da dien loi dugfc ggi la deu loai (a,b) ne'u m6i mat ciia no la mot
mien da
giac
deu a
canh
va dinh
ctia
no la dinh chung ciia dung b
canh
2. Nguofi ta chiing minh
dugc
chi c6 5 loai khoi da dien deu.
Kh6'i 4 mat deu (tii dien deu) Loai (3,3)

Khoi
6 mat deu (Khoi lap phuong) Loai (4,3)
Khoi
8 mat deu Loai (3,4)
Kh6'i
12 mat d^u
Loai
(5,3)
Khd'i
20 mat d^u I
Loai
(3,5)
3. M6i
khoi
da dien deu
lu6n
t6n tai m6t mat c^u di qua cac
dinh
cua
khoi
(mat
ciu
ngoai tiep
khoi
da dien deu).
III.
TH£
TICH
KHOI
DA

DifiN
1.
Th^
tich
cua
khd'i
da dien la m6t s6 duong thoa man cac
tinh
chat sau:
a.
Kh6'i
lap phuong c6 canh la mot don
vi
thi so V = 1
b.
Hai
khoi
da dien bMg nhau se c6 s6 V nhu nhau
c. Neu
khoi
da dien diirac phan chia thanh hai
khoi
da dien thi tdng th^
tich
hai
kh6'i
da ditn nho 66 bang the
tich
kh6'i
ban dSu V, + = V

2.
The
tich
khoi
hop
chfi
nhat bang
tich
ba
kich
thudc V = a. b. c
3. The
tich
khoi
lang tru bang dien
tich
day nhan
vdi
chi^u
cao V = B.h
4.
Thi
tich
kh6'i
chop bang ^ dien
tich
day nhan
vdi
chi^u
cao V = ^

Bh
5. The
tich
khoi
chop cut bang tong the'
tich
ba
hinh
chop c6 cung chieu
cao
v6i
chop cut, c6 day bang day
Idti,
day nho va trung
binh
nhan 2 day.
V=
^h(B +
B'+V^^-)
B.
Vf DU
Vi
du 1. Chtrng
minh
hinh
chop
SABCD
la mot da dien
a)
Hinh

SABCD
c6
5mat -
5dinh
- 8canh, do 5
mien
da giac hop thanh trong do
mien
tam giac
hoac
c6 1
dinh
chung,
hoac
c6 1 canh chung, cac
mien
tam giac va
mien
tii:
giac deu
CO
1
canh chung.
Hinh
1
b)
4 canh bdn, 4 canh day d6u la canh chung cual dung 2
mien
da giac
(tam

giac va
tii
giac).
Vay ca 2
tinh
chat cua
hinh
da dien deu dugrc thoa
an.
Vi
du 2:
Chiing
minh
hinh
ve trong
hinh
2
khong la
hinh
da dien.
a.
Hinh
2 do ba miin da giac
ABCD,
DCEF,
EFMN
hop thanh.
ABCD
va
EFMN

khong giao nhau.
DCEF
giao vdi 2 mi^n con lai
Of
1 canh chung,
tinh
chat a)
duac
thoa man.
b.
Tinh
cha't b) khdng thoa man
vi
cac canh
AB,
AD,
BC, DE, CF,
FM,
MN,
NE chi la canh cua m6t
mien
da giac.
Vi
du 3:
Hinh
dugc ve d
hinh
3
cung
kh6ng la

hinh
da dien vi AB
la
canh chung cua 3
mien
da giac,
ABCD,
ABEF,
ABMN.
Cac canh
con
lai la canh cua 1
mi^n
da giac.
Tinh
chat b)
khong
duoc thoa man.
Vi
du 4.
Trong
cac
hinh
sau,
hinh
nao la
hinh
da dien?
hinh
nao kh6ng

la
hinh
da dien? Neu la
hinh
da dien hay de'm s6'
dinh
D, s6 canh C, s6' mat
M
va
tinh
cac so X = D
+M
- C.
Hinh
3
Hinh
4
Hinh
5
Hinh 7
Hinh 9
Hinh 4 la kh6'i da
dien lOi
cu th^
la
hinh chop ngu giac ABCDEF
Co so dinh D = 6, s6 canh
C
=
10,

s6'
mat
M = 6
=>
X(H)
= 6 +
6
-
10
= 2
ffinh 5 la khd'i da
dien
I6i c6 D = 12 so canh C = 18, s6
mat
M = 8,
X(H)=
12+8-18 =
2
i f
ffinh 6 la khoi da dien kh6ng I6i, D = 9, C = 14, M = 8,
X(H,
= 9+8-14 = 3
ffinh 7 khong la
kh6'i
da dien
ffinh
8
khong la kh6'i da dien
Vi du 5. Cung cSu hoi
trSn

vdi cac hinh sau.
Hinh 10
Khdng
la
khoi da dien
A
/
/
/
D = 12,C = I8,M = 8
=>X(f^)
=2
Hinh 11
N T
Hinh 12
Khong
Id
khoi da dien
/ 2
J
L
J
Hinh 13 Hinh 14 Hinh 15
Khd'i da dien khdng iSi Khoi da dien khdng
Idi
D
=
16,C
=
28,M

=
14
Hinh 16
Khd'i da dien khdng iSi
Hinh 17
Khd'i da dien khdng loi
Hinh 18
D = 24.C = 48,M = 24
sau va dan lai
thanh
khd'i da
dien
diu:
Khoi
4 mat deu loai (3,3)
1
1
1
Kh6'i
6 mat diu loai (4,3)
Khoi
8 mat deu loai (3,4)
Khoi
12 mat deu loai (5,3)
Khoi
20 mat deu loai (3,5)
Hinh
19
Vi
du 7: Cho hinh

tarn
mat diu
canh
a. Tmh th^ tich khoi bat
dien
deu
do.
Chung
minh
rang
tarn
cac mat cua hinh bat
dien
d^u la cac dinh ciia hinh
lap
phuong.
Tinh thi tich kh6'i lap
phuong
nay:
1.
Hinh bat
dien
deu chinh la hai hinh
chop
tii
giac
deu
chung
day ABCD
CO

dien
tich day m6i
chop
la a^ (ABCD la hinh
vu6ng
canh
a)
ASCS'
cung
la hinh
vu6ng
canh
a nen SS' =
a-\/2.
Do do
chieu
cao cua m6i
chop
tu"
giac
deu la — a ^f2 . VSy th^ tich kh6'i 8 mat do la:
V,
= 2.^a
1 2 ay/2
_ a
'V2
2. Goi
tarn
ciia 4 mat ben SAB, SAC, SCD, SDA la M, N, P, Q. Goi
trung

die'm ciia AB, BC, CD, DA la M', N', F, Q'. Ap
dung
dinh ly
Talet
ta de
2 2 AC
dang
suy ra MN = NP = PQ = QM = ^ MN' =
. Do
aV2
MNPQ la hinh
vu6ng
nen MNPQ la hinh
vu6ng
canh
Chirng
minh tuofng tu cac tam M", N", P", Q" ciia SAB, S'BC, SCD, SDA
cung
se tao
thanh
hinh
vuong
canh
-^^^,
MNN'
M"
cung
vay suy ra 6 mat
ciia MNPQ.M"N"P"Q" deu la hinh
vu6ng.

Vay MNPQM"N"P"Q" la
hinh lap
phuong.
^V2
3. Khi do the tich ciia hinh lap
phuong
la V = MN^ =
2
27
a' ^2 don vi the tich
Ti
so the tich hinh lap
phuong
va
kh6'i 8 mat d^u la:
V2a^-
'6 _
2V2a^
27
2
9 •
Vi
du 8. Cho hinh lap phuomg ABCDA'B'C'D'
canh
a,
bang
g6. Got kh6'i lap
phuong de lay khoi 8 mat deu noi tiep no, nghia la dinh ciia khoi 8 mat
deu la tam cua 6 mat cua
n

C
I
khoi
lap phuong. Tinh
the tich kh6'i 8 mat do.
Tinh
the tich ph^n g6 bo
di.
a. Do
tinh
cha't
cua hinh
lap phuong ta dl dang
chumg minh OM = ON =
OP = OQ = O'M = O'N =
O'P = O'Q = MN = NP =
PQ = QM = OA =
"~ 3 V2
•
8 mat ciia A
khoi
OMNPQO' deu la
tam
giac
deu
canh
2
b. Th^ tich hinh lap phucfng la a^
c. The tich kh6'i 8 mat diu
canh

o
tr
t—i—
\\ \y
\
\
\
/
/
/
/
'
' ^/
Hinh
21
a4i
theo
vi du 4 se la
V =
41
raV2
\
4a^
24
. The tich g6 bo di la
Vi
du 9. Hay phan
chia
h6p ABCD.A'B'C'D' thanh cac khoi tii dien,
thuc hien

theo
3
budc
sau:
1.
Chia
hop ABCD. A'B'C'D' thanh 2 lang tru tam
giac
ABC.A'B'C
va
CBD.CD'B'.
2.
Chia
m6i lang tru thanh
tii
dien va m6t hinh
chop
tii
giac.
3.
Chia
hinh
chop
tii
giac
thanh 2
tii
dien. Vay se c6 6 hinh
tii
dien.

Hinh
22
C.
BAI TAP
1. a. Hay chiing minh kh6'i da dien c6 cac mat la nhirng hinh da
giac
c6 so
canh
la le thi tong s6' cac mat phai la s6'
chSn.
b. Trong khoi da dien ne'u m6i dinh la dinh chung ciia mot s6' le mat thi
tdng
so cac dinh cua no phai la mot s6'
chan.
2.
Chia
kh6'i lap phuomg thanh 6 khoi
tii
dien
bang
nhau.
3. Chirng minh tam ciia cac mat cua tir dien deu lai la 4 dinh ciia mot tii
dien d^u. Tim ti s6' the tich cua 2 kh6'i
tii
dien mdi va cu.
4. Cho khd'i tii
dien
ABCD, E va F iSn luot la
trung
di^m cua AB va CD.

Hai mat
phang
(ABF) va (CDE)
chia
kh6'i
tii
dien
ABCD
thanh
4 khoi tii
dien.
Ke ten cac khoi tii
dien
va chiing minh th^ tich 4 khd'i tii
ditn
do
bang
nhau,
neu ABCD la khoi
tii
dien
deu thi 4 kh6'i tu didn trdn c6
bang
nhau
khong?
5. Cho
chop
S.ABC
c6
ducmg

cao SA = a. Day la
tarn
giac
vu6ng
can c6
AB
= BC = a. Goi B' la
trung
diim
SB, C la
chan
duomg
cao AC cua
ASAC.
a. Tinh the tich cua khoi
chop
S.ABC.
b. Chiing minh SC
vu6ng
goc AB'C.
c. Tinh the tich cua kh6'i
chop
S.AB'C
6. Hay chi ra
each
chia
mot khoi tii
dien
thanh
hai kh6'i

tii
dien
sao cho th^
tich ciia hai khoi
tii
dien
nay c6 ti so
bang
— > 0 cho
tnrdrc
n
I.
Cho kh6'i
lang
tru ABC.A'B'C c6 day la
tarn
giac
deu
canh
a, dinh A'
each
deu 3 dinh A, B, C
canh
ben AA' tao vdri mat day goc 60°.
a. Tinh the tich khoi
lang
tru.
b. Chiing minh mat ben BCC'B' la mdt hinh chu
nhat.
c. Tinh

tong
dien
tich cac mat ben ciia
lang
tru (goi la
dien
tich
xung
quanh
ciia
lang
tru).
8. Cho khoi
chop
SABC.
Tren
3
canh
SA, SB, SC lay 3 diem A', B', C
khac
\&v S. Goi V la the tich
chop
SABC, V la thd tich
chop
S'A'B'C.
.
^ V SA SB SC
Chung
minh — = . — .
.

V SA' SB' SC
9. Cho khoi
lang
tru diing ABC.A'B'C c6 day la tam
giac
vuong
tai A,
ACB = 60° AC = b. BC tao v6i (AA'CC) goc 30°. Tinh d6 dai AC va
tinh the tich V cua khoi
lang
tru da cho:
10. Cho hop ABCD.A'B'C'D' c6 tat ca cac
canh
la a, cac goc
A^
=BAD = A^ = a (a < 90°). Hay tinh th^ tich cua h6p.
II.
Cho h6p ABCD.A'B'C'D' c6 day ABCD la hinh chii
nhat
canh
la a, b,
hai mat ben
(ABB'A')
va
(ADD'A')
tao vdi day ABCD goc 45° va 60°.
Tinh th^ rich ciia h6p n^u
canh
ben AA' la c.
12. Hay tim th^ tich kh6'i h6p n6u d6 dai

canh
ben la a,
dien
tich hai mat
cheo
la S, va Sj, goc giffa 2 mat
cheo
la a.
13. Cho S.ABCD la
chop
deu,
khoang
each
tir A den mat
phang
(SBC) la 2a,
goc
giua
mat ben va mat day la a. Tinh the tich V cua khoi
chop,
v6i a
bang
bao
nhieu
thi V c6 gia tri nho
nhat?
14. Cho tii
dien
ABCD,
khoang

each
giCra
AB va CD la a, a la goc giiia hai
1
ducmg
thang
do. Chiing minh VABCD = -
AB.CD.a.sir\.
a.
6
15. Tinh the tich kh6'i tii
dien
ABCD
biet
AB = CD = a, AC = BD = b va
AD
= BC = c.
16. Cho khoi lap
phucmg
ABCD.A'B'C'D'. Cac diem E va F Hn luot la
trung
diem cua CB' va CD'. Dung
thie't
dien
ciia lap
phuong
bi cat bcri (AEF)
Tinh ti s6' the tich hai ph^n ciia kh6'i lap
phucmg
do mat

phang
(AEF)
cat ra.
17. Cho
chop
SABCD c6 day la hinh binh
hanh.
Goi B', D' lan luot la
trung
diem ciia SB, SD. Mat
phang
(AB'D') cat SC tai C. Tim ti s6' the tich hai
khd'i
chop
SABCD' va SABCD.
18. Cho tii
dien
ABCD c6 didm O nam
trong
tir dien va
each
deu 4 mat cua
tii
dien
m6t
khoang
d. Goi hA, hg, he, ho la
khoang
each
tilt cac dinh den

mat doi
dien.
Chiing minh:
11111
+
— + — +
d hg hp hp
19. Cho
chop
S.ABC, M la mot diem nam
trong
day ABC, cac
du5ng
thang
qua M
song song
vdfi
SA, SB, SC Mn luot cat (BCS), (CAS), (ABS) tai
A',
B', C.
Chung
mmh
—ALSCS
^ ^ ^
khong
doi.
Vs^c SA SA SB SC
20. Cho khd'i
chop
S.ABCD c6 day ABCD la hinh binh

hanh.
Mat
phang
(P) cat
cac
canh
ben tai K, L,
M, N.
Chiing minh
VgABCD
= VSACD = ^SABD = VSBCD-
.
SA SC SB SD
va — + = — + —
SK
SM SL SN
21.
Cho khdi
chop
S.ABCD c6 day ABCD la hinh
chff
nhat,
canh
ben SA
vu6ng
goc vdi day, mat
phang
(a) qua A va
vuong
goc SC cat SB, SC,

SDaB',C',D'.
a. Chiing minh
AB'C'D'
c6 2 goc dd'i dien la vudng
b.
Chiing minh khi
S
chay trfen du6ng thing vu6ng goc vol day tai A thi
(AB'C'D') lu6n di qua mot du5ng thing cd dinh va cac di^m A, B,
B',
C,
C, D, D cung each m6t d'dm c6 dinh m6t khoang kh6ng d6i.
c. Gia
sur goc
giua
SC
va (SAB) la
x.
Tinh th^ tich cua chop S.AB'C'D' va
S.ABCD
bid't
AB =
BC.
22.
Cho tii dien ABCD:
a. Chiing minh neu chSn ducmg cao H cua
tur
dien xua't phat tiif A triing
vdfi true tarn tam giac BCD va AB vuOng goc AC thi AC vu6ng goc AD
va AD vuong goc

vdfi
AB.
b.
Gia sit BC = CD =
DB,
AB = AC =
AD.
H la chdn duomg vudng goc
ha tir A de'n (BCD), J la chan ducmg vu6ng goc ha
tiir
H xudng AD. Dat
AH = h, HJ = d. Tinh th^ tich tii dien theo d va h.
c. Chiing minh neu AABC va AABD c6 dien tich bang nhau thi ducmg
vu6ng goc Chung cua AB va CD di qua trung di^m cua CD.
23.
Cho hinh chop diu day la da giac diu n canh, canh day
Ik
a.
a. Tinh th^ tich va didn tich xung quanh neu goc giiia canh bSn va day
la a.
b.
tinh th^ tich va dien tich xung quanh n^u g6c gitta mat ben
wk
diy
la]3.
24.
Cho
hinh chop cut
d6u
day la da giac d^u n

canh,
canh day la a, b (a >
b).
a. Tinh the tich va dien tich xung quanh chop cut
ne'u
goc giiia canh
ben
va day la a.
b.
Tinh th^ tich va dien tich xung quanh chop cut n^u goc giiia mat ben
va day la p.
25.
Day hinh chop SABCD la hinh chff
nhat,
c6 AB = a, AD =
b,
SA vu6ng
goc day va SA = 2a. La'y M e SA vdi AM = x (0 < x < 2a).
a. (MBC) cat hinh chop theo thie't dien gi? Tun dien tich thiet dien a'y.
b.
Xac dinh x d^ (MBC) chia hinh chop ra hai phdn c6 th^ tich bang
nhau.
(DH Y Duoc Thanh ph6' H6 Chi Minh, nam hoc 1996, chucmg tiinh
phan ban;.
26.
Cho tii dien
ABCD,
chiing minh:
a. Cac ducmg thang noi m6i dinh vdi trong tam mat doi diien dong quy
tai m6t die'm G.

b.
Cac hinh chop dinh G c6 day la cac mat ciia tii dien c6 the tich bang
nhau.
27.
Cho tii
dien
SABC c6
cac goc phang d dinh
S
deu vuong.
a. Chiing minh V3 SABC ^
SSAB
+
SSBC
+ ^SAC-
b.
Cho SA = a,
SB
+ SC = k, SB = x. Tinh the tich tii dien theo a, k, x
va xac dinh SB, SC de the tich tii dien SABC lorn nhat. (DH Quoc gia
Thanh
ph6'
Ho
Chi
Minh,
nam hoc 1996).
28.
Cho hinh chop tii giac d^u SABCD c6 tat ca cac canh bang a.
a. Tinh the tich cua no.
b.

Tinh khoang each tii tam day de'n cac mat ben.
(DH Da Nang, khdi
D,
nam 1997)
29.
Cho hinh chop OABC vdi OA, OB, OC vu6ng goc vdi nhau tutng doi
m6t va OA = a, OB = b, OC = c.
a. Ke OH vu6ng goc vdi mat phang
ABC.
Chiing minh H la true
tam
tam
giac ABC.
b.
Cho H la true tam tam giac ABC. Chiing minh OH vuong goc mat
phang ABC.
c. Tinh
dien
tich tam giac ABC theo a,
b,
c.
d. Chiing minh:
a^
tgA =
b^tgB
=
e^tgC
'' .
(DH Ngoai Ngfl Ha
N6i,

1997,
theo phan ban)
30.
Cho hinh h6p ehff
nhat
ABCD.A'B'C'D' c6 A'A = a,
AB =
b,
AD = e.
Tinh thd tich tii dien ACB'D theo a,
b,
c.
(Hoc vien Quan he qu6c
te'
nam 1997).
31.
AB la du5ng vuong goc chung ciia hai dudfng thing cheo nhau x, y. Lay
A e
X,
B e y, AB
c6'
dinh va AB = d. Me x, N e y, M, N thay d6i va
AM = m, BN = n (m, n >
0).
Gia sir c6 m^+
n^
= k > 0, k khong doi.
a. Xac dinh m, n d^ d6 dai doan thang MN dat gia tri
Idn
nhat, nho nhat.

b.
Trong trilcmg x vu6ng y va mn
^
0, hay xac
dinh
m, n
theo
k va d d^
the tich
tii
dien
ADMN
dat gia
tri
iom nha't va
tinh
gia
tri
do.
(DH
Qudc gia Ha N6i, nam 1997, khoi A)
32. Cho tarn
giac
ABC can
dinh
A. Mot
dilm
M thay ddi tren duofng thang
vu6ng goc v6i mp (ABC) tai A (M A).
a. Tim quy tich trong tarn G va true tam H cua tam

giac
MBC.
b.
Goi O la true tam tam
giac
ABC. Hay xac
dinh
vi tri cua M de the
tich
tur
dien OHBC dat gia
tri
Idn nha't.
(DH
Quoe
gia Ha
Noi,
nam 1997, kh6'i B).
33. Cho hinh chop tii
giac
d6u
S.ABCD
c6 day ABCD la hinh vu6ng canh a
va SA = SB = SC = SD = a.
a. Tinh dien tich toan ph^n va the tich ciia hinh chop
theo
a.
b.
Tinh cosin cua goc nhi diSn [(&45), (&4Z)) .
(DH

Su pham TP Ho Chi
Minh,
khoi D - E -
2000).
34. Cho hinh chop d^u SABCD. Day ABCD la hinh vu6ng c6 canh bang 2a.
Canh ben SA = aVs . Mat phang (P) di qua AB va vuong goc v6i mat
phang
(SCD).
(P) Ian lugft cat SC va SD tai C va D'.
a. Tinh dien tich ciia
tii
giac
ABCD'.
b.
Tinh the tich ciia hinh da dien ABCDO'C
(Dai
hoc Nong nghiep I - Kh6'i A -
2000).
Chuang
II
MAT
NON; MAT TRU, MAT CAU
I.
MAT NON, HINH NON,
KHOI
NON
A. LY THUYET CAN NH6
1.
Su tao
thanh

m^t
tron
xoay
Trong khong gian cho mat phang a, chiia ducmg thang A va dudng r .
Khi
quay mat phang a xung quanh ducmg thang A thi tap hop cac diem cua
duofng
r tao nen mot mat tron xoay nhan ducmg thang A lam true. Ducmg
r
sinh ra mat tron xoay nen dugfc goi la ducmg sinh cua mat tron xoay.
2. Tinh
chat
ciia mdt
tron
xoay
* Ne'u cat mat tron xoay bed mot mat phang vuong goc vdi true A thi
giao tuyen la m6t ducmg tron c6 tam nam tren true A.
* M6i diem M thu6c mat tron xoay d^u nam tren mot ducmg tron thu6c
mat tron xoay va c6 tam tren true A.
(Cho nen ngudi ta con noi mat tron xoay la tap hgfp cac ducmg tron nam
tren
cac mat phang vuong goc
vdfi
ducmg thang A c6'
dinh
va c6 tam nam
tren
ducmg thang A).
3. Mat non
tron

xoay
Dinh
nghia:
Cho 2 ducmg thang d va A cat nhau tai O tao thanh goc cp
vdfi
0 < 9 < 90". Khi quay ducmg thang d xung quanh true A sao cho goc cp
khOng thay ddi thi tao ra mat non tron xoay (goi tat la mat non)
(h.23).
O
goi la
dinh
ciia mat non va goc
is
dinh
bang 2(p, d goi la ducmg sinh
cua mat non.
4. Hinh non
Hinh 23 Hinh 24
Cho tam
giac
vuong OAB vuong a A
Khi
quay
tam
giac
nay
quanh
canh
OA thi
ducmg

gS'p khiic OBA tao
thanh
mot hinh tron
xoay
(con goi tk la hinh non). Hinh tron tam A do
canh
AB
tao ra trong khi
quay
goi la mat day ciia hinh non.
O goi la dinh ciia hinh non, d6 dai
doan
OA goi la chieu cao, 66 dai
doan
OB goi la
dudng
sinh ciia hinh non.
Canh
OB trong khi
quay
tao
thanh
mat xung
quanh
ciia hinh non
5. Khoi non tron
xoay
Ph^n khong gian
gidi
han bdi hinh non va ca hinh non gpi la khoi non

tron
xoay
(goi tk la khd'i non).
Dinh,
chi^u cao,
ducmg
sinh cua hinh non
cung
la dinh, chi^u cao,
dircmg sinh ciia khoi non do.
6. Dien tich
xung
quanh ciia hmh non, the tich cua khoi non
=
u r/
(Sxq
la dien tich xung
quanh,
r la ban kinh hinh tron day, / la
duomg
sinh).
V
= -
7t
r'h (V la the tich, h la chieu cao, r la ban kinh hinh tron day).
B.
Vf DU
Vi
du 1: Mot hinh vuong
canh

a noi tiep trong day hinh non. Mat
phang
qua dinh hinh non va
canh
hinh vuong cat hinh non
theo
m6t thiet dien la
tam
giac
can c6 goc a dinh
bang
a. Tim dien tich xung
quanh
ciia hinh non.
Giai
Ta CO = ml 6 day r =
AH,
/ = SA
ABCD
la hinh vuong
canh
a suy ra
AC=aV5,AH=^ = ^
2 2
Goi
I la trung di^m cua AB suy ra
lA
= IB = I va SI vuong goc AB, (do Hinh 25
tam
giac

SAB la tam
giac
can);
ASI
= ^
Trong tam
giac
vuong
SI
A
ta c6: SA =
AI
sin
a
2sin
—
VayS, =7t.
aV2
a
2sin^
4sin
—
2
Vi
du 2. Thiet dien qua
true
ciia
hinh non la mot tam
giac
deu

canh
a.
Tim
dien tich xung
quanh
ciia hinh non
va the tich ciia khoi non.
Giai:
Cat hinh non dinh S, day la hinh
tron (O)
bang
mot mat
phang
qua
true
SO, thiet dien la
A
SAB deu
canh
a
(h.26).
Hinh 26
T1
R6 rang ducmg sinh SB = / = a, ban
kinh
day r = ^ = ^
Theo
cong thiic
tinh
dien tich xung quanh hinh non:

S,^ = ml suy ra S^^ = TI ^ .a = ^.a^
SO la ducmg cao ciia tam
giac
deu canh a, nen SO = —y-
Theo
cong thiic
tinh
the tich khS'i n6n:
V=-7tr'h
3
a
flV3
1
raV ^/3
dday r = -,h = SO= Vay V= -n
2 2 _ 3
C. BAI TAP
24
35. Trong mat phang (P) cho O co
dinh.
Mot ducmg thang / thay doi lu6n di
qua O sao cho goc
giiJa
/ va mat phing (P) luon bang cp kh6ng d6i.
Chiing
minh rang / luon nam tren m6t mat tron xoay xac
dinh.
36. Ducmg sinh cua hinh non c6 do dai 5m va tao v6i mat day mot goc bang
30°. Tinh dien tich thiet dien qua true cua hinh non a'y.
37. Cho hinh non c6 thiet dien qua true la mot tam

giac
deu, ban
kinh
day
la R;
tinh
dien tich ciia thiS't dien qua hai dudng sinh tao thanh m6t
goc a.
38. Ban
kinh
day cua hinh non bang 3m, chieu cao bang 4m.
a. Tinh do dai ducmg sinh va goc tao hbi ducmg sinhvoi mat day.
b.
Tinh dien tich xung quanh.
c. Tinh the tich cua khoi non.
39. Cho hinh vuong ABCD canh a noi tiep day hinh non c6
dinh
S sao cho
goc SAB = 60°.
a. Chung minh rang
SABCD
la hinh chop
tu:
giac
deu.
b.
Tinh the tich hmh chop
SABCD
theo
a.

^ c. Tinh ti s6'
th^
tich ciia hinh chop va hinh non.
40. Cho hinh chop tam
giac
deu
SABC
canh ben nghieng v6i day goc (p,
canh day AB = a. Mot hinh non
dinh
S c6 day la hinh tron noi tiep tam
giac
ABC.
a. Tinh dien tich xung quanh ciia hinh non
theo
a va 9.
b.
Tinh ti s6' the tich cua khoi non va kh6'i chop da cho
theo
a va cp.
II.
MAT
TRU,
HINH
TRU,
KH6I TRU
A. LY
THUYET
CAN
NHCl

1.
Mat tru
tron
xoay
*
Dinh
nghia:
Cho hai ducmg thang A va £ song song vdi nhau va
each
nhau mot khoang r thi mat tron xoay sinh ra bcfi ducmg thang £ quay quanh
Agoi
la mat tru tron xoay (goi tat la mat tru).
A
goi la true ciia mat
tru,
£ goi la ducmg sinh cua mat tru do
(h.27).
1||||P
* cat mat tru boi m6t mat phang vuong goc vod A thi thiet dien la m6t
du5ng tron c6 tam nam tren A va c6 ban
kinh
r.
2.
Hinh tru
Hinh
27
Hinh
28
23
Cho hinh chO

nhat
ABCD, khi
quay
hinh chff
nhat
nay quanh
canh
AB
thi
ducmg gap
kJuic
ADCB tao thanh mot hinh tru tron
xoay
(goi tat la hinh
tru)
(hinh 28).
Khi
quay
canh
AD va EC se sinh ra hai ducmg tron
bang
nhau goi la hai
mat day cua hinh tru.
Khi
quay
canh
DC sinh ra mot mat tru tron
xoay
goi la mat
xung

quanh
cua hinh tru.
AD
= BC goi la Mn kinh day cua hinh tru.
AB la true cua hinh tru, d6 dai doan DC la d6 dai ducmg sinh cua hinh
tru,
cung la chilu cao cua hinh tru.
3. Khoi tru
trrjn
xoay
Phan
khong giain
gidi
han boi hinh tru va ca hinh tru goi la
khoi
tru
trdn
xoay
(goi tat la
khoi
tru)
Ban kinh day, dttdng sinh,
chieu
cao, mat xung quanh
ctia
hinh tru cung
la ban kinh day, ducmg sinh,
chieu
cao, mat xung quanh cua kh6'i tru.
4. Dien

tich
xung
quanh
hinh tru, the
tich
khoi tru
= 2
;T
rh (S^^, la dien tich xung quanh, r la ban kinh day, h la chilu
cao cua hinh tru)
V = ;r r'h (V thd tich kh6'i tru) ^
B. VI DU:
Mot hinh tru c6 ducmg cao
bang
ban kinh day va
bang
a. La'y
M,
N la diem thupc ducmg tron hai
day sao cho MN tao vdi true hinh
tru
goc a.
a. Tinh khoang
each
tiif
true
Hinh
29
hinh
tru den du&ng thang MN

b. Mat phang (P)
song song
true, cat hinh tru
theo
m6t thie't dien la hinh
vuong. Ti'nh khoang
each
tOr
true hinh tru den mp (P).
e. Mat phang (Q) khong
song song
vdi true hinh tru, cat no
theo
mot
thie't dien la hinh vu6ng. Tinh goc tao bcri true hinh tru va mp (Q).
Giai
a. Ke MM' vuong goc vdi day dudi thi OO'
song song
MM' nen goc tao
bdi
MN va OO' la goc NMM' = or va mp (MNM') vudng goc day.
Ke OI vudng goc M'N suy ra 01 vudng goc (MNM') ne'u OI la khoang
each
tur true den dudng thang MN.
Trong tam
giae
vuong MM'N ta cd
tana
=
MM'

Suy ra M'N = MM' = MM' tan a
M'N
=
atan«
Tam
giae
M'ON can dinh O nen I la trung di^m M'N
SuyraNI=
—M'N
=—atana
2 2
Ap
dung dinh ly
Pitago
trong tam
giae
vudng NOI ta cd:
01=
-aV4-tan2a
.
2
b.
Theo
ddu bai thi ABCD la hinh vudng nen AB = a. Lap luan gidng
cau a thi OK la khoang
each
tuf true hinh tru den mp (P), vdi K la trung diem
AB. OK la dudng cao cua tam
giae
d^u BAO

canh
a nen KO =
c. Ke ir vudng day dudi thi 11'
song
song
va
bang
O'O, I'F la hinh
chie'u
cua IF
tren day
dirdi
ma IF vudng gdc FE (gt) nen
I'F vudng gdc FE
theo
dinh li ba dudng
vudng gdc:
PFE = Iv suy ra I'E la dudng kinh.
Do EF vudng gdc IF va I'F nen
EF 1 mp (H'F) suy ra mp (UEF) 1 mpdl'F).
Ke I'K 1 IF thi I'Kl mp
(UEF).
KI la
hinh
chie'u
cua 11' tren Q nen gdc tao bdi
n' va Q la gdc FFE => nd cung la gdc
tao bdi true O'O va Q.
J'
0\

Tilr hai tarn giac vudng IFF va EFI' c6 cung canh goc vuong
I'
F, cho:
IF'
- ir' = I'E' - EF' suy ra IF' - a' = 4a' - IF' » IF =
2
Suy ra cos I'FE = :— =
TF
aVio 5
C.
BAI TAP
41.
Cho mat phang (P), mot di^m A nSm tren (P), m6t diem B nSm ngoai (P)
sao cho hinh chieu B' cia B tren (P) khOng triing v6i A. Mot di^m M
chay trong (P) sao cho luon c6 ABM = BMB'. Chiing minh rang diem
M luon nam tren m6t mat tru tron xoay c6 true la AB.
42.
Mot hinh tru c6 chieu cao bang ban kfnh day, ngucri ta ke trdn hai day
ban kfnh lam thanh m6t goc 30". Tinh goc giua true ciia hinh tru va
ducmg thang n6'i hai diem miit cua hai ban kinh tren.
43.
Chieu cao cua hinh tru bang 2m, ban kinh day bang 7m, mot hinh vuong
ndi ti6p hinh tru sao cho b6'n dinh cua no deu nam tren hai ducmg tron
day, tinh canh ciia hinh vuong.
44.
Chiing minh rang hai tiep dien ciia hinh tru hoac song song hoac cat
nhau theo mot giao tuy6'n song song vdi true hinh tru.
45.
Trong hinh chop tii giac deu, canh day bang a va goc nhi dien thu6c day
bang a,

CO
mot hinh tru noi tiep ma ducmg cao va ban kfnh ciia no bang
nhau. Chiing minh the tich hinh tru bang
Tia^ sin' a
16V2sin' (a +
45°)*
III.
MAT CAU
A.
LY
THUYET
CAN NH6
Hinh 31
1.
Mat c^u
Tap hgrp tat ca cac di^m M
trong kh6ng gian each diem O m6t
Ichoang bang r (r > 0) goi la mat
ciu tam O ban kinh r. Ki hi6u la
(O;
r),
CO
khi viet la (O)
Nhu vay (O; r) = {M| OM = r'
2.
Diem ndm tren, ndm trong,
n^m ngoai mdt cau
Cho di^m M va mat c^u (O; r).
* N6'u OM = r thi
M

nam trdn mat cdu
* Neu OM < r thi
M
nam trong mat c^u
* Neu OM > r thi
M
nam ngoai mat cSu
3.
Vi tri tuong doi gi&a mat c^u va mat phang
Cho mat ciu (O; r) va mat phang (P). Goi h la khoang each tir O den (P)
(OH ± (P), H e (P) va dat OH = h)
* Neu h > r thi (P) khdng cat mat cSu
* Ne'u h = r thi (P) va mat cdu c6 mot diem chung duy nha't H. Khi do ta
n6i (P) tie'p xuc vdi mat cau (O, r) tai H.
Die'm H goi la tie'p di^m, (P) goi la
tie'p
dien ciia mat c^u.
* Neu h < r thi (P) cat mat ciu theo m6t ducmg tron tarn H ban kinh
r = VP^.
Truomg hop dac biet khi h = 0, khi d6 (P) di qua O, mat phang (P) cat
mat ciu (O, r) theo ducmg tron tam O ban kinh r. Dircmg tron nay goi la
<lurcmg
tron
1dm.
Mat phang di qua tam mat cSu goi la mat phang kfnh cua mat cSu do.
4. Vi tri
tuong
ddi
giura
mdt cAu va

ducmg
thdng
Cho mat cSu (O; r) va ducxng thing A. Goi (P) la mat phang chiia A va
tam O. Goi duomg tron C la
giao
cua mat cau (O; r) va mat phang (P) di
nhien C la ducmg tron I6n (O; r)
Giao
ciia du6ng thing A va mat ciu (O; r) chinh la
giao
ciia dudng
thing
A va dudng tron C.
Goi d la khoang
each
tix O den A, ta c6 cac tnrcfng hgrp sau:
* Neu d > r thi A khong c6 diem chung vdi C suy ra A khong c6 diem
chung vdi mat c5u (O; r)
* Neu d = r thi A tiep xiic vdi C tai H va H la di^m chung duy nha't cua
mat c^u va A. Khi do ta noi A la tiep tuyen cua mat cau, H la tiep diem.
* Neu d < r, A cit C tai M va N thi hai diem nay chinh la
giao
diem cua
A
va mat cSu (O; r).
Dac biet neu A di qua tam ciia C va cit C tai hai diem A, B thi AB la
ducmg
kinh
ciia mat cau (O; r).
5. Nhan xet:

Qua mot diem M bat ky tren mat c^u c6 v6 s6' tiep tuyen ciia mat cau,
cac tiep tuyen nay deu vu6ng goc v6i OM. Cac tiep tuyen nay deu thuoc mot
tiep dien vuong goc v6i OM tai M.
Qua mat diem M nim ngoai mat c^u (O; r) c6 v6 so tiep tuyen vdi mat
ciu da cho cac tiep tuyen nay tao thanh mot mat non tron
xoay
dinh M, khi
do do dai doan thing n6'i
tCr
A den tiep diem deu bang nhau.
6. Cong thijfc tinh dien
tich
mat cau va the
tich
khoi cau
S =
47tr'
B. Vf DU
Vi
du 1: Cho hinh non c6 ban
kinh
day bang r, ducmg sinh tao vdi day
tndt
goc a. Mot hinh cau tam I nam trong hinh non va mat clu tiep xiic vdi
mat xung quanh va day hinh non.
Tim
dien tich ciia mat ciu va th^ tich ciia
khdi
ciu.
Giai:

A
Thiet dien qua true ciia hinh non la
tam
giac
can ABC va cit hinh ciu tam I
theo
dudng tron tam I ban
kinh
10 = R
tiep xiic vdi 3
canh
ciia AABC.
Hi^n
nhien I la
giao
ciia cac dudng
phan
giac
trong ciia AABC.
Trong tam
giac
vudng OIC, do CI
la dudng phan
giac
cua goc C Hinh 32
1
nen ICO = - C ma goc C la goc tao bdi
dudng
sinh va day nen C = a
a

a
ICO = -,OC = rnenIO = R = rtan—. '
2 2
Theo
cdng thiic
tinh
dien tich mat cSu S =
4TtR^
\
Vay S = 47t
a
rtan
—
2
=
47:r^tan^-
3
rtan
—
2
4 , a
= —
Tir
tan —
3 2
Vi
du 2: Cho tam
giac
ABC thuoc mat phing (P) va Ax ± (P). La'y S
tren Ax. Goi H, K la hinh chieu vudng goc ciia A tren SB va SC.

a) Chiing minh cac diem A, B, C, H, K ciing nam tren mot mat c^u.
b) Tinh ban
kinh
mat ciu biet AB = 2, AC = 3, BAC = 60°.
Giai
a) Gpi O la tarn ducmg tron ngoai
tiep tam
giac
ABC. Ke ducmg kinh AD ta
c6: BD ± AB ma SA ± (P) suy ra
(SAB) 1 (P), BD c (P) va BD 1 AB =>
BD 1 (SAB) => BD ± AH, ta lai c6
AH
1 SB (-t) suy ra AH ± (SBD)
AH
1 HD. Chiing minh tuofng tu ta c6
AK
± KD. Nhu vay cac diem A, B, C, H,
AD
K
each
O
CO
dinh m6t khoang bang
Hinh
33
AD
khong doi. Vay chiing nSm tren mat c^u tam O bdn kinh (AD la ducmg
kinh
ciia dudng tron ngoai tiep AABC).

b) Ap dung dinh ly ham s6'
cosin
va han s6' sin vao AABC ta c6:
BC
= AB' + AC' - 2AB . ACcosA
= 2'.+
3'-2.2.3cos60°
= 7 EC = V?
VT" . _
2V2T
va — = AD
sin A V3
= AD=> AD =
vay ban kinh hinh c^u la: OA =
AD
V2T
C. BAI TAP
46. Tim the tich ciia m6t hinh lang tru diing c6 day la hinh thoi ma goc nhon
bang a, ngoai tie'p hinh cSu c6 th^ tich V.
47. Cho m6t
tii
dien c6 cac
canh
bang a. Tim ban kinh hinh c5u ti^p xiic vdd
tat c^ cac ranh ciia
tii
dien.
48. Trong mat
phSng
(P), cho hinh vu6ng ABCD. Tren ducmg thang Ax

vuong goc vdi mat phang (P) lay diem S bat ky, dung mat phang (Q) di
qua A va vuong goc vdi SC. Mat phang (Q) cat SB, SC, SD lin luot tai
B', C, D'. Chiing minh rang cac diem A, B, C, D, B', C, D' cung nam
tren mot mat cau.
49. Trong mp (P) c6 ducmg thang d c6 dinh va mot diem co dinh A g d. Goc
xOy = Iv thuoc (P) quay quanh A, Ax va Ay cat d tai B, C. Cho d' 1
(P) tai A. Lay S e d'. Goi H va K la cac hinh chie'u vuong goc cua A
tren SB va SC.
a) Chiing minh cac die'm A, B, C, H, K cCing nam tren m6t mat c^u.
b) Tinh ban kinh mat ciu bie't AB = 2, AC = 3, BAC = 60°.
. c) Cho AABC vuong tai A. Chiing minh mat c^u ngoai tiep kh6'i da dien
ABCKH
luon di qua m6t ducmg tron c6' dinh khi S
chay
tren d'.
d) Tim quy tich tam I (tam mat c^u ngoai tiep tii dien
SOAB
khi goc
vuong xOy quay quanh O). Chiing minh mat c^u (I) luon lu6n di qua
? m6t dudng tron cd
dinh.
0. Cho tii dien ABCD vdi AB = AC = a, BC = b. Hai mat phang (BCD) va
(ABC) vuong goc vdi nhau va BDC = 90°. Xac dinh tam va ban kinh
mat c^u ngoai tie'p
tii
dien ABCD
theo
a va b.
. Cho hai hinh chu nhat ABCD (AC la dudng
cheo)

va
ABEF
(AE la
"t;
dudng
cheo)
khdng ciing nam trong mot mat phang va thoa man cac
I
dieu kien AB = a, AD = AF =
ayfl;
dudng thang AC vudng goc vdi
dudng
thang BP. Goi HK la dudng vudng goc chung cua AC va BF (H
thuoc AC, K thudc BF).
a) Goi I la
giao
diem ciia dudng thang DF vdi mat phang chiia AC va
song song
vdi BF. Tinh ty so' —.
DF
2) Tinh do dai doan HK.
3) Tinh ban kinh mat cau ndi tiep
tii
dien ABHK.
(DHSP
Ha
Ndi
-
Khd'i
A,

2001).
ON
TAP
cHiroNG
ii
I.
CAU HOI
TRAC
NGHI$M
Cho hinh non dinh S, day la hinh tron (O; r), duomg sinh
AB
tao vdi day
m6t goc a.
52. Dien tfch xung
quanh
cua hinh non la:
A.JE1
B.^ C.^ D.^
cos a cos a sin a sin a
53. The tich cua khdi non tao
bcri
hinh non tren la:
Tir^tana
7ir^ n r»
3
3sina
3cosa
3cotga
54. M6t hinh tru c6 ban kinh day la
r,

chi6u cao la h.
Dien
tich xung
quanh
ciia hinh non tr6n la:
A. Tirh
B.
-Trrh
C.
37n-h
D. 27rrh
2
55. The tich khdi tru cho hai hinh tru
or
CSLU
54
bang:
A 7tr'h
B.
Tir'h
C.
27n-'h
D.
-Tir^h
3 2
56. Mot hinh tru c6 ban kinh
bang
a, chieu cao
bang
b. M6t mat

phang
song
song
vdi
true
each
true
mot
khoang
la c cat hinh tru
theo
m6t
thi^t
dien
CO
dien tich
bang
bao
nhieu?
A.b7c' - a' B. ab C. be D. 2h^a^ - c'
II.
BAI
TAP
57. Day hinh
chop
SABCD la hinh
chfi
nhat,
canh
ben SA vu6ng goc vdi

.
day. Mat
phdng
qua A vuong goc SC, cat SB, SC, SD tai B', C, D'.
.
a) Chiing minh
tii
giac
AB'C'D'
eo hai goc ddi dien la goc vu6ng.
b)
S
chay
tran Ax J- day tai A. Chiing minh mp
AB'C'D'
lu6n di qua
mo;
ducmg
thang
cd dinh va bay di^m A, B, B', C, C, D, D'
cung
thupc
mot
mat c^u cd dinh.
c) Goi a < Iv la goc tao boi SC va mp
(SAB).
Cho
ABCD
la hinh vu6ng,
hay tinh ti so the tich giua hai khdi

chop
SAB'C'D' va SABCD.
58. Cho hinh
chop
deu S.ABCD c6 cac
canh
ben
bang
a va mat
cheo
SAC la
tam
giac
d^u.
a) Tim tam va ban kinh cua mat cSu ngoai tiep hinh
chop.
b) Qua A
dung
mat
phang
(a) vudng goc vdi SC. Tinh den tich thiet
dien tao bdi mat
phang
(a) va hinh
chop.
59. Mot hinh cSu ban kinh R tiep xuc vdi mat
phang
(P). Mdt hinh non c6
day nam tren (P) cd chieu cao h va ban kinh
cung

la R, (h < 2R),
Ngudi
ta cat hai hinh do
bang
mat
phang
(Q)
song song
vdi (P)
dugc
hai
thiet
dien
va goi x la
khoang
each
giiia
hai mat
phang
(P) va (Q)
(x
< 2R,
X
<
h).
Hay tinh tdng dien tich cua hai thidt
dien
do
theo
R, h va x.

Bieu
thu-c
a'y con thich hop cho trudng hop h < x < 2R, neu ta keo dai
cac
dudng
sinh ciia hinh non de chiing cat mat
phang
(Q).
Cho
tur
dien
ABCD
cd
AB
= BC = CA =
AD
=
BD
= aV2 , CD = 2a.
a) Chiing minh
AB
1
CD.
Xac dinh
dudng
vudng goc
chung
ciia
AB va CD.
b) Tinh the tich

tir
dien
ABCD.
c) Xac dinh tam I mat c^u ngoai tiep
tii
dien
ABCD.
d) H la hinh chie'u vudng gdc ciia I tren mp
ABC.
Chimg minh H la
true
tam
AABC.
(Trfch
de
thi
vao trudng
DH Su
pham
Quy Nhon nam 1979, khong
phan
ban).
61.
Cho hinh
chop
tam
giac
deu S.ABC cd
canh
day

bang
2^6 va
dudng
cao SO = 1. Goi
M,
N Ian lugt la trung diem ciia
AC,
AB.
Tinh
the tich hinh
chop
SAMN
va ban kinh hinh cau ndi tiep hinh
chop
do.
(Trich
de thi vao DH
Kinh
te
qudc
dan, 1979).
33
62.
Cho hinh tru c6 cac day la hinh tron tarn O
vh
tarn O', ban kinh ddy bang
chi^u cao va bang a.
Tren ducmg tron day tarn O la'y diem A, trdn ducmg tron day tarn O' la'y
diem B sao cho AB = 2a.
Tinh the tfch kh6'i tir dien OO'AB.

(Trich de thi Dai hoc - Khoi A - 2006).
ChUffng in
PHl/ONG
PHAP TOA DO TRONG KHONG GIAN
I. Ht TOA DO TRONG KHONG GIAN
A. Lt THUYfeT
CAN
NH6
1.
Toa do cua diem va cua vecta
/. He tog. do: Trong khong
gian
CO
ba true toa d6 vuong goe
vdi nhau doi mot va c6 dinh hudng
Ba true nhu vay duac goi la
ht
toa d6 vuong goc trong kh6ng gian
Didm O goi la g6'c toa d6
- True hoanh, dinh hudmg
duang
X
Ox, c6 vecta don vi
o
Hinh 34
i = (l;0;0)
True tung, dinh hudng duong y'Oy, eo vecta dan vi
} =(0; 1;0)
f True cao, dinh hudng duang z'Oz, c6 vecta dan vi
^=(0;0;1)

- Cac mat phang xOy, yOx, xOz d6i m6t vudng goc vdi nhau duac goi
1^
cac mat phang toa dd.
Vi
i,},
it
la cac vecta dan vi tren true, ma cac true vu6ng goc nhau d6i
ni6t, nen ta cof
= 1
va T.J =0; i.k =0; j. k =0
Trong khdng gian vori he toa dp Oxyz con dupe gpi la khong gian Oxyz
2.
Toa dp mot diem
Trong khong gian Oxyz cho
m6t diem M tuy y, m6i diem M
hoan toan xac dinh boi vecta OM
Vi
3
vecto
i, j, k la 3 vecta
khong dong phang nen c6 b6 3 so
duy
nha't (x, y, z) sao cho:
OM = X. i +y.j + z.k
= OM, + OMj +OM3
Hinh
35
Nguoc
lai vdfi (x, y, z) ta c6 didm M duy nhat trong khong gian thoa man
OM = X. i + y.j + z.k

Bp ba so (x, y, z) gpi la toa dp cua diem M doi v6i he true
Oxyz
da cho
va ki hieu la M(x, y, z)
hoac
M = (x, y, z) . . .
3. Toq do cua vecta
Trong khong gian
Oxyz,
cho
vecto
u , ta luon c6:
M
= a,, i + 3.2-j +a3 k
Bp ba so (a,, a2, a,) xac
dinh
duy nhat va gpi la toa dp ciia
vecto
u, ki
hieu
la u (a,, aj, a,)
2.
Bieu
thirc
toa do cua cac phep toan
vecto
/. Dinh U. Trong kldong gian
Oxyz
cho cac vec ta a (a,; aa; aj)
S

(bi; b2; bj) khi do
d) a ± b = (a,± b,; a2± bj; aji b,)
b) k. a = (ka,; kaj; k-a,) = k(a,;
di^;
aj) (k la so thuc)
2. He qua
a)
a = h « a, = b,, a2 = b2, a, = bj.
b)
0 = (0; 0; 0).
c) a va b ciing phuong c6 mot so k: a, = kb,, aj = kbj, a, = kbj.
d)
Trong khong gian Oxyz c6 A(a,; a2; a,) va B(b,; b2; b,) thi
.45 = (b-a,;
b2-a2;
bj-aj).
3.
Tich v6 hudmg
1)
Bieu thAc toq do
Dinh If. Trong khong gian Oxyz tich v6 hudng cua hai
vecto
a (aj;
a.^,
a-,;
va A (b,; bj; h^) la
m
Or
sty duac xac dinh bcfi cong thiic:
a

.b = a,b| + a2b2 + ajbj
2)
Ifng dung
* Do dai cua
vecto
* Khoang each giua hai diem A A(XA; yA; ZA). B(XB; yg; Zg) la
AB = 7(XB - x^f + (ye - yj' + (z^ - z^f .
* Gpi 9 la goc giiia 2 vecta a va b
a,b,
+a2b2
+a3b3
cos 9 =
^/af+af+a^
-^/bf+bf+b
=> a J. b <=> aib] + a2b2 +
a3b3
= 0
4. Tich
CO
hudng cua hai
vecto
(hay
tich
vecto)
/)
Dinh nghia: Tich c6 hu6ng (hay
tich
vecto)
cua hai
vecta

a (ai, a2, a,)
Va
b (b„ b2, bj) la mot
vecto
duac
ki hieu
\di[a,b]
hay a A 6 va c6 toa
d6 duac xac
dinh
nhu sau:
f a, a, a, a,
V
b,b3
3
b3b,
>
b,b,
)
2) Tinh chat
[a,b]=0 o a =k.S
{a,b] la va[a,
6]I.6(ra,b].a
= 0;
ra,b1.b
= 0)
a,b
= a
sin(a,b)
3)Apdung

J. Tick dien tick cua hinh binh hanh va thetich khoi hdp
•
ABCD
la hinh binh hanh
SABCD
= AB . AD sin A
AB,AD
•
ABCDABC'D' la hinh hop
•
VABCD.A'B'C'D'=
TAB,
AD
.AA
Ba vecta a, c, bdong phang
<=>
a,b
.c = 0
Ba vecta a, b, c khdng d6ng phing <» a,b
I
5. Phuong trinh mdt c^u
*
Dinh li: Trong khong gian Oxyz,
mat cau (s)
tarn
I(a;b;c) va ban kinh r
CO
phuong trinh:
(x-a)^
+

(y-b)2
+
(z-c)2
=
r2.
Nhdn xet:
Phuong trinh
x'+y'+z' + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0v6i: ' Hinh 36
A^ + B^ + - D > 0 la phuong trinh mat c^u
tarn
I(-A;-B;-C) va
r = ^A^ + B' + C' - D .
B.
Vf DU
Vi du 1
Cho tii dien ABCD:
3i)Chvtngm\nh:
AD+ BC = BD + AC
b) Goi M la die'm chia dudng trung tuyen AA, ciia mat phang ABC theo
so
3:
7 (
=
—
).
Chung minh rang:
MA, 7
DM = —DA +
10 20
DB +

20
DC
lai:
a)
AD - AC = CD
BD - BC = CD
AD - AC = BD - BC
AD+ BC = BD +AC
MA _ 3
MA, ~ 7 ^
)Cdchl.
AM =- MA.
AM = DM - DA
MA, = DA, - AM
Nensuy
ra DM - DA = - (DA, - AM)
>DM =
—
DA + — DA,
10 10 '
1
Ma DA, = -(DB + DC)
D
X-^'-
-V-
T>oA6 DM = — DA — DB + — DC.
10 20 20
Cdnh
2:
Bien

ddi ve phai:
— DA
^ — DB ^ —
10
20 20
DC
=
(DM + M^)+
—(Z)M+
MB)+—-{DM
+
MC)
10
20 20
_L
DM + — DM +—
Z)M
+—
M4
+— MB +—
MC
10
20 20 10 20 20
=
DM + —
MA
+ —
10
20
(MB

+
MC
2MAi
= DM
+
10
MA
+
—MAi
0
•
,
VP
=
VT do la dieu phai Chung minh.
Vi
du
2:
Cho tur dien deu ABCD
canh
d,
M
va N
Ian luot
la
trung di^njL AG
'
va BD.
1) Tim do dai MN.
2) Tim goc giua

MN
va AB.
3) Chiing minh
MNl
AC,
MN 1
BD.
Giai.
Dat
vecta
AB
=
a, AC
=
b,
:
b
Hinh
38
AD
= c,
=
d.
a.b = c.a = b.c =
a
cos
60"= -d\
2
1)
MN =

MA
+ AB+ BN
1
r - 1
=
- - b +a+- BD
2 2
=
- - b+a + -(AD - AB)
2 2
=
-
—
b + a + -{c- a)=
—(a-b+c)
2 2 2
1
-
1
MA^^
= MN^= - (a - b +cf= - {a^+ b+c+l{-a.b + a.c-b c)
4
4
=
ld^^MN
= ^
2
2
2) MN
.

AB
= -(a - b + c)a = -(a' - b . a + c . a] = y
,c6
,con
MN
dV2
AB
MN.
AB =
MN
.
= d.
Theo
c6ng
thiic ta
c6:
(MN.AB)
AB
cos
<»COS(MN,
AB) = =>
(MN,
AB ) = 45°.
3). MN
. AC = -(a - b + c)b =
-(a.b
-
b"
+ c.b) = 0.
MNl AC.

MN .
BD =
MN (AD
-
AB)
= -(a - b + c) (c - a)
2
\
21-
^
^(c + a)(c - a) - b(c - a)
=
-(c' - a' -b.c + b.a) = 0
=> MN
1 BD.
Vi
du
3.
Um
toa d6 hinh
chie'u
cua
die'm
A(l;
-3; -5)
trdn:
1) mp Oxy; 2) mp Oxz
3)
mp Oyz;
4)

True
hoanh; 5)
True
tung
6)
True
cao.
A
1
Giai:
1)
Tren mp Oxy thi do cao z = 0 nen toa d6 hinh chie'u cua diim A la
A,(l;-3;0).
2)
Tr6n mp Oxz thi tung d6 y = 0 nen toa do hinh chieu cua diem A la
Ajd;
0; -5).
3)
Tren mp Oyz thi hoanh do x = 0 nen toa do hinh chieu ciia di^m A la
A3(0;
-3; -5).
4)
Tren true hoanh Ox thi tung do y = 0, do cao z = 0 nen tea d6 hinh
chieucuaAlaA4(l;0;0).
5)
Tren true tung Oy thi hoanh do x = 0, do cao z = 0 nen toa do
hinli
chieu ciia A la
A,(0;
-3; 0).

6)
Tren true cao Oz thi hoanh do x = 0, tung do y = 0 nen toa do hinh
chieu ciia A la
A^iO;
0; -5).
Vi
du 4: Cho
A(-3;
2; -1). Tim toa do diem doi
xiing
cua A qua gdc toa
d6, qua eac true toa do, qua cac mat
phang
toa d6.
Giai:
Qua gdc toa do: toa do diem doi xiJng ciia A la: (3; -2; 1).
Qua true hoanh x' Ox: toa dd di^m ddi
xiing
ciia A la: (-3; 2; -1).
Qua true tung y'Oy: toa do di^m ddi
xiing
etia A la: (3; 2; 1).
Qua true cao z'Oz: Toa do di^m ddi
xiing
cua A la: (3; -2; -1).
Qua mat
phang
Oxy: toa do diem ddi
xiing
ciia A la: (-3; 2; 1).

Qua mp Oyz: toa dd diem ddi
xiing
cua A la: (3; 2; -1).
Qua mp Oxz: toa do di^m ddi
xiing
ciia A la: (-3; -2; -1).
Vi
du 5:
Cho AB = (2; -3; -1). Tim toa dd diem A, biet
B(l;
-1;
2).
Giai:
Goi
A(x;y;z)
ta c6: AB = (1-x; -1-y; 2-z).
Suy ra
2=1-X
-3 =-1-y
-l
= 2-z
X
=-1
y
= 2
z = 3
A(-l;
2; 3)
Vf
du 6:

Cho a = (3;
-1;
5) va 6 = (1; 2; -3). Tim c thoa man cac di6u
kidn
sau: c ±Oz, ca = 9, cb = -4.
Giai:
Goi c= (x. y, z). Vi c 1 Oz o ck = 0 o x . 0 + y . 0 + z .
1
= 0
=>
z = 0 vi c a = 9 « 3x - y = 9 Vi cc = 4
<=>
X + 2y = -4
Giai
he:
P'^-y^^
^ 1^
=
2
c , (2; -3; 0)
•
[x
+ 2y=-4 [y=-3
Vi
du 7.
Cho
tii
dien
ABCD
c6

A(l;
-2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 11),
D(-8;
-2; 2).
ViS't
phuang
trinh
mat ciu ngoai tie'p
tii
dien
ABCD.
Giai:
Goi
I(x;
y; z) la tarn mat
c&u
ngoai tie'p
tii
dien
ABCD,
thi ta phai c6:
IA
=
IB
= IC = ID
IA=IB
IA=IC
IA=ID
(1)
lAJBJC,

lA
IB
IC,
ID ,ID
lA
= (l-x;-2-y;-l-?)
=>
lA
=
^il-xr+i2
+
yy+il
+
zr
IB
= (-5-x; 10-y; -1-z)
=>
IB
IC=
(4-x;
l-y;ll-z)
IC
= V(4-;c)'+(!->')'+(11-^)'
A1
ID
=
(-8-x;
-2-y; 2-z)
ID
(1) c>

(l-x)'
+ (2 + y)' +(1 + zf = (5 +
X)'
+(10 - y)' +(1 + z)
(1-x)^ +(2 + y)'+(l + z)^ =(4 + x)^+(l-y)'+(ll-z)
(1-x)' + (2 + y)' +(1 + zf = (8 +
X)'
+(2 + y)' +(2 - zf
X -2y+ 10 = 0
<»<{x + y +
4z-22
= 0
3x-z + ll = 0
X = -2
y
= 4 ^ I (-2; 4; 5)
z = 5
Khoang
each
lA = = -^{l-xf +(2 + >;)' +(l + z)' = 9. Mat e^u
ngoai tiep
tii
dien ABCD c6 tarn
I(-2;4;5)
va c6 ban
kinh
r = lA = 9
Vay phuong
trinh
mat cau la:

(x+2)'
+(y-4)' + (y-5)' =81
Vidu8
Cho a =
(3,;2;2)va
6 =
(18;-22;-5).
Tim cbie't
c tao
vdfi
true tung goc tu.
Giai
Goi
c = (x; y; z)
Vi:
fl 1 c = 0 <=> 3x + 2y + 2z =0
^ 1 c o ^ = 0 » 18x - 22y - 5z = 0
= 14,c 1 a,c ±bva
=
14c:>x'+yW
= 14'
Tacoha:
•
3x + 2y + 2z = 0
18x - 22y - 5z = 0 »
x' + y' + z' = 14'
2
z = -2y
y
= ±6

Vi
c tao vdi true tung goc til nen c.j <0
<=>y<0
nen chon y = -6
Dap so: c = (-4;
-6;12)
Vidu9.
Cho cac die'm A(3;0;l), B(-l;4;l),
C(5;2;3),
D(0;
-5;4).
Chirng
minh
rling
b6'n diem A, B, C, D la 4
dinh
ciia
hinh
tii
dien.
I
Tinh ^AO (O la trong tam ciia mat BCD ciia
hinh
tii
dien).
Giai:
a. Neu bon di^m A, B, C, D la b6n
dinh
cua m6t
hinh

tir diSn thi
ba vector AB, AC, AD khong ddng phang.
AB =
(-4;4;1),
AC =
(2;2;2)
=2(1;1;1),AD
=
(-3;-5;3)
Cdch
I: Xet bieu thirc [AC,AD].AB
1
1
1
1
1
1
-4 + 4
1
1
+
1
1
-5 3 3 -3 -3 -5
= -4.8 - 4.6-2 = -58
9^
0 (dpcm)
Cdch
2. Ta khong tim dugc cap so x, y thoa man AB = xAC + y AD,
nghia la he sau v6 nghiem:

- 4 = X - 3>'
4 = X - 5y ^ he nay v6 nghiem
1 = X + 3y
b. Goi 0(x, y, z) ta c6:
AO
= AB + BO
AO
= AC + CO
AO=AD+DO
3AO
= AB + AC + AD-(OB + OC + OD).
Vi
O la irong
tarn tarn
giac
BCD
ntn
OB
+ OD + OC = 0.
1 1
Suyra:
AO =-{AB + AC + AD)
=-(-5;l;5)
VsT
A0\
^^i-5y+l'+5'
= ^
C.
BAI
TAP

63.
Cho
tii dien
ABCD. Tim
diem O sao cho:
OA
+
OB
+ OC + OD = 0.
Chiing
minh di^m O la dilm duy nha't.
64. Cho tii dien
ABCD.
Goi A', B', C, D' la cac di^m
theo
thir tu chia cac
doan thang
AB, BC, CD,
DA
theo
ty s6 k:
A'A
BB CC DD
=
k
AB
BC CD DA
1.
CMR
vdfi moi di^m O bat ky trong kh6ng gian, ta lu6n c6:

OA
+
OB
+ OC + OD =
OA'
+OB+OC' +OD'
2. Vol gia
tri
nao
ciia
k thi b6'n diem
A',B',C,D'
d6ng phing?
65. Cho
a
= S,b =l,(a,6) = 30".
Tinh
goc tao bdi tdng va hifu hai
vecta a,b.
66.
Tarn
giac
ABC
c6 toa d6 cac dinh A(3; -1;6);
B(-l;7;
-2),
C(l;
-3;2).
Chiing
minh tam giac

ABC
la tam gidc vu6ng.
67. Toa d6 trung diem cac canh cua tam giac ABC la (1;3;2), (0;2;0).
(2;
-2; 4).
Tim
toa do cua cac dinh tam giac
ABC.
68.
Tim
tren
true
hoanh mot diem each deu
hai
diem
A(l;
-3;7)
va
B(5;7;-
-5).
69.
AABC
CO
A(l;2;
-1), B(2; -1;3), C(-4;7;5). Tim d6 dai ducmg phan
giac trong
BD.
70.
AABC
CO

A(-4; -1;2), B(3;5; -10). Tim toa d6 dinh C bie't trung di^m
canh
AC
thu6c true
tung,^
trung
diem canh
BC
thu6c mpOxz.
71.
AABC
CO
A(6;2;3), goc toa d6 la trung diem canh
AC.
Trong tam G
ciia
AABC
thu6e true tung.
Tim
toa do B, C.
72.
AABC CO
A(-l;2;3), trong tam G trung vdi g6c toa do, Be Ox,
Ce
mpOyz.
Tim
toa d6 B, C.
73. Tim the tich tii dien
ABCD
biet toa d6 cac dinh A(2; -1;1), B(5;5;4),

C(3;2;-1),D(4;1;3).
74. Cho hinh hop
ABCD.A'B'C'D',
biet A(-1,0,1), B(2;l;2), D(l;l;2),
C'(4,-5;l).
a) Tim
toa d6 cac di^m eon lai
ciia
hinh h6p.
b) Tim
the tich hinh hop tren.
75. Cho lang tru diing
ABCA,B,C,
c6 day ABC la tam giac vudng
AB
= AC = a, AA, =. aV2 . Goi M, N 1^ lugt la trung diem
ciia
doan
AA,
va
BC,.
Chiing
minh MN la dirdng vu6ng goc chung cua cac ducmg
thing
AA,va
BQ.Tinh VMA,BC,
•
76. Trong khong gian toa d6 Oxyz cho 0(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 1; 0),
O'
(0,0,a) la bon dinh

ciia
hinh hop
chu
nhat
OBCD.O'B'CD'.
Tim
add 'BD L^T:.
(Trich
d6 thi
DHXD,
1999).
77. Trong kh6ng gian toa d6 Oxyz cho hinh tii dien
ABCD,
bie't toa d6 cac
dinh
A(2;
3; 1), B(4; 1; -2).
C(6;
3; 7), D(-5; -4; 8).
Tinh
do dai ducmg cao
ciia
tii dien xua't phat
tur
A.
(Trieh
de thi
DH
Duoc, 1999).
II.

MAT PHANG
A. THUYfeT CAN NH6
1.
Phuofng trinh long quat cua mat phdng
* Vector phap tuyen: Vecta n^O vu6ng goc vol mat phang
(«)
goi la
vecta phap tuyen cua mat phang
(a).
Dinh ly: Trong kh6ng gian Oxyz ne'u m|t phang
(a)
c6 cap vecto chi
phaang la a (a,; a^, a,) va b
(b,;
h^, b,) thi (a) c6 m6t vecta phap tuy^fn
CO
toa do
n =
V
>
J
= (ajbj
-
ajbj-,
ajb,
-
a,b3;a,b2
-
a^hi)
Nhuvay

n
=
Dinh nghia: Phuong trinh c6 dang Ax + By + Cz + D = 0 trong d6 A,
B, C
khong d6ng thcri bang 0 (A^+ B^+ 0) dugrc goi la phuong trinh t6ng quat
cua mat phang.
* Nhan xet
* Neu mat phang (a) c6 phirong trinh t6ng quat laAx + By + Cz + D =
ti
thi vecta phap tuyen cua no la n (A,B,C)
* Phuomg trinh mat phang
di
qua di^m
M„(Xo,yo'Zo)
nhan vecto
n (A,B,C)
0
lam vecto phap tuySn la:
A(x
-
Xo) + B(y
-
yo) + C(z- ZQ)
=
0
* Cac truorng hop rieng
Trong khong gian Oxyz cho (or): Ax + By + Cz + D =0 (1)
* Neu D = 0 thi (or) di qua gd'c toa do va ngugfc lai.
* Neu trong phuomg trinh (1) khong c6 mat x(A = 0) thi mat phang
tuong ung se song song hoac chiia true Ox.

Tuomg tu
vdri
y va z.
* N6'u plijong trinh mat phang c6 dang Cz + D = 0
Kh6ng
CO
mat x va y (A = 0, B = 0) thi mat
phing
do song song hoac
Itrung
voi mat phang Oxy. Tuong tu mat
phang
Ax +D = 0 song song hoac
ttrung
vdi mat
phang
Oyz, mat
phang
By + D = 0 song song hoac triing v6i
lat phang Oxz
f * Ne'u A,B,C,D khac 0, bang each dat a = -—,b = -—,c = -— ta c6
A.
B C
\ dua (1)
\i
dang:
-
+ ^ + - = 1(2)
a
be

Khi do mat
phang
(a) cat cac true Ox, Oy, Oz \in luat tai cac di^m:
(a;0;0);
(0;b;0); (0;0;c).
•
Phuomg trinh (2) la phuang trinh ciia mat phang theo doan chan.
2.
Vi trf tuong doi cua hai mat ph^ng
Cho hai mat
phang
(or,): A,x + B,y + C,z + D, = 0
(«2):A2X
+
B2y
+C2Z
+
D2
=0
1. (a,)n(a2)?i
^ o
A,:B,:C,
^
A2:B2:C2
B,
C, A
2.
(a,)songsong{a.^)<^ i!L-i^-
A.
C

i
A, B, C2 A
ngoaira(a,)±(a2)<»A,A2+BiB2+C,C2=
0
3.
Khoang each
tiir
mot diem den mot mat phang
* Cho mat phang (a ):Ax
+
By + Cz + D =
0
va Mo(Xo;yo;Zo). khoang
each
tiir
diem
MQ
de'n mat phang
a,
duac tinh theo c6ng thiic:
AXQ
+
Byo
+Czo+D
d(Mo,a) =
^A'+B'+C
* Khoang each gifia hai mat phang song song la khoang each tiir m6t.
diim bat ky cua mat phang nay den mat phang kia.
49