Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (751.28 KB, 36 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Trƣờng THPT Bình Sơn
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Người thực hiện:
Phan Văn Hóa
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học
- Lĩnh vực khác:
Có đính kèm:
Mô hình Đĩa CD (DVD) Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2014 - 2015
SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Phan Văn Hóa
2. Ngày tháng năm sinh: 06/05/1979
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: Ấp 1 – Bình Sơn - Long Thành - Đồng Nai
5. Điện thoại: Cơ quan : 0613.533.100 ; ĐTDĐ : 0985801064
6. E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao giảng dạy môn Toán lớp 12A
2
, 12A
8
, 11A
9
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2004
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Toán học
- Số năm có kinh nghiệm : 9
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 9 năm gần đây :
+ Ứng dụng định lí Vi-ét vào việc giải toán.
+ Một số sai lầm khi tính tích phân.
+ Một số sai lầm khi giải phương trình lôgarit.
+ Ứng dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ
phương trình.
+ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong đề thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi của các năm bài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hầu như không thể thiếu. Đặc biệt bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một trong những bài toán hay và khó, đòi hỏi
người học phải có tư duy tốt, có tính sáng tạo cao. Vấn đề đặt ra là làm sao để giảng
dạy học sinh học tốt chủ đề này. Trong quá trình giảng dạy của mình, đặc biệt trong
quá trình dạy ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy sử dụng phương
pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp học sinh dễ tiếp thu và chủ động
giải quyết các bài toán hơn. Với những ưu điểm đó nên tôi chọn đề tài : ‘‘Ứng dụng
phƣơng pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất’’ để trao đổi với đồng
nghiệp.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Định nghĩa: Cho hàm số
()y f x
xác định trên
DR
. Ta có:
00
()
max ( )
: ( )
xD
f x M
M f x
x D f x M
00
()
min ( )
: ( )
xD
f x m
m f x
x D f x m
2. Định lí:
a. Nếu hàm số
()y f x
đồng biến trên
;ab
thì
;
min ( ) ( )
x a b
f x f a
;
;
( ) ( )
x a b
max f x f b
.
b. Nếu hàm số
()y f x
nghịch biến trên
;ab
thì
;
min ( ) ( )
x a b
f x f b
;
;
( ) ( )
x a b
max f x f a
.
Chú ý: giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có.
2
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN.
1. PHƢƠNG PHÁP 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
()y f x
trên một đoạn
;ab
● Tính
'( )fx
● Tìm các điểm
12
, , ,
n
x x x
trên khoảng
;ab
mà tại đó
'( ) 0fx
hoặc
'( )fx
không
xác định.
● Tính
12
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
.
● Kết luận:
12
;
( ) { ( ), ( ), ( ), , ( ), ( )}
n
x a b
max f x max f a f x f x f x f b
;
12
;
min ( ) min{ ( ), ( ), ( ), , ( ), ( )}
n
x a b
f x f a f x f x f x f b
2. PHƢƠNG PHÁP 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
()y f x
trên một khoảng
;ab
(có thể là
;
)
● Tính
'( )fx
● Tìm các điểm
12
, , ,
n
x x x
trên khoảng
;ab
mà tại đó
'( ) 0fx
hoặc
'( )fx
không
xác định.
● Lập bảng biến thiên.
● Dựa vào bảng biến thiên rồi kết luận
;
()
x a b
max f x
;
;
min ( )
x a b
fx
;
3
Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
()y f x
mà không chỉ rõ
trên tập nào thì ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
()y f x
trên tập xác
định của hàm số
()y f x
.
3. VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
()
4
x
fx
x
trên đoạn
1;2
Giải:
2
22
8
'( )
(4 )
xx
fx
x
,
1
;6
3
x
2
0 1;2
'( ) 0 8 0
8 1;2
x
f x x x
x
1
1
3
f
;
00f
;
22f
Vậy
1;2
ax ( ) 2 2
x
m f x f
và
1;2
min ( ) 0 0
x
f x f
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 3 1 3 6f x x x
Giải:
TXĐ:
1
;6
3
D
33
'( )
2 3 1 2 6
fx
xx
,
1
;6
3
x
51
'( ) 0 6 3 1 ;6
43
f x x x x
1
57
3
f
;
5
2 19
4
f
;
6 19f
Vậy
1
;6
3
5
ax ( ) 2 19
4
x
m f x f
và
1
;6
3
min ( ) 6 19
x
f x f
4
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
3 10 20
()
23
xx
fx
xx
Giải:
TXĐ:
DR
2
22
4 22 10
'( )
( 2 3)
xx
fx
xx
2
1
'( ) 0 4 22 10
2
5
x
f x x x
x
Bảng biến thiên:
Vậy
5
min ( ) 5
2
xR
f x f
và
1
max ( ) 7
2
xR
f x f
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( ) 16f x x x
Giải:
TXĐ:
4;4D
2
'( ) 1
16
x
fx
x
,
4;4x
2
2 2 2
0
00
'( ) 0 16 2 2 4;4
16 8
22
x
xx
f x x x x
x x x
x
44f
;
2 2 4 2f
;
44f
f(x)
f'(x)
-5
-
1
2
-
∞
x
3
0
0
-
+
-
+
∞
3
7
5
2
5
Vậy
4;4
ax ( ) 2 2 4 2
x
m f x f
và
4;4
min ( ) 4 4
x
f x f
Ví dụ 5: Cho a là số thực dương thỏa
3a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
( 3)
3
aa
P
aa
.
Giải:
Xét hàm số
22
( 3)
()
3
aa
fa
aa
với
03a
22
54 81
'( ) , 0;3
(3 )
a
f a a
aa
3
'( ) 0 0;3
2
f a a
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
3
3, 0;3
2
f a f a
. Suy ra:
0;3
3
min min ( ) 3
2
a
P f a f
Vậy
min 3P
khi
3
2
a
B. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN.
1. PHƢƠNG PHÁP:
● Biến đổi hoặc sử dụng bất đẳng thức để chuyển biểu thức ban đầu sang biểu thức
mới. Biểu diễn các biến số ban đầu của biểu thức theo một biến số mới.
3
-
+
0
a
3
2
f'(a)
f(a)
3
0
6
● Dựa vào điều kiện của các biến số ban đầu để tìm điều kiện cho biến số mới.
● Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số theo biến mới.
2. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG DÙNG:
a. Bất đẳng thức Cô – si, với
, , 0abc
, ta có:
2a b ab
; dấu “=” xảy ra
ab
.
3
3a b c abc
; dấu “=” xảy ra
abc
.
b.
2
2 2 2 2
22
2
ab
a b ab a b ab
, với
,a b R
; dấu “=” xảy ra
ab
.
c.
2
3 3 3
( ) 3 ( )
4
ab
a b a b ab a b
, với
,a b R
; dấu “=” xảy ra
ab
.
d.
2
2 2 2 2 2 2
3
abc
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
, với
,,a b c R
; dấu “=”
xảy ra
abc
Hiển nhiên, ta có:
22
22
2
2
ab
a b ab ab
, với
,a b R
Tương tự
22
2
bc
bc
, với
,b c R
;
22
2
ca
ca
, với
,a c R
Suy ra:
2 2 2
a b c ab bc ca
Từ đó, ta có:
2
2 2 2 2
()
( ) 2( ) 3( )
3
abc
a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
()
( ) 2( ) 3( )
3
abc
a b c a b c ab bc ca a b c a b c
e.
1 1 4
a b a b
, (với
0, 0ab
); dấu “=” xảy ra
ab
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2a b ab
và
1 1 2
ab
ab
7
Suy ra
1 1 1 1 4
4ab
a b a b a b
f.
1 1 1 9
a b c a b c
, (với
0, 0, 0abc
); dấu “=” xảy ra
abc
.
3. VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Ví dụ 1: Cho các số thực x, y không âm và thỏa mãn điều kiện
22xy
. Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2 1 1
xy
P
yx
.
Giải:
2 2 2
2 4 2 ( 2 ) 4 2 6 4
2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 3
x y x y x y x y xy x y xy
P
y x xy x y xy x y xy
Đặt
2
( 2 )
2 1 0 1
4
xy
t xy t
Xét hàm số
62
()
3
t
ft
t
với
01t
2
12
'( ) 0, 0;1
( 3)
f t t
t
Suy ra hàm số nghịch biến trên
0;1
nên
1 (1) ( ) (0) 2, 0;1f f t f t
Vậy
max 2P
khi
2; 0xy
hoặc
0; 1xy
min 1P
khi
1
1;
2
xy
Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện
3x y xy
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
22
33
11
x y xy
P x y
y x x y
.
2 2 2
2 2 2
3( ) 3( ) 3( ) 6 3( )
( ) ( ) 2
14
x y x y xy x y xy x y xy
P x y x y xy
x y xy x y x y
Đặt
t x y
với
0t
, suy ra
3 0 3xy t t
.
8
2
2
()
3 4 12 0 2
4
xy
x y xy x y t t t
Xét hàm số
2
2
3 9 18 3
( ) 6 2
4
t t t
f t t t
t
với
23t
Suy ra hàm số nghịch biến trên
2;3
nên
3
( ) (2) , 2;3
2
f t f t
Vậy
3
max
2
P
khi
1xy
Ví dụ 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện
2 3;1 3xy
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
22
5 4 1
5 11 4 7 4( 2)
xy
P
x y y x x y
.
Giải:
Từ giả thiết, ta có:
22
22
( 2)( 3) 5 6 0 5 6
( 1)( 3) 4 3 0 4 3
x x x x x x
y y y y y y
Từ đó suy ra:
4
5
11
5 5 5 4 4 4 1
4 2 4 2
y x y
x
P
x y y x x y
x y x y
Đặt
t x y
thì
36t
,
Xét hàm số
1
1
42
t
ft
t
t
với
36t
2 2 2 2
( 1)( 5)
11
'
1 4 2 4 1 2
tt
ft
t t t t
.
1 3;6
'0
5 3;6
t
ft
t
Bảng biến thiên:
3 2 3 2
2 2 2
2
2
6 9 3 2 12 (2 12) 24
'( ) 2 2
4 4 4
( 2)(2 3 6) 24
0, 2;3
4
t t t t t
f t t
t t t
t t t
t
t
9
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
11
5 , 3;6
12
f t f t
Vậy
11
min
12
P
khi
3; 2xy
hoặc
2; 3xy
Ví dụ 4: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện
13x y xy
. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
22
3 3 1 1
( 1) ( 1)
xy
P
y x x y x y
.
Giải:
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 1 1 ( 1) ( 1) 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
xy xy x y x y
P
y x x y x y y x x y x y
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 5 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4( )
y x x y xy x y xy
y y x x x y x y y x x y xy xy x y xy
Đặt
t xy
với
1
3
t
, (vì
1
3 1 0
3
x y t t
)
Ta có:
22
2
( ) (3 1)
9 10 1 0 1
44
x y xy
xy t t t
Xét hàm số
2
51
()
4
t
ft
t
với
1t
Suy ra hàm số nghịch biến trên
1;
nên
( ) (1) 1, 1;f t f t
103
112
11
12
1
-
+
0
t
5
f'(t)
f(t)
6
3
33
5 2 5( 1) 3
'( ) 0, 1
44
tt
f t t
tt
10
Vậy
max 1P
khi
1xy
Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn
22
3 2 3 2x y xy x y
. Tìm giá
trị giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2 2
8 ( 1)(3 4) 2P x y x y x y x y
.
Giải:
2 2 2 2 2 2
8 3 3 4 6 8 4 ( )P x y x y x y xy y x x y x y x y
2 2 2 2
( ) 2 ( )x y x y xy x y
, dấu “=” xảy ra khi
0xy
2
( ) 8 4 ( )P x y x y x y
Từ giả thiết, ta có:
2
( ) 3( ) ( ) 0x y x y xy y
(vì x, y không âm nên
0xy y
)
12xy
Đặt
t x y
với
12t
Xét hàm số
2
( ) 8 4f t t t t
với
12t
4
'( ) 2 1 0, 1;2
4
f t t t
t
(vì
2 1 3,, 1;2tt
và
4
2 2 3, 1;2
4
t
t
)
Suy ra hàm số đồng biến trên
1;2
nên
2 6 8 2, 1;2f t f t
Vậy
max 6 8 2P
khi
2; 0xy
Ví dụ 6: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện
22
1
2( ) 5xy
xy
. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức
22
3 3 4
1 1 1 2
P
x y xy
.
Giải:
22
2 2 2 2 3
22
31
65
2
6 3( ) 4 4 27 3 4
1 1 2 1 2 2( ) 7 1 1 2
11
15
2
xy
x y xy
P
x y x y xy xy xy xy xy
xy
xy
Từ giả thiết, ta có:
2 2 2
1 1 1
5 2( ) 4 4( ) 5 1 0 1
4
x y xy xy xy xy
xy xy
.
11
Đặt
t xy
với
1
1
4
t
Xét hàm số
3
27 3 4
()
2 7 1 1 2
t
ft
t t t
với
1
1
4
t
3 2 2
3 2 2 3 2 2
108 18 6 8 6(3 1)(6 1) 8 1
'( ) 0, ;1
(2 7 1) (1 2 ) (2 7 1) (1 2 ) 4
t t t t t
f t t
t t t t t t
.
Suy ra hàm số nghịch biến trên
1
;1
4
nên
1 112 1
, ;1
4 15 4
f t f t
Vậy
112
max
15
P
khi
1
2
xy
Ví dụ 7: Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn
3
( ) 4 2x y xy
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
4 4 2 2 2 2
33
( ) ( ) 5
22
P x y x y x y
.
Giải:
Ta có:
3
32
2
( ) 4 2
( ) ( ) 2 0 1
( ) 4 0
x y xy
x y x y x y
x y xy
2
22
( ) 1
22
xy
xy
và
2 2 2
22
()
4
xy
xy
4 4 2 2 2 2
3
( ) ( ) 5
2
P x y x y x y
2 2 2 2 2 2 2
3
[( ) ] ( ) 5
2
x y x y x y
2 2 2
2 2 2 2 2
3 ( )
( ) ( ) 5
24
xy
x y x y
2 2 2 2 2
9
( ) ( ) 5
8
x y x y
Đặt
22
t x y
với
1
2
t
Xét hàm số
2
9
( ) 5
8
f t t t
với
1
2
t
9 9 1 1 1
'( ) 1 0,
4 4 2 8 2
f t t t t
12
Suy ra hàm số đồng biến trên
1
;
2
nên
1 153 1
,;
2 32 2
f t f t
Vậy
153
min
32
P
khi
1
2
xy
Ví dụ 8: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
22
6( ) 20 5( )( 3)a b ab a b ab
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 4 3 3 2 2
4 4 3 3 2 2
9 16 25
a b a b a b
P
b a b a b a
Giải:
Với a, b dương, ta có:
22
6( ) 20 5( )( 3)a b ab a b ab
1 1 1 1 1 1
6 20 5 3 5 15 10 3
ab
ab a b a b
b a a b b a b a
10 3 2
ab
ba
Đặt
ab
t
ba
. Suy ra
2
10
6 20 10 3 2 9 15 50 0
3
t t t t t
2
2 2 2
9 2 2 16 3 25 2
a b a b a b a b
P
b a b a b a b a
4 3 2
9 16 11 48 32t t t t
Xét hàm số
4 3 2
( ) 9 16 11 48 32f t t t t t
với
10
3
t
3 2 2
10
'( ) 36 48 22 48 36 ( 4) 96 ( 4) 362 48 0,
3
f t t t t t t t t t t
Suy ra hàm số đồng biến trên
10
;
3
nên
10 14156 10
,;
3 27 3
f t f t
Vậy
14156
min
27
P
khi
1; 3ab
hoặc
3; 1ab
Ví dụ 9: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
3
2
x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
1 1 1
P x y z
x y z
.
Giải:
13
Dễ dàng chứng minh với mọi a, b, c dương, ta có:
1 1 1
9abc
abc
Dấu “=” xảy ra khi
abc
1 1 1 1 1 1 9
9x y z
x y z x y z x y z
Do đó
9
P x y z
x y z
Đặt
3
0
2
t x y z t
Xét hàm số
9
()f t t
t
với
3
0
2
t
Suy ra hàm số nghịch biến trên
3
0;
2
nên
3 15 3
, 0;
2 2 2
f t f t
Vậy
15
min
2
P
khi
1
2
x y z
Ví dụ 10: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn
2 2 2
2x y z
. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
P x y z xy yz xz
.
Giải:
Đặt
t x y z
,(
0t
)
2
2 2 2 2
2
2( ) 2 2( )
2
t
t x y z xy yz xz xy yz xz xy yz xz
Ta có:
2 2 2 2
( ) 3( ) 6 6x y z x y z t
Xét hàm số
2
2
()
2
t
f t t
với
06t
2
2
2 2 2 2
9 27 3 3 27
9 9 3
4 4 2 2 4
'( ) 1 0, 0;
2
t t t
t
f t t
t t t t
'( ) 1 0, 0; 6f t t t
14
Suy ra hàm số đồng biến trên
0; 6
nên
6 6 2, 0; 6f t f t
Vậy
max 6 2P
khi
6
3
x y z
Ví dụ 11: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
3
2
x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
1 1 1
2 2 2
P x y z
x y y z z x
.
Giải:
Dễ dàng chứng minh với mọi a, b, c dương, ta có:
1 1 1
9abc
abc
Dấu “=” xảy ra khi
abc
1 1 1 1 1 1 3
2 ) ( 2 ) ( 2 9
2 2 2 2 2 2
x y y z z x
x y y z z x x y y z z x x y z
Do đó
3
P x y z
x y z
Đặt
3
0
2
t x y z t
Xét hàm số
3
()f t t
t
với
3
0
2
t
Suy ra hàm số nghịch biến trên
3
0;
2
nên
3 7 3
, 0;
2 2 2
f t f t
Vậy
7
min
2
P
khi
1
2
x y z
Ví dụ 12: Cho x, y, z là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
12
( 1)( 1)( 1)
1
P
x y z
x y z
.
Giải:
2
2
2 2 2 2
9 3 3 3 3
3 3 3
4 4 2 2 4
'( ) 1 0, 0;
2
t t t
t
f t t
t t t t
15
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, với mọi a, b, c không âm, ta có:
2
22
()
2
ab
ab
, dấu “=” xảy ra khi
ab
3
3
abc
abc
, dấu “=” xảy ra khi
abc
Ta có:
2 2 2
2 2 2
( ) ( 1) ( 1)
1
2 2 4
x y z x y z
x y z
và
3
3
( 1)( 1)( 1)
3
x y z
x y z
2
2 54
1 ( 3)
P
x y z x y z
Đặt
11t x y z t
,(vì
0x y z
)
Xét hàm số
2
2 54
()
( 2)
ft
tt
với
1;t
24
2 162
'( ) , 1;
( 2)
f t t
tt
4 2 2 2
4 1;
'( ) 0 ( 2) 81 ( 2) 9 5 4 0
1 1;
t
f t t t t t t t
t
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
1
4 , 1;
4
f t f t
f(t)
f'(t)
1
4
t
0
-
+
+
∞
1
4
16
Vậy
1
max
4
P
khi
1x y z
Ví dụ 13: Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1abc
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2
a b c
P
b c c a a b
.
Giải:
Từ giả thiết, ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
1
b c a
c a b
a b c
Do đó
2 2 2
1 1 1
abc
P
abc
Vì a, b, c là các số thực dương và
2 2 2
1abc
nên
, , (0;1)abc
.
Xét hàm số
2
( ) (1 )f t t t
với
01t
2
'( ) 3 1f t t
1
0;1
3
'( ) 0
1
0;1
3
t
ft
t
Bảng biến thiên:
0
f(t)
f'(t)
1
t
0
-
+
1
3
2
3
9
17
Dựa vào bảng biến thiên, với
01t
, ta có:
2
22
2 3 2 3 1 3 3 1 3 3
( ) (1 )
9 9 (1 ) 2 1 2
f t t t t
t t t
Do đó
2 2 2
3 3 3 3
22
P a b c
Vậy
33
min
2
P
khi
1
3
abc
Ví dụ 14: Cho a, b, c là số thực không âm thỏa mãn điều kiện
3abc
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b c
P
b c a
.
Giải:
Ta có:
2
2 2 2
3
3
abc
abc
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
abc
a b b c c a
2
2 2 2
x y z
x y z
m n p m n p
(với
0, 0, 0m n p
)
Do đó
2
2 2 2
4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
abc
a b c
P
a b b c c a a b c
a b b c c a
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3
3
3
a b c a b c
abc
abc
abc
Xét hàm số
3
()
3
t
ft
t
với
3t
2
9
'( ) 0, 3:
( 3)
f t t
t
Suy ra hàm số đồng biến trên
3:
nên
3
( ) (3) , 3:
2
f t f t
18
Vậy
3
min
2
P
khi
1abc
Ví dụ 15: Cho a, b, c là số thực dương thỏa
1
,,
3
abc
và
3 5 2a b c
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
1 3 25
9 15 5 5 1 3 9 1
P
a b c b c a c a b
.
Giải:
Từ giả thiết, ta có:
9 15 6 3
5 2 3
3 9 6 15
b c a
c a b
a b c
Do đó
1 3 5
1 3 1 3 1 3
P
a a b b c c
Xét hàm số
2
( ) (1 3 )f t t t
với
1
0
3
t
2
'( ) 9 2f t t t
21
0;
93
'( ) 0
1
0 0;
3
t
ft
t
Bảng biến thiên:
4
243
2
9
+
-
0
t
1
3
f'(t)
f(t)
0
19
Dựa vào bảng biến thiên, với
1
0
3
t
, ta có:
2
2
4 4 1 243 1 243
( ) (1 3 )
243 243 (1 3 ) 4 (1 3 ) 4
f t t t t
t t t t
Do đó
243 243
35
42
P a b c
Vậy
243
min
2
P
khi
2
9
abc
Ví dụ 16: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn
2 2 2
3x y z
. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
3
P xy yz xz
x y z
.
Giải:
Ta có:
2 2 2 2
( ) 2( )x y z x y z xy yz zx
2
2 2 2 2
1 ( ) 3
( ) ( )
22
x y z
xy yz zx x y z x y z
Do đó
2
( ) 3 3
2
x y z
P
x y z
Vì
2 2 2
03xy yz zx x y z
nên
2
( ) 3
0 3 3 3
2
x y z
x y z
Đặt
t x y z
với
33t
Xét hàm số
2
33
()
2
t
ft
t
với
33t
2
3
22
3 3 3 3 3 1
3
'( ) 0, 3;3
t t t
t
f t t
tt
Suy ra hàm số đồng biến trên
3;3
nên
3 4, 3;3f t f t
Vậy
max 4P
khi
1x y z
Ví dụ 17: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
2( ) 3x y z xy yz zx
.
20
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
9
2
P x y z
x y z
.
Giải:
Với x, y, z là các số thực dương, ta có:
2
2 2 2 2 2 2
3
x y z
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
Dấu “=” xảy ra
x y z
Từ giả thiết, ta có:
22
2 2 2
2
2( ) 3 3
33
x y z x y z
x y z xy yz zx
Từ đó suy ra:
2
93x y z x y z
và
2
2 2 2
9
6
x y z
x y z
Khi đó
2
9
9
62
x y z
P
x y z
Đặt
t x y z
với
03t
Xét hàm số
2
99
()
62
t
ft
t
với
03t
2
9
'( ) 0, 0;3
3 ( 2)
t
f t t
t
.
Suy ra hàm số đồng biến trên
0;3
nên
6
3 , 0;3
5
f t f t
Vậy
6
max
5
P
khi
1x y z
Ví dụ 18: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
1x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2 2 2
12
P
x y z xy yz xz
.
Giải:
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
1 ( )
1 ( ) 2( )
2
x y z
x y z x y z xy yz zx xy yz zx
21
2 2 2 2 2 2
14
1 ( )
P
x y z x y z
Đặt
2 2 2
t x y z
Vì x, y, z là các số thực dương và
1x y z
nên
, , (0;1)x y z
. Do đó
2 2 2
,,x x y y z z
. Suy ra
2 2 2
11x y z x y z t
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, với mọi a, b, c không âm, ta có:
2 2 2
ab bc ca a b c
, dấu “=” xảy ra khi
abc
2 2 2 2 2 2 2
1
1 ( ) 2( ) 3( )
3
x y z x y z xy yz zx x y z t
Xét hàm số
14
()
1
ft
tt
với
1
1
3
t
22
1 4 1
'( ) , ;1
(1 ) 3
f t t
tt
22
11
;1
33
'( ) 0 4 (1 )
1
1 ;1
3
t
f t t t
t
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
11
9, ;1
33
f t f t
Vậy
min 9P
khi
1
3
x y z
+
∞
9
1
+
0
t
1
3
f'(t)
f(t)
22
Ví dụ 19: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
1x y z
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
22
2
2 2 2 2
3
7 7 4
xy
P x y
y z yz z x zx
.
Giải:
Ta có:
2 2 2
( ) 2 4a b a b ab ab
2
1
( ) , ,
4
ab a b a b R
.
2 2 2 2
1
( ) 2 ( ) , ,
2
a b a b ab a b a b R
.
Khi đó
2 2 2 2
22
22
2 2 2 2
33
55
( ) 5 ( ) 5 4 4
( ) ( ) ( ) ( )
44
x y x y
P x y x y
y z yz z x zx
y z y z z x z x
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 4 3 4 3 2 3
9( ) 9( ) 4 9 ( ) ( ) 4 9 4
x y x y x y
x y x y x y
y z z x y z z x y z z x
22
2 2 2
22
2 2 2
2 ( ) 3 2 2( ) 4 ( ) 3
9 ( ) 4 9 ( ) 4 ( ) 4 4
x y z x y x y z x y
x y x y
xy z x y z x y z x y z
Từ giả thiết, ta có:
1 0 1x y z z
Do đó
22
22
22
2 2 2 2
2 2(1 ) 4 (1 ) 3 2 2(1 ) 4 (1 ) 3
11
9 (1 ) 4 (1 ) 4 4 9 (1 ) 4 (1 ) 4 4
z z z z z z
P z z
z z z z z z z z
2
2
2
22
2
2 2 2 3 8 1 3
11
9 2 1 4 9 1 4
zz
zz
z z z
Xét hàm số
2
2
8 1 3
( ) 1
9 1 4
z
f z z
z
với
0;1z
.
3
33
1 27( 1) 64
32 1 3
'( ) . 1
9 ( 1) 2 18( 1)
zz
z
f z z
zz
1 0;1
'( ) 0
1
0;1
3
z
fz
z
Bảng biến thiên:
23
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
11
, 0;1
39
f z f t
Vậy
1
min
9
P
khi
1
3
x y z
C. BÀI TẬP:
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2 3 3
()
1
xx
fx
x
trên đoạn
0;2
. (Đề thi Đại học khối D năm 2011)
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
2 12
()
23
xx
fx
xx
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
42
2
18 81
()
5
xx
fx
x
4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 2 14 5f x x x
5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( ) 2 3 2f x x x x
6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( ) 2 4f x x x x
7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( ) (1 ) 1f x x x
8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 2 5f x x x
(Đề thi Cao đẳng năm 2014)
9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
22
4 21 3 10y x x x x
0
1
f(z)
f'(z)
1
3
z
0
+
-
-1
9
