Tài liệu hướng dẫn tự học môn đại số giải tích 11

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG
Kí hiệu Tên gọi Diễn giải
P
n
Số các hoán vị của n phần tử Permutation
k
n
A
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
k
n
C
Số các tổ hợp chập k của n phần tử Combinatory
P(A) Xác suất của biến cố A Probability
n
ulim
Giới hạn của dãy số (u
n
) Limit
)(lim
0
xf
xx
→
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới x
0
)(lim xf
x −∞→
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới âm vô cực
)(lim xf

x +∞→
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới dương vô cực
)(lim
0
xf
xx
+
→
Giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x dần tới x
0
)(lim
0
xf
xx
−
→
Giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x dần tới x
0
y' hoặc f'(x) Đạo hàm của hàm số y = f(x)
y'' hoặc f''(x) Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x)
y
(n)
hoặc f
(n)
(x) Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)
dy hoặc df(x) Vi phân của hàm số y = f(x) Differenttial
n(A) hoặc A
Số phần tử hữu hạn của tập A
1
Tài liệu lưu hành nội bộ

1
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các giá trị lượng giác của cung (góc) α:
• sinα ln xác định ∀α ∈R và sin(α + k2π) = sinα;
cosα ln xác định ∀α ∈R và cos(α + k2π) = cosα
• - 1 ≤ sinα ≤ 1 (sinα≤ 1).
- 1 ≤ cosα ≤ 1 (cosα ≤ 1).
• tanα xác định khi α ≠
π
π
k
+
2
và tan(α + kπ) = tanα;
cotα xác định khi α ≠ kπ và cot(α + kπ) = cotα.
• Dấu của các giá trị lượng giác của góc α:
2. Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:
α
0 (0
0
)
6
π
(30
0
)
4

π
(45
0
)
3
π
(60
0
)
2
π
(90
0
)
sin 0
2
1
2
2
2
3
1
cos 1
2
3
2
2
2
1
0

tan 0
3
1
1
3
kxđ
cot kxđ
3
1
3
1
0
3. Công thức lượng giác cơ bản:
• sin
2
α + cos
2
α = 1 •
α
α
2
2
cos
1
tan1
=+
(α ≠
π
π
k

+
2
, k ∈ Z).
•
α
α
2
2
sin
1
cot1
=+
(α ≠ kπ, k ∈ Z). • tanα.cotα = 1 (
2
π
α
k
≠
, k ∈ Z).
4. Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
Cung đối:(-α) và α
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan(-α) = -tanα
cot(-α) = -cotα
Cung bù:(π - α) và α
sin(π - α) = sinα
cos(π - α) = -cosα
tan(π - α) = -tanα
cot(π - α) = -cotα

Cung phụ:(
2
π
- α) và α
sin(
2
π
- α) = cosα
cos(
2
π
- α) = sinα
tan(
2
π
- α) = cotα
Cung hơn kém π : (π + α) và
α
sin(π + α) = -sinα
cos(π + α) = -cosα
tan(π + α) = tanα
cot(π + α) = cotα
2
Tài liệu lưu hành nội bộ
Phần tư
Giá trị lượng giác
I
II
III
IV

2
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11
cot(
2
π
- α) = tanα
5. Các công thức lượn giác thường sử dụng:
Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
sin(a + b) = sinacosb + cosasinb

ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan(
+
−
=−

ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan(
−

+
=+
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos
2
a - sin
2
a
= 2 cos
2
a - 1
= 1 - 2sin
2
a

atan1
2tana
2tan
2
−
=
a
Công thức hạ bậc:

2
2cos1
cos
2
a

a
+
=

2
2cos1
sin
2
a
a
−
=

a
a
a
2cos1
2cos1
tan
2
+
−
=
Công thức biến tích thành tổng:
cosacosb =
2
1
[cos(a + b) + cos(a - b)]
sinasinb =-
2

1
[cos(a + b) - cos(a - b)]
sinacosb =
2
1
[sin(a + b) + sin(a - b)]
Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosu + cosv = 2cos
2
vu
+
cos
2
vu
−
cosu - cosv = -2sin
2
vu
+
sin
2
vu
−
sinu + sinv = 2sin
2
vu
+
cos
2
vu

−
sinu - sinu = 2cos
2
vu
+
sin
2
vu
−
• Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina - 4sin
3
a cos3a = 4cos
3
a - 3cosa
• Công thức sina + cosa:
sina + cosa =
2
sin(a +
4
π
) sina - cosa =
2
sin(a -
4
π
)
sina + cosa =
2
cos(a -

4
π
) sina - cosa = -
2
cos(a +
4
π
)
 Ghi chú:












3
Tài liệu lưu hành nội bộ
3
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11


4
Tài liệu lưu hành nội bộ
4

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
§
1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I- ĐỊNH NGHĨA:
1. Hàm số sin và hàm số côsin:
a) Hàm số sin:
• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
sin: R → R
x

y = sinx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx
• Tập xác định của hàm số sin là: D = R.
b) Hàm số côsin:
• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx
cos: R → R
x

y = cosx
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y =
cosx
• Tập xác định của hàm số côsin là: D = R.
2. Hàm số tang và hàm số côtang:
a) Hàm số tang:
• Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y =
x
x
cos
sin
(cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.

• Tập xác định của hàm số y = tanx là: D = R\{
2
π
+ kπ, k ∈ Z}.
b) Hàm số côtang:
• Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =
x
x
sin
cos
(sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx.
5
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
• Tập xác định của hàm số y = cotx là: D = R\{kπ, k ∈ Z}.
 Nhắc lại định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x).
* Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó suy ra các hàm số y
= tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ.
II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
 Giải nghĩa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống.
Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx.
• Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
• Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
• Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì π.
III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
1. Hàm số y = sinx:
• Hàm số y = sinx xác định với mọi x ∈ R và -1 ≤ sinx ≤ 1;
• Là hàm số lẻ;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π ] :
Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;
2
π
] và nghịch biến trên [
2
π
; π].
Bảng biến thiên:
x
0
2
π
π
y = sinx
1
0 0
* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối
xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta
được đồ thị hàm số trên đoạn [-π; 0].
b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R:
6
Tài liệu lưu hành nội bộ
6
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
c) Tập giá trị của hàm số y = sinx:
Tập giá trị của hàm số y = sinx là T = [-1; 1].
2. Hàm số y = cosx:
• Hàm số y = cosx xác định với mọi x ∈ R và -1 ≤ cosx ≤ 1;
• Là hàm số chẵn;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π;
• Hàm số y = cosx đồng biến trên [-π; 0] và nghịch biến trên [0; π].
• Bảng biến thiên:
x
-π 0 π
y = cosx
1
-1 -1
• Đồ thị hàm số y = cosx:
• Tập giá trị của hàm số y = cosx là T = [-1; 1].
Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.
3. Hàm số y = tanx:
• Tập xác định: D = R\{
π
π
k
+
2
, k ∈ Z};
• Là hàm số lẻ;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π;
a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0;
2
π
):
7
Tài liệu lưu hành nội bộ
7
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;

2
π
).
Bảng biến thiên:
x
-π
4
π

2
π
y = tanx
+∞
1
0
* Nhận xét: Khi x càng gần
2
π
thì đồ thị hàm số y = tanx càng gần đường thẳng x =
2
π
.
b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D:
• Đồ thị hàm số y = tanx trên
)
2
;
2
(
ππ

−
:
• Đồ thị hàm số y = tanx trên D:
8
Tài liệu lưu hành nội bộ
8
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
• Tập giá trị của hàm số y = tanx là T = (-∞; +∞).
4. Hàm số y = cotx:
• Tập xác định: D = R\{kπ, k ∈ Z};
• Là hàm số chẵn;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π;
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π ) :
Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; π).
x
0
2
π
π
y = tanx
+∞
0
-∞
b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D:
9
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
• Tập giá trị của hàm số y = cotx là T = (-∞; +∞).
 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-π;
2
3
π
] để hàm số y = tanx:
10
Tài liệu lưu hành nội bộ
10
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị bằng 1;
c) Nhận giá trị dương; d) Nhận giá trị âm.
Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) y =
x
x
sin
cos1
+
; b) y =
x
x
cos1
cos1
−
+
; c) y =
)
3
tan(
π
−
x
; d) y =
)
6
cot(
π
+
x

.
Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx =
2
1
.
Bài 4: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.
Bài 5: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a) y = 2
xcos
+ 1; b) y = 3 - 2sinx.
Bài 7: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = sinx.
Bài 8: Chứng minh rằng sin2(x + kπ) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau:
a) y = -2sinx; b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx; d) y = sinxcos
2
x + tanx.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = 2cos(x +
3
π
) + 3; b) y =
)sin(1
2
x
−
- 1; c) y = 4sin
x
.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI







11
Tài liệu lưu hành nội bộ
11
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
§2.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a:
Xét phương trình sinx = a (a ∈ R) (1)
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp a ≤ 1:
sinx = sin 
)(
2
2
Zk
kx
kx
∈



+−=

+=
παπ
πα
sinx = a
sinx = a 



∈
+−=
+=
)(
2arcsin
2arcsin
Zk
kax
kax
ππ
π
* Chú ý:

]sin)([sin
sin)(sin
0
β
α
=
=
xu
xu

⇔
)(
]360180[2)(
]360[2)(
000
00
Zk
kkxu
kkxu
∈



+−+−=
++=
βπαπ
βπα
• sinu(x) = a
(-1 ≤ a ≤ 1)

))((sin
)(sin
axu
axu
=
=
⇔
)(
]360arcsin180[2arcsin)(
]360[arcsin2arcsin)(

00
0
Zk
kakaxu
kakaxu
∈



+−+−=
++=
ππ
π
• Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)] ⇔
)(
2)()(
2)()(
Zk
kxgxf
kxgxf
∈



+−=
+=
ππ
π
• Đặc biệt: sin[f(x)] = 1 ⇔ f(x) =
2

π
+ k2π, k ∈ Z
sin[f(x)] = -1 ⇔ f(x) = -
2
π
+ k2π, k ∈ Z
sin[f(x)] = 0 ⇔ f(x) = kπ, k ∈ Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) sinx =
2
1
; b) sinx =
5
1
; c) sin2x = 1; d) sin(x + 45
0
) = -
2
2
.
Giải:

12
Tài liệu lưu hành nội bộ
12
Ti liu hng dn t hc mụn i s v gii tớch 11






2. Phửụng trỡnh cosx = a:
Xeựt phửụng trỡnh cosx = a (a R) (2)
Trửụứng hụùp a > 1: phửụng trỡnh (2) voõ nghieọm
Trửụứng hụùp a 1:
cosx = cos
)(
2
2
Zk
kx
kx

+=
+=


cosx = a
cosx = a




+=
+=
)(
2arccos
2arccos
Zk
kax
kax


* Chỳ ý:

]cos)([cos
cos)(cos
0


=
=
xu

xu

)(
]360[2)(
]360[2)(
00
00
Zk
kkxu
kkxu




++=
++=


cosu(x) = a
(-1 a 1)

])([cos
)(cos
axu
axu
=
=

)(
]360arccos[2arccos)(

]360[arccos2arccos)(
0
0
Zk
kakaxu
kakaxu




++=
++=


Tng quỏt: cos[f(x)] = cos[g(x)]
)(
2)()(
2)()(
Zk
kxgxf
kxgxf




+=
+=


c bit: cos[f(x)] = 1 f(x) = k2, k Z

cos[f(x)] = -1 f(x) = + k2, k Z
cos[f(x)] = 0 f(x) =
2

+ k, k Z.
Vớ d: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a) cosx = cos
6

; b) cos3x = -
2
2
; c) cosx =
3
1
; d) cos(x + 60
0
) =
2
2
.
Gii:

13
Ti liu lu hnh ni b
13
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11




3. Phöông trình tanx = a:
tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z [x =
β
0
+ k180
0
, k
∈

Z]
tanx = a
tanx = a ⇔ x = arctana + kπ, k ∈ Z [x = arctana + k180
0
, k
∈
Z]
* Chú ý:
tan[u(x)] = tanα ⇔ u(x) = α + kπ, k ∈ Z [u
(
x) =
β
0
+ k180
0
, k
∈
Z]
• tan[u(x)] = a
tan[u(x)] = a ⇔ u(x) = arctana + kπ, k ∈ Z [u
(
x) = arctana + k180
0
, k
∈
Z]
• Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)] ⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.
• Đặc biệt: tan[u(x)] = 0 ⇔ u(x) = kπ, k ∈ Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) tanx = tan

5
π
; b) tan2x = -
3
1
; c) tan(3x + 15
0
) =
3
.
Giải:

4. Phöông trình cotx = a:
cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z [x =
β
0
+ k180
0
, k
∈
Z]
cotx = a
cotx = a ⇔ x = acrcota + kπ, k ∈ Z [x = acrcota + k180
0
, k
∈
Z]
* Chú ý:
cot[u(x)] = cotα ⇔ u(x) = α + kπ, k ∈ Z [u
(
x) =
β
0
+ k180
0
, k
∈
Z]
• cot[u(x)] = a

cot[u(x)] = a ⇔ u(x) = acrcota + kπ, k ∈ Z [u
(
x) = acrcota + k180
0
, k
∈
Z]
• Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)] ⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.
• Đặc biệt: cot[u(x)] = 0 ⇔ u(x) =
2
π
+ kπ, k ∈ Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) cot4x = cot
7
2
π
; b) cot3x = -2; c) cot(2x - 10
0
) =
3
1
.
Giải:
14
Tài liệu lưu hành nội bộ
14
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
15
Tài liệu lưu hành nội bộ
15
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
a) sin(x + 2) =
3
1
; b) sin3x = 1;
c) sin(
33
2
π
−
x

) = -
2
1
; d) sin(x + 20
0
) = -
2
3
.
Bài 2: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) cos(x - 1) =
3
2
; b) cos3x = cos12
0
;
c) cos(
42
3
π
−
x
) = -
2
1
; d) cos
2
2x =
4

1
.
Bài 4: Giải phương trình
0
2sin1
2cos2
=
−
x
x
.
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) tan(x - 15
0
) =
3
3
; b) cot(3x - 1) = -
3
;
c) cos2x.tanx = 0; d) sin3xcotx = 0.
Bài 6: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan(
4
π
- x) và y = tan2x bằng nhau?
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) sin3x - cos5x = 0; b) tan3x.tanx = 1.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
a) sin2x =

2
1
−
với 0 < x < π; b) cos(x - 5) =
2
3
với -π < x < π;
c) tan(2x - 15
0
) = 1 với -180
0
< x< 90
0
; d) cot3x =
3
1
−
với
2
π
−
< x < 0.
Bài 2: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a) y =
2sin2
cos1
+
−
x
x

; b) y =
xx
x
cos2cos
)2sin(
−
−
c) y =
x
x
tan1
tan
+
; d) y =
12cot3
1
+
x
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI




16
Tài liệu lưu hành nội bộ
16
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11
§3.
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at + b = 0
trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 2sinx - 3 = 0; b) 5cosx + 3 = 0; c)
3
tanx + 1 = 0; d)
3
cotx - 3 = 0.
Giải:

II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
Đònh nghóa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at
2
+ bt + c = 0
trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Cách giải: Đặt ẩn phụ (điều kiện cho ẩn phụ nếu có), giải phương trình theo ẩn phụ rồi đưa về việc giải
các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
a) 3cos
2
x - 5cosx + 2 = 0; b) 3tan
2
x - 2
3
tanx + 3 = 0; c) 2sin
2
2
x

+
2
sin
2
x
- 2 =

0.
Giải:


















17
Tài liệu lưu hành nội bộ
17
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11

III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx:
1. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx:
asinx + bcosx =
22
ba
+
sin(x + α)
với cosα =
22
ba
a
+
và sinα =
22
ba
b
+
2. Phương trình dạng asinx + bcosx = c:
Xét phương trình asinx + bcosx = c (a
2
+ b
2
≠ 0) (1)
Nếu a = 0, b ≠ 0 (hoặc a ≠ 0, b = 0) thì (1) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì (1) ⇔
22

ba
+
sin(x + α) = c ⇔ sin(x + α) =
22
ba
c
+
Ví dụ 1: Giải phương trình sinx +
3
cosx = 1.
Giải:










Ví dụ 2: Giải phương trình 3sin3x - 4cos3x = 5.
Giải:

 Ghi chú:




BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) sin
2
x - sinx = 0; b) 2cos
2
x - 3cosx + 1 = 0; c) 2tan
2
x + 3tanx + 1 = 0.
18
Tài liệu lưu hành nội bộ
18
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) cosx -
3
sinx =

2
; b)
3
sin3x - cos3x =
2
;
c) 2sinx + 2cosx -
2
= 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x +
2
sin4x = 0; b)
02
2
cos2
2
sin
2
=+−
xx
; c) tanx - 2cotx + 1 = 0.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2sin
2
x + sinxcosx - 3cos
2
x = 0; b) 3sin
2
x - 4sinxcosx + 5cos

2
x = 2;
c) sin
2
x + sin2x - 2cos
2
x =
2
1
; d) 2cos
2
x - 3
3
sin2x - 4sin
2
x = -4.
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1; b) tanx + tan(x +
4
π
) = 1.
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx – 2 = 0; b) 2sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 8 = 0;
c) (1 -
2
)(1 + sinx – cosx) = sin2x; d) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0;
e) 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0; f) sin2x +
2

sin(x -
4
π
) = 1.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) cosxcos5x = cos2xcos4x; b) sin2x + sin4x = sin6x;
c) sin
2
4x + sin
2
3x = sin
2
2x + sin
2
x; d) (sinx – cosx)
2
– (
2
+ 1)(sinx – cosx) +
2
= 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) sinx +
3
cosx = 2sin(2x +
6
π
); b) 2sinx(cosx - 1) =
3

cos2x;
b) cos3x - sinx =
3
(cosx - sin3x); c)
3
cosx - sinx =
2
(sin3x -
cos3x).
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
2
2
)]
4
cos(
2
cos[ =−
ππ
x
; b)
1)]sin(cos
4
tan[
=+
xx
π
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

19
Tài liệu lưu hành nội bộ
19
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

20
Tài liệu lưu hành nội bộ
20
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11



BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b) Hàm số y = tan(x +
5

π
) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?
Bài 2: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn [
2
3
π
−
; 2π] để hàm số đó:
a) Nhận giá trị bằng -1; b) Nhận giá trị âm.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) sin(x + 1) =
3
2
; b) sin
2
2x =
2
1
;c) cot
2
2
x
=
3
1
; d) tan(
12
π
+ 12x) = -
3

.
Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 2cos
2
x - 3cosx + 1 = 0; b) 2sinx + cosx = 1.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) y =
)cos1(2 x
+
+ 1; b) y = 3sin(x -
6
π
) - 2;
c) y = 3 - 4sinx; d) y = 2 -
xcos
.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) y =
)
3
tan(1
cos2
π
−+
−
x
x
; b) y =
x
xx

2sin1
cottan
−
+
.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = 2cos(
3
π
+x
) + 3; b) y =
)sin(1
2
x
−
- 1; c) y = 4sin
x
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI





21
Tài liệu lưu hành nội bộ
21
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
CH
ƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT

oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tập hợp:
• Tập rỗng: ∅ là tập hợp không chứa phần tử nào.
• Tập con:
A
⊂
B 
BxAxx
∈⇒∈∀
:
)
• Số tập con của tập có n phần tử là 2
n
.
• A = B  A  B và B  A
• Tính chất:
a) A
⊂
A với mọi tập hợp A.
b) Nếu A
⊂
B và B
⊂
C thì A
⊂
C.
c) ∅
⊂
A với mọi tập hợp A.

• Kí hiệu: N
*
, Z
*
, Q
*
, R
*
là các tập hợp số
không có phần tử 0.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao
• A
∩
B ={xx
∈
A và x
∈
B}
•



∈
∈
⇔∩∈
Bx
Ax
BAx
Hợp

• A
∪
B ={xx
∈
A hoặc x
∈
B}
•



∈
∈
⇔∪∈
Bx
Ax
BAx
Hiệu
• A\ B ={xx
∈
A và x
∉
B}
•



∉
∈
⇔∈

Bx
Ax
BAx \
Phần bù
Khi B
⊂
A thì A\B
gọi là phần bù của B
trong A, kí hiệu
B
A
C
.
3. Dấu hiệu chia hết:
• Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
• Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
• Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
• Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
4. Số và chữ số:
128
 Ghi chú:








22

Tài liệu lưu hành nội bộ
số có ba chữ số
chữ số
22
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11
§
1.QUY TẮC ĐẾM
Số phần tử hữu hạn của tập hợp A được kí hiệu n(A) hoặc A.
a) Nếu A = {a, b, c} thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n(A) = 3 hoặc
A
= 3.
b) Nếu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và B = {2, 4, 6, 8} thì A\ B = {1, 3, 5, 7}.
- Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9.
- Số phần tử của tập hợp B là n(B) = 4.
- Số phần tử của tập hợp A\B là n(A\B) = 5.
I- Quy tắc cộng:
Quy tắc: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách
thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện (khơng trùng với bất kì cách nào của hàng động thứ nhất) thì
cơng việc đó có m + n cách thực hiện.
* Chú ý: • Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
• Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn khơng giao nhau.
Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn khơng giao nhau thì n(A
∪
B) = n(A) + n(B).
II- Quy tắc nhân:
Quy tắc: Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành
động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hồn thành
cơng việc.
* Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
Ví dụ 1: Một mạng đường đi giữa các thành phố A, B, C, D như sau:

(Số giữa hai địa điểm chỉ số con đường đi giữa hai địa điểm đó)
Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D?
Giải:














Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) 3 chữ số; b) 3 chữ số khác nhau.
Giải:

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau
và chia hết cho 5?
Giải:




23
Tài liệu lưu hành nội bộ
23
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?
Giải:










 Có bao nhiêu số điện thoại gồm 9 chữ số.
 Ghi chú:


BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:

Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên gồm:
a) Một chữ số? b) Hai chữ số? c) Hai chữ số khác nhau?
Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
Bài 3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường (như hình vẽ).
Hỏi: a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rối quay lại A?
Bài 4: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vng, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa).
Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
Bài 5: Lớp 11CB1 có 20 nam và 24 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp 3 người gồm một lớp
trưởng nam, một lớp phó nam và một lớp phó nữ.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số
ngun tố.
Bài 2: Có bao nhiêu số ngun dương gồm khơng q ba chữ số khác nhau?
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI




24
Tài liệu lưu hành nội bộ
24
Ti liu hng dn t hc mụn i s v gii tớch 11
Đ2.
HON V - CHNH HP - T HP
I- HON V:
Cú bao nhiờu cỏch sp xp ba bn A, B, C vo mt bn di cú 3 ch ngi.
1. nh ngha: Cho tp hp A gm n phn t (n 1). Mi kt qu ca s sp xp th t n phn t ca tp
hp A c gi l mt hoỏn v ca n phn t ú.
* Nhn xột: Hai hoỏn v ca n phn t ch khỏc nhau th t sp xp.

2. S cỏc hoỏn v: Kớ hiu P
n
l s cỏc hoỏn v ca n phn t. Ta cú:
P
n
= n(n - 1)(n - 2) 2.1 = n!
Vớ d: Cú bao nhiờu s t nhiờn cú 5 ch s khỏc nhau, cỏc ch s c ly t tp A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Gii:






II- CHặNH HễẽP:
Cú bao nhiờu cỏch chn hai bn gi chc v bớ th v phú bớ th chi on trong s 3 bn c c ban chp hnh.
1. nh ngha: Cho tp hp A gm n phn t (n 1). Kt qu ca vic ly k phn t khỏc nhau t n phn
t ca tp hp A v sp xp chỳng theo mt th t no ú c gi l mt chnh hp chp k ca n phn t
ó cho.
2. S cỏc chnh hp: Kớ hiu
k
n
A
l s cỏc chnh hp chp k ca n phn t (1 k n). Ta cú:
k
n
A
= n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1)
* Chỳ ý:
a) Vi quy c 0! = 1, ta cú:

k
n
A
=
)!(
!
kn
n

(1 k n)(n, k N)
b) Mi hoỏn v ca n phn t cng chớnh l mt chnh hp chp n ca n phn t. Vỡ vy P
n
=
n
n
A
.
Vớ d: Trong mt phng cho mt tp hp gm 6 im phõn bit. Cú bao nhiờu vect khỏc vect
0

cú
im u v im cui thuc tp hp im ny?
Gii:






III- TO HễẽP:

Trong mt phng cho 4 im phõn bit A, B, C, D (khụng cú ba im no thng hng). Lit kờ tt c cỏc on thng c
to thnh t cỏc im ú?
1. nh ngha: Gi s tp A cú n phn t (n 1). Mi tp con gm k phn t ca A c gi l mt t
hp chp k ca n phn t ó cho.
* Chỳ ý: Vỡ tp (0 phn t) l tp con ca tp A nờn ta cú iu kin 0 k n.
2. S cỏc t hp: Kớ hiu
k
n
C
l s cỏc t hp chp k ca n phn t. Ta cú:
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=
(0 k n) (n, k N)
Vớ d: Mt t gm cú 10 ngi gm 6 nam v 4 n. Cn lp mt on i biu gm 5 ngi. Hi:
25
Ti liu lu hnh ni b
25