Nguyên lí cực trị và áp dụng trong kinh tế phúc lợi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————–
NGUYỄN VĂN XÁ
NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ VÀ ÁP DỤNG
TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————–
NGUYỄN VĂN XÁ
NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ VÀ ÁP DỤNG
TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY
Hà Nội - 2013
Lời cảm ơn
Tôi chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các cá nhân và các tập thể,
trong đó có Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Trường Trung học
Phổ thông Yên Phong số 2 (huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh). Đặc biệt,
tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn PGS. TS. Nguyễn Quang Huy
người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Văn Xá
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung của luận văn này không trùng lặp
với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được

chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Văn Xá
Danh mục kí hiệu
R : Trường số thực
N = {1, 2, , n, } : Tập hợp tất cả các số nguyên dương
E : Không gian Banach trên trường số thực
E
∗
: Không gian đối ngẫu (liên hợp) của không gian Banach E
B
X
: Hình cầu đơn vị đóng trong không gian X có tâm tại gốc
int A, cl A, bd A : Lần lượt là phần trong, bao đóng, biên của tập A
u
Ω
−→ x: Nghĩa là u → x và u, x ∈ Ω
x → a
+
hoặc x ↓ a: Nghĩa là x → a và x > a, với x, a ∈ R
x → a
−
hoặc x ↑ a: Nghĩa là x → a và x < a, với x, a ∈ R
x
∗
k
w
∗
−→ x

∗
: Dãy {x
∗
k
} hội tụ theo tôpô yếu* tới phần tử x
∗
f : X → Y : Ánh xạ đơn trị f từ tập X đến tập Y
F : X ⇒ Y : Ánh xạ đa trị F từ tập X đến tập Y
: Kết thúc chứng minh
Mục lục
Danh mục kí hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 1. NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Một số kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến . . . . . . . 9
1.2. Các nguyên lí cực trị . . . . . . . . . . . . . 30
Chương 2. ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI . 38
2.1. Mô hình không lồi của kinh tế phúc lợi . . . . . 38
2.2. Định lí phúc lợi tổng quát thứ hai . . . . . . . . 51
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Mô hình cân bằng Walras cổ điển của kinh tế phúc lợi và mở rộng của
nó từ lâu đã được công nhận như là một phần quan trọng của lí thuyết
kinh tế và các ứng dụng. Các khái niệm tối ưu Pareto và những biến thể
của nó đóng một vai trò quan trọng cho việc nghiên cứu về cân bằng và
trợ giúp việc đưa ra các quyết định tốt nhất đối với các nền kinh tế cạnh
tranh.
Một cách tiếp cận cổ điển để nghiên cứu tối ưu Pareto trong các mô
hình kinh tế với dữ liệu trơn là đưa về các bài toán quen thuộc của quy

hoạch toán học và sử dụng các điều kiện cần tối ưu bậc nhất với các nhân
tử Lagrange. Theo cách này, các kết quả quan trọng đạt được trong thập
niên 30, 40 của thế kỉ trước chỉ ra rằng biên của các ước lượng thay thế
đối với tiêu dùng và sản xuất là bình đẳng với nhau tại bất kì phân bổ
tối ưu Pareto của tài nguyên; xem [14, 21, 12].
Đầu những năm 1950, Arrow [4] và Debreu [8] đạt được bước tiến
quan trọng trong lí thuyết kinh tế học phúc lợi với những mô hình kinh
tế có thể không lồi trên các dữ liệu lồi. Dựa trên các định lí tách cổ điển
cho tập lồi, Arrow, Debreu và những người theo sau đã phát triển thành
một lí thuyết đẹp trong toán học; đặc biệt là các điều kiện cần và đủ
cho phân bổ tối ưu Pareto, đồng thời chỉ ra rằng mỗi phân bổ như vậy
dẫn đến một trạng thái cân bằng trong mô hình kinh tế lồi. Một kết quả
6
quan trọng của lí thuyết này được gọi là định lí cơ bản thứ hai của kinh
tế phúc lợi nói rằng bất kì phân bổ tối ưu Pareto đều có thể gắn với một
vector giá khác không mà ở đó mỗi người tiêu dùng giảm thiểu chi phí
của mình và mỗi công ty tối đa hóa lợi nhuận của họ; xem [9]. Tính lồi
của dữ liệu là một đòi hỏi căn bản trong mô hình Arrow-Debreu. Lưu ý
rằng các lí thuyết kinh tế của Arrow-Debreu và các kết quả toán học có
liên quan đã đóng một vai trò cơ bản trong sự phát triển của giải tích
lồi.
Chúng ta biết rằng các giả thiết lồi thường là khó đạt được đối với
nhiều ứng dụng quan trọng. Đặc biệt, những giả thiết này thường không
được thỏa mãn với sự gia tăng theo quy mô trong lĩnh vực sản xuất đã
được chỉ ra trong các tài liệu kinh tế. Trong nghiên cứu tiên phong của
Guesnerie [11], một phiên bản tổng quát của định lí phúc lợi thứ hai
đã được thiết lập theo dạng điều kiện cần cấp một cho phân bổ tối ưu
Pareto đối với mô hình kinh tế không lồi. Thay vì giả thiết tính lồi cho
các tập sản lượng và ưu đãi ban đầu, Guesnerie chỉ đòi hỏi tính lồi đối
với các xấp xỉ tiếp tuyến địa phương của chúng và sau đó sử dụng định

lí tách cổ điển cho các nón lồi. Cách tiếp cận này được triển khai dựa
trên khái niệm nón chuyển vị phần trong của Dubovitskii và Milyutin
[10] trong lí thuyết tối ưu hóa tổng quát.
Cách tiếp cận của Guesnerie để nghiên cứu tối ưu Pareto trong mô
hình kinh tế không lồi sau đó đã được mở rộng và phát triển trong nhiều
ấn phẩm khoa học với không gian hàng hóa cả hữu hạn chiều và vô hạn
chiều; xem, chẳng hạn, [5, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó. Hầu
7
hết các ấn phẩm này sử dụng khái niệm nón tiếp tuyến của Clarke [6]
mà như ta đã biết nó luôn là một nón lồi, và do đó ta có thể xử lí bằng
cách sử dụng sự tách lồi cổ điển. Với cách tiếp cận này, ta có biên giá là
một phần tử nằm trong nón pháp tuyến Clarke. Tuy nhiên, trong nhiều
trường hợp nón này có thể là quá lớn đối với các mô hình không lồi như
đã được chỉ ra trong [12].
Trong bài báo vừa nêu, Khan [12] đã đạt được một phiên bản đầy
đủ hơn của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát cho nền kinh tế không
lồi với không gian hàng hóa hữu hạn chiều. Trong phiên bản này, biên
giá là một phần tử của nón pháp tuyến không lồi Mordukhovich [16] mà
luôn chứa trong nón pháp tuyến Clarke và có thể nhỏ hơn thực sự trong
nhiều trường hợp không lồi điển hình. Cách tiếp cận của Khan không
sử dụng trực tiếp định lí tách lồi cổ điển nhưng đã được biến đổi đưa về
điều kiện cần tối ưu trong quy hoạch không trơn do Mordukhovich xây
dựng trong [17]. Kết quả tương tự được thiết lập ở [17] với các mô hình
kinh tế khác bằng cách sử dụng một chứng minh trực tiếp các điều kiện
cần tối ưu cho các bài toán cực đại hóa tương ứng.
Đề tài Nguyên lí cực trị và áp dụng trong kinh tế phúc lợi
nhằm nghiên cứu về tối ưu Pareto trong các mô hình kinh tế không lồi
trên cơ sở nguyên lí cực trị trừu tượng mà có thể được xem như là một
sự thống nhất của cả hai cách tiếp cận đã được thảo luận ở trên.
8

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các dạng khác nhau của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát
trên cơ sở nguyên lí cực trị trừu tượng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nguyên lí cực trị, áp dụng nguyên lí cực trị để đưa ra
dạng xấp xỉ và dạng chính xác của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu nguyên lí cực trị trong giải tích biến phân và ứng dụng
của nó trong mô hình kinh tế phúc lợi có nền kinh tế không lồi với không
gian hàng hóa vô hạn chiều.
5. Phương pháp nghiêm cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích, giải tích đa trị, giải tích biến
phân và lí thuyết tối ưu.
6. Đóng góp của đề tài
Trình bày các kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến và nguyên lí cực trị;
trình bày các phiên bản của định lí phúc lợi tổng quát thứ hai cho phân
bổ tối ưu Pareto, phân bổ tối ưu Pareto yếu, và phân bổ tối ưu Pareto
mạnh của kinh tế phúc lợi trên cơ sở các nguyên lí cực trị.
Chương 1
NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ
1.1. Một số kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến
Cho E là một không gian Banach. Tập K ⊂ E được gọi là một nón
trong E nếu với mọi x ∈ K, mọi số λ > 0, ta đều có λx ∈ K.
Định nghĩa 1.1.1.
Cho ánh xạ đa trị F : E ⇒ E
∗
. Giới hạn trên Painlevé-Kuratowski
của ánh xạ đa trị F đối với cấu trúc tôpô sinh bởi chuẩn trong E và tôpô
yếu* trong E
∗

được xác định bởi
Limsup
x→¯x
F (x) := {x
∗
∈ E
∗
| tồn tại các dãy x
k
→ ¯x, x
∗
k
w
∗
−→ x
∗
với
x
∗
k
∈ F (x
k
), k ∈ N}.
Định nghĩa 1.1.2.
Cho ¯x ∈ Ω ⊂ E. Khi đó
(i) Tập Ω được gọi là CEL (compactly epi-Lipschitzian) địa phương
tại điểm ¯x nếu có tập compact C ⊂ E, có lân cận U của ¯x, có lân
cận O của điểm gốc trong E, và có số γ > 0 sao cho
Ω ∩ U + tO ⊂ Ω + tC, ∀t ∈ (0, γ).
(ii) Tập Ω được gọi là epi-Lipschitz địa phương tại điểm ¯x

nếu tập compact C ở trên được chọn có duy nhất một phần tử.
10
(iii) Tập Ω được gọi là epi-Lipschitz nếu nó là tập epi-Lipschitz
địa phương tại mọi điểm x ∈ Ω.
Dễ thấy, nếu Ω là epi-Lipschitz địa phương tại ¯x thì nó cũng là tập
CEL tại điểm đó.
Cho ¯x ∈ Ω ⊂ E, ta gọi
H (¯x; Ω) :=

y ∈ E


tồn tại lân cận U của ¯x, tồn tại lân cận V của y,
tồn tại γ > 0 để Ω ∩ U + tV ⊂ Ω, ∀t ∈ (0, γ)

là nón siêu tiếp xúc của Ω tại ¯x. Khi đó Ω là epi-Lipschitz địa phương tại ¯x
khi và chỉ khi H (¯x; Ω) = ∅. Thật vậy, nếu Ω là epi-Lipschitz địa phương
tại ¯x thì tồn tại C = {c} ⊂ E, tồn tại lân cận U của ¯x, tồn tại lân cận O
của điểm gốc, tồn tại γ > 0 để Ω ∩ U + t (O −C) ⊂ Ω, ∀t ∈ (0, γ). Suy
ra −c ∈ H(¯x; Ω) nên H (¯x; Ω) = ∅. Nếu H (¯x; Ω) = ∅ thì ∃y ∈ H(¯x; Ω)
và Ω là epi-Lipschitz địa phương tại ¯x với C ở định nghĩa lúc này được
chọn là C = {−y}. Trong [13], hai tác giả M.A.Khan và R.Vohra sử
dụng tính chất này làm định nghĩa tính epi-Lipschitz địa phương của Ω
tại ¯x.
Ta nhận xét rằng nếu ¯x ∈ int Ω thì tồn tại ε > 0 sao cho ¯x+ εB
E
⊂ Ω.
Chọn ε
1
> 0, O = ε

1
B
E
, chọn ε
2
∈ (0, ε), U = ¯x + ε
2
B
E
⊂ Ω, chọn tùy ý
γ ∈

0,
ε − ε
2
ε
1

và C = {0} ⊂ E, với mọi t ∈ (0, γ) ta có
Ω ∩ U + t (O −C) = ¯x + ε
2
B
E
+ tε
1
B
E
= ¯x + (ε
2
+ tε

1
)B
E
⊂ εB
E
⊂ Ω.
Suy ra Ω là epi-Lipschitz địa phương tại mọi điểm ¯x ∈ int Ω. Vì vậy, mỗi
tập mở khác rỗng đều là tập epi-Lipschitz.
11
Ta nhận thấy rằng nếu ϕ : E → R là hàm liên tục Lipschitz trên E,
tức là tồn tại số thực L > 0 sao cho
|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ L. x −y, ∀x, y ∈ E,
thì tập
epi ϕ := {(z, α) ∈ E × R |α ≥ ϕ(z)}
là epi-Lipschitz trong không gian E × R. Thật vậy, lấy tùy ý phần tử
(¯z, ¯α) ∈ epi ϕ. Trên E × R xét chuẩn tổng (z, α) = z + |α| và chọn
tập compact C = {(0, −L − 1)}, chọn lân cận tùy ý O của điểm (¯z, ¯α).
Lấy tùy ý t > 0, với mọi phần tử
(z + te
1
, α + te
2
+ tL + t) =
= (z, α) + t(e
1
, e
2
) − t(0, −L −1) ∈ (epi ϕ) ∩ U + tB
E×R
− tC,

trong đó ϕ(z) ≤ α, (e
1
, e
2
) = e
1
 + |e
2
| ≤ 1, ta có
ϕ(z + te
1
) − ϕ(z) ≤ |ϕ(z + te
1
) − ϕ(z)| ≤ L te
1
 ≤ tL,
và
ϕ(z + te
1
) ≤ ϕ(z) + tL ≤ α + tL ≤ α + tL + t(1 + e
2
).
Do đó (z + te
1
, α + te
2
+ tL + t) ∈ epiϕ. Suy ra (epi ϕ) ∩ U + tB
E×R
⊂
epiϕ+tC, ∀t > 0. Điều này khẳng định epi ϕ là epi-Lipschitz địa phương

tại bất kì điểm (¯z, ¯α) ∈ epi ϕ, hay epi ϕ là epi-Lipschitz trong E × R.
Nếu Ω ⊂ E là tập lồi và ¯x ∈ Ω thì Ω là epi-Lipschitz địa phương tại ¯x
khi và chỉ khi int Ω = ∅. Thật vậy, giả sử tập lồi Ω là epi-Lipschitz địa
phương tại ¯x ∈ Ω. Khi đó tồn tại γ > 0, r
1
> 0, v
1
∈ E sao cho
Ω ∩ (¯x + r
1
B
E
) + tr
1
B
E
⊂ Ω + tv
1
, ∀t ∈ (0, γ) ,
12
suy ra ¯x−tv
1
+tr
1
B
E
⊂ Ω, ∀t ∈ (0, γ) , hay int Ω = ∅. Ngược lại, nếu tập
lồi Ω có int Ω = ∅ và ¯x ∈ Ω thì có thể chọn v
2
∈ E sao cho ¯x+v

2
∈ int Ω
(chẳng hạn, có thể chọn v
2
= y − ¯x, trong đó y là phần tử tùy ý thuộc
int Ω). Suy ra, tồn tại r
2
> 0 sao cho ¯x + v
2
+ 2r
2
B
E
⊂ Ω. Mặt khác, với
mọi x ∈ ¯x + r
2
B
E
ta có
x + v
2
+ r
2
B
E
⊂ ¯x + r
2
B
E
+ v

2
+ r
2
B
E
= ¯x + v
2
+ 2r
2
B
E
⊂ Ω.
Do đó x + v
2
+ e ∈ Ω với mọi e ∈ r
2
B
E
. Từ tính lồi của Ω ta suy ra
rằng với mọi x ∈ Ω ∩ (¯x + r
2
B
E
), t ∈ (0, 1) và e ∈ r
2
B
E
, x + t(v
2
+ e) =

t(x + v
2
+ e) + (1 − t)x ∈ Ω. Điều này suy ra rằng
x + t(v
2
+ r
2
B
E
) ⊂ Ω, ∀x ∈ Ω ∩ (¯x + r
2
B
E
), ∀t ∈ (0, 1) ,
và do đó
Ω ∩ (¯x + r
2
B
E
) + tr
2
B
E
⊂ Ω + t(−v
2
), ∀t ∈ (0, 1) .
Vậy Ω là epi-Lipschitz địa phương tại ¯x ∈ Ω. Hơn nữa, vì ¯x ∈ Ω tùy ý
nên Ω là epi-Lipschitz.
Giả sử Ω ∩ E là tập epi-Lipschitz và λ ∈ R, λ = 0, tập Ω
1

là tập bất
kì. Với mọi λ¯x ∈ λΩ, ở đó ¯x ∈ Ω, do Ω là tập epi-Lipschitz nên tồn tại
c ∈ E, tồn tại lân cận U của ¯x, tồn tại lân cận O của điểm gốc, tồn tại
số thực γ > 0 sao cho với mọi x ∈ Ω ∩ U thì x + te − tc ∈ Ω, ∀e ∈ O,
∀t ∈ (0, γ) . Ta thấy λU là một lân cận của λ¯x ∈ λΩ, λO là một lân
cận của điểm gốc, λc ∈ E. Lấy tùy ý y ∈ (λΩ) ∩ (λU) thì y = λx với
x ∈ Ω ∩U. Với mọi λe ∈ λO, với mọi t ∈ (0, γ) ta có y + tλe −tλc ∈ λΩ.
Chứng tỏ
(λΩ) ∩ (λU) + tλO ⊂ λΩ + tλc, ∀t ∈ (0, γ) ,
13
hay λΩ cũng là tập epi-Lipschitz. Tương tự, nếu ¯z = ¯x+ ¯x
1
∈ Ω+Ω
1
, ¯x ∈
Ω, ¯x
1
∈ Ω
1
, thì U + ¯x
1
là một lân cận của ¯z và với mọi z ∈ (Ω + Ω
1
) ∩
(U + ¯x
1
) ta có z = x+¯x
1
, x ∈ Ω, và z+te−tc = (x+te−tc)+¯x
1

∈ Ω+Ω
1
,
∀t ∈ (0, γ) , nên
(Ω + Ω
1
) ∩ (U + ¯x
1
) + tO ⊂ (Ω + Ω
1
) + tc, ∀t ∈ (0, γ) .
Tức là Ω + Ω
1
là tập epi-Lipschitz. Kết luận này còn đúng cho cả trường
hợp Ω
1
= ∅. Như vậy, nếu Ω là tập epi-Lipschitz thì các tập λΩ, Ω + Ω
1
cũng là epi-Lipschitz, với mọi λ = 0 và Ω
1
⊂ E tùy ý.
Định nghĩa 1.1.3.
Cho tập con khác rỗng Ω ⊂ E và số thực tùy ý ε ≥ 0.
(i) Với mọi x ∈ Ω chúng ta định nghĩa tập các ε− pháp tuyến
của Ω tại x bởi

N
ε
(x; Ω) :=


x
∗
∈ E
∗





limsup
u
Ω
−→x
x
∗
, u −x
u − x
≤ ε

. (1.1)
Khi ε = 0, tập (1.1) là một nón được gọi là nón tiền pháp tuyến
hoặc nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x và kí hiệu là

N(x; Ω),
mỗi phân tử của nó được gọi là một pháp tuyến Fréchet của Ω
tại x. Với những x /∈ Ω, ta đặt

N
ε
(x; Ω) := ∅, ∀ε ≥ 0.

(ii) Cho ¯x ∈ Ω. Nón pháp tuyến cơ sở, hay nón pháp tuyến
qua giới hạn, hay nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại
¯x, kí hiệu N(¯x; Ω), được xác định bởi
N(¯x; Ω) := Limsup
x→¯x,ε↓0

N
ε
(x; Ω). (1.2)
Ta đặt N(¯x; Ω) := ∅ cho những trường hợp ¯x /∈ Ω.
14
(iii)Với ¯x ∈ Ω ⊂ E, nếu N(¯x; Ω) =

N(¯x; Ω) thì ta nói tập Ω là
chính quy theo pháp tuyến tại điểm ¯x.
Từ Định nghĩa 1.1.3 ta thấy, với mỗi ε ≥ 0, x ∈ Ω ⊂ E, U là một lân
cận của x trong E thì

N
ε
(x; Ω) =

N
ε
(x; Ω ∩ U) =

N
ε
(x; cl Ω),


N
ε
(x; Ω)
là tập lồi trong E
∗
, N(x; Ω) ⊂ N(x; clΩ).
Nhận xét rằng cả nón tiền pháp tuyến

N(.; Ω) và nón pháp tuyến
N(.; Ω) đều bất biến đối với các chuẩn tương đương trên E, trong khi
tập các ε− pháp tuyến lại phụ thuộc vào chuẩn cho trước trên E với
ε > 0. Giả sử trên E trang bị hai chuẩn tương đương là .
1
, .
2
. Tồn
tại các số dương λ, µ sao cho λ.
1
≤ .
2
≤ µ.
1
. Như thế
x
∗
, u − ¯x
µu − ¯x
1
≤
x

∗
, u − ¯x
u − ¯x
2
≤
x
∗
, u − ¯x
λu − ¯x
1
,
∀x
∗
∈ E
∗
, ∀u, ¯x ∈ Ω, u = ¯x, x
∗
, u − ¯x ≥ 0;
x
∗
, u − ¯x
µu − ¯x
1
≥
x
∗
, u − ¯x
u − ¯x
2
≥

x
∗
, u − ¯x
λu − ¯x
1
,
∀x
∗
∈ E
∗
, ∀u, ¯x ∈ Ω, u = ¯x, x
∗
, u − ¯x < 0.
Do đó
limsup
u
Ω
−→¯x
x
∗
, u − ¯x
u − ¯x
1
≤ 0 ⇔ limsup
u
Ω
−→¯x
x
∗
, u − ¯x

u − ¯x
2
≤ 0,
tức là

N(.; Ω) bất biến đối với chuẩn tương đương trên E. Tương tự, nếu
x
∗
là một pháp tuyến cơ sở của Ω tại ¯x theo chuẩn .
1
thì tồn tại các
dãy ε
k
↓ 0, x
k
Ω
−→ ¯x, x
∗
k
w
∗
−→ x
∗
khi k → ∞, và
limsup
u
Ω
−→¯x
x
∗

k
, u − ¯x
u − ¯x
1
≤ ε
k
, ∀k ∈ N.
Mà
x
∗
k
, u − ¯x
µu − ¯x
1
≤
x
∗
k
, u − ¯x
u − ¯x
2
≤
x
∗
k
, u − ¯x
λu − ¯x
1
,
15

∀k ∈ N, ∀u ∈ Ω\{¯x}, x
∗
k
, u − ¯x ≥ 0,
và
x
∗
k
, u − ¯x
µu − ¯x
1
≥
x
∗
k
, u − ¯x
u − ¯x
2
≥
x
∗
k
, u − ¯x
λu − ¯x
1
,
∀k ∈ N, ∀u ∈ Ω\{¯x}, x
∗
k
, u − ¯x < 0,

nên
limsup
u
Ω
−→¯x
x
∗
k
, u − ¯x
u − ¯x
2
≤ ε

k
, ∀k ∈ N,
với 0 < ε

k
≤ min

ε
k
λ
,
ε
k
µ

=
ε

k
µ
và ε

k
↓ 0 khi k → ∞. Do đó x
∗
là một
pháp tuyến cơ sở của Ω tại ¯x theo chuẩn .
2
, tức là N(.; Ω) bất biến
đối với các chuẩn tương đương trên E.
Ta dễ dàng kiểm tra được tính đơn điệu của tập các ε− pháp tuyến,

N
ε
1
(¯x; Ω) ⊂

N
ε
2
(¯x; Ω), ∀ε
2
≥ ε
1
≥ 0;

N
ε

(¯x; Ω
1
) ⊂

N
ε
(¯x; Ω
2
) , ∀ ¯x ∈ Ω
2
⊂ Ω
1
, ∀ε ≥ 0.
Mệnh đề 1.1.4.
(i) Với mỗi ε ≥ 0 cho trước, và với bất kì ¯x ∈ Ω ⊂ E thì
0 ∈

N(¯x; Ω) ⊂ N(¯x; Ω),
0 ∈ εB
E
∗
⊂

N(¯x; Ω) + εB
E
∗
⊂

N
ε

(¯x; Ω),
0 ∈ εB
E
∗
⊂ {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, x − ¯x ≤ ε x − ¯x, ∀x ∈ Ω} ⊂

N
ε
(¯x; Ω),

N
ε
(¯x; Ω) = εB
E
∗
, ∀¯x ∈ intΩ. (1.3)
(ii) [19] Nếu U là một lân cận của ¯x ∈ Ω ⊂ E sao cho Ω ∩U là
tập lồi thì Ω chính quy theo pháp tuyến tại ¯x, đồng thời cả nón tiền
16
pháp tuyến

N(¯x; Ω) và nón pháp tuyến N(¯x; Ω) ở Định nghĩa 1.1.3
đều trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi
N(¯x; Ω) =


N(¯x; Ω) = {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ Ω}
= {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, x ≤ x
∗
, ¯x, ∀x ∈ Ω}
= {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U }
= {x
∗
∈ E
∗
|x
∗

, x ≤ x
∗
, ¯x, ∀x ∈ Ω ∩ U } (1.4)
(tức là x
∗
∈ N(¯x; Ω) =

N(¯x; Ω) khi và chỉ khi phiếm hàm tuyến
tính liên tục x
∗
: E → R đạt cực đại trên Ω tại ¯x),

N
ε
(¯x; Ω) = {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, x − ¯x ≤ ε x − ¯x, ∀x ∈ Ω ∩ U }, ∀ε ≥ 0.
(1.5)
(iii) Nếu Ω là không gian tuyến tính con của không gian Banach
thực E, ¯x ∈ Ω, thì
N(¯x; Ω) =

N(¯x; Ω) = Ω
⊥
:= {x
∗

∈ E
∗
|x
∗
, x = 0, ∀x ∈ Ω}. (1.6)
(iv) Nếu a = (a
i
) = (a
1
, , a
n
) ∈ R
n
\{0} và
¯x ∈ Ω :=

x = (x
1
, , x
n
) ∈ E
n





n

i=1

a
1
x
1
= 0

thì
N(¯x; Ω) =

N(¯x; Ω) = {x
∗
∈ (E
∗
)
n
|x
∗
= (a
1
p
∗
, , a
n
p
∗
), p
∗
∈ E
∗
}.

(1.7)
(v) [13] Nếu ¯x ∈ Ω∩bdΩ, Ω ⊂ E, và Ω là epi-Lipschitz địa phương
tại ¯x thì

N (¯x; Ω) = {0}.
17
(vi) Nếu ¯x ∈ Ω ∩ bdΩ, Ω là tập lồi trong E và int Ω = ∅ thì

N(¯x; Ω) = N(¯x; Ω) = {0}.
(vii) [18] Nếu Ω ⊂ E, với mọi ¯x ∈ bdΩ, với mọi ε > 0, luôn tồn
tại x ∈ clΩ ∩(¯x + εB
E
) sao cho

N(x; Ω) = {0}.
Chứng minh. (i) Hiển nhiên 0 ∈

N(¯x; Ω) và 0 ∈ εB
E
∗
. Nếu x
∗
∈

N(¯x; Ω)
thì
limsup
u
Ω
−→¯x

x
∗
, u − ¯x
u − ¯x
≤ 0.
Chọn các dãy {ε
k
}, {x
k
}, {x
∗
k
} mà ε
k
↓ 0, x
k
= ¯x, x
∗
k
= x
∗
. Khi đó
x
k
Ω
−→ ¯x, x
∗
k
w
∗

−→ x
∗
, và
limsup
u
Ω
−→¯x
x
∗
, u − ¯x
u − ¯x
≤ 0 ≤ ε
k
, ∀k ∈ N,
suy ra x
∗
k
= x
∗
∈

N
ε
k
(¯x; Ω) =

N
ε
k
(x

k
; Ω), ∀k ∈ N, nên x
∗
∈ N(¯x; Ω).
Vậy

N(¯x; Ω) ⊂ N(¯x; Ω). Tiếp theo, nếu x
∗
∈ B
E
∗
thì x
∗
= 0 + x
∗
với
0 ∈

N(¯x; Ω) và x
∗
∈ εB
E
∗
nên suy ra εB
E
∗
⊂

N(¯x; Ω) + εB
E

∗
. Tương tự
như thế, nếu x
∗
∈ εB
E
∗
+

N(¯x; Ω) thì x
∗
= z
∗
+ y
∗
với
z
∗
∈ εB
E
∗
, limsup
x
Ω
−→¯x
y
∗
, x − ¯x
x − ¯x
≤ 0.

Lại có
|z
∗
, u − ¯x| ≤ z
∗
. u − ¯x ≤ ε. u − ¯x, ∀u ∈ Ω,
nên
limsup
u
Ω
−→¯x
z
∗
, u − ¯x
u − ¯x
≤ ε.
18
Suy ra
limsup
u
Ω
−→¯x
x
∗
, u − ¯x
u − ¯x
= limsup
u
Ω
−→¯x

y
∗
, u − ¯x+ z
∗
, u − ¯x
u − ¯x
≤ ε
tức là x
∗
∈

N
ε
(¯x; Ω). Do đó

N(¯x; Ω) + εB
E
∗
⊂

N
ε
(¯x; Ω). Cũng vậy, nếu
x
∗
∈ εB
E
∗
thì
x

∗
, u ≤ |x
∗
, u| ≤ x
∗
. u ≤ ε u, ∀u ∈ E
⇒ x
∗
, x − ¯x ≤ ε x − ¯x, ∀x ∈ Ω.
Tức là
εB
E
∗
⊂ {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, x − ¯x ≤ ε x − ¯x, ∀x ∈ Ω}.
Cuối cùng, nếu x
∗
∈ E
∗
, x
∗
, x − ¯x ≤ ε x − ¯x, ∀x ∈ Ω, thì
x
∗
, x − ¯x

x − ¯x
≤ ε (∀x ∈ Ω\{¯x}) ⇒ lim sup
x
Ω
−→¯x
x
∗
, x − ¯x
x − ¯x
≤ ε ⇒ x
∗
∈

N
ε
(¯x; Ω)
⇒ {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, x − ¯x ≤ ε x − ¯x, ∀x ∈ Ω} ⊂

N
ε
(¯x; Ω).
Trong trường hợp ¯x ∈ intΩ thì tồn tại β > 0 sao cho ¯x + βB
E
∗

⊂ Ω. Với
mọi u ∈ E đặt x = u+ ¯x thì x ∈ E. Luôn tồn tại số thực λ > 0 đủ nhỏ sao
cho λ x − ¯x = λ u ≤ β, khi đó x
λ
:= ¯x + λ(x − ¯x) ∈ ¯x + βB
E
∗
⊂ Ω,
và λ ↓ 0 thì x
λ
→ ¯x. Lấy tùy ý x
∗
∈

N
ε
(¯x; Ω) ta có
limsup
x
λ
Ω
−→¯x
x
∗
, x
λ
− ¯x
x
λ
− ¯x

≤ ε.
Suy ra với mọi λ > 0 đủ nhỏ và với mọi µ > 0 thì
x
∗
, x
λ
− ¯x ≤ (ε + µ) x
λ
− ¯x hay x
∗
, u ≤ (ε + µ) u.
19
Cho µ ↓ 0 và do u ∈ E tùy ý, ta thu được x
∗
, u ≤ ε u, ∀u ∈ E.
Nghĩa là x
∗
 ≤ ε hay

N
ε
(¯x; Ω) ⊂ εB
E
∗
Theo chứng minh trên ta có

N
ε
(¯x; Ω) ⊃ εB
E

∗
. Vậy

N
ε
(¯x; Ω) = εB
E
∗
, ∀¯x ∈ intΩ, và (i) được chứng
minh.
(ii) Ta đặt M := {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, x − ¯x ≤ ε x − ¯x, ∀x ∈ Ω ∩ U } ⊂

N
ε
(¯x; Ω ∩U). Với ¯x ∈ Ω và với mọi x ∈ Ω ∩U, do Ω ∩U là tập lồi trong
E nên x
α
:= ¯x + α(x − ¯x) ∈ Ω ∩ U, ∀α ∈ [0; 1] . Khi đó cho α ↓ 0 thì
x
α
→ ¯x. Nếu x
∗
∈


N
ε
(¯x; Ω ∩U) thì
limsup
x
α
Ω∩U
−−→¯x
x
∗
, x
α
− ¯x
x
α
− ¯x
≤ ε,
suy ra với mọi α > 0 đủ nhỏ và với mọi γ > 0 tùy ý thì
x
∗
, α(x − ¯x) = x
∗
, x
α
− ¯x ≤ (ε + γ) x
α
− ¯x = α(ε + γ) x − ¯x
⇒ x
∗
, x − ¯x ≤ (ε + γ) x − ¯x,

cho γ ↓ 0 ta được x
∗
, x − ¯x ≤ ε x − ¯x, ∀x ∈ Ω ∩ U. Chứng tỏ
x
∗
∈ M. Từ đó suy ra

N
ε
(¯x; Ω ∩ U) ⊂ M. Vậy

N
ε
(¯x; Ω ∩ U) = M. Mặt
khác

N
ε
(¯x; Ω ∩ U) =

N
ε
(¯x; Ω) nên (1.5) được chứng minh. Ở (1.5) cho
ε = 0 ta thu được

N(¯x; Ω) = {x
∗
∈ E
∗
|x

∗
, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U }
= {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, x ≤ x
∗
, ¯x, ∀x ∈ Ω ∩ U }.
Bây giờ lấy tùy ý vector x
∗
∈ N(¯x; Ω) thì tồn tại các dãy ε
k
↓ 0, x
k
Ω
−→ ¯x,
x
∗
k
w
∗
−→ x
∗
khi k → ∞, sao cho x
∗
k
∈


N
ε
k
(x
k
; Ω), ∀k ∈ N. Do U là một
lân cận của ¯x nên x
k
∈ Ω ∩ U với mọi k ∈ N đủ lớn. Để ý Ω ∩ U là tập
lồi, lập luận như trên ta có x
∗
k
, x −x
k
 ≤ ε
k
x − x
k
, ∀x ∈ Ω, ∀k ∈ N
20
đủ lớn. Cho k → ∞ ta được x
∗
, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U. Dẫn tới
x
∗
∈

N(¯x; Ω ∩U). Hay N(¯x; Ω) ⊂


N(¯x; Ω ∩U). Mặt khác

N(¯x; Ω ∩U) =

N(¯x; Ω) ⊂ N(¯x; Ω) nên

N(¯x; Ω) = N(¯x; Ω). Vậy (1.4) được chứng minh.
Vì
x
∗
, x − ¯x ≤ 0 ⇔ x
∗
, x ≤ x
∗
, ¯x
ta suy ra phần còn lại trong kết luận của (ii). Đặc biệt, ta chú ý rằng
{¯x} là tập lồi nên N (¯x; {¯x}) =

N
ε
(¯x; {¯x}) = E
∗
, ∀¯x ∈ E, ∀ε ≥ 0.
(iii) Vì Ω là không gian tuyến tính con của E nên Ω là tập lồi, do đó
N(¯x; Ω) =

N(¯x; Ω) = {x
∗
∈ E
∗

|x
∗
, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ Ω}.
Với ¯x ∈ Ω, đặt y = x − ¯x, thì y ∈ Ω khi và chỉ khi x ∈ Ω. Nên
N(¯x; Ω) =

N(¯x; Ω) = {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
, y ≤ 0, ∀y ∈ Ω}.
Do Ω là không gian tuyến tính con nên từ x
∗
, y ≤ 0, ∀y ∈ Ω, ta có
x
∗
, −y ≤ 0, ∀y ∈ Ω, hay x
∗
, y ≥ 0, ∀y ∈ Ω. Suy ra x
∗
, y = 0,
∀y ∈ Ω. Vậy (1.6) được chứng minh.
(iv) Vì ∀x = (x
1
, , x
n
) ∈ Ω, ∀y = (y
1

, , y
n
) ∈ Ω, ∀λ ∈ R, ∀µ ∈ R
ta luôn có λx + µy ∈ Ω nên Ω là không gian tuyến tính con của E
n
. Do
đó theo (iii) thì
N(¯x; Ω) =

N(¯x; Ω) = Ω
⊥
= {x
∗
∈ (E
∗
)
n
|x
∗
, x = 0, ∀x ∈ Ω}.
Vì a = 0 nên trong các số a
1
, , a
n
có ít nhất một số khác 0, giả sử
a
1
= 0. Nếu n = 1 thì Ω = {x
1
∈ E |a

1
x
1
= 0} = {0} nên
N(¯x; Ω) =

N(¯x; Ω) = Ω
⊥
= E
∗
= {x
∗
∈ E
∗
|x
∗
= a
1
p
∗
, p
∗
∈ E
∗
}.
21
Nếu n > 1 thì khi đó từ a
1
x
1

+ + a
n
x
n
= 0 suy ra
x
1
= −

a
2
a
1
x
2
+ +
a
n
a
1
x
n

nên
x
∗
, x = x
∗
1
, x

1
 + + x
∗
n
, x
n

= −
a
2
a
1
x
∗
1
, x
2
 − −
a
n
a
1
x
∗
1
, x
n
 + x
∗
2

, x
2
 + + x
∗
n
, x
n

=

x
∗
2
−
a
2
a
1
x
∗
1
, x
2

+ +

x
∗
n
−

a
n
a
1
x
∗
1
, x
n

= 0
với mọi x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
n
) ∈ Ω
⊥
, với mọi x
2
, , x
n
∈ E (lưu ý rằng x =
(x
1
, x
2

, , x
n
) ∈ Ω khi và chỉ khi x
1
= −

a
2
a
1
x
2
+ +
a
n
a
1
x
n

với mọi
x
2
, , x
n
∈ E). Với mỗi i ∈ {2, , n} ta cho tất cả x
2
, , x
n
bằng 0, chỉ

trừ x
i
tùy ý thuộc E thì từ

x
∗
2
−
a
2
a
1
x
∗
1
, x
2

+ +

x
∗
n
−
a
n
a
1
x
∗

1
, x
n

= 0
thu được

x
∗
i
−
a
i
a
1
x
∗
1
, x
i

= 0, ∀x
i
∈ E.
Do đó
x
∗
i
−
a

i
a
1
x
∗
1
= 0, ∀i ∈ {2, , n}.
Đặt p
∗
=
1
a
1
x
∗
1
thì p
∗
∈ E
∗
và x
∗
i
= a
i
p
∗
, ∀i = 1, , n. Hay x
∗
=

(a
1
p
∗
, , a
n
p
∗
). Ngược lại, nếu vector x
∗
có dạng x
∗
= (a
1
p
∗
, , a
n
p
∗
), p
∗
∈
E
∗
, thì hiển nhiên x
∗
∈ Ω
⊥
. Vậy

N(¯x; Ω) =

N(¯x; Ω) = Ω
⊥
= {x
∗
∈ (E
∗
)
n
|x
∗
= (a
i
p
∗
), p
∗
∈ E
∗
}.
(v) Xem, chẳng hạn [13].
22
(vi) Áp dụng (v) với lưu ý rằng khi Ω là tập lồi trong E thì Ω là
epi-Lipschitz khi và chỉ khi int Ω = ∅. Cũng có thể chứng minh (vi)
bằng cách áp dụng Định lí Tách cho hai tập int Ω và {¯x}.
(vii) Xem, chẳng hạn [18]. 
Từ (1.3) và (1.4) ta thấy rằng, với mọi x ∈ int Ω trong không gian
Banach thực E thì N(x; Ω) =


N(x; Ω) = {0}. Nói cách khác, nếu Ω
là tập mở trong E thì N(x; Ω) =

N(x; Ω) = {0} và

N
ε
(x; Ω) = εB
E
∗
,
∀x ∈ Ω, ∀ε ≥ 0.
Ví dụ 1.1.5.
Các không gian ở Ví dụ này ta đều xét chuẩn Euclide thông thường.
a) Trong R
2
, với Ω =

(x, y) ∈ R
2
|y ≥ −|x|

thì

N ((0, 0); Ω) =
{(0, 0)}. Thật vậy, vì (0, 0) ∈

N ((0, 0); Ω) nên {(0, 0)} ⊂

N ((0, 0); Ω) .

Nếu (x
∗
, y
∗
) ∈

N((0, 0); Ω) thì
lim sup
(x

,y

)
Ω
−→(0,0)
x
∗
x

+ y
∗
y


(x

)
2
+ (y


)
2
≤ 0.
Lần lượt chọn x

= y

→ 0
+
và x

= y

→ 0
−
ta thu được
x
∗
+ y
∗
√
2
≤ 0
và −
x
∗
+ y
∗
√
2

≤ 0 tương ứng, dẫn tới x
∗
+y
∗
= 0. Cũng vậy, lần lượt chọn
−x

= y

→ 0
+
và −x

= y

→ 0
−
ta sẽ thu được x
∗
−y
∗
= 0. Do đó x
∗
=
y
∗
= 0 hay

N((0, 0); Ω) ⊂ {(0, 0)}. Chứng tỏ


N((0, 0); Ω) = {(0, 0)}.
b) Giả sử −∞ ≤ a < b ≤ ∞, n ∈ N, các hàm thực f
i
: (a, b) → R, i =
1, , n, khả vi tại t
0
∈ (a, b),
n

i=1

f
i

(t
0
)

2
= 0. Xét tập
Ω = {x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
|x
i
= f
i

(t), t ∈ (a, b) , i = 1, , n}
trong không gian R
n
. Đặt ¯x = (¯x
1
, , ¯x
n
) trong đó ¯x
i
= f
i
(t
0
), i =
1, , n. Khi đó x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
n
) ∈

N (¯x; Ω) khi và chỉ khi
23
limsup
x
Ω
−→¯x

x
∗
, x − ¯x
x − ¯x
≤ 0 hay lim
t→t
0
n

i=1
x
∗
i
(f
i
(t) − f
i
(t
0
))

n

i=1
(f
i
(t) − f
i
(t
0

))
2
≤ 0.
Lần lượt xét t → t
+
0
và t → t
−
0
, đồng thời nhờ tính khả vi của các hàm
f
i
, i = 1, , n, ta thu được
n

i=1
x
∗
i
f
i

(t
0
)

n

i=1
(f

i

(t
0
))
2
= 0 hay
n

i=1
x
∗
i
f
i

(t
0
) = 0.
Do đó

N(¯x; Ω) =

x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗

n
) ∈ R
n




n

i=1
x
∗
i
f
i

(t
0
) = 0

.
c) Trong R
n
, n ∈ N, ta xét tập lồi
Ω =

x = (x
1
, , x
n

) ∈ R
n





n

i=1
x
2
i
< 1

∪ {(1, 0, 0, , 0)}.
Khi đó

N
ε
(x; Ω) =

x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
n

) ∈ R
n




n

i=1
(x
∗
i
)
2
< ε
2

, ∀ε ≥ 0, ∀x ∈
int Ω =

(x
1
, , x
n
) ∈ R
n





n

i=1
x
2
i
< 1

. Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng
N((1, 0, 0, , 0); Ω) =

N((1, 0, 0, , 0); Ω) = {(v, 0, 0, , 0) |v ≥ 0}.
Thật vậy, vì Ω là tập lồi nên N((1, 0, 0, , 0); Ω) =

N((1, 0, 0, , 0); Ω)
và x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
n
) ∈

N((1, 0, 0, , 0); Ω) khi và chỉ khi
x
∗
1
(x

1
− 1) + x
∗
2
x
2
+ + x
∗
n
x
n
≤ 0, ∀x = (x
1
, , x
n
) ∈ Ω.
Ta chứng minh x
∗
i
= 0, ∀i ∈ {1, 2, , n}\{1}, bằng phản chứng. Giả sử
tồn tại i ∈ {1, 2, , n}\{1} để x
∗
i
= 0. Đặt t =
x
∗
1
x
∗
i

và chọn
x
0
1
=
t
2
1 + t
2
, x
0
i
=
t + a
√
1 + 2t
2
2(1 + t
2
)
, x
0
j
= 0, ∀j ∈ {1, 2, , n}\{i, 1},