Sáng kiến kinh nghiệm MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ

SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc
như: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình
và bất phương trình mũ và lôgarit, số phức ta còn gặp nhiều bài toán tích phân và
đặc biệt là tích phân hữu tỷ. Đây là một dạng toán khó đối với học sinh, khi gặp
những tích phân này học sinh không biết cách giải quyết bài toán như thế nào.
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, tôi thấy đây
là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá
giỏi. Nếu chúng ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo các phép biến đổi đại số,
lượng giác thì có thể đưa bài toán về một bài toán quen thuộc.
Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm
đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt và
sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, tôi
quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: ’’MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH
TÍCH PHÂN HỮU TỶ’’
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỂN
1. Cơ sở lý luận.
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy
luận, khả năng tư duy. Từ kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh có được
những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến
thức nâng cao).
Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp biến đổi trực tiếp,
phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp từng phần để giải các bài toán
được đặt ra.
Phạm vi nghiên cứu: Đại số và giải tích 12 cơ bản và nâng cao .
Khách thể nghiên cứu: Học sinh trường trung học phổ thông Sông Ray.
2. Cơ sở thực tiển:
a) Thuận lợi.
- Học sinh đã được trang bị kiến thức, các bài tập đã được luyện tập nhiều.

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học
và yêu thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề.
b) Khó khăn.
- Giáo viên mất nhiều thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập.
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 3
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
- Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong đại số giải tích, không nắm
vững các kiến thức về nguyên hàm và tích phân.
- Đa số học sinh học yếu phần tích phân.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.
1. Nhắc lại một số công thức nguyên hàm hay được sử dụng
( )
( )
1
1
1
1) ; 1 2) ln | |
1
1 1
3) C ; 0; 1 4) ln | ax b | C; 0
( 1)
x
x dx C dx x C
x
ax b
ax b dx a dx a
a ax b a
α
α

α
α
α
α
α
α
+
+
= + ≠ − = +
+
+
+ = + ≠ ≠ − = + + ≠
+ +
∫ ∫
∫ ∫

2. Các bài toán liên quan đến tích phân hữu tỷ.
Phương pháp chung: Tính tích phân
( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
=
∫
với
( ), ( )f x g x
là các đa thức với

hệ số thực.
Nếu
deg ( ) deg ( )f x g x≥
thì thực hiện phép chia đa thức, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ;deg ( ) deg ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x p x f x p x
h x P x g x dx h x dx dx
g x q x g x q x
= + < ⇒ = +
∫ ∫ ∫
. Vì có thể dễ
dàng tính được
( )
b
a
h x dx
∫
nên việc tính
( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
=

∫
được đưa về tính
( )
'
( )
b
a
p x
I dx
q x
=
∫

với
deg ( ) degq(x)p x <
, degp(x) là bậc cao nhất của đa thức p(x).
2.1 Giải pháp 1: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam
thức bậc hai.
Tính tích phân
2
1
n
m
I dx
ax bx c
=
+ +
∫
hoặc
2

n
m
px q
I dx
ax bx c
+
=
+ +
∫
với tam thức bậc hai
2
ax bx c+ +
có hai nghiệm phân biệt
1 2
;x x
.
Phương pháp chung:
- Tìm các hệ số
1 2
,A A
sao cho
1 2
2
1 2
1
A A
x x x x
ax bx c
= +
− −

+ +
hoặc
1 2
2
1 2
A A
px q
x x x x
ax bx c
+
= +
− −
+ +
. Xác định các hệ số
1 2
;AA
bằng phương pháp hệ số bất
định hoặc phương pháp gán các giá trị đặc biệt.
- Tính
1 2
2
1 2
1
n n
m m
A A
I dx dx
x x x x
ax bx c
 

= = +
 ÷
− −
+ +
 
∫ ∫
hoặc
1 2
2
1 2
n n
m m
A A
px q
I dx dx
x x x x
ax bx c
 
+
= = +
 ÷
− −
+ +
 
∫ ∫
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 4
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
- Dùng phương pháp hệ số bất định hoặc gán các giá trị đặc biệt thì ta xác
định được các hệ số A
1

, A
2
.
Ví dụ 1: Tính tích phân sau:
0
2
1
1
3 2
I dx
x x
−
=
− +
∫
Phân tích:
2
1
1 2
3 2
A B
x x
x x
= +
− −
− +
. Dùng phương pháp hệ số bất định hoặc
phương pháp gán các giá trị đặc biệt suy ra :
A = -1 và B = 1
Giải.

0 0 0
2
1 1 1
0
1 1 1 2 4
ln ln
1
2 1 1 3
3 2
x
I dx dx dx
x x x
x x
− − −
−
= = − = =
−
− − −
− +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
1
2
0
2 3
3 2
x
I dx
x x
+

=
+ +
∫
Phân tích:
2
2 3
1 2
3 2
x A B
x x
x x
+
= +
+ +
+ +
. Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt ta
được A = B = 1.
Giải.
1 1 1
2
2
0 0 0
1
2 3 1 1
ln 3 2 ln3
0
1 2
3 2
x
I dx dx dx x x

x x
x x
+
= = + = + + =
+ +
+ +
∫ ∫ ∫

Nhận xét: Do
( )
2
3 2 ' 2 3x x x+ + = +
nên
1
2
2
0
1
2 3
ln 3 2 ln3
0
3 2
x
I dx x x
x x
+
= = + + =
+ +
∫
2.2 Giải pháp 2: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam

thức bậc hai.
Tính tích phân
2
1
n
m
I dx
ax bx c
=
+ +
∫
với tam thức bậc hai
2
ax bx c+ +
có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
.
Phương pháp chung:
2 2
1 1 1
.
2
2
n
n n

m m
m
I dx dx
b
ax bx c
b
a x
a x
a
a
= = = −
+ +
 
 
+
+
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
Ví dụ 1: Tính tích phân sau:
1
2
0
1
4 4
I dx
x x
=

+ +
∫
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 5
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Giải.
( )
1
1 1
2 2
0
0 0
1 1 1 1
2 6
4 4
2
I dx dx
x
x x
x
= = = − =
+
+ +
+
∫ ∫
Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
1
2
1
1
4 12 9

I dx
x x
−
=
− +
∫
Giải.
( )
( )
1
1 1
2 2
1 1
1
1 1 1 2
2 2 3 5
4 12 9
2 3
I dx dx
x
x x
x
− −
−
= = = − =
−
− +
−
∫ ∫
2.3 Giải pháp 3: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam

thức bậc hai.
Tính tích phân
2
n
m
px q
I dx
ax bx c
+
=
+ +
∫
với tam thức bậc hai
2
ax bx c+ +
có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
.
Phương pháp chung:
2 2 2
( )
2 2
. .
2 2
n n n

m m m
b pb
p x q
px q px q
a a
I dx dx dx
ax bx c
b b
a x a x
a a
+ + −
+ +
= = = =
+ +
   
+ +
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
2
2 2
ln
2
.
.
2 2
2
n
n
n

m
m
m
pb pb
q q
p p b
a a
dx x
b b
a a
b
a x a x
a x
a a
a
 
 ÷
− −
 ÷
= + = + −
 ÷
   
 
+ +
 ÷
+
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
   

 
 
∫
Ví dụ 1: Tính tích phân sau:
1
2
0
2 1
4 4
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Giải.
( )
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1
1
0
0
2 1 2( 2) 3 2 3
2
4 4 ( 2)
2
3 3

2ln | 2 | 2ln 2
2 2
x x
I dx dx dx
x
x x x
x
x
x
 
− − +
 ÷
= = = +
 ÷
−
− + −
−
 
= − − = − +
−
∫ ∫ ∫
Nhận xét: Ngoài trường hợp thêm bớt để được tổng các hàm số có nguyên hàm
cơ bản thì bài toán trên ta có thể dung phương pháp hệ số bất định.
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 6
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
2 2
2 1
; 2 1 2 ; (*)
4 4 ( 2) 2
3

2
x A B
x x Bx A B x
x x x x
A
B
−
= + ∀ ⇔ − = + − ∀
− + − −
=

⇔

=

Do đó:
( )
1
1 1
1
2
2
0
0
0 0
2 1 2 3 3 3
2ln | 2 | 2ln 2
4 4 2 2 2
2
x

I dx dx x
x x x x
x
 
−
 ÷
= = + = − − = − +
 ÷
− + − −
−
 
∫ ∫
2.4 Giải pháp 4: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam
thức bậc hai.
Tính tích phân
2
1
q
p
I dx
ax bx c
=
+ +
∫
hoặc
2
'
q
p
mx n

I dx
ax bx c
+
=
+ +
∫
với tam thức bậc hai
2
ax bx c+ +
vô nghiệm .
Phương pháp chung:
2 2 2
1 1
(m )
q q
p p
I dx dx
ax bx c x n h
= =
+ + + +
∫ ∫
Đổi biến số:
| | .tantmx n h+ =
2 2
2
2 2
(2 )
2 2
'
(2 )

2 2
ln | | ( )
2 2
q q
p p
q
q q
p
p p
m mb
ax b n
mx n
a a
I dx dx
ax bx c ax bx c
m mb
ax b n
m mb
a a
dx dx ax bx c n I
a a
ax bx c ax bx c
+ + −
+
= =
+ + + +
+ −
= + = + + + −
+ + + +
∫ ∫

∫ ∫
Ví dụ 1: Tính tích phân sau:
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
Giải:
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
. Đặt
( )
dttdxtx
2
tan1tan +=⇒=
.
Đổi cận:

0 0x t
= ⇒ =
và
1
4
x t
π
= ⇒ =
Suy ra:
1
4 4
2
4
2 2
0
0 0 0
1 1
.(1 tan ). 1.
4
1 tan 1
I dx t dt dt t
x t
π π
π
π
= = + = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
1

2
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Giải:
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 7
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
1
1 1 1
2
2 2 2
0
0 0 0
1 1 2 1 1 1
ln | 1| ln 2
2 2 2 4
1 1 1
x x
I dx dx dx x I
x x x
π
+
= = + = + + = +

+ + +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 3: Tính tích phân sau:
1
2
0
1
1
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải
1 1
2
2
0 0
1 1
1 3
1
( )
2 4
I dx dx
x x
x
= =
+ +
+ +
∫ ∫

. Đặt
( )
2
1 3 3
.tan 1 tan
2 2 2
x t dx t dt+ = ⇒ = +
Đổi cận:
0
6
x t
π
= ⇒ =
và
1
3
x t
π
= ⇒ =
Suy ra:

( )
9
3
3
32
3
32
tan1
2

3
.
4
3
tan
4
3
1
1
1
3
6
3
6
3
6
2
2
1
0
2
π
π
π
π
π
π
π
===+
+

=
++
=
∫∫∫
tdtdtt
t
dx
xx
I
Ví dụ 4: Tính tích phân sau:
0
2
1
2 1
2 2
x
I dx
x x
−
−
=
+ +
∫
Giải
0 0 0 0
2 2 2 2
1 1 1 1
2 1 2 2 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x

I dx dx dx dx
x x x x x x x x
− − − −
− + − + −
= = = +
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
0
0
2
2
1
1
3 3
ln | 2 2 | ln 2
4
( 1) 1
x x dx
x
π
−
−
−
= + + + = −
+ +
∫
.
Nhận xét: Việc giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số còn phụ thuộc vào
các cận của tích phân.
2.5 Giải pháp 5: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức

bậc lớn hơn hai.
Tính tích phân
( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
=
∫
với
( ) ( ) ( )
1 2
( ) .
n
g x x a x a x a= − − −
Ví dụ 1: Tính tích phân
3
2
3 2
2
2 5 3
2
x x
I dx
x x x
− −
=
+ −

∫
Phân tích:
( ) ( )
2
3 2
2 2
2 5 3
;
1 2
2
2 5 3 2 2 ; (*)
x x A B C
x
x x x
x x x
x x A B C x A B C x A x
− −
= + + ∀
− +
+ −
⇔ − − = + + + + − − ∀
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 8
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Dùng phương pháp hệ số bất định (hay đồng nhất thức) ta có:
3
2 3
2
(*) 2 5 2
2 5
2

A
A
A B C B
A B C
C

=

− = −



⇔ + − = − ⇔ = −
 
 
+ + =


=

Khi đó:
3 3 3 3
2
3 2
2 2 2 2
2 5 3 3 1 1 5 1
2
2 1 2 2
2
x x

I dx dx dx dx
x x x
x x x
− −
= = − +
− +
+ −
∫ ∫ ∫ ∫
3 3 3
2 2 2
3 5 3 3 5 5
ln | | 2ln | x 1| ln | 2 | ln 2ln 2 ln
2 2 2 2 2 4
x x= − − + + = − +
Ví dụ 2: Tính tích phân
7
3
4 2
3
2
5 4
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
Phân tích:
3

4 2
2
;
1 2 1 2
5 4
x A B C D
x
x x x x
x x
+
= + + + ∀
− − + +
− +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2 2 2 2
2 4 1 1 2 4 1 D 1 2 ; (*)x A x x B x x C x x x x x⇔ + = − + + − + + − − + − − ∀
D
ùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có:
Thay x = 1 vào (*) , ta có :
1
6 3
2
A A− = ⇔ = −

Thay x = 2 vào (*) , ta có :
5
12 10
6
B B= ⇔ =
Thay x = – 1 vào (*) , ta có :
1
6 3
6
C C= ⇔ =
Thay x = – 2 vào (*) , ta có :
1
12 6
2
D D− = − ⇔ =
Khi đó:

7 7 7 7 7
3
4 2
3 3 3 3 3
2 1 1 5 1 1 1 1 1
2 1 6 2 6 1 2 2
5 4
x
I dx dx dx dx dx
x x x x
x x
+
= = − + + +

− − + +
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
7 7 7 7
3 3 3 3
1 5 1 1 1 5 1 1 9
ln | 1| ln | x 2 | ln | 1| ln | 2 | ln 3 ln5 ln 2 ln
2 6 6 2 2 6 6 2 5
x x x= − − + − + + + + = − + + +
1 1 3
ln 6450 ln
6 2 5
= +
Ví dụ 3: Tính tích phân
2
3
3 2
3
1
5 6
x
I dx
x x x
−
−
+
=
− +
∫
Phân tích:

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 9
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
3 2
3 2 3 2
1 5 6 1
1
5 6 5 6
x x x
x x x x x x
+ − +
= +
− + − +
Ta có:
2
3 2
5 6 1
;
2 3
5 6
x x A B C
x
x x x
x x x
− +
= + + ∀
− −
− +
( ) ( ) ( ) ( )
2
5 6 1 2 3 3 2 ; (*)x x A x x B x x C x x x⇔ − + = − − + − + − ∀

Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có:
Thay x = 0 vào (*) , ta có :
1
6 1
6
A A= ⇔ =
Thay x = 2 vào (*) , ta có :
9
2 9
2
B B− = ⇔ = −
Thay x = 3 vào (*) , ta có :
28
3 28
3
C C= ⇔ =
Khi đó:
2 2
3 2
3 2 3 2
3 3
1 5 6 1
1
5 6 5 6
x x x
I dx dx
x x x x x x
− −
− −
 

+ − +
= = +
 ÷
− + − +
 
∫ ∫
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 9 1 28 1
1
6 2 2 3 3
dx dx dx dx
x x x
− − − −
− − − −
= + − +
− −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 2
3 3 3 3
1 9 28 1 2 9 4 28 5
ln | x | ln | 2 | ln | 3 | 1 ln ln ln
6 2 3 6 3 2 5 3 6
x x x
− − − −
− − − −
= + − − + − = + − +
2.6 Giải pháp 6: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức
bậc lớn hơn hai.
Tính tích phân:

( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
=
∫
;với
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1
( ) .
k
i i i n
g x x a x a x a x a x a x a
− +
= − − − − − −

Ví dụ 1: Tính tích phân
0
2
3
1
3 3 3
3 2
x x
I dx
x x

−
+ +
=
− +
∫
Phân tích:
Ta có:
2
3 2
3 3 3
;
1 2
3 2 ( 1)
x x A B C
x
x x
x x x
+ +
= + + ∀
− +
− + −
( ) ( ) ( )
2
2
3 3 3 2 1 ( 2) 1 ; (*)x x A x B x x C x x⇔ + + = + + − + + − ∀
Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có:
Thay x = 1 vào (*) , ta có :
3 9 3A A
= ⇔ =
Thay x = -2 vào (*) , ta có :

9 9 1C C
= ⇔ =
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 10
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Thay x = 0 vào (*) , ta có :
2 2 3 2A B C B− + = ⇒ =
Khi đó:
0
2
3
1
3 3 3
3 2
x x
I dx
x x
−
+ +
=
− +
∫
0
0 0 0
0 0
2
1 1
1
1 1 1
1 1 1 3
3 2 2ln 1 ln 2

1 2 1
( 1)
dx dx dx x x
x x x
x
− −
−
− − −
−
= + + = + − + +
− + −
−
∫ ∫ ∫
3
ln 2
2
= −
Ví dụ 2: Tính tích phân
0
2 2
1
4 4
( 4 3)
x
I dx
x x
−
+
=
− +

∫
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
4 4
;
1 3
( 4 3) ( 1) ( 3)
4 4 1 3 3 1 3 D 1 ; (*)
x A B C D
x
x x
x x x x
x A x x B x C x x x x
+
= + + + ∀
− −
− + − −
⇔ + = − − + − + − − + − ∀
Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có:
Thay x = 1 vào (*) , ta có :
4 8 2B B
= ⇔ =
Thay x = 3 vào (*) , ta có :
4 16 4D D
= ⇔ =
Thay x = 2 vào (*) , ta có :
12 6A B C D A C
+ − + = ⇒ − =

Thay x = 0 vào (*) , ta có :
9 9 3 4 3 6A B C D A C
− + − + = ⇒ + =
Suy ra: A = 3 và C = – 3
Khi đó:
0 0
2 2 2 2
1 1
4 4 3 2 3 4
1 3
( 4 3) ( 1) ( 3)
x
I dx dx
x x
x x x x
− −
 
+ −
= = + + +
 ÷
− −
− + − −
 
∫ ∫
0
0 0
1 1
1
1 2 4 2 4
3ln 3ln

3 1 3 3 3
x
x x x
− −
−
−
= − − = +
− − −
2.7 Giải pháp 7: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức
bậc lớn hơn hai.
Tính tích phân
( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
=
∫

với
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
1 2 1
( ) . ; 4 0
i n

g x x a x a x a x mx l x a m l
−
= − − − + + − − <

Ví dụ 1: Tính tích phân
1
2
4 2
0
1
1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
4 2 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 1x x x x x x x x x x x+ + = + + − = + − = + + − +
Nên:
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 11
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
( )
( )
( )
( )

2
4 2 2 2
2 2 2
1
;
1 1 1
1 1 1 ; (*)
x Ax B Cx D
x
x x x x x x
x Ax B x x Cx D x x x
+ + +
= + ∀
+ + + + − +
⇔ + = + − + + + + + ∀
( ) ( ) ( )
2 3 2
1 ; (*)x A C x A B C D x A B C D x B D x⇔ + = + + − + + + + − + + + + ∀
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:
0 0 0
1 1/ 2 1/ 2
0 0 0
1 1 1 / 2
A C A C A
A B C D C D B
A B C D D B C
B D B D D
+ = + = =
  
  

− + + + = + = =
  
⇔ ⇔
  
− + + = − = =
  
  
+ = + = =
  
Khi đó:
1 1 1
2
1 2
4 2 2 2
0 0 0
1 1/ 2 1 / 2
1 1 1
x
I dx dx dx I I
x x x x x x
+
= = + = +
+ + + + − +
∫ ∫ ∫
Tính:
1
1
2
0
1/ 2

1
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải
1 1
1
2
2
0 0
1 1 1 1
1 3
2 2
1
( )
2 4
I dx dx
x x
x
= =
+ +
+ +
∫ ∫
.Đặt
( )
2
1 3 3
.tan 1 tan

2 2 2
x t dx t dt+ = ⇒ = +
Đổi cận:
0
6
x t
π
= ⇒ =
và
1
3
x t
π
= ⇒ =
Suy ra:

( )
1
3 3
3
2
1
2
2
0
6
6 6
1 1 1 1 3 3 3 3
1 tan 1.
3 3

2 2 2 3 3 18
1
tan
4 4
I dx t dt dt t
x x
t
π π
π
π
π π
π
= = + = = =
+ +
+
∫ ∫ ∫
Tính:
1
2
2
0
1/ 2
1
I dx
x x
=
− +
∫
Giải
1 1

2
2
2
0 0
1 1 1 1
1 3
2 2
1
( )
2 4
I dx dx
x x
x
= =
− +
− +
∫ ∫
.Đặt
( )
2
1 3 3
.tan 1 tan
2 2 2
x t dx t dt− = ⇒ = +
Đổi cận:
0
6
x t
π
= ⇒ = −

và
1
6
x t
π
= ⇒ =
Suy ra:
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 12
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ

( )
1
6 6
6
2
2
2
2
0
6
6 6
1 1 1 1 3 3 3 3
1 tan 1.
3 3
2 2 2 3 3 9
1
tan
4 4
I dx t dt dt t
x x

t
π π
π
π
π π
π
−
−
−
= = + = = =
− +
+
∫ ∫ ∫
Vậy
1 2
3
6
I I I
π
= + =
Ví dụ 2: Tính tích phân
1
2
4
0
1
1
x
I dx
x

−
=
+
∫
Ta có:
( )
( ) ( )
2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1x x x x x x x x x x+ = + + − = + − = − + + +
Phân tích:
2
4
2 2
1
;
1
2 1 2 1
x Ax B Cx D
x
x
x x x x
− + +
= + ∀
+
+ + − +
( )
( )
( )
( )

2 2 2
1 2 1 2 1 ;x Ax B x x Cx D x x x− = + − + + + + + ∀
( )
( ) ( )
2 3 2
1 2 2 2 2 x B D;x A C x A B C D x A B C D x− = + + − + + + + − + + + + ∀
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:
2
2
0
1
2 2 1
2
2 2 0 2
2
B D 1
1
2
A
A C
B
A B C D
A B C D
C
D

= −


+ =




= −

− + + + =
 
⇔ ⇔
 
− + + =
 
=
 
+ = −



= −


Khi đó:
( )
( )
1 1 1
2
4
2 2
0 0 0
1
1

2
2 2
2
0
0
1 2 2 2 2 2 2
4 4
1
2 1 2 1
2 2 2 1 2
ln 2 1 ln 2 1 ln ln 3 2 2
4 4 4
2 1
x x x
I dx dx dx
x
x x x x
x x
x x x x
x x
− − +
= = −
+
− + + +
 
− +
= − + − + + = = −
 ÷
 ÷
+ +

 
∫ ∫ ∫
2.8 Giải pháp 8: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức
bậc lớn hơn hai.
Tính tích phân
( )
( )
b
a
f x
I dx
g x
=
∫

với
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
1 2 1
( ) . ; 4 0
k
i n
g x x a x a x a x mx l x a m l
−
= − − − + + − − <

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 13

SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Ví dụ 1: Tính tích phân
( )
5
2
2
2
1
2 18
6 13
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
Ta có:
( ) ( )
2
2 2 2
2 2
2 18
;
6 13
6 13 6 13
x Ax B Cx D
x
x x
x x x x

+ + +
= + ∀
− +
− + − +
( ) ( )
( )
2 2
2 18 6 13 ; (*)x Ax B Cx D x x x⇔ + = + + + − + ∀
( ) ( )
2 3 2
2 18 6 13 6 13 ;x Cx C D x A C D x B D x⇔ + = + − + + + − + + ∀
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:
0 12
6 2 8
13 6 0 0
13 18 2
C A
C D B
A C D C
B D D
= =
 
 
− + = = −
 
⇔ ⇔
 
+ − = =
 
 

+ = =
 
Khi đó:
( ) ( )
5 5 5
2
2 2 2
2 2
1 1 1
2 18 12 8 2
6 13
6 13 6 13
x x
I dx dx dx
x x
x x x x
+ −
= = +
− +
− + − +
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
5 5 5
2 2 2
2
2
1 1 1
2 6 1 2

6 28
3 4
6 13
3 4
x
dx dx dx
x
x x
x
−
= + +
− +
 
− +
− +
 
∫ ∫ ∫
1 2 3
I I I= + +
Với
( )
5
5
1
2 2
2
1
1
2 6 6
6 0

6 13
6 13
x
I dx
x x
x x
− −
 
= = =
 ÷
− +
 
− +
∫
( )
5
2
2
2
1
1
28
3 4
I dx
x
=
 
− +
 
∫

. Đặt
( )
2
3 2 tan 2 1 tanx t dx t dt− = ⇒ = +
Đổi cận:
1
4
x t
π
= ⇒ = −
và
5
4
x t
π
= ⇒ =
( )
( )
4 4 4
2 2
2
2
2
4 4 4
4
4
1 7 7
28 .2 1 tan cos 1 cos2
2 4
4 tan 4

7 1 7
sin 2 1
4 2 4 2
I t dt tdt t dt
t
t t
π π π
π π π
π
π
π
− − −
−
= + = = +
 
+
 
   
= + = +
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
( )
5
3
2
1
1
2
3 4

I dx
x
=
− +
∫
. Đặt
( )
2
3 2 tan 2 1 tanx t dx t dt− = ⇒ = +
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 14
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Đổi cận:
1
4
x t
π
= ⇒ = −
và
5
4
x t
π
= ⇒ =
.
( )
4 4
2
4
3
2

4
4 4
1
2 .2 1 tan 1
2
4tan 4
I t dt dt t
t
π π
π
π
π π
π
−
− −
= + = = =
+
∫ ∫
Vậy
1 2 3
11 7
8 4
I I I I
π
= + + = +
Ví dụ 2: Tính tích phân
( )
( )
1
2

2
2
0
2 2 13
2 1
x x
I dx
x x
+ +
=
− +
∫
Phân tích:
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2
2 2 13
;
2
1
2 1 1
x x A Bx C Dx E
x
x
x
x x x
+ + + +
= + + ∀

−
+
− + +
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 13 1 2 1 2 ; (*)x x A x Bx C x Dx E x x x⇔ + + = + + + − + + + − ∀
( ) ( ) ( )
( )
2 4 3 2
2 2 13 2 2 2
2 2 2 2 ;
x x A D x D E x A B D E x
B C D E x A C E x
⇔ + + = + + − + + + + −
+ − + − + + − − ∀
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:
0 1
2 0 3
2 2 2 4
2 2 2 1
2 2 13 2
A D A
D E B
A B D E C
B C D E D
A C E E
+ = =

 
 
− + = = −
 
 
⇔ + + − = ⇔ = −
 
 
− + − + = = −
 
− − = = −
 
 
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
2
2 2 2
2 2
0 0 0 0
2 2 13 1 3 4 2
2
1
2 1 1
x x x x
I dx dx dx dx
x

x
x x x
+ + + +
= = − −
−
+
− + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0
1 3 2 4 1 2 1
2
2 2 2
1 1
1 1
x x
dx dx dx dx dx
x
x x
x x
= − − − −
−
+ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )

1
1 1
1
1
2
2 2 2
0
0
2
0
0 0
1 2 1 2
3 1 1 4 1
ln 2 ln 1 2
2 2
1 1
1
3 1 3 3
ln 2 ln 2 ln 2
4 2 2 4
x x dx dx
x x
x
I I I I
= − + − + − −
+ +
+
= − − − − − = − − − −
∫ ∫
Tính

( )
1
1
2
2
0
4
1
I dx
x
=
+
∫
. Đặt
( )
2
tan 1 tanx t dx t dt= ⇒ = +
.
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 15
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Đổi cận:
0 0x t
= ⇒ =
và
1
4
x t
π
= ⇒ =
Suy ra:

( )
( )
( )
4 4 4
2 2
1
2
2
0 0 0
4
1 tan 4cos 2 1 cos2
tan 1
I t dt tdt t dt
t
π π π
= + = = +
+
∫ ∫ ∫
( )
4
0
2
2 sin 2
2
t t
π
π
+
= + =
Tính

1
2
2
0
1
2
1
I dx
x
=
+
∫
. Đặt
( )
2
tan 1 tanx t dx t dt= ⇒ = +
.
Đổi cận:
0 0x t
= ⇒ =
và
1
4
x t
π
= ⇒ =
Suy ra:
( )
4 4
2

4
2
2
0
0 0
2
1 tan 2 2
2
tan 1
I t dt dt t
t
π π
π
π
= + = = =
+
∫ ∫
Vậy:
1 2
3 3 3 7
ln 2 ln 2
2 4 2 4
I I I
π
= − − − − = − − −
2.9 Các bài tập áp dụng
Tính các tích phân sau:
1
2
0

1
1)
9 6 1
I dx
x x
=
+ +
∫
2
2
0
1
2)
2 2
I dx
x x
=
− +
∫
4
3 2
2
1
3)
2
I dx
x x x
=
− +
∫

1
3
2
2
0
4)
1
x
I dx
x
=
−
∫
1
2
4
0
1
5)
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
1 5
2
2

4 2
1
1
6)
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
2
3 2
2
0
2
7)
4 5
x x
I dx
x x
+
=
− −
∫
1
2
3 2

0
2 8 10
8)
4 4
x x
I dx
x x x
− +
=
+ − −
∫
0
4 2
3 2
1
5 3 7
9)
4 4
x x x
I dx
x x x
−
− + −
=
− − +
∫
( )
0
2
2

1
10)
4 3
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
( )
1
4 3
2
2
0
8 1
11)
5 6
x x x
I dx
x x
− + −
=
− +
∫
( )
0
3 2
2

2
1
3 6
12)
2 1
x x x
I dx
x x
−
+ + +
=
− +
∫
( )
2
3
1
1
13)
1
I dx
x x
=
+
∫
2
4
4 2
1
14)

2 5 3
x
I dx
x x
=
+ +
∫
2
5 2
2
1
15) I dx
x x
=
−
∫
2
4
6
1
1
16)
1
x
I dx
x
+
=
+
∫

( )
1
2
2
2
0
2 5 17
17)
1
x x
I dx
x x
+ −
=
− +
∫
( )
( )
1
2
2
0
4 3
18)
1 3 5
x
I dx
x x x
−
=

+ − +
∫
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 cơ
bản, 12 nâng cao và luyện thi Đại học. Trong quá trình học chuyên đề này, học
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 16
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học
sinh niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận
dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học,
tự nghiên cứu. Kết quả của việc dạy học thực nghiệm lớp 12A
1
với lớp dạy không
thực nghiệm 12A
4
như sau:
Đề ra:
Tính các tích phân sau:
dx
x
Ia
∫
−
=
1
0
2
4
4
)

dx
xx
Ib
∫
−
+−
=
1
1
2
44
3
)
dx
xx
x
Ic
∫
++
+
=
1
0
2
432
34
)
dx
x
xx

Id
∫
+
−+
=
3
1
2
2
1
23
)
dx
x
x
Ie
∫
+
+
=
2
1
6
4
1
1
)
dx
xx
xxx

If
∫
+−
−+−
=
1
0
22
34
)65(
18
)
Kết quả của lớp dạy thực nghiệm 12A
1
là
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8,5 9 10
Số
lượng
2 5 7 15 11 1
Kết quả của lớp không dạy thực nghiệm 12A
4
là
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số
lượng
5 6 4 8 4 3
Dựa vào kết quả khảo sát thực nghiệm, ta thấy rằng ở lớp dạy thực nghiệm
của lớp 12A
1
thì tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 39/41 chiếm tỉ lệ

95,12%. Đặc biệt tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi khá cao. Trong khi đó, ở lớp không
dạy thực nghiệm 12A
4
thì tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình rất thấp, chỉ có 7/30
chiếm tỉ lệ 23,33%, không có học sinh nào đạt điểm khá và giỏi. Qua đó giúp tôi tự
tin hơn khi thực hiện đề tài này.
V. KẾT LUẬN
Dạng toán tích phân nói chung và tích phân hữu tỷ nói riêng rất đa dạng và
phong phú. Mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh
hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên
đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy
sự sáng tạo. Để đạt được kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều
thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 17
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã
hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài
toán phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời gải hợp
lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Giáo viên trước hết phải cung
cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh
cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt
các kiến thức cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải quyết bài toán tạo cho học sinh
tác phong tự học, tự nghiên cứu.
Trong khuôn khổ thời gian có hạn, tôi cũng chỉ đưa ra được các ví dụ, các
bài toán điển hình. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các độc giả và đồng nghiệp
để chuyên đề này ngày càng được đầy đủ và hoàn thiện hơn.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương
– Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008). Đại số và giải tích 12 (cơ bản), NXB

Giáo dục .
[2]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn
Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008). Đại số và giải tích 12 (nâng cao), NXB
Giáo dục
[3]. Trần Phương (2010). Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân,
NXB Đại học quốc gia Hà Nội .
[4]. Phan Huy Khải (2010). Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học, NXB Đại
học quốc gia Hà Nội
Sông Ray, ngày 19 tháng 5 năm 2015
Người thực hiện

Trần Bá Tuấn
Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 18