SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNGĐẠO HÀMĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 1
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương pháp hàm số trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số có lẽ đã trở thành một trong những phương pháp “kinh điển”, chính vì
thế mà người học có thể tìm thấy phương pháp này trong tất cả các quyển sách về
Bất đẳng thức cũng như trong bài toán cực trị của hàm số. Với mong muốn bằng
kinh nghiệm trong vận dụng phương pháp của mình tôi muốn viết chuyên đề này
với mục đích là hướng dẫn cho học sinh của lớp mình đang giảng dạy, để các em
có thể vận dụng và giải các bài toán thuộc dạng này một cách hiệu quả.
Trong chuyên đề này các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được giới
thiệu từ mức độ cơ bản, từ dễ tới nâng cao để mọi học sinh có thể tham khảo được
và cũng là những bài toán quen thuộc khá quan trọng, thường xuất hiện trong các kì
thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng trong nhưng năm gần
đây.
Hy vọng rằng qua chuyên đề này, học sinh có thể biết “quy lạ về quen” khi
đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Do thời gian
thực hiện chuyên đề chưa được nhiều, vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong được Quý thầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để nội
dung của chuyên đề hoàn thiện hơn.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Dựa trên tinh thần đổi mới của phương pháp dạy học đó là: dựa vào hoạt
động tích cực, chủ động , sáng tạo của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn thích
hợp của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo góp phần hình thành
phương pháp và nhu cầu, khả năng tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm
tin, niềm vui trong học tập. Và thực sự tạo được môi trường “Trường học thân

thiện. Học sinh tích cực”. Thực hiện phương châm giáo dục “Học phải đi đôi với
hành”, nếu việc học không được vận dụng vào thực tế, không giải quyết được
những vấn đề mà thực tế đặt ra thì việc học cũng trở nên vô dụng.
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 2
Trên những tiêu chí đổi mới đó, đồng thời với việc nắm bắt thực trạng học
sinh trong trường THCS-THPT Bàu Hàm, tôi thấy đa phần học sinh của trường
mình các em còn học yếu, nắm chưa vững kiến thức cơ bản và kỹ năng tính toán
còn yếu. Đa phần các em chỉ mới áp dụng các dạng toán cơ bản của sách giáo
khoa, khi gặp các bài toán nâng cao của dạng toán này các em thường bối rối, sợ
hãi. Việc sợ hãi này nguyên nhân sâu xa là do các em chưa tìm được phương pháp
tốt nhất hoặc là có phương pháp nhưng quá trình vận dụng phương pháp còn khó
khăn. Chính vì thế mà mỗi khi dạy học về vấn đề này bản thân tôi luôn cố gắng
tìm những giải pháp đơn giản và hiệu quả để truyền đạt cho các em. Chuyên đề
này cũng là một trong những giải pháp đã được tôi thực hiện tại trường THCS-
THPT Bàu Hàm trong các năm giảng dạy học sinh lớp 12. Trong quá trình áp
dụng chuyên đề “Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số” tại trường THCS- THPT Bàu Hàm mặc dù đã đem lại hiệu quả trong
giảng dạy. Tuy nhiên phương pháp trên cũng chỉ thay thể một phần các giải
pháp khác.
2. Các biện pháp thực hiện
Để đề tài thực hiện tốt và có hiệu quả, trong quá trình giảng dạy phần này đối
với học sinh lớp 12. Bản thân tôi cùng các em rất nghiêm túc tiến hành từng bước
thực hiện đề tài đó là: thứ nhất, tôi gửi tới học sinh trong lớp bản tài liệu của
chuyên đề để cho các em về nhà nghiên cứu kỹ các nội dung lý thuyết. Thứ hai,
trong các tiết học trên lớp giáo viên cùng học sinh hệ thống các kiến thức lý thuyết
cơ bản. Thứ ba, sau khi nắm được lý thuyết tôi yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị
bài tập. Thứ tư, trong những tiết học bài tập tôi cùng các em sửa bài tập để các em
nắm được phương pháp. Sau khi nắm được phương pháp và kiến thức cơ bản giáo
viên hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều

góc độ giúp học sinh có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề.
III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP HỢP D
1.1. Định nghĩa
Cho hàm số
( )y f x
, xác định trên tập số D
a) Nếu
( ) ,
f x M x D  
và
o
x D 
sao cho
( )
o
f x M
thì số M được gọi là giá trị lớn
nhất của hàm số
( )y f x
trên D.
Kí hiệu:
ax ( )
x D
m f x M



Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 3

b) Nếu
( ) ,
f x m x D  
và
o
x D 
sao cho
( )
o
f x m
thì số m được gọi là giá trị nhỏ
nhất của hàm số
( )y f x
trên D.
Kí hiệu:
min ( )
x D
f x m



1.2. Phương pháp chung
- Để tìm GTLN, GTNN của hàm số
( )y f x
trên tập D ta đi: Tính y’, tìm các điểm
mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên của hàm số
trên tập D. Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN, GTNN.
- Nếu D là một đoạn
 
;a b

thì ta làm như sau:
 Tìm các điểm
1
x
,
2
x
, …,
m
x
thuộc khoảng
 
;a b
mà tại đó hàm số
( )f x
có
đạo hàm bằng
0
hoặc không có đạo hàm.
 Tính
 
1
f x
,
 
2
f x
, …,
 
m

f x
,
 
f a
,
 
f b
.
 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính
là GTLN của
( )f x
trên đoạn
 
;a b
; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là
GTNN của
( )f x
trên đoạn
 
;a b
.

 
           
 
1 2
;
max max , , , , ,
m
x a b

f x f x f x f x f a f b



.

 
           
 
1 2
;
min min , , , , ,
m
x a b
f x f x f x f x f a f b



.
Nhận xét:
( )f x
đồng biến trên
 
;a b



 
   
 

   
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f a
f x f b








;
( )f x
nghịch biến trên
 
;a b



 
   
 
   
;

;
min
max
x a b
x a b
f x f b
f x f a








.
Quy ước: Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số
( )f x
mà không chỉ rõ GTLN,
GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của
( )f x
.
1.3. Bài toán GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 4
Định lý: Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất trên đoạn đó.
1.3.1.Tìm GTLN, GTNN khi biết trước đoạn [a; b]
Nhận xét: Dạng bài toán này rất cơ bản, nó giúp học sinh có lực học yếu, trung bình
khắc sâu định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cũng như các bước tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
9
y x
x
 
trên đoạn
 
2;4
.
Lời giải
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn
 
2;4

Ta có
2
2 2
9 9
' 1
x
y
x x

  
,
2
3
' 0 9 0
3 ;4]

x
y x
x
 

    

  

[2;4]
[2

y’ không xác định tại giá trị
0 [2;4]
x
 

Ta có:
13 25
(2) ; (3) 6; (4)
2 4
y y y  

Vậy
[2;4]
13
max
2
y


tại
2
x

;
[2;4]
min 6
y

tại
3
x


Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
ln(1 2 )y x x
  
trên đoạn
 
2;0

.
Lời giải
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn
 
2;0


Ta có
2
2 4 2 2
' 2
1 2 1 2
x x
y x
x x
  
  
 
,
2
1
' 0 4 2 2 0
2
1 ;0]
x
y x x
x


 

      

 

[-2;0]
[-2

y’ không xác định tại giá trị
1
[ 2;0]
2
x   

Ta có:
1 1
( 2) 4 ln5; ( ) ln 2; (0) 0
2 4
y y y

     


Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 5
Vậy
[-2;0]
max 4 ln5
y  
tại
2
x
 
;
[2;4]
1
min ln 2

4
y  
tại
1
2
x



Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3 lny x x x
  
trên
đoạn
 
1;2
.
Lời giải
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn
 
1;2

Ta có
2
' (ln 1)
3
x
y x
x

  

,
Với mọi x thuộc đoạn
 
1;2
, ta có
2
1
3
x
x



và
ln 1 1
x
 


Suy ra y’< 0 nên hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Do đó,
[1;2]
(2) 7 2ln 2
min y y  
;
[1;2]
max (1) 2
y y

 
tại
1
2
x



Nhận xét: Ở ví dụ 3, ta có thể làm theo thứ tự các bước như hai ví dụ trên, đó là
tìm
' 0
y

. Tuy nhiên việc giải
' 0
y

dẫn đến kết quả vô nghiệm trên D và việc giải
phương trình không dễ dàng, do vậy ta quan sát đánh giá biểu thức y’.
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( )
1
x m m
f x
x
 


trên đoạn [0;1] bằng -2.

Lời giải
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn
 
0;1

Ta có
 


2
2
1 m m
f '(x)
(x 1)
; do
      
1 3
2 2
m m 1 (m ) 0, m
2 4
. Suy ra hàm số đồng biến
trên [0 ; 1] với mọi m.


    
2
x [0;1]
minf(x) f(0) m m
,
Yêu cầu bài toán

2
m m 2 m 1 hay m 2        

Vậy có hai giá trị tham số m cần tìm :
  m 1;m 2

Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 6
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
1
x
y
x



trên
 
1;2

.
Lời giải. Ta có hàm số đã cho liên tục trên
 
1;2


 
 

2
2
2
2 2
1 1
1
1
'
1
1 1
x
x x
x
x
y
x
x x
  


 

 
.
Với mọi
 
1;2
x  
ta có
' 0

y




1x 
.
Ta có:
3 5
( 1) 0; (1) 2; (2)
5
y y y   

Vậy,
[-1;2]
( 1) 0
min y y
  
;
[-1;2]
max (1) 2
y y 


Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
y x 3x 2  
trên
đoạn [–3; 2].
Lời giải

Hàm số
3
y x 3x 2  
liên tục trên đoạn
 
3; 2
.
Đặt
3
f(x) x 3x 2  
liên tục trên đoạn
 
3; 2
.
' 2
f (x) 3x 3 0 x 1 [ 3; 2]       
.
Ta có:
f( 3) 16, f( 1) 4, f(1) 0, f(2) 4      

16 f(x) 4 , x [ 3; 2]      

0 f(x) 16 x [ 3; 2]     

0 y 16 x [ 3; 2]     
.
Vậy
[-3;2]
max 16
y


tại
3
x
 
;
[-3;2]
min 0
y

tại
1
x
 

Nhận xét: Ở ví dụ trên nếu ta đi tính đạo hàm của hàm số này thì phải xét các
trường hợp của biểu thức trị tuyệt đối. Tuy nhiên dựa vào việc nhận xét tính chất
của hàm trị tuyệt đối thì ta có thể đánh giá được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất với
hàm số trung gian.
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 7
Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
4 2
8 16
y x x
  
trên
 
1;3

.
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2 1
3
x
y
x



trên
 
0;2
.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
2 3 3
1
x x
y
x
 


trên
 
0;2
.
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
.

x
y x e


trên
 
0;2
.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3
y x 3x 72x 90
   

trên đoạn [–5; 5].
1.3.2.Xác định định đoạn [a; b] trong bài toán tìm GTLN, GTNN
Nhận xét: Dạng bài toán này cũng thuộc dạng cơ bản, so với các bài toán ở dạng
trên thì học sinh chỉ cần chú ý đi tìm tập xác định của hàm số đã cho. Các em học
sinh có lực học yếu, trung bình chỉ cần nắm vững cách tìm tập xác định của hàm số
là hoàn thành được bài toán.
Ví dụ 1: ( Trích đề thi tuyển sinh cao đẳng năm 2014)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 5
y x x  

Lời giải:
Hàm số xác định khi
0
0 5
5 0

x
x
x


  

 

, do đó tập xác định của hàm số:
[0;5]
D


Ta có
1 1
' , (0;5)
2 5
y x
x x
   


Ta có
' 0 2 5 4
y x x x
     

Ta có
(0) 5; (4) 5; (5) 2 5

y y y  

Vậy
[0;5]
max (4) 5
y y
 
;
[0;5]
min (0) 5
y y
 

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4
y x x  

Lời giải:
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 8
Hàm số xác định khi
2
4 0 2 2
x x
     
, do đó tập xác định của hàm số:
[-2;2]
D


Ta có
2
' 1 , ( 2;2)
4
x
y x
x
    


Ta có
2
2 2
0
' 0 4 2
4
x
y x x x
x x


      

 


Ta có
( 2) 2; ( 2) 2 2; (2) 2
y y y

    

Vậy
[-2;2]
max ( 2) 2 2
y y 
;
[-2;2]
min ( 2) 2
y y
   

Ví dụ 3: Cho
,
x y R
thỏa mãn
2
0; 12   
y x x y
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
của biểu thức
2 17   
P xy x y

Lời giải:
Từ giả thiết ta có
2
12 0   
y x x
hay

4 3  
x
.
Ta có
2 2
( 12) 2( 12) 17
P x x x x x x
       

Xét hàm số
3 2
( ) 3 9 7; [ 4;3]
f x x x x x     

Ta có
2
'( ) 3 6 9); f '( ) 0 3; 1f x x x x x x      


Ta có:
( 4) 13; f ( 3) 20; f (1) 12; f (3) 20
f
      

Do đó
x [ 4;3]
x [ 4;3]
min f (x) f(1) 12; max f (x) f ( 3) f(3) 20
 
 

      

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng -12 đạt được khi x=1; y= -10
Giá trị lớn nhất của P bằng 20 đạt được khi x=-3; y=- 6 hoặc x=3; y=0
Ví dụ 4: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D-2010)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât của hàm số

2 2
4 21 3 10
y x x x x
       
.
Lời giải:
Hàm số xác định khi
2
2
4 21 0
3 10 0
x x
x x

   


   





3 7
2 5
x
x
  


  




2 5
x
  
,
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 9
Do đó tập xác định của hàm số:
 
2;5
D  
. Ta có

2 2
2 2 3
' , ( 2;5)
4 21 2 3 10
x x
y x

x x x x
 
     
     
.

2 2
2 2 3
' 0
4 21 2 3 10
x x
y
x x x x
 
  
     




 
2 2
2
2
4 4 4 12 9
4 21
4 3 10
x x x x
x x
x x

   

  
  




     
2 2 2 2
4 3 10 4 4 4 21 4 12 9
x x x x x x x x
          




2
51 104 29 0
x x
  


1
3
x

hoặc
29
17

x 
.
Thử lại, ta thấy chỉ có
1
3
x

là nghiệm của
'y
.
 
2 3
y
 
,
 
5 4
y

,
1
2
3
y
 

 
 

Vậy

[-2;5]
1
min ( ) 2
3
y y 
;
[-2;5]
max (5) 4
y y
 

Nhận xét: ở ví dụ này việc giải y’=0 không dễ dàng, để biến đổi tương đương trong
quá trình giải thì ta cần phẩn nhận xét đánh giá hai vế cùng dấu. Tuy nhiên ở trên ta
chọn phép biến đổi suy ra để giải quyết cho đơn giản và kết thức lời giải ta cần
kiểm tra thử lại để loại nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 5: Cho x, y > 0 thỏa
5
4
 
x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 1
4
 P
x y

Lời giải:
Từ giả thiết ta có
5
4

 y x
khi đó
4 1
5 4
 

P
x x
.
Xét hàm số
4 1 5
( ) ; (0; )
5 4 4
  

f x x
x x
.
Ta có:
2 2
4 4
( )
(5 4 )

  

f x
x x
;
1

( ) 0
5
(
3
5
0; )
4
x
f x
x




 

 


Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 10
Bảng biến thiên:




Do đó
5
[0; ]
4

min ( ) (1) 5
f x f
 
.
Vậy biểu thức P có giá trị nhỏ nhất bằng 5, đạt được khi x=1 và y =
1
4

Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f(x) (3 x) 5 x  
.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f(x) x 5x 6   
.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
1 3 ( 1)(3 )y x x x x      

Bài 4: Cho
,x y

;
1, 1x y 
và thỏa
3
x y
 
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức
3 2 2
2 3 4 5P x y x xy x    

1.4. Kết quả áp dụng phần thứ nhất của chuyên đề tại cơ sở trong các năm
học:(2013- 2014 và 2014- 2015)
Trong năm học: 2013 – 2014, tôi dạy hai lớp 12A5 và 12A6, đối tượng học
sinh trong mỗi lớp có học lực trung bình và thậm chí một số còn yếu. Sau khi học
kết thúc chương 1 Giải tích 12 cơ bản và dành thời lượng 3 tiết ôn tập về bài toán
tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số vào các tiết tăng tiết buổi chiều. Sau đó
tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khoảng 20 phút, để kiểm tra mức độ nắm kiến
thức học sinh của hai lớp. Kết quả thu được rất khả quan, số điểm đạt yêu cầu 12A5
là 83,3%; lớp 12A6 là 89,1%.
Đề bài:
1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2ln( 1)
y x x
  
trên
 
0; 1
e

.
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
8
y x x  

5
+
-
5
3
0
0
5
4
1
0
f(x)
f'(x)
x
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 11
Đáp án :
Nội dung Thang điểm
1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2ln( 1)
y x x
  
trên
 
0; 1
e


5


đ
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn
 
0; 1
e


Ta có
2 1
' 1 , (0; 1)
1 1
x
y x e
x x

     
 

0,5
1,0

' 0 1 0 1 0; 1]
y x x e
       [

1,0
Ta có :
(0) 0; (1) 1 2ln 2; ( 1) 3y y y e e     

1 2ln2 3 0

e
   ;

1,5
Vậy
[0; 1]
min (1) 1 2ln 2
e
y y

  
;
[0; 1]
max (0) 0
e
y y

 

1,0
2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
8
y x x  

5

đ
Điều kiện :

2
8 0 2 2 2 2
x x     
. Xét trên đoạn
2 2;2 2

[ ]

1,0
2
2 2
8
' 1 , ( 2 2;2 2)
8 8
x x x
y x
x x
 
     
 

1,0
2
' 0 8 0 2 2; 2]
y x x x       [-2 2

1,0
Ta có :
( 2 2) 2 2; (2) 4; (2 2) 2 2
y y y    

1,0
Vậy
[-2 2;2 2 ]
min ( 2 2) 2 2
y y   
;
[-2 2;2 2 ]
max (2) 4
y y
 

1,0
Kết quả : Thống kê số lượng điểm của học sinh qua bài kiểm tra mức độ nắm kiến
thức.
Lớp học
Số điểm <
5
Số điểmTB
Số điểm
Khá
Số điểm
Giỏi
Đạt được
(%)
12A5
36 học sinh
6 8 13 9 83,3%
12A6
37 học sinh

4 12 14 7 89,1%
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 12

Trong năm học: 2014 – 2015, tôi dạy hai lớp 12A1 và 12A3. Đối tượng học
sinh trong lớp 12A1 đa phần các em có học lực khá, có 5 em là học sinh giỏi từ
năm học trước. Trong đó đối tượng học sinh lớp 12A3 năm học này có lực học
trung bình và yếu, chỉ có 2 học sinh có học khá từ năm học trước. Khi thực hiện
giảng dạy nội dung kiến thức trên đối với lớp 12A1 tôi thấy học sinh nắm và áp
dụng phương pháp làm bài rất tốt. Còn đối với học sinh 12A3 tôi thấy các em tiếp
thu khá chậm và cảm thấy còn yếu so với năm học 2013 – 2014. Do đó, khi đánh
giá mức độ nắm kiến thức của học sinh tôi có đưa nội dung đánh giá khác nhau với
hai lớp 12A1 và 12A3. Với thời gian làm bài 20 phút, kết quả thu được: số điểm
đạt yêu cầu 12A3 là 77,8%; lớp 12A1 là 100%.
Đề bài: (Dành cho lớp 12A3)
1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2ln( 1)
y x x
  
trên
 
0; 1
e

.
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2 2
y x x  

Đề bài: (Dành cho lớp 12A1)

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2ln( 1)
y x x
  
trên
 
0; 1
e

.
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2 2
y x x  

3) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số
2
1
x m m
y
x
 


trên đoạn [0;1] bằng
1
2
.
Đáp án :
Nội dung Thang điểm
Lớp 12A3

Thang điểm
Lớp 12A1
1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2ln( 1)
y x x
  

trên
 
0; 1
e


5

đ
4

đ
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn
 
0; 1
e


Ta có
2 1
' 1 , (0; 1)
1 1
x

y x e
x x

     
 

0,5
1,0
1,0

' 0 1 0 1 0; 1]
y x x e
       [

1,0 1,0
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 13
Ta có :
(0) 0; (1) 1 2ln 2; ( 1) 3y y y e e     

1 2ln2 3 0
e
   ;

1,5 1,0
Vậy
[0; 1]
min (1) 1 2ln 2
e
y y


  
;
[0; 1]
max (0) 0
e
y y

 

1,0 1,0
2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 2 2
y x x  


5

đ
4

đ
Điều kiện :

2 0
0 2
0
x
x
x

 

  




Do đó, hàm số liên tục trên đoạn
;2[0 ]

1,0 0,5
1 1 2
' , (0;2)
2
(2 )
x x
y x
x
x x x
 
    



1,0 1,0

' 0 2 0 1 ; ]
y x x x       
[0 2

1,0 1,0

Ta có :
(0) 2 2; (1) 4; (2) 2 2
y y y  

1,0 1,0
Vậy
[0;2]
min (0) (2) 2 2
y y y  
;
[0;2]
max (1) 4
y y
 

1,0 0,5
3) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số
2
1
x m m
y
x
 


trên đoạn [0;1] bằng
1
2

.

2

đ
Ta có
2
2
2 2
1 3
( )
1
2 4
' 0, (0;2)
( 1) ( 1)
m
m m
y x
x x
 
 
    
 


1,0
Suy ra hàm số đồng biến trên [0; 1].
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại x = 2.
2
0

1 1
(1)
1
2 2
m
m m
y
m


 
  

 




1,0

Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 14
Kết quả : Thống kê số lượng điểm của học sinh qua bài kiểm tra mức độ nắm kiến
thức.
Lớp học
Số điểm <
5
Số điểmTB
Số điểm
Khá

Số điểm
Giỏi
Đạt được
(%)
12A3
36 học sinh
8 14 10 4 83,3%
12A1
35 học sinh
0 8 10 17 100 %

Qua kết quả thực nghiệm phần thứ nhất nội dung chuyên đề, tôi thấy chuyên
đề phù hợp với đối tượng học sinh của lớp tôi trực tiếp giảng dạy. Đối với các lớp
còn lại việc áp dụng cũng rất phù hợp vì đối tượng học sinh tại trường THCS –
THPT Bàu Hàm chủ yếu có lực học trung bình. Một kết quả phản ánh kết quả khả
quan của chuyên đề nữa đó là, khi ôn tập thi học kỳ tôi thấy hầu hết các em của lớp
tôi giảng dạy đều làm tốt nội dung này trong bài thi học kỳ I của Sở Giáo dục đào
tạo Đồng Nai hàng năm.
2. ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
2.1 Phương pháp chung
Bước 1: Lựa chọn cách đặt ẩn phụ
t
theo biến x.
Bước 2: Chuyển điều kiện của biến số x sang điều kiện ràng buộc của biến số
t
.
Giả sử tìm được
.t K

Bước 3: Chuyển bài toán ban đầu với biến x, thành bài toán mới với biến

t
đơn
giản hơn. Cụ thể là tìm GTLN, GTNN của hàm số
f(t)
trên tập số K.
2.2 Đổi biến số, đối với hàm số hoặc biểu thức một biến.
Nhận xét: ở dạng bài tập này tôi cố gắng giới thiệu các ví dụ đơn giản, để cho học
sinh có thể nắm được phương pháp và có thể áp dụng vào các bài toán dạng này dễ
dàng hơn.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4
3
2sin x sin
3
y x
 

Lời giải
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 15
Đặt
sinx; t [-1;1]
t
 

Hàm số đã cho viết lại thành:
2 3
4
2 ( )

3
y t t f t
  

Xét hàm số
2 3
4
( ) 2
3
f t t t
 
, liên tục trên đoạn
[-1;1]

Ta có
2
'( ) 4 4 ; ( 1;1)
f t t t t    


2
0
'( ) 0 4 4 0
1
t
f t t t
t


    





Ta có:
10 2
( 1) ; (0) 0; (1)
3 3
f f f
   

Suy ra
[-1;1]
10
max ( ) ( 1)
3
f t f
  
;
[-1;1]
min ( ) (0) 0
f t f
 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là
10
3
, đạt khi
sinx 1 2
2

x k



    

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là
0
, đạt khi
sinx 0
x k

  

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

6 4 2
9 1
y = x - 3x + x +
4 4
trên đoạn
[ 1; 1]
.
Lời giải
Vì
x 1; 1
 
  
 
, nên đặt

2
t x t [0; 1]   

Hàm số đã cho viết lại thành
9 1
3 2
y = t - 3t + t + = f(t)
4 4

Xét hàm số
9 1
3 2
f(t) = t - 3t + t +
4 4
liên tục trên đoạn [0; 1]
Ta có
1
t =
9
2
2
f'(t) = 3t - 6t + = 0
3
4
t = [0;1]
2











Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 16
Ta có:
1 1 3 1
f(0) = , f = , f(1) = .
4 2 4 2
 







 

Vậy
[-1;1] [0;1]
3
max max ( )
4
y f t
 
, tại

1 2
t x
2 2
   
;

[-1;1] [0;1]
1
min min ( )
4
y f t
 
, tại
t 0 x 0  

Nhận xét: ở ví dụ trên nếu ta áp dụng trực tiếp bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất trên một đoạn thì bước giải tìm nghiệm đạo hàm cho phương trình bậc
5 gặp khó khăn. Do đó ta sử dụng giải pháp đặt ẩn phụ để làm giảm bậc xuống và
việc tính toán dễ dàng hơn.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
2 2
sin os 1
3 3
x c x


Lời giải:
Do
2
2 sin

0 sin x 1 1 3 3
x
    

Đặt
2
sin
3 ; [1;3]
x
t t 

Hàm số đã cho viết lại thành:
9
( )y t f t
t
  

Xét hàm số
9
( )
f t t
t
 
, liên tục trên đoạn
[1;3]

Ta có
2
2 2
9 9

'( ) 1 , (1;3)
t
f t t
t t

    
,
2
3
'( ) 0 9 0
3 ( )
t
f t t
t


    

 


lo¹i

Ta có:
(1) 10; (3) 6
f
  f

Vậy
[1;2]

max ax ( ) 10
y m f t
 

, tại
2
t = 1 sin x 0 x = k
π= 


[1;3]
min min ( ) 6
y f t
 

, tại
t = 3
2
sin x 1 x k
2

     

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
1 3 ( 1)(3 )y x x x x      

Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 17
Lời giải
Hàm số xác định khi

x 1 0
1 x 3
3 x 0


 

   


 


.Tập xác định của hàm số
 
1;3
D  
.
Ta có:
 
2
1 3 4 2 ( 1)(3 )x x x x      
,
Vì thế nếu đặt
1 3
t x x   
thì
2
4
( 1)(3 )

2
t
x x

  

Hàm số đã cho viết lại thành:
2
( ) 2
2
t
f t t  
.
Để tìm điều kiện cho biến số t cần lưu ý rằng:

 
2
4 2 ( 1)(3 ) 4, 1;3
t x x x       
, từ đó suy ra
2 2.
t
  

(hoặc lập BBT của hàm số
( ) 1 3
t x x x   
trên
 
1;3

D  
để suy ra
2 2.
t
  
)
Như vậy bài toán trở về tìm GTLN của
2
( ) 2
2
t
f t t  
trên
 
2;2

.
Ta có
'( ) 1 0 1
f t t t
     

Ta có
5
( 2) 2; ( 1) ; (2) 2
2
f f f

     

Vậy
max max ( ) 2
[-1;3] [-2;2]
y f t
 
, tại
2 1; 3
t x x
    

Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 2
sin os 2
y x c x
  

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
6 2 3
4(1 )y x x
  
trên
 
1;1


Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
3 6 18 3

y x x x x      

2.3 Đổi biến số, đối với biểu thức có nhiều biến
Nhận xét: Để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có chứa nhiều hơn một biến
số nào đó ta có thể dùng phương pháp đổi biến số như sau:
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 18
+ Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới.
+ Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu).
+ Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của
nó.
Ví dụ 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện
1 x 2; 1 y 2   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x y 1
P
x y 1 4(x y 1)

 
   

Lời giải
Quan sát biểu thức P ta thấy xuất hiện tổng của
(x y)
.
Đặt
t x y 
, vì
1 x 2

2 x y 4
1 y 2


 

   


 


, nên
t [2; 4]

Khi đó
t 1
P f(t)
t 1 4(t 1)
  
 

Bài toán tương đương với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(t)
trên đoạn
t 2;4
 

 
 

Ta có
2 2
1 1
f '(t) ; t (2;4)
(t 1) 4(t 1)
   
 

2 2
1 1
f '(t) 0 0 t 3
(t 1) 4(t 1)
     
 

Mà ta có:
11 7 53
f(2) ; f(3) ; f(4)
12 8 60
  
. Suy ra
[2;4]
7
( ) (3)
8
min f t f
 

V ậy giá trị nhỏ nhất của P là

7
8
, khi
x y 3; 1 x 2 ; 1 y 2     

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 
1 1
P x y
x y
 



  





 
. Biết x, y thoả mãn điều kiện
.21

yx

Lời giải
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 19

Ta có
 
1 1 x y
P x y 2
x y y x
 



     





 
.
Vì thế nếu đặt
y
x
t 
ta có:
1
P f(t) 2 t .
t
   

Xét điều kiện:
21


yx
ta suy ra:
1
2
1

y
x
, do đó






 1;
2
1
t
.
Bài toán tương đương với tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(t)

trên đoạn







 1;
2
1
t

Ta có
2
'
2
1 t 1
f (t) 0, t ( ;1)
2
t

   
nên
f(t)
là hàm số nghịch biến trên đoạ
1
;1
2
 
 
 
 

Suy ra
1
[ ;1]
2

( ) (1) 4
min f t f
 
;
1
[ ;1]
2
1 9
ax ( ) ( )
2 2
m f t f
 

Vậy Giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng
9
2
, khi
(x; y) (1;2)
,
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 4, khi
;1 , 2.
x y x y
  

Nhận xét: Trong bài toán trên việc biến đổi biểu thức P và đặt ẩn phụ mới là dễ
dàng và rất rõ ràng. Tuy nhiên bước nhật xét, đưa kết luận điều kiện cho biến mới







 1;
2
1
t
thì học sinh còn lúng túng.
Ví dụ 3: Cho x, y, z là các số dương.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
3
.
xyz
x y z
P
x y z
xyz
 
 
 

Lời giải
Dễ thấy
3
3
. 1
xyz
x y z
x y z
xyz

 

 
, do đó nếu đặt
3
x y z
t
xyz
 

, ta có ngay
3
1
xyz
x y z t

 

Ta được biểu thức theo biến số t là:
1
( )
P f t t
t
  
.
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 20
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
3
3 3

3
3
xyz
x y z
t
xyz xyz
 
  
.
Do đó, bài toán tương đương với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )f t
trên


3; .

Ta có
2
2
1
'( ) 0, (3; )
t
f t t
t

    
nên hàm số
( )f t
đồng biến trên



3;


Bảng biến thiên:




Suy ra


3;
10
( ) (3)
3
min f t f

 
.
Vậy GTNN của biểu thức P bằng
10
3
, khi
x 0; y 0;z 0
x y z


  




 



Ví dụ 4: Cho
x 0, y 0, z 0  
và
3
x y z
2
  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
P x y z
x y z
     

Lời giải
Ta sẽ cố gắng đưa biểu thức P về biểu thức chứa một biến bằng cách sử dụng một
bất đẳng thức cơ bản:
Với
x 0, y 0, z 0  
ta có
1 1 1
(x y z)( ) 9
x y z
    

1 1 1 9
( )
x y z x y z
   
 

Khi đó
9
P x y z
x y z
   
 

Đến đây ta đặt
3
t x y z; t (0; ]
2
   
. Suy ra
9 3
P f(t) t ; t (0; ]
t 2
   
(*)
+
10
3
3
+

+
f(t)
f'(t)
t
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 21
Xét hàm số
9 3
f(t) t ; t (0; ]
t 2
  


2
2
t 9 3
f '(t) 0; t (0; )
2
t

  
, suy ra hàm số
f(t)
nghịch biến trên
3
(0; ]
2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra
3
(0; ]
2
3 15
( ) ( )
2 2
min f t f
 
. Từ (*) ta có
15
P
2


Vậy P có giá trị nhỏ nhất là
15
2
, khi
x y z
1
x y z
3
2
x y y
2



 



   


  





Nhận xét: Để biến đổi biểu thức P về biểu thức một biến ta đã dùng một bất đẳng
thức cơ bản. Bất đẳng thức này các em đã được học kỹ ở lớp 10 và việc chứng
minh rất đơn giản
Ví dụ 5: Cho ba số thực dương
a, b, c 0
và thỏa
2 2 2
a b c 1  
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
P (a b c)
a b c
     

Nhận xét: Tương tự như ví dụ trên, ở trong bài toán này ta tiếp tục khai thác bất
đẳng thức cơ bản như bài trên:

1 1 1 9
a b c a b c
  
 
, ngay lập tức ta thấy biểu thức
P đã được quy về biểu thức một biến:
t a b c  
. Việc khó khăn bây giờ là tìm
điều kiện ràng buộc của biến mới.
Lời giải
Ta luôn có
1 1 1 9
a b c a b c
  
 
. Suy ra
9
P (a b c)
a b c
   
 

Đặt
t a b c  
, khi đó biểu thức
9
P t f(t)
t
  

t
f'(t)
f(t)
0
3
2
-
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 22
Từ giả thiết
2 2 2
a b c 1  
, áp dụng bất Đẳng thức Bunhiacốpsky ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(a b c) (1 1 1 )(a b c ) t 3(a b c ) 3           

Xét hàm số
9
f(t) t,
t
 
với
t (0; 3]

Ta có
2
9
f '(t) 1 0, t (0; 3)
t
     

. Hàm số
f(t)
nghịch biến trên
(0; 3]

Bảng biến thiên:




Dựa vào bảng biến thiên ta có
(0; 3]
( ) ( 3) 2 3
min f t f 
; suy ra
2 3
P 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
2 3
, đạt được khi
1
3
a b c  

Ví dụ 6: Cho hai số thực
x, y
thay đổi thỏa mãn
2 2
x y 1 

,
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2
2
x 6xy
P
1 2xy 2y


 

Lời giải:
Từ giả thiết
2 2
x y 1 
, ta có
2
2 2
x 6xy
P
x 2xy 3y


 

 Nếu
y 0 P 1  

 Nếu
y 0

, chia cả tử và mẫu của P cho
2
y
ta được:
2
2
x x
( ) 6.
y y
P
x x
( ) 2. 3
y y


 

Đặt
x
t
y

, khi đó
2
2
t 6t
P f(t) ,t
t 2t 3

  

 


2 3
t
f'(t)
f(t)
0
3
-
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 23
Ta có
2
2 2
t 3
4t 6t 18
f '(t) ;f '(t) 0
3
(t 2t 3)
t
2



  

  



 



;
x
lim f(t) 1



Bảng biến thiên:




Từ bảng biến thiên suy ra:
3
( ) ( ) 3
2
min f t f

  

;
3
ax ( ) (3)
2
m f t f
 


Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
3
, khi
2 2
3
1
13
3
2
2
13
x
x y
x
y
y



 

 


 

 
 






Vậy giá trị lớn nhất của P là
3
2
, khi
2 2
3
1
10
3
1
10
x
x y
x
y
y

 

 

 

 

 

 




Nhận xét: Trong ví dụ trên khi khai thác giả thiết của bài toán ta biểu diễn được
đẳng thức P đã cho về biểu thức đẳng cấp theo hai biến x và y. Từ đó ta biến đổi P
theo kiểu phương trình đẳng cấp.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho ba số thực
a, b, c
dương và thỏa
a b c 0  
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
3( ) 2( )
P a b c
a b c
     

Bài 2: Cho ba số thực
a, b, c
dương và thỏa
2 2 2
a b c 1  
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
2

P abc
a b c
   

Bài 3: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B-2008)
3
2
-3
1
-
-
0
0
-3
2
-
t
f'(t)
f(t)
+
+
3
1
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 24
Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn
2 2
x y 1 
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức

2
2
2(x 6xy)
P
1 2xy 2y


 

Bài 4: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D-2014)
Cho hai số thực
x, y
thỏa mãn các điều kiện
1 x 2 
và
1 y 2 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
x 2y y 2x 1
P
4(x y 1)
x 3y 5 y 3x 5
 
  
 
   

2.4. Kết quả áp dụng phần thứ hai của chuyên đề tại cơ sở trong các năm
học:(2013- 2014 và 2014- 2015)

Trong năm học 2013 – 2014, cũng như trong năm học 2014 – 2015, nhận
thấy lực học của học sinh các lớp mình đang trực tiếp giảng dạy còn ở mức độ
trung bình, do đó bản thân tôi cũng không giới thiệu nội dung phần thứ hai này quá
kỹ đối với các lớp không phải là lớp 12A1, chỉ hướng dẫn cho các em trong 2 tiết
và giới thiệu tài liệu để học sinh tự nghiên cứu và tham khảo. Còn đối với lớp 12A1
học sinh có học lực khá, giỏi thì các em nắm được kiến thức tốt hơn, sau khi kiểm
tra mức độ nắm và vận dụng kiến thức trong thời gian khoảng 20 phút và kết quả
thu được cũng rất tốt, đạt tỉ lệ 94,2 %, trong đó có nhiều em đạt điểm tuyệt đối.
Đề bài: (Dành cho lớp 12A1)
1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
4 2
sin os 2
y x c x
  

2) Cho
x, y [1;2]
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y
P
y x
 

Đáp án :
Nội dung Thang điểm
1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
4 2
sin os 2
y x c x
  

5

đ
Đặt
2
os ; t [0;1]
t c x 

Hàm số đã cho viết lại thành:
2 2
( ) (1 ) 2 3 3y f t t t t t       

2,0
Xét hàm số
2
( ) 3 3f t t t  
, liên tục trên đoạn
[0;1]

Ta có
'( ) 2 3 0; [0;1]
f t t t
    

2,0
Sử dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số
Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang 25
Suy ra hàm số
( )f t

đồng biến trên
[0;1]

Suy ra
[0;1]
max ( ) (1) 7
f t f
 

0,5
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 7,
đạt khi
2
os 1 sinx 0
c x x k

    

0,5
2) Cho
x, y [1;2]
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y
P
y x
 

5

đ

Đặt
y
x
t 
ta có:
1
P f(t) t .
t
  

Xét điều kiện:
21

yx
ta suy ra:
1
2
1

y
x
, do đó






 1;
2

1
t
.

2,0
Bài toán tương đương với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(t)
trên
đoạn






 1;
2
1
t

Ta có
2
'
2
1 t 1
f (t) 0, t ( ;1)
2
t

   

nên
f(t)
là hàm số nghịch biến trên đoạ
1
;1
2
 
 
 
 

2,0
Suy ra
1
[ ;1]
2
( ) (1) 2
min f t f
 

0,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2, khi
;1 , 2.
x y x y
  

0,5

Kết quả : Thống kê số lượng điểm của học sinh qua bài kiểm tra mức độ nắm kiến

thức.
Lớp học
Số điểm <
5
Số điểmTB
Số điểm
Khá
Số điểm
Giỏi
Đạt được
(%)
12A1
35 học sinh
2 8 10 15 94,2 %