Ôn tập công thức lượng giác

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!


LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN
[Link tham gia khóa học: Khóa LTĐH môn Toán 2015]

MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( ) ( )
π 3π
sin π cos cot 2π tan
2 2
A x x x x
   
= + + − + − + −
   
   

b)
( )
3π 5π
sin .cos 3π .cot
2 2
B x x x
   
= + − +
   
   

c)
(
)
0 0
0 0 0
2sin 2550 .cos 188
1
tan368 2cos638 cos98
C
−
= +
+

Lời giải:
a)
( ) ( )
π
3
π
sin
π
cos cot 2
π
tan
2 2
A x x x x
   
= + + − + − + −
   
   

π
sin sin cot tan
π
cot cot 0
2
x x x x x x
 
= − + − + + − = − + =
 
 

b)
( ) ( )
3
π
5
π π π
sin .cos 3
π
.cot sin
π
.cos
π
2
π
.cot 2
π
2 2 2 2

B x x x x x x
       
= + − + = + + − − + +
       
       


π π
sin .cos(
π
).cot cos .( cos ).( tan ) sin cos
2 2
x x x x x x x x
   
= − + − + = − − − = −
   
   

c)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0

0 0 0 0
2sin 2550 .cos 188 2sin 7.360 30 . os 180 8
1 1
7
tan368 2cos638 cos98
tan 360 8
2cos 180 . 8 os 90 8
2
c
C
c
− + − −
= + = +
+
 
+
+ + +
 
 


0 0
0
1 2sin30 .( cos8 ) 1 cos8 2
tan8 2sin8 sin8 tan8 sin8 tan8
− −
= + = + =
−

Ví dụ 2: [ĐVH]. Ch

ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau
a)
11
π 21π 9π 29π 2π
sin sin sin sin 2cos
10 10 10 10 5
         
+ + − + − = −
         
         

b)
(
)
( )
0 0 0 0
2 0
0 0 0 0
sin515 .cos 475 cot222 .cot408
1
cos 25
2
cot415 .cot 505 tan197 .tan73
− +
=

− +

c)
(
)
(
)
0 0 0 0
tan105 tan 285 tan 435 tan 75 0
+ − − − − =

Lời giải:
a)
11
π
21
π
9
π
29
π
sin sin sin sin
10 10 10 10
A
       
= + + − + − =
       
       

9

π
21
π
9
π
21
π
sin 2
π
sin sin sin 5
π
10 10 10 10
       
= − + + − + − =
       
       

01. ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC – P2

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
9
π 21π 9π 21π 9π 9π π 2π
sin sin sin sin 2sin 2cos 2cos
10 10 10 10 10 10 2 5
 
= − + − − = − = − − = −
 
 

b)
(
)
( )
0 0 0 0
0 0 0 0
sin515 .cos 475 cot222 .cot 408
cot 415 .cot 505 tan197 .tan73
B
− +
= =
− +

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 2
0 0 0 0
sin(360 180 25 ).cos( 360 90 25 ) cot(180 42 ).cot
(360 48 )
cot(360 55).cot( 360 90 55) tan(180 17).tan(90 17)
sin 25 .( sin 25 ) cot 42 .cot(90 42 ) sin 25 1 cos 25
cot55 .tan55 tan17 .cot17 2
+ + − − − + + +
= =
+ − − − + + −
− + − − +
= = =
+
0
2

c)
(
)
(
)
0 0 0 0
tan105 tan 285 tan 435 tan 75
C = + − − − −

(
)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
tan(180 75 ) tan(360 75 ) tan( 360 75 ) tan 75
tan75 tan75 tan 75 tan75 0
= − + − − − − − − =
= − − + + =


Ví dụ 3:

[ĐVH].
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau

a)
π
tan
4
A x
 
= −
 
 
, v
ớ
i
9 3
π
cos ; π
41 2
x x= − < <
b)
Cho
a, b
là các góc nhọn thỏa mãn:

8 5
sin , tan
17 12
a b
= =
Tính:
(
)

(
)
(
)
sin , cos , tan
a b a b a b
− + −

Lời giải:
a)
2 2
9 81 1600 40
cos sin 1 cos 1 sin
41 1681 1681 41
x x x x
= − ⇔ = − = − = ⇒ = ±

Do
3
π 40 sin 40
π sin 0 sin tan
2 41 cos 9
x
x x x x
x
< < → < → = − → = =
Từ đó ta được
40
π
1

tan tan
π 31
9
4
tan .
π 40
4 49
1 tan tan 1
4 9
x
A x
x
−
−
 
= − = = =
 
 
+ +

b)
Ta có:




8 15
sin a cosa
17 17
= → = ±

Do
a
là góc nhọn
15 8
cos 0 cos tan .
17 15
a a a⇒ > → = → =




5 5
tan sin cos
12 12
b b b
= ⇔ =
Từ đó ta có
2 2
5
5
sin
sin cos
13
12
12
cos
sin cos 1
13
b

b b
b
b b


= ±

=
 
⇔
 
 
= ±
+ =




Do b là góc nhọn nên
5
sin
13
sin 0; cos 0
12
cos
13
b
b b
b


=


> > →


=



•
8 12 15 5 21
sin( ) sin cos cos sin . .
17 13 17 13 221
a b a b a b− = − = − =

•
15 12 8 5 140
cos( ) cos cos sin sin . .
17 13 17 13 221
a b a b a b+ = − = − =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
•
8 5
tan tan 21
15 12
tan( )
8 5

1 tan tan 220
1 .
15 12
a b
a b
a b
−
−
− = = =
+
+

Ví dụ 4: [ĐVH]. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a)
2 2 2
π π
cos cos cos
3 3
A x x x
   
= + + + −
   
   

b)
3 3
3cos cos3 3sin sin3
cos sin
x x x x
B

x x
− +
= +
Lời giải:
a)
Cách 1 :
2 2
2 2 2 2
π π π π π π
cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin
3 3 3 3 3 3
A x x x x x x x x
       
= + + + − = + − + +
       
       
2 2 2 2 2
1 3 3 1 3 3
cos cos sin cos sin cos sin cos sin
4 2 4 4 2 4
x x x x x x x x x
= + − + + + + =

2 2
3 3 3
cos sin
2 2 2
x x
= + =

Cách 2: S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c:
2 2 2
2π 2π
1 cos 2 1 cos 2
π π 1 cos2
3 3
cos cos cos
3 3 2 2 2
x x
x
A x x x
   
+ + + −
   
+
   
   
= + + + − = + + =
   
   

3 1 1 2π 2π 3 1 1 2π
cos2 cos 2 cos 2 cos2 2cos2 .cos
2 2 2 3 3 2 2 2 3
x x x x x
 
     
= + + + + − = + + =
   
 
 
     
 

3 1 2
π
3 1 1 3 3
cos2 cos2 .cos cos2 cos2 .
2 2 3 2 2 2 2 2
x x x x A
= + + = + − = → =

V
ậ
y bi
ể
u th
ứ
c A không ph
ụ

thu
ộ
c vào bi
ế
n x.
b) Ta có
3 3 3 3 3 3
3cos cos3 3sin sin3 3cos 4cos 3cos 3sin 4sin 3sin
cos sin cos sin
x x x x x x x x x x
B
x x x x
− + − + − +
= + = +
3 3
2 2
cos 3cos sin 3sin
cos sin 6 5
cos sin
x x x x
x x
x x
− + − +
= + = − − + =

V
ậ
y bi
ể
u th

ứ
c B không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n x.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau
a)
(
)
(
)
2 2
2 2
sin sin
tan tan
cos .cos
a b a b
a b
a b
+ −
− =

b)
4 4
1 3
sin cos cos4
4 4
x x x
+ = +

c)
2 2
6 2cos4
cot tan
1 cos4
x
x x
x
+
= +
−

Lời giải:
a)
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin sin sin .cos sin .cos
tan tan
cos cos cos .cos
a b a b b a
a b

a b a b
−
− = − =
2 2 2 2
(sin cos sin cos )(sin cos sin cos ) sin( )sin( )
cos .cos cos .cos
a b b a a b b a a b a b
a b a b
− + − +
= =
b)
( )
2
4 4 2 2 2 2
1 1 3 1
sin cos sin cos 2(sin cos ) 1 2. sin 2 1 (1 cos4 ) cos4
4 4 4 4
x x x x x x x x x
+ = + − = − = − − = +
c)
2 2 4 4
2 2
2 2 2 2
sin cos sin cos
tan cot
cos sin sin cos
x x x x
x x
x x x x
+

+ = + =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
( )
2
2
2 2 2
2
2
1 1 1
4 1 sin 2 4 1 cos4
sin cos 2(sin cos )
6 2cos4
2 4 4
1 1 cos4
sin 2 1 cos4
sin 2
4 2
x x
x x x x
x
x
x x
x
   
− − +
   
+ −
+
   

= = = =
−
−

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau:
a)
sin sin .cos sin .cos
A B C C B
= +

b)
tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C
+ + =

Lời giải:
a)
sin cos cos sin sin( ) sin(
π
) sinB C B C B C A A
+ = + = − = →
đ
pcm.
b)
sin sin sin
tan tan tan
cos cos cos
A B C
A B C
A B C

+ + = + + =


sin cos cos sin cos cos sin cos cos
cos cos cos
cos (sin cos sin cos ) sin cos cos
cos cos cos
cos sin( ) sin cos cos cos .sin sin cos cos
cos cos cos cos cos cos
sin (cos cos cos )
cos cos
A B C B A C C A B
A B C
C A B B A C A B
A B C
C A B C A B C C C A B
A B C A B C
C C A B
A
+ +
=
+ +
=
+ + +
= =
−
=
[ ]
sin cos( ) cos cos
sin sin sin

tan .tan .tan
cos cos cos cos cos cos cos
C A B A B
C B A
A B C
B C A B C A B C
− + −
= = =

Nhận xét:
Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp. Ngoài ra chúng ta có thể thực
hiện phép biến đổi theo hương khác nhanh gọn hơn như sau
( ) ( )
tanA tan
π π
tan tan
π
tan
1 tan A.tan
B
A B C A B C A B C C
B
+
+ + = ⇔ + = − → + = − ⇔ = −
−

tan tan tan tan .tan .tan tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C A B C A B C dpcm
⇔ + = − + ⇔ + + = →

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
( )
11π 11π
cos 5π 2sin sin
2 2
A x x x
   
= + − − − +
   
   

b)
( ) ( )
π 3π
cos cos π cos cos 2π
2 2
B x x x x
   
= − + − + − + −
   
   

Bài 2:

[ĐVH].
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3π 3π 7π 7π
cos sin cos cos
2 2 2 2
       
= − − − + − −
       
       
A x x x x

b)
( )
5π 11π 7π
sin cos 3sin 5
π tan .tan( )
2 2 2
     
= − − − − − + − −
     
     
B x x x x x

Bài 3:

[ĐVH].
Rút gọn các biểu thức sau:

( )
3π π 3π
cos π sin tan cot
2 2 2
A x x x x
     
= − + − − + −
     
     

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0
sin 270 2sin 450 cos 900 2sin 720 cos 540
B x x x x x
= − − − + + + − + −

Bài 4:

[ĐVH].
Rút g
ọ

n các bi
ể
u th
ứ
c sau:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
3
π 3π 7π
tan .cos sin
2 2 2
π 3π
cos .tan
2 2
     
− + − −
     
     
=
   
− +
   
   
x x x
A
x x

( ) ( ) ( )
2 2
11π 3π 13π

1 tan 1 cot 3
π .cos sin 11π .cos sin 7π
2 2 2
 
     
 
= + − + − + − − −
     
 
 
     
 
B x x x x x x
Bài 5: [ĐVH]. Cho
4 4
98
3sin 2cos .
81
x x+ = Tính giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
4 4
2sin 3cos .
A x x
= +
Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)
(
)
0 0
0 0 0
cos 20 .sin 70
1
sin160 .cos340 .tan 250
−
=

b
b
)
)


2 2
2 2
2 2
cos sin
sin cos
cot tan
x x
x x
x x
−
=
−

Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )
1
cot572 tan( 212 )
− − −
− = −
−

b)
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
x x x
x x x x
+ +
=
+ +

c)
4 4
6 6
1 cos sin 2

1 sin cos (2
π ) 3
x x
x x
− −
=
− − −

Bài 8: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
π π 2
sin sin sin 2
8 8 2
x x x
   
+ − − =
   
   
b)
sin (1 cos2 ) sin 2 .cos
x x x x
+ =

c)
1 2
tan
tan tan 2
x
x x

− = − d)
1
tan 1 tan
2 cos
x
x
x
 
+ =
 
 

Bài 9:

[ĐVH].
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
π π π π
sin .cos sin .cos
3 4 4 3
A x x x x
       
= − − + − −
       
       

sin 4 .cot 2 cos4
B x x x
= −

π π π π
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
C x x x x
       
= − + − + −
       
       

π 2π
tan tan tan
3 4
D x x x
   
= + + + +
   
   

Bài 10:

[ĐVH].
Rút gọn các biểu thức sau
2
π
1 sin 2sin

4 2
4cos
2
x
x
E
x
 
+ − −
 
 
=
3 3
cos .sin sin .cos
sin 2 .cos 2
x x x x
F
x x
−
=
sin 4 .cos 2
(1 cos4 )(1 cos2 )
x x
G
x x
=
+ +

2 2
2 2

sin 2 4sin
sin 2 (4sin 4)
x x
H
x x
−
=
+ −

Bài 11:

[ĐVH].
Rút gọn các biểu thức sau
2
2(sin 2 2cos 1)
cos sin cos3 sin3
x x
I
x x x x
+ −
=
− − +

cos sin cos sin
cos sin cos sin
x x x x
J
x x x x
+ −
= −

− +

sin sin3 sin5 sin7
cos cos3 cos5 cos7
x x x x
K
x x x x
+ + +
=
+ + +

1 1 1 1 1 1
π
cos , 0
2 2 2 2 2 2 2
L x x
 
= + + + < <
 
 

Bài 12:

[ĐVH].
Chứng minh các đẳng thức sau
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
a)
2 2
2 2

tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
a a
a a
a a
−
=
−
b)
π π
sin sin 2 sin
4 4
a a a
   
+ − − =
   
   

Bài 13:

[ĐVH].
Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau
a)

(
)
(
)
2 2
2 2
sin sin
cos .sin
1 tan .cot
a b a b
a b
a b
− +
= −
−
b)
(
)
(
)
2 2
2 2
cos cos
1 tan .tan
cos .cos
a b a b
a b
a b
− +
= −

Bài 14:

[ĐVH].
Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau
a)
4
1 3
4cos 2cos2 cos4
2 2
x x x
− − =
b)
3 3
sin 4
cos .sin sin .cos
4
x
x x x x− =

Bài 15:

[ĐVH].
Cho

x a
vôùi a b
a b a b
4 4
sin cos 1
, , 0.
+ = >
+

Ch
ứ
ng minh:
x x
a b a b
8 8
3 3 3
sin cos 1
( )
+ =
+
.
Bài 16:

[ĐVH].
Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ

c sau:
a)
π
1 cos
π
2
tan . 1
π
4 2
sin
2
 
+ +
 
 
 
+ =
 
 
 
+
 
 
x
x
x
b)
π 1 sin 2
tan
4 cos2

+
 
+ =
 
 
x
x
x

Bài 17: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
cos π
cot
1 sin 4 2
 
= −
 
−  
x x
x
b)
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
−
=
−
x x

x x
x x

Bài 18: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x x x
3 3
1
sin .cos cos .sin sin4
4
− =
b)
6 6 2
1
sin cos cos (sin 4)
2 2 4
− = −
x x
x x
c)
2
2
1 sin
1
π π
2cot .cos
4 4
−
=
   

+ −
   
   
x
x x

Bài 19: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
cot tan 2tan 2 4cot 4
− − =
x x x x
b)
x x
x x
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin4 1 tan2
− +
=
− −

Bài 20: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
c)
2
6
6 2
1 3tan
tan 1
cos cos
− = +

x
x
x x
d)
1 sin 2 cos2
tan 4
cos4 sin 2 cos2
−
− =
+
x x
x
x x x

Bài 21: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
e)
tan6 tan 4 tan 2 tan 2 .tan 4 .tan 6
− − =
x x x x x x

f)
sin 7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin
= + + +
x
x x x
x

g)

cos5 .cos3 sin 7 .sin cos2 .cos4
+ =
x x x x x x