Kiến thức cơ bản và nâng cao chương I Mệnh đề và TH

ĐẠI SỐ 10
CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
BÀI 1: MỆNH ĐỀ
Tóm tắt lý thuyết:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Vấn đề 1: Xác định mệnh đề - Tính đúng sai của mệnh đề:
Bài 1.1: Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không?
Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai?
a.
2
là số hữu tỉ.
b. phương trình
2
5 6 0x x+ + =
vô nghiệm.
c. chứng minh bằng phản chứng khó thật!
d.
4x
+
là một số âm.
e. n là số chẳn nếu và chỉ nếu
2
n
chia hết cho 4.
f.
3
:n N n n∃ ∈ −
không là bội của 3.
g.
2
, 1 0x x x∀ ∈ + + >¡

Bài 1.2: Xét tính đúng sai của mệnh đề sau:
a.
27 4 2 27 2.4< ⇒ <
b.
23 5 ( 2) 23 ( 2).5< ⇒ − < −
c.
2
5 25
π π
< ⇔ <

Vấn đề 2: xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của mệnh đề.
Một mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một khẳng định sai.
Một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đúng.Một câu khẳng định sai được gọi là
mệnh đề sai.
Câu không phải là câu khẳng định hoặc câu khẳng định mà không có tính đúng – sai thì
không phải là mệnh đề.
Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P. Mệnh đề “ không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí
hiệu là
P
.
Mệnh đề P và mệnh đề phủ định
P
là hai câu khẳng định trái ngược nhau.
Nếu P đúng thì
P
sai, nếu P sai thì
P
đúng.

Mệnh đề kéo theo:
cho mệnh đề A và B.Mệnh đề “ nếu A thì B” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu
A B⇒
.
Mệnh đề
A B⇒
chỉ sai khi A đúng B sai.
Mệnh đề đảo:
Mệnh đề
B A⇒
được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề
A B⇒
.
Mệnh đề tương đương:
Cho hai mệnh đề A và B.
Nếu cả hai mệnh đề
A B⇒
và
B A⇒
đều đúng ta nói A và B là hai mệnh đề tương
đương và kí hiệu là
A B⇔
.
(đọc là A tương đương B, hoặc A là điều kiện cần và đủ để có B, hoặc A khi và chỉ khi B).
Mệnh đề phủ định của P là “ không phải P”
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “
, ( )x X P X∀ ∈
” là
, ( )x X P X∃ ∈
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “

, ( )x X P X∃ ∈
” là
, ( )x X P X∀ ∈
Mệnh đề
Q P⇒
là mệnh đề đảo của mệnh đề
P Q⇒
Bài 1 . Phát biểu phủ định các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.
a) phương trình
2
2 3 1 0x x− + =
có nghiệm.
b)
2 1,44>
c) Có vô số nguyên tố.
d) Tứ giác ABCD đã cho là một hình vuông.
e) số 4225 là số chính phương.
f) Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau.
Bài 2. Xét tính đúng sai, giải thích ? Phủ định mệnh đề sau :
a)
3:
2
=∈∃
xQx
b)
nnN
=∈∃
2
:
c)

0,
2
≥∈∀
xRx
d)
xxZx
>∈∀
2
,
e)
1240
>⇒<
x
f)
42
2
<⇒<
xx
g)
42
2
>⇔>
xx
h)
39,
22
 xxNx
⇒∈∀
i)
3:

2
=∈∃
xRx
j)
xxNx
≥∈∀
2
,
k)
1
1
1
:
2
−=
+
−
∈∀
x
x
x
Rx
Bài 3. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Xét hai mệnh đề
P: “Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ bằng nhau”
Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”
a/ Xét tính đúng sai của mệnh đề P
⇒
Q. b/ Xét tính đúng sai của mệnh đề Q
⇒
P.

c/ Mệnh đề P
⇔
Q có đúng không.
Bài 4. . Xét hai mệnh đề
P: “
π
là số vô tỉ”, Q: “
π
không là số nguyên”
a/ Hãy phát biểu mệnh đề P
⇒
Q. b/ Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên.
Bài 5. Phát biểu các định lí sau, sử dụng khái niệm “Điều kiện cần”
a. Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau.
b. Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có 2 đường chéo vuông góc với nhau.
c. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
d. Nếu a = b thì a
2
= b
2
.
Bài 6. Hãy sửa lại (nếu cần) các m đề sau đây để được 1 m đề đúng:
a. Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau.
b. Để tổng 2 số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 7.
c. Để ab > 0, điều kiện cần và đủ là cả 2 số a, b đều dương.
d. Để một số nguyên dương chia hết cho 3; điều kiện cần và đủ là nó chia hết cho 9.
Bài 7. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó
đúng hay sai?
+ Số 11 là số nguyên tố. + Số 111 chia hết cho 3.
Bài 8. Cho định lý: “Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương

hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông”.
a/ Viết giả thiết, kết luận của định lý.
b/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lý trên.
c/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lý trên.
Bài 9. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
a) Với mọi x, x
2
≥ 0.
b) Tồn tại số tự nhiên m, m là số nguyên tố.
c) ∀ n∈N, n
4
– n
2
+ 1 là hợp số.
d) Mọi học sinh tại trung tâm Quang Minh đều học lớp 10.
e) Tồn tại một tam giác vuông có hai góc bằng nhau.
f) Tồn tại hình thang là hình bình hành.
Bài 10. Viết các câu sau, dùng kí hiệu ∀∃, ∀. Phủ định mệnh đề đó.
a) Căn bậc hai của mọi số tự nhiên là số vô tỷ.
b) Bình phương của một số thực là một số không âm.
c) Có một số tự nhiên chia hết cho 2010.
d) Tồn tại một số tự nhiên mà bình phương của nó chia hết cho 3 và không chia hết 2.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO:
Dùng phương pháp phản chứng minh các mệnh đề sau :
1) Cmr nếu a+b = 2cd thì ít nhất một trong hai bđt sau là đúng:
2 2
;c a d b≥ ≥
2) Cho 0<a,b,c <1.Cmr một trong các bđt sau là sai: a(1-b)>1/4; b(1-c)>1/4;
c(1-a)>1/4
3) Cho

1 2 1 2
2( )a a b b≥ +
.Cmr một trong hai pt sau có 2 no pb:
x
2
+a
1
x+b
1
=0 và x
2
+a
2
x+b
2
=0
4) a + b <2 thì một trong 2 số đó nhỏ hơn 1.
5) Chứng minh : « Nếu x²+y² = 0 thì x = 0 và y = 0 ».
6) Nếu tích 2 số nguyên ab chia hết cho 3 thì a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3.
7) Nếu một tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 2V thì tứ giác đó nội tiếp trong đường
tròn.

Bài 2: TẬP HỢP
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
PHẦN BÀI TẬP:
Dạng 1: xác định tập hợp:
Phương pháp giải:
Liệt kê các phần tử của nó.
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
Nếu tập X chứa và chỉ chứa những phần tử chứa tính chất P thì ta ghi X={ x/x

có tính chất P}.
Chú ý:
Ta thường sủ dụng phương pháp liệt kê khi số phần tử của tập hợp là hữu hạn.

2.1 a) Cho tập
{
/ 30A x x= ∈ <¥
và
x
chia hết cho 3
}
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b) Cho tập
}
{
2,6,12,20,30B =
Hãy xác định B bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng các phần tử của nó.
c) Hãy liệt kê các phần tử của tập hựp các học sinh lớp em cao dưới 1m65
Bài 2.2 viết lại tập sau bằng cách liệt kê các phần tử:
a)
{
}
2
/(1 )(2 5 2 0A x x x x= ∈ − − + =¥
b)
}
{
/ 2 1 17B x x= ∈ + <¥
c)
{

/C x x= ∈ ¥
là ước chung của 24 và 36}
d)
{ }
2
/ 16D x x= ∈ <¢
e)
}
{
/ 5 4 1 7E x x= ∈ − < − <¢
Bài 2.3 Viết tập hợp sau dưới dạng nêu tính chất đặc trưng:
a)
}
{
1,4,9,16,25,36A =
b)
}
{
4,3,2,B =
Tập hợp ( hay còn gọi là tập) là khái niệm cơ bảncủa toán học không được định nghĩa
Cách cho tập hợp: thường cho bằng hai cách:
Liệt kê các phần tử của tập hợp giữa hai dấu móc:
}
{
...
Nêu rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu là
∅
.
Tập con:

Định nghĩa: cho hai tập hợp A và B.Nếu mọi phần tử của A đều thuộc tập hợp B, ta nói
tập hợp A là con của tập hợp B.ký hiệu là
A B⊂

( , )A B x x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈
( ,A B x x A⊄ ⇔ ∃ ∈
và
x B∉
Quy ước:
,A A∅∈ ∀
.
Tính chất:
A A⊂
.

,A B B C A C⊂ ⊂ ⇒ ⊂
Tập hợp bẳng nhau
Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau khi mọi phần tử của A đều thuộc về B và mọi phần tử
của B đều thuộc về A. Ta viết: A=B.
( )A B x x A x B= ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈
A B A B= ⇔ ⊂
và
B A⊂
.
Hai tập hợp A và B không bằng nhau gọi là khác nhau và kí hiệu là:
A B≠
.
c)
}
{

1,3,5,7,9,11C =
d)
1 1 1
1,, , ,
5 25 125
D


=
 



Bài 2.4 Tìm tính chất đặc trưng xác định các phần tử của tập hợp:
a)
}
{
2,4,6,8,10A =

b)
2 3 4 5 6
, , , ,
3 8 15 24 35
B


=
 



c)
}
{
6,24,60,120,210C =
Dạng 2: Chứng minh
A B⊂
Phương pháp:
Cách 1: Lấy x bất kì:
x A
∈
.Chứng minh
x B
∈
.
Cách 2: Liệt kê các phần tử của A và B.
Bài 2.5: Cho các tập hợp
{ }
2
/ 2 0A x x x= ∈ − − =¢
và
{ }
/ 2 3B x x= ∈ − < ≤¢
Chứng minh rằng
A B⊂
.
Bài 2.6 Cho A= tập hợp các hình vuông. B= tập hợp các hình thoi.
Chứng minh rằng
A B⊂
.
Bài 2.7 Cho các tập

{ }
2
/ 5 6 0A x x x= ∈ − + =¡
{
/B x x= ∈ ¥
là ước của 6}. Chứng minh rằng
A B⊂
.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO:
Bài 1. Viết tập sau dưới dạng liệt kê :
A = {x
∈
R | (x
2
– 2x + 1)(x – 3) = 0} B = {x
∈
Z | x(2x + 1)(x – 2) = 0}
C = {x
∈
N | x
≤
30; x là bội của 3 và của 5} D = {x
∈
Q | x
3
+2x
2
– 3x - 4 = 0}
E = {x
∈

Q | x
3
+2x
2
– 2x - 3 = 0} F = {x
∈
Q | x(3x
2
– x –
2) = 0}
Bài 2. Viết tập sau dưới dạng mô tả :
A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4} B={0, 2, 6, 12, 20} C={1, 3, 5, 7, 9, 11}
Bài 3. a) Cho
{ }
/ 2A x x= ∈ <¥
và
{
}
3
/ 0B x x x= ∈ − =¢
. Chứng tỏ
A B⊂
.
b) Cho
{
}
2 2
/( 1)(2 3 1) 0A x x x x= ∈ + − + =¡
và
{

}
2
/ 2 0B x x= ∈ − =¢
. Chứng tỏ
B A⊂
.
Bài 4. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho {a , b}
⊂
X
⊂
{a , b , c , d}.
Bài 5. Tìm tất cả các tập hợp con của tập X = {a , b , c , d}.
Bài 6. Tìm tất cả các tập hợp con của tập X = {a , b , c , d, e}.
a) Không quá 3 phần tử. b) Có đúng bốn phần tử
Bài 7. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào.
}
{
2,5,3A =

{ }
/ 5B x x= ∈ <¥
}
{
0,10C =

{ }
2
/ 2 7 3 0D x x x= ∈ − + =¡
Bài 8. Tìm tất cả các tập con của các tập sau:
}

{
2,4,3A =

}
{
4,5,6,7B =

BÀI 3: CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
TÓM TẮT LÝ THUYẾT: