Rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán lượng giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH



NGUYỄN THỊ THANH

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM TÒI LỜI GIẢI
BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGHỆ AN - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ THANH
RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM TÒI LỜI GIẢI
BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN THUẬN
NGHỆ AN - 2014
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về sự hướng dẫn tận tình của
Thầy giáo hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Thuận trong suốt thời gian nghiên
cứu và hoàn thành luận văn.
Tác giả luận văn chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại
học, Khoa Toán, Tổ Phương pháp giảng dạy khoa Toán của trường Đại học
Vinh. Cảm ơn Ban giám hiệu, Tổ Toán trường THPT Nguyễn Xuân Ôn (Diễn

Châu - Nghệ An).
Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô giáo và các Bạn đồng
nghiệp đã quan tâm giúp đỡ, đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình và những người thân
đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn này.
Vinh, ngày 26 tháng 09 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh
1
CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
 TN Thực nghiệm
 ĐC Đối chứng
 GV Giáo viên
 HS Học sinh
 VT Vế trái
 VP Vế phải
 SGK Sách giáo khoa
 tr Trang
 NXB Nhà xuất bản
 THPT Trung học phổ thông
 TM Thoả mãn
 GTLN Giá trị lớn nhất
 GTNN Giá trị nhỏ nhất
 BĐT Bất đẳng thức
 PT Phương trình
2
MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 1
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2
3. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 2
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 3
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3
7. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 4
8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN 4
Chương 1 4
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Đại cương về tư duy 4
1.2. Tư duy toán học 9
1.2.1. Khái niệm 9
1.2.2. Các loại hình tư duy 9
1.2.3. Một số nhận xét về cách phân loại tư duy toán học 14
1.2.4. Vai trò của tư duy toán học 15
1.3. Nội dung và đặc điểm của phân môn lượng giác 16
1.3.1. Nội dung chủ đề lượng giác ở trường phổ thông 16
1.3.2. Đặc điểm môn lượng giác ở trường THPT 16
1.4. Một số khó khăn sai lầm khi giải toán lượng giác 17
1.4.1. Sai lầm liên quan đến việc thực hiện các thao tác trong tiến trình giải toán 17
1.4.2. Sai lầm do phương pháp suy luận 18
1.4.3. Sai lầm do kết luận bài toán một cách vội vàng thiếu cơ sở lí luận 20
1.4.4. Sai lầm do không nắm bắt được các điều kiện để thực hiện phép biến đổi tương
đương 21
1.4.5. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán 22
1.5. Một số thực trạng về phương pháp dạy học giải toán lượng giác 23
KẾT LUẬN CHƯƠNG I 24
Chương 2 25
RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TÌM TÒI GIẢI BÀI
TOÁN LƯỢNG GIÁC 25

2.1. Một số thành tố tư duy ảnh hưởng quá trình giải toán lượng giác 25
2.1.1. Liên tưởng và huy động kiến thức 25
2.1.2. Biến đổi và tính toán 35
2.1.3. Dự đoán và suy luận có lí 39
2.1.4. Suy diễn và các thao tác tư duy 44
2.1.5. Diễn đạt vấn đề theo nhiều cách khác nhau 58
2.2. Các biện pháp rèn luyện tư duy học sinh trong quá trình tìm tòi giải bài toán lượng
giác 61
2.2.1. Trang bị các kiến thức nền tảng xây dựng các bài toán gốc 61
2.2.2. Liên tưởng và huy động kiến thức 69
2.2.3. Nhìn một vấn đề dưới nhiều góc cạnh khác nhau 78
1
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 86
Chương 3 87
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 87
3.1. Mục đích thực nghiệm 87
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 87
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm 87
3.2.2. Nội dung thực nghiệm 88
3.3.1. Đánh giá các tiết dạy thực nghiệm 89
3.3.2. Đánh giá bài kiểm tra 90
3.3.3. Đánh giá, phân tích kết quả kiểm tra 91
1 92
2 92
3 92
4 92
5 92
6 92
7 92
8 92

9 92
10 92
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 94
TÀI LIỆU THAM KHẢO 97
2
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Bản chất của tư duy là sự suy nghĩ trong đầu óc con người. Cuộc
sống mỗi ngày đều có thể có thêm sự mới lạ - đó là nhờ sức sáng tạo trong tư
duy của con người. Xã hội càng phát triển thì càng đòi hỏi con người phải suy
nghĩ nhiều hơn. Do đó, rèn tư duy có nghĩa là rèn cho con người cách thức
suy nghĩ. Đây là vấn đề rất cần thiết.
1.2. Toán học có những đặc điểm phân biệt so với các môn học khác.
Việc tìm ra cái mới trong toán học không đi theo con đường thực nghiệm như
một số khoa học khác mà chủ yếu là suy nghĩ trong trí óc. Cho nên khoa học
này có tính trừu tượng cao và quá trình tìm tòi cái mới chủ yếu là nhờ sự suy
nghĩ trong đầu óc con người.
1.3. Lượng giác là phân môn rất quan trọng, xuất phát ban đầu là những
khái niệm rất cụ thể nhưng cũng trên các nền tảng đó nó đi tới nhiều vấn đề
phong phú. Ví như những hằng đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác, ta
chưa bao giờ thấy nó ngừng lại mà luôn luôn có mệnh đề mới. Việc chứng
minh những mệnh đề đó không hề đơn giản trừ khi ta đã biết trước về đường
hướng tiến hành. Còn nếu chưa biết trước thì sự mày mò để tìm ra phương
hướng hợp lý là rất khó khăn.
1.4. Cách dạy phổ biến hiện nay mang nặng ý nghĩa thầy giảng, trò
nghe, không chú trọng lắm đến việc dạy suy nghĩ và tìm tòi bởi như vậy sẽ
tốn nhiều thời gian và nhiều khi phá vỡ kịch bản dự kiến từ trước. Cho nên,
giáo viên nghĩ rằng trình bày lời giải cho xong chứ còn dẫn dắt đàm thoại thì
không đủ thì giờ.
1

1.5. Đến nay đã có nhiều công trình nhiên cứu về tư duy nhưng chưa đi
tới sự thống nhất hoàn toàn. Các quan điểm về tư duy cũng rất phong phú và
cũng không thể nói được loại tư duy nào quan trọng hơn tư duy nào. Tất
nhiên giữa chúng phải có sự giao thoa tác động lẫn nhau và khi đứng trước
một vấn đề cụ thể thì thông thường chịu sự tác động của nhiều loại tư duy
mới có thể giải quyết được vấn đề. Cho nên ta không chỉ nhấn mạnh vai trò
của một loại tư duy nào mà ta sẽ sử dụng nhiều loại hình một lúc. Tuy rằng
trong những tình huống cụ thể thì liều lượng mỗi loại là không giống nhau
nhưng rốt cục phải đồng thời phối hợp để giải quyết xong vấn đề.
1.6. Theo thời gian thì con người sẽ tích luỹ thêm nhiều kiến thức về
lượng giác. Đó có thể là một đẳng thức hoặc bất đẳng thức hoặc một tính
chất. Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ khi đứng trước một bài toán cụ thể thì
liệu ta có còn nhớ đến những kiến thức đã được tích luỹ từ trước hay không?
Có biết sử dụng cái nào để làm công cụ giải bài toán hay không? Điều đó liên
quan đến năng lực huy động kiến thức và liên tưởng của người giải toán.
Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là:
“Rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán
lượng giác”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu cách thức rèn luyện tư
duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác nhằm
nâng cao năng lực giải toán của học sinh và đồng thời góp phần rèn luyện
được năng lực tư duy toán học cho học sinh.
3. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
3.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học môn toán ở trường THPT.
2
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu các thao tác tư duy và xây dựng các biện pháp rèn luyện tư
duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác.

4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu trong quá trình dạy học giải bài tập lượng giác, người giáo viên
chú trọng thích đáng vấn đề rèn luyện cho học sinh khả năng suy nghĩ để tìm
tòi và phát hiện lời giải thì tư duy toán học của học sinh sẽ được nâng lên và
đồng thời năng lực giải toán lượng giác sẽ được phát triển.
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề tư duy, nội dung
và đặc điểm của phân môn lượng giác .
5.2. Điều tra, đánh giá thực trạng dạy toán lượng giác, lựa chọn ra một
số thao tác tư duy cần rèn luyện cho học sinh trong giải Toán.
5.3. Nghiên cứu và đề xuất một số định hướng sư phạm về việc rèn
luyện tư duy cho học sinh nhằm nâng cao năng lực giải Toán.
5.4. Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các định hướng
sư phạm đã đề xuất.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6.1. Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận
dạy học môn toán.
- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về khoa học toán, các công trình
khoa học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài.
6.2. Điều tra quan sát:
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong
quá trình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa.
3
6.3. Thực nghiệm sư phạm:
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của
luận văn.
7. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
Góp phần làm rõ vai trò của tư duy toán học và một số thành phần trong
năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc rèn luyện tư duy giải toán

lượng giác.
Đưa ra được các biện pháp rèn luyện khả năng suy nghĩ góp phần nâng
cao năng lực tư duy toán học cho học sinh.
Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.
8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn còn có những nội
dung chínnh:
Phần nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải
bài toán lượng giác.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Đại cương về tư duy
4
Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Người ta dựa vào tư
duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng
những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình. Tư duy thực chất là sự
suy nghĩ trong đầu óc của con người. Xã hội càng phát triển thì đòi hỏi con
người phải suy nghĩ nhiều hơn. Do đó, tư duy chỉ xuất hiện khi con người
đứng trước một tình huống có vấn đề. Có nhiều quan điểm về tư duy:
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo Tâm lý học đại
cương – Nguyễn Quang Uẩn)
Theo Từ điển Triết học “tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực của thế

giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tư duy xuất hiện
trong quá trình sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại
một cách gián tiếp và phản ánh những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ
tồn tại trong những mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và
lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của
con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết
quả tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá
trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề
nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý
niệm, kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”
Từ đó ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy:
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là quá trình phản ánh
tích cực của thế giới khách quan.
5
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể
hiện qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng
được phản ánh với những hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động
của con người nhằm phản ánh đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.
Theo một số quan điểm trên thì tư duy là quá trình suy nghĩ. Đề cập tới
việc rèn luyện tư duy có nghĩa là rèn cho con người cách thức suy nghĩ chứ
không chỉ là tiếp nhận một cách thụ động kiến thức do người khác trình bày
cho mình.
Tất nhiên nói như trên không có nghĩa là mọi loại tư duy đều rất mạnh,
rất có giá trị mà phải thừa nhận rằng tuỳ trường hợp, tuỳ đối tượng, tuỳ môi
trường, tuỳ lứa tuổi, tuỳ tri thức sẵn có và tuỳ cách dạy tư duy nữa thì sản
phẩm của tư duy đạt đến mức độ nào là điều chưa thể ấn định trước. Ta không

nên đồng nhất giá trị của việc tư duy với kết quả đạt được bởi vì nhiều khi có
những em còn rất bé, nghĩ ra một điều gì đó tuy rằng đối với người lớn rất
tầm thường nhưng thực ra đối với lứa tuổi đó thì tư duy như vậy rất đáng ghi
nhận.
Chẳng hạn một em học sinh lớp 3 được ra bài toán tìm tổng: 1 + 2 + 3
+ 4 + + 9 + 10, thật ra kết quả 55 thì không có vấn đề gì đối với người
lao động phổ thông. tuy nhiên có em đã biết ghép số đầu với số cuối, số gần
đầu với số gần cuối để đi đến nhận xét rằng có “5 lần’’, 1 lần bằng 11 nên kết
quả là 55.
6
Ví dụ trên cho thấy, với em bé lớp 3 làm bài toán đó thì tư duy của em
đó còn giá trị hơn nhiều so với việc một học sinh lớp 10 giải được phương
trình bậc 4 trùng phương.
Nói tóm lại, dạy tư duy là dạy cho con người biết suy nghĩ dĩ nhiên
cũng phải thông qua kiến thức. Ví dụ dạy tư duy toán học thì cũng phải thông
qua môn toán nhưng cái khác với bình thường là ở chỗ: Nhiều khi dạy toán
đơn thuần chỉ trình bày lời giải có sẵn để học sinh chép, trong khi đó dạy tư
duy thì phải có sự dẫn dắt và gợi ý có những sự khơi dậy để học sinh huy
động và liên tưởng kiến thức, có những thủ thuật suy nghĩ để giải quyết vấn
đề, có những phán đoán để tìm phương hướng cho lời giải. Cho nên, dạy tư
duy bao giờ cũng khó và mất nhiều thời gian. Nó còn đòi hỏi người dạy phải
am hiểu và hình dung rõ nét về quá trình của người học.
Ví dụ 1 :
Xét ví dụ về bài toán lớp 11 mức độ khá :
Giải phương trình
4 4
4 4
1 1 1
sin 8 sin
sin 2

x cos x y
x cos x
+ + + = +

Điều kiện cần trước hết để cho học sinh tư duy đó là chính bản thân
người thầy cũng phải có khả năng tư duy tốt. Nếu người thầy gặp khó khăn
trong từng bài toán thì cũng không hi vọng sẽ dạy cho học sinh cách tìm lời
giải bài toán đó. Ngược lại nếu thầy giải thành thạo thì cũng chưa chắc tập
dượt cho học sinh khả năng suy nghĩ. Có những bài toán không quá dễ dàng,
giáo viên chưa dẫn dắt được để học sinh tự giải mà chỉ đạt được mức độ mô
tả quá trình suy nghĩ trong khi giải quyết bài toán ấy thì như thế ít nhiều cũng
đã dạy được tư duy còn hơn là chỉ âm thầm trình bày lời để học sinh ghi chép.
7
Trở lại ví dụ trên, người giáo viên chỉ lặng lẽ trình bày phép chứng
minh:
17
2
VP ≤
và
17
2
VT ≥
. Dù cho việc chứng minh là chính xác và không
sai sót. Tuy nhiên nếu tiến hành như vậy thì đâu còn dạy tư duy nữa mà đơn
giản chỉ đọc chép thôi. Vì vậy người thầy giáo sẽ dẫn dắt mức độ khó như
sau :
Thầy giáo đặt vấn đề: Đây là một phương trình lượng giác 2 ẩn, lại có
bậc khá lớn. Mặt khác mỗi ẩn lại nằm riêng một vế. Do đó cách giải bài toán
có yếu tố không mẫu mực chứ không phải là chỉ biến đổi một cách thông
thường. Ta nghiêng về yếu tố bất đẳng thức vì nói chung việc giải phương

trình không mẫu mực thường gắn liền với chứng minh bất đẳng thức. Nếu ta
đánh giá VT theo chiều
≤
thì lại đánh giá VP theo chiều ngược lại mới tạo ra
được sự đối lập. Tuy nhiên VT mà đánh giá theo chiều
≤
thì không được vì
khi ta cho tử số sát về 0 thì VT muốn lớn bao nhiêu cũng được. Do đó bắt
buộc ta phải đánh giá cả 2 vế theo chiều ngược lại. Đánh giá VP theo chiều
≤
thì
17
2
VP ≤
. Như vậy, đến đây bài toán chuyển về việc tìm cách chứng minh
17
2
VT ≥
.
Lập luận như trên có thể do người thầy tự trình bày nhưng dẫu sao thì
sự hiển diện của những con số vẫn có cơ sở chứ không mang tính áp đặt.
Về việc chứng minh
17
2
VT ≥
thì do đặc điểm biểu thức ta không bỏ lỡ
việc rút gọn thông qua đặt
2
sinA x=
;

2
B cos x=
; A > 0, B > 0; A + B = 1
để đi đến chứng minh
2 2
2 2
1 1 17
2
A B
A B
+ + + ≥
.
8
1.2. Tư duy toán học
1.2.1. Khái niệm
Tư duy toán học được hiểu một cách ngắn gọn quá trình suy nghĩ nhằm
giải quyết những vấn đề thuộc toán học hoặc trong môn toán. Nó có các tính
chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng
các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực,
cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng.
“Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạng
không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực. Hình thức của
tư duy toán học là khái niệm, phán đoán, suy luận, chứng minh” (Nguyễn Văn
Lộc - Tr16,27).
1.2.2. Các loại hình tư duy
Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy. Có rất nhiều loại
hình tư duy như tư duy lôgic, tư duy biện chứng, tư duy sáng tạo, tư duy kinh
nghiệm, tư duy lý luận,…. Về bản chất tư duy chỉ có một, đó là sự việc hình
thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các phần tử ghi nhớ. Sự phân chia
các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu hơn và vận dụng tốt tư duy trong

hoạt động của hệ thần kinh.
Có nhiều cách phân loại tư duy. Sau đây là một số cách phân loại tư duy:
1.2.2.1. Cách phân loại thứ nhất: phân loại dựa trên lịch sử hình thành
và phát triển tư duy thì có thể chia thành 3 loại tư duy:
a/ Tư duy trực quan - hành động: là loại tư duy bằng các thao tác cụ
thể, tay chân, hướng vào việc giải quyết một số tình huống cụ thể, trực quan.
b/ Tư duy trực quan - hình ảnh: là loại tư duy mà việc giải quyết các
vấn đề dựa vào các hình ảnh của sự vật, hiện tượng.
c/ Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ - lôgic) là loại tư duy phát triển
ở mức cao nhất, chỉ có người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa
9
trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ,
lấy ngôn ngữ làm phương tiện.
Ba loại tư duy nói trên có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung và chi
phối lẫn nhau, trong đó tư duy trực quan - hành động, tư duy trực quan - hình
ảnh là hai loại tư duy có trước làm cơ sở cho tư duy trừu tượng.
1.2.2.2. Cách phân loại thứ hai: phân loại dựa vào lôgic hình thức và
lôgic biện chứng thì có 2 loại tư duy:
a/ Tư duy hình thức: là loại tư duy dựa vào lôgic hình thức.
Lôgic hình thức là khoa học nghiên cứu những hình thức của tư duy
(khái niệm, phán đoán, suy luận, chứng minh) từ khía cạnh kết cấu lôgic hay
hình thức, tức là bỏ qua nội dung cụ thể của các đối tượng, chỉ tách ra những
phương thức liên hệ giữa các bộ phận của nội dung mà thôi. Lôgic hình thức
chỉ quan tâm đến các đối tượng dưới dạng tĩnh, cô lập. Nhiệm vụ chính là xây
dựng các quy tắc, quy luật mà sự tuân thủ là điều kiện cần thiết để đạt đến
những kết quả chân thực trong quá trình thu nhận tri thức.
Sau đây là một số quy luật cơ bản của lôgic hình thức:
+ Quy luật đồng nhất: nói rằng tính xác định của tư tưởng là điều kiện
tồn tại của nó: A = A
+ Quy luật không mâu thuẫn:

A
và
A
không thể đồng thời cùng
đúng

)( AA
∧
+ Quy luật bài trung: hai phán đoán
A
và
A
không thể đồng thời
cùng sai
AA
∨

+ Quy luật có lý do đầy đủ: mỗi luận điểm muốn được coi là hoàn toàn
đáng tin cậy, thích hợp cho việc chứng minh, phải là luận điểm đã được
chứng minh tức là phải biết các lý do đầy đủ nhờ đó nó được coi lại chân
thực.
10

B
ABA ,→

+ Quy luật phản đảo:
BA
→

⇔

AB
→
Cuối thế kỉ XIX, bước ngoặt chủ yếu của sự phát triển lôgic hình thức
là lôgic toán (hay lôgic ký hiệu) nhờ áp dụng những phương pháp hình thức
của toán học, dựa trên việc sử dụng ngôn ngữ đặc thù của các ký hiệu và các
công thức.
Trong lôgic toán, tư duy có nội dung lôgic (những quá trình lập luận và
chứng minh)
b/ Tư duy biện chứng: là loại tư duy dựa vào lôgic biện chứng
Lôgic biện chứng nghiên cứu những quy luật chung nhất của sự phát
sinh phát triển của tư duy, giúp chúng ta nắm vững sự vật.
Là một bộ phận của nhận thức, lôgic biện chứng vận động theo quy luật
của phép biện chứng, của nhận thức và quy luật đặc thù của bản thân nó. Có
thể nêu lên một số quy luật sau đây:
* Những quy luật của phép biện chứng là những quy luật của lôgic biện
chứng.
+ Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập vạch ra nguồn
gốc của sự phát triển. Ăngghen viết: “… trong bản thân các sự vật và các quá
trình, có một mâu thuẫn khách quan … sự sống trước hết chính là ở chỗ một
sinh vật trong mỗi lúc vừa là nó vừa là một cái khác. Như vậy sự sống cũng là
một mâu thuẫn tồn tại trong bản thân các sự vật và các quá trình, tự đề ra và
tự giải quyết không ngừng, và khi mâu thuẫn đã hết thì sự sống cũng không
còn nữa và cái chết xảy ra. Cũng như chúng ta đã thấy rằng trong lĩnh vực tư
duy cũng vậy, chúng ta không thể thoát khỏi mâu thuẫn? Chẳng hạn như mâu
thuẫn giữa năng khiếu nhận thức vô tận bên trong của con người với sự tồn tại
thực tế của năng khiếu ấy trong những con người bị hạn chế bởi hoàn cảnh
bên ngoài… Mâu thuẫn này được giải quyết trong sự tiếp nối của các thế hệ”
11

+ Quy luật từ lượng đổi dẫn đến chất đổi vạch ra hình thái của sự phát
triển. Khi xem xét mọi sự vật hiện tượng như những “độ”, trong đó tính quy
định về chất bao giờ cũng phụ thuộc vào “ một số lượng”, mặc dù có thể xê
xích trong những giới hạn nhất định. Đặc biệt yết tố nhảy vọt, tức là sự đứt
đoạn của cái liên tục trong sự phát triển. Lênin viết: “Sự chuyển biến biện
chứng khác sự chuyển biến không biện chứng ở chỗ nào? Ở bước nhảy vọt, ở
tính mâu thuẫn, ở sự đứt đoạn của tính liên tục, ở sự thống nhất giữa tồn tại và
không tồn tại”.
+ Quy luật phủ định của phủ định vách ra chiều hướng của sự phát
triển. Những hình thức phủ định cũng có muôn hình muôn vẻ theo các hình
thức khác nhau của tư duy cũng như các hoạt động lôgic cụ thể, cái trực tiếp
bị cái gián tiếp phủ định, cái cụ thể bị cái trừu tượng phủ định, cái cảm tính và
cái lý tính, cái đơn nhất và cái phổ biến, cái quy nạp và cái diễn dịch, cái phân
tích và tổng hợp… mỗi một phủ định đều bao hàm cả việc duy trì cái tích cực
và xóa bỏ cái tiêu cực và phát triển một cách biện chứng từ cái tích cực ấy.
+ Quy luật nhận thức: Lôgic biện chứng không những tuân theo quy
luật của phép biện chứng, mà còn tuân theo và thể hiện quy luật của nhận
thức trong toàn bộ quá trình hình thành và phát triển của tư duy lôgic. Lý luận
nhận thức không những vạch ra nguồn gốc và bản chất của nhận thức, mà còn
vạch ra quy luật phát triển của nhận thức và Lênin đã thể hiện trong luận đề
có tính quy luật sau: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư
duy trừu tượng đến thực tiễn”. Đó là con đường nhận thức chân lý của sự
nhận thức hiện thực khách quan.
1.2.2.3. Cách phân loại thứ ba: phân loại dựa vào tính chất, kết quả của
quá trình tư duy thì có thể chia thành 3 loại tư duy:
a/ Tư duy tích cực: là loại tư duy dựa vào tính tích cực nhận thức của
học sinh trong quá trình học tập. “ Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạt
động của học sinh, đặc trưng bởi khác vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nổ lực
cao trong quá trình nắm vững kiến thức”
12

b/ Tư duy độc lập: là loại tư duy dựa vào tính độc lập nhận thức của
học sinh trong quá trình học tập. Theo Anistôva, B. P. Êxipov “ Tính độc lập
là năng lực cá nhân học sinh tham gia hoạt động mà không có sự can thiệp từ
bên ngoài”. Theo nghĩa rộng, bản chất của tính độc lập nhận thức là sự chuẩn
bị về mặt tâm lý cho sự tự học… Theo nghĩa hẹp: Tính độc lập nhận thức là
năng lực, nhu cầu học tập và tính tổ chức học tập, cho phép học sinh tự học.
c/ Tư duy sáng tạo: là tư duy tạo ra được cái gì mới. Tuy nhiên, học
sinh trong quá trình sáng tạo, tạo ra cái mới không phải chủ yếu đối với xã hội
mà là đối với chủ quan mình, nhưng cái mới ấy đồng thời cũng có ý nghĩa xã
hội, bởi vì khi đó cá nhân được hình thành và biểu lộ.
1.2.2.4. Cách phân loại thứ tư: phân loại dựa vào dấu hiệu cấu trúc
khác nhau của hiện thức.
a/ Tư duy hình tượng: là tư duy biến đổi cấu trúc của tri giác. Những
dấu hiệu cấu trúc của hiện thực trong trường hợp này là những quan hệ của
các đối tượng và những thuộc tính cảm tính của chúng trong tri giác (trong đó
có cả dấu hiệu như “gần hơn-xa hơn” “nhỏ hơn-lớn hơn” “giống nhau –
không giống nhau”. Tư duy đi theo con đường xây dựng lại cấu trúc thị giác,
trong đó lời giải bài toán tìm được nhờ biến đổi hình dạng của hình không
phải sử dụng các khái niệm toán học trừu tượng).
b/ Tư duy thực hành: là tư duy dựa vào những mối liện hệ và những
thuộc tính chức năng và những hoạt động của các sự vật mà con người đã biết
qua kinh nghiệm.
c/ Tư duy khoa học: là tư duy dựa vào những quy luật và những thuộc
tính khách quan, bản chất do khoa học xác định. Những tri thức về các mối
quan hệ của các sự vật được củng cố trong cấu trúc của các khái niệm và luận
điểm khoa học, còn tư duy được thực hiện bằng con đường liên kết những
khái niệm và những phán đoán này với nhau và những biến đổi tương ứng của
chúng.
13
d/ Tư duy lôgic: là tư duy thay thế các hoạt động với các sự vật có thực

bằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc của lôgic học. Những dấu hiệu
cấu trúc của hiện thực mà tư duy dựa vào là các quan hệ của các khái niệm
như: quan hệ giữa giống và loài, chủ ngữ và vị ngữ, phủ định và khẳng định,
liên kết và phân ly, cái riêng và cái chung, cái trừu tượng và cái cụ thể,…
những tri thức về các quan hệ của các sự vật được củng cố trong cấu trúc
lôgic của tư duy còn bản thân tư duy được thể hiện trong việc sử dụng các cấu
trúc này để xây dựng và biến đổi các khái niệm.
e/ Tư duy khái quát: là tư duy dựa vào hoạt động khái quát hóa. Khái
quát hóa là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào đó có ngoại
diên hẹp sang khái niệm hay tính chất có ngoại diên rộng hơn bao gồm các
đối tượng ban đầu.
1.2.2.5. Cách phân loại thứ năm: dựa vào các dấu hiệu đặc thù của đối
tượng tư duy, ví dụ như trong tư duy toán học ta chú ý tới tư duy hàm, tư duy
thuật toán,… Khi xuất phát từ ngôn ngữ toán học ta có tư duy ngữ nghĩa và tư
duy cú pháp,…
1.2.3. Một số nhận xét về cách phân loại tư duy toán học
Nghiên cứu về tư duy là một vấn đề phức tạp và không dễ gì tìm ra kết
quả được mọi người thừa nhận bởi vì dưới góc nhìn của từng người thì có thể
yếu tố này quan trọng nhưng yếu tố kia lại không quan trọng lắm.Cho nên
khi đọc công trình của tư duy toán học ta bắt gặp sự không thống nhất của
các tác giả. Sự phân chia các loại hình tư duy hết sức đa dạng và có khá
nhiều quan điểm, mỗi một quan điểm đều có cách tiếp cận riêng và cũng
không nói được quan điểm nào là hoàn toàn đúng, quan điểm nào là chưa
đúng. Rất khó có thể đứng trên quan điểm này để bác bỏ quan điểm kia.
Trong mỗi quan điểm phân chia thì giữa các thành phần được xét đến cũng
độc lập tương đối chứ không tách bạch một cách rõ ràng, và nhiều khi loại
14
hình tư duy nào đó trong cách phân chia này lại rất gần với một loại hình tư
duy khác trong cách phân chia kia.
1.2.4. Vai trò của tư duy toán học

Giáo dục toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp, nhằm đạt các
mục tiêu:
a, Truyền thụ cho học sinh một hệ thống nhất định những kiến thức cơ
bản của Toán học;
b, Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng và kỹ xảo toán học;
c, Phát triển tư duy toán học của học sinh.
Những nghiên cứu của các nhà giáo dục học đã chỉ ra rằng, tư duy toán
học không chỉ là một trong những thành phần quan trọng của sự hoạt động
hiểu biết ở học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển có
phương hướng rõ rệt, thì không thể đạt được những kết quả hữu hiệu trong
việc giảng dạy hệ thống các kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học.
A. N. Lêônchiép đã nhiều lần vạch ra rằng việc giảng dạy và sự phát
triển trí tuệ ở trẻ có liên quan mật thiết với nhau, và dù rằng trẻ phát triển
đồng thời với học tập, nhưng phát triển trí tuệ của nó độc lập một cách tương
đối.
Như vậy, những khái niệm toán học không hình thành ở học sinh một
cách tách biệt khỏi quá trình nhận thức, mà dần dần được xác định với những
mức độ khác nhau, trên những giai đoạn cụ thể của việc giảng dạy. Nói cách
khác, học sinh có tư duy toán học phát triển kém thì không thể hiểu được
những khái niệm toán học. Để hiểu được khái niệm toán học một cách thực
chất, học sinh phải chính mình phát triển những khả năng thao tác trí tuệ nhất
định; chỉ có học sinh mới có thể tích cực và tự giác tiếp thu kiến thức mới
trong khi trực tiếp hay không trực tiếp tham gia vào sự sáng tạo cái mới đó.
15
1.3. Nội dung và đặc điểm của phân môn lượng giác
1.3.1. Nội dung chủ đề lượng giác ở trường phổ thông
Nội dung Lượng giác ở bậc THCS: Chương trình hình học lớp 8 học
sinh đã làm quen với các tỉ số lượng giác của góc hình học
Nội dung Lượng giác ở bậc THPT :
Ở chương trình lớp 10 nội dung lượng giác được trình bày:

Chương 4: Góc lượng giác và công thức lượng giác bao gồm:
- Góc và cung lượng giác.
- Giá trị lượng giác của góc cung lượng giác
- Một số công thức lượng giác
Ở lớp 11 nội dung lượng giác được trình bày:
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.
- Hàm số lượng giác
- Phương trình lượng giác cơ bản
- Một số phương trình lượng giác thường gặp.
1.3.2. Đặc điểm môn lượng giác ở trường THPT
Các kiến thức lượng giác được trình bày trong sách giáo khoa phổ thông
tuy không nhiều lắm, nhưng có thể nói nó đóng một vai trò quan trọng trong
các bài toán lượng giác. Hầu hết các bài toán Lượng giác khi giải cần phải
biến đổi lượng giác. Chẳng hạn, giải phương trình lượng giác tức là biến đổi
phương trình về dạng quen thuộc; khi chứng minh bất đẳng thức chính là sự
kết hợp biến đổi lượng giác và bất đẳng thức. Nhiều bài toán tính đạo hàm,
tích phân cũng phải biến đổi lượng giác mới tính được. Hơn nữa, Lượng giác
có thể là công cụ để giải các bài toán khác có trong chương trình. Lượng giác
là một phân môn có nhiều thuận lợi đối việc xây dựng các biện pháp sư phạm
nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo và kiến tạo kiến thức cho học sinh.
16
1.4. Một số khó khăn sai lầm khi giải toán lượng giác
Khi học về chủ đề lượng giác hầu hết các học sinh đều cho rằng là khó
bởi kiến thức của nó tương đối nhiều cả công thức lẫn bài tập. Một bài toán có
thể vận dụng rất nhiều công thức khác nhau và có thể giải theo nhiều cách
khác nhau dẫn đến lẫn lộn các công thức là điều không tránh khỏi. Trong quá
trình giải toán, học sinh thường ái ngại khi bắt gặp phương trình lượng giác
có điều kiện (chủ yếu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số hoặc chứa ẩn
trong hàm số tang, cotang) bởi đây là dạng toán khó và phức tạp. Việc đối
chiếu nghiệm tìm được với điều kiện bài toán hay kết hợp nghiệm cũng là

một vấn đề không đơn giản đối với các em. Do đó việc mắc sai lầm là lẽ
đương nhiên xảy ra.
1.4.1. Sai lầm liên quan đến việc thực hiện các thao tác trong tiến
trình giải toán
Ví dụ 2: Giải phương trình :

3 3
4sin .cos3x 4cos .sin3x 3 3cos4x 3x x+ + =

Sai lầm thường gặp:
Phương trình
1 1
4. (3sinx sin3x) 4. (cos3x 3cosx) 3 3cos4x 3
4 4
⇔ + + + + =
sinx.cos3x sin3x.cosx 3cos4x=1⇔ + +

sin 4x 3cos4x=1⇔ +

Chia hai vế phương trình cho 2 ta được:
1 3
sin 4x cos4x=1
2 2
+


sin 4x.cos sin .cos4x 1
3 3
π π
⇔ + =

sin(4x ) 1
3
π
⇔ + =

4x 2
3 2
k
π π
π
⇔ + = +

,
24 2
k
x k Z
π π
⇔ = + ∈

Vậy nghiệm của phương trình là:
,
24 2
k
x k Z
π π
= + ∈
.
17

Sai lầm của bài toán trên là khi chia hai vế của phương trình cho 2, học
sinh đã quên chia vế phải cho 2. Đây là một trong những sai lầm của học sinh
khi giải loại này .
Ví dụ 3: Tính giới hạn: I =
0
1 cos2x
lim
x
x
→
−

Sai lầm thường gặp:
I =
0
1 cos2x
lim
x
x
→
−
=
2
0
2sin
lim
x
x
x
→

=
0
sinx
2 lim
x
x
→
=
2

Sai lầm của bài toán ở chỗ học sinh thiếu lập luận liên quan đến giá trị
tuyệt đối.
Ta có :
2
2 sin
2sin
2 sin
x
x
x


=

−



neu
neu

sin 0
sin 0
x
x
≥
p

Khi giải bài toán trên học sinh đã quên xét giới hạn trái và giới hạn phải
khi x tiến về 0. Vì vậy giới hạn trên vẫn tồn tại nhưng thực chất ở bài toán này
giới hạn trên không tồn tại do giới hạn trái và giới hạn phải khi x tiến về 0 khác
nhau.
1.4.2. Sai lầm do phương pháp suy luận
Ví dụ 4: Giải phương trình: cosx. cos2x =
4
1
(1)
Sai lầm thường gặp:
(1)  4 sinxcosx.cos2x=sinx
 sin4x = sinx




+−=
+=
ππ
π
24
24

lxx
kxx
18







+=
=
5
2
5
3
2
ππ
π
l
x
k
x
(k,l
∈
Z)
Sai lầm ở bài toán là khi nhân hai vế của phương trình với sinx ta được
phương trình hệ quả chứ không phải phương trình tương đương, do đó xuất
hiện nghiệm ngoại lai x = k
π

chứa trong 2 họ nghiệm trên.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
(2)
Sai lầm thường gặp:
(2)
1 2 1
cos 2sin2 .cos2 sin2x x x x
⇔ = −


1 1 cos2
cos sin2 .cos2
x
x x x
−
⇔ =


2
1 2sin
cos 2sinx.cosxcos2x
x
x
⇔ =


1 sinx

cos cos .cos2x x x
⇔ =

⇔

2
sinx cos2x sinx 1 2sin x= ⇔ = −


2
2sin sin 1 0x x⇔ + − =


2
2
sin 1
2
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k
x
x k
π

π
π
π
π
π

= − +

= −




⇔ ⇔ = +


=



= +



Vậy nghiệm của phương trình là
2
2
x k
π
π

= − +
;
2
6
x k
π
π
= +
;
5
2
6
x k
π
π
= +
(k
∈
Z).
19