Một số tính chất của tích LIE đối với các hàm và liên thông trên đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÊ VĂN TRUNG
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA TÍCH LIE ĐỐI VỚI CÁC ĐẠO HÀM
VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
1
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÊ VĂN TRUNG
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA TÍCH LIE ĐỐI VỚI CÁC ĐẠO HÀM
VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ
CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC – TÔPÔ.
Mã số: 62.46.01.05
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang.
Nghệ An - 2014
2
MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU 2
CHƯƠNG I. ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE 4
I. Đại số và đại số Lie 4
II. Đạo hàm Lie trên đại số Lie 13
CHƯƠNG II. TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE VÀ LIÊN THÔNG
TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE 20
I. Tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số G 20

II. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số G 22
III. Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến 27
KẾT LUẬN 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO 34
3
LỜI MỞ ĐẦU
Vào cuối thế kỷ 19 trong các công trình của Xôphux Lie và Phêlix Klein đã
xuất hiện sự kết hợp giữa lý thuyết nhóm và hình học Riemann. Sự kết hợp này
được xem là những công trình mở đầu của lý thuyết mới, đó là lý thuyết nhóm
Lie và đại số Lie. Sự ra đời của lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đã liên kết các
chuyên ngành Hình học – Tôpô, Giải tích và Đại số. Do đó đại số Lie là một bộ
phận của toán học hiện đại.
Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đang được ứng dụng nhiều trong các nghiên
cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán
học. Đặc biệt nó được xem như một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính
chất của hình học trên các đa tạp Riemann.
Hiện nay, lý thuyết đại số Lie đã được trình bày trong các tài liệu tham khảo
[1], [2], [3], [4], [5], [7] và một phần mở đầu của đại số Lie được trình bày trong
các bài giảng về đại số Lie và nhóm Lie cho các lớp cao học chuyên ngành Hình
học – Tôpô ở các trường đại học.
Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang chúng tôi chọn
đề tài: “Một số tính chất của tích Lie đối với các đạo hàm và liên thông trên đại
số”.
Luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Đạo hàm Lie trên đại số Lie.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niện cơ bản và một số tính chất
về đại số, đại số Lie, đồng cấu Lie và đạo hàm Lie trên F. Đây là kiến thức cơ sở
để chuẩn bị cho việc trình bày chương 2. Chương 1 được chia làm hai phần:
I. Đại số và đại số Lie.
II. Đạo hàm Lie trên đại số Lie.

Chương 2. Tích Lie của đạo hàm Lie và liên thông tuyến tính trên đại số Lie.
4
Trong chương này, chúng tôi trình bày ba nội dung chính là: Tích Lie của đạo
hàm Lie, tích Lie của đạo hàm hiệp biến và tích Lie của đạo hàm Lie và đạo hàm
hiệp biến. Chương này được chia làm ba phần
I. Tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số G.
II. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số G.
III. Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại trường Đại học Vinh, dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã chỉ dẫn tận tình tác giả trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cám ơn các thầy cô
giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, phòng
đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo
điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Vinh, tháng 10 năm 2014
Tác giả
5
CHƯƠNG I
ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ
bản của đại số Lie.
I. ĐẠI SỐ VÀ ĐẠI SỐ LIE.
1.1. Đại số.
Như ta đã biết, một môđun G trên vành K (K giao hoán, có đơn vị 1 (1
≠
0)),

đó là một nhóm cộng Aben G với phép nhân vô hướng.
K G G× →
,
( , )a x
a
.a x
, thỏa mãn các tiên đề:
1. ( ) ;
2. ( ) ;
3. ( . ) ( );
4. 1. ;
a x y ax ay
a b x ax bx
a b x a bx
x x
+ = +
+ = +
=
=

; , .
, ; .
, ; .
.
a K x y G
a b K x G
a b K x G
x G
∀ ∈ ∀ ∈
∀ ∈ ∀ ∈

∀ ∈ ∀ ∈
∀ ∈

Τa nhận thấy rằng, trong trường hợp K là một trường thì G là một không gian
véctơ trên trường K.
1.1.1. Định nghĩa.
G được gọi là một đại số trên K, nếu G được trang bị một phép toán tích
trong “.” :
G G G× →


( , )x y
a
x.y
có tính chất song tuyến tính. Nghĩa là:

) .( ) . . ;
) ( ). . . ;
) (a.x). .( . ) .( . );
x y z x y x z
x y z x z y z
y x a y a x y
+ + = +
+ + = +
+ = =
, , .
, , .
, , .
x y z G
x y z G

x y G a K
∀ ∈
∀ ∈
∀ ∈ ∈
Chú ý:
+) Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì đại số G được gọi là đại số giao
hoán.
+) Nếu tích trong có tính chất kết hợp thì đại số G được gọi là đại số kết hợp.
6
+) Nếu x.y = 0;
,x y G∀ ∈
thì đại số G được gọi là đại số tầm thường.
+) Trong luận văn này, ta quy ước viết: x.y = xy
1.1.2. Ví dụ. Giả sử M là một đa tạp khả vi thực n chiều.
Ta ký hiệu:
F
(M) ={
|f f
: M
,R f→
khả vi} là tập các hàm khả vi trên đa tạp
M. Các phép toán được trang bị trên
F
(M) là:
1. Phép cộng: (
f
+ g): M
R→
x
a

( ) ( )f x g x+
.
2. Phép nhân:
R × →F( F(M) : M M)
(a,
f
)
a

af
.
3. Phép tích trong:
R→F( F(M) x M)
(
f
,g)(x)
( ) ( ), ,f x g x f g∀ ∈a F( )M
.
Khi đó,
F(M)
là một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên R.
Thật vậy: +)
F(M)
cùng với phép toán 1) và 2) là một không gian véc tơ.
+) Để chứng minh
F(M)
là một đại số, ta cần kiểm tra các điều kiện
của 3.
Ta có:
, , ;f g h x M a∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈RF( ) ;M

.
*)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
f g h x f x g h x+ = +

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
.
f x g x h x
f x g x f x h x
= +
= +

( )
.f g h fg fh⇒ + = +
*)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
f g h x f g x h x+ = +
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
.
f x g x h x
f x h x g x h x

= +
= +
( )
.f g h fh gh⇒ + = +
7
*)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
af g x af x g x=

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
.
.
.
a f x g x
f x ag x
f ag x
a f x g x
a fg x
=
=

=
=
=
( ) ( ) ( )
af g f ag a fg⇒ = =
.
+) Tích các ánh xạ trong
F(M)
có tính chất giao hoán, kết hợp.
+) Phần tử đơn vị là ánh xạ:
: 1;p p M
α
∀ ∈a
.
Vậy
F(M)
là một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên R.
1.2. Đại số Lie.
1.2.1. Định nghĩa.
Cho G là một đại số trên K, với phép nhân được ký hiệu là [,]. G được gọi là
đại số Lie nếu tích [,] thỏa mãn tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi:
i)
[ ] [ ]
, , ; ,x y y x x y G= − ∀ ∈
.
ii)
[ ] [ ] [ ]
, , , , , , 0; , ,x y z y z x z x y x y z G
     
+ + = ∀ ∈

     
.
Chú ý: +) Điều kiện i) có thể thay bằng
[ ]
, 0;x x x G= ∀ ∈
.
+) Chiều trên K của môđun G được gọi là chiều của đại số Lie G.
1.2.2. Nhận xét.
• Mọi đại số tầm thường G đều là đại số Lie.
• Cho G là một không gian n-chiều trên K. Cấu trúc đại số Lie trên G, có thể
được cho bởi từng cặp véctơ của cơ sở
{ }
1 2
, , ,
n
e e e
đã chọn trong G như
sau :
ij
1
, , 1
n
k
i j
k
e e C i j n
=
 
= ≤ ≤ ≤
 

∑
;
8
và
x ,
i i j j
i j
x e y y e= =
∑ ∑
, thì

[ ]
( )
ij
,
, ,
k
i j i j i j j i k
i j i j k
x y x y e e x y x y C e
<
 
 
= = −
 ÷
 
 
∑ ∑ ∑
.
Các hệ số

ij
,1
k
C i j n≤ ≤ ≤
được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie
G.
1.2.3. Ví dụ.
1. Không gian véctơ
3
R
với tích Lie của hai véctơ là tích có hướng thông
thường của hai véctơ, thì
3
R
là một đại số Lie trên R.
Nhắc lại, tích có hướng được định nghĩa như sau :
x(x
1
, x
2
, x
3
), y(y
1
, y
2
, y
3
)
Î

3
R
, ta có :
[x,y] =
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
, ,x y x y x y x y x y x y x y= - - -Ù
Thật vậy, ở đây ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức
Jacobi của tích Lie.
• [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính.
Với mọi x(x
1
, x
2
, x
3
), y(y
1
, y
2
, y
3
), z(z
1
, z
2
, z
3
)
Î

3
R
và a, b
Î
K ta có :
* [ax + by, z] = (ax+by)
Ù
z
= a(x
Ù
z)+ b(y
Ù
z)
= a[x,z] + b[y,z].
*
[ , ] ( )x ay bz x ay bz+ = +Ù

( ) ( )
[ , ] [ , ].
a x y b x z
a x y b x z
= +Ù Ù
= +
• [,] thoả mãn tính chất phản xứng.
Với mọi
3
x RÎ
thì [x,x] =
0x x =Ù
.

• [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi.
Với mọi
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , ), ( , , )x x x x y y y y z z z z RÎ
ta có :
9
*
[ ]
, , ( )x y z x y z
é ù
= ÙÙ
ë û
.
*
[ ]
, , ( )z x y z x y
é ù
= ÙÙ
ë û
.
*
[ ]
, , ( )y z x y z x
é ù
= ÙÙ
ë û
.
Khi đó :
[ ] [ ] [ ]

, , , , , ,x y z z x y y z x
é ù é ù é ù
+ +
ë û ë û ë û
= 0.
2. Ta ký hiệu tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K là Mat
n
(K). Trên Mat
n
(K)
ta trang bị tích Lie [x, y] = xy – yx với mọi x, y
Î
Mat
n
(K). Khi đó, Mat
n
(K) với
tích Lie như trên là một đại số Lie.
Ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức Jacobi của
tích Lie.
• [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính.
Thật vậy,
, , ( )
n
x y z Mat K" Î
và
,a b KÎ
ta có:

[ ]

[ ] [ ]
, ( ) ( )
( ) ( )
, ,
ax by z ax by z z ax by
a xz zx b yz zy
a x z b y z
+ = + - +
= - + -
= +
Tương tự ta cũng kiếm tra được
[ ] [ ] [ ]
, , ,x ay bz a x y b x z+ = +
.
• [,] thoả mãn tính chất phản xứng.
Thật vậy, vì
[ ]
, 0x x xx xx= - =
với mọi
( )
n
x Mat KÎ
.
• [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi.
Thật vậy,
, , ( )
n
x y z Mat K" Î
ta có :
*

[ ,[ , ]] [ , ]x y z x yz zy= −

( ) ( )
yzx yx.
x yz zy yz zy x
xyz xzy z
= − − −
= − − +
*
[ ,[ , ]] [ , ]y z x y zx xz= −

( ) ( )
yzx yx .
y zx xz zx xz y
z zxy xzy
= − − −
= − − +
10
*
[ ,[ , ]] [ , yx]z x y z xy= −

( ) ( )
yx yx
yx yx .
z xy xy z
zxy z xyz z
= − − −
= − − +
Suy ra
[ ] [ ] [ ]

, , , , , 0x y z y z x z x y
é ù é ù é ù
+ + =
ë û ë û ë û
.
Vậy Mat
n
(K) với tích Lie như trên là một đại số Lie.
1.2.4. Mệnh đề.
Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K. Ta đặt:
[ ]
, yx; ,x y xy x y G= − ∀ ∈
. Khi đó, G là đại số Lie.
Chứng minh
Ta kiểm tra tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của
[ ]
,
.
*) [,] thoả tính chất phản xứng.
Thật vậy,
[ ]
, 0; .x x xx xx x G= − = ∀ ∈

*) [,] thoả hệ thức Jacobi.
Thật vậy,
, ,x y z G" Î
,ta có :
*
[ ,[ , ]] [ , ]x y z x yz zy= −

( ) ( )
yzx yx.
x yz zy yz zy x
xyz xzy z
= − − −
= − − +
*
[ ,[ , ]] [ , ]y z x y zx xz= −

( ) ( )
yzx yx .
y zx xz zx xz y
z zxy xzy
= − − −
= − − +
*
[ ,[ , ]] [ , yx]z x y z xy= −

( ) ( )
yx yx
yx yx .
z xy xy z
zxy z xyz z
= − − −
= − − +
Suy ra
[ ] [ ] [ ]
, , , , , 0x y z y z x z x y
é ù é ù é ù
+ + =

ë û ë û ë û
.
1.2.5. Mệnh đề.
11
Giả sử V là không gian véctơ trên trường K. Ta xét tích Lie:
[ ]
,f g f g g f= −o o
với
, d( ).f g En V∈
Khi đó End(V) là một đại số Lie trên K,
( ở đây End(V) là tập các tự đồng cấu tuyến tính:
V V→
)
Chứng minh
+) End(V) với hai phép toán cộng các ánh xạ và nhân ánh xạ với số thực thông
thường lập thành một không gian véctơ thực.
+) Thoả mãn tính chất phản xứng.
[ ]
( )
, 0;f f f f f f f End V= − = ∀ ∈o o
+) Thoả mãn hệ thức Jacobi.
[ ,[ , ]] [ , ]f g h f g h h g= −o o

( ) ( )
( )
; , , .
f g h h g g h h g f
f g h f h g g h f h g f f g h End V
= − − −
= − − + ∀ ∈

o o o o
o o o o o o o o

[ ,[ , ]] [ , ]g h f g h f f h= −o o

( ) ( )
( )
; , , .
g h f f h h f f h g
g h f g f h h f g f h g f g h End V
= − − −
= − − + ∀ ∈
o o o o
o o o o o o o o
[ ,[ , ]] [ , ]h f g h f g g f= −o o

( ) ( )
( )
; , , .
h f g g f f g g f h
h f g h g f f g h g f h f g h End V
= − − −
= − − + ∀ ∈
o o o o
o o o o o o o o
Vậy:
[ ,[ , ]] [ ,[ , ]] [ ,[ , ]] 0.f g h g h f h f g+ + =
1.3. Đồng cấu Lie.
1.3.1. Định nghĩa.
+) Giả sử G, G’ là hai đại số Lie trên trường K. Một đồng cấu tuyến tính

: 'G G
ϕ
→
được gọi là đồng cấu Lie nếu và chỉ nếu :

[ ] [ ]
, ( ), ( ) ; ,x y x y x y G
ϕ ϕ ϕ
= ∀ ∈
.
12
+) Một đồng cấu Lie
ϕ
được gọi là đẳng cấu Lie nếu
ϕ
là song ánh.
Chú ý :
+)
: 'G G
ϕ
→
,
ϕ
đẳng cấu Lie thì
1
ϕ
−
đẳng cấu Lie.
+) Nếu có đẳng cấu Lie
: 'G G

ϕ
→
thì ta nói G đẳng cấu với G’ và ta viết
'
G G:
.
+) Quan hệ đẳng cấu Lie trong tập hợp các đại số Lie là một quan hệ tương
đương.
+) Ta ký hiệu
( ) { |L G
ϕ ϕ
=
là các tự đẳng cấu của đại số Lie G}. Khi đó,
L(G) lập thành một nhóm với phép nhân là phép hợp thành các tự đẳng cấu Lie.
1.3.2. Ví dụ.
a) Cho G là đại số Lie trên trường R. Khi đó, ánh xạ đồng nhất trên G là một
đồng cấu Lie.
b) Ta xét
{ }
(0,0, , , ) | , ,G a b c a b c R= ∈
Trên G ta trang bị phép toán tích Lie như sau :
Với mọi x(0,0,a
1
,b
1
,c
1
) , y(0,0,a
2
,b

2
,c
2
)

∈
G thì
[ ]
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, (0,0, , , )x y b c c b c a a c a b b a= − − −
.
Khi đó, ánh xạ
3
: G R
ϕ
→
,
(0,0, , , ) ( , , )a b c a b ca

là một đồng cấu Lie.
Ở đây R
3
là đại số Lie trên R với tích Lie trong ví dụ 1.2.3.
Thật vậy, G với tích Lie trên là một đại số Lie.
Ánh xạ
3
: G R
ϕ
→
,

(0,0, , , ) ( , , )a b c a b ca
là ánh xạ tuyến tính.
Từ
[ ]
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, (0,0, , , )x y b c c b c a a c a b b a= − − −
, nên

[ ]
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, ( , , )x y bc c b c a a c a b b a
ϕ
= − − −
.
Ta suy ra
[ ]
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ), ( ) ( ) ( ) ( , , )x y x y b c c b c a a c a b b a
ϕ ϕ ϕ ϕ
= ∧ = − − −
.
13
Vậy
[ ] [ ]
, ( ), ( )x y x y
ϕ ϕ ϕ
=
.
1.3.3. Mệnh đề.
Giả sử G, G’ là hai đại số Lie kết hợp trên K và

: 'G G
ϕ
→
là một đồng cấu
Lie. Khi đó :
i)
Im
ϕ
là đại số Lie con của G’.
ii)
erK
ϕ
là Iđêan của G.
Chứng minh
i) Giả sử
', ' Im , : ' ( ); ' ( ).x y x y G saocho x x y y
ϕ ϕ ϕ
∈ ⇒ ∃ ∈ = =
Ta có :
( ) ( )
' '
ax by a x b y
ϕ ϕ
+ = +

( )
; , , , .ax by x y G a b K
ϕ
= + ∀ ∈ ∀ ∈
' '

Im ; , .ax by a b K
ϕ
⇒ + ∈ ∀ ∈
Suy ra
Im
ϕ
là con của G’.
Mặt khác: Ta có
[ ] [ ]
', ' ( ), ( )x y x y
ϕ ϕ
=

[ ]
, Imx y
ϕ ϕ
= ∈

[ ]
[ ]
{ ', ' | ', ' Im } Im
Im ,Im Im .
x y x y
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⇒ ∈ ⊂
⇒ ⊂
Vậy
Im
ϕ

là đại số Lie con của G’
ii)
, er ( ) ( ) 0x y K x y
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ ⇒ = =
.

, , ó: ( ) ( ) ( ) 0a b K tac ax by a x b y
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ + = + =
.
Suy ra
er erax by K K
ϕ ϕ
+ ∈ ⇒
là môđun con của G.
Bây giờ ta chứng minh:
[ ]
, er er .G K K
ϕ ϕ
⊂
Thật vậy,
[ ] [ ]
, er , ( ), ( )x G y K x y x y
ϕ ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ =

[ ]
0,0
0

=
=

[ ]
, erx y K
ϕ
⇒ ∈
14
[ ]
, er erG K K
ϕ ϕ
⇒ ⊂
II. ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE.
2.1. Định nghĩa và tính chất.
2.1.1. Định nghĩa.
Giả sử G là đại số Lie trên K, ánh xạ
X :G G→


( )x X xa
được gọi là phép đạo hàm trên đại số Lie G khi và chỉ khi X thoả mãn:
i) X là ánh xạ K - tuyến tính.
ii)
[ ] [ ] [ ]
, X( ), ,X( )X x y x y x y= +
.
2.1.2. Ví dụ :
Với
x G∈
, ánh xạ ad

x
được xác định như sau :
[ ]
d :
d ( ) ,
x
x
a G G
y a y x y
→
=a
Khi đó, ad
x
là ánh xạ đạo hàm trên đại số Lie G.
Thật vậy,
, ; ,y z G a b K∀ ∈ ∀ ∈
, ta có :
[ ]
ad ( ) ,
x
ay bz x ay bz+ = +

[ ] [ ]
, ,
. d ( ) . d ( )
x x
a x y b x z
a a y b a z
= +
= +

Vậy ad
x
là ánh xạ K - tuyến tính.
Mặt khác, ta lại có :
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
d , , ,
, , , ,
d ( ), , d ( )
x
x x
a y z x y z
x y z y x z
a y z y a z
 
=
 
   
= +
   
= +
Như vậy, ad
x
là một ánh xạ đạo hàm.
*) Trong trường hợp G = R
3
, khi đó :
3 3
d :

x
a R R→
15
d ( )
x
y a y x y= ∧a
.
Là một ánh xạ đạo hàm trên không gian R
3
.
Ta ký hiệu F = { X | X là phép đạo hàm trên đại số Lie G}. Các phép toán trên F
được xác định bởi:
1.
X Y :G G+ →

( ) Y( )x X x x+a
.
2.
X :a G G→

. ( ); Kx a X x a∈a
.
3.
[ ]
, :X Y G G→

( ) Y X( )x X Y x x−o oa
.
2.1.3. Nhận xét.
a)

,X Y F∀ ∈
thì
.X Y F+ ∈
Thật vậy,
, ,x y G a K∀ ∈ ∀ ∈
, ta có:
+)
( ) ( ) ( ) ( )
X Y x y X x y Y x y+ + = + + +

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
.
X x X y Y x Y y
X Y x X Y y
= + + +
= + + +
+)
( ) ( ) ( ) ( )
X Y ax X ax Y ax+ = +

( ) ( )
( ) ( )
. .
.
a X x a Y x
a X Y x
= +
= +
+)

( )
[ , ] [ , ] [ , ]X Y x y X x y Y x y+ = +

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
[ , ] [ , ]
[ , ] [ . ].
X x y x X y Y x y x Y y
X x Y x y x X y Y y
X Y x y x X Y y
= + + +
= + + +
= + + +
b)
; , .aX F a K X F∈ ∀ ∈ ∈

Thật vậy,
, , ,x y G a b K∀ ∈ ∀ ∈
, ta có:
16
+)
( ) ( ) ( )
.aX x y a X x y+ = +

( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

.
. .
.
a X x X y
a X x a X y
aX x aX y
= +
= +
= +
+)
( ) ( ) ( )
.aX bx a X bx=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
. .
.
.
.
a b X x
ab X x
ba X x
b aX x
=
=
=
=
+)

( )
[ , ] . [ , ]aX x y a X x y=
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
. [ , ] [ , ]
[ , ] [ , ].
a X x y x X y
aX x y x aX y
= +
= +
c)
,X Y F∀ ∈
thì
[ , ] .X Y F∈
Thật vậy,
, ,x y G a K∀ ∈ ∀ ∈
, ta có:
+)
( ) ( ) ( )
[ , ] Y XX Y x y X Y x y+ = − +o o

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Y X
[ , ] [ , ] .
X Y x y x y
X Y x Y X y Y X x Y X y

X Y Y X x X Y Y X y
X Y x X Y y
= + − +
= + − −
= − + −
= +
o o
o o o o
o o o o
+)
( ) ( ) ( )
[ , ]X Y ax X Y Y X ax= −o o
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ , ] .
X Y ax Y X ax
X aY x Y aX x
a X Y x a Y X x
a X Y x
= −
= −
= −

=
o o
o o
17
+)
( )
[ , ][ , ] [ , ]X Y x y X Y Y X x y= −o o

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ , ] [ , ]
[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
[ , ] [ , ]
[[ , ] , ] [ ,[ , ] ].
X Y x y Y X x y
X Y x y x X Y y Y X x y x Y X y
X Y Y X x y x X Y Y X y
X Y x y x X Y y
= −
= + − −
= − + −
= +
o o
o o o o
o o o o
2.1.4. Mệnh đề.
Tập F cùng với các phép toán (1), (2), (3) lập thành một đại số Lie trên K .
Chứng minh

+) Rõ ràng, với các phép toán (1) và (2) thì F là một môđun trên K.
+) Ở đây ta cần kiểm tra hai tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie
trong F.
*)
,X Y F∀ ∈
, ta có :

[ , ] X Y Y X
(Y )
[ , ]
X Y
X X Y
X Y
= −
= − −
= −
o o
o o
*)
, , ,X Y Z F∀ ∈
ta có :
[[X,Y],Z] =
[X Y Y X,Z]−o o

( ) ( )
(1)
X Y Y X Z Z X Y Y X
X Y Z Y X Z Z X Y Z Y X
= − − −
= − − +

o o o o o o
o o o o o o o o
[[Y,Z],X] =
[Y ,X]Z Z Y−o o


(Y ) (Y )
(2)
Z Z Y X X Z Z Y
Y Z X Z Y X X Y Z X Z Y
= − − −
= − − +
o o o o o o
o o o o o o o o
[[Z,X],Y] =
[Z ,Y]X X Z−o o

(Z ) (Z )
(3)
X X Z Y Y X X Z
Z X Y X Z Y Y Z X Y X Z
= − − −
= − − +
o o o o o o
o o o o o o o o
Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được:
18
[[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = 0.
2.1.5. Nhận xét.
x G∀ ∈

và
,X F∀ ∈
thì [X, ad
x
] = ad
X(x)
.
Thật vậy,
y G∀ ∈
, ta có:
[X, ad
x
](y) =
( )( )
x x
X ad ad X y−o o

( )
( ( )) ( ( ))
([ , ]) [ , ( )]
[X(x),y]+[ ,X(y)] [ , ( )]
[ ( ), ]
( ).
x x
X x
X ad y ad X y
X x y x X y
x x X y
X x y
ad y

= −
= −
= −
=
=
Vậy [X, ad
x
] = ad
X(x)
Bây giờ, ta ký hiệu: G
a
= {ad
x
|
x G∈
}. Trên G
a
, ta trang bị các phép toán sau:
1. ad
x
+ ad
y
:
G G→

( ) ( )
x y
z ad z ad z+a
.
2.

. :
x
ad G G
α
→

( )
. ;
x
z ad z K
α α
∀ ∈a
.
3.
[ , ]:
x y
ad ad G G→

( ) ( ) ( )
[ , ]x y y x x y
z ad ad z ad ad z ad z− =o oa
.
2.1.6. Nhận xét.
+)
; ,
x y a x y a
ad ad G ad ad G+ ∈ ∀ ∈
.
+)
. ; ,

x a x a
ad G ad G K
α α
∈ ∀ ∈ ∀ ∈
.
+)
[ , ] ; ,
x y a x y a
ad ad G ad ad G∈ ∀ ∈
.
Việc kiểm tra nhận xét này tương tự như nhận xét (2.1.3).
2.1.7. Mệnh đề.
Với các phép toán (1), (2), (3) thì G
a
là đại số Lie con của F.
Chứng minh
19
G
a
với hai phép toán (1) và (2) là một môđun trên K.
Ở đây, ta kiểm tra tính phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong G
a
.
Thật vậy,
,
x y a
ad ad G∀ ∈
ta có:
+)
[ , ]

x y x y y x
ad ad ad ad ad ad= −o o

( )
[ , ].
y x x y
y x
ad ad ad ad
ad ad
= − −
= −
o o
+)
[[ d , ], ]=[ , ]
x y z x y y x z
a ad ad ad ad ad ad ad−o o

.
x y z y x z z x y z y x
ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad= − − +o o o o o o o o
(1)
Tương tự ta có:
[[ , ], ] [ , ]
y z x y z z y x
ad ad ad ad ad ad ad ad= −o o

.
y z x z y x x y z x z y
ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad= − − +o o o o o o o o
(2)

[[ , ], ] [ , ]
z x y z x x z y
ad ad ad ad ad ad ad ad= −o o

.
z x y x z y y z x y x z
ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad= − − +o o o o o o o o
(3)
Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được:

[[ , ], ]+[[ , ], ] [[ , ], ]=0.
x y z y z x z x y
ad ad ad ad ad ad ad ad ad+
Ta suy ra G
a
là đại số Lie trên K.
Để chứng minh G
a
là đại số con của F ta kiểm tra các phép toán trên F.
Thật vậy,
z G∀ ∈
, ta có:
(ad
x
+ ad
y
)(z) = ad
x
(z) + ad
y

(z)
= [x,z] + [y,z]
= [x + y,z]
= ad
x+y
(z) .
⇒
ad
x
+ ad
y
= ad
x+y
.

( ) [a , ]
ax
ad z x z=
20

[ , ]
. ( ); .
x
a x z
a ad z a K
=
= ∀ ∈

⇒

.
ax x
ad a ad=
.
( ) ( ) ( )
[ , ]
x y x y y x
ad ad z ad ad z ad ad z= −o o
Ta suy ra G
a
là đại số con của F.
Vậy G
a
là đại số Lie con của F.
CHƯƠNG 2
TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE
VÀ LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất về
tích Lie của các đạo hàm Lie, tích Lie của các đạo hàm hiệp biến, tích Lie của
đạo Lie và đạo hàm hiệp biến.
I TÍCH LIE CỦA CÁC ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ G.
1.1. Đạo hàm Lie trên đại số G.
Ta giả thiết G là đại số Lie trên K, F= { X | X là ánh xạ đạo hàm trên đại số Lie
G}
21
1.1.1. Định nghĩa.
Giả sử
X F
∈
. Phép đạo hàm Lie theo hướng X trên đại số Lie G là một

ánh xạ:
:
X
L F F→

[ , ]
X
Y L Y X Y=a
.
1.1.2. Nhận xét.
a)
' '
'
; ,
X
X X X
L L L X X F
+
= + ∀ ∈
.
Thật vậy,
'
'
[ , ]
X X
L Y X X Y
+
= +

'

' '
' '
' '
'
( ) ( )
( )
; , , .
X
X
X X Y Y X X
X Y X Y Y X Y X
X Y Y X X Y Y X
L Y L Y X X Y F
= + − +
= + − +
= − + −
= + ∀ ∈
o o
o o o o
o o o o
b)
. ; , .
aX X
L a L X F a K= ∀ ∈ ∀ ∈
Thật vậy,
[a ,Y]
aX
L X=

(a ) (a )

( )
; , , .
X
X Y Y X
a X Y Y X
aL Y X Y F a K
= −
= −
= ∀ ∈ ∀ ∈
o o
o o
c)
' ' '
(Y Y ) ; , , .
X X X
L L Y L Y X Y Y F+ = + ∀ ∈
Thật vậy,
' '
( ) [ , ]
X
L Y Y X Y Y+ = +

' '
' '
' '
' '
( ) ( )
( )
; , , .
X X

X Y Y Y Y X
X Y X Y Y X Y X
X Y Y X X Y Y X
L Y L Y X Y Y F
= + − +
= + − +
= − + −
= + ∀ ∈
o o
o o o o
o o o o
d)
(a ) ; , , .
X X
L Y aL Y X Y F a K= ∀ ∈ ∀ ∈
Thật vậy,
(a ) [X,aY]
X
L Y =
22

( ) ( )
( )
; , , .
X
X aY aY X
a X Y Y X
aL Y X Y F a K
= −
= −

= ∀ ∈ ∀ ∈
o o
o o
Ta ký hiệu:
{ | }
X
L L X F= ∈
và ta đưa vào L các phép toán sau:
1.
' '
X
X X X
L L L
+
+ =
.
2. aL
X
= L
aX
;
a K∀ ∈
.
Ta nhận thấy L với hai phép toán trên là một môđun trên K.
1.2 Tích Lie của các đạo hàm Lie trên đại số G.
1.2.1. Định nghĩa.
Tích Lie của L
X
, L
Y

được ký hiệu [L
X
, L
Y
] và được xác định như sau:
( ) ( ) ( )
[ , ] ; .
X Y X Y Y X
L L Z L L Z L L Z Z F= − ∀ ∈o o
1.2.2. Mệnh đề.
Giả sử L
X
, L
Y
là hai phép đạo hàm Lie theo hướng X, Y trên đại số Lie G;
,X Y F∈
. Khi đó, ta có:
[ , ]
[ , ]
X Y X Y
L L L=
.
Chứng minh
( ) ( ) ( )
[ , ]
X Y X Y Y X
L L Z L L Z L L Z= −o o

( ) ( )
[ , ] [ , ]

[ ,[ , ]] [ ,[ , ]]
[ ,[ , ]] [ ,[ , ]]
X Y
L Y Z L X Z
X Y Z Y X Z
X Y Z Y Z X
= −
= −
= +

[ ,[ , ]]Z X Y= −
( theo đẳng thức Jacobi)

[ , ]
[[X,Y],Z]
; .
X Y
L Z Z F
=
= ∀ ∈
Vậy
[ , ]
[L , ]
X Y X Y
L L=
.
1.2.3. Nhận xét. L là một đại số Lie trên K với tích Lie
[ , ]
[L , ]
X Y X Y

L L=
.
Thật vậy, ta kiểm tra các tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie
trong L.
23
+)
[ , ]
[ , ]
X Y X Y
L L L=


[ , ]
[ , ]
[ , ]; , .
Y X
Y X
Y X X Y
L
L
L L L L L
−
=
= −
= − ∀ ∈
+)
[[ , ], ]=[ , ]
X Y Z X Y Y X Z
L L L L L L L L−o o

.
X Y Z Y X Z Z X Y Z Y X
L L L L L L L L L L L L= − − +o o o o o o o o
(1)
Tương tự ta có:
[[L , ], ] [ , ]
Y Z X Y Z Z Y X
L L L L L L L= −o o

.
Y Z X Z Y X X Y Z X Z Y
L L L L L L L L L L L L= − − +o o o o o o o o
(2)
[[L , ], ] [ , ]
Z X Y Z X X Z Y
L L L L L L L= −o o

.
Z X Y X Z Y Y Z X Y X Z
L L L L L L L L L L L L= − − +o o o o o o o o
(3)
Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được:

[[ , ], ]+[[L , ], ] [[L , ], ]=0.
X Y Z Y Z X Z X Y
L L L L L L L+
II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ G.
Trong mục này, ta luôn giả thiết G là đại số Lie giao hoán, kết hợp, có đơn vị
e trên K và F = { X| X là đạo hàm trên đại số Lie G}.
2.1. Liên thông tuyến tính trên đại số G.

2.1.1. Định nghĩa.
Giả sử G là đại số Lie và
∇
là một ánh xạ :
F F F× →
( , )
X
X Y Y∇a
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ( ) ; , , .
X X X
Y Z Y Z X Y Z F∇ + = ∇ + ∇ ∀ ∈
2. ; , , .
X Y X Y
Z Z Z X Y Z F
+
∇ = ∇ +∇ ∀ ∈
3. ; , , .
xX X
Y x Y X Y F x G∇ = ∇ ∀ ∈ ∀ ∈
[ ]
4. ; , , .
X X
xY X x Y x Y X Y F x G∇ = + ∇ ∀ ∈ ∀ ∈
24
Khi đó,
∇
được gọi là một liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và
X
Y∇

được
gọi là đạo hàm của trường véctơ Y dọc theo X đối với
∇
.
2.1.2. Mệnh đề.
Giả sử G =
), ( ),
n n
F B= ∇ RRF(
là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G,
S là ánh xạ song tuyến tính từ
F F F× →
. Khi đó
∇
+ S là liên thông tuyến tính
trên đại số Lie G.
Chứng minh
Ta kiểm tra các tiên đề của một liên thông tuyến tính:
1:
( ) ( , )
X
Y Z S X Y Z∇ + + +
=
( , ) ( , )
X X
Y Z S X Y S X Z∇ + ∇ + +
=
( ( , )) ( ( , )); , , .
X X
Y S X Y Y S X Z X Y Z F∇ + + ∇ + ∀ ∈

2:
( ,Z)
X Y
Z S X Y
+
∇ + +
=
( , ) S(Y,Z)
X Y
Z Z S X Z∇ + ∇ + +
=
( ( , )) ( ( , )); , ,
X Y
Z S X Z Z S Y Z X Y Z F∇ + + ∇ + ∀ ∈
.
3:
( X, ) ( , )
fX X
Y S f Y f Y X Y∇ + = ∇ +
=
( ( , )); X,Y F, .
X
f Y S X Y f G∇ + ∀ ∈ ∈
4:
[ ]
( ) ( , Y) X . ( , )
X X
fY S X f f Y f Y X Y∇ + = + ∇ +

[ ]

X . ( ( , )); , ,
X
f Y f Y S X Y X Y F f G= + ∇ + ∀ ∈ ∀ ∈
.
Vậy
S∇ +
là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G.
Bây giờ, ta xét:
:x F F F∇ × →

( , ) . ; .
X
X Y x Y x G∇ ∀ ∈a
2.1.3. Mệnh đề.
Giả sử
1 2
,∇ ∇
là hai liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và e là đơn vị của G.
Khi đó
1 2
( )y e y∇ = ∇ + − ∇
là liên thông tuyến tính,
.y G∀ ∈
Chứng minh
Ta chứng minh :
1 2
( )y e y∇ = ∇ + − ∇
là liên thông tuyến tính.
25