Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian

1
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1 Không gian Hilbert và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Đạo hàm Frechet và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . 9
Chương 2: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình
parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Khái niệm về đánh giá ổn định và các ví dụ minh họa . . . . . . . .12
2.3 Đánh giá ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
LỜI NÓI ĐẦU
Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặt không
chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định. Các đánh giá này cho ta biết bài
toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp số
hữu hiệu. Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong việc
chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh
khi giải bài toán đặt không chỉnh. Cho đến nay, các đánh giá ổn định cho
phương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu cho phương
trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian và điều kiện biên
thuần nhất ([5]). Các đánh giá thường chỉ nhận được cho chuẩn L
2
, rất
ít kết quả nhận được cho các chuẩn khác. Với mục đích nghiên cứu về
các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic phi tuyến ngược thời
gian, dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức,
chúng tôi đã tiếp cận hướng nghiên cứu này và thực hiện đề tài:"Các kết

quả đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tựa tuyến tính
ngược thời gian". Ngoài phần Mở đầu và Kết luận nội dung luận văn
gồm hai chương:
Chương 1:Một số kiến thức bổ trợ
Chương 2:Các kết quả đánh giá ổn định phương trình parabolic tựa
tuyến tính ngược thời gian
Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến thức bổ trợ cho nội dung
phần chương 2, cụ thể là trình bày một số kiến thức về không gian Hilbert
và về đạo hàm Frechet.
Trong chương 2 chúng tôi đề xuất một kết quả đánh giá ổn định phương
trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian dạng
2
3

u
t
+ A(t, u)u = f(t, u(t)), 0 < t  T,
u(T ) −ϕ  
với ràng buộc u
i
(0)  E, i=1,2, E và là các số thực dương, A(t, u) là
hàm thoả mãn điều kiện
A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2

, u
1
− u
2
  0, ∀t ∈ [0, T ]
còn f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
f(t, w
1
) −f(t, w
2
)  kw
1
− w
2

với hằng số k  0 không phụ thuộc vào t, w
1
,và w
2
.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Đức và sự giúp đỡ của các thầy
cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán-trường Đại học Vinh cùng với gia
đình và bạn bè. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS.
Nguyễn Văn Đức -người đã dành cho tác giả sự quan tâm giũp đỡ tận
tình và chu đáo trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn.
Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến khoa Toán, khoa Sau đại
học, các thầy cô trong tổ Giải tích -khoa Toán - Đại học Vinh đã giúp đỡ
tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Vì khả năng bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn chắc hẳn sẽ không
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận đươc sự góp ý của
quý thầy cô và các bạn.
Nghệ An,năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh Tình
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1 Không gian Hilbert và các tính chất cơ bản
1.1.1 Định nghĩa. ([1]) Ta kí hiệu K là trường số thực R hoặc trường
số phức C.
Một không gian vectơ ( hay không gian tuyến tính) trên K là một tập
E = ∅, trong đó có một phép cộng E × E → E và phép nhân vô hướng
K ×E → E, thỏa mãn các điều kiện
1) (x + y) + z = x + (y + z);
2) x + y = y + x;
3) ∃θ ∈ E, x + θ = θ + x = x;
4) ∃ −x ∈ E, x + (−x) = θ;
5) λ(x + y) = λx + λy;
6) (λ + µ)x = λx + µy;
7) (λµ)x = λ(µx);
8) 1 ·x = x
với ∀x, y, z ∈ E, ∀λ, µ ∈ K.
Các phần tử của không gian vectơ được gọi là các vectơ.
1.1.2 Định nghĩa. ([1]) Cho X là không gian tuyến tính thực.
Ánh xạ . : X → R được gọi là chuẩn nếu
(i)u  0, ∀u ∈ X; u = 0 ⇔ u = 0;
(ii)λu = |λ|u, ∀u ∈ X, ∀λ ∈ R;
(iii)u + v  u + v, ∀u, v ∈ X.
5

Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyến
tính định chuẩn.
Không gian tuyến tính, định chuẩn, đầy đủ được gọi là không gian
Banach.
1.1.3 Định nghĩa. ([1]) Cho H là không gian tuyến tính thực.
Ánh xạ ., . : H × H → R được gọi là tích vô hướng nếu
(i)u, v = v, u, ∀u, v ∈ H;
(ii)ánh xạ u → u, v là tuyến tính với ∀v ∈ H;
(iii)u, u  0;
(iv)u, u = 0 ⇔ u = 0.
Không gian Banach với chuẩn được sinh ra bởi một tích vô hướng được
gọi là không gian Hilbert.
1.1.4 Bổ đề. ([1])(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) Giả sử H là không
gian Hilbert, khi đó
u, v  uv, ∀u, v ∈ H.
1.1.5 Định lý. ([1]) Nếu H là không gian Hilbert thì tích vô hướng trên
H là ánh xạ liên tục: H × H → K, nghĩa là nếu (u
n
, v
n
) ⊂ H × H mà
(u
n
, v
n
) → (u, v) ∈ H × H thì u
n
, v
n
 → u, v.

1.1.6 Định nghĩa. ([1]) Giả sử H là không gian Hilbert, u và v ∈ H.
Hai véctơ u, v được gọi là trực giao với nhau (viết u⊥v) nếu u, v = 0.
1.1.7 Định lý. ([1]) Giả sử H là không gian Hilbert, u và v ∈ H. Khi
đó, nếu u⊥v thì
u + v
2
= u
2
+ v
2
.
1.1.8 Định lý. ([1])(Đẳng thức bình hành)
Giả sử H là không gian Hilbert, u và v ∈ H, khi đó
u + v
2
+ u − v
2
= 2(u
2
+ v
2
).
6
1.1.9 Định nghĩa. ([1]) Giả sử H là không gian Hilbert, u ∈ H; G ⊂ H;
F ⊂ H.
Ta nói u được gọi là trực giao với G, u⊥G nếu u⊥v, ∀v ∈ G.
F được gọi là trực giao với G nếu u⊥G, ∀u ∈ F.
Giả sử H, G là hai không gian Hilbert, G ⊂ H. Đặt
G
⊥

={u ∈ H: u⊥G được gọi là phần bù trực giao.
1.1.10 Định lý. ([1]) G
⊥
là không gian con đóng của H.
1.1.11 Định lý. ([1]) Nếu H là không gian định chuẩn mà chuẩn trên H
thỏa mãn đẳng thức bình hành thì tồn tại một tích vô hướng trên H sao
cho chuẩn sinh bởi tích vô hướng trùng với chuẩn ban đầu trên H.
1.1.12 Định nghĩa. ([1]) Cho X và Y là các không gian Banach thực.
(i) Ánh xạ A : X → Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu
A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λ, µ ∈ R.
(ii) Toán tử tuyến tính A : X → Y được goi là bị chặn nếu
A := sup{Au
Y
|u
X
 1} < ∞.
1.1.13 Định nghĩa. ([1]) Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng
., ..
(i)Ta kí hiệu L(H) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H
vào H. Với mọi A ∈ L(H) , B ∈ L(H) được gọi là toán tử liên hợp của
A nếu
Au, v = u, Bv, ∀u, v ∈ H.
Trong trường hợp này, ta kí hiệu B = A
∗
.
(ii) A được gọi là tự liên hợp nếu A
∗
= A.
1.1.14 Định lý. Giả sử A : H → H là toán tử tự liên hợp, khi đó
(i) giá trị riêng của A là số thực;

(ii) các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao.
7
Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm toán tử không bị chặn trong
không gian Hilbert và các tính chất liên quan.Các kết qủa trong phần này
được chúng tôi tham khảo trong các tài liệu [2] và [16].
Giả sử H, G là hai không gian Hilbert trên trường K. Khi đó H × G
là một không gian với tích vô hướng được xây dựng như sau :
(H × G) ×(H ×G) → K
(x, y), (s, t) −→ x, s
H
+ y, t
G
với x, s ∈ H, y, t ∈ G ; (x, y) = (x
2
H
+ y
2
G
)
1
2
, ∀(x, y) ∈ H × G.
1.1.15 Định nghĩa. Toán tử A từ H vào G là toán tử tuyến tính trên
không gian con tuyến tính D(A) của H với giá trị trong G. D(A) được
gọi là miền xác định của A và R(A) := {Ax : x ∈ D(A)} được gọi là
miền giá trị của A.
Một toán tử A từ H vào G được gọi là xác định trù mật nếu D(A) trù
mật trong H. Không gian con tuyến tính G(A) := {(x, Ax) : x ∈ D(A)}
của H × G được gọi là đồ thị của A.
Nếu A, B là các toán tử từ H vào G thì B được gọi là một thác triển

của A hoặc A được gọi là cái thu hẹp của B nếu G(A) ⊂ G(B). Khi đó
ta kí hiệu : A ⊂ B.
1.1.16 Bổ đề. Nếu A là một toán tử xác định trù mật từ H vào G. Khi
đó có các kết luận sau
1) D(A
∗
) := {y ∈ G : x −→ Ax, y là liên tục trên D(A)} là một
không gian con tuyến tính của G.
2) Với mỗi y ∈ D(A
∗
) thì có duy nhất A
∗
y ∈ H với Ax, y = x, A
∗
y
với mọi x ∈ D(A).
3) A
∗
: D(A
∗
) → H là tuyến tính.
1.1.17 Định nghĩa. Nếu A là toán tử xác định trù mật từ H vào G thì
toán tử A
∗
từ G vào H thỏa mãn
Au, v = u, A
∗
v, ∀u, v ∈ H
8
được gọi là toán tử liên hợp của A. Nếu A ∈ L(H, H) và A

∗
= A thì A
được gọi là toán tử tự liên hợp. Nếu A ∈ L(H, G) và A
∗
= A
−1
thì A
được gọi là toán tử Unita.
1.1.18 Mệnh đề. Với A, B là các toán tử xác định trù mật trong H và
A ⊂ B thì B
∗
⊂ A
∗
.
1.1.19 Định nghĩa. Một toán tử A từ H vào G được gọi là đóng nếu
G(A) là đóng trong H ×G. A được gọi là đóng hóa được nếu G(A) là đồ
thị của một toán tử B nào đó. Khi đó ta gọi B là bao đóng của A và viết
A thay cho B.
1.1.20 Mệnh đề. Với mọi toán tử xác định trù mật A từ H vào G ta có
1) A
∗
là toán tử đóng với N(A
∗
) = R(A)
⊥
, trong đó N(A
∗
) = ker A
∗
.

2) A
∗
là xác định trù mật khi và chỉ khi A đóng hóa được.
3) Nếu A đóng hóa được thì A = (A
∗
)
∗
= A
∗∗
.
1.1.21 Hệ quả. Nếu A là toán tử đóng, xác định trù mật từ H vào G
thì A
∗
là đóng, xác định trù mật và A = A
∗∗
.
1.1.22 Định nghĩa. Cho A là một toán tử đơn ánh từ H vào G. Khi
đó, toán tử A
−1
từ G vào H xác định trên D(A
−1
) := R(A), được gọi là
toán tử nghịch đảo của A.
1.1.23 Nhận xét. Với A là toán tử đơn ánh, ta có
G(A
−1
) = {(y, A
−1
y) : y ∈ D(A
−1

)} = {(Ax, x) : x ∈ D(A)}.
Do đó, toán tử đơn ánh A là đóng khi và chỉ khi A
−1
là đóng.
1.1.24 Mệnh đề. Cho A là một toán tử đơn ánh, xác định trù mật từ
H vào G với R(A) trù mật trong G. Khi đó, A
∗
là đơn ánh và (A
−1
)
∗
=
(A
∗
)
−1
.
9
1.2 Đạo hàm Frechet và các tính chất cơ bản
1.2.1 Định nghĩa. ([11]) Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn,
U là tập con mở của X. Ánh xạ F : U → Y được gọi là khả vi Frechet
tại ϕ ∈ U nếu tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn F

[ϕ] : X → Y sao cho:
lim
h→0
1
h

F (ϕ + h) − F (ϕ) −F


[ϕ]h

= 0.
F

[ϕ] được gọi là đạo hàm Frechet của F tại ϕ. F được gọi là khả vi
Frechet nếu nó khả vi Frechet tại mọi ϕ ∈ U.
F được gọi là khả vi liên tục nếu F khả vi và F

: U → L(X, Y ) liên
tục.
1.2.2 Định lý. ([11]) Giả sử F : U ⊂ X → Y khả vi Frechet và Z là
không gian định chuẩn. Khi đó:
1. Đạo hàm Frechet của F xác định duy nhất.
2. Nếu G : U → Y khả vi Frechet thì αF + βG khả vi Frechet với
∀α, β ∈ K và
(αF + βG)

[ϕ] = αF

[ϕ] + βG

[ϕ], ϕ ∈ U.
3. Nếu G : Y → Z khả vi Frechet thì G ◦F : U → Z khả vi Frechet và
(G ◦F )

[ϕ] = G

[F (ϕ)]F


, ϕ ∈ U.
4. Ánh xạ song tuyến tính bị chặn b : X ×Y → Z khả vi Frechet và
b

[(ϕ
1
, ϕ
2
)](h
1
, h
2
) = b(ϕ
1
, h
2
) + b(h
1
, ϕ
2
)
với ∀ϕ
1
, h
1
∈ X và ϕ
2
, h
2

∈ Y.
5. Giả sử X, Y là các không gian Banach và U ⊂ L(X, Y ) là toán tử
ngược bị chặn khác rỗng. Khi đó, ánh xạ inv : U → L(X, Y ) xác định bởi
inv(T ) := T
−1
khả vi Frechet và
inv

[T ]H = −T
−1
HT
−1
10
với T ∈ U và H ∈ L(X, Y ).
CHƯƠNG 2
CÁC KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC TỰA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN
Trong chương này, chúng tôi đánh giá ổn định cho phương trình parabolic
tựa tuyến tính ngược thời gian

u
t
+ A(t, u)u = f(t, u(t)), 0 < t  T,
u(T ) − ϕ  
với ràng buộc u
i
(0)  E, i=1,2; E,  là các số thực dương, E > , trong
đó A(t, u) là hàm thỏa mãn điều kiện
A(t, u
1

)u
1
− A(t, u
2
)u
2
, u
1
− u
2
  0, ∀t ∈ [0, T ]
và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
f(t, w
1
) −f(t, w
2
)  kw
1
− w
2

với hằng số k  0 không phụ thuộc vào t, w
1
và w
2
. Chúng tôi chứng
minh rằng, nếu u
i
(0)  E, i = 1, 2; E >  thì tồn tại một hàm đơn
điệu tăng bị chặn ν và một hàm bị chặn c(t) sao cho

u
1
(t) −u
2
(t)  c(t)
ν(t)
E
1−ν(t)
.
2.1 Giới thiệu bài toán
Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng ., . và chuẩn.. Giả sử
ϕ ∈ H,  là một số dương và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
f(t, w
1
) −f(t, w
2
)  kw
1
− w
2

11
12
với hằng số k  0 không phụ thuộc vào t, w
1
và w
2
. Xét phương trình
parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian


u
t
+ A(t, u)u = f(t, u(t)), 0 < t  T,
u(T ) − ϕ  
với  > 0.
2.2 Khái niệm về đánh giá ổn định và các ví dụ
minh họa
Giả sử ta cần giải phương trình
Au = f
với A là toán tử (tuyến tính hoặc phi tuyến) từ không gian hàm X vào
không gian hàm Y nào đó, còn f là dữ kiện đã cho thuộc không gian Y .
Khi bài toán đặt không chỉnh, thì không phải với dữ kiện f nào bài
toán cũng có nghiệm và thường là khi nghiệm của bài toán tồn tại (theo
một nghĩa nào đó), thì lời giải này không phụ thuộc liên tục (theo một
metric nào đó) vào dữ kiện f. Do tính không ổn định này của bài toán
nên việc giải số nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện
của bài toán có thể dẫn đến một sai số lớn bất kỳ trong lời giải. Mục đích
của lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là đưa ra các phương pháp số hữu
hiệu để giải các bài toán này một cách ổn định. Để đạt được mục đích
đó trước hết phải nghiên cứu về tính ổn định có điều kiện của bài toán,
nghĩa là chỉ ra một lớp M nào đó của không gian X để lời giải của bài
toán thuộc lớp này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán. Để đơn
giản, ta giả thiết rằng X và Y là các không gian định chuẩn với chuẩn
tương ứng là ·
X
và ·
Y
. Giả sử rằng, nếu ta chọn được một tập hợp
M và biết được nếu u ∈ M thì nó sẽ phụ thuộc liên tục vào f, nghĩa là,
tồn tại một hàm ω một biến thực, liên tục, với ω(0) = 0, sao cho

u
X
 ω(f
Y
).
13
Đánh giá này được gọi là đánh giá ổn định ([7]) và trong trường hợp
này, bài toán được gọi là ổn định có điều kiện hay ổn định theo nghĩa
Tikhonov ([10]) (Tikhonov là người đầu tiên đưa ra nhận xét này vào
năm 1943 ([12])). Tập M thường là những tập mà ở đó lời giải của bài
toán có ý nghĩa vật lý, chẳng hạn như đó là tập mà ở đó lời giải bị chặn
(nhiệt độ hoặc vận tốc của một quá trình vật lý thì giới nội, ), hoặc
đó là một tập lồi, tập các hàm không âm, tập các hàm đơn điệu, Nếu
ω(t) = ct
α
với α > 0 nào đó, thì ta có đánh giá ổn định kiểu H¨older và ta
có một "bài toán tốt". Nếu ω là một hàm dạng logarithm thì ta có đánh
giá ổn định kiểu logarithm - đây là "bài toán xấu". Còn nếu ta không có
một đánh giá nào về tốc độ tiến tới 0 của ω(t) khi t → 0 thì ta có một
"bài toán rất xấu".
Trước khi trình bày một ví dụ về đánh giá ổn định cho phương trình
parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert, chúng tôi trình bài
khái niệm hàm lồi, hàm lồi logarithmic (xem [6]).
Điều kiện để hàm f(t) là một hàm lồi của t trên đoạn [t
1
; t
2
] là
f”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t
1

; t
2
].
Nếu f”(t) ≥ 0 thì f

là hàm tăng nên ta có
t
2

t
1
f

(s)ds ≤ f

(t)(t −t
1
); t ∈ (t
1
, t
2
)
và
t
2

t
1
f


(s)ds ≥ f

(t)(t −t
2
), t ∈ (t
1
, t
2
).
Từ đó đạt được
f(t) ≤

t
2
− t
t
2
− t
1

f(t
1
) +

t −t
1
t
2
− t
1

)f(t
2
)

. (2.1)
Trong trường hợp f(t) = ln F (t), chúng ta nói rằng F(t) là hàm lồi
logarithmic của t trên đoạn [t
1
, t
2
]. Khi đó, ln F (t) là hàm lồi trên [t
1
, t
2
]
14
nên
d
2
dt
2
ln F (t) ≥ 0. (2.2)
Với điều kiện F (t) > 0, ta đạt được
F F” − (F

)
2
≥ 0. (2.3)
Vậy nếu F(t) thỏa mãn (2.3) thì ta đạt được
ln F (t) ≤


t
2
− t
t
2
− t
1

ln F (t
1
) +

t −t
1
t
2
− t
1

ln F (t
2
). (2.4)
Do đó
F (t) ≤ [F(t
1
)]

t
2

−t
t
2
−t
1

[F (t
2
)]

t−t
1
t
2
−t
1

. (2.5)
Nếu hàm F (t) thỏa mãn
F F” − (F

)
2
≥ −kF
2
(2.6)
hoặc
F F” − (F

)

2
≥ −k
1
F F

− k
2
F
2
. (2.7)
Trong đó k, k
1
, k
2
là các hằng số và F > 0 trên đoạn [0, t]. Từ (1.5) ta có
d
2
dt
2
[ln(F.e
kt
2
2
] ≥ 0. (2.8)
Từ (2.7) ta có
d
2
dδ
2
[ln(F (δ).δ

−k
2
k
2
1
] ≥ 0, (2.9)
trong đó δ = e
−k
1
t
. Từ (2.1) và (2.8) ta có
ln F (t) ≤

t
2
− t
t
2
− t
1

ln F (t
1
) +

t −t
1
t
2
− t

1

ln F (t
2
) +
1
2
k(t − t
1
)(t
2
− t).
Điều này kéo theo
F (t) ≤ exp

1
2
k(t − t
1
)(t
2
− t)

[F (t
1
]

t
2
−t

t
2
−t
1

[F (t
2
)]

t−t
1
t
2
−t
1

, (2.10)
15
với ∀t ∈ [t
1
; t
2
]. Từ (2.1) và (2.9) ta có
ln[F (δ).δ
−k
2
k
2
1
] ≤


δ
2
− δ
δ
2
− δ
1

ln[F (δ
1
).δ
−k
2
k
2
1
1
] +

δ −δ
1
δ
2
− δ
1

ln[F (δ
1
).δ

−k
2
k
2
1
1
]
hay
F (δ).δ
−k
2
k
2
1
≤ [F (δ
1
).δ
−k
2
k
2
1
1
]
δ
2
−δ
δ
2
−δ

1
[F (δ
1
).δ
−k
2
k
2
1
1
]
δ−δ
1
δ
2
−δ
1
, (2.11)
với δ ∈ [δ
1
, δ
2
] và δ
1
= e
−k
1
t
, δ
2

= e
−k
2
t
.
a) Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số
không phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert
Giả sử H là không gian Hilbert với tích vô hướng ., . và chuẩn ..
A : D(A) → H là toán tử tuyến tính, tự liên hợp, xác định dương và
không bị chặn. u(t) ∈ C([0, T ], H)

C
1
((0, T ), H) là nghiệm của phương
trình

u
t
+ Au = 0, 0 < t < T
u(T ) − ϕ ≤ .
(2.12)
2.2.1 Định lý. ([3]) Giả sử u
1
(t)và u
2
(t) là nghiệm của phương trình
(2.12) và thõa mãn điều kiện u
i
(0) ≤ E, E là số thực dương, i=1,2 .
Đặt z(t) = u

1
(t) −u
2
(t). Khi đó, ta đạt được
z(t) ≤ 2
t
T
E
1−
t
T
.
Chứng minh. Do z(t) = u
1
(t)−u
2
(t) nên z(t) là nghiệm của phương trình
z
t
+ Az = 0, 0 < t < T. (2.13)
Đặt F(t) = z(t)
2
= z(t), z(t), ∀t ∈ [0, T ]. Ta có
f

(t) = z
t
, z(t) + z(t), z
t
 = 2z

t
, z(t)
= 2−Az, z = −2Az, z (2.14)
16
và
f”(t) = −2Az
t
, z − 2Az, z
t

= −2Az, z
t
 −2Az, z
t

= −4Az, z
t
 = −4Az, −Az
= 4Az
2
. (2.15)
Suy ra f(t)f”(t) − (f

(t))
2
= 4z(t)
2
.Az
2
− (Az, z)

2
. Áp dụng bất
đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
(Az, z)
2
≤ z(t)
2
Az
2
. (2.16)
Từ (2.14), (2.15) và (2.16) ta có
f(t)f”(t) − (f

(t))
2
≥ 0. (2.17)
Giả sử ∃t
0
∈ [0, T ] sao cho f(t
0
) = 0. Do A xác định dương nên từ (2.14)
ta có f

(t) ≤ 0, ∀t ∈ [t
0
, T ] nên f(t) là hàm giảm. Vì vậy f(t) = 0, ∀t ∈
[t
0
, T ]. Đặt g(t) = z(t), z(T −t), ∀t ∈ [0, t
0

]. Ta có
g

(t) = z
t
, z(t
0
− t)− z(t), z
t
(t
0
− t)
= −Az, z(t
0
− t)− z, −Az(t
0
− t)
= −Az, z(t
0
− t)+ Az, z(t
0
− t) = 0.
Vì vậy g

(t) = 0, ∀t ∈ [0, t
0
]. Do đó g(t) là hàm hằng nên
z(
t
0

2
)
2
= g(
t
0
2
) = g(t
0
) = 0.
Lặp lại quá trình trên ta có g(
t
0
4
) = 0, , g(
t
0
2
n
) = 0. Từ đó suy ra g(0) =
lim
n→∞
g(
t
0
2
n
) = 0. Vì vậy z(0)
2
= g(0) = 0 ⇒ z(0) = 0. Điều này

kéo theo z(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ]. Vậy nếu ∃t
0
∈ [0, T ] để f(t
0
) = 0 thì
z(t) =0 với ∀t ∈ [0, T ]. Nếu f(t) > 0, ∀t ∈ [0, T ] thì ta đặt h(t) = ln f(t),
khi đó, ta có
h

(t) =
f

(t)
f(t)
,
h”(t) =
f(t)f”(t) − (f

(t))
2
(f(t))
2
. (2.18)
17
Từ (2.17) và (2.18) ta có h”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, T ]. Điều này kéo theo h(t) là
hàm lồi. Do đó, ta có
h(t) ≤

1 −
t

T

h(0) +
t
T
h(T )
⇒ lnf(t) ≤

1 −
t
T

ln f(0) +
t
T
ln f(T )
⇒ f(t) ≤ (f(0))
(
1−
t
T
)
(f(T ))
t
T
⇒ z(t)
2
≤ z(0)
2(1−
t

T
)
z(T )
2
t
T
⇒ z(t) ≤ z(0)
(1−
t
T
)
z(T )
t
T
. (2.19)
Mặt khác z(0) = u
1
(0) −u
2
(0) ≤ u
1
(0) + u
2
(0) ≤ 2E và
z(T ) = u
1
(T ) − u
2
(T ) = u
1

(T ) − ϕ + ϕ − u
2
(T )
≤ u
1
(T ) − ϕ+ u
2
(T ) − ϕ ≤ 2.
Từ (2.19) ta có
z(t) ≤ 2
t
T
E
1−
t
T
.
Định lí được chứng minh.
b) Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số
phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert.
2.2.2 Định lý. ([9]) Giả sử rằng,
(i) A(t) là toán tử tự liên hợp với mỗi t ∈ [0, T ] và u(t) thuộc miền
xác định của A(t).
(ii) Tồn tại các hằng số k, c sao cho với u(t) là nghiệm của
Lu =
du
dt
+ A(t)u = 0, 0  t  T, (2.20)
thì ta có bất đẳng thức
−

d
dt
A(t)u(t), u(t) ≥ 2A(t)u
2
− c (A(t) + k)u(t), u(t). (2.21)
18
Chọn a
1
(t) là một hàm khả tích Riemann trên [0, T ] sao cho a
1
(t) 
c, ∀t ∈ [0, T ] và
−
d
dt
A(t)u(t), u(t) ≥ 2A(t)u
2
− a
1
(t) (A(t) + k)u(t), u(t).(2.22)
Với mọi t ∈ [0, T ], đặt
a
2
(t) = exp


t
0
a
1

(τ)dτ

, a
3
(t) =

t
0
a
2
(ξ)dξ,
ν(t) =
a
3
(t)
a
3
(T )
. (2.23)
Khi đó, nghiệm u(t) của phương trình (2.20) thỏa mãn đánh giá sau với
mọi t ∈ [0, T ],
u(t) ≤ e
kt−kT ν(t)
u(T )
ν(t)
u(0)
1−ν(t)
. (2.24)
Chứng minh. Đặt v(t) = e
−kt

u(t) và q(t) = v(t), v(t) = v(t)
2
. Để
cho đơn giản, ta kí hiệu đạo hàm
dz
dt
của hàm khả vi z(t) là ˙z. Khi đó
hàm v là một nghiệm của phương trình
˙v = −A(t)v −kv
và do vậy
˙q = 2 ˙v, v = −2 A(t)v, v − 2k v, v
= −2e
−2kt
A(t)u, u − 2kq, (2.25)
¨q = 4k A(t)v, v −2e
−2kt
d
dt
A(t)u(t), u(t) − 2k ˙q
≥ 4k A(t)v, v
+ 2e
−2kt

2A(t)u
2
− a
1
(t) (A(t) + k)u(t), u(t)

− 2k ˙q

= 4k A(t)v, v + 4A(t)v
2
− 2a
1
(t) (A + k)v(t), v(t) −2k ˙q
= 4A(t)v
2
+ 4k A(t)v, v −2k (−2 A(t)v, v − 2k v, v) + a
1
(t) ˙q
= 4

A(t)v
2
+ 2k A(t)v, v + k
2
v
2

+ a
1
(t) ˙q
= 4(A(t) + k)v
2
+ a
1
(t) ˙q. (2.26)
19
Từ (2.26), chúng ta đạt được
q¨q ≥ 4(A(t) + k)v

2
v
2
+ a
1
(t)q ˙q
≥ (−2 (A(t) + k)v, v)
2
+ a
1
(t)q ˙q
= ˙q
2
+ a
1
(t)q ˙q. (2.27)
Vì ν(t) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0, T ] với ν(0) = 0, ν(T ) = 1,
nên hàm ngược ν
−1
(·) tồn tại và chúng ta có thể đặt
g(t) := q(ν
−1
(t/T )), ∀t ∈ [0, T ]
hay q(t) = g(T ν(t)), ∀t ∈ [0, T ].
Ta có
q(t) = g(T ν(t)), (2.28)
˙q(t) = T
a
2
(t)

a
3
(T )
g
ν
(T ν(t)), (2.29)
¨q(t) = T
a
1
(t)a
2
(t)
a
3
(T )
g
ν
(T ν(t)) + T
2

a
2
(t)
a
3
(T )
)
2
g
νν

(T ν(t)

. (2.30)
Từ (2.27)–(2.30), ta đạt được
T
a
1
(t)a
2
(t)
a
3
(T )
g
ν
(T ν(t))g(T ν(t)) + T
2
(
a
2
(t)
a
3
(T )
)
2
g
νν
(T ν(t))g(T ν(t))
 T a

1
(t)g(T ν(t))
a
2
(t)
a
3
(T )
g
ν
(T ν(t))
+

T
a
2
(t)
a
3
(T )
g
ν
(T ν(t))

2
, ∀t ∈ [0, T ]. (2.31)
Từ (2.31), ta thu được bất đẳng thức
g
νν
(T ν(t))g(T ν(t))  (g

ν
(T ν(t)))
2
, ∀t ∈ [0, T ]. (2.32)
Vì ν(t) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0, T ] thỏa mãn ν(0) = 0,
ν(T ) = 1 nên (2.32) kéo theo
¨g(t)g(t)  ( ˙g(t))
2
, ∀t ∈ [0, T ]. (2.33)
20
Từ (2.33), sử dụng phương pháp lồi logarithm, ta kết luận rằng,
g(t)  g(T )
t
T
g(0)
1−
t
T
, ∀t ∈ [0, T ]. (2.34)
Từ (2.34), ta có
q(t) = g(T ν(t))  g(T )
ν(t)
g(0)
1−ν(t)
= q(T )
ν(t)
q(0)
1−ν(t)
, ∀t ∈ [0, T ]. (2.35)
Vì u(·, t) = e

−kt
v(t), nên với mọi t ∈ [0, T ] ta có
u(t) ≤ e
kt−kT ν(t)
u(T )
ν(t)
u(0)
1−ν(t)
.
Định lý được chứng minh.
2.3 Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic
tựa tuyến tính ngược thời gian
Trong phần này, chúng tôi đánh giá ổn định cho phương trình parabolic
tựa tuyến tính ngược thời gian. Cụ thể, chúng ta có
2.3.1 Bổ đề. Nếu h là một hàm khả tích Riemann và tăng ngặt trên [0,1].
Khi đó
t
1

0
h(s)ds 
t

0
h(s)ds,
∀t ∈ [0, 1].
Chứng minh. Khẳng định của bổ đề đúng nếu t = 0. Trong trường hợp
t = 0, ta xét hàm
q(t) =
t


0
h(s)ds
t
, ∀t ∈ [0, 1].
Ta có
q

(t) =
th(t) −
t

0
h(s)ds
t
2
, ∀t ∈ (0, 1].
21
Đặt p(t) =
t

0
h(s)ds, ∀t ∈ [0, 1]. Sử dụng định lý Lagrange, với ∀t ∈ (0, 1],
∃t
0
∈ (0, t) sao cho
p

(t
0

) =
p(t) −p(0)
t
=
p(t)
t
.
Từ đó ta có
p(t) = tp

(t
0
) = th(0) < th(t).
Khi đó
th(t) −
t

0
h(s)ds = th(t) − p(t) > 0, ∀t ∈ (0, 1].
Hay
t
1

0
h(s)ds 
t

0
h(s)ds,
∀t ∈ [0, 1].

Bổ đề được chứng minh.
2.3.2 Bổ đề. Giả sử v : [0, T ] → [0, 1] là một hàm liên tục và tăng ngặt,
p(t) là một hàm không âm. Khi đó
(1 −v(t))
v(t)

0
(
t

0
p(s)ds)dv(t) − v(t)
1

v(t)
(
t

0
p(s)ds)dv(t)  0,
∀t ∈ [0, T ].
Chứng minh. Đặt
q(v(t)) =
v(t)

0
(
t

0

p(s)ds)dv(t), ∀t ∈ [0, T ].
Chúng ta có
q
v
=
t

0
p(s)ds.
22
Sử dụng Bổ đề 2.3.1, ta được
v(t)
1

0
q
v
dv(t) 
v(t)

0
q
v
dv(t).
Hay
v(t)

0
(
t


0
p(s)ds)dv(t) − v(t)
1

0
(
t

0
p(s)ds)dv(t)  0.
Ta suy ra
(1 −v(t)
v(t)

0
(
t

0
p(s)ds)dv(t) − v(t)
1

v(t)
(
t

0
p(s)ds)dv(t)  0, ∀t ∈ [0, T ].
Bổ đề được chứng minh.

2.3.3 Bổ đề. Nếu a  b  0 và c ∈ R thì
2(a
2
− b
2
) −(a − b)c  −c
2
/8.
Chứng minh. Chúng ta có
a
2
− b
2
= (a − b)
2
+ 2(a − b)b  (a − b)
2
.
Khi đó
2(a
2
− b
2
) −(a − b)c +
1
8
c
2
 2(a − b)
2

− (a − b)c +
1
8
c
2
= (
√
2(a −b) −
1
2
√
2
c)
2
 0. (2.36)
Bổ đề được chứng minh.
2.3.4 Định nghĩa. Một hàm u : [0, T ] → H được gọi là nghiệm của bài
toán parabolic

u
t
+ A(t, u)u = f(t, u(t)), 0 < t  T,
u(0) = u
0
∈ H,
(2.37)
nếu u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C
1
([0, T ]; H), u(t) ∈ D(A), ∀t ∈ (0, T ) và thỏa
mãn (2.37).

23
2.3.5 Định lý. Nếu u
1
, u
2
là nghiệm của phương trình
u
t
+ A(t, u)u = f(t, u(t)), 0 < t  T (2.38)
thì
(i) A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2
, u
1
− u
2
  0, ∀t ∈ [0, T ].
(ii) Tồn tại các hằng số c
1
, c
2
và c
3
sao cho

−d
dt
A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2
, u
1
− u
2
  2A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2

2
− c
1
A(t, u
1
)u
1

− A(t, u
2
u
2
u
1
− u
2

− c
2
A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2
, u
1
− u
2

− c
3
u
1
− u
2


2
.
Giả sử a
1
(t) là hàm khả tích Riemann trên [0,T] sao cho c
4
 a
1
(t) 
c
1
+ c
2
+ 2k, ∀t ∈ [0, T ], với mọi hằng số c
4
và
−d
dt
A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2
, u
1
− u

2
  2A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2

2
− c
1
A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
u
2
u
1
− u
2

− (a
1
(t) −c
1

− 2k) A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2
, u
1
− u
2

− c
3
u
1
− u
2

2
,
trong đó
a
2
(t) = exp


t


0
a
1
(τ)dτ


, a
3
(t) =
t

0
a
2
(ξ)dξ, ν(t) =
a
3
(t)
a
3
(T )
. (2.39)
iii) Các nghiệm u
1
, u
2
của (2.38) thoả mãn
u
i
(t) −ϕ  , u

i
(0)  E, i = 1, 2.
Khi đó, có bất đẳng thức
u
1
(t) −u
2
(t)  c(t)
ν(t)
E
1−ν(t)
. (2.40)
Ở đây
c(t) = 2 exp(
a
3
(T )
T
e
|c
4
|T
(2k + |
c
2
1
8
+ c
3
|T )ν(t)(1 −ν(t))). (2.41)

24
Chứng minh. Đặt
z(t) = u
1
(t) −u
2
(t),
B(t)z = A(t, u
1
)u
1
− A(t, u
2
)u
2
,
D(t)z = f(t, u
1
) −f(t, u
2
).
Chúng ta có
z
t
+ B(t)z = D(t)z, 0  t  T, (2.42)
D(t)z  kz, (2.43)
B(t)z, z  0, (2.44)
−d
dt
B(t)z, z  2B(t)z

2
− c
1
B(t)zz − (a
1
(t) −c
1
− 2k) B(t)z, z
− c
3
z
2
. (2.45)
Nếu z(0) = 0 thì z(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ]. Do đó, bất đẳng thức cần
chứng minh là hiển nhiên. Nếu z(0)  0 thì z(t) > 0, ∀t ∈ [0, T ].
Đặt
h(t) = z(t)
2
, ∀t ∈ [0, T ].
Ta có
h

(t) = 2 z, z
t
 = −2 B(t)z, z + 2 D(t)z, z.
Hơn nữa
h

(t)
h(t)

= −2
B(t)z, z
z
2
+ 2
D(t)z, z
z
2
. (2.46)
Từ ν(t) là liên tục và tăng ngặt trên [0,T] và ν(0) = 0, ν(T ) = 1, ta đặt
g(t) := h(ν
−1
(
t
T
)), ∀t ∈ [0, T ].
Khi đó
h(t) = g(T ν(t)), (2.47)
25
h

(t) = Tg
ν
ν
t
(t) = T
a
2
(t)
a

3
(T )
g
ν
(T ν(t)), (2.48)
h
t
(t)
h(t)
= T
a
2
(t)g
ν
(T ν(t)
a
3
(T )g(T ν(t))
. (2.49)
Đặt
c
5
=
a
3
(T )
t
.
Chúng ta có
g

ν
(T ν(t))
g(T ν(t)
= −2c
5
B(t)z, z
z
2
a
2
(t)
+ 2c
5
D(t)z, z
z
2
a
2
(t)
. (2.50)
Đặt
Q(t) = −
B(t)z, z
z
2
1
a
2
(t)
= −

B(t)z, z
z
2
exp


−
t

0
a
1
(τ)dτ


. (2.51)
Ta có
z
4
d
B(t)z,z
z
2
dt
= (
−d
dt
B(t)z, z)z
2
+ 2 B(t)z, zz, z

t

= (
−d
dt
B(t)z, z)z
2
− 2 B(t)z, z
2
+ 2 B(t)z, zD(t)z, z
 2(B(t)z
2
z
2
− B(t)z, z
2
) −c
1
(B(t)zz − B(t)z, z)z
2
− a
1
(t) B(t)z, zz
2
+ 2(kz
2
− D(t)z, z) B(t)z, z
− c
3
z

4
. (2.52)
Mặt khác, ta thấy rằng
D(t)z, z  D(t)zz  kz
2
. (2.53)
Như vậy, ta có
z
4
d
B(t)z,z
z
2
dt
 2(B(t)z
2
z
2
− B(t)z, z
2
)
− c
1
(B(t)zz − B(t)z, z)z
2
− a
1
(t) B(t)z, zz
2
− a

1
(t) B(t)z, zz
2
− c
3
z
4
. (2.54)