HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN lớp 8

HỆ THỐNG KIẾN
THỨC TOÁN LỚP 8
THƯ NGỎ GỬI PHỤ HUYNH-HỌC SINH
TRUNG TÂM DẠY KÈM VÀ LUYỆN THI THANH
PHƯƠNG
TRUNG TÂM GIẢNG DẠY CHẤT LƯỢNG CAO – UY
TÍN
Kính Gởi Quý Phụ Huynh Cùng Tất Cả Các Em Học Sinh Thân Mến!
Với nhiều năm kinh nghiệm trong công tác giảng dạy, chúng tôi hiểu rằng:
DẠY KÈM là phương pháp tốt nhất để HỌC SINH YẾU dễ hiểu bài
và HỌC SINH GIỎI nhanh nâng cao kiến thức.
Mặt khác, cuộc sống tất bật, Quý phụ huynh không có nhiều thời gian để
hướng dẫn, chỉ bảo và kèm cặp con em mình. Quý phụ huynh mong
muốn có một Gia sư không chỉ đơn thuần là một người thầy giảng dạy
kiến thức mà còn là một người giáo dục tư cách, phẩm chất cho các
em.
Để đáp ứng nhu cầu học kèm tại nhà, Trung tâm Gia Sư Thanh Phương
cộng tác với rất nhiều Giáo Viên đang giảng dạy tại các trường TH,
THCS, THPT trong TPvà các huyện lân cận ở tỉnh QUẢNG NGÃI
… Nhằm tạo ra một đội ngũ Gia Sư có chuyên môn cao đáp ứng mọi
nhu cầu học tập và rèn luyện cho tất cả học sinh ở mọi cấp, mọi trình
độ.
Trung tâm Gia sư Thanh Phương tự hào là nơi cung cấp Gia sư dạy kèm tại nhà uy tín tại QUẢNG NGÃI
Với phương châm “UY TÍN – HIỆU QUẢ – TẬN TÂM – TẬN TÌNH –
CHI PHÍ THẤP” Gia Sư Thanh Phương mong muốn được đóng góp
một phần nhỏ trên bước đường thành đạt của con em Quý Phụ Huynh.
Đến với Gia Sư Thanh Phương chắc chắn Quý Phụ Huynh sẽ hài lòng bởi
sự tư vấn tận tình và phương pháp giảng dạy chuyên nghiệp.
Gia Sư Thanh Phương chuyên cung cấp gia sư dạy kèm tại nhà / Mở lớp
tại trung tâm:
• NHẬN GIẢNG DẠY TỪ LỚP 1 ĐẾN LỚP 12 CÁC MÔN: TOÁN –

LÝ– HÓA – SINH – VĂN – ÂM NHẠC – HỘI HỌA – TIN HỌC –
NGOẠI NGỮ (Anh, )
Luyện thi chuyển cấp cho học sinh Khối lớp 5, lớp 9, Tú tài; Đại học các Khối
A, B, C, D…
ĐẶC BIỆT:
- Mở lớp tại trung tâm: TT mở lớp thường xuyên các môn Toán-Lý-Hóa cấp 2,
Toán cấp 3 với số lượng 5-8 học viên, học phí chỉ từ 200.000– 400.000
/tháng/ môn
Trọng tâm giảng dạy của Gia Sư Thanh Phương
* Ôn tập lại những kiến thức đã học ở trường,
*Dạy sát chương trình, dạy sâu kiến thức, dạy kỹ chuyên môn, đúng kiến
thức cải cách mới nhất của Bộ GD.
* Kỹ năng làm bài thi trắc nghiệm.
* Lấy lại kiến thức cho học sinh yếu, kém Nâng cao và mở rộng cho học
sinh khá, giỏi.
* Luôn nâng cao và mở rộng kiến thức cho các em.
* Thường xuyên báo cáo kết quả học tập đến Quý Phụ Huynh.
* Nhận dạy thử tuần đầu.
Tất Cả Vì Tương lai con em chúng ta!
Hãy Để Cho Chúng Tôi Thắp Sáng Ước Mơ Của Các Em Bằng Con Đường
Giáo Dục.
Kính chúc Quý Phụ Huynh và các em Học Sinh nhiều sức khỏe và thành
công!
Chúng tôi Tự hào là nơi cung cấp gia sư uy tín hàng đầu ở QUẢNG NGÃI
chuyên dạy kèm tại nhà và Mở lớp tại Trung tâm.
HÃY LIÊN HỆ VỚI CHÚNG TÔI KHI CHƯA QUÁ MUỘN
ĐỊA CHỈ 1 : HẺM 936 QUANG TRUNG TP QUẢNG NGÃI
ĐỊA CHỈ 2 : ĐỘI 4 XÃ NGHĨA MỸ- HUYỆN TƯ NGHĨA - QUẢNG
NGÃI
ĐT : 0976.580.880 hoặc 0944.943.699 hoặc Gmail .

Chúng tôi luôn sẵn sàng được phục vụ và hỗ trợ các bạn!

Trân trọng !

Chủ nhiệm Trung Tâm Gia Sư Thanh Phương

Phạm Hồng
Phượng
LỚP 8 : CHƯƠNG I
ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
• A .( B + C) = A.C + A.B
• ( A + B ) .(C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B. C
• ( A + B ) . (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F
• 7 hằng đẳng thức :(SGK)
Với A, B là các biểu thức
• (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
• (A – B)
2
= A
2
– 2AB + B
2
• A

2
– B
2
= (A + B)(A – B)
• (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B +3AB
2
+B
3
• (A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
• A
3
+ B
3
= (A + B) (A
2

– AB + B
2
)
• A
3
– B
3
= (A – B) (A
2
+ AB +B
2
)
• Các hằng đẳng thức liên quan :
• (A + B)
2
= (A –B)
2
+ 4AB
• (A – B)
2
= (A +B)
2
– 4AB
•
( )
2
2 2
2A B A B AB+ = + −

• A

3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB (A+B)
• A
3
- B
3
= (A – B)
3
+ 3AB (A – B)
• (A + B – C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB - AC – BC)
• Các hằng đẳng thức dạng tổng quát :
• (A + B)
n
= A
n
+ n A
n-1
B + . . .+ n AB

n-1
+ B
n
• A
n
– B
n
= (A – B) (A
n-1
+ A
n-2
B + . . . +AB
n-2
+ B
n-1
)
• (A
1
+ A
2
+ . . . +A
n
)
2
= A
1
2
+ A
2
2

+ . . . + A
n
2
+
2(A
1
A
2
+ A
1
A
3
+. . . +A
n-1
A
n
)
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của
những đơn
B. Những phương pháp nào thường dùng để phân tích đa thức thành
nhân tử?
- Phương pháp đặt nhân tử chung.
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Một số phương pháp khác như :
- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
- Phương pháp giảm dần luỹ thừa của số hạng có bậc cao nhất.

- Phương pháp đặt ẩn phụ(đổi biến).
- Phương pháp hệ số bất định.
- Phương pháp xét giá trị riêng.
- Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
• Nội dung cơ bản của phương pháp đặt nhân tử chung là gì ?
Phương pháp này dựa trên tính chất nào của các phép toán về đa
thức? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phương pháp này
không ?
• Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức
đó biểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa
thức khác.
• Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng các đa thức.
Công thức : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F)
• Phương pháp: Tìm nhân tử chung.
- Lấy ƯCLN của các hệ số.
- Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử.
- Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức
AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F)
• Chú ý:
- Phương pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
- Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách
đưa số hạng vào trong ngoặc hoặc đưa vào trong ngoặc đằng trước có dấu
cộng hoặc trừ.
Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
• Nội dung cơ bản của phương pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng
hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức.
• Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

- Nhận dạng các hằng đẳng thức.
- Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không.
• Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức.
Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
• Nội dung cơ bản của phương pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ?
Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt được
nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng thức đáng nhớ.
• Chú ý:
- Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm
- Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung,
phương pháp dùng hằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc
hằng đẳng thức mới.
Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
• Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ được dùng
riêng rẽ từng phương pháp hay có thể dùng phối hợp các phương
pháp đó ?
Có thể dùng phối hợp các phương pháp đã biết.
Kiến thức Nâng cao.
Phương pháp 5: Phương pháp tách
• Khi phân tích đa thức : ax
2
+ bx + c thành nhân tử
Cách 1: Tách ax
2
+ bx + c = a x
2
+ b
1
x + b
2

x + c
Với b = b
1
+ b
2
và b
1
.b
2
= a.c
Cách 2: Tách ax
2
+ bx + c = X
2
- B
2
Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt
Phương pháp 7: Đặt biến phụ
• Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm
biến phụ đưa về đa thức đơn giản. Sau khi phân tích đa thức này ra
nhân tử rồi lại thay biến cũ vào và tiếp tục phân tích
Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng
• Kiến thức:
1. x = a là nghiệm của đa thức f(x)  f(a) = 0
2. x = a là nghiệm của đa thức f(x) =>
f (x) (x a)−M
• Lược đồ Hoor ne
. Sơ đồ Hoóc - ne
Nếu đa thức bị chia là a
0

x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
, đa thứ chia là x - a ta
được thương là b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
. Theo sơ đồ Hoóc - ne ta có:
a
0
a
1
a
2
a
3
A B
0

= a
0
b
1
= ab
0
+ a
1
b
2
= ab
1
+ a
2
r = ab
2
+ a
3
• Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích được thành nhân tử.
Đối với tam thức bậc hai dạng ax
2
+ bx + c, muốn xét xem đa thức này có
phân tích được thành nhân tử hay không thường dùng phương pháp sau:
- Tính ∆ = b
2
– 4ac.
nhân
cộng
a
- Nếu ∆ ≥ 0 thì phân tích được.

- Nếu ∆ < 0 thì không phân tích được
Phương pháp 10: Phương pháp hạ bậc
C. ứng dụng
Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các
bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn đa thức.
Đưa về dạng A
2
+ B
2
= 0
A 0
B 0
=

⇔

=

II.Tính giá trị biểu thức
Phương pháp : Thu gọn biểu thức
Tìm giá trị của biến thay vào
Chuyên đề: một số phương pháp phân tích đa thức
một biến thành nhân tử.
Các phương pháp:
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm, bớt cùng một hạng tử.
- Đổi biến số.
- Hệ số bất định.
- Xét giá trị riêng (Đối với một số đa thức nhiều biến).
I) Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:

Đối với các đa thức mà các hạng tử không có nhân tử chung, khi phân
tích ra nhân tử ta thường phải tách một hạng tử nào đó ra thành nhiều
hạng tử khác để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức để cho trong các
nhóm có nhân tử chung, từ đó giữa các nhóm có nhân tử chung mới
hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức quen thuộc.
Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c ra nhân tử,
ta tách hạng tử bx thành b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac
Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
1
x + a
0
có nghiệm

nguyên là
x = x
0
thì x
0
là một ước của hệ số tự do a
0
, khi phân tích f(x) ra nhân
tử thì f(x) có
chứa nhân tử x - x
0
. Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao,
ta nên tìm lấy
một nghiệm của nó để định hướng việc phân tích ra nhân tử.

Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
1
x + a
0
có nghiệm hữu tỉ là
x =
q

p
(dạng tối giản) thì p là một ước của hệ số tự do a
0
còn q là ước
dương của
hệ số cao nhất a
n
. Khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx
- p.

II) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
Mục đích: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có
trong đa thức nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng
đẳng thức, đặc biệt là xuất hiện hiệu của hai bình phương.
III) Phương pháp đổi biến:
Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc
thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tich ra
nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến
cũ.

IV) Phương pháp hệ số bất định:

V) Phương pháp xét giá trị riêng:
(Đối với một số đa thức nhiều biến, có thể hoán vị vòng quanh)
Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên
A. Kiến thức cơ bản
- Nắm được tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên
- Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập
B. Phương pháp chung
I. Chứng minh tính chia hết trong tập hợp số nguyên

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n ∈ N hoặc n ∈ Z)
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thường phân tích A(n)
thành thừa số, trong đó có một thừa số là m. Nừu m là một hợp số ta phân
tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh
A(n) chia hết cho tất cả các số đó
Nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội
của k
Lưu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hết của một
luỹ thừa.
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
.b + a
n-3
.b
2
+ + a.b
n-2
+ b
n-1
) với n ∈ N
*
a
n
+ b

n
= (a + b)(a
n-1
- a
n-2
.b + a
n-3
.b
2
- - a.b
n-2
+ b
n-1
) với mọi n lẻ Công
thức Niu-tơn
(a + b)
n
= a
n
+ c
1
a
n-1
b + c
2
a
n-2
b
2
+ + c

n-1
ab
n-1
+ b
n
Các hệ số c
i
được xác định bởi tam giác Pa-xcan
áp dụng vào tính chất chia hết ta có:
a
n
- b
n
Chia hết cho a - b (a ≠ b)
a
2n+1
+ b
2n+1
Chia hết cho a + b (a ≠ - b)
(a + b)
n
= BS a + b
n
(BS a là bội số của a)
III. Tìm chữ số cuối cùng trong biểu diễn thập phân của một số
Phương pháp:
Xét số tự nhiên A = n
k
với n, k ∈ N
Cách 1:

Muốn tìm chữ số cuối cùng của A ta chỉ cần biểu diễn A dưới dạng:
A = 10a + b =
ab
Thì b là chữ số cuối cùng của A
Ta viết A = n
k
= (10q + r)
k
= 10t + r
k
Thì chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ số của cùng của r
k
- Nếu A = 100b +
ab
=
abc
thì
bc
là hai chữ số cuối cùng của A
-
Cách 2:
Khi lấy k lần lượt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn
thập phân của số A = n
k
chữ số cuối cùng hoặc một chữ số cuối cùng xuất
hiện tuần hoàn. Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tượng này và A ở trường hợp
nào với giá trị k đã cho
Cách 3: Dùng phép chia có dư
IV. Tìm điều kiện chia hết
V. Tính chia hết đối với đa thức

1. Tìm số dư của phép chia mà không thực hiện phép chia
Phương pháp:
* Đa thức chia có dạng x - a với a là hằng số
Số dư của phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x)
tại x = a
* Đa thức có bậc từ bậc hai trở lên
Cách 1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức
chia
Cách 2: Xét các giá trị riêng
Chú ý: a
n
- b
n
Chia hết cho a - b (a ≠ b)
a
2n+1
+ b
2n+1
Chia hết cho a + b (a ≠ - b)
3. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức
Phương pháp:
• Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là đa
thức chia
CHƯƠNG II
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I) Phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một
biểu thức có dạng
A

B
, trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa
thức 0
A là tử thức (tử).
B là mẫu thức
Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1.
a) Hai phân tức bẳng nhau:
Với hai phân thức
A
B
và
C
D
, ta nói
A
B
=
C
D
nếu A.D = B.C
II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
a) Tính chất:
- Tính chất 1:
.
.
A A M
B B M
=
(M là đa thức khác đa thức 0).

- Tính chất 2:
:
:
A A M
B B M
=
(M là nhân tử chung khác 0).
b) Quy tắc đổi dấu:
A A
B B
−
=
−
.
III) Rút gọn phân thức
1) Phương pháp:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
IV) Quy đồng mẫu thức.
1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức:
- Phân tích các mẫu thành nhâ tử (nếu cần).
- Lập tích các nhân tử bằng số và chữ:
+) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu.
+) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất.
V) Phép cộng các phân thức đai số.
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức
Qui tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với
nhau, giữ nguyên mẫu thức.

2. Cộng phân thức có mẫu thức khác nhau

Qui tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng
mẫu thức vừa tìm được
3. Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:
- Giao hoán:
- Kết hợp:
VI) Phép trừ các phân thức đại số.
1) Phân thức đối:
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
- Công thức:
A A
B B
−
− =
và
A A
B B
−
− =
.
2) Phép trừ:
- Quy tắc: Muốn trừ phân thức
A
B
cho phân thức
C
D
, ta cộng
A
B
với phân

thức đối của
C
D
- Công thức:
A C A C
B D B D
−
− = +
VII) Phép nhân các phân thức đại số.
1) Kiến thức cơ bản:
.
.
A C AC
B D B D
× =
.
2) Tính chất cơ bản:
- Giao hoán:
A C C A
B D D B
× = ×
- Kết hợp:
A C E A C E
B D F B D F
   
× × = × ×
 ÷  ÷
   
- Phân phối đối với phép cộng:
A C E A C A E

B D F B D B F
 
+ = × + ×
 ÷
 
.
CH ƯƠNG III
Chủ đề 2: Giải phương trình
A. Kiến thức cơ bản
- Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình
tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu.
- Có kỹ năng giải phương trình một cách thành thạo
B. Nội dung
I. Phương trình bậc nhất một ẩn
II. Phương trình tích
Định nghĩa:
Phương trình tích một ẩn là phương trình có dạng:
A(x).B(x) = 0 (1)
Trong đó A(x), B(x), là các đa thức
Cách giải:
Giải từng phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, rồi lấy tất cả các
nghiệm của chúng.
Chú ý:
Việc phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc
đưa phương trình về dạng phương trình tích. Ngoài ra ta còn dùng phương
pháp đặt ẩn phụ
* Phương trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng)
Trong phương trình đối xứng nếu a là nghiệm thì
1
a

cũng là nghiệm
+ Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm
là x = -1
+ Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đưa được về phương trình bậc n
bằng cách đặt ẩn phụ
1
y x
x
= +
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước giải:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình
- Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức
- Giải phương trình vừa nhận được
- Nghiệm của phương trình là các giá trị tìm được của ẩn thoả mãn điều
kiện xác định.
4) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
a) Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1:
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời
Chú ý:
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, ngoài ẩn đã chọn đôi khi
người ta còn biểu thị những đại lượng chưa biết khác bằng chữ. Điều lý thú
là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải toán nhưng chúng lại không có
mặt trong đáp số của bài toán.
PHƯƠNG TRÌNH

I . phương trình bậc nhất một ẩn:
1. Định nghĩa:
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 , với a và
b là hai số đã cho và a
≠
0 , Ví dụ : 2x – 1 = 0 (a = 2; b = - 1)
2.Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn:
Bước 1: Chuyển hạng tử tự do về vế phải.
Bước 2: Chia hai vế cho hệ số của ẩn
( Chú y:ù Khi chuyển vế hạng tử thì phải đổi dấu số hạng đó)
II Phương trình đưa về phương trình bậc nhất:
 Cách giải:
Bước 1 : Quy đồng mẫu rồi khử mẫu hai vế
Bước 2:Bỏ ngoặc bằng cách nhân đa thức; hoặc dùng quy tắc dấu ngoặc.
Bước 3:Chuyển vế: Chuyển các hạng tử chứa ẩn qua vế trái; các hạng tử tự
do qua vế phải.( Chú y:ù Khi chuyển vế hạng tử thì phải đổi dấu số hạng đó)
Bước4: Thu gọn bằng cách cộng trừ các hạng tử đồng dạng
Bước 5: Chia hai vế cho hệ số của ẩn
III. phương trình tích và cách giải:
 phương trình tích:
Phương trình tích: Có dạng: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0 Trong đó
A(x).B(x)C(x).D(x) là các nhân tử.
 Cách giải: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
A x
B x
C x

D x
=


=

⇔

=

=


IV.phương trình chứa ẩn ở mẫu:
 Cách giải:
Bửụực 1 :Phân tích mẫu thành nhân tử
Bước 2: Tìm ĐKXĐ của phương trình
Tìm ĐKXĐ của phương trình :Là tìm tất cả các giá trị làm cho các mẫu
khác 0
( hoặc tìm các giá trị làm cho mẫu bằng 0 rồi loại trừ các giá trị đó đi)
Bước 3:Quy đồng mẫu rồi khử mẫu hai vế .
Bước 4: Bỏ ngoặc.
Bước 5: Chuyển vế (đổi dấu)
Bươc 6: Thu gọn.
+ Sau khi thu gọn mà ta được: Phương trình bậc nhất thì giải theo quy tắc
giải phương trình bậc nhất
+ Sau khi thu gọn mà ta được: Phương trình bậc hai thì ta chuyển tất cảù
hạng tử qua vế trái; phân tích đa thức vế trái thành nhân tử rồi giải theo quy
tắc giải phương trình tích.
Bước 4: Đối chiếu ĐKXĐ để trả lời.

c.giảI bài toán bằng cáh lập phương trình.
1.Phương pháp:
Bước1: Chọn ẩn số:
+ Đọc thật kĩ bài toán để tìm được các đại lượng, các đối tượng tham gia
trong bài toán
+ Tìm các giá trị của các đại lượng đã biết và chưa biết
+ Tìm mối quan hệä giữa các giá trị chưa biết của các đại lượng
+ Chọn một giá trị chưa biết làm ẩn (thường là giá trị bài toán yêu cầu tìm)
làm ẩn số ;
đặt điều kiện cho ẩn
Bước2: Lập phương trình
+ Thông qua các mối quan hệ nêu trên để biểu diễn các đại lượng chưa biết
khác qua ẩn
Bước3: Giải phương trình
Giải phương trình , chọn nghiệm và kết luận
CHƯƠNG IV : BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b
≤
0, ax + b
≥
0)
với a và b là hai số đã cho và a
≠
0 , được gọi làbất phương trình bậc nhất
một ẩn .

 Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn :
Tương tự như cách giải phương trình đưa về bậc nhất.rồi biểu diễn nghiệm
trên trục số

Chú ý :
Khi chuyển vế hạngtử thì phải đổi dấu số hạng đó.
Khi chia cả hai về của bất phương trình cho số âm phải đổi chiều bất
phương trình
Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức
Kiến thức cơ bản
I. Các tính chất của bất đẳng thức
- Tính bắc cầu: a > b ; b > c ⇒ a > c
- Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số
a > b ⇒ a + c ⇒ b + c
- Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:
a > b ; c > 0 ⇒ ac > bc
a > b ; c < 0 ⇒ ac < bc
- Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều,
a > b ; c > d ⇒ a + c > b + d
- Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức
cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:
a > b ; c < d ⇒ a - c > b – d
- Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm
a > b ≥ 0 ; c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd
- Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức:
a > b > 0 ⇒ a
n
> b
n

a > b ⇔ a
n
> b
n

với n lẻ
a b
>
⇔ a
n
> b
n
với n chẵn
- So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ dương:
Nếu m > n > 0 thì: a > 1 ⇒ a
m
> a
n
a = 1 ⇒ a
m
= a
n
0 < a < 1 ⇒ a
m
< a
n
- Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
a > b , ab > 0 ⇒
1 1
a b
<
II. Các hằng bất đẳng thức:
1. Ngoài các hằng bất đẳng thức a
2
≥ 0 ; -a

2
≤ 0, cần nhớ các hằng bất
đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:
0a
≥
Xẩy ra đẳng thức khi a = 0
a a
≥
Xẩy ra đẳng thức khi a ≥ 0
a b a b
+ ≥ +
Xẩy ra đẳng thức khi ab ≥ 0
a b a b
− ≥ −
Xẩy ra đẳng thức khi ab > 0 và
a b≥
2. Một số hằng bất đẳng thức khác có thể sử dụng như một bổ đề để
giải toán.
a
2
+ b
2
≥ 2ab;
2
2
a b
ab
+
 
≥

 ÷
 
Hay (a + b)
2
≥ 4ab (bất đẳng thức Cô-si);
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
với a, b > 0
2
a b
b a
+ ≥
với a, b > 0
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) ≥ (ax + by)
2
(Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)
III. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức:
1. Dùng định nghĩa
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > 0
2. Dùng phép biến đổi tương đương

3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
4. Dùng phương pháp phản chứng
Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
A. Mục tiêu
- Học sinh nắm được thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức
- Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
B. Các khái niệm cơ bản
1. Cho biểu thức f(x,y, )
Ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y, ) nếu thoả mãn hai điều kiện
sau:
- Với mọi x, y, để f(x,y, ) xác định thì
f(x,y, ) ≤ M (M là hằng số) (1)
- Tồn tại x
0
, y
0
sao cho
f(x
0
, y
0
, ) = M (2)
2. Cho biểu thức f(x,y, )
Ta nói M là GTNN của biểu thức f(x,y, ) nếu thoả mãn hai điều kiện
sau:
Với mọi x, y, để f(x,y, ) xác định thì (1’)
f(x,y, ) ≥ m (m là hằng số)
- Tồn tại x
0

, y
0
sao cho
f(x
0
, y
0
, ) = m (2’)
Chú ý: Nếu chỉ có điều kiện (1) và (1’) thì chưa thể nói gì về cực trị
của một biểu thức
Chẳng hạn ta xét biểu thức
A = (x - 1)
2
+ (x - 3)
2
Mặc dù A ≥ 0 nhưng chưa thể kết luận GTNN của A = 0 vì không tồ
tại giá trị nào của x để A = 0
C. Nội dung
I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa một
biến
1. Tam thức bậc hai
áp dụng:
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c
a) Tìm GTNN của P nếu a > 0
b) Tìm GTLN của P nếu a < 0
2. Đa thức bậc cao hơn hai
3. Phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức bậc hai
4. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức

II. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức có quan hệ
ràng buộc giữa các biến
HÌNH HỌC: CHƯƠNG I
TÍNH CHẤT CÁC TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP
Trong các hình trên thì hình thang là hình gốc:
Hình thang là 1 tứ giác có 2 cạnh song song.
Hình thang cân là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau.
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
Hình chữ nhật là hình thang vừa vuông vừa cân.
Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau.
Hình bình hành là hình thang có 2 đáy bằng nhau.
Hình thoi là hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau,
- Hình bình hành :
Hình bình hành có bốn cạnh ; những cạnh đối nhau thì song song và bằng
nhau.
- Hình thoi :
Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau; những cạnh đối diện song song với nhau.
- Hình chữ nhật :
Hình chữ nhật có bốn cạnh và bốn góc vuông. Những cạnh đối nhau thì song
song và bằng nhau.
- Hình vuông :
Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông.
- Hình thang :
Hình thang có bốn cạnh, có hai cạnh đáy song song nhưng không bằng nhau.
- Hình thang cân :
Hình thang cân có hai cạnh xiên bằng nhau.
- Hình thang vuông góc :
Hình thang vuông góc có một cạnh thẳng góc với hai cạnh đáy. (Hình thang
vuông góc có hai góc vuông )
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

1): Dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang vuông, hình thang cân:
- Tứ giác có hai cạnh đối song song.
- Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông
- Hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân
- Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
2): Dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Có 5 dấu hiệu nhận biết):
- Tứ giác có các cặp cạnh đối song song
- Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
3): Hình chữ nhật (có 4 dấu hiệu nhận biết):
- Tứ giác có 3 góc vuông
- Hình thang cân có một gócvuông
- Hình bình hành có một góc vuông
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
4): Hình thoi (có 4 dấu hiệu nhận biết):
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
- Hình bình hành cá hai cạnh kề bằng nhau
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau
- Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác cùa 1 góc.
5): Hình vuông (có 5 dấu hiệu nhận biết):
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc
- Hình chứ nhật có đường chéo là đường phân giác của một góc
- Hình thoi có một góc vuông
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
ĐỊNH LÍ TA-LÉT VÀ CÁC HỆ QUẢ
Nói về Ta-let thì ta có 3 vấn đề cơ bản liên quan:

+) Định lí Ta-let thuận:
"Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ."
Nghĩa là: Nếu ta có tam giác ABC, đường thẳng d//BC và cắt AB, AC tại hai
điểm B'; C' thì
AB'/AB = AC'/AC;
AB'/B'B = AC'/C'C;
B'B/AB = C'C/AC.
+) Định lí Ta-let đảo:
"Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai
cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song
với cạnh còn lại của tam giác."
Nghĩa là: Nếu ta có tam giác ABC, điểm B' thuộc AB, C' thuộc AC, AB'/B'B
= AC'/C'C thì B'C'//BC.
+) Hệ quả của định lí Ta-let:
"Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh
còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba
cạnh của tam giác đã cho."
Nghĩa là: Nếu ta có tam giác ABC và B'C'//BC (B' thuộc AB, C' thuộc AC)
thì
AB'/AB = AC'/AC = B'C'/BC.
ĐỊNH NGHĨA , TÍNH CHẤT VÀ DẤU HIỆU NHẬN
BIẾT
Câu 1 : Định nghĩa tứ giác , tứ giác lồi , tổng các góc của tứ giác
a) Định nghĩa tứ giác : Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn
thẳng AB , BC , CD , DA trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng
nào cũng không nằm trên một đường thẳng
b) Định nghĩa tứ giác lồi : Tứ giác lồi là tứ gáic luôn nằm
trong một nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất
kỳ cạnh nào của tứ giác

c) Định lý tổng các góc của tứ giác : Tổng các góc của tứ
giác bằng 360
0
Câu 2 : Hình thang :
a)Định nghĩa : Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
b) Nhận xét :
- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên
bằng nhau , hai cạnh đáy bằng nhau
- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên
song song và bằng nhau
Câu 3 : Hình thang cân :
a) Định nghĩa : Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy
bằng nhau
b) Tính chất :
- Trong Hình thang cân , hai cạnh bên bằng nhau
- Trong hình thang cân , hai đường chéo bằng nhau
c) Dấu hiệu nhận biết :
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
Câu 4 : Hình bình hành :
a) Định nghĩa : Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
b) Tính chất : Trong hình bình hành :
- Các cạnh đối bằng nhau
- Các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
c) Dấu hiệu nhận biết :
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là HBH
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là HBH
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là HBH

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
là HBH
Câu 5 : Hình chữ nhật :
a) Định nghĩa : Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông
- HÌnh chữ nhật cũng là một hình thang cân , hình bình hành
b) Tính chất : HCN có tất cả các tính chất của HBH , Hình thang cân
- Trong HCN ,hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường
c) Dấu hiệu nhận biết :
- Tứ giác có ba góc vuông là HCN
- Hình thang cân có một góc vuông là HCN
- HBH có một góc vuông là HCN
- HBH có hai đường chéo bằng nhau là HCN
Câu 6 : Hình thoi :
a) Định nghĩa : Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
b) Tính chất : Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành
Trong hình thoi :
- Hai đường chéo vuông góc với nhau
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
c) Dấu hiệu nhận biết :
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
- Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của một góc là
hình thoi
Câu 7 : Hình vuông :
a) Định nghĩa : Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn
cạnh bằng nhau
b) Tính chất : Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và
hình thoi

c) Dấu hiệu nhận biết :
- HÌnh chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình
vuông
- Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc là hình
vuông
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
Câu 8 : Định nghĩa , định lý – tính chất đường trung bình của tam giác
a) Định nghĩa : Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai
trung điểm hai cạnh tam giác
b) Định lý ( Đường thẳng đi qua trung điểm ) : Đường thẳng đi qua
trung điểm hai cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì
đi qua trung điểm cạnh thứ ba
c) Tính chất : Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh
thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ấy
Đường trung bình của tam giác, của hình thang
a) Đường trung bình của tam giác
 Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung
điểm hai cạnh của tam giác
 Định lí: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba
và bằng nửa cạnh ấy
1
DE / /BC, DE BC
2
=
Câu 9 :Định nghĩa , định lý – tính chất đường trung bình của hình thang
a) Định nghĩa : Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh bên
b) Định lý : Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình

thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ
hai
c) Tính chất : Đường trung bình của hình thang thì song song với hai
đáy và bằng nửa tổng hai đáy
Đường trung bình của hình thang
 Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh bên của hình thang
 Định lí: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy
và bằng nửa tổng hai đáy
EF//AB, EF//CD,
AB CD
EF
2
+
=
Câu 10 : Định nghĩa hai điểm đối xứng qua đường thẳng – Qua một điểm :
a) Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua một đường thẳng d nếu d
là đường trung trực của đoạn thẳng đó
E
C
B
D
A
F
E
D
C
B
A
b) Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu điểm O là

trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó
c) Tính chất đối xứng của các hình :
- Hình thang cân : Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy là trục
đối xứng của hình thang cân
- Hình bình hành : Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là
tâm đối xứng của hình bình hành đó
Câu 11 : Định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng song song – tính
chất những điểm cách đều một đường thẳng cho trước , tính chất những
đường thẳng song song cách đều
a) Định nghĩa : Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là
khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên đường thẳng này đến đường
thẳng kia
b) Tính chất : Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm
trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khaỏng bằng h
c) Đường thẳng song song cách đều :
- Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì
chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng
nhau
- Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng
chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì
chúng song song cách đều
Câu 12: Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông
- Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
bằng nửa cạnh huyền
- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng
nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông
Câu 13: Định nghĩa đa giác lồi , đa giác đều
a) Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của đa giác
b) Định nghĩa đa giác đều : là đa giác có tất cả các cạnh và các góc

bằng nhau
CHƯƠNG II
CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CÁC HÌNH

II. Diện tích các hình
.S a b=

2
S a
=

1
S ah
2
=
1
S ah
2
=
1
S ah
2
=
1
S (a b)h EF.h
2
= + =
.
=
S a h

1 2
1
S d d
2
= ×
CHƯƠNG III
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
1. Định lí TaLet trong tam giác : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của
một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó
những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ .
C'
B'
A
B
C
2. Định lí đảo của định lí TaLet :Nếu một đường thăûng cắt hai cạnh của
một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đạon thẳng tương ứng tỉ lệ
thì đường thăûng đó song song với cạnh còn lại .
a
h
a
h
a
FE
b
h
a
h
a
d

1
d
2
ABC, B’C’ //BC
GT B’ AB
KL;;
a
b
h
a