luận văn về bội chung và ước chung

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có
nguồn gốc thực tiễn. Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài người, Toán học
ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán học
ứng dụng. Trong đó, nói đến Toán học lý thuyết không thể không nói đến Lý
thuyết số - ngành Toán học có lịch sử rất lâu đời. Từ thế kỷ IV đến thế kỷ II trước
Công nguyên, các nhà Toán học Jaina ở Ấn Độ đã phát triển lý thuyết số có hệ
thống.
Sự phát triển của Toán học hiện đại đòi hỏi chúng ta cần phải tìm ra ngày càng
nhiều những hệ thống số mới cũng như các phương pháp mở rộng các trường đã
biết. Ở bậc Đại học, chúng ta đã được học những phương pháp phát triển từ tập các
tự nhiên lên tập các số nguyên, từ vành số nguyên lên trường các số hữu tỷ,…
Được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của GVC.ThS.Nguyễn Thị Bình, em đã
chọn đề tài: “Bài tập về ước chung và bội chung” làm đề tài khóa luận của mình.
Mặc dù em đã có nhiều cố gắng song do những hạn chế về thời gian, kiến thức,
khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp, phản biện của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và độc giả để
khóa luận của em hoàn thiện hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận làm rõ một số khái niệm về ước và bội, một số tính chất liên quan
đến ước chung, bội chung, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất.
Khóa luận chỉ ra một số cách tìm ước chung,ước chung lớn nhất, bội chung, bội
chung nhỏ nhất và dựa vào ước và bội để chứng minh các bài toán.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu một số tính chất có liên quan đến ước, bội, ước
chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất; đưa ra một số phương pháp chứng minh các
định lý, ví dụ minh họa cho các khái niệm và định lý đã trình bày.
4. Khóa luận nghiên cứu về các dạng bài tập về bội chung và ước chung.

5. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu khái niệm ước và bội, trong đó đi sâu nghiên cứu khái
niệm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và bài tập liên quan đến ước và bội.
Khóa luận đi sâu về bài tập có liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung
nhỏ nhất.
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp đọc sách; nghiên cứu tài liệu.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm hai chương:
Chương 1. Nội dung khái niệm: Một số khái niệm cơ bản (ước, ước chung, ước
chung nhỏ nhất, bội, bội chung, bội chung nhỏ nhất), một số tính chất của ước và
bội, phép chia Euclid, đẳng thức Bezout, các định lý và chứng minh định lý, các ví
dụ minh họa.
Chương 2.Các dạng bài tập liên quan đến bội chung và ước chung.
3
Chương 1.
NỘI DUNG LÝ THUYẾT.
1.1. Một số vấn đề của ước và bội
Ước và bội là 2 khái niệm quan trọng trong chương trình số học THCS. Chuyên
đề này sẽ giới thiệu những khái niệm về tính chất cơ bản về ước, ước số chung,
ước chung lớn nhất, bội, bội số chung, bội chung nhỏ nhất. Một số dạng bài tập
liên quan đến tìm ước, bội, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.
Ước và bội là 2 trong số những khái niệm cơ bản nhất của số học.Tuy nhiên sự
cơ bản luôn luôn có sự thú vị riêng của nó.Những người học số học luôn luôn cần
nắm vững những vấn đề này, không chỉ vì những ứng dụng rộng rãi của nó mà nó
còn là nền tảng xây dựng nên những vấn đề đa dạng và phức tạp.
1.2. Một số khái niệm
1.2.1. Ước số
Ước số chung
Ước chung lớn nhất

1.3. Các định lý quan trọng
1.3.1. Định lý 1:
Nếu
( ) ( )
P x v Q xà
là 2 đa thức sao cho
( ) ( )
,P x Q xM
thì chúng có ước chung lớn
nhất là
( ) ( )
( )
( )
, .P x Q x Q x=
Nếu những đa thức
( ) ( )
P x v Q xà
có ước chung lớn
nhất và α ≠ 0 là số bất kì thì:

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
, ( . , ) ( , . ).P x Q x P x Q x P x P x
α α
= =
Kết luận suy ra trực tiếp từ định nghĩa của ước chung lớn nhất.
1.3.2. Định lý 2
4
Chonhững đa thức

( ) ( )
P x v Q xà
có ước chung lớn nhất
( ) ( ) ( )
( )
, D x P x Q x=
và
( )
R x
là số dư trong phép chia
( ) ( )
.P x cho Q x
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
, , .P x Q x Q x R x=
1.3.3. Định lý 3
Hai đa thức bất kì đều có ước chung lớn nhất
1.4. Nguyên tố cùng nhau
1.5. Bội số
1.6. Bội số chung
1.7. Bội chung nhỏ nhất
1.8. Các định lý quan trọng
1.8.1. Định lý 4
Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức sao cho P(x)
M
Q(x), thì chúng có bội chung nhỏ
nhất là [P(x), Q(x)] = P(x).
Nếu những đa thức P(x) và Q(x) có bội chung nhỏ nhất và α ≠ 0 là số bất kì thì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ , ] [ . , ] [ , . ].P x Q x P x Q x P x Q x
α α
= =
1.8.2. Định lý 5
Chứng minh rằng với bất kỳ 2 đa thức khác không P(x) và Q(x) đều thỏa mãn
đẳng thức sau:

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
, .[ , ] . .P x Q x P x Q x P x Q x=
1.9. Một số tính chất của ước và bội
1.10. Phép chia Euclid
Euclid đã bắt đầu với nhận xét sau:

( ) ( ) ( )
, , , , (*).a b a a b b a b d a b= − = − = ≠
5
Giả sử a ≥ b, khi đó từ đẳng thức
( ) ( )
, , a b a b b= −
ta đã đi về bài toán tìm
ước số chung của 2 số nguyên dương nhỏ hơn là
, a b b−
.
Tiếp tục bài toán với 2 số nguyên dương nhỏ hơn nữa là a – 2 b, b (trong
trường hợp
a b b− >

) hay là
, 2 a b b a− −
(trong trường hợp a – b <b).

( )
( )
, , a b c c d= =
Như vậy c = d. Từ đây ta có thuật toán sau để tìm ước chung lớn nhất của 2 số
nguyên a và b.
Cho
0.a b> >
Nếu
( )
, .a bq thì a b b= =
Nếu
( ) ( )
( 0 ) , , a bq r r thì a b b r= + ≠ =
Phép chia Euclip trong trườn g hợp này được thực hiện như sau:

( )
( )
, ,
1 1
a bq r a b b r
= + ⇒ =

(
)
, .
1 1 2 1 1, 2

b r q r b r r r
 
 ÷
 
= + ⇒ =

(
)
,

1 2 2 3 1 2 2, 3
.
R r q r r r r r
 
 ÷
 
= + ⇒ =

…………………………………………………

(
)
(
)
(
)
, , .

2 1 1 2 1 1
,

.
1 1
R r q r r r r
n
n n n n n n
R r q r r r
n n n n
n n
= ⇒ =
− − − − − −
= ⇒ =
− −
Từ đây ta suy ra:
6
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , , ,
.
1 1 2 2 3 2 1 1,
a b b r r r r r r r r r r
n n
n n n
 

 ÷
 
= = = =…= = =
− − −
Hay nói cách khác (a, b) là số dư cuối cùng khác 0 trong phép chia Euclid.
Từ phép chia Euclid ta suy ra được tính iii, một tính chất đẹp và quan trọng
trong lý thuyết số.
Ta dễ dàng chứng minh tính chất trên bằng phương pháp qui nạp lùi theo n
trong phép chia Euclid.
Thật vậy nếu
a bq=
thì tính chất iii) là hiển nhiên .
Nếu
a b
/
M
thì ta có đẳng thức sau:
0. 1.
.
1
R r r
n n
n
+
=
−
Giả sử ta có
. .
, 1 1.
r r r x r y r

n
k k k k
 
 ÷
 
= = +
+ +
Khi đó:
(
)
–
1 1 1 1.
R r q r yr yq x r xr yr
k k k k k k k k k
= + ⇒ + +
− + + = +
(
)
(
)
– – , .
1 1
yr yq x r r r r
n
k k k k k
⇒ = =
− −
Như vậy theo nguyên lý quy nạp lùi, đối với các số
( )
, a b

cũng tồn tại các số
nguyên x, y sao cho:

( )
, .xa yb r a b
n
+ = =
Sau khi đã tìm được ước chung lớn nhất thì việc tìm bội chung nhỏ nhất là đơn
giản ta có thể dùng công thức vii,
Ước chung của
( )
1, 1 .
m n
a a− −
7
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu về ước chung lớn nhất của
1 1
m n
a và a
− −
trong đó
( )
2 *
, 1 0, , .a a a m n∈ − ≠ ∈¢ ¥
Đặt
( )
, m n d
=
, ta dễ dàng nhận ra rằng:
1 1, 1 1.

m d n d
A a a a− − − −M M
Thật vậy, đặt
m dk=
ta có:

– 1 – 1 1 1 1.
k
m kd d d d
A a a a A a
   
 ÷  ÷
   
= = − = − −
M

1 2
1, .
k k d
A b b b b a
− −
= + +…+ + =
Hoàn toàn tương tự cho
– 1
n
a
. Như vậy
( )
– 1, 1
m n

a a A− =
có dạng
– 1 .
d
B a
 
 ÷
 
Việc còn lại là tìm B. Ta hãy tìm B trong các trường hợp cụ thể xem
sao:
A 2 3 4
m 2 3 4
n 4 5 6
A 3 2 15
B 1 1 1
Như vậy ta có thể dự đoán, ta mạnh dạn đưa ra giả thuyết
8

( )
( , )
– 1, 1 1.
m n
m n
a a A a− = = −
Ta sẽ chứng minh
( , )
1
m n
a A
−

M
và từ đó suy ra
( , )
– 1
m n
a A
=
đã chia hết
cho
( , )
1.
m n
a
−
Trước hãy tạo sự liên kết (m, n) bằng các kết quả tồn tại các số
nguyên x, y sao cho:

( )
, .xm yn m n+ =
Hay phát biểu ở một dạng khác, tồn tại các số nguyên không âm x, y sao cho:
( ) ( )
– , – , .xm yn m n hay xm yn m n
= + =
Ta chỉ xét trường hợp:

( )
– , xm yn m n
=
, trường hợp kia hoàn toàn tương tự.

( )
( )
– – 1 – – 1
yn yn
xm xm
a a a a
=
=
( ) ( )
– 1 – – 1 .
m n
a C a D AM
Mà
( ) ( )
, – 1 1 , 1.
yn yn
n
a a a A
= ⇒ =
Do đó theo tính chất iv) ta suy ra:

. ( , )
– 1 – 1 .
xm yn m n
a a A= M
Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
Ta thu được kết luận như sau:
( )
( , )
– 1, – 1 – 1.

m n
m n
a a a=
1.11. Đẳng thức Bezout.
Để xác định được đẳng thức ta đi về chứng minh định lý sau:
1.11.1. Định lý 6
9
Chứng minh rằng nếu D(x) là ước chung lớn nhất của những đa thức P(x) và
Q(x), thì tồn tại những đa thức thức U(x) và V(x) sao cho:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.D x U x P x V x Q x= +
1.11.2. Định lý 7
Chứng minh rằng nếu
( ) ( )
P x và Q x
là những đa thức khác không, ước chung
lớn nhất của chúng là D(x), thì tồn tại những đa thức
( ) ( )
U x và V x
sao cho:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
D x U x P x V x Q x= +
Và ngoài ra
( ) ( ) ( ) ( )
deg deg deg deg U x Q x và V x P x< <
1.11.3. Định lý 8:
Chứng minh rằng những đa thức
( ) ( )

P x và Q x
gọi là nguyên tố cùng nhau khi
và chỉ khi tồn tại những đa thức
( ) ( )
U x và V x
sao cho:
( ) ( ) ( ) ( )
1.U x P x V x Q x+ =
1.11.4. Định lý 9
Chứng minh rằng nếu P(x), Q(x) và S(x) là ba đa thức sao cho
( ) ( )
( )
, 1P x Q x
=
và
( ) ( ) ( )
.S x Q x P xM
, thì
( ) ( )
.S x P xM
1.11.5 . Định lý 10
10
Cho hai đa thức
( ) ( )
P x và Q x
nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại
duy nhất những đa thức
( ) ( )
U x và V x
sao cho

( ) ( ) ( ) ( )
1U x P x V x Q x+ =
và ngoài
ra
( ) ( ) ( ) ( )
deg deg deg deg .U x Q x và V x P x< <

1.11.6. Định lý 11
Cho
( ) ( ) ( )
, P x Q x và S x
là ba đa thức. Chứng minh rằng tồn tại những đa thức
( ) ( )
x và x
ϕ ψ
sao cho:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. . .S x x P x x Q x
ϕ ψ
= +
Khi và chỉ khi đa thức
( )
S x
chia hết cho ước chung lớn nhất của những đa thức
( ) ( )
.P x và Q x
11
Chương 2.
CÁC DẠNG BÀI TẬP
VỀ BỘI CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG

2.1. DẠNG TOÁN TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT.
2.1.1. Bài toán 1
Tìm d = ( 786, 285)? Tìm u, v sao cho 786u + 285v = d?
2.1.2. Bài toán 2
Tìm
( )
, 2d a a= +
với
a Z∈
?
2.1.3. Bài toán 3
Giả sử
, , , ,
1 1 2 2.
a b c Z a b c b aq r c aq r∈ ≤ ≤ = + = +
Chứng minh rằng
ƯCLN
( )
, , a b c
= ƯCLN
(
)
, , ?
1 2
a r r
2.1.4. Bài toán 4
Tìm ƯCLN của 2 số
2?a v aà +
2.1.5. Bài toán 5

12
Hãy tìm ước chung lớn nhất của
( ) ( )
P x v Q xà
có thể tìm theo thuật toán
Euclid.
4 3 2
( ) 3 4 1P x x x x x
= + − − −
,
3 2
( ) 1Q x x x x= + − +
2.1.6. Bài toán 6
Hãy tìm ước chung lớn nhất của những đa thức sau:
P(x) =
5 4 3 2
3 2 2x x x x x
+ + + + −
,
Q(x) =
6 5 4 3 2
2 3 2 2x x x x x x+ + + + − +

và
( )
7 6 4
– – 2 – 1.S x x x x x= +
2.1.7. Bài toán 7
Hãy tìm ước chung lớn nhất của những đa thức
– 1 1

n m
x v xà −
, ở đây n và m
là những số tự nhiên dương bất kì.
2.1.8. Bài toán 8
Tìm BCNN của 3 số nguyên liên tiếp?
2.1.9. Bài toán 9
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thỏa mãn:
( )
[ , ] 2835; , 15?a b a b= =
2.1.10. Bµi to¸n 10
CMR:
+ + ∈
¥14 3 21 4 ( )n v n nà
là 2 số nguyên tố cùng nhau.
2.1.11. Bµi to¸n 11
Tìm ƯCLN
( )
, a b
biết rằng
a
là số gồm 1991 chữ số 2;
b
là gồm 8 chữ số 2.
2.1.12. Bµi to¸n 12
13
Tìm 2 số tự nhiên
, a b
với
3 114a b+ =

đồng thời thỏa mãn điều kiện:
Tổng của ước số chung
( )
, a b
và bội số chung
[ , ]a b
là 174.
2.1.13. Bµi to¸n 13
Tìm 2 số tự nhiên
, a b
với
2 48a b+ =
đồng thời thỏa mãn điều kiện:
Tổng của ước số chung
( )
, a b
và 3 lần bội số chung
[ , ]a b
là 114.
2.1.14. Bµi to¸n 14
Tìm
, a b
biết rằng
. 2400a b =
và BCNN
( )
; 120a b =
2.1.15. Bài toán 15
a Hãy tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của 34 và 56?
b Có thể tìm ước chung lớn nhất có thể có của

2 1 9 4 ( ).k v k k Nà− + ∈
2.1.16. Bài toán 16
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện sau:
a)
( )
432 , 36?a b v a bà+ = =
b)
( )
8400 , 20?ab v a bà= =
2.2. DẠNG TOÁN CHỨNG MINH DỰA VÀO ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT.
2.2.1. Bài toán 1
Chứng minh rằng
( ) ( )
3 5 , 8 13 , ?
1 2
d a b a b a b d
= + + = =
2.2.2. Bài toán 2
Chứng minh rằng UCLN
( )
, 1a b =
với
14
a
21 4, 14 3a m b m
= + = +
.
b
3 4 2

2 , 3 1a m m b m m= + = + +

2.2.3. Bài toán 3
Chứng minh rằng nếu
, , a b c
nguyên tố sánh đôi thì:

( )
, 1.ab bc ca abc+ + =
2.2.4. Bài toán 4
Cho UCLN của
( ) ( )
, th× , 2 ?a b d a b a
= + =
2.2.5. Bài toán 5
Cho UCLN
( ) ( ) ( )
=, 1, \ – , \ – .a b n a b n ac bd
Chứng minh rằng
( )
\ – ?n c d
2.2.6. Bài toán 6
Chứng minh rằng:
Nếu
( )
, 1a b =
thì: a )
1
2 2
( , )

3
a b a b ab



+ + − =
.
b )
1
(11 2 ,18 5 )
19
a b a b



+ + =
.
2.2.7. Bài toán 7
Chứng minh rằng
( )
=, 1a c
thì
( ) ( )
=, , .ab c b c
2.2.8. Bài toán 8
15
Chứng minh rằng
( )
=, 1a b
thì

1
( , )
2
a b a b



+ − =
?
2.2.9. Bài toán 9
Nếu
( ) ( )
= + =, th× , – ?a b d a b a b
2.2.10. Bài toán 10
Chứng minh rằng:
a)
( ) ( )
, , a a b a b+ =
?
b)
( )
, 1 th× ( , ) 1a b a b ab= ± =
c ) Nếu
( ) ( )
( )
, 1 th× 2 , 1.a b a b a a b= + + =
2.2.11. Bài toán 11
Chứng minh rằng nếu n là ước chung của
– a b
và

– ac bd
và
( )
, 1a b =
thì
n là ước của
– .c d
2.2.12. Bài toán 12
Chứng minh rằng
( ) ( )
5 3 , 13 8 , .a b a b a b
+ + =
2.2.13. Bài toán 13
Chứng minh rằng nếu 
kn lm−
= 1 thì ta có:

( ) ( )
, , .ma nb ka lb a b+ + =
2.2.14. Bài toán 14
16
Giả sử
a b c≤ ≤
,
,
1 1 2 2
b aq r c aq r
= + = +
.
Chứng minh rằng:

( )
, , , .
1, 2
a b c a r r
 
 ÷
 
=
2.2.15. Bài toán 15
Chứng minh rằng
( )
( )
, , , n a r n b s
= =
thì ta có:

( )
( )
, , n ab n rs
=
2.2.16. Bài toán 16
Chứng minh rằng:
( )
[ , , ] ([ , ],[ , ]).a b c a b a c=
2.2.17. Bài toán 17
Cho cấp số cộng
( ) ( )
0, 1, 2, . , 1a bk k víi a b
+ = … =
, m là một số tự

nhiên khác 0.
Nếu c là ước lớn nhất của m thỏa mãn
( )
( )
, 1 th× , 1c a a bc m= + =
?
2.2.18. Bài toán 18
Cho dãy Fibonnaci:
, ,
1 2 3.
u u u

1, 3.
1 2 1 2
u u u u u n
n
n n
= = = + ≥
− −
Chứng minh rằng:
( )
,
( , )
u u u
m n
m n
=

2.2.19. Bài toán 19
Chứng minh rằng nếu a, b là những số nguyên khác nhau thì có vô số tự nhiên n

sao cho
( )
, 1?a n b n+ + =
17
2.2.20. Bài toán 20
Chứng minh rằng dãy số :
1
( 1) ( 1,2, )
2
= + =l n n n
n
chứa dãy số vô hạn những số nguyên tố sánh đôi?
2.2.21. Bai toán 21
Chứng minh rằng dãy số:
1
( 1)( 2)( 1, 2, )
6
T n n n n
n
= + + =
chứa dãy số vô
hạn những số nguyên tố sánh đôi.
2.2.22. Bài toán 22
Chứng minh rằng dãy số Fecmat
2
2 1 ( 0, 1, 2, )
n
F n
n
= + =

là dãy số
nguyên tố sánh đôi?
2.2.23. Bài toán 23
Chứng minh rằng nếu m và n là những số tự nhiên dương bất kì, còn a là một số
bất kì, thì ước chung lớn nhất của đa thức

n n m m
x a v x aà+ +
là:
( , )
1
d d
x a
n n m m
x a x a





+
+ + =
ở đây
( )
, d n m=
là ước chung lớn nhất của những số n và m.
2.3. DẠNG TOÁN ĐẲNG THỨC BEZOUT.
2.3.1. Bài toán 1
Hãy tìm những đa thức
( ) ( )

x v xà
ϕ ψ
có bậc thấp nhất sao cho:

( )
( )
( )
( )
4 3 2 3 4
– 2 – 4 6 1 – 5 3 x x x x x x x x x
ϕ ψ
+ + + − =
18
2.3.2. Bài toán 2
Cho ϕ(x) là đa thức bất kỳ khác không, còn
( ) ( )
P x v Q xà
là những đa thức bất
kì. Chứng minh rằng nếu với đa thức
( )
S x
thỏa mãn đồng dư thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. . (mod( )P x S x Q x S x x
ϕ
≡
thì:
( ) ( )
P x Q x
≡

(
( )
mod )
( )
x
D x
ϕ
.
Ở đây
( ) ( ) ( )
( , )D x x S x
ϕ
=
là ước chung lớn nhất của đa thức
( ) ( )
.x v S xà
ϕ
2.3.3. Bài toán 3
Hãy tìm những đa thức U(x) và V(x) sao cho:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
D x U x P x V x Q x
= +
ở đây D(x) là ước chung lớn nhất của hai đa thức:
( ) ( )
4 3 2 4 3 2
2 – – 4 – 2 – – 2 – 2P x x x x x và Q x x x x x= + = +
và ngoài ra:
( ) ( ) ( ) ( )
deg deg deg deg .U x Q x và V x P x

< <
KÕt luËn
Sau một thời gian làm việc hết sức khẩn trương và nghiêm túc, khóa luận của
em đã hoàn thành. Nội dung khóa luận đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các dạng
bài tập có liên quan đến bội chung và ước chung. Qua quá trình làm khóa luận này
em đã nghiên cức một số vấn đề sau:
Một số khái niệm cơ bản (bội, bội chung, bội chung nhỏ nhất, ước, ước chung,
ước chung lớn nhất, số nguyên tố)
- Thuật toán Euclid
19
- ng thc Bezout
- Cỏc nh lý v chng minh
- Cỏc dng bi tp
+ Tỡm UCLN, BCNN
+ Chng minh bi toỏn da vo UCLN, BCNN
+ ng thc Bezout
ti s thc s cú ý ngha hn nu c tip tc nghiờn cu, b sung v ý
tng ln phng phỏp.
Cui cựng em mong c s úng gúp ý kin, giỳp v cng tỏc nghiờn cu
ca quý thy cụ v bn c ti thc s cú ý ngha hn.

TI LIU THAM KHO
Nguyễn Hữu Điển đa thức và ứng dụng Nhà xuất bản Giáo Dục.
Nguyễn Mạnh Trùng Dơng, Nguyễn Trần Huy, Nguyễn Trung Hiếu, Phạm
Quang Toàn, Trần Nguyễn Thiết Quân, Trần Trung Kiên, Nguyễn Đình Tùng,
và một số tác giả toán học trẻ tuổi chuyên đề số học Diễn đàn toán học.
20