Một số phương pháp xấp xỉ hàm số

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá
trình thực hiên luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều
trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng
sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp
đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học
Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả
Vũ Thị Thư
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các trích dẫn trong luận
văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả
Vũ Thị Thư
Mục lục
Bảng ký hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Chuỗi số, dãy hàm, chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Không gian C
[a,b]
, L
p
[a,b]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4. Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.5. Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1. Hệ các hàm lũy thừa, hệ các hàm lượng giác . . . . . . . . . . 19
1.2.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
XẤP XỈ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1. Một số định lý về xấp xỉ hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Xấp xỉ hàm bằng tích phân kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Hệ thống Korovkin và xấp xỉ hàm liên tục bởi một dãy hàm cho
bởi toán tử tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1. Tập các hàm kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
2.3.2. Các hạch dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Xấp xỉ hàm bởi tích phân Fejér-Korovkin. . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5. Xấp xỉ hàm bởi đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1. Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì . . . . . . . . . . . 43
2.5.3. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều . . . . . 45
2.5.4. Sai số của phép nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6. Xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.1. Định nghĩa về hàm ghép trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.2. Đa thức nội suy ghép trơn bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7. Đa thức xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
XẤP XỈ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1. Tính tổng của một chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. Tính xấp xỉ giá trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1. Tính xấp xỉ hàm số bởi đa thức Bernstein . . . . . . . . . . 56
3.2.2. Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính xấp xỉ giá trị hàm số
57
3.2.3. Sử dụng hàm ghép lớp trơn tính xấp xỉ giá trị hàm số 58
3.3. Một số ứng dụng trong phương trình vật lý toán . . . . . 62
3.3.1. Bài toán dây rung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2. Bài toán dao động tự do của dây rung . . . . . . . . . . . . 64
ii
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
iii
Bảng ký hiệu
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
R Tập số thực
C
[a,b]
Không gian các hàm liên tục trên [a, b]
L
p

[a,b]
Tập hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên [a, b]
(1 ≤ p < ∞)
L
p
(R) Tập hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên R
X (2π) Không gian các hàm C
2π
hoặc L
p
2π
X (R) Không gian các hàm C (R) hoặc L
p
(R)
L (X, Y ) Không gian các hàm tuyến tính liên tục từ X vào Y
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán xấp xỉ hàm số là một bài toán quan trọng của toán học. Nó
có vai trò quan trọng về phương diện lí thuyết và ứng dụng. Vấn đề này
đã được các nhà toán học quan tâm từ đầu thế kỷ XVIII. Định lý nổi
tiếng của Weierstrass về xấp xỉ một hàm số liên tục trên một đoạn bởi
dãy các đa thức đã mở đầu cho việc chứng minh tính trù mật của không
gian các đa thức trong một số các không gian hàm quan trọng. Định lý
về xấp xỉ một hàm tuần hoàn bởi một dãy các đa thức lượng giác làm
tiền đề cho việc nghiên cứu và tính xấp xỉ giá trị của hàm tuần hoàn.
Một số ứng dụng của giải tích hàm cho ta cách tiếp cận vấn đề xấp xỉ
hàm số một cách tổng quát hơn. Với mong muốn hiểu sâu hơn về các
phương pháp xấp xỉ hàm số nên tôi đã chọn đề tài “Một số phương
pháp xấp xỉ hàm số” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp xấp xỉ hàm số, như xấp xỉ bởi đa
thức đại số, đặc biệt là xấp xỉ bởi đa thức lượng giác được cho bởi toán
tử tích phân kì dị.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng quan về việc xấp xỉ một hàm liên tục trên một đoạn, xấp xỉ
một hàm số tuần hoàn trên đường thẳng.
- Nghiên cứu việc xấp xỉ một hàm nhờ toán tử tích phân kì dị.
- Nghiên cứu về xấp xỉ tốt nhất một hàm liên tục, một hàm khả tích
Lebesgue bởi một đa thức.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Một số phương pháp xấp xỉ hàm liên tục và hàm khả tích Lebesgue.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống
một số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài.
6. Đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống về một số phương pháp xấp xỉ hàm số
và ứng dụng của chúng.
3
Chương 1
KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Một số không gian hàm
1.1.1. Chuỗi số, dãy hàm, chuỗi hàm
• Chuỗi số
Định nghĩa 1.1. Cho dãy số: a
1
, a
2
, , a

n
, Lập dãy số mới:
A
1
= a
1
,
A
2
= a
1
+ a
2
,
. . .
A
n
= a
1
+ a
2
+ + a
n
=
n

k=1
a
k
.

Ký hiệu hình thức:
∞

k=1
a
k
= lim
n→+∞
A
n
= lim
n→+∞
n

k=1
a
k
và gọi
∞

k=1
a
k
là
một chuỗi số, a
k
được gọi là số hạng thứ k của chuỗi số.
• Chuỗi số hội tụ
Xét chuỗi số
∞


k=1
a
k
. (1.1)
Đặt A
n
=
n

k=1
a
k
. Khi đó
A
n
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1).
Dãy {A
n
} là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1).
4
Nếu dãy {A
n
} hội tụ và lim
n→+∞
A
n
= A thì ta nói chuỗi số
∞


k=1
a
k
hội
tụ và có tổng bằng A, viết là
+∞

k=1
a
k
= A.
Nếu dãy {A
n
} không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số (1.1)
phân kỳ.
• Phần dư của chuỗi
Xét chuỗi số hội tụ
∞

k=1
a
k
. (1.2)
Đặt r
n
=
+∞

k=n+1
a

k
=
+∞

k=1
a
n+k
Khi đó r
n
được gọi là phần dư thứ n
của chuỗi hội tụ (1.2).
Giả sử A =
+∞

k=1
a
k
và A
n
=
n

k=1
a
k
thì ta có r
n
= A−A
n
⇒ lim

n→∞
r
n
= 0.
• Điều kiện để một chuỗi hội tụ
Định lý 1.1. (Định lý về điều kiện cần) Nếu chuỗi
∞

k=1
a
k
hội tụ thì
lim
k→+∞
a
k
= 0.
Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ:
Xét chuỗi số
+∞

k=1
a
k
(1.3)
có dãy tổng riêng là A
n
=
n


k=1
a
k
.
Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (1.3) hội tụ điều kiện cần và đủ là:
∀ε > 0, cho trước ∃n
0
= n
0
(ε), n
0
∈ N
∗
sao cho: ∀n > n
0
, ∀p ∈ N
∗
thì
|A
n+p
− A
n
| < ε. Điều này nghĩa là: |a
n+1
+ a
n+2
+ + a
n+p
| < ε. Vậy
ta có:

5
Định lý 1.2. Điều kiện cần và đủ để chuỗi
+∞

k=1
a
k
hội tụ là: ∀ε > 0 cho
trước ∃n
0
= n
0
(ε), n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n > n
0
, ∀p ∈ N
∗
ta đều có
|a
n+1
+ a
n+2
+ + a
n+p
| < ε.
Từ định lý này ta suy ra chuỗi số
+∞


n=1
a
n
phân kỳ khi và chỉ khi tồn
tại một số ε
0
> 0, để ∀n ∈ N
∗
, ∃p
0
∈ N
∗
sao cho |A
n+p
0
− A
n
| ≥ ε
0
.
• Dãy hàm
Cho U là một tập con của tập số thực R. A là tập tất cả các hàm số
xác định trên U. Ánh xạ F : N → A
n → u
n
∈ A
u
1
(x) , u

2
(x) , u
3
(x) , , u
n
(x) , (n = 1, 2, 3, ) được gọi là dãy hàm
số xác định trên tập U. Ký hiệu: {u
n
(x)} , ∀n = 1, 2, 3,
• Sự hội tụ đều của dãy hàm
Giả sử u
n
(x) là một dãy hàm xác định trên U ⊂ R.
Dãy hàm số {u
n
(x)} , ∀n = 1, 2, 3, được gọi là hội tụ đều tới hàm
u (x) trên tập U nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n sao cho (∀n > n
ε
) (∀x ∈ U)
thì |u
n
(x) − u (x)| < ε.
Định lý 1.3. Dãy hàm {u
n
(x)} hội tụ đều tới hàm u (x) trên U khi và
chỉ khi lim
n→+∞
sup
U
|u

n
(x) − u (x)| = 0.
• Chuỗi hàm
Định nghĩa 1.2. Cho dãy hàm {u
n
(x)} cùng xác định trên một tập
U ⊂ R. Chuỗi hàm là tổng hình thức
u
1
(x) + u
2
(x) + + u
n
(x) + =
+∞

n=1
u
n
(x). (1.4)
6
Nếu tại x
0
∈ U chuỗi số
+∞

n=1
u
n
(x

0
) hội tụ thì ta nói x
0
là điểm hội tụ
của chuỗi hàm (1.4), nếu
+∞

n=1
u
n
(x
0
) phân kỳ thì chuỗi hàm (1.4) phân
kỳ tại điểm x
0
.
Tập tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là miền hội
tụ của chuỗi hàm đó. Giả sử U
1
là miền hội tụ của chuỗi hàm (1.4), khi
đó với mọi x ∈ U
1
chuỗi
+∞

n=1
u
n
(x) có tổng là S (x). Như vậy
S (x) =

+∞

n=1
u
n
(x), ∀x ∈ U
1
.
Ta gọi S (x) là tổng của chuỗi hàm.
• Sự hội tụ đều của chuỗi hàm
Giả sử
+∞

k=1
u
k
(x) là một chuỗi hàm xác định trên U.
Ta nói chuỗi hàm
+∞

k=1
u
k
(x) hội tụ đều đến tổng S (x) trên tập U, nếu
∀ε > 0 cho trước đều ∃n
ε
> 0 sao cho (∀n > n
ε
) , (∀x ∈ U) thì
|S

n
(x) − S (x)| < ε.
• Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm
Định lý 1.4. (Điều kiện cần và đủ Cauchy) Chuỗi hàm
+∞

k=1
u
k
(x) hội
tụ đều trên tập U khi và chỉ khi ∀ε > 0 cho trước tồn tại số tự nhiên
n
0
= n
0
(ε) (không phụ thuộc vào x) sao cho ∀n > n
0
, ∀m ∈ N
∗
đều xảy
ra




n+m

k=n+1
u
k

(x)




< ε, với mọi x ∈ U.
Định lý 1.5. (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) gồm các
hàm u
n
xác định trên tập U. Giả thiết tồn tại một dãy số dương {C
n
}
7
sao cho
i) |u
n
(x)| ≤ C
n
, ∀x ∈ U, ∀n ∈ N
∗
.
ii) Chuỗi số
+∞


n=1
C
n
hội tụ.
Khi đó chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) hội tụ đều trên U.
Định lý 1.6. (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm {a
n
} , {b
n
} cùng
xác định trên tập U.
Giả thiết:
i) Dãy tổng riêng A
n
(x) của chuỗi hàm
+∞

n=1
a
n
(x) bị chặn đều trên U có
nghĩa là tồn tại một số M > 0 sao cho
|A
n

(x)| =





n

k=1
a
k
(x)





≤ M, ∀n, ∀x ∈ U.
ii) Dãy hàm {b
n
} đơn điệu có nghĩa là với mỗi số x ∈ U dãy b
n
(x) là
dãy số đơn điệu và dãy hàm {b
n
(x)} hội tụ đều trên U đến 0.
Khi đó chuỗi hàm
+∞

n=1

a
n
(x) .b
n
(x) hội tụ đều trên U.
• Tính chất của tổng chuỗi hàm
Định lý 1.7. (Tính liên tục) Cho chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x). Giả thiết rằng
i) u
n
là các hàm liên tục trên tập U, ∀n = 1, 2, 3,
ii) Chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) hội tụ đều trên U đến tổng S (x).
Khi đó S là một hàm liên tục trên U .
Định lý 1.8. (Định lý Dini) Giả sử rằng
i) Chuỗi hàm
+∞

n=1
u

n
(x) hội tụ trên [a, b] đến tổng S (x).
ii) u
n
(n = 1, 2, 3, ) là các hàm liên tục trên [a, b] và u
n
(x) ≥ 0 (hoặc
u
n
(x) ≤ 0), ∀x ∈ [a, b] , ∀n = 1, 2, 3,
8
iii) S là hàm liên tục trên [a, b].
Khi đó chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x) hội tụ đều trên [a, b].
Định lý 1.9. (Tích phân từng số hạng) Cho chuỗi hàm
+∞

n=1
u
n
(x). Giả
thiết rằng i) u
n
là các hàm khả tích trên [a, b] , ∀n = 1, 2, 3,
ii) Chuỗi hàm

+∞

n=1
u
n
(x) hội tụ đều trên [a, b] và có tổng là S (x).
Khi đó S là hàm khả tích trên [a, b] và
b

a
S (x) dx =
b

a
u
n
(x) dx.
1.1.2. Không gian vectơ
Định nghĩa 1.3. Cho tập hợp E mà các phần tử ký hiệu α, β, γ, . . . và
trường K mà các phần tử được ký hiệu là x, y, z, Giả sử trên tập E
có hai phép toán:
Phép toán cộng (+): E × E → E
(α, β) → α + β
Phép toán nhân (.): K × E → E
(x, α) → x.α
thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1) (α + β) + γ = α + (β + γ) , ∀α, β, γ ∈ E.
2) Tồn tại θ ∈ E sao cho θ + α = α + θ = α, ∀α ∈ E.
3) Với mỗi α, tồn tại α


∈ E sao cho α + α

= α

+ α = θ.
4) α + β = β + α, ∀α, β ∈ E.
9
5) (x + y) .α = x.α + y.α, ∀x, y ∈ K, ∀α ∈ E.
6) x. (α + β) = x.α + y.β, ∀x ∈ K, ∀α, β ∈ E.
7) x. (y.α) = (x.y) .α, ∀α ∈ E, ∀x, y ∈ K.
8) 1.α = α, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K.
Khi đó E cùng hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường
K hay có thể gọi K-không gian vectơ.
Khi K = R thì E được gọi là không gian vectơ thực (hay không gian
tuyến tính thực), còn khi K = C thì E được gọi là không gian vectơ
phức.
• Sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
Định nghĩa 1.4. Cho hệ vectơ {a
1
, a
2
, , a
k
} trong không gian vectơ
E. Khi đó vectơ x biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {a
i
}
k
i=1
nếu

x =
k

i=1
λ
i
a
i
= λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ + λ
k
a
k
, λ
i
∈ K.
Hệ vectơ {a
i
}
k
i=1
được gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại
(λ

1
, λ
2
, , λ
k
) không đồng thời bằng 0 sao cho
k

i=1
λ
i
a
i
= θ.
Hệ vectơ {a
i
}
k
i=1
được gọi là hệ độc lập tuyến tính nếu từ
k

i=1
λ
i
a
i
= θ
thì λ
i

= 0

i = 1, k

.
Hệ gồm một vectơ {a} là độc lập tuyến tính khi a = θ. Nếu vectơ
a = θ thì hệ phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 1.10. Hệ vectơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một
vectơ trong hệ biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ.
• Không gian vectơ hữu hạn chiều, số chiều
10
Định nghĩa 1.5. Không gian vectơ V được gọi là không gian n chiều
(1 ≤ n nguyên) nếu trong V tồn tại n vectơ độc lập tuyến tính và không
tồn tại quá n vectơ độc lập tuyến tính.
Khi đó ta nói số chiều của không gian V là n. Ký hiệu là dim (V ).
Các không gian n chiều, n ≥ 0, được gọi là không gian hữu hạn chiều.
Nếu trong V có thề tìm được một số bất kỳ các vectơ độc lập tuyến
tính thì ta nói V là không gian vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.6. Một hệ vectơ được gọi là hệ sinh của không gian vectơ
nếu mọi vectơ của không gian đó biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của
V đều biểu thị tuyến tính qua hệ này.
Định lý 1.11. Trong không gian vectơ n chiều V ta có
Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn hơn n vectơ thì đều là hệ phụ thuộc
tuyến tính.
Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V đều có thề bổ sung để trở thành
một cơ sở của V .
Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n vectơ của V đều là cơ sở.
1.1.3. Không gian C
[a,b]

, L
p
[a,b]
• Không gian C
[a,b]
, L
p
[a,b]
Định nghĩa 1.7. Tập hợp các hàm số thực liên tục trên một đoạn [a, b]
với khoảng cách giữa hai phần tử x (t) , y (t) là:
ρ (x, y) = max
a≤t≤b
|x (t) − y (t)|
11
là không gian C
[a,b]
.
Không gian C
[a,b]
là không gian định chuẩn với chuẩn xác định
x (t) ∈ C
[a,b]
: x = max
a≤t≤b
|x (t)| . (1.5)
Định lý 1.12. Không gian C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn (1.5).
Chứng minh. Giả sử {x
n

(t)}
∞
n=1
là dãy cơ bản bất kỳ trong C
[a,b]
nghĩa
là
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀m, n ≥ n
0
) : x
n
− x
m
 < ε,
suy ra
max
a≤t≤b
|x
n
(t) − x
m
(t)| < ε, ∀m, n ≥ n
0
.
Do đó
|x

n
(t) − x
m
(t)| < ε, ∀m, n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a, b] . (1.6)
Như vậy với mỗi t cố định thuộc [a, b] thì {x
n
(t)}
∞
n=1
là dãy cơ bản trong
R
1
. Vì R
1
là không gian đầy đủ, nên dãy {x
n
(t)}
∞
n=1
hội tụ trong R
1
.
Đặt x (t) = lim
n→∞
x
n
(t), cho t thay đổi trên [a, b] thì ta có hàm số x (t)
xác định trên [a, b].

Từ (1.6) cho m → ∞ ta có
(∀ε > 0) , (∃n
0
≥ n
0
) , ∀t ∈ [a, b] : |x
n
(t) − x (t)| ≤ ε
hay max
a≤t≤b
|x
n
(t) − x (t)| ≤ ε, tức là dãy {x
n
(t)} hội tụ đều tới x (t).
Vậy x (t) liên tục trên [a, b] nên x (t) ∈ C
[a,b]
và {x
n
(t)} hội tụ tới x (t)
trong C
[a,b]
. Nói cách khác C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn (1.5).
Định nghĩa 1.8. Cho một không gian E và một độ đo µ trên một σ-
đại số  các tập con của E. Họ tất cả các hàm số f khả tích trên E tức
12
là f
p

(1 ≤ p < ∞) khả tích trên E, tức là sao cho

E
|f|
p
dµ < +∞ gọi
là không gian L
p
(E, µ).
Khi E là một tập hợp đo được theo độ đo Lebesgue thì ta viết L
p
(E).
Nếu E = [a, b] ⊂ R và µ là độ đo Lebesgue thì ta viết L
p
[a,b]
hoặc
L
p
[a, b].
Định nghĩa 1.9. Giả sử (E, M, µ) là một không gian độ đo. Hàm số f
đo được trên E gọi là chủ yếu giới nội nếu tồn tại một tập hợp P ⊂ M
có độ đo không, sao cho f giới nội trên tập E\P , tức là tồn tại một số
K sao cho
|f (x)| ≤ K, ∀x ∈ E\P. (1.7)
Cận dưới đúng của tập hợp các số K thỏa mãn bất đẳng thức (1.7) gọi
là cận trên đúng chủ yếu của hàm f , được ký hiệu esssup
x∈E
|f (x)|
Định nghĩa 1.10. Giả sử (E, M, µ) là một không gian độ đo. Gọi
L

∞
(E, µ) là tập hợp các giới nội hầu khắp nơi trên E. Với mỗi phần tử
f của L
∞
(E, µ), đặt
f
∞
= esssup
x∈E
|f (x)| .
Định nghĩa 1.11. Cho họ (A
t
)
t∈T
gồm các toán từ tuyến tính A
t
, ánh
xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T
là một họ chỉ số có lực lượng nào đấy.
Họ toán tử (A
t
)
t∈T
gọi là bị chặn từng điểm nếu với mỗi x ∈ X tập
(A
t
(x)) bị chặn trong không gian Y .
Họ toán tử (A
t
)

t∈T
gọi là bị chặn đều nếu tập các chuẩn A
t

t∈T
bị
chặn.
13
Định nghĩa 1.12. Dãy toán tử tuyến tính (A
n
)
∞
n=1
trong không gian
L (X, Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A trong L (X, Y ) nếu với
mỗi x ∈ X, dãy điểm (A
n
x)
∞
n=1
hội tụ tới Ax trong không gian định
chuẩn Y .
• Không gian các hàm khả tổng
Định nghĩa 1.13. Tập L
1
[−π, π] gồm các hàm đo được Lebesgue trên
đoạn [−π, π] và
π

−π

|f (x)|dµ < +∞.
Trong L
1
[−π, π] ta đưa ra một chuẩn bằng công thức
f =
π

−π
|f (x)|dµ
và quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π].
Khi đó L
1
[−π, π] cùng với chuẩn xác định một không gian định chuẩn.
Trong L
1
[−π, π] ta đưa ra một khoảng cách bằng công thức
ρ (f, g) = f − g .
L
1
[−π, π] cùng với khoảng cách này tạo thành một không gian metric
với quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π].
Sự hội tụ theo nghĩa này của một dãy các hàm khả tổng được gọi là
sự hội tụ trung bình.
Định lý 1.13. Không gian C [−π, π] trù mật khắp nơi trong không gian
L
1
[−π, π].
14
Định nghĩa 1.14. Tập L
2

[−π, π] gồm tất cả các hàm có bình phương
khả tổng trên đoạn [−π, π] tức là các hàm đo được Lebesgue trên đoạn
[−π, π] mà
π

−π
|f (x)|
2
dµ < +∞.
Trong L
2
[−π, π] ta đưa ra một chuẩn bằng công thức
f =


π

−π
|f (x)|
2
dµ


1
2
và quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π].
Khi đó L
2
[−π, π] cùng với chuẩn xác định một không gian định chuẩn.
Trong L

2
[−π, π] ta đưa ra một khoảng cách bằng công thức
ρ (f, g) = f − g =


π

−π
|f (x) − g (x)|
2
dµ


1
2
.
L
2
[−π, π] cùng với khoảng cách này tạo thành một không gian metric
với quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π].
Sự hội tụ theo nghĩa này của một dãy các hàm khả tổng được gọi là
sự hội tụ trung bình bình phương.
Trong L
2
[−π, π] ta trang bị một tích vô hướng giữa hai phần tử f và
g bằng công thức
(f, g) =
π

−π

f (x)g (x) dµ.
L
2
[−π, π] cùng với tích vô hướng trên tạo thành một không gian Hilbert.
15
1.1.4. Không gian L(X, Y )
Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ký hiệu L(X, Y ) là tập hợp
tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian
Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
Tổng của hai toán tử A, B ∈ L (X, Y ) là toán tử, ký hiệu A + B, xác
định bằng hệ thức
(A + B) (x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X.
Tích vô hướng của α ∈ P

P = R hoặc P = C

với toán tử A ∈
L(X, Y ) là toán tử, ký hiệu là αA, xác định bằng hệ thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ dàng kiểm tra A+B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép toán trên
đây thỏa mãn hệ tiêu đề tuyến tính; tập L(X, Y ) trở thành một không
gian tuyến tính trên trường P .
Bây giờ với toán tử tuyến tính bất kỳ A ∈ L(X, Y ) ta đặt
A = sup
x=1
Ax . (1.8)
Dễ thấy công thức (1.8) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn và không gian tuyến
tính L(X, Y ) trên trường P trở thành không gian định chuẩn.
Sự hội tụ trong không gian định chuẩn L(X, Y ) gọi là sự hội tụ đều
của dãy toán tử bị chặn.

Dãy toán tử (A
n
) ⊂ L(X, Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A ∈
L(X, Y ) nếu với mỗi x ∈ X, lim
n→∞
A
n
x − Ax = 0 trong không gian Y .
16
Một dãy toán tử (A
n
) ⊂ L(X, Y ) hội tụ đều tới toán tử (A
n
) ⊂ L(X, Y )
thì dãy (A
n
) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y .
Định lý 1.14. Nếu Y là không gian Banach, thì L(X, Y ) là không gian
Banach.
Chứng minh. Lấy một dãy cơ bản bất kỳ (A
n
) ⊂ L(X, Y ). Theo định
nghĩa
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀n, m ≥ n
0
) A

n
− A
m
 < ε. (1.9)
Nhờ đó với ∀x ∈ X ta có
A
n
x − A
m
x = (A
n
− A
m
)x ≤ A
n
− A
m
 x < ε x . (1.10)
Từ (1.9) và (1.10) suy ra dãy điểm (A
n
x) ⊂ Y là dãy cơ bản trong không
gian Bannach Y , nên tồn tại giới hạn
lim
n→∞
A
n
x = y ∈ Y.
Đặt y = Ax, nhờ tính chất của phép chuyển qua giới hạn, ta nhận được
toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian Banach
Y . Cho qua giới hạn trong hệ thức (1.10) và chú ý đến hệ thức (1.9) ta

được
A
n
x − Ax ≤ ε x , ∀n ≥ n
0
, ∀x ∈ X
hay
A
n
x − Ax ≤ ε x , ∀n ≥ n
0
, ∀x ∈ X.
Do đó
A
n
− A ≤ ε, ∀n ≥ n
0
.
17
Từ đó suy ra
A = A
n
1
− (A
n
1
− A) ∈ L(X, Y ) với n
1
> n
0

và A
n
− A → 0 khi n → ∞.
Vì vậy dãy toán tử (A
n
) ⊂ L(X, Y ) hội tụ tới các toán tử A trong không
gian L(X, Y ). Vậy L(X, Y ) là không gian Banach.
1.1.5. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.15. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là
trường số thực R hoặc trường số phức C ). Ta gọi là tích vô hướng trên
không gian X là ánh xạ X từ tích Descartes X × X vào trường P , ký
hiệu (., .), thỏa mãn tiên đề:
1) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);
2) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (ax, y) = α (x, y);
4) (∀x ∈ X) (x, x) > 0 nếu x = θ, (x, x) = 0 nếu x = θ (θ ký hiệu
phần tử không).
Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y)
gọi là tích vô hướng của hai phần tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi
là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.16. Ta gọi một tập H = θ gồm những phần tử x, y, z,
nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;
2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);
3) H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), x ∈ H.
18
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert
H là không gian Hilbert con của không gian H.

Định lý 1.15. (Định lý hình chiếu lên không gian con đóng) Cho không
gian Hilbert H và H
0
là không gian con đóng của H. Khi đó phần tử
bất kỳ x ∈ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x = y + z, y ∈ H
0
, z⊥H
0
.
Phần tử y trong biểu diễn trên gọi là hình chiếu của phần tử x lên không
gian con H
0
.
1.2. Chuỗi Fourier
1.2.1. Hệ các hàm lũy thừa, hệ các hàm lượng giác
Trong không gian C [a, b], hệ các hàm

1, x, x
2
, , x
n
,

, x ∈ [a, b]
được gọi là hệ các hàm lũy thừa.
Trong không gian Hilbert H, hai vectơ x, y được gọi là trực giao với
nhau nếu (x, y) = 0. Ký hiệu x⊥y.
Hệ các vectơ {x
n

} được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ x
n
đôi
một trực giao với nhau.
Trong không gian L
2
[−π, π], các hàm
{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx, } (n = 1, 2, 3, )
tạo thành một hệ trực giao đầy đủ gọi là hệ lượng giác.
19
1.2.2. Chuỗi Fourier
Định nghĩa 1.17. Trong không gian L
2
[−π, π], cho hàm số f (x). Khi
đó các hệ số
a
0
=
1
π
π

−π
f (x) dx
a
n
=
1
π
π


−π
f (x) cos nxdx, (n = 1, 2, 3 ) (1.11)
b
n
=
1
π
π

−π
f (x) sin nxdx, (n = 1, 2, 3 )
được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x).
Chuỗi hàm lượng giác
a
0
+
+∞

n=0
(a
n
cos nx + b
n
sin nx), (1.12)
trong đó a
0
, a
n
, b

n
xác định theo (1.11) được gọi là chuỗi Fourier của hàm
f (x).
Nếu xét hàm số f (x) ∈ L
1
[−π, π] thì các tích phân
1
π
π

−π
f (x) dx,
1
π
π

−π
f (x) cos nxdx,
1
π
π

−π
f (x) sin nxdx (n = 1, 2, 3 )
vẫn có nghĩa.
Như vậy với các hàm f (x) ∈ L
1
[−π, π] có thể ứng với các hệ số
Fourier và chuỗi Fourier của nó như công thức (1.11), (1.12).
• Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier (tổng Dirichlet)

20