Rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy học hình học lớp 8

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH







NGUYỄN ĐĂNG KHOA







RÈN LUYỆN NĂNG LỰC CHỨNG MINH
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC
HÌNH HỌC LỚP 8





LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

TP.HỒ CHÍ MINH – 2014
2


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH





NGUYỄN ĐĂNG KHOA





RÈN LUYỆN NĂNG LỰC CHỨNG MINH
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC
HÌNH HỌC LỚP 8




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10.11



Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐINH QUANG MINH
TS. NGUYỄN CHIẾN THẮNG
TP.HỒ CHÍ MINH – 2014
3

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cám ơn TS. Nguyễn Chiến Thắng và TS. Đinh
Quang Minh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin cám ơn quý thầy cô trong chuyên ngành lý luận và phương
pháp dạy học bộ môn Toán, khoa Toán, trường Đại học Vinh đã nhiệt tình
giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, bạn bè đồng nghiệp trường THCS Tân
Túc, huyện Bình Chánh, thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện
cho tôi trong quá trình thực nghiệm đề tài.
Dù đã cố gắng, tuy nhiên trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót,
mong nhận được các ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.

Tác giả


Nguyễn Đăng Khoa

MỤC LỤC


Trang
Mở đầu
1
4
1. Lí do chọn đề tài
1
2. Mục đích nghiên cứu
3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3
4. Giả thuyết khoa học
3
5. Phương pháp nghiên cứu
3
6. Đối tượng nghiên cứu
4
7. Phạm vi nghiên cứu
4
8. Những đóng góp của luận văn
4
9. Cấu trúc của luận văn
4

Chương 1: Cơ sở lí luận
5
1.1 Năng lực chứng minh toán học
5
1.1.1 Năng lực
5
1.1.2 Chứng minh toán học
7
1.1.3 Năng lực chứng minh toán học
7
1.1.4 Các yêu cầu của một phép chứng minh toán học
7
1.1.5 Vai trò và yêu cầu về dạy học chứng minh toán học ở trường
THCS
9
1.2 Các quy tắc suy luận trong chứng minh toán học
14
1.3 Các phương pháp chứng minh
16
1.3.1 Lược đồ chứng minh
16
1.3.2 Các phương pháp chứng minh
16
1.4 Nội dung môn hình học lớp 8
22
1.5 Sơ lược về các dạng toán chứng minh trong SGK hình học lớp 8
26
1.6 Kết luận chương 1
34
Chương 2: Khảo sát thực trạng việc rèn luyện năng lực chứng

minh trong dạy học hình học lớp 8
35
5
2.1 Mục tiêu của khảo sát
35
2.2 Thực trạng học các dạng toán chứng minh và việc rèn luyện
năng lực chứng minh của học sinh thông qua dạy học hình học 8
36
2.3 Nguyên nhân của thực trạng
39
2.4 Kết luận chương 2
40
Chương 3: Các biện pháp rèn luyện năng lực chứng minh cho
học sinh thông qua dạy học hình học lớp 8
41
3.1 Định hướng xây dựng phương pháp
41
3.2 Các biện pháp rèn luyện năng lực chứng minh toán học
42
3.2.1 Biện pháp 1: Gợi động cơ chứng minh cho học sinh
42
3.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ hình
48
3.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng phân tích và tổng hợp
50
3.2.4 Biện pháp 4: Đặt câu hỏi gợi ý để học sinh tìm hướng chứng
minh và rèn luyện khả năng dùng sơ đồ suy xuôi, suy ngược để tìm
lời giải
57
3.2.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng vẽ đường phụ cho học sinh

62

3.2.6 Biện pháp 6: Rèn luyện kỹ năng huy động kiến thức để chứng
minh
81
3.2.7 Biện pháp 7: Phân tích và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong
chứng minh toán học
95
3.3 Kết luận chương 3
101
Chương 4: Thực nghiệm sư phạm
102
4.1 Mục đích của thực nghiệm
102
4.2 Nội dung thực nghiệm
102
4.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
103
4.4 Kết luận thực nghiệm
106
6
Kết luận
107
Phụ lục
108
Tài liệu tham khảo
115

7
QUI ƯỚC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
Viết tắt
Viết đầy đủ
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
PPDH
Phương pháp dạy học
SL
Số lượng
THCS
Trung học cơ sở
HĐKT
Huy động kiến thức

8

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Văn kiện Đại hội X của Đảng khẳng định: “Ưu tiên hàng đầu cho việc
nâng cao chất lượng dạy và học. Đổi mới phương pháp dạy và học, nâng cao
chất lượng đội ngũ giáo viên và tăng cường cơ sở vật chất của nhà trường,
phát huy khả năng sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học sinh, sinh viên. Coi
trọng bồi dưỡng cho HS, sinh viên khát vọng mãnh liệt xây dựng đất nước
giàu mạnh, gắn liền lập nghiệp bản thân với tương lai của cộng đồng, của
dân tộc, trao dồi cho HS, sinh viên bản lĩnh, phẩm chất và lối sống của thế hệ
trẻ Việt Nam hiện đại. Triển khai thực hiện hệ thống kiểm định khách quan,
trung thực chất lượng giáo dục, đào tạo”.
Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam cũng đã qui
định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của
HS” (Luật giáo dục 2012 chương I, điều 28).
Theo Lê Tử Thành [17] “Chứng minh là một hình thức suy luận, dựa
vào những phán đoán mà tính chân thực được công nhận để khẳng định tính
chân thực của một phán đoán khác cần được chứng minh”. Từ đó ta thấy

chứng minh một bài toán hình học đòi hỏi việc suy luận chặt chẽ và chính xác.
Nếu việc chứng minh trong toán học nói chung và chứng minh hình học nói
riêng được học sinh thực hiện tốt và vận dụng có phương pháp thì sẽ giúp tư
duy của học sinh được nâng cao.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp rèn luyện chứng
minh hình học nhưng đa số các công trình chủ yếu nói về một phần trong chứng
9
minh hình học như vẽ đường phụ hoặc các biện pháp rèn luyện hình học nói
chung, chưa đi sâu vào các phương pháp rèn luyện chứng minh cho học sinh
thông qua dạy hình học lớp 8. Như thế nghiên cứu các phương pháp rèn luyện
chứng minh cho học sinh thông qua dạy hình học lớp 8 sẽ góp phần nâng cao
chất lượng học hình học cho học sinh cũng như giúp giáo viên có thêm tài liệu
để tham khảo.
Ta đã biết, kiến thức Toán ở bậc THCS gồm Số học, Đại số và Hình
học. Việc đổi mới PPDH cần phải đổi mới toàn diện. Nhưng qua kiểm tra
đánh giá chất lượng đầu năm cũng như kiểm định kỳ ở bộ môn Toán thì đa số
học sinh làm không tốt ở phân môn Hình học, đặc biệt là Hình học lớp 8.
Chính vì thế chúng tôi đã khảo sát và điều tra nguyên nhân các em học sinh
không làm tốt các bài kiểm tra chất lượng, kiểm tra định kỳ Đó là do các em
học sinh chưa nắm được phương pháp học môn Hình học, đặc biệt là phần
chứng minh các bài toán hình học lớp 8.
Các bài toán chứng minh trong hình học có một tác dụng rất lớn trong
việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh, nó vừa giúp học sinh nắm vững kiến
thức vừa giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp,
so sánh
Bằng kinh nghiệm của bản thân, trải qua quá trình học tập và thực tế
giảng dạy ở trường phổ thông chúng tôi lại nhận thức rõ hơn tầm quan trọng
trong việc rèn luyện năng lực chứng minh hình học cho học sinh lớp 8. Đây là
một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên. Vì đa số các kiến thức
hình học ở bậc THCS được hình thành ở năm học lớp 8 nên năng lực, tư duy

cũng như lòng ham thích hình học của học sinh cần phải được bồi dưỡng ngay
từ đây.
Vì vậy, chúng tôi lựa chọn đề tài “Rèn luyện năng lực chứng minh
cho học sinh thông qua dạy hình học lớp 8”.
10
Năng lực chứng minh hình học nói trên có phạm vi rất rộng. Do hạn
chế về mặt thời gian nên trong đề tài này tôi chỉ nghiên cứu các phương pháp
rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy học định lí và các
bài tập hình học được khai thác từ SGK lớp 8.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực chứng
minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học lớp 8.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận về dạy học chứng minh.
2. Nghiên cứu về vai trò của việc dạy học chứng minh hình học.
3. Nghiên cứu về nội dung, chương trình SGK lớp 8 hiện hành và thực
tiễn thực hành giải toán ở trường THCS.
4. Xây dựng và đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện năng lực
chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học lớp 8.
5. Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp đã
đề ra.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở chương trình môn Toán hiện hành, nếu xây dựng được một
số biện pháp rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải
bài tập hình học lớp 8 một cách hợp lý thì có thể góp phần nâng cao chất lượng
dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở.
5. Phương pháp nghiên cứu
5. 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu các tài liệu sách báo, các
công trình liên quan đến đề tài của luận văn.
5.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn

Tìm hiểu thực trạng việc dạy và học Toán đại số ở trường THCS
Tân Túc huyện Bình Chánh.
11
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xem xét tính khả thi và hiệu quả
của một số biện pháp đề xuất trong luận văn.
6. Đối tượng nghiên cứu
Các phương pháp chứng minh hình học.
7. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp chứng minh hình học để áp dụng vào rèn
luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học
lớp 8.
Khảo sát thực tế trên học sinh THCS Tân Túc huyện Bình Chánh.
8. Những đóng góp của luận văn
Làm rõ thêm các vấn đề lý luận và thực tiễn của việc dạy học chứng
minh nói chung, dạy học chứng minh hình học nói riêng.
Giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ các phương pháp chứng minh hình
học có thể vận dụng vào giải các bài tập chứng minh hình học lớp 8, góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường THCS.
Xây dựng và đề xuất được một số biện pháp nhằm rèn luyện năng lực
chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học lớp 8.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4
chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận
Chương 2. Khảo sát thực trạng việc rèn luyện năng lực chứng minh
trong dạy học hình học lớp 8
Chương 3. Các biện pháp rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh
thông qua dạy học hình học 8
Chương 4. Thực nghiệm sư phạm
12

Chng 1
C S L LUN
1.1. Nng lc chng minh toỏn hc
1.1.1 Nng lc
Theo quan im ca cỏc nh tõm lớ hc, Nng lc l tng hp cỏc c
im, thuc tớnh tõm lớ ca cỏ nhõn phự hp vi yờu cu c trng ca mt hot
ng nht nh nhm m bo cho hot ng y t hiu qu cao.
Cỏc nng lc hỡnh thnh trờn c s ca cỏc t cht t nhiờn ni úng vai
trũ quan trng, nng lc ca con ngi khụng phi hon ton do t nhiờn m
cú, phn ln do cụng tỏc, do luyn tp m nờn. Nng lc cú hai dng khỏc nhau
ú l nng lc chung v nng lc chuyờn mụn.
Nng lc chung l nng lc cn thit cho nhiu ngnh hot ng khỏc
nhau nh nng lc phỏn xột t duy lao ng, nng lc khỏi quỏt húa, nng lc
tng tng.
Nng lc chuyờn mụn l nng lc c trng trong lnh vc nht nh.
Trong thc t mi hot ng cú kt qu v hiu qu cao thỡ mi ngi
cn phi cú nng lc chung phỏt trin trỡnh cn thit v cú mt vi nng
lc chuyờn mụn tng ng vi lnh vc cụng vic ca mỡnh.
Một số công trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ ra
rằng, qua quá trình hoạt động HS dần hình thành tri thức, kĩ năng , kĩ xảo
cho bản thân. Và từ những nền tảng đó họ bắt đầu phát triển những khả năng
của mình ở mức độ từ thấp đến cao. Cho đến một lúc sự phát triển bên trong
đủ khả năng giải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập và trong cuộc
sống thì lúc đó HS sẽ có những năng lực nhất định.
Vậy thế nào là năng lực? Khái niệm này cho đến nay vẫn có nhiều cách
hiểu và cách diễn đạt khác nhau, d-ới đây là một số cách hiểu về năng lực.
13
Theo từ điển Tiếng Việt thì: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con
ngời hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lợng cao.
Năng lực là một khái niệm tích hợp ở chỗ nó bao hàm cả những nội

dung, những hoạt động cần thực hiện và những tình huống trong đó diễn ra
các hoạt động. Garard và Roegies đã định nghĩa: Năng lực là một tích hợp
những kĩ năng cho phép nhận biết một tình huống và đáp ứng với tình huống
đó tơng đối thích hợp và một cách tự nhiên.
Còn ở Việt Nam tác giả Trần Đình Châu quan niệm: Năng lực là
những đặc điểm cá nhân của con ng-ời đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt
động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại
hoạt động đó. Tác giả Phạm Minh Hạc thì cho rằng: Năng lực là một tổ
hợp đặc điểm tâm lí của con ng-ời, tổ hợp này vận hành theo một mục đích
nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy.
Cho dù cách tiếp cận khác nhau nh-ng ta thấy năng lực biểu hiện bởi
các đặc tr-ng:
Cấu trúc của năng lực là tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những hoạt
động thành phần có quan hệ chặt chẽ với nhau.
- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; nói đến năng lực
tức là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân.
- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới
mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo t- duy có khác nhau về mức
độ.
- Năng lực có thể rèn luyện và phát triển đ-ợc.
- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau .
ở mỗi ng-ời có những loại năng lực khác nhau và hai ng-ời khác nhau
thì có những năng lực khác nhau và tố chất ở họ khác nhau.


14
1.1.2 Chứng minh toán học
Chứng minh là một hình thức suy luận, dựa vào những phán đoán mà
tính chân thực được công nhận để khẳng định tính chân thực của một phán
đoán khác cần được chứng minh.

Trong phạm vi toán học: Chứng minh là phép suy luận để thiết lập sự
đúng hay sai của một khẳng định.
Trong phạm vi toán học THCS: Chứng minh định lí là dùng các lập luận
để suy luận từ giả thiết ra kết luận. Lập luận là nêu những khẳng định và vạch
rõ vì sao, căn cứ vào đâu mà có những khẳng định đó.
1.1.3 Năng lực chứng minh toán học
Năng lực chứng minh hình học là gì? Ta có thể hiểu nó như sau
Năng lực chứng minh hình học là một tổ hợp những đặc điểm tâm lí của
con người qua đó họ có thể vận dụng các kiến thức đã có cùng với các phương
pháp chứng minh hình học đã biết để đi đến giải quyết được yêu cầu của một
bài toán chứng minh.
1.1.4. Các yêu cầu của một phép chứng minh toán học
- Tiền đề và luận cứ phải chân thực: Các điều kiện vào chỉ có thể là giả
thiết, các mệnh đề đúng đã biết, hay các mệnh đề kết luận của các bước thay
thế. Các quy tắc thay thế phải là các định nghĩa, định lí, tính chất hay tiền đề
đúng đã biết.
- Luận cứ phải hợp lôgic: Các phép suy diễn được sử dụng (ngầm ẩn) phải
hợp lôgic.
- Không đánh tráo luận đề: Không thay thế mệnh đề cần chứng minh bằng
một mệnh đề khác không tương ứng với nó[17, tr121]
Một số sai lầm do vi phạm các yêu cầu trên
- Sai lầm về mặt tiền đề: Thường do chỉ dựa vào trực giác hay sử dụng các
mệnh đề chưa chứng minh.
15
- Sai lầm về mặt luận cứ: Do áp dụng sai quy tắc, định lí, định nghĩa, tiên đề.
- Sai lầm về mặt luận chứng: Do sử dụng quy tắc suy luận không hợp lôgic.
Ví dụ 1: Cho ABC dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABEF và
ACGH. Từ A dựng đường vuông góc với BC, cắt BC tại D và cắt FH tại M.
Chứng minh FM=MH
Xét bài làm sau của một học sinh

Hình 1.1
Vì AF=AB, AH=AC, và (đối đỉnh)
Nên AFH=ABC
Ta có:
và
Nên:
Mặt khác vì: (đối đỉnh)
(do hai tam giác bằng nhau)
A
F
B
C
E
G
H
M
D
16
Nên:
Suy ra: FM=MA
Chứng minh tương tự ta có MH=MA

Vậy FM=MH
Sai lầm về mặt tiền đề. Học sinh đã vẽ ABC là tam giác vuông, nên ghi
nhận trực giác rằng F, A, C thẳng hàng.
1.1.5. Vai trò và yêu cầu về dạy học chứng minh toán học ở trường THCS
Ở lứa tuổi trung học cơ sở, tư duy của các em học sinh bắt đầu phát
triển và môn hình học cũng được đưa vào sâu ở bậc học này. Vì thế vai trò
của hình học rất quan trọng đặc biệt là dạy cho học sinh biết cách chứng minh
ở giai đoạn này.
1.1.5.1. Vai trò của việc dạy học chứng minh hình học ở trường THCS
Về kiến thức và kỹ năng: Hình thành cho học sinh một hệ thống khái
niệm, định lí, tính chất hình học. Bước đầu giúp học sinh làm quen với một số
phương pháp chứng minh đồng thời nắm được ngôn ngữ và các kí hiệu toán
học liên quan đến chứng minh. Bên cạnh đó còn rèn luyện cho học sinh kỹ
năng vẽ hình, vận dụng kiến thức chứng minh được để giải quyết các vấn đề
thích hợp trong cuộc sống,… và trình bày lời giải rõ ràng chính xác.
Về phát triển trí tuệ: Phát triển ở học sinh tư duy lôgic và ngôn ngữ
chính xác. Trong quá trình suy luận và chứng minh phần nào giúp học sinh tư
duy trừu tượng và trí tưởng tượng hình học. Đồng thời phát triển óc quan sát
và trí nhớ.
Về tư tưởng đạo đức: Xây dựng cho học sinh nhận thức đúng đắn về
tính thực tiễn của hình học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán và
ví dụ từ cuộc sống.
17
1.1.5.2. Yêu cầu về dạy học chứng minh toán học ở trường THCS
Điều quan trọng nhất là phải làm cho học sinh ở THCS thấy được sự
cần thiết để chứng minh.
1.1.5.2.1. Để phát huy tính tự giác và tích cực của học sinh trong
việc học tập các định lí, điều đầu tiên là phải làm cho các em nhận thức rõ sự
cần thiết phải chứng minh các định lí đó. Yêu cầu này đặt ra rất rõ khi hoc
sinh bắt đầu học hình học. Trong đại số lớp 7 đã có một vài định lí được

chứng minh như: “tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” nhưng các định lí này
khá cụ thể, học sinh dễ thấy tác dụng của nó, nên ít băn khoăn về cách suy
luận để đi đến định lí đó. Trái lại khi mới học hình học, học sinh gặp ngay
việc chứng minh nhiều định lí mà sự đúng đắn của chúng đối với các em là
“hiển nhiên”, “còn chứng minh làm gì nữa?”[4, tr 136]
Ví dụ 2: Chứng minh “hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc
vuông”






Hình 1.2
Ở chương trình lớp 6 khi yêu cầu chứng minh điều này các em sẽ cảm
thấy rất khó khăn và rất ít em làm được. Khi các em nhìn vào hình thì các em
có thể hình dung được nhưng phải làm chặt chẽ theo tia nằm giữa thì các em
không làm được. Làm sao các em hiểu nỗi rằng còn phải xét tia này có nằm
O
t
'
y
t
x
'
x
18
giữa tia kia hay không thì mới là chặt chẽ. Do đó công việc của giáo viên ở
đây làm sao cho học sinh thấy cần thiết phải chứng minh là rất khó khăn,
trong nhiều trường hợp là bất lực.

1.1.5.2.2. Xuất phát từ những yêu cầu của thực tế là một biện pháp
giúp học sinh thấy được sự cần thiết để chứng minh.
Ví dụ 3:






Hình 1.3
Đứng từ điểm B ở bên này bờ sông muốn đo khoảng cách từ B đến A bên kia
sông, người ta có thể làm như sau:
Lấy các điểm C, D sao cho D, C, B thẳng hàng và DC=CB. Kẻ DM sao
cho , rồi trên DM lấy E sao cho A, C, E thẳng hàng. Lúc đó
DE=AB vì sao có thể kết luận được như vậy?
Làm được điều này cũng giải thích sự cần thiết để chứng minh. Từ
những kiến thức khởi điểm này sẽ làm các học sinh học vững hơn ở các năm
lớp 8 trở lên.
1.1.5.2.3. Đối với một số định lí, nên làm cho học sinh thấy được sự
cần thiết của chứng minh để có được một sự kết luận chính xác
D
B
C
A
E
19
Ví dụ: Khi dạy bài tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360
o
ta có thể cho học
sinh đo bốn góc rồi cộng lại dự đoán. Khi ấy kết quả có thể là 360

o
, 361
o
,
362
o
, 359
o
,… Giáo viên mới cho học sinh thấy rằng, các kết quả rất gần giống
nhau, kết quả đúng bao giờ cũng là 360
o
, ta cần chứng minh điều này.
1.1.5.2.4. Để giúp cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng
minh, chứ không thể dựa vào sự đúng đắn của hình vẽ thông qua mắt nhìn,
nên cho học sinh thấy rằng đôi khi hình vẽ “đánh lừa” mắt ta, làm cho ta đánh
giá nhiều vấn đề sai sự thật.
Ví dụ 4: Các ảo giác hình học
Đoạn thẳng nào dài hơn: XY hay YZ; AB hay CD?








Hình 1.4
1.1.5.2.5 Giải thích và tương tác giữa khám phá và hiểu biết
Giải thích phải được xây dựng dựa trên sự hiểu biết thỏa đáng của người giải
quyết về các tình huống vấn đề hay đối tượng của tư tưởng và sự hiểu biết của

họ có thể được đào sâu thông qua những khám phá của họ về những tình
huống hoặc các đối tượng. Tuy nhiên, nó thường được quan sát thấy trong vấn
đề giải quyết toán học mà sự hiểu biết hoặc giải thích của giải quyết tại một
Z
X
Y



A
C
D
B
20
thời điểm cụ thể có thể chỉ hướng hoặc ảnh hưởng đến việc khám phá của họ.
Vì vậy, điều quan trọng là tham dự vào sự tương tác giữa những khám phá
của người giải quyết và sự hiểu biết của họ. Điều này ngụ ý rằng khi phân tích
các quá trình nơi mà người giải quyết đạt đến sự giải thích của họ về hiện
tượng hoặc các mệnh đề trong câu hỏi, sự quan tâm của chúng ta nên tập
trung vào cách sự hiểu biết của người giải quyết làm thay đổi hoặc cải thiện
dần dần trong những quá trình này, cũng như làm thế nào tình trạng hiểu biết
của họ tại một giai đoạn nhất định cho phép việc thăm dò họ áp dụng.
Một mặt, một số phần hiểu biết của người giải quyết được xác nhận bởi các
giải thích toán học. Mặt khác có những phần hiểu biết không được xác nhận
về mặt toán học như các nghi ngờ về giá trị của việc chứng minh các kết luận
trong các vấn đề, các thông tin dựa trên các giả định ngầm người giải quyết
vấn đề có, và sự mong đợi chỉ với một số hình thức giải thích nhất định. Một
số khía cạnh thảo luận trong chương này có thể được tóm tắt trong sơ đồ, nơi
mà những giải thích địa phương liên quan tới những đặc tính cho từng phần
và những giải thích đầy đủ đề cập đến các hiện tượng toán học trong câu hỏi.

Pedemonte (2007) đã cố gắng phân tích "Toàn bộ quá trình giải quyết" khi
giải quyết vấn đề luận cứ và trong lúc phân tích đó, đã chú ý đến các mối
quan hệ cơ cấu "Giữa lập luận ủng hộ một giả thuyết và luận cứ của nó".
Khuôn khổ trình bày ở đây hướng sự chú ý của chúng ta đến các yếu tố cơ
bản mà có thể hỗ trợ cả việc tranh luận và các chứng minh (tức là sự hiểu biết
của người giải quyết về các tình huống vấn đề hay đối tượng) và cho thấy một
kiểu liên tục giữa chúng[19]




Khám phá tình huống hoặc đối
tượng
Khám phá đối
tượng mới

Giải thích
ban đầu
Giải thích
ban đầu
Giải thích
ban đầu
Giải thích
hoàn chỉnh

21

Sơ đồ

1.2. Các quy tắc suy luận trong chứng minh toán học
1.2.1. Suy luận
Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có
Ví dụ: Từ hai mệnh đề
1) Mọi hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau
2) ABCD là hình chữ nhật
Ta rút ra mệnh đề: ABCD có hai đường chéo bằng nhau
Như vậy là ta đã suy luận. Mệnh đề (các mệnh đề) đã có gọi là tiền đề (các
tiền đề) của suy luận, mệnh đề mới được rút ra là kết luận của suy luận
1.2.2. Suy luận diễn dịch
Suy luận diễn dịch là suy luận theo những quy tắc, xác định rằng nếu
tiền đề là đúng thì kết luận rút ra cũng là đúng.
1.2.3. Suy luận có lí
Suy luận có lí không theo một quy luật tổng quát nào để từ những tiền
đề đã có, rút ra được kết luận xác định. Nếu các tiền đề đều đúng, thì không
thể nói kết luận là đúng hay sai.
1.2.4. Quy tắc suy diễn
Cho A và B là hai mệnh đề
22
Nếu ta lập mệnh đề AB
Thì tức là ta đã suy luận từ tiền đề A để có kết luận B
Suy luận này thường được viết dưới dạng sơ đồ
A
B
(đọc: “A, vậy B” hoặc “từ
A suy ra B”)
1.2.5. Suy diễn từ nhiều tiền đề
Nếu ta lập mệnh đề

A B C
thì ta đã suy luận từ hai tiền đề A và B
để có kết luận C. Suy luận này được viết dưới dạng sơ đồ
,AB
C
(đọc: “A và
B, vậy C”)
1.2.6. Quy tắc kết luận từ mệnh đề phổ biến
Quy tắc suy luận:
, ( )
()
x M F x
aM
Fa



Gọi là quy tắc kết luận từ mệnh đề phổ biến
1.2.7. Quy tắc bắc cầu
Quy tắc bắc cầu thường được sử dụng nhiều khi chứng minh các bài
toán hình học[4]
Ví dụ: Nếu ABC A
’
B
’
C
’
và A
1
B

1
C
1
A
’
B
’
C
’

thì ABC A
1
B
1
C
1
.
1.3. Các phương pháp chứng minh
1.3.1. Lược đồ chứng minh
Nếu từ các tiên đề A
1
, A
2
,…, A
n
. Ta rút ra kết luận B bằng cách vận
dụng các quy tắc suy luận thì ta bảo B là kết luận lôgic của các tiên đề. A
1
,
A

2
,…, A
n
và suy luận đó là suy luận hợp lôgic.
23
Nếu các tiên đề A
1
, A
2
,…, A
n
đều đúng thì ta gọi kết luận B là một kết
luận chứng minh và suy luận đó gọi là một phép chứng minh.
Một phép chứng minh lôgic đều gồm ba bộ phận:
- Luận đề: Là mệnh đề phải chứng minh. Nó trả lời câu hỏi: “Chứng
minh cái gì?” ta còn gọi luận đề là kết luận.
- Luận cứ: Là những mệnh đề đã được thừa nhận (định nghĩa, tiên đề,
định lí) được đưa ra làm tiên đề trong mỗi suy luận. Nó trả lời cho câu
hỏi: “Chứng minh dựa vào cái gì?”. Trong mỗi bài toán chứng minh,
luận cứ còn là các dữ kiện, các quan hệ đã cho trong bài toán.
- Luận chứng: Là những quy tắc suy luận hợp lôgic. Nó trả lời cho câu
hỏi: “Chứng minh như thế nào?”, “Theo những quy tắc suy luận nào?”.
1.3.2. Các phương pháp chứng minh
1.3.2.1. Chứng minh trực tiếp
Chứng minh trực tiếp là đưa ra các luận cứ, dùng quy tắc suy luận để
rút ra luận đề. Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các quy tắc “suy luận kết
luận” và “suy luận bắc cầu”.
Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề AB là đúng (A là giả thiết, B là
kết luận), ta lập các mệnh đề mới A
1

, A
2
,…, A
n
gọi là các mệnh đề trung gian
và chứng minh các mệnh đề sau là đúng: AA
1
, A
1
A
2
,…, A
n
B. Tức là ta
đã vận dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau:
1 1 1 2
12
,
,,
, , ,
nn
A A B
A A A A A A
A A B



Theo tính chất bắc cầu, ta có:
24
     

1 1 2
, , ,
n
A A A A A B
B
  

Ví dụ 5: Chứng minh trong một hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đường.

Hình 1.5
Chứng minh:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Xét ABO và CDO, ta có:
(hai góc so le trong)
AB DC
(ABCD là hình bình hành)
(hai góc so le trong)
Nên: ABO=CDO (g.c.g)
 OA=OC và OD=OB (hai cạnh tương ứng)
Vậy AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Phép chứng minh trực tiếp ưu điểm nổi bật là trình bày gọn gàng, chặt
chẽ, có hệ thống. Do vậy phép chứng minh này thường được sử dụng để trình
bày phép chứng minh một định lí trong sách giáo khoa hoặc trình bày giải
một bài toán nói chung và lời giải một bài toán chứng minh hình học nói
GT
ABCD là hình bình
hành
KL
O là trung điểm của

AD và BC
25
riêng. Tuy nhiên, về phương diện sư phạm phép chứng minh này thiếu tự
nhiên vì học sinh không hiểu lí do vì sao (tìm đâu ra, làm sao phải tìm) lại bắt
đầu từ A
1
mà trong ví dụ trên là gọi O là giao điểm hai đường chéo.
1.3.2.2. Chứng minh gián tiếp
Chứng minh gián tiếp một mệnh đề là chứng minh một mệnh đề khác
sai. Cơ sở của phép chứng minh này là quy tắc “suy luận phản chứng”. Giả
sử ta phải chứng minh mệnh đề AB là đúng, A là giả thiết, là mệnh đề đã
cho là đúng, ta phải chứng minh B đúng.
Giả thiết phản chứng là
B
, ta suy ra
A
, điều này mâu thuẫn với giả
thiết A hoặc mâu thuẫn với một mệnh đề đúng đã biết. Vậy B đúng (theo luật
mâu thuẫn).
Ví dụ 6: Chứng minh nếu tứ giác ABCD có AB//CD và AB=CD thì tứ giác
ABCD là hình bình hành.

Hình 1.6
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Giả sử ABCD không phải là hình bình hành
AD và BC không song song
Xét ABO và CDO, ta có:
(hai góc so le trong)
GT
Tứ giác ABCD

AB=CD và AB//CD
KL
ABCD là hình bình hành