PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÌNH HỌC PHẲNG

PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY BẰNG CÁCH
KHAI THÁC MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA HÌNH HỌC PHẲNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam qui định về giáo dục phổ
thông như sau : “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác
chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, từng môn
học, bồi dưỡng năng lực tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”.
(Luật giáo dục chương II, mục 2, điều 28).
Trong công cuộc đổi mới giáo dục Bộ giáo dục và Đào tạo tiến hành theo ba hướng :
+ Đổi mới chương trình và sách giáo khoa.
+ Đổi mới phương pháp dạy học.
+ Đổi mới cách kiểm tra đánh giá học sinh.
Đi đôi với đối mới sách giáo khoa,đổi mới chương trình dạy học là đổi mới phương
pháp dạy học. Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học để phát huy năng lực của học
sinh là một đòi hỏi cấp bách trong tiến trình đổi mới giáo dục hiện nay.
Trong những năm qua, các thầy, cô giáo Tổ Toán trường THPT Long Khánh đã có
nhiều cố gắng trong việc đổi mới và cải tiến phương pháp dạy học. Tuy nhiên các
thầy, cô vẫn còn gặp những vướng mắc nhất định, nhất là các vấn đề khó. Trong các
đề thi đại học trong các năm học gần đây. Đặc biệt chuẩn bị cho kỳ thi : “Trung học
phổ thông Quốc Gia”, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là câu khó không
những đối với học sinh mà giáo viên cũng lúng túng. Làm sao để dạy cho học sinh tiếp
thu được kiến thức này một cách tốt nhất, chủ động, tích cực sáng tạo, để các em đạt
được kết quả cao trong kỳ thi ? làm sao để cùng các đồng nghiệp giải quyết được
những vướng mắc về dạng Toán này ? Bởi vậy qua nhiều lần trao đổi cùng các đồng
nghiệp và học sinh, chúng tôi thấy cần thiết phải có các giải pháp về dạy học chủ đề
này nhằm nâng cao chất lượng học tập của các em không những tại đơn vị mình mà
còn cho học sinh và các đồng nghiệptrong các đơn vị khác.

1
Môn hình học giải tích trong mặt phẳng là một nội dung cơ bản trong chương trình
hình học, mà học sinh được học ở lớp 10. Để giải loại toán này học sinh phải có kiến
thức tổng hợp,biết vận dụng các kiến thức hình học phẳng và khả năng phán đoán ,
khả năng cảm nhận , trực quan hình học tốt. Thực sự đây là loại toán rèn luyện được
nhiều phẩm chất tư duy cho học sinh.Bởi vậy các bài toán về hình học giải tích trong
mặt phẳng Oxy gắn với tính chất của hình học phẳng là bài toán khó trong các kỳ thi
tuyển sinh đại học, các kỳ thi chọn học sinh giỏi. Bài toán về hình giải tích trong mặt
phẳng được hình thành theo hai hướng là :
+ Tham số hóa bài toán hình học , chuyển về “ Đại số”.
+ Khai thác các tính chất của hình học phẳng từ đó mới “ Đại số hóa”.
Qua hơn ba mươi năm trong dạy học, chúng tôi thấy học sinh thường làm được các bài
toán dạng này khi bài toán không đòi hỏi học sinh phải khai thác tính chất của hình
học phẳng, mả chỉ cần “ Đại số hóa bài toán hình học ”. Các em rất lúng túng khi gặp
các bài Toán mà giả thiết “ ẩn” dưới dạng phải “ Khai thác các tính chất của hình
học phẳng ” mới giải được. Bởi vậy trong sáng kiến này chúng tôi đề cập đến “ khai
thác các tính chất của hình học phẳng” để giải loại toán này. Đây là mấu chốt để
giúp cho các em có căn cứ suy luận tìm được lời giải cho loại Toán này. Qua đây để
phát huy được các khả năng tư duy Toán học của học sinh .
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỂN:
a) Phương pháp dạy học nêu vấn đề là phương pháp dạy học trong đó giáo viên
tạo ra các tình huống có vấn đề, tổ chức để học sinh tìm tòi giải quyết các vấn đề đó.
Phương pháp dạy học nêu vấn đề rất thích hợp trong dạy học môn Toán.
Với môn hình học phương pháp này phát huy được các ưu điểm:
- Phương pháp này góp phần tích cực vào rèn luyện tư duy phê phán, tư duy sáng
tạo cho học sinh.
- Phương pháp này tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập.
- Thông qua phương pháp học sinh tiếp thu kiến thức chủ động, sáng tạo.
- Phương pháp này đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian và công sức.
Bởi vậy năng lực của giáo viên cũng được rèn luyện và phát triển.

2
b) Kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng học sinh được học từ lớp 10, tuy
nhiên với đặc điểm tư duy các em còn hạn chế khi phải tiếp thu kiến thức mới, nên yêu
cầu còn chưa cao. Chủ yếu là yêu cầu các em hoàn thiện các kiến thức cơ bản.
c) Khó khăn:
+ Học sinh rất yếu với môn học “Hình học phẳng” vốn chỉ được học ở cấp hai.
+ Học sinh không có thói quen “ Khai thác các tính chất của hình học phẳng” để giải
bài toán “ hình giải tích trong mặt phẳng”.
+ Số tiết luyện tập ít nên rèn luyện kĩ năng nâng cao là không thực hiện được.
+ Thực tế bài tập thi yêu cầu cao, đa dạng, đòi hỏi có nhiều kỉ năng, kỉ xảo bởi vậy
học sinh phải được luyện tập nhiều.
+ Số lượng bài tập tham khảo không đầy đủ và đồng bộ.
Từ các thực tế nói trên, mục đích của đề tài là:
+ Xây dựng được phương pháp tìm tòi có căn cứ để giải được bài toán
+ Góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú trong học tập từ
đó vận dụng để giải tốt các bài tập về hình học phẳng oxy, đạt được các kết quả cao
trong các kỳ thi vào đại học, thi chọn học sinh giỏi.
Để tìm được hướng đi cho lời giải, đó là chất “men” để học sinh có hứng thú khi học
bài. Thế nhưng dựa vào đâu để tìm tòi? Theo tôi đó là dấu hiệu của mỗi phương pháp.
Chúng ta phải làm cho học sinh tiếp cận được với những dấu hiệu đó. Để phát hiện ra
các dấu hiệu theo chúng tôi.
- Dựa vào các tính chất trong hình học phẳng.
- Dùng trực giác để từ hình vẽ tìm thấy nét đặc biệt trong các quan hệ của các
yếu tố về điểm, đường thẳng, dùng giả thiết để kết nối các mối quan hệ đó lại.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
A. Một số kiến thức liên quan:
I.Vectơ:
Cho
1 2
( ; )a a a=

ur
và
1 2
( ; )b b b=
ur
a
ur
cùng phương
b
ur
⇔
1
a tb=
và
2
b tb=
Nếu
1
0b ≠
và
2
0b ≠
,thì:
a
r
cùng phương
b
r
⇔
1 2

1 2
a a
b b
=
a b⊥
ur
ur
⇔
1 1 2 2
. 0 . . 0a b a b a b= ⇔ + =
ur
ur
3
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
. .
cos( ; )
.
a b a b
a b
a b a b
+
=
+ +
ur
ur
II. Đường thẳng:
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ

u 0≠
r
r
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song
song hoặc trùng với ∆.
Nhận xét:– Nếu
u
r
là một VTCP của
∆
thì
ku
r
(k
≠
0) cũng là một VTCP của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ
n 0≠
r
r
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.
Nhận xét: – Nếu
n
r
là một VTPT của
∆

thì
kn
r
(k
≠
0) cũng là một VTPT của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
– Nếu
u
r
là một VTCP và
n
r
là một VTPT của
∆
thì
u n
⊥
r r
.
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2

( ; )=
r
.
Phương trình tham số của ∆:
x x tu
y y tu
0 1
0 2

= +

= +

( t là tham số).
Nhận xét: – M(x; y)
∈

∆

⇔

∃
t
∈
R:
x x tu
y y tu
0 1
0 2


= +

= +

.
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
.
Phương trình chính tắc của ∆:
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
=
(2) (u
1

≠
0, u
2

≠
0).
5. Phương trình tham số của đường thẳng
PT
ax by c 0+ + =
với
a b
2 2
0+ ≠
là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu
∆
có phương trình
ax by c 0+ + =
thì
∆
có:
VTPT là
n a b( ; )=
r
và VTCP
u b a( ; )= −
r
hoặc
u b a( ; )= −
r
.
– Nếu
∆
đi qua

M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
n a b( ; )=
r
thì phương trình của
∆
là:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0
− + − =
•

∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0): Phương trình của
∆
:
x y
a b
1+ =
.
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn).
•

∆
đi qua điểm

M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k: Phương trình của
∆
:
y y k x x
0 0
( )− = −
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
.
Toạ độ giao điểm của ∆
1
và ∆
2
là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c

a x b y c
1 1 1
2 2 2
0
0

+ + =

+ + =

(1)
4
• ∆
1
cắt ∆
2
⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔
a b
a b
1 1
2 2
≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
• ∆
1
// ∆

2
⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= ≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
• ∆
1
≡ ∆
2
⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= =
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
7. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1

:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
·
·
n n a b a b
n n
n n
a b a b
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
cos( , ) cos( , )
.
.
∆ ∆
+
= = =
+ +
r r

r r
r r
Chú ý:
•

∆
1

⊥

∆
2

⇔

a a b b
1 2 1 2
0+ =
.
•
Cho
∆
1
:
y k x m
1 1
= +
,
∆
2

:
y k x m
2 2
= +
thì:
+
∆
1
//
∆
2

⇔
k
1
= k
2
+
∆
1
⊥

∆
2

⇔
k
1
. k
2

= –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
•
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và điểm
M x y
0 0 0
( ; )
.
ax by c
d M
a b
0 0
0
2 2
( , )
∆
+ +
=
+
•
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và hai điểm
M M N N
M x y N x y( ; ), ( ; )
∉ ∆.

– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + >
.
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + <
.
•
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
là:
a x b y c a x b y c
a b a b

1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+ + + +
= ±
+ +
III. Đường tròn:
1)Đường tròn(C) có tâm
( ; )I a b
bán kình R có phương trình là:
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
2)Phương trình
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
,điều kiện:
2 2
a b c+ −
>0 là phương trình
đường tròn có tâm I(a;b) bán kính
2 2
R a b c= + −
3)Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
tại
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
là:
0 0 0 0

( )( ) ( )( ) 0a x x x b y y y− − + − − =
B.CÁC GIẢI PHÁP
5
Ví dụ mở đầu :
Trong sách giáo khoa “ Hình học lớp 10 nâng cao của nhà xuất bản Giáo Dục” có
nêu ví dụ : “ Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại
tiếp O.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh
2AH OI=
uuur uur
b) Chứng minh
OA OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
c) Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.”
(Trang 21 sách giáo khoa Hình Học lớp 10 nâng cao )
Đường thẳng đi qua ba điểm : O, G, H gọi là đường thẳng Ơle.
Chúng ta phân tích bài tập sau : “ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam
giác ABC có trực tâm H(3;-2), tâm đường tròn ngoại tiếp O(8;11) và hình chiếu của A
xuống BC là K(4;-1).Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C.
6
Từ gỉa thiết bài toán ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng BC ( đi qua K và
có véc tơ pháp tuyến
HK
uuur
). Do đó ta xác định được trung điểm I của BC. Điều gì xảy
ra khi biết được tọa độ ba điểm H, O, I ? Điểm A có liên quan gì đến O , H , I ?Từ hệ
thức véc tơ
2AH OI=
uuur uur
đã nói ở trên ta xác định được tọa độ điểm A. Xác định được tọa

độ A chính là giải quyết được điểm then chốt của bài toán. Từ đây ta viết được
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giao điểm của đường tròn với BC
là B, C cần tìm.
Như vậy để giải được bài toán này các em vận dụng tính chất của hình học phẳng, đó
là
2AH OI=
uuur uur
. Ngoài ra nếu ta suy nghỉ thêm chút nữa là ngoài điểm A ở trên đường
tròn mà ta xác định được tọa độ, còn có thể xác định được điểm nào nữa ?
Ta cũng thấy điểm H’ đối xứng với H qua BC là điểm thuộc đường tròn. Có tọa độ H
và có phương trình BC thì xác định được tọa độ H’. Như vậy,ở đây chúng ta lại khai
thác một tính chất nũa của hình học phẳng đó là : “ Trong một tam giác điểm đối xứng
với trực tâm qua một cạnh thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác”.
Một ví dụ tiếp theo : “ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(1;4), tiếp tuyến với đường tròn ( O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường
phân giác trong của góc ADB có phương trình x – y + 2 = 0, điểm M(4;-1) thuộc cạnh
AC . Viết phương trình đường thẳng AB” .
7
Để viết được phương trình cạnh AB , vì có A(1;4) vậy tìm thêm điểm nữa thuộc AB?
Tại sao đề bài lại cho điểm M trên cạnh AC ? Điểm M liên quan gì đến điểm cần tìm
trên cạnh AB ? Nếu biết được phương trình đường phân giác góc BAC thì kết hợp với
M ta tìm được điểm trên cạnh AB . Lời giải bài toán có chiều hướng tốt . Vậy làm
cách nào để viết được phương trình phân giác góc BAC ? Bằng trực quan ta dự đoán
phân giác góc BAC và phân giác góc ADB vuông góc với nhau .N ếu điều đó xảy ra
thì tam giác ADI phải cân tại D . Cuối cùng ta phải chứng minh một bài Toán hình học
phẳng là : “ Tam giác ADI cân tại D” . Bài tập này các em phải có khả năng suy luận ,
khả năng phán đoán và kỷ năng chứng minh hình học phẳng .
Bài tập này được giải như sau :
+Chứng minh tam giác ADI cân tại D
Góc ABC = góc DAC ; góc BAI = góc IAC . Vậy góc IAD = góc IAC+ góc CAD =

góc ABC + góc BAI = góc AID .Do đó tam giác ADI cân tại D.
+Do tam giác ADI cân tại D và DE là phân giác của góc ADI nên DE vuông góc với
AI . Từ đó phương trình AI là : x+ y – 5 = 0
+ M’ là điểm đối xứng M qua AI , suy ra M’(4;9)
+ Phương trình AB là 5x – 3y + 7 = 0
8
Tóm lại để giải các bài toán trên chúng ta phải biết khai thác các tính chất của hình
học phẳng. Trong quá trình dạy học về loại Toán dạng này mà giả thiết “ ẩn” chúng
tôi luôn luôn cố gắng hướng dẫn các em tìm tòi để khai thác các tính chất của hình
học phẳng , từ đó các em biết vận dụng vào giải các bài toán hình học giải tích trong
mặt phẳng một cách tốt nhất.Qua việc tìm tòi lời giải phát huy được tư duy sáng tạo
cho các em trong học tập.Trong quá trình hướng dẫn các em , chúng tôi xây dựng
được các giải pháp để giải loại Toán này.Sau đây chúng tôi xin phép lần lượt trình bày
các giải pháp trong sáng kiến kinh ngiệm này.
Giải pháp 1: Khai thác các tính chất đường phân giác.
Tính chất: Hai đường thẳng
1 2
;∆ ∆
cắt nhau tại I, đường phân giác của góc của
1 2
;∆ ∆

là (d).M là điểm ∈
1
∆
, và M’ là điểm đối xứng với M qua (d), thì M’∈
2
∆
Chứng minh:
M’ đối xứng với M qua(d)⇒∆MIM’cân tạ I⇒ (d) là phân giác của

ˆ
'MIM
⇒M’∈
2
∆
Trong số các bài toán về hình phẳng có khá nhiều bài giả thiết cho phương trình
đường phân giác của một góc tam giác. Khai thác được tính chất gì của đường phân
giác ? Đó là khi biết tọa độ của điểm trên một tia của góc thì ta xác định được điểm
đối xứng của nó qua đường phân giác trên tia còn lại.
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, có đỉnh B(-4;1), trọng
tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình
1 0x y− − =
.Tìm tọa độ A và C.
(Đề thi khối D-2011)
*Tìm tòi lời giải:
9
M là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác.Từ mối quan hệ ba điểm
B;G;M em tìm tọa độ điểm nào? Từ đó các em tìm được tọa đọ diểm M.
AD là phân giác trong của góc A, B là điểm biết tọa độ thuộc AB, vậy điểm K đối
xứng B qua AD thuộc đường thẳng nào? Áp dụng tính chất đường phân giác các em
phát hiện K thuộc AC.
Do M và K là các điểm thuộc AC vậy phương trình AC viết được, suy ra tọa độ A và
C.
*Lời giải:
Tìm tọa độ
( ; )
M M
M x y
,theo tính chất trọng tâm G, có:

2
3
BG BM=
uuuur
uuuuur
⇔
7
2
1
M
M
x
y





=
=
Tìm tọa độ K đối xứng với B qua AD. I là trung điểm BK ⇒
4 1
( ; )
2 2
K K
x y
I
− +
( 4; 1)BK x y= + −
uuuur

⊥ với vectơ chỉ phương của AD là
(1;1)a =
ur
.Ta có
. 0BK a =
uuuur
ur
⇔
3
K K
x y+ = −
.Mà I ∈AD ⇒
7
K K
x y− =
Từ đó K(2;-5)
+Phương trình AC là:
4 13 0x y− − =
+Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy A (4;3).
+Tọa độ C:
M là trung điểm AC, ta có:
2 3
2 1
M
C A
M
C A
x x x
y y y






= − =
= − = −
10
Vậy C (3;-1).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, phân giác trong của
góc A có phương trình:
2 0x y− + =
, đường cao kẻ từ B có phương trình:
4 3 1 0x y+ − =
, H (-1;-1) là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm tọa độ C?
(Đề thi khối B – 2008)
*Tìm tòi lời giải:
AD là phân giác góc A, H thuộc AB. K là điểm đối xứng với H qua AB
⇒
K thuộc
AC. Trên đường thẳng AC xác định được tọa độ điểm K, đường thẳng AC đi qua K và
vuông góc với BE
⇒
phương trình AC
⇒
tọa độ A. Do A và H xác định được tọa độ
nên viết được phương trình AB, tìm được B, phương trình AC
⇒
tọa độ C.
*Lời giải:

K là điểm đối xứng với H qua AD
⇒
K (-3;1). AC qua K và vuông góc với BE
⇒

phương trình AC:
3 4 7 0x y+ + =
, tọa độ A (5;7), CH qua H và vuông góc với AH có
phương trình
3 4 7 0x y+ + =
. Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
10
3 4 7 0
3
3 4 13 0
3
4
x
x y
x y
y



 
 






−
= −
+ + =
⇔
− + =
=
.
Vậy C
10 3
;
3 4
 
 ÷
 
−
.
Ví dụ 3:
11
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giac ABC vuông tại A, B và C đối xứng
qua gốc tọa độ O, đường phân giác trong của góc B có phương trình (d):
2 5 0x y+ − =
.K(6;2)∈AC.Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
*Tìm tòi lời giải:
H là điểm đối xứng với O qua phân giác BD, xác định tọa độ H.
B∈BD:
2 5 0x y+ − =
⇒B(5-2t; t) ⇒C(2t-5; -t)
Các em phải tìm một phương trình với ẩn t. Xét mối quan hệ
KC

uuuuur
và
HB
uuuuur
? Học sinh
phát hiện được tính vuông góc của hai vectơ vậy
. 0KC HB =
uuuur
uuuur
.Với phương trình vừa
xác lập được ta tìm được t tức là xác định được tọa độ B, từ đó tìm được tọa độ C. A là
giao điểm của CK và BH, vậy tìm được tọa độ A.
*Lời giải:
H là điểm đối xứng với O qua BD⇒H∈AB và H(2;4)
B∈BD⇒B(5-2t; t), C là điểm đối xứng B qua O vậy C(2t-5; -t)
KC
uuuur
=(2t-11; -t-2),
HB
uuuur
=(3-2t; t-4)
. 0KC HB =
uuuur
uuuur
⇔
2
6 5 0t t− + =
⇔
1
5

t
t



=
=
⇒
1 1
2 2
(3;1) ( 3; 1)
à
( 5;5) (5; 5)
B C
v
B C
 
 
 
 
− −
− −
Vì G(-3;-1) và H(2; 4) ở về cùng phía so với BD nên
1
C
(loại)⇒
1
B
(loại).
Vì

2
(5; 5)C −
và H(2; 4) ở về hai phía nên
2
C
(nhận)⇒
2
B
(nhận).
Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
7 30 0
7 40 0
x y
x y





+ − =
− − =
⇔
31 17
( ; )
5 5
A
Vậy
31 17
( ; )
5 5

A
B(3;1) C(5;-5)
Ví dụ 4:
12
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A,C(-4;1), phân giác
trong của góc A có phương trình:
5 0x y+ − =
.Viết phương trình BC, biết diện tích
∆ABC =24 và x>0.
*Tìm tòi lời giải:
Để viết được phương trình BC ta phải xác định được tọa độ B. D là điểm đối xứng của
C qua phân giác trong của góc A thì D∈AB và D xác định được tọa độ.
A∈AD⇒A(a; 5-a). Để xác định được a ta phải giải quyết được phương trình với ẩn a?
Từ đó hướng các em về tính chất vuông góc tại A. Tìm được tọa độ A dẫn tới có
phương trình đường thẳng AD. Dùng tính chất B∈AD và diện tích tam giác ta tìm
được B.
*Lời giải:
+D là điểm đối xứng với C qua đường phân giác trong của góc A ⇒D(4;9)
+A∈phân giác góc A⇒A(a;5-a);
. 0CA DA =
uuuuruuuur
⇒A(4;1)⇒AC=8
+Phương trình AD: x=4⇒B(4;b)
+Diện tích ∆ABC =24 ⇒AB=6 ⇒
5
7
b
b





= −
=
.Vì
AD
uuuur
và
AB
uuuur
cùng hướng nên b=7.Vậy
B(4; 7) ⇒ BC:
3 4 16 0x y− + =
Ví dụ 5:
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC biết B(2;-1) phương trình đường
cao AH:
3 4 27 0x y− + =
; đường phân giác trong CD của góc C có phương trình:
2 5 0x y+ − =
. Lập phương trình ba cạnh tam giác.
*Tìm tòi lời giải:
13
B’ là điểm đối xứng của B qua phân giác AD thì B’ xác định được tọa độ. Đường
thẳng BC qua B và vuông góc với AH ⇒ viết được phương trình BC. Từ đó tìm được
tọa độ C.
Đường thẳng AC qua B’và C xác định được tọa độ nên phương trình AC xác định
được. Do đó tọa độ A xác định được từ đó viết được phương trình AB.
*Lời giải:
B’ đối xứng B qua phân giác góc C⇒B’(4;3), BC:
4 3 5 0x y+ − =

Tọa độ C(-1;3). Phương trình AC: y=3
Tộ độ A(-5;3). Phương trình AB:
4 7 1 0x y+ − =
.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;5) , đường
phân giác trong góc BAC có phương trình x – 1 = 0 . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác I(
3
;0)
2
−
, M(10;2)
∈
BC .Tìm tọa độ B , C .
*Tìm tòi lời giải :
Với giả thiết ta viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chỉ cần
viết được phương trình BC . Đường phân giác trong của góc A có tác dụng gì ? Từ đó
nếu gọi D là giao của đường phân giác với đường tròn thì cung BD = cung DC , suy ra
DI vuông góc với BC . Đến đây đường thẳng BC xác định được véctơ pháp tuyến
DI
uuur
.
Lời giải :
14
+Ta chứng minh D là trung điểm của cung BC , suy ra DI vuông góc với BC.
+Phương trình đường tròn (O) :
2 2
3 125
( )
2 4

x y+ + =
+D(1;-5)
+Phương trình BC : x -2y – 6 = 0
+ B(-4;5) , C(4;-1)
*Nhận xét:
Qua sáu ví dụ trên, bằng cách cho học sinh phát hiện tính chất điểm đối xứng qua
đường phân giác. Từ đó hình thành cho các em hướng tìm tòi lời giải khi làm bài toán
cho giả thiết về đường phân giác của một góc. Qua đó giúp các em có được đinh
hướng rõ ràng và quá trình tìm tòi lời giải của các em khi gặp bài toán có tình chất
đường phân giác sẽ được nâng lên rõ rệt. Điều đó được thể hiện khi tôi cho các em
làm các bài tập sau.
Bài tập luyện tập
Bài 1.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, phân giác trong góc A có
phương trình:
0x y− =
, đường cao CH có phương trình:
2 3 0x y+ − =
. M(0;-1)∈AC;
AB=3AM. Tìm tọa độ B?
15
Bài 2.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48. D(-
3;2). Đường phân giác của góc BAD có phương trình:
7 0x y+ − =
. Tìm tọa độ B biết
A
x
> 0.
(Đề thi của trường chuyên Nguyễn Quang Diệu-Đồng Tháp)

Bài 3.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC đường cao AH, phác BD của
góc ABC lần lượt có phương trình:
1
( ): 2 2 0d x y− − =
;
2
( ): 1 0d x y− − =
; M(0;2)∈AB
và AB=2BC. Tìm tọa độ A,B,C ?
Bài 4.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có AC>AB, C(6;0) và hai đường
thẳng d:
3 10 0x y− − =
và d’:
3 3 16 0x y+ − =
trong đó (d) là phân giác trong của góc A,
(d’)⊥AC. (d), (d’) và trung trực BC đồng quy tại 1 điểm. Tìm tọa độ B.
(ĐH Sư phạm Hà Nội)
Bài 5.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, M(0;-1). Phương trình đường
phân giác trong của góc A là:
0x y− =
. Phương trình đường cao kẻ từ C là:
2 3 0x y+ + =
.Đường AC đi qua M và AB=2AM. Tìm B,C ?
(Trường Amsterdam-Hà Nội)
Giải pháp 2: Khai thác điều kiện của hai đường thẳng vuông góc.
+Nếu
a

uur
⊥
b
uur
thì
. 0a b =
ur
ur
Các bài toán để khai thác tính chất vuông góc của hai đường thẳng hầu hết tính vuông
góc đều “ẩn”. Dựa vào hình vẽ và bằng trực giác hướng dẫn học sinh phát hiện. Bởi
vậy việc vẽ hình chính xác là một điều kiện dẫn đến sự phán đoán đúng.
Ví dụ 6 : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân tại A (-1;3), D là
điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 3AD và H là hình chiếu vuông góc của B lên
CD. Điểm M(
1 3
; )
2 2
−
là trung điểm của HC. Xác định tọa độ C, biết B thuộc đường
thẳng x + y + 7 = 0.
Tìm tòi lời giải :
16
Đề bài yêu cầu tìm tọa độ điểm C,trong khi ta lại có tọa độ trung điểm M của CH. Vậy
ta phải tìm tọa độ H.Mà H là giao điểm của AH và BH. Để làm được điều đó ta phải
tìm được tọa độ điểm B ? Xét mối quan hệ B với A và M ta phán đoán AM
⊥
BM Nếu
chứng minh được điều đó bài toán sẽ giải xong.
Để chứng minh AM
⊥

BM ta có thể dùng phương pháp hình phẳng thông thường hoặc
dùng phương pháp véc tơ hay phương pháp tọa độ. Chúng tôi đưa ra phương pháp tọa
độ như sau :
Chọn hệ trục tọa độ với gốc là I, IC là trục hoành, IA là trục tung. I(0;0) A(0;a), B
( ;0)c−
C(c;0). Phương trình CD là ax+2cy - ac =0; BH là 2cx – ay +2c
2
= 0
⇒
tọa độ
điểm H(
2 3 2
2 2 2 2
4 4
; )
4 4
a c c ac
a c a c
−
+ +
, M(
2 2
2 2 2 2
2
; )
4 4
a c ac
a c a c+ +
.
Tính được :

. 0AM BM =
uuuur uuuur
AM BM
⇒ ⊥
Lời giải :
AM có phương trình 3x + y = 0 ; BM vuông góc AM, vậy BM có phương trình :
x - 3y – 5 = 0. Tọa độ B(-4 ;-3). Do
3AB AD=
uuur uuur
có D(-2;1). Toa độ H(-1;0), C(2;-3)
Nhận xét :
Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nhìn thấy được AM vuông góc BM. Phát triển tư
duy học sinh là từ chổ tìm tòi lời giải đưa đến phát hiện được tính vuông góc của AM
với BM.
17
Ví dụ 7.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình chử nhật ABCD, có đỉnh B thuộc đường
thẳng
1
: 2 2 0d x y− + =
và đỉnh C thuộc đường thẳng
2
: 5 0d x y− − =
. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của B xuống AC, M(
9 2
; )
5 5
là trung điểm AH, K(9;2) là trung điểm CD. Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chử nhật biết hoành độ của C >4.

(Trích đề thi thử lần 3- 2013 K2pi.net )
Tìm tòi lời giải :
Từ giả thiết, xét mối quan hệ ba điểm B, M, K dựa vào hình vẽ ta phán đoán BM
vuông góc MK ? Nếu đúng thì ta tìm được tọa độ B. Tìm được tọa độ B là bài toán
được giải xong.
Lời giải :
Chứng minh BM
⊥
MK : Gọi N là trung điểm AB
⇒
MN là đường trung bình của tam
giác ABH
⇒
MN
⊥
AC. Vậy M thuộc đường tròn (C) đường kính MN
⇒
BM vuông
góc MK (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính BK).
Đường thẳng MK có phương trình : 2x – 9y = 0.Vì BM
⊥
MK
⇒
BM có phương trình
là : 9x +2y – 17 = 0. Tọa độ B(1;4), C thuộc : x – y – 5 = 0 và
.BC KC
uuuruuur
= 0. Do đó
C(9;4) vì hoành độ C > 4.
Nhận xét : Tại sao ta hướng về mối quan hệ ba điểm B, M,K ? Thực tế là M và K đề

bài cho biết tọa độ, B giả thiết cho thuộc một đường thẳng có phương trình, thực chất
18
cũng cho biết một toa độ.Khi hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chúng ta nhấn mạnh
điềm này để học sinh có phương hướng, từ đó phát hiện vấn đề là BM
⊥
MK
Ví dụ 8
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD, có A(-2;6), B∈(d):
2 6 0x y− + =
. M và N là hai điểm trên hai cạnh BC và CD sao cho BM=CN. I là giao
điểm của AM và BN và
2 14
( ; )
5 5
I
. Xác định tọa độ C.
*Tìm tòi lời giải:
12 16
( ; )
5 5
AI
−
=
uuur
và
(2 6; )BI b b= −
uuur
Để giải quyết được điểm B ta phải “kiếm” được phương trình cho ẩn b. Dựa vào hình
vẽ ta phán đoán AM⊥BN. Nếu điều này đúng thì “giải quyết” xong điểm B. Khi tìm
được B thì lập được phương trình BC từ đó tìm được C.

*Lời giải:
+Chứng minh AM⊥BN.
Cách 1: Hướng dẫn các em chứng minh tam giác vuông ABM bằng tam giác vuông
BCN.
Cách 2: Hướng dẫn các em chứng minh
. 0AM BN =
uuuuur
uuuur
+
12 16
( ; )
5 5
AI
−
=
uuur
; B(2b-6; b)⇒
32 14
( 2 ; )
5 5
BI b b= − −
uuur
;
. 0AI BI =
uuur
uuur
⇔b=4⇒B(2;4)
+Phương trình BC:
2 0x y− =
⇒C(c;2c). Do BC=AB⇒c=0 hoặc c=4. Vậy C(0;0)

hoặc C(4;8).
Ví dụ 9.
19
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho hình vuông ABCD có A∈(d):
4 0x y− − =
. M(4;0)∈ BC; N(0;2)∈CD sao cho tam giác MAN cân tại A. Xác định tọa
độ các đỉnh hình vuông.
(Đề thi của trường THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An)
*Tìm tòi lời giải:
Ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm A. Từ yếu tố MC⊥NC ta có được một phương trình
cho C, vì c có hai ẩn vậy phải tìm một phương trình nữa. Dựa vào hình vẽ các em có
thể phán đoán AC⊥MN. Nếu phán đoán đúng thì khi đó ta có
. 0AC MN =
uuuur
uuuuur
ta được
phương trình thứ hai, vậy giải quyết được C. Khi biết được C thì B và D dễ dàng tìm
được. Vậy mấu chốt là chứng minh được AC⊥MN.
*Lời giải:
+Chứng minh AC⊥MN
Do ∆MAN cân tại A⇒MA=NA vậy A thuộc đường trung trực của MN. Do ∆
vuông ABM bằng ∆ vuông ADN⇒ MB=ND ⇒ NC=MC vậy C ∈ trung trực MN ⇒
AC⊥MN.
+A∈(d):
4 0x y− − =
⇒ A(a; a-4). Mặt khác AM=AN ⇒ a=-1⇒A(-1;-5).
+Tìm
0 0
( ; )C x y
Do

. 0MC NC =
uuuuuruuuur
và
. 0AC MN =
uuuur
uuuuur
ta có C(1;-1) hoặc C(3;3).
Khi C(1;-1)⇒B(-2;-2) và D(2;4) hoặc B(2;-4) và D(-2;-2).
Khi C(3;3)⇒B(5;-3) và D(-3;1) hoặc B(-3;1) và D(5;-3).
Ví dụ 10.
20
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC,
3 1
( ; )
2 2
N
−
là điểm trên cạnh AC sao cho
1
.
4
AN AC=
Xác định các đỉnh hình vuông,
biết đường thẳng DM có phương trình:
1 0x − =
.
*Tìm tòi lời giải:
Bằng trực giác các em có thể phán đoán về sự vuông góc của MN với MD. Nếu có
tính chất vuông góc đó cũng chưa đủ để giải quyết được tọa độ của hai điểm liên quan
là M và D. Dự đoán tam giác MND còn cân tại N. Đến đây ta sẽ tìm được D và M.

Tìm được D và M là giải quyết được nút thắt cho ta giải quyết tiếp được các đỉnh còn
lại.
*Lời giải:
+Chứng minh tam giác MND vuông cân tại N. O là giao điểm hai đường chéo AC với
BD, I là trung điểm DO. Tứ giác MNIC là hình bình hành và I là trực tâm ∆DNC ⇒CI
⊥DN⇒ MN⊥DN⇒ Tứ giác MNDC nội tiếp ⇒ Góc NMD bằng góc NCD bằng
0
45
⇒ ∆DNM vuông cân tại N.
+D∈
1 0x − =
⇒D(1; t)
·
0
2
2
os os45
2
3
d
c NDM c
d




= −
= = ⇒
=
Khi d=-2⇒D(1;-2)⇒ M(1;3) và A(-3;0); B(-1;4); C(3;2).

Khi d=3⇒ D(1;3)⇒M(1;-2) và A(-3;1); B(-1;-3); C(3;-1).
21
*Nhận xét:
Nút thắt của bài toán là nhận thấy được ∆DNM là tam giác vuông cân tại N. Lý do tại
sao học sinh có thể phát hiện được điều đó? Chúng ta phải hướng cho các em thấy
được giả thiết tập trung vào 3 điểm đó là N,D và M. Vậy mối quan hệ 3 điểm này như
thế nào? Từ hình vẽ giúp cho các em có dự đoán về tam giác vuông cân DNM. Để học
sinh hứng thú hơn và hiểu bài sâu sắc hơn ta có thể yêu cầu các em dùng các cách
khác nhau như vectơ, tọa độ để chứng minh ∆DNM vuông cân.
Đối với học sinh giỏi, cho các em nghiên cứu bài toán trong hình phẳng sau:
“Cho hình vuông ABCD, M∈BC và N∈AC sao cho
,BM mBC AN nAC= =
uuuur uuuur uuuur
uuuuur
. Chứng
minh rằng:
2 2 2
1
cos
(1 ) 1. (1 )
mn n
NMD
m n n
+ −
=
− + − +
Bài toán vừa giải quyết là một trường hợp đăc biệt của bài toán tổng quát vừa nêu.
Ví dụ 11.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B có
BC=2AD. Điểm

13 9
( ; )
5 5
H =
là hình chiếu vuông góc của B lên CD. Xác định tọa độ
các đỉnh B và D, biết A(-3; 1) và trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng
2 1 0x y+ − =
.
*Tìm tòi lời giải:
22
Gỉa thiết tập trung vào ba điểm A,M,H xoay quanh 3 điểm đó là mối quan hệ gì? Từ
hình vẽ ta dự đoán ∆AHM vuông tại H. Chỉ cần chứng minh được AH⊥MH là giải
quyết được điểm M. Điểm M giải quyết xong xem như bài toán giải quyết xong.
*Lời giải:
+Chứng minh AH⊥MH
ABMD là hình chữ nhật nên góc BAM bằng góc BDM. BMHD nội tiếp ⇒ góc
BDM= góc BMH ⇒góc BAM= góc BHM ⇒Tứ giác ABMH nội tiếp ⇒ góc AMH=
0
90
hay AH⊥MH.
+Tìm M
M∈
2 1 0x y+ − =
⇒M(1-2t; t)
8 9
( 2 ; )
5 5
HM t t= − − −
uuuuur
;

28 4
( ; )
5 5
AH =
uuuuur
và
. 0 (3; 1)MH AH M= ⇔ −
uuuuur
uuuuur
+Lập phương trình D:
3 8 0x y+ − =
+Tìm tọa độ D.
D(8-3d; d). Do
. 0 ( 1;3)AD MD D= ⇒ −
uuuur
uuuuur
+Tìm tọa độ C.
Do
(5;1) (1; 3)AD MC C B= ⇒ ⇒ −
uuuur uuuuur
*Nhận xét:
Qúa trình dẫn dắt các em để phát hiện được điểm then chốt là tìm được điểm M. Để
giải quyết được điều đó các em phải xoay quanh mối quan hệ 3 điểm là A,H,M.
Ví dụ 12.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy,cho hình thang cân ABCD có góc A và D là hai góc
vuông, CD là đáy lớn, góc BCD bằng
0
45
. Đường thẳng AD có phương trình
3 0x y− =

, đường thẳng BD có phương trình
2 0x y− =
. Viết phương trình BC biết
diện tích ABCD bằng 15 và
0
B
x >
.
*Tìm tòi lời giải:
23
Giả thiết bài toán cho khá rời rạc, chung ta chưa thấy điều kiện nào để gắn kết chúng
lại. Khai thác được gì từ các giả thiết?
Phải chăng từ hai đường thẳng AD và DB? Cho phương trình hai đường thẳng đó ta
khai thác được gì? Đầu tiên là được tọa độ D. Còn gì nữa? Xác định được góc giữa hai
đường đó. Từ đó ta có góc ADB =
0
45
vậy góc BDC bằng
0
45
. Nút thắt đã được mở.
Tam giác DBC vuông cân tại B. Điều khó khăn ở bài toán này là hình vẽ không giúp
được gì cho các em. Hướng tìm tòi là khai thác triệt để giả thiết bài toán.
*Lời giải:
+Chứng minh góc ADB=
0
45
· ·
0
2

cos os( ; ) 45
2
ADB c AD DB ADB= = ⇒ =
+Chứng minh ∆DBC vuông cân tại B
Do góc BDC= góc BCD =
0
45
⇒∆DBC vuông cân tại B.
+Tính độ dài DB. Từ diên tích ABCD =15 và AB=AD=2DC ta tính được BD=
2 5
⇒B(4;2)
+Do D(0;0) vậy BC qua B và nhận
DB
uuuur
làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình BC:
2 10 0x y+ − =
.
Bài tập luyện tập :
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(-1;3), B
thuộc đường thẳng có phương trình : x- 2y – 1 = 0. M và N lần lượt là trung điểm của
BC và CD. I(
7 1
; )
5 5
−
là giao điểm của AM và BN.Tìm tọa độ C.
ĐS : C(5;5) ; C(1;-3)
24
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho hình chử nhật ABCD có đỉnh B
thuộc đường thẳng có phương trình :

3 0x y− =
, góc ACD =30
0
và diện tích bằng 3
3
Giao điểm của đường phân giác trong góc ABD với đường cao tam giác BCD kẻ từ C
là điểm M(
3;3)
. Tìm tọa độ B, D biết hoành độ B, D nhỏ hơn
3
.
ĐS : B
3 3
( ; )
2 2
; D(
3 9
; )
2 2
−
.
25