Về bao đóng nguyên của iđêan

1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

HUỲNH THỊ TUYẾT PHƢỞNG



VỀ BAO ĐÓNG NGUYÊN
CỦA IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN




Nghệ An - 2014

2
MỤC LỤC

Trang
Mục lục
2
Mở đầu

3
Chƣơng 1. Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của bao đóng
nguyên của iđêan
6

1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại…………………………………
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2 Các phép toán trên iđêan……………………………………………
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3 Căn lũy linh…………………………………………………………
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4 Vành và môđun địa phương hóa….………………………………….
9
1.5 Bao đóng nguyên của iđêan….………………………………………
12
Chƣơng 2. Bao đóng nguyên với một số iđêan đặc biệt
22
2.1 Bao đóng nguyên thông qua iđêan rút gọn…………………………
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2 Bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan ……………………….
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3 Bao đóng nguyên của iđêan đơn thức………………………………
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Kết luận

34
Tài liệu tham khảo
35









3
MỞ ĐẦU
Bao đóng nguyên đóng một vai trò quan trọng trong Lý thuyết số và
Hình học đại số. Khái niệm này được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1930
bởi Krull và Zariski.
Rất nhiều vấn đề của Đại số giao hoán phụ thuộc vào sự phát triển của lý
thuyết iđêan. Một trong những ví dụ điển hình là khái niệm đa thức Hilbelt-
Samuel. Cho (R, m) là một vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực
đại duy nhất m và I là một iđêan m-nguyên sơ của R. Ta biết rằng hàm độ dài
( / )
n
RI
theo biến n luôn nhận giá trị nguyên không âm và nó là một đa thức
khi n đủ lớn. Đa thức này được gọi là đa thức Hilbelt-Samuel của I đối với vành
R, ký hiệu là
,
()
IR

pn
. Các hệ số của đa thức
,
()
IR
pn
là những số hữu tỷ và chúng
là những bất biến quan trọng trong việc nghiên cứu cặp (R, I). Chẳng hạn, bậc
của
,
()
IR
pn
là d = dim R (chiều Krull của vành R). Hệ số cao nhất của
,
()
IR
pn

nhân với d! là một bất biến quan trọng mang nhiều thông tin về iđêan I, thậm
chí cho cả vành R, gọi là số bội của I đối với vành R, kí hiệu là
( ; )e I R
(khi I =
m thì gọi là số bội của vành R và ký hiệu là e(R)). Một câu hỏi quan trọng
được đặt ra ở đây là: liệu có tồn tại phần tử
rR
sao cho khi ghép thêm r vào I
thì cả hai iđêan I và
I rR
có cùng tốc độ tăng (the same power-growth), đặc

biệt là, chúng có cùng số bội? Ở đây thuật ngữ “powers of r grow as powers of
I ” có nghĩa là tồn tại một số nguyên n sao cho
nn
rI
. Điều này là có thể xảy
ra, tuy nhiên có rất ít phần tử r thỏa mãn.
Trong những năm 1950, D. Rees đã tiếp cận với câu hỏi trên bằng cách
ông gọi
()
n
vr
là số nguyên nhỏ nhất sao cho
()
n
vr
n
rI
. Nếu giới hạn
()
n
vr
n
là
tồn tại và ít nhất bằng 1 thì một cách trực giác chúng ta có thể nghĩ rằng r

4
“tăng” (“grows”) ít nhất cũng bằng I. Với cách tiếp cận này D. Rees đã thành
công trong việc chọn phần tử r.
Một cách tiếp cận khác là sử dụng giá trị độ đo để xét mối quan hệ giữa r
và I. Thông thường người ta đòi hỏi

( ) ( )v r v I
với mọi độ đo
v
. Phương pháp
này cũng rất gần với phương pháp của D. Rees đã nói ở trên.
Có nhiều cách tiếp cận rất tự nhiên. Một trong những cách tiếp cận rất
quan trọng liên quan đến vấn đề bao đóng chặt (tight closure) là hỏi xem có tồn
tại phần tử c sao cho với n đủ lớn thì
nn
cr I
.
Tất cả các cách tiếp cận khác nhau nói trên dẫn đến một khái niệm, đó là,
bao đóng nguyên của iđêan I. Một phần tử
rR
được gọi là nguyên trên I nếu
tồn tại số nguyên n và các hệ tử
, 1, ,
i
i
a I i n
sao cho


    
1
11
0
nn
nn
a a ar r r

.
Phương trình này được gọi là phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I. Tập
tất cả các phần tử của vành R nguyên trên I được gọi là bao đóng nguyên của I,
ký hiệu là
I
. Nếu I =
I
thì I được gọi là iđêan đóng nguyên.
Nội dung chính của luận văn là trình bày về khái niệm và một số tính
chất cơ bản của bao đóng nguyên dựa theo [5].
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương. Chương 1: Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của bao
đóng nguyên của iđêan. Phần đầu chương này, chúng tôi trình bày một số khái
niệm cơ sở của vành và môđun có liên quan đến nội dung chính của luận văn
nhằm giúp người đọc dễ theo dõi luận văn. Phần tiếp theo chúng tôi trình bày
định nghĩa khái niệm bao đóng nguyên của iđêan và một số tính chất cơ bản
của nó. Chương 2: Bao đóng nguyên với một số iđêan đặc biệt. Trong chương này
chúng ta sẽ thấy rằng bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan. Mối quan hệ
giữa bao đóng nguyên và iđêan rút gọn; đặc biệt là bao đóng nguyên của iđêan
đơn thức cũng được trình bày trong chương này. Từ đó ta có được nhiều ví dụ về
bao đóng nguyên của iđêan.

5
Luận văn được hoàn thành vào tháng 9 năm 2014 tại trường Đại học
Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo, cùng
với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán,
Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Đồng

Tháp đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Luận văn.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng Luận văn không tránh khỏi hạn hết,
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Quý thầy,
cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 9 năm 2014
Tác giả

















6
CHƢƠNG 1
ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
CỦA BAO ĐÓNG NGUYÊN CỦA IĐÊAN
1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại
1.1.1 Định nghĩa. Cho
I

là một iđêan của vành R,
IR
. Khi đó
(i) I được gọi là iđêan nguyên tố nếu
,x y R
mà
xy I
và
xI
thì
yI
.
(ii) I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu
,x y R
mà
xy I
và
xI
thì
tồn tại số tự nhiên n sao cho

n
yI
.
(iii) I được gọi là iđêan cực đại nếu không tồn tại iđêan
JR
sao cho
JI
và
I J R

.
1.1.2 Ví dụ. Xét vành các số nguyên và cho
Im
là một iđêan của .
Khi đó: I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi
m
là số nguyên tố hoặc
0m 
; I là
iđêan nguyên sơ
0m
hoặc
k
mp
với
p
một số nguyên tố và
*
k 
; I
là iđêan cực đại
m
là một số nguyên tố.
Từ ví dụ trên ta thấy trong một vành có thể có nhiều iđêan cực đại. Về sự
tồn tại của iđêan cực đại ta có mệnh đề sau:
1.1.3 Mệnh đề. Cho R là vành có đơn vị. Khi đó trong R có ít nhất một iđêan
cực đại.
1.1.4 Hệ quả. Cho R là vành có đơn vị.
(i) Giả sử
IR

là một iđêan của R. Khi đó I được chứa trong một iđêan cực
đại nào đó của R.
(ii) Giả sử x là một phần tử không khả nghịch của vành R. Khi đó tồn tại một
iđêan cực đại của R chứa x.
1.1.5 Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là một iđêan của vành
R. Khi đó:

7
(i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thương
R
I
là miền nguyên.
(ii) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thương
R
I
là trường.
Từ mệnh đề trên ta suy ra: m là iđêan cực đại

m là iđêan nguyên tố

m
là iđêan nguyên sơ; R là miền nguyên


0
là iđêan nguyên tố.
1.2 Các phép toán trên các iđêan
1.2.1 Định nghĩa. (i) Cho I, J là các iđêan của vành R. Khi đó
 
|,I J a b a I b J    

là một iđêan của R và được gọi là tổng của hai iđêan I và J.
ii) Cho
 
j
jS
I

là họ tùy ý các iđêan của R. Khi đó
{
j
jS
I



| , 0
j j j j
jS
a a I a



hầu hết chỉ trừ hữu hạn
0}
j
a 

là một iđêan của R và được gọi là tổng của họ iđêan
 

j
jS
I

.
1.2.2 Định nghĩa. Cho
 
j
jS
I

là họ tùy ý các iđêan của R. Khi đó
j
jS
I

là một
iđêan của R và được gọi là giao của họ iđêan
 
j
jS
I

.
Chú ý rằng hợp của hai iđêan của R có thể không phải là iđêan của R.
1.2.3 Định nghĩa. Cho
,IJ
là các iđêan của vành R. Kí hiệu IJ là iđêan của R
sinh bởi tất cả các phần tử dạng ab, với
aI

và
bJ
. Iđêan IJ được gọi là
tích của các iđêan I và J.
Vậy từ định nghĩa, ta có
n
0
{ | , , }
i i i i
i
IJ a b a I b J n

   

.
Tương tự, định nghĩa cho tích hữu hạn iđêan
12
, , ,
n
I I I
.
1 2 1 2
0
{ | , 0, , 1, , }
m
n i i ni ji j
i
I I I a a a a I i m j n m

      


.

8
Đặc biệt,
12
0
. { | , 0, , 1, , }
m
n
i i ni ji
i
I I I I a a a a I i m j n m

       

.
Quy ước
0
1IR  
.
1.2.4 Mệnh đề. Cho vành R và I, J, K là các iđêan của R.
(i) Tính chất giao hoán:

I J J I  
;
I J J I  
;
IJ JI
.

(ii) Luật modular: Nếu
JI
hoặc
KI
thì
()I J K I J I K     
.
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng:
()I J K IJ IK  
.
1.2.5 Định nghĩa. Cho I, J là các iđêan của vành R. Khi đó tập hợp
: { | } { | , }I J a R aJ I a R ab I b J       

là một iđêan của vành R và được gọi là iđêan thương của I và J.
1.2.6 Mệnh đề. Cho vành R và
 
, , ,
j
jS
I J K I

là các iđêan của R. Khi đó:
(i)
:I J I
;
(ii)
( : )I J J I
;
(iii)
( : ): ( : ) ( : ):I J K I JK I K J

;
(iv)
 
::
jj
j S j S
I J I J





;
(v)
 
::
jj
jS
jS
I I I I







.
1.2.7 Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành R. Tập hợp
 

|:
n
I a R n a I    

là một iđêan của R và được gọi là căn của iđêan I.

I
còn được kí hiệu là Rad(I). Chú ý rằng
II
và nếu
II
thì I
được gọi là iđêan căn.
1.2.8 Mệnh đề. Cho I, J là các iđêan của vành R. Khi đó:

9
(i)
II
;
(ii)
IJ I J
;
(iii)
I R I R  
;
(iv)
I J I J  
;
(v) Nếu
p

là iđêan nguyên tố thì
n
pp
,
*
n
.
1.3 Căn lũy linh
1.3.1 Định nghĩa. Cho vành R và
xR
. Khi đó phần tử x được gọi là lũy linh
nếu
n
sao cho
0
n
x 
.
1.3.2 Định nghĩa. Cho vành R. Kí hiệu
 
RN
là tập tất cả các phần tử lũy linh
của vành R, khi đó
 
RN
được gọi là căn lũy linh của vành R.
Như vậy
 
RN
là một iđêan của vành R và vành thương

 
R
RN
không có
phần tử lũy linh khác không. Ta còn viết
red
R
:=
 
/RRN
.
1.3.3 Nhận xét. Từ định nghĩa ta có:
 
0R N
.
1.4 Vành và môđun địa phƣơng hóa
Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề-các
 
 
, | ,R S r s r R s S   

Xét quan hệ hai ngôi  như sau:
     
, , : 0r s r s t S t rs sr
   
    
.
Dễ thấy  là quan hệ tương đương trên
RS
. Khi đó

RS
được chia thành các
lớp tương đương
       
 
, , | , ,r s r s R S r s r s
   
  

Ký hiệu
/rs
thay cho
 
,rs
và

10
 
/ | ,
S
R r s r R s S  

là tập thương của
RS
theo quan hệ tương đương .
Trên
S
R
trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (.) như sau:
   

/ / /r s r s rs sr ss
    
  

và
   
/ . / /r s r s rr ss
   


với mọi
/ , /r s r s R S


; chú ý rằng hai phép toán này không phụ thuộc vào
việc chọn phần tử đại diện. Khi đó
S
R
trở thành một vành và gọi là vành các
thương của R theo tập nhân đóng S. Chú ý vành các thương
S
R
cũng thường
được ký hiệu là
1
SR

.
Mỗi iđêan của vành các thương
1

SR

đều có dạng
1
SI

, trong đó I là iđêan
của vành R. Ta có
11
S I S R I S

    
. Do đó
1
SI

là iđêan thực sự của
1
SR

khi và chỉ khi
IS  
.
Cho p
Spec R
. Khi đó
\SR p
là một tập nhân đóng của vành R. Vành
S
R

trong trường hợp này là vành địa phương, ký hiệu là R
p
, với iđêan cực đại
duy nhất là
 
/ | , \R a s a s R
p
p p p
nên được gọi là vành địa phương hóa
của vành R tại iđêan nguyên tố p.
Giả sử S là tập tất cả các phần tử không là ước của không của vành R. Khi
đó S là tập nhân đóng của vành R. Trong trường hợp này vành các thương
S
R
được gọi là vành thương toàn thể của R (total quotient ring of R) và ký hiệu
là
 
TR
. Nếu R là miền nguyên thì vành thương toàn thể của R là một trường
và được gọi là trường các thương của R. Chú ý rằng, do S không chứa ước của
không nên ánh xạ tự nhiên
 
R T R
là đơn cấu. Vì thế vành thương toàn thể
 
TR
là một mở rộng của vành R.

11
Cho S là tập nhân đóng của vành R. Khi đó tập hợp

 
|,S a R b R ab S    

được gọi là bão hòa của S (saturation of S). Chú ý rằng
S
cũng là một tập nhân
đóng của vành R. Do ước của một phần tử khả nghịch là một phần tử khả
nghịch nên từ định nghĩa vành các thương ta suy ra
S
S
RR
và
S
là cực đại
trong số các tập T để cho
ST
RR
. Dễ thấy rằng

| /1S a R a
khả nghịch trong

S
R
.
Cho M là một R-môđun. Trên tích Đề-các
MS
ta xét quan hệ hai ngôi
     
, , : 0m s m s t S t ms sm

   
    
.
Dễ thấy  là quan hệ tương đương trên
MS
. Khi đó
MS
được chia thành
các lớp tương đương. Với mỗi
 
,m s M S
, ký hiệu
/ms
là lớp tương
đương chứa
 
,ms
, tức là
     
 
/ , | , ,m s m s M S m s m s
   
  


 
 
, | : ( ) 0m s M S t S t s m sm
   
      

Ký hiệu
S
M
là tập thương của
MS
theo quan hệ tương đương , tức là:
 
/ | ,
S
M m s m M s S  
.
Chú ý rằng trong
S
M
:
/ / : ( ) 0m s m s t S t s m sm
   
     

Trên
S
M
trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân vô hướng (.) như sau:
   
/ / /m s m s ms sm ss
    
  

và

   
/ . / /r t m s rm ts

với mọi
/ , /
S
m s m s M


,
/
S
r t R
; chú ý rằng hai phép toán này không phụ
thuộc vào việc chọn phần tử đại diện. Khi đó
S
M
trở thành một
S
R
-môđun và
gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S, với phần tử không là

12
0/1 0 / ,
M
s s S
. Chú ý rằng môđun các thương
S
M

cũng thường được ký
hiệu là
1
SM

.

S
M
cũng có cấu trúc là một R-môđun với phép nhân vô hướng xác định như
sau:
/ /1. /rm s r m s

trong đó
rR
và
/
S
m s M
.
Cho p
SpecR
. Đối với tập nhân đóng
\SR p
ta viết
R
p
thay cho
S
R

và
viết
M
p
thay cho
S
M
. Môđun
M
p
được gọi là môđun địa phương hóa của M
tại iđêan nguyên tố p.
1.5 Bao đóng nguyên của iđêan
1.5.1 Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành R. Một phần tử
rR
được gọi
là nguyên trên I nếu tồn tại số nguyên n và các hệ tử
, 1, ,
i
i
a I i n
sao cho
1
11
0
nn
nn
r a r a r a



    
.
Phương trình này được gọi là phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I. Tập
tất cả các phần tử của vành R nguyên trên I được gọi là bao đóng nguyên của I,
ký hiệu là
I
. Nếu I =
I
thì I được gọi là iđêan đóng nguyên. Cho các iđêan
IJ
, nếu
JI
thì ta nói J nguyên trên I.
Nếu I là iđêan sao cho
n
I
là đóng nguyên với mọi số nguyên dương n thì I
được gọi là iđêan chuẩn (a normal ideal).
1.5.2 Ví dụ. Cho các phần tử tùy ý
,x y R
. Khi đó
xy
nguyên trên iđêan
22
( , )xy
, tức là,
22
( , )xy x y
, trong đó
22

( , )xy
là bao đóng nguyên của iđêan
22
( , )xy
. Thật vậy, với
2n 
,
22
1
0 ( , )a x y
và
2 2 2 2 2
2
( , )a x y x y  
,
2
12
( ) ( ) 0xy a xy a  
là phương trình phụ thuộc nguyên của
xy
trên
22
( , )xy
.
Tương tự, với bất kì số nguyên không âm
id
, ta có
( , ).



i d i d d
x y x y

Sau đây là một số tính chất cơ bản của bao đóng nguyên của iđêan.

13
1.5.3 Mệnh đề. Cho vành R và I, J là iđêan của R. Khi đó:
(i)
I I I
và
0 I
.
(ii) Nếu
IJ
là các iđêan thì
IJ
.
(iii) Iđêan căn, iđêan nguyên tố là những iđêan đóng nguyên.
(iv) Giao của các iđêan đóng nguyên là đóng nguyên.
Chứng minh. (i) với mỗi
rI
,
0rr
là phương trình phụ thuộc nguyên của
r trên I. Suy ra
rI
. Vậy
II
.
Mặt khác, với mỗi

rI
thì r là nghiệm của phương trình
1
11
0
nn
nn
r a r a r a


    

với
, 1, ,
i
i
a I i n
. Khi đó
1
11

nn
nn
r a r a r a I


     
nên
.rI
Vậy

II
.
Ta lại có,
 
0R N
nên
 
rRN
, tồn tại
n
sao cho
0
n
r 
, và đây là
phương trình phụ thuộc nguyên của r trên
I
. Suy ra
rI
.
(ii) Với mỗi
rI
thì r là nghiệm của phương trình
1
11
0
nn
nn
r a r a r a



    

với
, 1, ,
i
i
a I i n
. Khi đó
, 1, ,
i
i
a J i n
do
IJ
. Suy ra phương trình
trên cũng là phương trình phụ thuộc nguyên của r trên J. Do đó
rJ
. Từ đây
suy ra
IJ
.
(iii) Giả sử
I
là iđêan căn. Khi đó
II
, do đó theo i) ta được
I I I

nên

II
suy ra
I
đóng nguyên.
Giả sử p là iđêan nguyên tố. Khi đó
pp
, tức p là iđêan căn. Do đó theo
chứng minh trên p là iđêan đóng nguyên.
(iv) Giả sử
 
j
jS
I

là họ tùy ý các iđêan đóng nguyên của R. Đặt
j
jS
KI


,
khi đó K là iđêan của R. Rõ ràng
KK
. Mặt khác, giả sử
xK
, tức là x
nguyên trên K, khi đó x nguyên trên
j
I
với mọi

.jS
Suy ra
,.
j
x I j S  


14
Tuy nhiên
,
jj
I I j S  
do các
j
I
là đóng nguyên. Như vậy
xK
suy ra
KK
. Vậy
KK
và
K
là iđêan đóng nguyên.
1.5.4 Mệnh đề. Cho
: RS


là đồng cấu vành. Khi đó:
(i) Với mỗi iđêan I của vành R thì

( ) ( )I I S


;
(ii) Nếu J là iđêan đóng nguyên trong vành S thì
1
()


J
đóng nguyên
trong vành
R
.
Chứng minh. (i) Ta có
 
( ) ( ):I r r I


. Giả sử
( ).

yI
Khi đó tồn tại
rI

sao cho
( ).yr



Do
rI
nên r là nghiệm của phương trình
1
11
0
nn
nn
r a r a r a


    
.
Do đó
11
1 1 1 1
0 (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
n n n n
n n n
r a r a r a r a r a r a
       


          
Suy ra
1
11
( ) ( ) ( ) 0
nn
n

y a y a y a
  

    

là phương trình phụ thuộc nguyên của y trên
( ) .IS

Do đó
( ) .

y I S
Từ đó suy
ra
( ) ( )I I S


.
(ii) Vì J là iđêan của S nên
1
()


J
là iđêan của R. Ta luôn có
11
( ) ( )


JJ

.
Ngược lại giả sử
1
()


rJ
, tức là,
rR
và nguyên trên
1
()


J
. Khi đó r là
nghiệm của phương trình
1
11
0
nn
nn
r a r a r a


    

trong đó
1
( ) , 1, ,




i
i
a J i n
. Tương tự như trên ta có
1
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
nn
n
r a r a r a
     

    

là phương trình phụ thuộc nguyên của
()

r
trên J. Suy ra
( ) .

r J J
Do đó
1
( ).



rJ
Vậy
11
( ) ( ).


JJ
Từ những chứng minh trên suy ra
11
( ) ( ).


JJ


15
1.5.5 Hệ quả. Giả sử R là một vành con của vành S và J là iđêan đóng nguyên
trong S thì
JR
đóng nguyên trong vành R.
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.5.4 , (ii) với

là phép nhúng chính tắc.
Mệnh đề sau cho thấy tính đóng nguyên được bảo toàn qua địa phương hóa.
1.5.6 Mệnh đề. Cho I là một iđêan và S là một tập nhân đóng trong vành R.
Khi đó
-1 -1
S I S I
.
Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương:

(1)
II
;
(2)
-1 -1
S I S I
với mọi tập con đóng S của R;
(3)
II
pp
với mọi iđêan nguyên tố p của R;
(4)
II
mm
với mọi iđêan cực đại m của R.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.5.4, (i) ta có
-1 -1
S I S I
. Giả sử
-1
r S I
, khi đó
tồn tại số nguyên
n
và các hệ tử

-1 i
i
a S I
sao cho

1
11
0
nn
nn
r a r a r a


    
.
Do vậy tồn tại
sS
sao cho
sr R
và với mọi
1, ,in
thì
i
i
sa I
. Nhân
n
s

vào hai vế của phương trình trên ta được
11
11
( ) ( ) ( ) 0
n n n n
nn

sr a s sr a s sr a s


    
.
Tất cả các hạng tử thuộc R nhưng đẳng thức đúng trong
-1
SR
. Nhân hai vế của
đẳng thức trên với


n
sS
cho ta một đẳng thức trong R:
11
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
n n n n
nn
ss r a ss ss r a ss ss r a ss


     
    
.
Đây là phương trình phụ thuộc nguyên của
ss r R



trên
I
, do đó
-1
r S I
. Vậy
-1 -1
S I S I
.
Bây giờ ta chứng minh các điều kiện tương đương.

(1) (2)
Từ chứng minh trên ta có
-1 -1
S I S I
mà
II
suy ra
-1 -1
S I S I
.

(2) (3)
và
(3) (4)
là hiển nhiên.

16

(4) (1)

Giả sử (4) là mệnh đề đúng. Cho
rI
, khi đó với tất cả iđêan cực
đại m trong R, ta có
rI
m
. Do vậy
rI
. 
Ký hiệu
red
R
là vành rút gọn của vành R, tức là:
 

0
red
RR
R
RN
, ở
đây
 
RN
là căn lũy linh của vành R. Chú ý rằng vành
red
R
không có phần tử
lũy linh khác không. Mệnh đề sau mô tả bao đóng nguyên trong một miền
nguyên.

1.5.7 Mệnh đề. Cho R là một vành không nhất thiết là vành Noether và I là
một iđêan của R.
(i) Ảnh bao đóng nguyên của I trong
red
R
là bao đóng nguyên ảnh của I
trong
red
R
:
red red
IR IR
.
(ii) Phần tử
rR
thuộc bao đóng nguyên của I nếu và chỉ nếu ảnh của r
trong
R
p
thuộc bao đóng nguyên của
()I p
p
với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu
p của R.
Chứng minh. (i) Theo Mệnh đề 1.5.4, (i) ta có
red red
IR IR
. Mặt khác, giả sử
rR
sao cho

0
red
r IR
. Đặt
1
11
0
nn
nn
f r a r a r a


     
với
, 1,
i
i
a I i n
. Vì
0
k
f 
nên
1
11
( ) 0
n n k
nn
r a r a r a



    
, đây là phương trình
phụ thuộc nguyên của r trên
I
với bậc kn. Suy ra
red
r IR
. Như vậy
red red
IR IR
.
(ii)
()
Theo Mệnh đề 1.5.4, (i), ta có ảnh của
I
trong
R
p
được chứa trong
bao đóng nguyên của
()I p
p
với mọi p.

()
Giả sử
 
1*
11

= | ,
n n i
n n i
W r a r a r a n a I


     
. Chú ý rằng W là tập
nhân đóng của vành R. Nếu
0 W
thì r nguyên trên
I
. Nếu
0 W
thì tồn tại
một iđêan nguyên tố q của R không giao với W. Vì luôn tồn tại một iđêan

17
nguyên tố tối tiểu trong mỗi vành R nên có một iđêan nguyên tố tối tiểu
pq
.
Từ đó suy ra
   WWpq
. Tuy nhiên
W   p
, mâu thuẫn với giả thiết
0 W
.
1.5.8 Chú ý. (i). Từ mệnh đề trên ta thấy, khi tập các iđêan nguyên tố tối tiểu
của R là hữu hạn, phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I có thể được xây

dựng từ phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I modulo mỗi iđêan nguyên
tố tối tiểu
1
, ,
m
pp
như sau: tồn tại
i
ji
aI
,
1, ,
j
in
sao cho
1
1 , 1 ,



     
jj
jj
nn
j j j n j n j
f r a r a r a p
.
Khi đó
1
0

m
f f f
. Vì thế tồn tại một số nguyên dương k sao cho
k
f
= 0
là phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I.
(ii). Nếu tồn tại một họ gồm hữu hạn iđêan nguyên tố tối thiểu sao cho
iđêan I không được chứa trong bất kỳ iđêan nguyên tố nào trong họ này thì có
thể xảy ra trường hợp bao đóng nguyên của I được xác định bằng cách lấy
modulo của một tập con thực sự của họ iđêan nguyên tố tối thiểu nói trên.
Chẳng hạn, cho
[ , , ]
()
k x y z
R
xy

, trong đó k là một trường và x, y, z là các biến
trên k. Cho
( , ) .I y z R
Khi đó bao đóng nguyên của I modulo iđêan nguyên tố
tối thiểu
()x
được nâng lên thành
( , , )x y z R
và bao đóng nguyên của I modulo
iđêan nguyên tố tối thiểu
()y
được nâng lên thành

( , )y z R
.
1.5.9 Mệnh đề. Cho R là một vành không nhất thiết là vành Noether,
rR
và
I là một iđêan của vành R. Khi đó
1
:( ( )) ( ( )) .
nn
r I n I r I I r

      

Chứng minh.
()
Giả sử
rI
. Khi đó từ phương trình phụ thuộc nguyên bậc
n của r trên I ta suy ra
1
( ( ))
n
r I I r


và do đó
1
( ( )) ( ( ))
nn
I r I I r


  
.

()
Giả sử
1
( ( )) ( ( ))
nn
I r I I r

  
suy ra
12
1 2 1

n n n
nn
r br b r b r b


    
với
i
i
bI
.

18
Từ đó suy ra

12
1 2 1
0


     
n n n
nn
r b r b r b r b
là phương trình phụ thuộc
nguyên của
r
trên
I
.
Một R-môđun M được gọi là trung thành (a faithful module) nếu linh hóa
tử của M bằng 0, tức Ann
R
(M) =
 
: 0, 0a R x M    ax
.
1.5.10 Hệ quả. Cho I là một iđêan của vành R và
rR
. Các điều kiện sau là
tương đương:
(i) r nguyên trên I.
(ii) Tồn tại R-môđun M hữu hạn sinh sao cho
rM IM
và khi

0aM 
với
aR
thì
0ar 
.
Hơn nữa, nếu I là hữu hạn sinh và chứa ước của không thì r nguyên trên I
khi và chỉ khi tồn tại R-môđun hữu hạn sinh trung thành M sao cho
( ( ))IM I r M
.
Chứng minh. (i)

(ii) Giả sử
12
1 2 1
0
n n n
nn
r a r a r a r a


     
là phương
trình phụ thuộc nguyên của r trên I. Khi đó tồn tại iđêan hữu hạn sinh
JI

sao cho
i
i
aI

,
1, ,in
. Do đó r nguyên trên J. Theo Mệnh đề 1.5.9,
n
sao cho
1
( ( )) ( ( ))
nn
J J r J r

  
. Suy ra
1
( ( ))
n
M J r


là hữu hạn sinh
và
1
( ( ))
n
rM r J r



1
( ( )) ( ( ))
nn

J r J J r JM IM

     
. Như vậy nếu
0aM 

thì
1
( ) 0
n
ar


. Khi I hữu hạn sinh, ta có thể lấy
JI
, vì thế
( ( ))IM I r M
.
Nếu I chứa ước của không thì M là môđun trung thành.
(ii)

(i) Giả sử
1

m
M Rb Rb  
là R- môđun sao cho
rM IM
. Với mỗi
1,im

, ta viết
1
m
i ij j
j
rb a b



với
ij
aI
. Cho A là ma trận
()
ij ij
ra


với
ij

là
hàm delta Kronecker. Giả sử b là vectơ
1
( , , )
T
m
bb
. Ta có
0Ab 

, từ đó
det( )Ab

( ) 0adj A Ab
. Do đó,
,i

det( ) 0
i
Ab
suy ra
det( ) 0AM
. Theo
giả thiết
(det( ) ) 0
k
Ar 
, với
k 
nào đó và từ đó ta có phương trình phụ
thuộc nguyên của r trên
I
.

19
Bây giờ ta hãy nhắc lại khái niệm bao đóng nguyên của một vành. Cho A là
một vành con của vành giao hoán B và
.xB
Ta nói rằng phần tử x là nguyên
trên A nếu tồn tại số nguyên không âm n và các phần tử

1
, ,
n
a a A
sao cho:
1
11
0,
nn
nn
x a x a x a


    

có nghĩa x là nghiệm của một đa thức đơn hệ với hệ tử trên A. Phương trình này
được gọi là phương trình phụ thuộc nguyên của x trên A.
Tập con C của B gồm những phần tử nguyên trên A là một vành con của B
chứa A. Vành con C được gọi là bao đóng nguyên của A trong B. Nếu C=A thì
vành A được gọi là đóng nguyên trong B. Nếu C = B thì vành B được gọi là
nguyên trên A (như vậy B là nguyên trên A nếu mọi phần tử của B đều nguyên
trên A). Vành A được gọi là vành đóng nguyên nếu nó đóng nguyên trong vành
các thương toàn thể
( ).TA

Ta biết rằng vành R cũng được xem như là một iđêan của chính nó. Theo
Mệnh đề 1.5.3 thì
R
được chứa trong bao đóng nguyên
R

. Tuy nhiên bao đóng
nguyên của bất kỳ iđêan nào của R đều được chứa trong R. Do vậy ta có
.RR

Như vậy bao đóng nguyên của R xem như một iđêan luôn bằng chính vành
R; tuy nhiên bao đóng nguyên của R xem như một vành có thể chứa thực sự R.
Trong luận văn này chúng tôi không đi sâu tìm hiểu về mối liên hệ giữa bao
đóng nguyên của iđêan và bao đóng nguyên của vành. Mệnh đề sau đây chỉ ra
rằng trong vành đóng nguyên mọi iđêan chính là iđêan đóng nguyên.
1.5.11 Mệnh đề. Cho R là một vành không nhất thiết là vành Noether. Giả sử R
đóng nguyên trong vành các thương toàn thể T(R). Khi đó với mọi iđêan I và
với mọi phần tử
fR
không là ước của không ta có
.fI f I
. Đặc biệt, mọi
iđêan chính sinh bởi một phần tử không là ước của không trong R là iđêan
đóng nguyên.
Ngược lại, giả sử R là một vành Noether tùy ý sao cho không có iđêan
nguyên tố nào vừa cực tiểu lại vừa cực đại và giả thiết rằng mọi iđêan chính có

20
độ cao bằng 1 đều là iđêan đóng nguyên. Khi đó R là vành rút gọn và đóng
nguyên trong vành các thương toàn thể T(R).
Chứng minh. Giả sử
r fI
. Khi đó
r
là nghiệm của phương trình



    
11
11
0
n n n n
nn
r b fr b f r b f

với
i
i
bI
. Chia hai vế phương trình trên cho
n
f
ta được:


     
    
     
     
1
11
0
nn
nn
r r r
b b b

f f f
.
Đây là phương trình phụ thuộc nguyên của
r
R
f

trên I. Khi
r
f
nằm trong tổng
các phân số của vành R, R đóng nguyên và
r
f
là phần tử của R suy ra. Ngoài ra,
từ phương trình trên ta có
r
I
f

, do vậy
.r f I
suy ra
.fI f I
.
Giả sử
.r f I
và
rf s
,

Is
. Khi đó s là nghiệm của phương trình


    s s s
1
11
0
nn
nn
c c c
.
Nhân hai vế phương trình trên cho
n
f
ta được:
     



    s s s
1
1
11
0
nn
nn
nn
f c f f c f f c f
.

Đây là phương trình phụ thuộc nguyên của
sfr
trên fI, suy ra
.f I fI
.
Ta chứng minh phát biểu ngược lại, Mỗi iđêan đóng nguyên chứa rađican
không N. Giả sử
MinRp
, khi đó tồn tại iđêan nguyên tố
Q
p
chứa p. Chọn
phần tử
c 
pp
Q
không là iđêan nguyên tố nhỏ nhất. Điều này triệt tiêu tính
nguyên tố. Giả sử c gồm tất cả
c
p
không là iđêan nguyên tố nhỏ nhất, khi đó
   
ii
ii
N c c
. Do định lí Krull,
 
1 0,N rc r R  
. Nếu
1b rc  p

thì
bQ
p
, do đó
cQ
p
, cần thiết
1 Q
p
dẫn đến mâu thuẫn. Do đó
1b rc
không
nằm trong iđêan nguyên tố p. Lập luận như trên thay c bởi s:
(1 ) 0N sb
. Do

21
đó
 
 
 
1 1 1 0N N s rc N sb     
. Do đó R rút gọn. Giả sử
a
b
là tổng các
phân số của R
 
, , 0a b R b
và giả sử

a
b
nguyên trên R thì a nguyên trên bR.

1.5.12 Hệ quả. Một vành địa phương Noether có chiều dương là đóng nguyên
trong vành các thương toàn thể của nó và nó không bằng vành các thương toàn
thể rút gọn.


















22
CHƢƠNG 2
BAO ĐÓNG NGUYÊN VỚI MỘT SỐ IĐÊAN ĐẶC BIỆT
2.1 Bao đóng nguyên thông qua iđêan rút gọn
2.1.1 Định nghĩa. Cho

JI
là các iđêan. J được gọi là rút gọn của
I
(a
reduction of I) nếu tồn tại số n nguyên không âm sao cho
1nn
I JI


.
Sau đây, để ngắn gọn, nếu iđêan J là rút gọn của iđêan I thì ta nói
JI

là một rút gọn.
Từ Mệnh đề 1.5.9 ta suy ra ngay hệ quả sau.
2.1.2 Hệ quả. Phần tử
rR
là nguyên trên J nếu và chỉ nếu J là iđêan rút gọn
của iđêan
()Jr
.
2.1.3 Nhận xét. Chú ý rằng nếu
1nn
I JI


thì với mọi số nguyên dương m ta
có
1

  
  
m n m n m n
I JI J I
. Đặc biệt, nếu J là iđêan rút gọn của I thì tồn tại
một số nguyên n sao cho
1, .

  
m n m
m I J

2.1.4 Mệnh đề. Cho
K J I
là các iđêan trong vành R.
(i) Nếu K là rút gọn của J và J là rút gọn của I thì K là rút gọn của I.
(ii) Nếu K là rút gọn của I thì J là rút gọn của I.
(iii) Nếu I là hữu hạn sinh,
1
( , , )
n
J K r r
và K là rút gọn của I thì K là rút
gọn của J.
Chứng minh. (i) Giả sử
KJ
và
JI
đều là rút gọn. Khi đó
,mn

sao
cho
1nn
KJ J


và
1mm
JI I


. Từ Nhận xét 2.1.3 suy ra
11m n n m n m
I J I KJ I
  

nm
KI I

1m n m n
KI I
  

. Suy ra
1m n m n
KI I
  

và do đó
1nn

KI I


. Vậy K là rút gọn của I.
(ii) Giả sử K rút gọn của I suy ra
n
sao cho
11n n n n n
I KI JI II I

   
.
Vậy J rút gọn của I.
(iii) Giả sử I là hữu hạn sinh,
1
( , , )
n
J K r r
và K là rút gọn của I. Suy ra
n
sao cho
1nn
KI I


. Áp dụng ii) ta được
0,ik
,
11
( , , )

i
K r r


là rút

23
gọn của I. (Khi
11
0,( , , )
i
i r r


được hiểu là iđêan không), khi
i
rI
, chọn n để
n
i
rI
11
( ( , , ))
nn
i
KI K r r I

  
. Nếu
0,

n
aI a R
thì
i
rI
, như vậy
0
n
i
ar 
.
Theo giả thiết
n
I
là hữu hạn sinh. Do Hệ quả 1.5.10,
i
r
nguyên trên
11
( , , )
i
K r r


và theo Mệnh đề 1.5.9,
11
( , , )
i
K r r



là rút gọn của
1
( , , )
i
K r r
. Do i) và quy nạp theo k,
1
( , , )
k
K K r r J  
là rút gọn.
Chú ý rằng, trong trường hợp iđêan I không hữu hạn sinh thì phát biểu cuối
cùng của mệnh đề trên có thể không đúng.
2.1.5 Hệ quả. Cho
KI
là các iđêan, I là iđêan hữu hạn sinh. Khi đó K là rút
gọn của I khi và chỉ khi
IK
.
Chứng minh.
()
Nếu K là rút gọn của I thì theo điều kiện iii) của Mệnh đề
2.1.4 với mỗi
rI
, K là rút gọn của
()Kr
. Do Mệnh đề 1.5.9 suy ra
rK
,

do đó
IK
.

()
Giả sử
1
( , , )
n
I r r K
, suy ra
1,jn
,
j
r
nguyên trên K và nguyên
trên
11
( , , )
j
K r r


. Từ Mệnh đề 1.5.9 thì mỗi bao hàm trong dãy
1 1 2 1
( ) ( , ) ( , , )
n
K K r K r r K r r I       
là rút gọn. Ngoài ra do điều kiện
i) của Mệnh đề 2.1.4, K là rút gọn của I.

2.2 Bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan
2.2.1 Định lí. Bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan đóng nguyên (trong
cùng một vành).
Chứng minh. Giả sử K là iđêan của vành R. Hiển nhiên
K
đóng kín với phép
nhân bởi các phần tử của R. Ta cần chứng minh
K
đóng kín với phép cộng.
Thật vậy, giả sử
,r s K
và phương trình phụ thuộc nguyên của r trên K là
1
1
0
nn
n
r k r k

   
,
i
i
kK
. Khi đó tồn tại một iđêan hữu hạn sinh

KK

sao cho
()



i
i
kK
. Do đó
rK


. Một cách tượng tự, ta cũng có
sK


. Giả sử
()J K r


,
( , ) ( )I K r s J s

   
. Từ Mệnh đề 1.5.9 suy ra
K

là rút gọn của

24
J, J là rút gọn của I. Do đó từ Mệnh đề 2.1.4 suy ra
K


là rút gọn của I. Khi đó
,,K J I

là hữu hạn sinh, bởi vì Mệnh đề 2.1.4 nên
()K K r s I

   
đều là
các rút gọn. Do Mệnh đề 1.5.9 suy ra
rs
nguyên trên
K

và do đó nguyên
trên K. Hay nói cách khác
.r s K
Như vậy
K
là iđêan.
Để chứng minh bao đóng nguyên của iđêan là một iđêan đóng nguyên, ta cho
I là một iđêan của R và
rI
. Khi đó tồn tại iđêan hữu hạn sinh J chứa trong
I
sao cho
rJ
. Giả sử
1
( , , )
k

J j j
. Tương tự tồn tại iđêan hữu hạn sinh
KI
sao cho mỗi
i
j
là nguyên trên K. Từ Mệnh đề 2.1.4 suy ra K là rút gọn
của
KJ
và
KJ
là rút gọn của
()K J r
suy ra K là rút gọn của
()Kr
.
Do r nguyên trên K và do đó nguyên trên I suy ra
II
. Mà
II
. Vậy
II
.
Tính chất bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan được sử dụng rất
nhiều trong các tính toán và xây dựng các vấn đề của đại số.
2.2.2 Mệnh đề. Cho I là một iđêan của vành R và
rR
. Khi đó các điều kiện
sau là tương đương:
( i)

rI
;
(ii)
1
1


r
SI
với mọi tập nhân đóng S của R;
(iii)
1

r
I
p
với mọi iđêan nguyên tố p của R;
(iv)
1

r
I
m
với mọi iđêan cực đại m của R.
Chứng minh. (i)

(ii) Giả sử
rI
và S là tập nhân đóng, khi đó
1

1
r
SI


.
Mặt khác, theo Mệnh đề 1.5.6 ta có
11
S I S I


. Như vậy
1
1
r
SI


.
(ii)

(iii) Giả sử
1
1


r
SI
với mọi tập nhân đóng S của R. Khi đó
 

11
: ,1
11
rr
S I S I r I S

    
,

25
mặt khác ta định nghĩa
 
:,
r
I r I s
s
  
p
p
, với p là iđêan nguyên tố của R.
Do p là iđêan nguyên tố nên
1p
. Do đó theo cách định nghĩa trên suy ra
1

r
I
p
.
(iii)


(iv) Giả sử (iii) là mệnh đề đúng. Vì iđêan cực đại cũng là iđêan
nguyên tố nên
1

r
I
m
.
(iv)

(i) Giả sử
1

r
I
m
, khi đó theo cách định nghĩa suy ra
rI
.
2.2.3 Mệnh đề. Nếu
,IJ
là các iđêan của vành R thì
::I J I J
.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh
:IJ
là iđêan đóng nguyên. Thật vậy, giả
sử r là nguyên trên
:IJ

, khi đó r thỏa mãn một phương trình phụ thuộc nguyên
trên
:IJ
. Giả sử bậc của phương trình phụ thuộc nguyên này là n. Với mỗi
aJ
, nhân hai vế phương trình với a
n
ta nhận được phương trình phụ thuộc
nguyên của ra trên
I
suy ra
ra I
. Do đó
rJ I
hay
:r I J
. Như vậy
:IJ
là iđêan đóng nguyên. 
2.2.4 Mệnh đề. Nếu
IJ
và
JK
là các mở rộng nguyên thì
IK
cũng
là một mở rộng nguyên.
Chứng minh. Ta có
  K J I I
. Do đó ta có điều cần chứng minh. 

2.2.5 Mệnh đề. Nếu
II


và
JJ


là các mở rộng nguyên của các iđêan thì
I J I J

  
và
IJ I J


cũng là các mở rộng nguyên.
Chứng minh. Mỗi phần tử của
I

và của
J

rõ ràng nguyên trên
IJ
, do dó
iđêan
IJ



là nguyên trên
IJ
. Mặt khác, với
,a I b J


thì
ab

là
nguyên trên IJ, như vậy
IJ

là nguyên trên IJ. Tương tự ,
IJ

là nguyên trên
IJ

. Như vậy
I J IJ IJ
  

. 
2.2.6 Ví dụ. Cho
 
,R K X Y
là vành đa thức hai biến
,XY
trên trường K.

Khi đó iđêan
 
2 3 3 4
,,I X Y XY Y
là đóng nguyên.