Phép biến đổi Z và ứng dụng

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả
Lê Thị Huyền My
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Z
và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả
Lê Thị Huyền My
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Hàm biến phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . 5
1.2. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Thặng dư và cách tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. Phép biến đổi Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Một số tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1. Tính chất tuyến tính . . . . . . . . 20
2.2.2. Tính chất dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3. Tính chất tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4. Phép nhân với n và nT . . . . . . . . . . 23
2.2.5. Phép chia . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.6. Phép biến đổi Z của tích chập . . . . . . 26
i
2.2.7. Phép biến đổi Z của tích . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.8. Phép biến đổi Z của đạo hàm riêng. . . . . . 28
2.2.9. Phép biến đổi Z của tích phân. . . . . . . . 29
2.2.10. Phép biến đổi Z qua giới hạn. . . . . . . . 29
2.2.11. Định lý Parseval. . . . . . . . . . . . 30
2.2.12. Định lý giá trị ban đầu. . . . . . . . . . . . . 30
2.2.13. Định lý giá trị cuối cùng . . . . . . . . . . . 32
2.3. Phép biến đổi Z ngược . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier . .
42
2.4.1. Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace. . . . . . . . . 42
2.4.2. Mối liên hệ với phép biến đổi Fourier . . . . 43
Chương 3. Ứng dụng của phép biến đổi Z . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1. Giải phương trình sai phân hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Tính tổng chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
ii
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phép biến đổi tích phân là một phép tính toán tử được hình thành từ
những năm nửa cuối thế kỷ XIX. Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích
phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết
khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau
đó được phát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier. Ý
nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là cung cấp những phương
pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về phương trình vi
phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân.
Hai phép biến đổi tích phân được đánh giá rất quan trọng không chỉ
trong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt là
trong lĩnh vực Vật lý học, đó là phép biến đổi Fourier và phép biến đổi
Laplace. Bên cạnh đó, phép biến đổi Z cũng góp phần giải quyết nhiều
vấn đề của Toán học. Sự xuất hiện đầu tiên của phép biến đổi Z là
vào năm 1730 khi De Moivre giới thiệu khái niệm hàm sinh (generating
function) trong lý thuyết xác suất, sau đó được Laplace mở rộng năm
1812. Tới năm 1947, Hurewicz giới thiệu phép biến đổi Z trong việc giải
phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số. Tên gọi “phép biến đổi
Z” được đưa ra bởi Ragazzini và Zadeh trong nhóm kiểm soát dữ liệu
mẫu tại Đại học Columbia năm 1952. Sau này phép biến đổi Z được
1
phát triển và phổ biến bởi E. I. Jury.
Phép biến đổi Z là công cụ hữu ích trong việc xử lý các mô hình dữ liệu
rời rạc. Ngày nay, phép biến đổi Z được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh
vực ứng dụng toán học, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển
và kinh tế. Các mô hình rời rạc này được giải quyết bởi các phương
trình sai phân tương tự như các mô hình liên tục được giải quyết bởi

các phương trình vi phân. Phép biến đổi Z đóng vai trò quan trọng đối
với việc giải phương trình sai phân giống như tầm quan trọng của phép
biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân.
Với những lý do trên, được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào, tôi
chọn đề tài “Phép biến đổi Z và ứng dụng” để hoàn thành luận văn
tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Z và một số ứng dụng của nó trong việc
giải quyết một số bài toán.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Z, phép
biến đổi Z ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Z và một số phép
biến đổi tích phân khác, đồng thời nghiên cứu ứng dụng của nó trong
việc giải phương trình sai phân hữu hạn và tính tổng chuỗi.
2
4. Phương pháp nghiên cứu
Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định
hướng của người hướng dẫn.
5. Đóng góp của đề tài
- Trình bày một cách có hệ thống về phép biến đổi Z.
- Trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Z, góp thêm công cụ để
giải quyết một số bài toán.
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Hàm biến phức
1.1.1. Hàm liên tục
Định nghĩa 1.1. Cho hàm f(z) xác định trên tập mở Ω ⊂ C. Ta nói
rằng f(z) liên tục tại điểm z
0

∈ Ω nếu thoả mãn một trong hai điều kiện
tương đương sau
(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω mà |z − z
0
| < δ
thì
|f(z) −f (z
0
)| < ε.
(ii) Với mọi dãy {z
n
} ⊂ Ω mà lim
n→∞
z
n
= z
0
thì lim
n→∞
f(z
n
) = f(z
0
).
Hàm f(z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của
Ω.
Ta dễ thấy tổng, hiệu, tích và thương của các hàm liên tục cũng là hàm
liên tục.
Định nghĩa 1.2. Hàm f(z) được gọi là liên tục đều trên Ω nếu với mọi
ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z, z


∈ Ω mà |z − z

| < δ ta có
|f(z) −f(z

)| < ε.
Nhận xét 1.1. Từ tính liên tục đều của hàm f suy ra hàm f liên tục.
Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng.
4
Ví dụ 1.1. Hàm f(z) =
1
z
liên tục trên Ω = {z ∈ C : 0 < |z − z
0
| < 1}
nhưng không liên tục đều trên đó.
Thật vậy, lấy ε = 1, với mọi δ > 0 tồn tại n ∈ N sao cho n >
1
δ
(hay
δ >
1
n
). Chọn z =
1
n
, z

=

1
2n
ta có
|z − z

| =




1
n
−
1
2n




<
1
n
< δ
nhưng
|f(z) −f(z

)| =





1
z
−
1
z





= |n − 2n| = n > 1 = ε.
Điều đó, chứng tỏ rằng f(z) không liên tục đều trên Ω.
1.1.2. Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.3. Cho hàm phức f(z) xác định trên tập mở Ω. Hàm
f(z) được gọi là chỉnh hình tại điểm z
0
∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của
biểu thức
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
; khi h → 0, (1.1)
ở đó 0 = h ∈ C sao cho z
0
+ h ∈ Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f


(z
0
) và gọi là đạo hàm của hàm f(z)
tại điểm z
0
. Như vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
.
Hàm f(z) có đạo hàm phức tại điểm z
0
cũng được gọi là khả vi phức
hay C - khả vi tại z
0
.
Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω.
Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
5
Ví dụ 1.2. Hàm f(z) = z chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong

C và f

(z) = 1. Thật vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
= lim
h→0
(z + h) − z
h
= 1.
Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a
0
+ a
1
z + ··· + a
n
z
n
chỉnh hình trên
toàn mặt phẳng phức C và

P

(z) = a
1
+ 2a
2
z + ···+ na
n
z
n−1
.
Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.1 được trình bày sau phần này.
Ví dụ 1.3. Hàm f(z) = ¯z là không chỉnh hình. Thật vậy, ta tính thương
vi phân của hàm này như sau
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
=
z + h − ¯z
h
=
¯z +
¯
h − ¯z
h
=
¯

h
h
.
Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấy
ngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f(z) là chỉnh hình tại z
0
∈ Ω nếu và chỉ
nếu tồn tại hằng số a sao cho
f(z
0
+ h) − f(z
0
) −a.h = h.ψ(h) (1.2)
với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim
h→0
ψ(h) = 0. Dĩ nhiên,
ta có a = f

(z
0
).
Nhận xét 1.2. Từ công thức (1.2) ta cũng thấy rằng hàm f chỉnh hình
trên Ω thì f là liên tục trên đó.
Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng
tương tự như hàm biến thực. Ta có mệnh đề sau
6
Mệnh đề 1.1. Nếu các hàm f, g chỉnh hình trên Ω, thì
(i) f + g chỉnh hình trên Ω và (f + g)


= f

+ g

,
(ii) f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g)

= f

g + f.g

,
(iii) Nếu g(z
0
) = 0, thì
f
g
chỉnh hình tại z
0
∈ Ω và

f
g


=
f

.g −f.g


g
2
.
Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thì hàm
hợp gof : Ω → C cũng là hàm chỉnh hình.
Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường của
hàm hai biến thực. Thực vậy, hàm f(z) = ¯z tương ứng như ánh xạ của
một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y). Hàm này khả vi theo nghĩa
hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính
được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai các đạo
hàm riêng của các hàm tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các
đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức. Để hàm f khả vi phức,
ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điều
kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây. Để lý giải được
điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f(z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong đó
hàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R
2
- khả vi
tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi
tại điểm (x, y).
Định lý 1.1. (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f(z) là C - khả vi
tại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f(z) là R
2
- khả
vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann.
∂u
∂x
(x, y) =
∂v
∂y

(x, y);
∂u
∂y
(x, y) = −
∂v
∂x
(x, y).
7
1.2. Tích phân phức
Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z

(t) liên tục trên đoạn
[a, b] và z

(t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b các đại
lượng z

(a) và z

(b) được hiểu như các giới hạn một phía
z

(a) = lim
h→0
+
z(a + h) − z(a)
h

và z

(b) = lim
h→0
−
z(b + h) − z(b)
h
.
Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
tồn tại các điểm a
0
= a < a
1
< < a
n
= b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi
đoạn [a
k
, a
k+1
]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm a
k
có thể
khác nhau với mọi k = 1, 2, , n − 1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và ¯z : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến
[a, b] sao cho t

(s) > 0 và ¯z(s) = z (t(s)). Điều kiện t


(s) > 0 đảm bảo
hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ
của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ
−
là đường cong thu được từ γ
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ
−
được xác định như
sau
z
−
: [a, b] → R
2
z
−
(t) = z(b + a − t).
8
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);
được gọi là đường cong đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s) (trừ ra khi s = a và t = b). Ta thường gọi đường
cong đơn và kín là một chu tuyến. Một chu tuyến γ giới hạn một miền
trong mặt phẳng phức C được gọi là miền đơn liên và thường được ký
hiệu bởi D
γ
.
Ví dụ 1.4. Xét đường tròn C
r
(z

0
) tâm tại z
0
, bán kính r
C
r
(z
0
) = {z ∈ C : |z −z
0
| = r}.
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z
0
+ re
it
, t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z
0
+ re
−it
, t ∈ [0, 2π] .
Ta ký hiệu C là đường tròn định hướng dương.
Định nghĩa 1.4. Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f
dọc theo γ được xác định bởi

γ
f(z)dz =

b

a
f(z(t)).z

(t)dt.
Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Thật vậy, giả sử ¯z là một tham số hóa tương
9
đương xác định như trên thì
b

a
f(z(t)).z

(t)dt =
d

c
f(z(t(s))).z

(t(s)).t

(s)ds
=
d

c
f(¯z(s)).¯z


(s)ds.
Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì

γ
f(z)dz =
n−1

k=0
a
k+1

a
k
f(z(t)).z

(t)dt.
Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ được tính bởi công
thức
length(γ) =
b

a
|z

(t)|dt.
Định lý 1.2. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong γ có các
tính chất sau
(i)

γ

(αf + βg)dz = α

γ
f(z)dz + β

γ
g(z)dz; α, β ∈ C.
(ii) Nếu γ
−
là đường cong ngược hướng với γ thì

γ
−
f(z)dz = −

γ
f(z)dz.
(iii) Ta có







γ
f(z)dz







≤ sup
z∈γ
|f(z)|length(γ).
Định lý 1.3. Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và
γ là một đường cong trơn từng khúc nằm trong Ω có điểm đầu là ω
1
và
10
điểm cuối ω
2
, thì

γ
f(z)dz = F (ω
2
) −F (ω
1
).
Hệ quả 1.1. Giả sử γ là đường cong đóng nằm trong tập mở Ω. Nếu
hàm liên tục f và có nguyên hàm trong Ω thì

γ
f(z)dz = 0.
Hệ quả 1.2. Nếu f chỉnh hình trong miền Ω và f

= 0, thì f là hàm
hằng.

1.3. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

n=0
a
n
z
n
, (1.3)
trong đó a
n
∈ C; n = 0, 1, 2,
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (2.8) hội tụ tại điểm z
0
nào đó, thì
nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| ≤ |z
0
|. Bây giờ ta sẽ chứng minh
rằng luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (2.8) hội tụ tuyệt đối.
Định lý 1.4. (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa
∞

n=0
a
n
z
n
. Khi đó, tồn tại
số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được
tính bởi công thức
1
R
= lim
n→∞
sup |a
n
|
1
n
.
11
Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là
đĩa hội tụ.
Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R, thì có thể chuỗi hội tụ cũng
có thể phân kỳ.
Các ví dụ về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức là các
hàm lượng giác
cos z =
∞

n=0
(−1)
n
z
2n
(2n)!

và sinz =
∞

n=0
(−1)
n
z
2n+1
(2n + 1)!
.
Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
cosz =
e
iz
+ e
−iz
2
và sinz =
e
iz
− e
−iz
2
.
Định lý 1.5. Chuỗi lũy thừa f(z) =
∞

n=0
a

n
z
n
xác định một hàm chỉnh
hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f(z) cũng là một chuỗi lũy
thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f(z),
tức là
f

(z) =
∞

n=0
na
n
z
n−1
.
Hơn nữa, f

(z) có cùng bán kính hội tụ với f(z).
Hệ quả 1.3. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách
lấy đạo hàm của từng số hạng của nó.
Một hàm f(z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc
có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z
0
∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa
12
∞


n=0
a
n
(z − z
0
)
n
tâm tại z
0
với bán kính hội tụ dương sao cho
f(z) =
∞

n=0
a
n
(z − z
0
)
n
với mọi z trong lân cận của điểm z
0
. Nếu f(z) có khai triển chuỗi lũy
thừa tại mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f(z) giải tích trên Ω.
Từ Định lý 1.5, ta thấy rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh
hình trên đó.
1.4. Lý thuyết thặng dư
1.4.1. Không điểm và cực điểm
Định nghĩa 1.5. Điểm z

0
được gọi là không điểm của hàm f(z) nếu
f (z
0
) = 0.
Định lý 1.6. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một miền D, có
một không điểm tại z
0
∈ D và không đồng nhất bằng không trong D.
Thế thì, tồn tại một lân cận U của z
0
trong D và một hàm chỉnh hình
g không đồng nhất triệt tiêu trên U với một số nguyên dương lớn nhất
k sao cho
f(z) = (z − z
0
)
k
g(z); với mọi z ∈ U.
Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc k (hoặc
bội k) tại điểm z
0
. Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng z
0
là
không điểm đơn.
13
Định nghĩa 1.6. Điểm z
0
∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập của

hàm f(z) nếu tồn tại một lân cận thủng {z ∈ C : 0 < |z − z
0
| < R} của
điểm z
0
sao cho tại lân cận này hàm f chỉnh hình nhưng không chỉnh
hình tại z
0
.
Ví dụ 1.5. Hàm f(z) =
1
z − 1
nhận điểm z = 1 là điểm bất thường cô
lập.
Định nghĩa 1.7. Điểm bất thường cô lập z
0
được gọi là
(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim
z→z
0
f(z) = ∞;
(ii) cực điểm nếu lim
z→z
0
f(z) = ∞;
(iii) điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f(z) không có giới hạn khi
z → z
0
.
Ví dụ 1.6. Hàm số f(z) =

sin z
z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường
bỏ được bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
sin z
z
= 1.
Hàm số f(z) =
1
z
nhận điểm z = 0 là cực điểm bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
1
z
= ∞.
Hàm số f(z) = e
1
z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0

y=0,x>0
e
1
z
= lim
x→0
+
e
1
x
= ∞,
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
y=0,x<0
e
1
z
= lim
x→0
−
e
1
x
= 0.
14
Định lý 1.7. Nếu f(z) có một cực điểm tại z
0
∈ D, thì trong một lân

cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số
nguyên dương k lớn nhất sao cho
f(z) =
h(z)
(z − z
0
)
k
.
Số nguyên dương k trong Định lý 1.7 được gọi là bậc (hoặc bội) của cực
điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z
0
. Nếu cực
điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
Định lý 1.8. Nếu f có cực điểm bậc k tại z
0
, thì
f(z) =
a
−k
(z − z
0
)
k
+
a
−k+1
(z − z
0
)

k−1
+ ···+
a
−1
(z − z
0
)
+ G(z),
ở đó G (z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z
0
.
1.4.2. Thặng dư và cách tính
Định nghĩa 1.8. Hệ số a
−1
trong khai triển
f(z) =
a
−k
(z − z
0
)
k
+
a
−k+1
(z − z
0
)
k−1
+ ···+

a
−1
(z − z
0
)
+ G(z)
của hàm f tại cực điểm z
0
của nó được gọi là thặng dư của f tại cực
điểm đó, ký hiệu là res
z=z
0
f. Như vậy res
z=z
0
f = a
−1
.
Trong trường hợp hàm f có cực điểm đơn tại z
0
, rõ ràng chúng ta có
res
z=z
0
f = lim
z→z
0
(z − z
0
) f(z).

Nếu cực điểm có bậc lớn hơn một, chúng ta có công thức tính thặng dư
dưới đây
15
Định lý 1.9. Nếu f có cực điểm bậc k tại z
0
, thì
res
z=z
0
f = lim
z→z
0

1
(k −1)!

d
dz

k−1
(z − z
0
)
k
f(z)

.
Nếu hàm f(z) có cực điểm bậc k tại z
0
thì theo Định lý 1.7, ta có biểu

diễn f(z) =
g(z)
(z − z
0
)
k
, với g(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của
điểm z
0
. Trong trường hợp này ta cũng có thể tính thặng dư của f nhờ
định lý sau
Định lý 1.10. Nếu f(z) =
g(z)
(z − z
0
)
k
, ở đó g là hàm chỉnh hình trong
lân cận của điểm z
0
, thì
res
z=z
0
f =
g
(k−1)
(z
0
)

(k −1)!
.
Trong trường hợp z
0
là cực điểm đơn hoặc bậc hai, chúng ta có thể tính
thặng dư của hàm f tại các điểm đó khá đơn giản nhờ kết quả sau đây
Hệ quả 1.4. Giả sử hàm f chỉnh hình trong lân cận của điểm z
0
. Khi
đó
(i) nếu f(z) =
g(z)
z − z
0
, thì res
z=z
0
f = g(z
0
);
(ii) nếu f(z) =
g(z)
(z − z
0
)
2
, thì res
z=z
0
f = g


(z
0
).
Trong trường hợp hàm f được cho dưới dạng một thương, chúng ta tính
thặng dư nhờ định lý dưới đây
Định lý 1.11. Giả sử f(z) =
p(z)
h(z)
, ở đó p(z) và h(z) là các hàm chỉnh
hình trong một lân cận của điểm z
0
và h(z) có không điểm bậc k tại z
0
.
Nếu h(z) = (z −z
0
)
k
q(z), ở đó q(z) là chỉnh hình trong một lân cận của
z
0
và q(z
0
) = 0 thì
res
z=z
0
f = c
k−1

,
16
ở đó c
k−1
là hệ số của số hạng bậc k − 1 trong khai triển luỹ thừa của
g =
p
q
trong lân cận của điểm z
0
.
Hệ quả 1.5. Giả sử p và h là các hàm chỉnh hình trong một lân cận
của điểm z
0
và h có không điểm đơn tại z
0
. Khi đó
res
z=z
0

p
h

=
p(z
0
)
h


(z
0
)
.
Định lý 1.12. (Định lý thặng dư Cauchy) Giả sử f là hàm chỉnh hình
trong một miền D, trừ ra một số hữu hạn các cực điểm z
1
, z
2
, , z
N
nằm trong miền đó. Khi đó, chúng ta có công thức

γ
f(z)dz = 2πi
N

k=1
res
z=z
k
f,
ở đó γ là chu tuyến nằm trong miền D sao cho {z
1
, z
2
, , z
N
} ⊂ D
γ

⊂ D.
17
Chương 2
Phép biến đổi Z
Trong nhiều hệ rời rạc các hàm thường được xét tại các giá trị rời rạc
của t, thường là các giá trị nT ; n = 0, 1, 2, , trong đó T là một số dương
cố định thường được gọi là chu kì lấy mẫu. Việc nghiên cứu các hệ rời
rạc như vậy có thể được thông qua việc sử dụng phương pháp biến đổi
Z. Chúng ta sẽ giới thiệu phép biến đổi này.
2.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 2.1. Cho T là một số dương cố định (có thể lấy T = 1).
Giả sử f(t) xác định với t ≥ 0 và t lấy giá trị tại nT ; n = 0, 1, 2, Phép
biến đổi Z của hàm f(t), hay dãy {f(nT)}, là hàm biến phức z được
xác định bởi công thức
Z {f(nT)} = F (z) =
∞

n=0
f(nT)z
−n
, (2.1)
trong đó |z| > R =
1
ρ
, ρ là bán kính hội tụ của chuỗi.
Nếu f(t) có một điểm gián đoạn có bước nhảy tại một giá trị nT, thì ta
luôn coi f(nT) là giới hạn của f(t) khi t → nT
+
, và với tất cả f(t) được
xét chúng ta sẽ giả sử giới hạn này tồn tại với n = 0, 1, 2,

18
Ví dụ 2.1. Xét hàm f(nT ) = nT. Theo định nghĩa ta có
Z {nT } =
∞

n=0
nT z
−n
= T z
∞

n=0
nz
−(n+1)
= −T z
d
dz

∞

n=0
z
−n

= −T z
d
dz

1
1 −

1
z

=
T z
(z − 1)
2
; |z| > 1. (2.2)
Ví dụ 2.2. Cho hàm f(nT ) = a
nT
. Khi đó
Z

a
nT

=
∞

n=0
a
nT
z
−n
=
∞

n=0

a

T
z

n
=
z
z − a
T
; |z| > a
T
. (2.3)
Đặc biệt, khi a = 1 ta có
Z {1} =
∞

n=0
z
−n
=
z
z − 1
; |z| > 1. (2.4)
Ví dụ 2.3. Phép biến đổi Z của hàm f(nT ) = nT.a
nT
như sau
Z

nT.a
nT


=
∞

n=0
nT.a
nT
z
−n
= T
∞

n=0
n

a
T
z

n
= T z
∞

n=0
n

a
T

n
z

n+1
= −T z
d
dz

∞

n=0

a
T
z

n

= −T z
d
dz

1
1 −
a
T
z

=
T a
T
z
(z − a

T
)
2
; |z| >


a
T


. (2.5)
19
Ví dụ 2.4. Hàm f(nT ) =
1
n!T !
có biến đổi Z
Z

1
n!T !

=
∞

n=0
1
n!T !
z
−n
=

1
T !
exp

1
z

; ∀z. (2.6)
Ví dụ 2.5. Với hàm f(nT ) = cos nTω ta có
Z {cos nT ω} =
∞

n=0
e
inT ω
+ e
−inT ω
2
z
−n
=
1
2

∞

n=0

e
iT ω

z
−1

n
+
∞

n=0

e
−iT ω
z
−1

n

=
1
2

1
1 −e
iT ω
z
−1
+
1
1 −e
−iT ω
z

−1

=
z (z − cos T ω)
z
2
− 2z cos T ω + 1
; |z| > 1. (2.7)
2.2. Một số tính chất cơ bản
2.2.1. Tính chất tuyến tính
Giả sử Z {f
1
(nT )} = F
1
(z) với |z| > R
1
và Z {f
2
(nT )} = F
2
(z) với
|z| > R
2
. Khi đó với mọi hằng số c
1
, c
2
ta có
Z {(c
1

f
1
+ c
2
f
2
) (nT )} = c
1
F
1
(z) + c
2
F
2
(z); |z| > max {R
1
, R
2
}. (2.8)
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có
Z {(c
1
f
1
+ c
2
f
2
) (nT )} =
∞


n=0
[c
1
f
1
(nT ) + c
2
f
2
(nT )] z
−n
= c
1
∞

n=0
f
1
(nT )z
−n
+ c
2
∞

n=0
f
2
(nT )z
−n

= c
1
F
1
(z) + c
2
F
2
(z).
20
Tổng quát, giả sử Z {f
i
(nT )} = F
i
(z) với |z| > R
i
> 0, c
i
là các hằng
số; i = 0, k, khi đó
Z

k

n=0
c
i
f
i
(nT )


=
k

n=0
c
i
F
i
(z); |z| > max
i=
0,k
{R
i
}.
Ví dụ 2.6. Cho hàm f(nT ) = cosh nT x. Ta có
cosh nT x =
1
2

e
nT x
+ e
−nT x

.
Khi đó theo tính chất tuyến tính (2.8) ta có
Z {cosh nT x} =
1
2


Z

e
nT x

+ Z

e
−nT x

.
Theo kết quả (2.3) của Ví dụ 2.2 lần lượt với a = e
x
và a = e
−x
ta được
Z {cosh nT x} =
1
2

z
z − e
T x
+
z
z − e
−T x

=

z (z − cosh T x)
z
2
− 2z cosh T x + 1
.
2.2.2. Tính chất dịch chuyển
Giả sử Z {f(nT )} = F(z). Khi đó với m ≥ 0 ta có
Z {f(nT −mT )} = z
−m

F (z) +
−1

k=−m
f(kT )z
−k

, (2.9)
Z {f(nT + mT )} = z
m

F (z) −
m−1

k=0
f(kT )z
−k

. (2.10)
Đặc biệt, khi m = 1 ta có

Z {f(nT −T )} = z
−1
[F (z) + f(−1)z] , (2.11)
21