Chuyên đee: Rút gọn phân thức(Cơ bản và nâng cao)

CHUYÊN ĐỀ I
RÚT GỌN PHÂN THỨC
I. Phần cơ bản:
1. Dạng rút gọn trên từng phân thức:
- Rút gọn
2
( )x y x y y x
A
x y xy
+ +
= +
−
2. Dạng rút gọn trên từng mẫu thức có sẵn:
- Rút gọn
2
( )( )
a a b b b ab
B
a b
a b a b a b
+
= + −
−
+ − +
3. Dạng quy đồng trên tích của 2 mẫu số
- Rút gọn
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4
m m n m m n n
C

m m n m m n m m n
 
+ − − −
= −
 ÷
 ÷
− − + − −
 
4. Dạng tìm mẫu thức chung:
a. Rút gọn:
2
2
1 1 1 1 1
1
2
1 1 1 1
x x x
A
x x x x
 
 
+ − − + −
= + + +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − + − +
 
 
b. Rút gọn:

4 1 1
:
4 4
2 2
x x x
B
x x
x x
 
−
= − +
 ÷
 ÷
− −
+ −
 
5. Dạng khai triển mẫu thức:
a. Rút gọn:
( )
2
4 2
2
3 2 6
x
A
x x
−
=
+ − −
6. Dạng thêm bớt:

a. Rút gọn:
2 1 2 1A x x x x= + − + − −
(1 ≤ x ≤ 2)
b. Rút gọn:
1 1
2 1 2 1
B
x x x x
= −
+ − − −
c. Rút gọn:
2 2
4 4C x x x x= + − + − −
7. Dạng hằng đẳng thức:
a. Rút gọn:
2
3
1 4 2
1
2 8 2
a a
A
a
a a
 
 
+
= − + +
 ÷
 ÷

 ÷
− −
 
 
8. Dạng vừa hằng đẳng thúc vừa thêm bớt:
Rút gọn:
( ) ( )
3 3
2
2 1 2 1
4 2 4 1
p p
A
p p
+ + −
=
+ −
9. Dạng trục căn ở mẫu:
Rút gọn:
10. Dạng rút gọn có dấu giá trị tuyệt đối:
Rút gọn:
2
3
2 18
x x
A
x
−
=
−

2B x x= + −
2 2
4 4C x x x= + − +
2 2
2 2
2 2
2
a ab b a
D
a b
a ab b
− +
= +
+
+ +
( 0< a < b )
11. Dạng rút gọn số:
Rút gọn:
216 2 3 6 1
3
8 2 6
A
 
−
= −
 ÷
 ÷
−
 
12. Dạng phân tích tam thức bậc 2:

Rút gọn:
2 3 1
:
2 3 1
x x
A
x x
+ −
=
+ +
5 5 1
1 3 1
a a
B
a a
+ − −
=
− − −
( a > 1; a ≠ 10 )
II. BÀI TẬP TỔNG HỢP:
1. Cho biểu thúc:
1 1 2
:
2
a a a a a
B
a
a a a a
 
− + +

= −
 ÷
 ÷
−
− +
 
a. Tìm điều kiện để B xác định.
b. Rút gọn B.
c. Với những giá trị nguyên nào của a thì B có giá trị nguyên
2. Cho biểu thúc:
2
2 5 1
3 6 2
x
B
x x x x
+
= − +
+ + − −
a. Rút gọn B
b. Tính giá trị của B khi
2
2 3
x =
+
c. Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
d. Tính giá trị của B khi
( )
2
1 3 3x = − −

3. Cho biểu thúc:
( )
2
2
3 3
2
1
1 1
:
1 1 1
x x
x x
C x x
x x x
−
 
  
− +
= + −
 
 ÷ ÷
+ − +
  
 
a. Rút gọn C
b. Tính giá trị của C khi
3 2 2x = +
c. Tìm giá trị của x để 3C= 1
4. Cho biểu thúc:
2 2

2 2 3
2 4 2 3
:
2 4 2 2
x x x x x
D
x x x x x
 
+ − −
= − −
 ÷
− − + −
 
a. Rút gọn D
b. Tính giá trị của D khi
5 2x − =
c. Với giá trị nào của x thì D > 0
5. Cho biểu thức:
3
1 1
1 1 1
x x
H
x x x x x
−
= + +
− − − + −
a. Rút gọn H
b. Tính giá trị của H khi
53

9 2 7
x =
−
c. Tính giá trị của x để H = 16
6. Cho biểu thúc:
1 2
1 :
1
1 1
x x
K
x
x x x x x
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
a. Tìm điều kiện x và rút gọn biểu thức K
b. Tính giá trị của biểu thúc khi
4 2 3x = +
c. Tìm giá trị của x để K > 1
7. Cho biểu thúc:
a b a b
N
ab b ab a ab
+
= + +

+ −
a. Rút gọn N
b. Tính giá trị của N khi
4 2 3; 4 2 3a b= + = −
c. Chứng minh rằng nếu
1
5
a a
b b
+
=
+
thì N có giá trị không đổi.
8. Cho biểu thúc:
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
Q
x
x x x
   
− −
= − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   

a. Rút gọn Q
b. Tính giá trị của Q khi
6 2 5x = +
c. Tìm x khi
6
5
Q =
9. Cho biểu thúc:
15 11 3 2 2 1
2 3 1 3
x x x
Q
x x x x
− − +
= + −
+ − − +
a. Rút gọn Q
b. Tính giá trị của x khi
1
2
Q =
c. Tìm giá trị lớn nhất của Q và giá trị tương ứng x
10. Cho biểu thúc:
2 1 1
1:
1
1 1
x x x
T
x

x x x x
 
+ + +
= + −
 ÷
 ÷
−
− + +
 
a. Rút gọn T
b. Chứng minh T > 3; với mọi x > 0 và x ≠ 1
11. Cho biểu thúc:
2 3 6
2 3 6 2 3 6
a b ab
A
ab a b ab a b
+ −
= −
+ − − + + +
a. Rút gọn A
b. Chứng minh rằng nếu
81
81
b
A
b
+
=
−

thì khi đó
a
b
là số nguyên chia hết cho 3
12. Cho biểu thúc:
2
1
x x x
B
x x x
−
= −
− −
a. Tìm điều kiện và rút gọn B
b. Tính giá trị của B khi
3 8x = +
c. Với giá trị nàocủa x thì B > 0; B < 0; B = 0
13. Cho biểu thúc:
1 1 2
:
1
1 1
x
B
x
x x x x
 
 
= − +
 ÷

 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
a. Rút gọn biểu thúc B
b. Tính giá trị của B khi
3 2 2x = +
c. Giải phương trình khi
5B =
14. Cho biểu thúc
1
1 1 :
1 1 1
a a a a a
C
a a a
  
+ − −
= + −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ − +
  
a. Rút gọn C
b. Tính giá trị của C khi
27 10 2a = +
15. Cho biểu thúc:
1 1 2

3 : 1 :
1 1
x
B x x
x x x
+
   
= − + − −
 ÷  ÷
− −
   
a. Tìm điều kiện của x để B xác định
b. Rút gọn B
c. Tính giá trị của B khi
6 20x = +
d. Tìm giả trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
16. Cho biểu thúc:
( ) ( )
2
2
9 4 2 3
6 9
x x x
F
x x
− − − −
=
− +
a. Rút gọn F
b. Tìm giá trị nguyên x sao cho F là một số nguyên

17. Cho biểu thúc:
( ) ( )
2
2
4 1 2 1 1
9 4
x x x
F
x
− + + −
=
−
a. Rút gọn F
b. Tìm x đề F > 0
18. Cho biểu thúc:
2
1 1
:
x
A
x x x x x x
+
=
− + +
a. Tìm điều kiện x để A có nghĩa.
b. Rút gọn A
19. Cho biểu thức
3
1
1

1 1
x x
P x x
x x x
−
= − − + +
− − −
a. Tìm điều kiện đối với x đề P xác định
b. Rút gọn P
c. Tìm giá trị của x khi P = 1
20. Cho biểu thúc:
1 1
2 1 2 1
M
x x x x
= −
+ − − −
a. Tìm điều kiện của x để biểu thức M xác định
b. Rút gọn M
c. Tính giá trị của M khi x = 6
22. Cho biểu thúc:
2
b ab a
A
a a
−
= −
a. Tìm điều kiện của a; b để A được xác định
b. Rút gọn A
23. Cho biểu thúc

2
3 3 1
1 1
x x x x x x
A
x x x x x
 
+ − + − −
= −
 ÷
 ÷
+ + −
 
a. Tìm điều kiện của x để A được xácđịnh
b. Rút gọn A