HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN lớp 9

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
HỆ THỐNG KIẾN
THỨC TOÁN LỚP 9
THƯ NGỎ GỬI PHỤ HUYNH-HỌC SINH
TRUNG TÂM DẠY KÈM VÀ LUYỆN THI THANH PHƯƠNG
TRUNG TÂM GIẢNG DẠY CHẤT LƯỢNG CAO – UY TÍN
Kính Gởi Quý Phụ Huynh Cùng Tất Cả Các Em Học Sinh Thân Mến!
Với nhiều năm kinh nghiệm trong công tác giảng dạy, chúng tôi hiểu rằng: DẠY KÈM là
phương pháp tốt nhất để HỌC SINH YẾU dễ hiểu bài và HỌC SINH GIỎI nhanh
nâng cao kiến thức.
Mặt khác, cuộc sống tất bật, Quý phụ huynh không có nhiều thời gian để hướng dẫn, chỉ
bảo và kèm cặp con em mình. Quý phụ huynh mong muốn có một Gia sư không chỉ
đơn thuần là một người thầy giảng dạy kiến thức mà còn là một người giáo dục tư
cách, phẩm chất cho các em.
Để đáp ứng nhu cầu học kèm tại nhà, Trung tâm Gia Sư Thanh Phương cộng tác với rất
nhiều Giáo Viên đang giảng dạy tại các trường TH, THCS, THPT trong TPvà các
huyện lân cận ở tỉnh QUẢNG NGÃI … Nhằm tạo ra một đội ngũ Gia Sư có
chuyên môn cao đáp ứng mọi nhu cầu học tập và rèn luyện cho tất cả học sinh ở mọi
cấp, mọi trình độ.
Trung tâm Gia sư Thanh Phương tự hào là nơi cung cấp Gia sư dạy kèm tại nhà uy tín tại QUẢNG NGÃI
Với phương châm “UY TÍN – HIỆU QUẢ – TẬN TÂM – TẬN TÌNH – CHI PHÍ
THẤP” Gia Sư Thanh Phương mong muốn được đóng góp một phần nhỏ trên
bước đường thành đạt của con em Quý Phụ Huynh.
Đến với Gia Sư Thanh Phương chắc chắn Quý Phụ Huynh sẽ hài lòng bởi sự tư vấn tận
tình và phương pháp giảng dạy chuyên nghiệp.
Gia Sư Thanh Phương chuyên cung cấp gia sư dạy kèm tại nhà / Mở lớp tại trung tâm:
• NHẬN GIẢNG DẠY TỪ LỚP 1 ĐẾN LỚP 12 CÁC MÔN: TOÁN – LÝ– HÓA –
SINH – VĂN – ÂM NHẠC – HỘI HỌA – TIN HỌC – NGOẠI NGỮ (Anh, )
Luyện thi chuyển cấp cho học sinh Khối lớp 5, lớp 9, Tú tài; Đại học các Khối A, B, C, D…
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
1

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
ĐẶC BIỆT:
- Mở lớp tại trung tâm: TT mở lớp thường xuyên các môn Toán-Lý-Hóa cấp 2, Toán cấp 3
với số lượng 5-8 học viên, học phí chỉ từ 200.000– 400.000 /tháng/ môn
Trọng tâm giảng dạy của Gia Sư Thanh Phương
* Ôn tập lại những kiến thức đã học ở trường,
*Dạy sát chương trình, dạy sâu kiến thức, dạy kỹ chuyên môn, đúng kiến thức cải cách
mới nhất của Bộ GD.
* Kỹ năng làm bài thi trắc nghiệm.
* Lấy lại kiến thức cho học sinh yếu, kém Nâng cao và mở rộng cho học sinh khá, giỏi.
* Luôn nâng cao và mở rộng kiến thức cho các em.
* Thường xuyên báo cáo kết quả học tập đến Quý Phụ Huynh.
* Nhận dạy thử tuần đầu.
Tất Cả Vì Tương lai con em chúng ta!
Hãy Để Cho Chúng Tôi Thắp Sáng Ước Mơ Của Các Em Bằng Con Đường Giáo Dục.
Kính chúc Quý Phụ Huynh và các em Học Sinh nhiều sức khỏe và thành công!
Chúng tôi Tự hào là nơi cung cấp gia sư uy tín hàng đầu ở QUẢNG NGÃI chuyên dạy
kèm tại nhà và Mở lớp tại Trung tâm.
HÃY LIÊN HỆ VỚI CHÚNG TÔI KHI CHƯA QUÁ MUỘN
ĐỊA CHỈ 1 : HẺM 936 QUANG TRUNG TP QUẢNG NGÃI
ĐỊA CHỈ 2 : ĐỘI 4 XÃ NGHĨA MỸ- HUYỆN TƯ NGHĨA - QUẢNG NGÃI
ĐT : 0976.580.880 hoặc 0944.943.699 hoặc Gmail .
Chúng tôi luôn sẵn sàng được phục vụ và hỗ trợ các bạn!

Trân trọng !
CHƯƠNG I
Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán
Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
A .( B + C) = A.C + A.B
( A + B ) .(C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B. C

( A + B ) . (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F
7 hằng đẳng thức:(SGK)
Với A, B là các biểu thức
•
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
•
(A – B)
2
= A
2
– 2AB + B
2
•
A
2
– B
2
= (A + B)(A – B)
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
•
(A + B)
3
= A

3
+ 3A
2
B +3AB
2
+B
3
•
(A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
•
A
3
+ B
3
= (A + B) (A
2
– AB + B
2
)
•
A

3
– B
3
= (A – B) (A
2
+ AB +B
2
)
Các hằng đẳng thức liên quan :
•
(A + B)
2
= (A –B)
2
+ 4AB
•
(A – B)
2
= (A +B)
2
– 4AB
•
( )
2
2 2
2A B A B AB+ = + −

•
A
3

+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB (A+B)
•
A
3
- B
3
= (A – B)
3
+ 3AB (A – B)
•
(A + B – C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB - AC – BC)
Các hằng đẳng thức dạng tổng quát :
•
(A + B)
n
= A
n
+ n A

n-1
B + . . .+ n AB
n-1
+ B
n
•
A
n
– B
n
= (A – B) (A
n-1
+ A
n-2
B + . . . +AB
n-2
+ B
n-1
)
•
(A
1
+ A
2
+ . . . +A
n
)
2
= A
1

2
+ A
2
2
+ . . . + A
n
2
+ 2(A
1
A
2
+
A
1
A
3
+. . . +A
n-1
A
n
)


( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
2

2
2
( ) 2
1 1 2
( ) 2
1 1 2
( )( )
( )( )
1 1 1
1 1 1
a b a ab b
a a a
a b a ab b
a a a
a b a b a b
a a b b a b a ab b
a a b b a b a ab b
a a a a a
a a a a a
+ = + +
+ = + +
− = − +
− = − +
− = − +
+ = + − +
− = − + +
− = − + +
+ = + − +

( )

( )
( )
( )
a b b a ab a b
a b b a ab a b
+ = +
− = −

ÔN TẬP KT CHƯƠNG I ĐẠI SỐ
LÝ THUYẾT
Điều kiện có nghĩa của một số
biểu thức:
1) A(x) là đa thức
⇒
A(x) luôn có
nghĩa
2)
)(
)(
xB
xA
có nghĩa
⇔
B(x)
≠
0
Khử mẫu của biểu thức dưới dấu
căn bậc hai:
Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp
để mẫu số là một bình phương

GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
3
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
3)
)(xA
có nghĩa
⇔
A(x)
≥
0
4)
)(
)(
xB
xA
có nghĩa
⇔
B(x) > 0
B
BA
B
BA
B
A
2
==
( với B
≠
0, A.B
≥

0 )
Trục căn thức ở mẫu số:
DẠNG 1: Mẫu là biểu thức dạng tích các
căn thức và các số, ta nhân tử và mẫu với
căn thức.
( )
Ba
BA
Ba
BA
Ba
A
.
.
.
.
2
==
DẠNG 2: Mẫu là biểu thức dạng tổng có
căn thức, ta nhân tử và mẫu với biểu thức
liên hợp của mẫu.
 A – B và A + B là hai biểu thức liên hợp
với nhau.
 (A – B)(A + B) = A
2
– B
2

( )
BA

BAm
BABA
BAm
BA
m
−
−
=
−+
−
=
+
2
.
))((
).(
( )
BA
BAm
BABA
BAm
BA
m
−
+
=
+−
+
=
−

2
.
))((
).(

( )
( )( )
( )
BA
BAm
BABA
BAm
BA
m
−
−
=
−+
−
=
+

( )
( )( )
( )
BA
BAm
BABA
BAm
BA

m
−
+
=
+−
+
=
−

.
2
A
A A
A

= =

−


Nếu A không âm thì
( )
2
2
. AAAAA
===

. .A B A B
=
( với A

≥
; B
≥
0 )
Tổng quát:
1 2 1 2
.
n
n
A A A A A A=
với A
i

≥
0 (1
≤
i
≤
n )
A A
B
B
=
(với A
≥
0, B
≥
0)
Đưa thừa số A
2

ra ngoài dấu căn
bậc hai:
ta được |A| . Ta có:
2
A B A B
=
Đưa thừa số vào trong dấu căn
bậc hai:

2
A B A B=
( với A
≥
0 )

2
A B A B= −
( với A < 0 )
Phương trình chứa căn thức bậc hai:
1)
2
0 | | 0 0A A A= ⇔ = ⇔ =
3)



=
≥
⇔=
2

0
BA
B
BA
2)



=
≥
⇔=
BA
B
BA
0
4)
⇔=+ OBA
A = 0 và B = 0
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.

A
có nghĩa khi A ≥ 0
2. Các công thức biến đổi căn thức.
a.
2
A A=
b.
. ( 0; 0)AB A B A B= ≥ ≥
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880

4
(hoặc A
0
≥
)
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
c.
( 0; 0)
A A
A B
B
B
= ≥ >
d.
2
( 0)A B A B B= ≥
e.
2
( 0; 0)A B A B A B= ≥ ≥


2
( 0; 0)A B A B A B= − < ≥

f.
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B

= ≥ ≠
i.
( 0)
A A B
B
B
B
= >
k.
2
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A B
A B
= ≥ ≠
−
±
m
m.
2
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠

−
±
m
 Kiến thức cơ bản:
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là
các số cho trước và a
≠
0
b. Tính chất :Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R
và có tính chất sau:
-
Đồng biến trên R khi a > 0
-
Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng
-
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
-
Song song với đường thẳng y = ax, nếu b
≠
0, trùng với đường thẳng y = ax,
nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = ta được điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a
≠
0) và (d’): y = a’x + b’ (a’
≠
0). Khi đó
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=

⇔

≠

+
{ }
' ' 'd d A a a
∩ = ⇔ ≠
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880

5
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
+
'
'
'
a a
d d
b b
=

≡ ⇔

=

+
' . ' 1d d a a
⊥ ⇔ = −
e. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a
≠
0)
*Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT,
trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc
đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương
*Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng
y = ax +b
f. Một số phương trình đường thẳng
-

Đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x – x
0
) + y
0
-
Đường thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0

≠
0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
2.1 Cụng thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1

, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
-
Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= − + −
-
Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
CHỦ ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. CÁC KHÁI NIỆM:
Phương trình bậc nhất hai ẩn:
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(
0
≠

a
hoặc
)0≠b
+ Một nghiệm của phương trình là cặp số x
0
; y
0
thỏa mãn : ax
0
+ by
0
= c
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu
0;0 ≠≠ ba
thì
đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất:
b
c
x
b
a
y +−=
.
 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Dạng:



=+

=+
)2.(
)1.(
,,,
cybxa
cbyax
+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình
+ Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)
-Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d')
** Cho hệ phương trình:
, 0 ( )
' ' ', ' 0 ( ')
ax by c a D
a x b y c a D
+ = ≠


+ = ≠

GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
6
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
• (D) cắt (D’)
⇔

' '
a b
a b

≠

⇔
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
• (D) // (D’)
⇔

' ' '
a b c
a b c
= ≠

⇔
Hệ phương trình vô nghiệm.
(D)
≡
(D’)
⇔

' ' '
a b c
a b c
= =

⇔
Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Hệ phư ơng trình tương đương:
Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp thế:

a) Quy tắc thế :
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi
thay vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ
(phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo
ẩn kia có được ở bước 1).
 Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a)Quy tắc cộng đại số :
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho
để được một phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của
hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn
nhân với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).
( tạm gọi là quy đồng hệ số)
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU
A. Kiến thức cơn bản
1. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox
- Góc
α
tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax
và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T là
điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương
8
6
4
2

-2
-4
-6
-8
-15
-10
-5
5
10
15
T
A
α
α
y=ax+b
y=ax
Trường hợp a > 0
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15
-10
-5
5
10

15
T
A
α
α
y=ax+b
y=ax
Trường hợp a < 0
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
7
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
- với a > 0
0 0
0 90
α
⇒ < <
, a càng lớn thì
α
càng lớn
- với a < 0
0 0
90 180
α
⇒ < <
, a càng lớn thì
α
càng lớn
2. y = ax + b (a khác 0) thì a được gọi là hệ số góc của đường thẳng
3. Với 2 đường thẳng
( )

( ) ( )
' ' ' '
: à : ; 0d y ax b v d y a x b a a= + = + ≠
, ta có:
( )
( )
( )
( )
' ' ' ' ' '
/ / ; ;d d a a b b d d a a b b+ ⇔ = ≠ + ≡ ⇔ = =
( )
( )
( )
( )
' ' ' '
. 1d d a a d d a a+ × ⇔ ≠ + ⊥ ⇔ = −
- Chú ý: khi a khác a
’
và b = b
’
thì 2 đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng
cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ là b
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
A. Kiến thức cơ bản
1. Quy tắc thế
- từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
- dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn
2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt
1 ẩn

- giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cơ bản
1. Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước
- Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới
- Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia)
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn kia là
thành”
- Nghĩa là:
+ nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau
+ đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau
+ cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn
+ thay vào tính nốt ẩn còn lại
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cơ bản
Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước sau :
- bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau)
+ chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)
+ biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
+ lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng
- bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1
- bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
8
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
CHƯƠNG III
HÀM SỐ
( )
2

0y ax a= ≠
. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
( )
2
0y ax a= ≠
A. Kiến thức cơ bản
1. Tính chất hàm số
( )
2
0y ax a= ≠
a) Tính chất:
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0
b) Nhận xét:
Nếu a > 0 thì y > 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0. giá trị nhỏ nhất của hàm số là
y = 0.
Nếu a < 0 thì y < 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0. giá trị lớn nhất của hàm số là y
= 0.
2. Tính chất đồ thị hàm số
( )
2
0y ax a= ≠
Đồ thị hàm số
( )
2
0y ax a= ≠
là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục
Oy là trục đối xứng. đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0;0) là điểm thấp nhất của đồ
thị.

Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0;0) là điểm cao nhất của đồ
thị.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa: pt bậc hai một ẩn là pt có dạng:
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
(1), trong đó x
là ẩn; a, b, c là các số cho trước.
2. Cách giải
a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành:
( )
2
0
0
0 0
0
x
x
ax bx x ax b
b
ax b
x
a
=

=



+ = ⇔ + = ⇔ ⇔


+ =
= −


b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành:
2 2 2
0
c
ax c ax c x
a
+ = ⇔ = − ⇔ = −
(2)
- nếu
0
c
a
− <
thì pt (2) vô nghiệm, suy ra pt (1) cung vô nghiệm
- nếu
0
c c
x
a a
− > ⇒ = ± −
c) đầy đủ:
( )
2

0 0ax bx c a+ + = ≠
Công thức nghiệm
2
4b ac∆ = −
+ Nếu
0∆ >
thì pt có 2 nghiệm phân biệt:
Công thức nghiệm thu gọn
' '2
b ac∆ = −
+ Nếu
'
0∆ >
thì pt có 2 nghiệm phân biệt:
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
9
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
+ nếu
0∆ =
thì pt có nghiệm kép:
1 2
2

b
x x
a
−
= =
+ nếu
0
∆ <
thì pt vô nghiệm
' ' ' '
1 2
;
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
+ nếu
'
0∆ =
thì pt có nghiệm kép:
'
1 2
b
x x
a
−
= =
+ nếu
'

0∆ <
thì pt vô nghiệm
d) Cho pt:
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
. Điều kiện để phương trình:
- Vô nghiệm:
0∆ <
(
'
0∆ <
)
- Nghiệm kép:
0
∆ =
(
'
0∆ =
)
- Có 2 nghiệm phân biệt:
0∆ >
(
'
0∆ >
) hoặc a.c < 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu:
( )
'
1 2

0
. 0P x x

∆ ∆ ≥


= >


- Có 2 nghiệm cùng dấu âm:
( )
'
1 2
1 2
0
. 0
0
P x x
S x x

∆ ∆ ≥


= >


= + <


- Có 2 nghiệm cùng dấu dương:

( )
'
1 2
1 2
0
. 0
0
P x x
S x x

∆ ∆ ≥


= >


= + >


- Có 2 nghiệm khác dấu:
( )
'
1 2
0
. 0P x x

∆ ∆ ≥


= <



3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Định lý: Nếu x
1
; x
2
là 2 nghiệm của pt
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
thì
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=



- Ứng dụng nhẩm nghiệm của hệ thức Vi-ét:
+ nếu pt
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
có
0a b c+ + =
thì pt có 2 nghiệm là:
1 2
1;
c
x x
a
= =
+ nếu pt
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
có
0a b c− + =
thì pt có 2 nghiệm là:
1 2
1;
c
x x
a
= − = −
+ nếu
.
u v S

u v P
+ =


=

thì suy ra u, v là nghiệm của pt:
2
0x Sx P− + =
(điều kiện để tồn tại u,
v là
2
4 0S P∆ = − ≥
)
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Phương trình trùng phương.
- dạng tổng quát:
( )
4 2
0 0ax bx c a+ + = ≠
- cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt
( )
2
0x t t= ≥
. Khi đó ta có pt:
2
0at bt c+ + =
(đây là pt bậc hai một ẩn)
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Các bước giải
- Tìm đk xác định của pt

GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
10
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
- Quy đồng mẫu thức cả 2 vế của pt, rồi khử mẫu
- Giải pt vừa nhận được
- Kết luận: so sánh nghiệm tìm được với đk xác định của pt
3. Phương trình tích.
- dạng tổng quát:
( ) ( )
. 0
x x
A B =
- cách giải:
( ) ( )
( )
( )
0
. 0
0
x
x x
x
A
A B
B
=

= ⇔

=



3. Hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
- Tính chất:
+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).
4. Hàm số y = ax
2
(a ≠ 0)
- Tính chất:
+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét đường thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d')
(d) và (d') cắt nhau ↔ a ≠ a'
(d) // (d') ↔ a = a' và b ≠ b'
(d) ≡ (d') ↔ a = a' và b = b'
6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong.
Xét đường thẳng y = ax + b (d) và y = ax
2
(P)
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm
(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm
(d) và (P) không có điểm chung

7. Phương trình bậc hai.
Xét phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn
∆ = b
2
- 4ac
Nếu ∆ > 0 : Phương trình có hai
∆' = b'
2
- ac với b = 2b'
- Nếu ∆' > 0 : Phương trình có hai
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
11
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
;
a
b
x
2
2

∆−−
=
Nếu ∆ = 0 : Phương trình có nghiệm
kép :
a
b
xx
2
21
−
==
Nếu ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm
nghiệm phân biệt:
a
b
x
''
1
∆+−
=
;
a
b
x
''
2
∆−−
=
- Nếu ∆' = 0 : Phương trình có
nghiệm kép:

a
b
xx
'
21
−
==
- Nếu ∆' < 0 : Phương trình vô
nghiệm
8. Hệ thức Viet và ứng dụng.
- Hệ thức Viet:
Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) thì:
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a
−

= + =





= =


- Một số ứng dụng:
+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình:
x
2
- Sx + P = 0
(Điều kiện S
2
- 4P ≥ 0)
+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0)
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:
x
1
= 1 ; x
2
=
c
a
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:
x
1
= -1 ; x

2
=
c
a
−
9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình
Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm
nào thích hợp với bài toán và kết luận
B. các dạng bài tập
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Bài toán: Rút gọn biểu thức A
 Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bước sau:
- Quy đồng mẫu thức (nếu có)
- Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
12
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
Dạng 2: Bài toán tính toán
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.
 Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn
biểu thức A
Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a
 Cách giải:
- Rút gọn biểu thức A(x).
- Thay x = a vào biểu thức rút gọn.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B
 Một số phương pháp chứng minh:
- Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
A = B ↔ A - B = 0
- Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp.
A = A
1
= A
2
= = B
- Phương pháp 3: Phương pháp so sánh.
A = A
1
= A
2
= = C
B = B
1
= B
2
= = C
- Phương pháp 4: Phương pháp tương đương.
A = B ↔ A' = B' ↔ A" = B" ↔ ↔(*)
(*) đúng do đó A = B
- Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết.
- Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp.
- Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ.
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B

 Một số bất đẳng thức quan trọng:
- Bất đẳng thức Cosi:
n
n
n
aaaa
n
aaaa


321
321
≥
++++
(với
0
321
≥
n
aaaa
)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
n
aaaa ====
321

- Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:
Với mọi số a
1
; a

2
; a
3
;…; a
n
; b
1
; b
2
; b
3
;…b
n
( )
) )( (
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
2
332211 nnnn
bbbbaaaababababa ++++++++≤++++

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
====
3
3
2
2
1
1
 Một số phương pháp chứng minh:
- Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa
A > B ↔ A - B > 0
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
13
A = B
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
- Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp
A = A
1
= A
2

= = B + M
2
> B nếu M ≠ 0
- Phương pháp 3: Phương pháp tương đương
A > B ↔ A' > B' ↔ A" > B" ↔ ↔(*)
(*) đúng do đó A > B
- Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu
A > C và C > B → A > B
- Phương pháp 5: Phương pháp phản chứng
Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tương
đương để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B.
- Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết.
- Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp.
- Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ.
Dạng 5: bài toán liên quan tới phương trình bậc hai
Bài toán 1: Giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0)
 Các phương pháp giải:
- Phương pháp 1: Phân tích đưa về phương trình tích.
- Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai
x
2
= a → x = ±
a
- Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm
Ta có ∆ = b
2
- 4ac
+ Nếu ∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a
b
x
2
1
∆+−
=
;
a
b
x
2
2
∆−−
=
+ Nếu ∆ = 0 : Phương trình có nghiệm kép

a
b
xx
2
21
−
==
+ Nếu ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm
- Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn
Ta có ∆' = b'
2
- ac với b = 2b'
+ Nếu ∆' > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a
b
x
''
1
∆+−
=
;
a
b
x
''
2
∆−−
=
+ Nếu ∆' = 0 : Phương trình có nghiệm kép

a
b
xx
'
21
−
==
+ Nếu ∆' < 0 : Phương trình vô nghiệm
- Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.
Nếu x
1
, x
2

là nghiệm của phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) thì:
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
14
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến







=
−
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phương trình luôn có hai nghiệm
phân biệt.
Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình bậc
hai ax
2

+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ).
 Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng
a. Trường hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m.
Giả sử a = 0 ↔ m = m
0
ta có:
(*) trở thành phương trình bậc nhất ax + c = 0 (**)
+ Nếu b ≠ 0 với m = m
0
: (**) có một nghiệm x = -c/b
+ Nếu b = 0 và c = 0 với m = m
0
: (**) vô định ↔ (*) vô định
+ Nếu b = 0 và c ≠ 0 với m = m
0
: (**) vô nghiệm ↔ (*) vô nghiệm
b. Trường hợp a ≠ 0: Tính ∆ hoặc ∆'
+ Tính ∆ = b
2
- 4ac
Nếu ∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
;
a

b
x
2
2
∆−−
=
Nếu ∆ = 0 : Phương trình có nghiệm kép :
a
b
xx
2
21
−
==
Nếu ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm
+ Tính ∆' = b'
2
- ac với b = 2b'
Nếu ∆' > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
''
1
∆+−
=
;
a
b
x

''
2
∆−−
=
Nếu ∆' = 0 : Phương trình có nghiệm kép:
a
b
xx
'
21
−
==
Nếu ∆' < 0 : Phương trình vô nghiệm
- Ghi tóm tắt phần biện luận trên.
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
 Có hai khả năng để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm:
1. Hoặc a = 0, b ≠ 0
2. Hoặc a ≠ 0, ∆ ≥ 0 hoặc ∆' ≥ 0
Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều
kiện 2. Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt.
 Điều kiện có hai nghiệm phân biệt




>∆
≠
0
0a
hoặc



>∆
≠
0
0
'
a
Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
15
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
 Điều kiện có một nghiệm:



≠
=
0

0
b
a
hoặc



=∆
≠
0
0a
hoặc



=∆
≠
0
0
'
a
Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c =
0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
 Điều kiện có nghiệm kép:



=∆

≠
0
0a
hoặc



=∆
≠
0
0
'
a
Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c =
0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.
 Điều kiện có một nghiệm:



<∆
≠
0
0a
hoặc



<∆

≠
0
0
'
a
Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
 Điều kiện có một nghiệm:



≠
=
0
0
b
a
hoặc



=∆
≠
0
0a
hoặc




=∆
≠
0
0
'
a
Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.
 Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:






>=
≥∆
0
0
a
c
P
hoặc






>=
≥∆
0
0
'
a
c
P
Bài toán 10 :Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dương.
 Điều kiện có hai nghiệm dương:










>−=
>=
≥∆
0
0
0

a
b
S
a
c
P
hoặc









>−=
>=
≥∆
0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax

2
+ bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.
 Điều kiện có hai nghiệm âm:










<−=
>=
≥∆
0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoặc










<−=
>=
≥∆
0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax
2
+ bx +
c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.
 Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a và c trái dấu.
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
16
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax
2

+ bx +
c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x
1
.
 Cách giải:
- Thay x = x
1
vào phương trình (*) ta có: ax
1
2
+ bx
1
+ c = 0 → m
- Thay giá trị của m vào (*) → x
1
, x
2
- Hoặc tính x
2
= S - x
1
hoặc x
2
=
1
x
P
Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax
2
+ bx +

c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn các điều kiện:
a.
γβα
=+
21
xx
b.
kxx =+
2
2
2
1
c.
n
xx
=+
21
11
d.
hxx ≥+
2
2
2
1
e.
txx =+

3
2
3
1
 Điều kiện chung: ∆ ≥ 0 hoặc ∆' ≥ 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:







==
=
−
=+
)2(.
)1(
21
21
P
a
c
xx
S
a
b
xx
a. Trường hợp:

γβα
=+
21
xx
Giải hệ





=+
−
=+
γβα
21
21
xx
a
b
xx
Thay x
1
, x
2
vào (2) → m
Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
b. Trường hợp:
kxxxxkxx =−+↔=+
21
2

21
2
2
2
1
2)(

Thay x
1
+ x
2
= S =
a
b−
và x
1
.x
2
= P =
a
c
vào ta có:
S
2
- 2P = k → Tìm được giá trị của m thoả mãn (*)
c. Trường hợp:
ncbxnxxxn
xx
=−↔=+↔=+
2121

21
.
11
Giải phương trình - b = nc tìm được m thoả mãn (*)
d. Trường hợp:
02
22
2
2
1
≥−−↔≥+ hPShxx

Giải bất phương trình S
2
- 2P - h ≥ 0 chọn m thoả mãn (*)
e. Trường hợp:
tPSStxx =−↔=+ 3
33
2
3
1
Giải phương trình
tPSS =−3
3
chọn m thoả mãn (*)
Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P của
chúng.
 Ta có u và v là nghiệm của phương trình:
x
2

- Sx + P = 0 (*)
(Điều kiện S
2
- 4P ≥ 0)
Giải phương trình (*) ta tìm được hai số u và v cần tìm.
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
17
x
1
, x
2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
Nội dung 6:
giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ
Bài toán1: Giải phương trình trùng phương ax
4
+ bx
2
+ c = 0
 Đặt t = x
2
(t≥0) ta có phương trình at
2
+ bt + c = 0
Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x
Bảng tóm tắt
at
2
+ bt + c = 0 ax
4

+ bx
2
+ c = 0
vô nghiệm vô nghiệm
2 nghiệm âm vô nghiệm
nghiệm kép âm vô nghiệm
1 nghiệm dương 2 nghiệm đối nhau
2 nghiệm dương
4 nghiệm
2 cặp nghiệm đối nhau
Bài toán 2: Giải phương trình
0)
1
()
1
(
2
2
=++++ C
x
xB
x
xA
 Đặt
x
x
1
+
= t ↔ x
2

- tx + 1 = 0
Suy ra t
2
= (
x
x
1
+
)
2
=
2
1
2
2
++
x
x
↔
2
1
2
2
2
−=+ t
x
x
Thay vào phương trình ta có:
A(t
2

- 2) + Bt + C = 0
↔ At
2
+ Bt + C - 2A = 0
Giải phương trình ẩn t sau đó thế vào
x
x
1
+
= t giải tìm x.
Bài toán 3: Giải phương trình
0)
1
()
1
(
2
2
=+−++ C
x
xB
x
xA
 Đặt
x
x
1
−
= t ↔ x
2

- tx - 1 = 0
Suy ra t
2
= (
x
x
1
−
)
2
=
2
1
2
2
−+
x
x
↔
2
1
2
2
2
+=+ t
x
x
Thay vào phương trình ta có:
A(t
2

+ 2) + Bt + C = 0
↔ At
2
+ Bt + C + 2A = 0
Giải phương trình ẩn t sau đó thế vào
x
x
1
−
= t giải tìm x.
Bài toán 4: Giải phương trình bậc cao
 Dùng các phép biến đổi đưa phương trình bậc cao về dạng:
+ Phương trình tích
+ Phương trình bậc hai.
Nội dung 7:
giải hệ phương trình
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
18
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến

Bài toán: Giải hệ phương trình



=+
=+
''' cybxa
cbyax
 Các phương pháp giải:
+ Phương pháp đồ thị

+ Phương pháp cộng
+ Phương pháp thế
+ Phương pháp đặt ẩn phụ
Nội dung 7:
giải phương trình vô tỉ

Bài toán 1: Giải phương trình dạng
)()( xgxf =
(1)
 Ta có
[ ]



=
≥
↔=
)3()()(
)2(0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp → nghiệm của (1)
Bài toán 2: Giải phương trình dạng
)()()( xgxhxf =+
 Điều kiện có nghĩa của phương trình







≥
≥
≥
0)(
0)(
0)(
xg
xh
xf
Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x.
Nội dung 8: giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Bài toán: Giải phương trình dạng
)()( xgxf
=
 Phương pháp 1:
)()( xgxf
=
↔
[ ] [ ]



=
≥
22
)()(

0)(
xgxf
xg
 Phương pháp 2: Xét f(x) ≥ 0 → f(x) = g(x)
Xét f(x) < 0 → - f(x) = g(x)
 Phương pháp 3: Với g(x) ≥ 0 ta có f(x) = ± g(x)
Nội dung 9:
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
 Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]
2n
,

n ∈Z → y ≤ M
Do đó y
max
= M khi g(x) = 0
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = m + [h(x)]
2k
k∈Z → y ≥ m
Do đó y
min
= m khi h(x) = 0
 Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
19
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến

 Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức.
Nội dung 10:
các bài toán liên quan đến hàm số
* Điểm thuộc đường - đường đi qua một điểm
Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(x
A
;y
A
). Hỏi (C)
có đi qua A không?
 Đồ thị (C) đi qua A(x
A
;y
A
) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng
phương trình của (C) A∈(C) ↔ y
A
= f(x
A
)
Dó đó tính f(x
A
)
Nếu f(x
A
) = y
A
thì (C) đi qua A.
Nếu f(x
A

) ≠ y
A
thì (C) không đi qua A.
* sự tương giao của hai đồ thị
Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số
y = f(x) và y = g(x)
Hãy khảo sát sự tương giao của hai đồ thị
 Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phương trình hoành độ
điểm chung:f(x) = g(x) (*)
- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung.
- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau.
- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung.
- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung.
* lập phương trình đường thẳng
Bài toán 1: Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
)
và có hệ số góc bằng k.
 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b (*)
- Xác định a: ta có a = k
- Xác định b: (D) đi qua A(x
A
;y
A
) nên ta có y
A
= kx
A

+ b → b = y
A
- kx
A
- Thay a = k; b = y
A
- kx
A
vào (*) ta có phương trình của (D)
Bài toán 2: Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
);
B(x
B
;y
B
)
 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b
(D) đi qua A và B nên ta có:



+=
+=
b ax y
b ax y
BB
AA

Giải hệ ta tìm được a và b suy ra phương trình của (D)
Bài toán 3: Lập phương trình của đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp
xúc với đường cong (C): y = f(x)
 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b
Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm được b
và suy ra phương trình của (D)
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
20
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
Bài toán 3: Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
)
k và tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)
 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b
Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép.
Từ điều kiện này ta tìm được hệ thức liên hệ giữa a và b (**)
Mặt khác: (D) qua A(x
A
;y
A
) do đó ta có y
A
= ax
A

+ b (***)
Từ (**) và (***) → a và b → Phương trình đường thẳng (D).
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
21
PHẦN II: HÌNH HỌC CHƯƠNG I
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
b
2
= ab'
2
.AC BC CH
=

c
2
= ac'
2
.AB BC BH
=
h
2
= b'c'
2
.AH HB HC
=

ah = bc
. .AH BC AB AC

=
a
2
= b
2
+ c
2
2 2 2
BC AB AC
= +


222
111
cbh
+=

2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn .
0 < sinα < 1 0 < cossα < 1

α
α
α
cos
sin
=tg

α
α
α
sin
cos
cot =g
sin
2
α + cos
2
α = 1
tgα.cotgα = 1
α
α
2
2
cos
1
1 =+ tg

α
α
2
2
sin
1
cot1 =+ g
3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
b = asinB = acosC

b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
CHƯƠNG II : Đường tròn.
- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường
tròn.
- Tâm đối xứng, trục đối xứng : Đường tròn có một tâm đối xứng; có vô số trục đối
xứng.
- Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
Trong một đường tròn
+ Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc
với dây ấy.
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
- Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
22
a
b'
c'
b

c
h
H
B
C
A
b
a
c
C
B
A
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơ
- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
Vị trí tương đối
Số điểm
chung
Hệ thức liên hệ
giữa d và R
- Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
2 d < R
- Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc
nhau
1 d = R
- Đường thẳng và đường tròn không giao
nhau
0 d > R
- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
Vị trí tương đối

Số
điểm
chung
Hệ thức liên hệ giữa d
và R
- Hai đường tròn cắt nhau
2 R - r < OO' < R + r
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài
+ Tiếp xúc trong
1
OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai đường tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ở ngoài nhau OO' > R + r

GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
23
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
+ (O) đựng (O')
+ (O) và (O') đồng tâm

0 OO' < R - r
OO' = 0
5. Tiếp tuyến của đường tròn
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp
điểm.
- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính

+ Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi
qua điểm đó.
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
+ MA = MB
+ MO là phân giác của góc AMB
+ OM là phân giác của góc AOB
- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn: là
đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó:
Tiếp tuyến chung ngoài Tiếp tuyến chung trong
CH ƯƠNG III Góc với đường tròn
Loại góc Hình vẽ Công thức tính số đo
1. Góc ở tâm
·
»
AOB sd AB=
2. Góc nội tiếp

·
»
1
2
AMB sd AB=
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
24
B
O
A
M
d'

d
O'
O
d'
d
O'
O
B
A
O
M
B
A
O
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biến
3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung.

·
»
1
2
xBA sd AB=
4. Góc có đỉnh ở bên trong
đường tròn
·
»
»
1
( )

2
AMB sd AB sdCD= +
5. Góc có đỉnh ở bên ngoài
đường tròn
·
»
»
1
( )
2
AMB sd AB sdCD= −
 Chú ý: Trong một đường tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm
cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội
tiếp thì chắn nửa đường tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung
thì bằng nhau.
7. Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2πR = πd
- Độ dài cung tròn n
0
bán kính R :
180
Rn

l
π
=
8. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = πR
2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n
0
:
2
360 2
R n lR
S
π
= =
9. Các loại đường tròn
Đường tròn ngoại
tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp
tam giác
Đường tròn bàng tiếp
tam giác
GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880
25
x
B
A
O
M
D

C
B
A
O
O
B
A
D
C
M