skkn Phương pháp giải một số dạng phương trình môn toán ở cấp THCS




 !"#$% &%$'()*+,-#$% !"#$./# (0#1&#234%5





6( 7389:;<89:=
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
:>?@@?A
1.1 Lí do chọn đề tài
1.1.1.Cơ sở lý luận:
 !"#$$%&#'())
*+&,+-$.'"/012#3 #40 %)*+
5%$%-4'6-%-3748
$%&#-790:+;'<#=30>"
#$-7&#$-790:+'#$74&()?8<
0.30>%,+97 00()#$'@A+
9)BC@A+9+1 BC@A+9DB88$%'<#=
'<#E30>"#$()?#$74&()?C
#$6C#$!?F(G+C#$!*&+%+H
0IC#$74C#$!*&+J-#$,+"#
$748K,+H%*L#$30>7
M5 !##%#/%#$0L3I8+401
9(9%/%*L#$()%0:0%#*N'L
('L#$'()0"+5.5J<"+O(3
P*L#$.%/+Q+)0R01(;
#$8

:>:>8"*2 B3C#
+)*+$%'<#='<#E0S735%
0:05 !"#$0L3I%##%#/850
HHI7)%*L#$7%##%#/#
$;0/0 D:+5K0>0"4#<3%%5
/HI3%(5/%&#H.*3
+3F8
TH/0>%#$;0/0 #!L#-0UV3
#/4*N&5W'W%5 !0S01.0>%7 0>#'60I
<;#$0S-0"+0%%0>$0)5 !
386$4-)*+%0"3V&#X(K%E-
0"+13Y+-0"5/3%&'>5$(K
%E"+J(:0DFZ%*NL[('+K\+&H%
D+V+:+3#//%#$8T<(N06#D'L0I
>388
'H+(5/0I<%%#N%7]*^3V 
+0"#$&# 6$ %*LR#
&"+5.5J'225*L0 +0"8
6$M'6*(6'6'+4 (K3%5 ($
'@
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
_
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
!"#$%&'(#)*+,-
%5 5H(`((N064#>#-39#\ #HI%
##%#0>3a*N01/#$&#*7]*^
3V'<#E&#+3F-K&#b8
[H(N:0L
cX0>5 !"#$.',+(3:9(
M<5 #4<%##%#/%*L#$8

cYD'L-HI%##%#/(*L#$.3
39#\ #>#'K6"(R*+5 !7)(K8
cdD*0>HI%74##>#<0I>3O
;##%#N1-`(2#3.0>74#'+H4#593D+
5 !-%/*L.0>HI74#(L##2
!##%#8
./0&($1%
I>!+3%5 5H('#D'LHI%
*L#$&###%#/-M01(3:'+e
5 /%*L#$8
234&($1%
cZ<H+!+%*L#$$0L3I&#
cf(9H(5Qg8
cH(7/D,+%$*L8
cY%1J'*+K,+'% !"#$./# 0I<&#
8
56$1%
K0S%##%#!+3+
c[!+3F'e'+4-##%#7)(K8
c(5/'H+"()3I73L(G+,+1()3I&0"0(<
##%#*LF8$(0%'H+(5/!+
5hZ
c"+5/3%5 ,+/4#38
cH(*L%F'<#=iJ(_jkbc_jklC'<#Em-EiJ(_jklc
_jkn+ỷ70I>3%-ZVc+7$c
o +-W(8
c%%5 ,+/4#33+5*LH(8
cZ%75 !7/-3#D64*N0</
74#8+0.51(0%%/'+44#18
c(5/e5 p##%#/*L0]H#K,+%

7+3L+(K-*J('<#-%7+)/-)/%&#8
c7'+4O-.(+(K-+H8
c(5/'H+-3%7%OO
c(5/%7L-e5 0..#%:K*L'D+J(."+
5H(8
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
b
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
8>?DA
! 6787%96
$%-%7%"#$0>0"4#
0 "+-.&"+*L.U&,+8%7%*L
0UV3#/9(94*N4+:+q-.HI()3I
5 !;7/#$74&()?-#$6-#
$!?F(G+8888Cd()3I'L71+!8[.D5/J
4*N-#%15/J*+3-.U'()
M5 !0>3a*N+13'<#kj*<*L74#5.8
 -<5H(7/D,+%$/*LK&
3'225/()#$
cK7 '( 0r/()#$8
cX/0>*L#$0/Z8
cs*L#!L#$%O(.0"+5H!+5hJ
/&L -%O(5K.3F5 !01#%1##%#
/8
c.&6'H+0"4#3D+"%*L#$##%#/8
cK0]0"+"4!()'<#H#%15 !"
#$KX% *L'&5.8
c/#$U +R3d#$t +'
dJ!u8
c7$# #$%O(5K$(0"+5H

01/ 0"+*8
12#%O(39(02-9(9;*L#$%
/;*L#$;7/0 D-K(L*L 3%5 
5H(vvP)3I##%#/#$(K%&#vv%#*N
5I<#:%^M5.5J%O(3
5/#$'+I'H+.1*01(5/0I<%7L
0]H#8T<5H(U&L !+"+-
3%5 5H(3w5K%5VM +3.8x4K&(
40>30..#e5 4D$%7L0]H#7L001
3%5 .10>%#*N)S-.##:20?&'>
4#%O(38
T&0"0R''( 013/7%'% !"#$./# -
.0LH+,+/81HI0"+-0UV%#/\D
*3M5hJ,+3%-4\W-0%%7%-0R7H
'5hJ/%-5hJ4*N7%-+QO;0I>3-(
\D*%/#>#3F%##%#0S%%
/5%-012#34#I7)(K%
/:;%<=(+,(,>?@@
A=1B*%6
 y%H("#$-H(#$-d#
$
y%0h-0'e"7 0#$08
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
l
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
y%/%'L#$7/Y$74&()?-
#$6-#$!*&+%+H0I-#$!?F
(G+-#$74()?3I888
y6&79:+7&0z!3I8
yh#$

y%5 !7/"J!-#D60!Da-
y%*L#$-%/;*L8
y[M3':(R#5/#$KX8
T$4-H(N%#/{35|J/%'L7
4#8i`M5H(23+"+J(/*LF#
KK0.(L*L 0"6C)*+% !"#$% &%$'3&3,-#$% !"#$
./# (0#1&#2.!E#$3'<#=-E+ỷ.
!!6D(+,$1%
8>8>: FG#HIJK LK 6#
*&%9706
c(<##%#*L0S5*420?'U((+I-#%1
+:+$(U-5%(#%- ('h!;0.#%1-
#%+5/J0>1+'!%L0)6
-566-20?-<*+&0"(:
#/'h)8
cY#%#*LH0L2#3.<*+(<H
'h)5 !%8
c<&0"0.%:#/5K;$(U-5%(#%-5
%-\D*L0)-4*N-3a*N#I>#%##%#*L
%3#>#<;51+7-;0I>3-\D
*3()<*+0)-3%L8
B&EFAG6
c 0S.&"+%!+"6C)*+% !"#$% &%$'
% !"#$./# 3(<X*;'LF()*L(>#&/%*L
#$##%#/;*L#$-M0"+:
2e5/;'L0.8
cL5|J/7%'% !"#$./# 3
*%H'& +8
cP)3IO(5K.5 !7/"%8
c/J9(5 !(<%O(U4(8

c|J4*N'e+ 7 +8
c.5J35/'L%'5|J%O(UL -
5/J#D65%,+%%->#%O(&4(-%O(5K
,+D(0 eh 7%8
8>8>8> # 30#$J -#3 M
NJ-6
cxL%'% !"#$./# !*N%7%5K#/'68
[ +{'+H3*L%$20.7%O(
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
n
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
'>5 !5K#/'V8$%#K2
U&"+*L%5%
cxL%.%*N-*:;M5 !&7/
3%%5-2#3593D+5 !7 *+3%L-7 $(%/
*L%(<-4#+@%LB%&0"(<8
B&=6
cP*L%(<X00>()3I7%01$'((G+8
c$70>"+%/5%+()7%8
8>8>OP(-# J(PQMF
*"I
c[.()0)p%"+5H(-r-5r-H$
J3KH8
c:+ %O(35%V67)(K%8
B"I<=%6
c+}'01(+)2-K0'L5.
5J-()3I30#/00U,+3K010 8
cP)3IO(U5 !7/"%8
c/J9(5 !(<%O(U4(8
c|J4*N'e+ 74#%O(pL 8

8>8>;&3#$FQR## S#J3&3QMF+&3T)#$>
NJJ,K*($
-%'H+01%(5/0]&8
-x%$(0>##%#I+-5%,+%.&/3
*L#$##%#/-0:+"+013+h0H
IM'X*G: 3% -62e0 %
3+h-#D60r/7%8
B&J,K*>
c[MX*G/(L%K35K<H
I.0>8T$ &/MX*G0.XK6<3-
3'L,+8
c3U +"5|J#D6>#7%88
8>O'% &%JUV#% &%
8>O>:W3RF3XN$'% &%JUV#% &%
cJ,+/3%-0]J#N0L
3 +5W(-$(M3701#N0L8
cf4#%37)(K0151(<*G%.('(74#-#D
K35%5{(R#3 +*<3%(3%%8
cL!23%8
c<*G3%7-'(7-!+<7(<F8
c;M5.5J7/3pM +I5%,+5%-
K0.I9$(M/#%#59#N`(0L0>H+,+/
K%8[9(790>$$3L5.5/#$8
cK\+2e<<*G3%3+h50!<()
7/#$-3aM33-'9Oe5 %O(8
3'(H%DU#/(0.(5: 8
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
~
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
K+:+3#/%-6-0)-.%H(<7/D

4#18
8>O>8),F#$Y3&3  Z3 B3 V#$'% &%JUV#% &%
[ V(YW#$ R#3ZF
c[!+'H+"0(<##%#*LF+3F8
c[H(NJ(_jklc_jkniZx0L-3F-YUZ%xN
c%%-3%%5(K%'<#=-'<#EC[D#%11
LI=-E8%7]*^3V%'<#E-'H+(5/0]
H(-OO
cP)3I0"3V(K%'<#=-E8P)3I7%'<#kj8
cM+:+()'/-X0>3':(3(9
#/8
cYD'L0>%*L%0()>e01/;*L,+%6
*N0]{3%0<$('/8
c$(1+L3'<#=i-Em-Ei+}8
c"\+&()7H#%#.65/3+50.4*N8
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
•
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
DA\]^
@ !"#$% &%$'()*+,-#$% !"#$./# (0#1&#234%B
>_`a^_`]b
:> &#V(Y% !"#$./# <#$ R#3ZF3XN% !"#$./# 
Z/3amt\uit\u'71+!!()7 t\u8
.mt\u€it\u'()#$-1+`#/$(%\01
%%!71+!7`+8
i \0>'?3I8
Z%$(0>?3I'H(#$8
TH$(H('/#$8
P71+!'() #$8
8>FKV#c&3Td# 3XN% !"#$./# 

"+5H\%0()#$'4#>#%%?'(
(71+!#$.h8
4#\%0 9'd
O>N% !"#$./# !"#$T!"#$
#$0>'0 +2.()4#>#
H(8
;>NeFQf3UM#Tg% !"#$./# !"#$T!"#$
* L%<@%<:(=6 Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử
từ vế này sang vế kí và đổi dấu hạng tử đó.
* L%<@M(46 Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng
một số khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
>Dh_`_ij\k_`]b
[ !"#$% &%3 F#$
1 /()#$4*N()3I##%#3+
+ Dùng các phép biến đổi tương đương ( quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân để được
phương trình mới đơn giản hơn và tương đương với phương trình đã cho )
+ Đưa về phương trình tích
+ Bình phương hai vế, khử căn thức
+Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc nhất , phương trình bậc hai hoặc hệ phương
trình…
+Phương pháp xét khoảng giá trị (dùng cho phương trình có chưa dấu giá trị tuyệt đối)
+ Dùng bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki
+Dùng phương pháp đối lập.
+Phương pháp tổng bình phương các số không âm (A
2n
+B
2m
=0 =>>A=0 hoặc B = 0)
+ Các phương pháp giải đặc biệt khác.
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy

=
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
>_`]ba_`k
:>_`]blmnDo
k8k d# #$ pNY74&()?'#$.*L\y7€j-0.-
7'3Ieqj8
k8_  !"#$% &%$'
- Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương:
+ Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế
này sang vế kí và đổi dấu hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số
khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
- Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất
x = -
- Phương trình ax + b = 0 được giải như sau:
ax + b = 0
⇔
ax = - b

⇔
x =
Tập nghiệm S = 
:>Oar,WZ/%#$3+
ub\cE€j
y+1cE; %3 #/0]0*&+-0>b\€E
y[D/_ <-0> b\8€E8
⇔\€b
T44#H(#$'€
7uc•\ykn€j
⇔c•\€ckn

⇔\€
 \€
T44#H(#$'€
u_\ctncb\u€bt\y_u *uy\€ky
⇔_\cnyb\€b\y~ ⇔€
⇔_\yb\cb\€~yn ⇔8~€8~
⇔_\€kk ⇔_8t=\c_u€b8tncn\u
⇔ \€ ⇔k~\cl€knckn\
⇔k~\ykn\€knyl
Y$.4#H(






=
8
::

⇔bk\€kE
⇔\€
Y$.4#H(€
* Lưu ý: Trường hợp phương trình thu gọn có hệ số của ẩn bằng 0
+ Dạng 1: 0x = 0 + Dạng 2: 0x = c ( c N 0 )
Phương trình có vô số nghiệm Phương trình vô nghiệm
S = R S =
∅

Ou_t\ybu€_t\cluykl •u_t\cuyltkc\u€k

⇔_\y~€_\c=ykl ⇔_\ckylc_\€k
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
E
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
⇔_\c_\€c=yklc~ ⇔_\c_\€kykcl
⇔j\€j ⇔j\€c_
Y$.K3IH( Y$KH(
€‚ €∅
* Sai lầm của học sinh giáo viên cần sửa:
Sau khi biến đổi phương trình đưa về dạng 0x = -2
⇔
x = = 0
S#$3N1Giải và biện luận phương trình:
* Nhận xét Z/#$(\y€j-#$0S90S'
#$74&5/:#/\O(\W %>#8
y[ +(
≠
j$#$.H(*+&\€cƒ(
y[ +(€j$#$.*Lj\€
y[ +€j$#$K3IH(8
y[ +
≠
j$#$KH(8
T6*NZ/7H'+4#$
y€tku
Giải:
Ytku⇔8_jy8_j€8_j
⇔ _t(\ynuynt\y(u€(
⇔ _(\ykjyn\yn(€(
⇔ t_(ynu\€(cn(ckj

⇔ t_(ynu\€c_t_(ynu
y[ +_(ynqj⇔(q-#$.H(\€c_
y[ +_(yn€j⇔(€-#$.*Lj\€j#$.K3I
H(8
 '+4 yT<(q-4#H(#$'€
yT<(€-4#H(#$'€‚
!OPQ3RSQTUVW"XYQ6
* Dạng tổng quát ax
2
+ bx+c = 0, trong đó a, b, c
‚- j∈ ≠
a/Cách giải:
* Dùng công thức nghiệm:
∆
€7
_
cl
∆
v
€7v
_
c
y
∆
„j-YKH( y
∆
v„j-YKH(
y
∆
€j-Y.H(5W# y

∆
v€j-Y.H(5W#
\
k
€\
_
€c7ƒ_ \
k
€\
_
€c7vƒ
y
∆
…j-Y._H(#D7H y
∆
v…j-Y._H(#D7H
k-_
7
\
_
− ± ∆
=
k-_
7v v
\

− ± ∆
=
†'eTcO8
'e[ +#$74?

x R
∈

( ) ( )
_
\ j k jbx c a+ + = ≠
.
H(
k _
-x x
$
k _ k _
- 8
b c
S x x P x x
a a
−
= + = = =
8
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
kj
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
* Nhẩm nghiệm:
c[ +\
k
y\
_
€c7ƒ€(y\
k
8\

_
€ƒ€8($\
k
€(C\
_
€
c[ +y7y€j$\
k
€kC\
_
€ƒ
c[ +c7y€j$\
k
€ckC\
_
€cƒ
* Phân tích vế trái thành tích:
†Dấu các nghiệm:
 Y$tku.H(%*&+
jP⇔ <
8
 Y$tku.H(*&+
j
jP
∆ ≥

⇔

>


8
 Y$tku.H(*
j
j
j
P
S
∆ ≥


⇔ >


>

8
 Y$tku.H(D(
j
j
j
P
S
∆ ≥


⇔ >


<


8
Us)*+Yr,W
T6*NkZ/#$3+
-\
_
yb\ck€j
.€kC7€bC€ck
∆
€b
_
cl8k8tcku€Eyl€kb…j8Y$._H(#D7H
\
k
€
_
kbb +−
C\
_
€
_
kbb −−
7-l\
_
cl\yk€j
.€lC7€clC€k
∆
€tc_u
_
cl8k€lcl€j8Y$.H(5W#\
k

€\
_
€
_
k
l
u_t
=
−−
-b\
_
yn\yl€j
.€bC7€nC€l
∆
€n
_
cl8b8l€_ncl=€c_b„j8Y$KH(8
*-•\
_
y_b\cbj€j
.y7y€•y_bcbj€j8Y$._H(\
k
€kC\
_
€
•
bj−
O-\
_
c~j\c~k€j

.c7y€kctc~juc~k€j8Y$.H(\
k
€ckC\
_
€~k
JK#!$(%(01%H(\
k
-\
_
#$
(\
_
c_t(c_u\yt(cbu€j/(S0"+5H
k
_
_
_
k
=+
xx
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
kk
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
i/
"+5H01#$.H(t#D7HRH(5W#u(≠jC∆v‡
j
∆v€t(c_u
_
c(t(cbu€c(yl
∆v≥j⇔(≤l8

T<j≠(≤l-O0'eTW-%H(\
k
C\
_
#$.'
H
\
k
y\
_
€
m
m u_t_ −
C \
k
8\
_
€
m
m b−
x0.k€
2
2
2
1
xx
+
€t\
k
y\

_
u
_
c_\
k
\
_
€
_
_
u_tl
m
m −
c
m
m ubt_ −
⇔(
_
€l(
_
ck~(yk~c_(
_
y~(
⇔(
_
ckj(yk~€j
⇔(€_R(€=
Z%(€=5K/(S0"+5Hj≠(≤l
T4<(€_$
2

2
2
1
xx
+
€k
JK#.#$\
_
c_t(c_u\yt(
_ 
y_(cbu€j8$((01#
$._H(\
k
-\
_
#D7H/(S
n
kk
_k
_k
xx
xx
+
=+

i/
#/.








+
=+
≠
>−+−−−=
(3)
(2)
(1)
5
xx
x
1
x
1
0.xx
03)2m(m2))(m(
21
21
21
22'
ˆ
tku⇔∆v€(
_
cl(ylc(
_
c_(yb€c~(y•…j⇔(„
~

•
t_u⇔(
_
y_(cb≠j⇔t(ckut(ybu≠j⇔(≠kC(≠cb
tbu⇔
ju8nutt
n8
_k_k
_k
_k
_k
=−+⇔
+
=
+
xxxx
xx
xx
xx
>#\
k
y\
_
€j⇔\
k
€c\
_
⇒(€_5K/(S0"+5H
tku
>#nc\

k
8\
_
€j⇔\
k
8\
_
€n
(
_
y_(cb€n⇔t(c_ut(ylu€j



−=
=
⇔
K)§ m·n(tho¶ 4m
(lo¹i) 2m
T4<(€cl#$0S._H(\
k
-\
_
#D7H/(S
n
\
\
k
\
k

_k
_k
x+
=+
JK#2#$(\
_
c_t(yku\yt(clu€jt('(3Iu8
ud%0(01%H(\
k
C\
_
#$/(S
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
k_
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
\
k
yl\
_
€b
7u$(()H!M\
k
C\
_
(5K#N+)(
Bài giải:
a) Ta phải có















≥−−+−=∆
≠
=+
−
=
+
=+
jultukttv
j
bl
l
8
ukt_
_
_k
_k
_k
mmm
m

xx
m
m
xx
m
m
xx
;tkutbu60>
m
m
x
m
m
x
b
=n
C
b
_
k_
+
=
−
=
t_u0>
m
m
m
mm l
E

u=nut_t
_
−
=
+−
⇔_(
_
ck•(y=€j
Z/#$_(
_
ck•(y=€ j0>(€=C(€
_
k
/(S0"+5Htlu8
T4<(€=R(€ $%H(#$/(S
\
k
yl\
_
€b8
b) Theo hệ thức Viét:
\
k
y\
_
€_y
m
_
\
k

y\
_
€kc
m
l
t†u

m
_
€\
k
y\
_
c_t†u0>\
k
\
_
€kc_t\
k
y\
_
c_u
T4\
k
8\
_
€nc_t\
k
y\
_

u
JK#56T<%($#$3+.6&()H(
+
\
_
y_\y(€j tku
\
_
y(\y_€j t_u
Bài giải:
Z\
j
'H(+0._#$50..
j_
j
_
j
=++
mxx

j_
j
_
j
=++
mxx
;O; #$0>t(c_u\
j
€(c_
[ +(€_/#$'\

_
y_\y_€jKH(
[ +(≠_$\
j
€k;0.(€cb
T<(€cb tku'\
_
y_\‰b€jC.H(\
k
€k\
_
€cb
Tt_u'\
_
cb\y_€jC.H#\
b
€k\
l
€_
‚Š<(€cb$#$.H(+\€k8
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
kb
t:u
t8u
tOu
t;u
_
k
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
3>lG%

Bµi 1: Z/#$3+
8 \
_
c\c~€j
78 b\
_
y_\c=€j
8
_
_ _ jx x− + − =

*8 b\
_
cl\cl€j
O8 _\
_
c\c~€j
•8 \
_
c_\c=€j
Bµi 2: [?(H(%#$3+
i‹•8k
8 _\
_
cn\yb€j
78 \
_
y•\y~€j
8 _\
_

cn\yb€j
*8 \
_
yl\yb€j
O8 \
_
cb\cl€j
i‹•8_
8_b\
_
‰E\‰b_€j
78l\
_
‰kk\y•€j
8\
_
‰b\‰kj€j
*8\
_
y~\y=€j
O8\
_
‰~\y=€j
[B-F7$;%*+=*
ik#$
jukt_
__
=+−+ mxmx
<('(3I8
8 $((01#$.H(#D7H

78 $((01#$.H(x
1
x
2
/(S
E
_k
=+ xx
i_#$\
_
‰_\‰(
_
‰l€j
8Z/#$5(€_
78$(0"+5H(01#$.H(5W##-KH(8
8$((3#$.H(\
k
-\
_
V(S
\
k
_
y\
_
_
€_j
\
k
c\

_
€kj
Bài 3:#$\
_
ct(ybu\y_t(yku€j tku
$(%(3I(01#$.tku.H(\
k
€_\
_
8
Bài 4#$(\
_
c_t(yku\yt(clu€j
u$((01#$.H(8
7u$((01#$._H(%*&+80.H(-
H(.%+H0I'<Œ
ud%0(01%H(\
k
C\
_
#$/(S\
k
yl\
_
€b8
*u$(()H!M\
k
-\
_
(5K#N+)(8

Bài 5:
uT<%($#$3+.64()H(+8
$(H(+0.Œ
\
_
ct(ylu\y(yn€j tku
\
_
ct(y_u\y(yk€j t_u
7u$(%(01H(#$tku'H(#
$t_u>'L8
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
kl
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
O>_`]bv
†Y$6'#$.*LA(x).B(x) M(x) = 0
†Y#%#/
Muốn giải PT tích A(x).B(x) M(x) = 0, ta giải từng PT
A(x) = 0; B(x) = 0; ; M(x) = 0 rồi lấy tất cả các nghiệm thu được.
†T6*NZ/%#$3+
utb\c_utl\ynu€j 7u_\t\cbuynt\cbu€j
⇔b\c_€jRl\yn€j ⇔t\cbut_\ynu€j
yub\c_€j⇔\€ ⇔\cb€jR_\yn€j
yul\yn€j⇔\€ yu\cb€j⇔\€b
T44#H(#€ yu_\yn€j⇔\€
T44#H(#€
ƒ\
b
yb\
_

y_\€j
ó\t\
_
yb\y_u€j
ó\
k
€jR\
_
yb\y_€j
Z/#\
_
yb\y_€j
y7y€j€…\
_
€ckC
\
b
€ƒ€c_
4#0S.bH(
\
k
€jC\
_
€ckC\
b
€c_
lG%:/%#$3+7`%0"#$6
a. 3x
3
+ 6x

2
- 4x = 0 b.
b _
b _ ~ jx x x+ − − =
8\
l
‰•\
_
y~€j *8tl\cnu
_
‰~tl\cnuy=€j
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
kn
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
;> _`]bwxo@yA 
4.1: Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
c$(0"+5H\%0tdu#$8
cA+0](G+ #$]5a(G+8
cZ/#$;40>8
c '+4%%$(0>?-%%V(Sd
6'%H(#$0S8
4.2: Ví dụ minh họa
ar,W:Z/#$
b_
kj
k
b_
u_t
__
−

+
=−
−
+
x
x
x
x
T-6
dx
≠
_
b
b_
kj
k
b_
u_t
__
−
+
=−
−
+
x
x
x
x

⇔


b_
kj
b_
b_u_t
__
−
+
=
−
+−+
x
x
x
xx
a(G+0>tx y_u
_
‰_xyb€x
_
ykj
⇔
x
_
ylxyl‰_xyb€x
_
ykj
⇔
_x€b
⇔
x€

_
b
t5KV(Sdu
T4#$0SKH(8
ar,W8Z/#$
k
~
k
__
n
+
−=+
+ xx
x
T-6
dY'\
≠
‰k
k
~
k
__
n
+
−=+
+ xx
x
⇔

n _ _ _8~

_t ku _t ku
x x
x x
+ + −
=
+ +
a(G+0>nx y_xy_€‰k_
⇔
•x€‰kl

⇔
x€
_−
tV(Sdu
T44#H(#$0S'€
{ }
_−
;>O)*+% !"#$% &%$'3W z
2. B=+Z
2.  MKIFM1
†T6*NkZ/#$
_ _ _
k k k b
l _
n l kk _= k• •j
x
x x x x x x
+ + =
−
+ + + + + +

8
!{#$,|#$'
dx
k
kjC •C lC kC
_
 
 
 
≠ − − − −
T<$#$0S0<
k k k b
t kut lu t lut •u t •ut kju l _x x x x x x x
+ + =
+ + + + + + −
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
k~
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
_
_
k k k k k k
b b b
k k b b
b kk kj l _
b
• k_ j
l
k k k b
k l l • • kj l _
k b

k kj l _ x x x
x
x x
x
x x x x x x x
x x x
     
⇔ − − −
 ÷  ÷  ÷
     
 
⇔ − = ⇔ =
 ÷
+ + −
 
= −

⇔ + + = ⇔

= −

+ + =
+ + + + + + −
+ + −
3%<d$#$0S.H(*+&x€‰b8
†T6*N_Z/#$
l
k _ b
k _ b l
lx x x

x x x x
x
=
− + +
+ − − +
+ + +
−
8
!{#$,|#$'
dx
{ }
bC _CkCl≠ −
T<$#$0S0<
_ =
k k
l ~
k k l
k _ b lx x x x
+ + ++ − + − =
− + + −
_
_ b l
_ j
l _ b
j
n = n k_
j
t kut lu t _ut bu
tn =ut _ut bu tn k_ut kut lu j
k~

j
n
k
k _ b l
k
k l _ b
x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x x x
 
⇔ − − + =
 ÷
 
   
⇔ + − + =
 ÷  ÷
   
− +
⇔ − =
− − + +
⇔ − + + − + − − =
⇔ + − =
− + + −
− − + +
 >#<d$#$0S.H('
k _
k ~E k ~E

k C k
_ n _ n
x x
   
= − − = − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
†T6*NbZ/#$
k k k k
_jk_ k _jkb _ _jkl l _jkn nx x x x
− = −
+ + + +
8
!{#$,|#$'
dx
k _ l n
C C C
_jk_ _jkb _jkl _jkn
− − − −
 
 
 
≠
T<-#$0S0<
k k k k
_jk_ k _jkn n _jkb _ _jkl lx x x x
+ = +
+ + + +
lj_• ~ lj_• ~

t_jk_ kut_jkn nu t_jkb _ut_jkl lu
x x
x x x
+ +
⇔ =
+ + + +
lj_• ~ jx
⇔ + =
R
k k
t_jk_ kut_jkn nu t_jkb _ut_jkl lux x x
=
+ + + +
lj_• ~ jx
⇔ + =
R
t_jk_ kut_jkn nu t_jkb _ut_jkl lu jx x x+ + − + + =
lj_• ~ jx⇔ + =
R_x
_
ynxyb€j
Kết luậnY$0S.7H(
k _ b
~ b
C kC
lj_• _
x x x
−
= = − = −
8

Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
k•
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
2. !/*(,B9*+0
[T6*NlZ/#$
_ _
_ kb
~
b n _ b _
x x
x x x x
+ =
− + + +
8
!{#$,|#$'
dx
_
kC
b
 
 
 
≠
T<-#$0S0<
_xtbx
_
yxy_uykb\tbx
_
‰nxy_u€~tbx
_

yxy_utbx
_
‰nxy_u
⇔
nlx
l
‰kk•x
b
ykjnx
_
‰•=xy_l€j
⇔
t_x‰kutbx‰lutEx
_
‰bxy~u€j
Kết luận:Y$0S.H(
k _
k b
C
_ l
x x= =
8
†T6*NnZ/#$
k k
_
k k k
x x
x
− +
− =

8
!{#$,|#$'
dx …jx
k≠
8
T<-#$0S0<
_
k
_
_ k
x
x
−
=
tku
• [ +j„x „k$ %tku'3ID(-5 #/'3I
*8T4#$0S5K.H(8
• [ +x…k$ tku0"+*-7$# 0>
x
l
‰_x
_
‰k~xyk€j
⇔
tx
_
ybu
_
‰=txyku
_

€j
⇔
tx
_
‰
_ _x
yb‰
_ _
utx
_
y
_ _x
yby
_ _
u€j
 >#<0"+5Hx…k.x€
_ _ _ k+ −
8
;>O>8> !"#$% &%TP}#% W
;>O>8>:>P()}#% W
†T6*N~Z/#$
l _
b _
b k
b
x x
x x x
+ +
=
+ −

8
!{#$,|#$'
dx
≠
j
k n
_
x
− ±
≠
8
/a(G+F %x
2
]20>
_
_
k
b
b
k
k
x
x
x
x
+ +
=
− +
R t€
k

x
x
−
-#$F
_
_
k
n
b b _ j
_
k
t
t
t t
t
t
=

+
= ⇔ − + = ⇔

=
+


• T<t€k-.
_
k k n
k k j
_

x x x x
x
±
− = ⇔ − − = ⇔ =
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
k=
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
• T<t€_-.
_
k
_ _ k j k _x x x x
x
− = ⇔ − + = ⇔ = ±
Kết luận:Y$0S.lH('
k-_
k n
_
x
±
=
C
b-l
k _x = ±
8
†T6*N•Z/#$
_ _
_ kb ~
b l k b _ kx x x x x
+ =
− + + +

8
!{#$,|#$'
d
k
jCkC
b
x
 
≠
 
 
8
i 0#$0S
_ kb
~
k k
b l b _x x
x x
+ =
− + + +
Rt =
k
b lx
x
− +
8Y$F
_ kb
~
~t t
+ =

+
⇔

_
k
_ • l j
_
t t t+ − = ⇔ =
R
lt = −
• T<
k
_
t =
-.
_
l
k k
b
b l ~ kk l j
k
_
_
x
x x x
x
x

=


− + = ⇔ − + = ⇔


=



• T<
lt = −
-.
_
k
b l l b k jx x
x
− + = − ⇔ + =
Y$KH(8
Kết luận: Y$0S.H(
k _
l k
C
b _
x x= =
8
†T6*N=Z/#$
_ _
k k
kn
t kux x
+ =
+

8
!{#$,|#$'
d
{ }
jC kx ≠ −
8
Y$0S0<#$3+
_
_ _
_ _
t ku k _
kn kn
t ku t ku t ku
x x
x x x x x x
 
+ +
= ⇔ + =
 ÷
+ + +
 
R
k
t kux x +
€t8Y$Ft
_
y_t‰kn€j
⇔
t€bRt€
‰n8

• T<
bt =
-.
_
k b _k
b b b k j
t ku ~
x x x
x x
− ±
= ⇔ + − = ⇔ =
+

• T<
nt = −
-.
_
k n n
l n n k j
t ku kj
x x x
x x
− ±
= − ⇔ + + = ⇔ =
+
Kết luận: Y$0S.7IH(
k-_
b _k
~
x

− ±
=
C
b-l
n n
kj
x
− ±
=
8
;>O>8> !/I*[#
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
kE
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
†T6*NEZ/#$
_ _
k k _
k_
_ b b
x x x
x x x
+ + −
   
+ =
 ÷  ÷
− − −
   
8
!{#$,|#$'
d

{ }
_Cbx ≠
8
R
k _
C
_ b
x x
u v
x x
+ −
= =
− −
$#$0SF
_ _
k_ t b ut l u ju uv v u v u v+ = ⇔ − + =
bu v
⇔ =
R
lu v
= −
• T<
bu v
=
-.
_
k _ = l~
b8 _ k~ E j
_ b _
x x

x x x
x x
+ − ±
= ⇔ − + = ⇔ =
− −
• T<
lu v
= −
-.
_
k _
t lu8 n k_ kE j
_ b
x x
x x
x x
+ −
= − ⇔ − + =
− −
tKH(u
Kết luận: Y$0S.H('
k-_
= l~
_
x
±
=
8
†T6*NkjZ/#$
b b

8 _
k k
x x
x x
x x
− −
 
− =
 ÷
+ +
 
8
!{#$,|#$'
d
kx
≠ −
8
R
b b
8 C
k k
x x
a x b x
x x
− −
= = +
+ +
8.a.b€_a + b€b8
x0.ab'H(#$d
_

‰bdy_€j
k
kd =⇔
R
_
_d =
8
• T<a€k-b€_0>x
_
‰_xyk€j
⇔
x€k8
• T<a€_-b€k0>x
_
‰xy_€jtKH(u8
Kết luận: Y$0S.H(*+&'x€k8
;>O>O> !"#$% &%T&# $&
†T6*NkkZ/#$
_ _ _
b l k
b b E _x x x x x
− =
+ + + +
8
!{#$,|#$'
d
jx
≠
8
Y$0S0<

_ _ _
k l b
_ b E bx x x x x
+ =
+ + + +
t†u
•#*Ni
_ _ _
t ua b a b
x y x y
+
+ ≥
+
<(x, y…j8
z!\/5X5
a b
x y
=
-.
_
_ _ _ _
k l t_ ku b
_ b E b b E bx x x x x x x
+
+ ≥ =
+ + + + + +
+t†u
⇔
x
_

ybxyE€lx
_
⇔
x
_
‰x‰b€j
Kết luận: Y$0S.H('
k-_
k kb
_
x
±
=
8
;>;slG%BHFQV#
Z/%#$3+
k8
k k k k
l _jk~ n _jkl kn _jk• ~ _jknx x x x
+ = −
− + − −
_8
_
_
_
_n
kk
t nu
x
x

x
+ =
+
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
_j
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
b8
_ _ _
k k k k
E _j kk bj kb l_ k=x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
l8
k _ l n
j
_ b n ~
x x x x
x x x x
− − − −
− − + =
+ + + +
n8
_ _ _
k k= k=
_ b _ _ _ kx x x x x x
+ =
+ − + − + −
~8
~ =
k

t kut _u t kut lux x x x
+ =
+ + − +
•8
tn u n
n
k k
x x x
x
x x
− −
 
+ =
 ÷
+ +
 
=8
_ _
k k n
t _u k~x x
+ =
+
E8
_ _
_ _
_ k _ _ •
_ _ _ b ~
x x x x
x x x x
+ + + +

+ =
+ + + +
kj8
_ _
l b
k
l = • l kj •
x x
x x x x
+ =
− + − +
kk8
_ _
_ kb
~
_ n b _ b
x x
x x x x
+ =
− + + +
k_8
b
b
k k
kbx x
x x
 
+ = +
 ÷
 

=>_`]bwxnA]~A•h
=>:>M# Z33€## {
5  /\]*6
Z%+H0I3IM+Xx-56H+
x
-'5/%;01(x<01(
jN3I8
x  +
j≥x
.
x
€
-x +
j〈x
Z%+H0I()3I\'()3I5KD(-56H+
x
0>
\%03+
x  +
j≥x
.
x
€
-x +
j〈x
†T<A(x)'()71+!ep.
A(x) +
jut ≥xA

=utxA

cmt\u +
jut 〈xA
†T<(
utu-t- xgxfRx
∈
'71+!e-.
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
_k
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS

[ ]
[ ]
utututut
_
k
utuCt(t
utututut
_
k
utuCt(\t
xgxfxgxfxgxf
xgxfxgxfxgxf
−−+=
−++=
5 !';%6
•
x
jjCj =⇔=∈∀≥ xxRx
•
xx =−

•
jC ≥⇔=≤≤− xxxxxx
•
αα
≥⇔〉≥ xx j
R
α
≤
x
•
αααα
≤≤−⇔〉≤ xx ujt
•
yxyx 88
=
•
y
x
y
x
=
•
_
_
xx
=
•
xx =
_
5 .KB(,\%<'+

• d# Hr:[ +x, y'3I$
yxyx +≤+
8x&+Ž€Ž\/
j8 ≥⇔ yx

16
.
( )
_____
___
ut_88_8_ yxyxyxyyxxyyxxyx +=++≥=+=++=+
8
T4
yxyx +≥+
8
x&+Ž€Ž\/
j8 ≥⇔ yx
8
• d# Hr8[ +x, y'3I$

yxyxyx +≤−≤−
16
.
yyxyyxx +−≤+−= ut
tO0'6ku8
8yxyx −≤−⇔
(
xyxyyx −≥−=−
[
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy

__
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS

uktyxyx
yxyxyx
yxyx
−≤−⇔
−≤−≤−−⇒
−−≥−
'L.
( )
u_tyxyxyxyx +=−+≤−+=−
;tkut_u.
yxyxyx
+≤−≤−
8
^86[ +y7`-y.

yxyxyxyx
+≤−≤−=−−
8
=>:>;> !"#$% &%UM#Tg3&3UzF Z33L3 ZN$&.dFQVT+
• 7K7%96
i 0%71+!.!%+H0I'`(027`
M71+!05K!%+H0I-.%5%'`(
'L;%*&+%+H0I5V%71+!01.1 %#W#6
0L3I,+O+)8K3w0>%71+!3I5%+t5K!
*&+%+H0IuM5/5%+8
• B=+Z6
P+I7 0%71+!.!%+H0I`('L7V%x&+Ž

%+H0I$& #/J!
yh%+H0IH,+/0S+F8
yA+9"*&+!74&(!743+
†[!ax + b (a
≠
0)*&+<a5
a
b
x −〉
-%*&+<5
a
b
x
〈−
8
44Zx
0
'H(!a x + b $
a
b
x −=
j
dW
j
xx
a
b
x
a
bax

−=+=
+
[ +
j
xx 〉
$
bax
a
bax
xx +⇒〉
+
⇒〉− jj
j
*&+<a8
[ +
j
xx 〈
$
bax
a
bax
xx
+⇒〈
+
⇒〈−
jj
j
%*&+<a8
†u(!74ax
2

+ bx + c (a
≠
0)%*&+<a5/
MH(t +.u-*&+<a(>#5%8
5 5JK#>*6
JK#:>x, y'3IV(Sxy
j
≥
6%71+!
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
_b
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS







−−−+






−++= y
yx
xyx
yx

xyB
____
' i 0i-.

( )
yx
yx
xy
yx
xyB
+−






−−+++=
____
R
j
____
k
≥−−+++=
yx
xy
yx
xyB
6B
k

_
0>
_ _ _ _
_
k
_
_ _ _
l l _ _ l l
_ _ _ t u
_
x y xy xy x y
B xy x xy y xy xy x xy y xy
x y
xy x xy y x y
= + + + + + + − − − + + +
+
 
+ − = + + = +
 ÷
 
tT$
xy
yx
≥







+
_
_

xy
yxyx
xy _
_
_
_
__
__
−






+
=






+
−
+ B

1
€
yx
+
T4
( )
yxyxB
+−+=
PR5%-*
j≥xy
\-*&+-3+
yxyx +=+
x0.B = 0
JK#8>‚271+!3+
b_
llk
_
−
+−+−
=
x
xxx
A
' 
d
_
b
≠x
.
( )

b_
_k
b_
_k
_
−
−+−
=
−
−+−
=
x
xx
x
xx
A
[ +x<1$
k
b_
_b
b_
_k
−=
−
−
=
−
−+−
=
x

x
x
xx
A
[ +
_k
<≤
x
$

b_
k
b_
_k
−
=
−
−+−
=
xx
xx
A

Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
_l
PHƯƠNG PHP GII MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRNH MÔN TON Ở CẤP THCS
[ +
_≥x
$


k
b_
b_
b_
_k
=
−
−
=
−
−+−
=
x
x
x
xx
A
.('L
ck +
k<x

A€ 
b_
k
−x
 +
_k
<≤
x


k +
_≥x

lO>-7-…j8‚271+!
bcaccbabcaccbaC +−+++++++= __
' 
T<-7-…j.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
cbacbaC
cbacbaC
ccbabaccbabaC
−++++=
−++++=
++−++++++=
__
__

T$
j>++ cba

cbacbaC −++++=
[ +
bacbacbaCcba +=−++++=⇒≥+ _
[ +
cbaccbaCcba _=+−+++=⇒<+
.('L
 
ba +_
 +

cba ≥+
C€

c_
 +
cba <+
5 _T-9D7%<'6
l:>‚271+!
u
k•__n_jl
_
−++−= aaaA
<
b<a
7u
___
k~=_~lk~ xxxxxB ++−−+−=
u
_b_
_b
−++
−−
=
xx
xx
C
Giáo viên: Đỗ Thanh Tùng – Trường THCS Thanh Thủy
_n