Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CHU THỊ THANH THỦY

TÍNH CHÍNH QUY CỦA
NGHIỆM NHỚT LIÊN TỤC CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1

LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, tiến sĩ Trần Văn
Bằng, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cơ giáo giảng dạy chun ngành
Tốn Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã
động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả

Chu Thị Thanh Thủy


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của TS.
Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Tính chính quy của nghiệm nhớt liên
tục của phương trình đạo hàm riêng cấp 1” khơng có sự trùng lặp với kết quả của
các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả

Chu Thị Thanh Thủy


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1 . . . . . .

3

1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Phép toán trên các nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.3. Hàm lề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2. Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. Tính chính quy của nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1. Tính liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Tính nửa lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3. Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Đầu thập kỷ 80, M. G. Crandall đã đưa ra một khái niệm nghiệm yếu là “nghiệm
nhớt” cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (xem [3]). Nói chung
nghiệm yếu này cho phép một hàm nói chung chỉ cần liên tục là nghiệm của phương
trình đạo hàm riêng cấp một. Sự phù hợp của khái niệm này thể hiện ở chỗ nó đã
giải quyết được tính đặt chỉnh của nhiều bài tốn phi tuyến vốn vẫn chưa có lời giải
trước đó. Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã quan tâm đến khái niệm này và
đã phát triển các kết quả liên quan tới nghiệm nhớt liên tục và đã đưa ra khái niệm
nghiệm nhớt đo được (không liên tục) cho các phương trình đạo hàm riêng cấp một
(xem [1, 4, 2]).
Qua quá trình học tập và nghiên cứu, được sự động viên, hướng dẫn của thầy
giáo TS. Trần Văn Bằng, với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về loại nghiệm suy
rộng này nên tơi chọn đề tài:
“Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục
của phương trình đạo hàm riêng cấp một”.
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được trình

bày trong 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản,
cần thiết cho nghiên cứu trong chương 2 về nghiệm nhớt liên tục của phương trình
đạo hàm riêng cấp 1, nguyên lý so sánh nghiệm và tính duy nhất.
Chương 2. Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục: trình bày một số kết quả
về tính liên tục Lipschitz, tính nửa lõm và tính khả vi của nghiệm nhớt liên tục.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm
riêng cấp một.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
cấp một; Tìm hiểu về tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt; Tìm hiểu về tính nửa
lõm của nghiệm nhớt; Tìm hiểu về tính khả vi của nghiệm nhớt;

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng. +)
Phạm vi nghiên cứu: Xét loại nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng
cấp một.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp tổng hợp, phân tích tài liệu và kiến thức có liên quan.

6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày một cách tổng quan về vấn đề nghiên cứu.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến cấp 1
1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo
hàm riêng (ĐHR) cấp một và một số tính chất cơ bản dựa vào nguyên lý so sánh
nghiệm cũng như mối quan hệ với khái niệm nghiệm cổ điển của phương trình đó.
Trong luận văn này Ω ⊂ RN là một tập mở, F : Ω × R × RN → R là một hàm
liên tục của ba biến (x, r, p). Ta cũng sử dụng các kí hiệu thơng thường sau đây:
C(Ω) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên Ω;
Ck (Ω), k = 1, 2, .. là không gian tất cả các hàm thuộc C(Ω) có các đạo hàm riêng
đến cấp k liên tục trên Ω.
Với một hàm u ∈ C1 (Ω), thì Du(x) là gradient của u tại x ∈ Ω.
Xét phương trình ĐHR phi tuyến cấp một (thường gọi là phương trình HamiltonJacobi):
F(x, u(x), Du(x)) = 0,

x ∈ Ω.

(HJ)

Định nghĩa 1.1. Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ)

3

nếu với mọi ϕ ∈ C1 (Ω) ta có:
F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0

(1.1)

tại mọi điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của u − ϕ.
Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) nếu với mọi
ϕ ∈ C1 (Ω) ta có:
F(x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 )) ≥ 0

(1.2)

tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ.
Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là nghiệm nhớt
dưới của phương trình đó.
Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử.
Ví dụ 1.1. Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:
− u (x) + 1 = 0,

x ∈ (−1, 1).

Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x = 0 là một cực trị địa phương của u − ϕ thì
ϕ (x) = u (x) = ±1. Vì vậy tại những điểm này điều kiện nghiệm nhớt trên, nghiệm
nhớt dưới được thỏa mãn.
Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ (0)| ≤ 1 nên điều
kiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng. Bây giờ ta chứng minh 0 không thể là cực đại địa
phương của u−ϕ với ϕ ∈ C1 ([0, 1]). Thật vậy, nếu 0 là cực đại địa phương của u−ϕ
thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) trong một lân cận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x)
trong một lân cận của 0, từ đó ta có:
ϕ (0) = lim

x→0+

ϕ(x) − ϕ(0)
u(x)
≥ lim
=1
+
x−0
x
x→0

và

ϕ(x) − ϕ(0)
u(x)
≤ lim −
= −1.
x−0
x
x→0+
x→0−
Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ.
ϕ (0) = lim

Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phương trình:
u (x) − 1 = 0,

x ∈ (−1, 1).

Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cực tiểu địa
phương của |x| − (−x2 ).
4


Chú ý: Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:
ut (t, y) + H(t, y, u(t, y), Dy u(t, y)) = 0,

(t, y) ∈ (0, T ) × D

thì ta chỉ việc đặt:
x = (t, y) ∈ Ω = (0, T ) × D ⊆ RN+1 , F(x, r, p) = qN+1 + H(x, r, q1 , ...., qN )
với q = (q1 , ..., qN , qN+1 ) ∈ RN+1 .
Nhận xét 1.1. Trong định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta ln có thể giả sử rằng x0 là
điểm cực đại địa phương ngặt của hàm u − ϕ (nếu khơng ta có thể thay ϕ(x) bởi
ϕ(x) + |x − x0 |2 ). Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vào giá trị của Dϕ tại x0 , nên
không mất tính tổng qt ta có thể giả sử rằng u(x0 ) = ϕ(x0 ). Đối với định nghĩa
nghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xét tương tự.
Về mặt hình học thì điều đó có nghĩa rằng: các hàm thử trong điều kiện nghiệm
nhớt dưới (1.1) đối với u là tiếp xúc trên với đồ thị của u.
Ta cũng chú ý rằng không gian C1 (Ω) các hàm thử trong Định nghĩa 1.1 có thể
được thay thế bằng C∞ (Ω).
Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhớt và mối
quan hệ của nó với nghiệm cổ điển:
Mệnh đề 1.1. (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ) trong Ω, thì u
là nghiệm nhớt của (HJ) trong Ω , với mọi tập con mở Ω ⊂ Ω;
(b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm cổ điển của (HJ), tức là u khả vi tại mọi
điểm x ∈ Ω và:
F(x, u(x), Du(x)) = 0,

∀x ∈ Ω.

(1.3)

Khi đó u là nghiệm nhớt của (HJ);
(c) Nếu hàm u ∈ C1 (Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ), thì u là nghiệm cổ điển của
phương trình đó.
Chứng minh. (a) Nếu x0 là một cực đại địa phương (trên Ω ) của u−ϕ, ϕ ∈ C1 (Ω ),
˜
˜
thì x0 là một cực đại địa phương (trên Ω) của u − ϕ, với mọi ϕ ∈ C1 (Ω) thỏa mãn
¯
˜
ϕ ≡ ϕ trên B(x0 , r), với r > 0 nào đó. Từ (1.1) ta có
˜
0 ≥ F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) = F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )).
5


Chứng tỏ u là nghiệm nhớt dưới của (HJ) trên Ω . Lập luận tương tự ta cũng có u là
nghiệm nhớt trên của (HJ) trên Ω . Vậy (a) được chứng minh.
(b) Lấy ϕ ∈ C1 (Ω) bất kỳ. Do u khả vi nên tại điểm cực tiểu hoặc cực đại địa
phương của u − ϕ ta có Du(x) = Dϕ(x). Từ (1.3) ta được
0 = F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 ) ≤ 0
nếu x0 là một điểm cực đại địa phương của u − ϕ, và
0 = F(x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 ) ≥ 0
nếu x1 là một điểm cực tiểu địa phương của u − ϕ. Theo Định nghĩa 1.1 ta chứng
minh được (b).
(c) Nếu u ∈ C1 (Ω), thì lấy ϕ ≡ u trong định nghĩa nghiệm nhớt. Khi đó mọi
x ∈ Ω đều vừa là cực đại vừa là cực tiểu địa phương của hàm u − ϕ. Do đó theo

(1.1) và (1.2) thì:
F(x, u(x), Du(x)) = 0,

∀x ∈ Ω.

Vậy mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương. Vì vậy ta có
thể lấy các hàm thử trong (1.1) và (1.2) thuộc C1 (RN ) hoặc thuộc hình cầu bất kỳ
B(x, r) với tâm x ∈ Ω.
Định nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất được nêu trong
lý thuyết của phương trình eliptic - parabolic đó là nguyên lý cực đại và nguyên lý
so sánh. Với phương trình (HJ) hai tính chất này được xây dựng tương ứng như sau.
Định nghĩa 1.2. Một hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh với các nghiệm
nhớt trên trơn ngặt nếu với mọi ϕ ∈ C1 (Ω) và tập mở O ⊂ Ω sao cho
∀x ∈ O, u ≤ ϕ trên ∂ O

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0,
thì u ≤ ϕ trong O.

Ta nói rằng hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại nếu với mọi ϕ ∈ C1 (Ω)
và tập mở O ⊂ Ω sao cho:
F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0,
thì u − ϕ khơng thể có cực đại khơng âm trong O.
6

∀x ∈ O


Dễ thấy rằng nếu hàm u ∈ C(Ω) thỏa mãn ngun lý cực đại thì nó thỏa mãn
ngun lý so sánh. Mối quan hệ giữa chúng với khái niệm nghiệm nhớt dưới của

phương trình (HJ) sẽ được trình bày ở mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.2. Nếu hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u là một
nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ). Ngược lại, nếu u là một nghiệm nhớt dưới
của phương trình (HJ) và r → F(x, r, p) là một hàm không giảm với mọi x, p thì u
thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh.
Chứng minh. Giả sử u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh, nếu u khơng phải là
nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) thì tồn tại x0 ∈ Ω, ϕ ∈ C1 (Ω) mà x0 là
điểm cực đại ngặt của u − ϕ, (u − ϕ)(x0 ) = 0 và
F(x0 , ϕ(x0 ), Dϕ(x0 )) > 0.
Với n đủ lớn ta có
an := sup (u − ϕ) < 0
1
∂ B(x0 , n )

cũng thấy rằng:
1
u − (ϕ + an ) ≤ 0 trên ∂ B(x0 , n )

u(x0 ) − ϕ(x0 ) − an > 0.
1
Theo nguyên lý so sánh, với mọi n tồn tại xn ∈ On := B(x0 , n ) thỏa mãn

F(xn , ϕ(xn ) + an , Dϕ(xn )) ≤ 0.
Do an → 0 và xn → x0 khi n → ∞ nên
F(x0 , ϕ(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0
mâu thuẫn, vậy u là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ).
Ngược lại, cho u là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) và lấy ϕ ∈ C1 (Ω)
thỏa mãn:
F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0

∀x ∈ O.

Nếu u − ϕ đạt cực đại địa phương tại x0 ∈ O nào đó với u(x0 ) − ϕ(x0 ) ≥ 0. Khi đó
từ giả thiết đơn điệu của F dẫn đến mâu thuẫn:
0 < F(x0 , ϕ(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0.
7


Do đó, u thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh.
Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên. Khi đó ta chỉ cần đổi chiều
các bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại và thay cực đại
không âm bởi cực tiểu không dương.
Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt khơng được bảo tồn khi ta đổi dấu của
phương trình. Thực tế, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u − ϕ đều là cực tiểu
địa phương của −u − (−ϕ), nên u là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) nếu
và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt trên của phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0
trong Ω; tương tự u là nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u
là nghiệm nhớt dưới của phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω.
Bây giờ ta đưa ra một đặc trưng của nghiệm nhớt của phương trình (HJ) thơng
qua trên vi phân và dưới vi phân. Cho hàm số u ∈ C(Ω) và x ∈ Ω, xét các tập hợp:
u(y) − u(x) − p.(y − x)
≤0 ,
|y − x|
y→x,y∈Ω

D+ u(x) :=

p ∈ RN : lim sup

D− u(x) :=

p ∈ RN : lim inf

u(y) − u(x) − p.(y − x)
≥0 .
y→x,y∈Ω
|y − x|

Các tập hợp trên được gọi tương ứng là trên vi phân và dưới vi phân (gọi chung là
bán vi phân) của u tại x.
Ví dụ 1.2. Cho u(x) = |x|, x ∈ R. Khi đó ta dễ dàng kiểm tra được:
D+ u(0) = 0,
/

D− u(0) = [−1, 1].

Những bổ đề sau đây sẽ mô tả D+ u(x) và D− u(x) qua các hàm thử và một số
tính chất của chúng:
Bổ đề 1.1 (xem [2], Lemma 1.7). Cho u ∈ C(Ω). Khi đó:
(a) p ∈ D+ u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C1 (Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p và u − ϕ
đạt cực đại địa phương tại x;
(b) p ∈ D− u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C1 (Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p và u − ϕ
đạt cực tiểu địa phương tại x.
Bổ đề 1.2 (xem [2], Lemma 1.8). Cho u ∈ C(Ω), x ∈ Ω. Khi đó:
(a) D+ u(x) và D− u(x) là các tập con lồi, đóng (có thể là tập rỗng) của RN ;
8


(b) Nếu u khả vi tại x thì {Du(x)} = D+ u(x) = D− u(x);
(c) Các tập A+ = {x ∈ Ω : D+ u(x) = 0} và A− = {x ∈ Ω : D− u(x) = 0} là trù

/
/
mật trong Ω.
Như một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.1, ta có đặc trưng sau của nghiệm nhớt.
Định lý 1.1. Hàm số u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) trong
Ω khi và chỉ khi:
F(x, u(x), p) ≤ 0,

∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D+ u(x);

(1.4)

là nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) trong Ω khi và chỉ khi:
F(x, u(x), p) ≥ 0,

∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D− u(x).

(1.5)

Sử dụng đặc trưng này, ta có thể chứng minh một số tính chất quan trọng sau
đây của nghiệm nhớt.
Mệnh đề 1.3. (a) Nếu u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của phương trình (HJ) thì:
F(x, u(x), Du(x)) = 0
tại mọi điểm mà u khả vi.
(b) Nếu u là một hàm liên tục Lipschitz địa phương và nó là nghiệm nhớt của (HJ)
thì:
F(x, u(x), Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong Ω.
Chứng minh. Nếu u khả vi tại x thì theo Bổ đề 1.2 (b), {Du(x)} = D+ u(x) =
D− u(x). Do đó theo Định lý 1.1,
0 ≥ F(x, u(x), Du(x)) ≥ 0,

vậy (a) được chứng minh.
Mệnh đề (b) được suy ra trực tiếp từ định lý Rademacher về tính khả vi hầu
khắp nơi của hàm liên tục Lipschitz.
Nhận xét 1.2. Phần (b) của Mệnh đề 1.3 thể hiện rằng mọi nghiệm nhớt đều là
nghiệm tổng quát (hàm số u liên tục Lipschitz địa phương là nghiệm tổng quát nếu:
F(x, u(x), Du(x)) = 0
9

h.k.n trong Ω.


Ngược lại nói chung là khơng đúng: có nhiều nghiệm tổng qt khơng phải là
nghiệm nhớt. Thật vậy ví dụ sau cho ta điều đó:
Ví dụ 1.3. Ta thấy hàm u(x) = |x| thỏa mãn:
u (x) − 1 = 0

trong (−1, 1) \ {0}

do đó u là nghiệm tổng quát của |u (x)| − 1 = 0 trong (−1, 1) nhưng nó khơng phải
là nghiệm nhớt của phương trình trên (theo Ví dụ 1.1).

1.1.2. Phép tốn trên các nghiệm nhớt
Trong mục này ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng về các phép toán
trên các nghiệm nhớt. Để trình bày các kết quả trong phần này chúng ta cần tới khái
niệm mô đun và mô đun liên tục của một hàm:
Mô đun là một hàm liên tục, đơn điệu tăng bất kì ρ : [0, +∞) → [0, +∞) thỏa
mãn ρ(0) = 0.
Mô đun liên tục của một hàm u ∈ C(Ω) là một mô đun ρu sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ ρu (|x − y|),

∀x, y ∈ Ω.

Nếu u(x, y) ∈ C(Ω1 × Ω2 ) thì mơ đun liên tục (địa phương) của u là hàm hai
biến liên tục ρ : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) là mô đun theo từng biến và
|u(x1 , y1 ) − u(x2 , y2 )| ≤ ρ(|x1 − y1 |, |x2 − y2 |),

∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ Ω1 × Ω2 .

Ví dụ 1.4. Nếu u là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz L (xem Định nghĩa 1.3)
thì ta có thể chọn mơ đun liên tục của u là ρu (r) = Lr.
Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω). Ta ký hiệu:
(u ∨ v)(x) = max {u(x), v(x)},
(u ∧ v)(x) = min {u(x), v(x)} .
Mệnh đề 1.4. Ta có các khẳng định sau:
(a) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ). Khi đó u ∨ v
cũng là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ).
10


(b) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt trên phương trình (HJ) thì u ∧ v cũng là
một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ).
(c) Nếu u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) mà u ≥ v với mọi
nghiệm dưới v ∈ C(Ω) của phương trình (HJ). Khi đó u là nghiệm nhớt trên và do
đó là nghiệm nhớt của phương trình (HJ).
Chứng minh. Cho x0 là điểm cực đại địa phương của (u ∨ v) − ϕ với ϕ ∈ C1 (Ω).
Khơng mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng: (u ∨ v)(x0 ) = u(x0 ). Khi đó x0 là
điểm cực đại địa phương của u − ϕ, do đó
F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0.
Vậy ta chứng minh được (a).
Khẳng định (b) cũng được chứng minh tương tự.

Để chứng minh (c) ta giả sử ngược lại rằng:
h := F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) < 0,
với ϕ ∈ C1 (Ω) nào đó và x0 ∈ Ω thỏa mãn:
u(x0 ) − ϕ(x0 ) ≤ u(x) − ϕ(x),

¯
∀x ∈ B(x0 , δ0 ),

với δ > 0 nào đó. Tiếp theo ta xét hàm ω ∈ C1 (Ω) xác định bởi:
1
ω(x) = ϕ(x) − |x − x0 |2 + u(x0 ) − ϕ(x0 ) + δ 2 ,
2
với 0 < δ < δ0 . Dễ thấy rằng:
(u − ω)(x0 ) < (u − ω)(x),

∀x thỏa mãn |x − x0 | = δ .

(1.6)

Bây giờ ta chứng minh rằng với δ đủ nhỏ thì:
¯
∀x ∈ B(x0 , δ0 ).

F(x, ω(x), Dω(x)) ≤ 0,

(1.7)

Để chứng minh điều này, do tính liên tục đều địa phương ta có: với 0 < δ < δ0 ,

|ϕ(x) − ϕ(x0 )| ≤ ω1 (δ )

(1.8)
|Dϕ(x) − 2(x − x ) − Dϕ(x )| ≤ ω (δ ) + 2δ ,
0

0

11

2


¯
với mọi x ∈ B(x0 , δ ), trong đó ωi (i = 1, 2) là mô đun liên tục của ϕ và Dϕ.
Do đó:
|ω(x) − u(x0 )| ≤ ω1 (δ ) + δ 2 ,

¯
∀x ∈ B(x0 , δ ).

Bây giờ ta có:

F(x, ω(x), Dω(x)) = h + F(x, ω(x), Dϕ(x) − 2(x − x0 ))
−F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 ))

(1.9)

Nếu ρ là mô đun liên tục của F thì:
F(x, ω(x), Dω(x)) ≤ h + ρ(δ , ω1 (δ ) + δ 2 , 2δ ),
¯
với mọi x ∈ B(x0 , δ ). Do h < 0 nên (1.7) được chứng minh với δ > 0 đủ nhỏ. Với

mọi δ như trên đặt:

u ∨ ω
v(x) =
ˆ
u

trên B(x0 , δ )
trên Ω \ B(x0 , δ ).

Ta có thể kiểm tra được rằng v ∈ C(Ω) và từ Mệnh đề 1.1(a) và Mệnh đề 1.4 (a), v
ˆ
ˆ
là một nghiệm dưới của phương trình (HJ) trong Ω. Do v(x0 ) > u(x0 ). Điều này trái
ˆ
với giả thiết nên (c) được chứng minh xong.
Mệnh đề 1.5 (Tính ổn định của nghiệm nhớt). Cho un ∈ C(Ω)(n ∈ N) là một
nghiệm nhớt của phương trình:
Fn (x, un (x), Dun (x)) = 0

trong Ω.

(1.10)

Giả sử rằng:
un → u hội tụ đều trong Ω,
Fn → u hội tụ đều trong Ω × R × Rn .
Khi đó u là một nghiệm nhớt của phương trình (HJ) trong Ω.
Chứng minh. Cho ϕ ∈ C1 (Ω) và x0 là cực đại địa phương của u − ϕ. Khơng mất
tính tổng qt ta có thể giả sử:

u(x0 ) − ϕ(x0 ) > u(x) − ϕ(x)
12


với x = x0 trong một lân cận của x0 . Từ tính hội tụ đều ta có với n đủ lớn un − ϕ đạt
cực đại địa phương tại xn → x0 (xem Bổ đề 1.3). Khi đó
Fn (xn , un (xn ), Dϕ(xn )) ≤ 0.
Từ xn → x0 , qua giới hạn bất đẳng thức trên khi n → +∞ ta được:
Fn (x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0.
vậy u là nghiệm nhớt dưới. Chứng minh tương tự ta cũng có u là nghiệm nhớt
trên.
Ví dụ sau đây cho thấy Mệnh đề 1.5 không đúng với nghiệm tổng qt của
phương trình (1.10).
Ví dụ 1.5. Xét dãy hàm răng cưa là dãy hàm un được xác định bởi: u1 (x) = 1 − x
và với n ≥ 2 thì

x − 2nj ,
nếu x ∈ [2 j/2n , (2 j + 1)/2n ]
2
un (x) =
 2 j+2 − x, nếu x ∈ [(2 j + 1)/2n , (2 j + 2)/2n ] ,
2n
trong đó j = 0, 1, ...., 2n−1 − 1. Với x ∈ [0, 1] rõ ràng là |un (x)| − 1 = 0 hầu khắp
nơi trong [0, 1], mặc dù u1 là nghiệm cổ điển (nên cũng là nghiệm nhớt) nhưng un
không phải là nghiệm nhớt với n ≥ 2. Giới hạn của dãy hàm là bằng 0 và khơng
thỏa mãn phương trình |u (x)| − 1 = 0 tại mọi điểm.
Trong chứng minh Mệnh đề 1.5 chúng ta đã sử dụng kết quả cơ bản sau:
Bổ đề 1.3. Cho v ∈ C(Ω) và giả sử rằng x0 ∈ Ω là một điểm cực đại địa phương
ngặt của v trong B(x0 , δ ) ⊆ Ω. Nếu vn ∈ C(Ω) hội tụ đều địa phương tới v ∈ Ω, thì
khi đó tồn tại dãy {xn } thỏa mãn:

xn → x0 ,

vn (xn ) ≥ vn (x),

¯
∀x ∈ B(x0 , δ ).

(1.11)

¯
Chứng minh. Cho xn là điểm cực đại của vn trong B(x0 , δ ) và cho xn k , k ∈ N là một
dãy con hội tụ bất kỳ của {xn } , n ∈ N. Từ tính hội tụ đều ta có:
vn k (xn k ) → v(x) khi k → +∞,
˜
13


trong đó x = lim xn k khi k → +∞. Dựa vào việc chọn {xn } ta được:
˜
¯
∀x ∈ B(x0 , δ ),

v(x) ≥ v(x),
˜

do đó v(x) ≥ v(x0 ). Điều này có nghĩa là x = x0 và dãy đã cho hội tụ.
˜
˜
Mệnh đề 1.6. (Quy tắc đổi biến trong phương trình Hamilton-Jacobi)
Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) và Φ ∈ C1 (R) thỏa mãn

Φ (t) > 0. Khi đó v = Φ(u) là một nghiệm nhớt của phương trình:
F(x, Ψ(v(x)), Ψ (v(x))Dv(x)) = 0,

x ∈ Ω,

(1.12)

trong đó Ψ = Φ−1 .
Một kết quả tổng quát rất hữu dụng khi giải các phương trình (HJ) tiến hóa đó
là:
Mệnh đề 1.7. Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) và Φ : Ω × R →
R thuộc C1 thỏa mãn:
∀(x, r) ∈ Ω × R.

Φr (x, r) > 0,
Khi dó hàm v ∈ C(Ω) được xác định bởi

Φ(x, v(x)) = u(x),
là một nghiệm nhớt của phương trình
F(x, v(x), Dv(x)) = 0 trong Ω,

(1.13)

với F(x, r, p) = F(x, Φ(x, r), Dx Φ(x, r) + Φr (x, r)p).
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh chi tiết phần nghiệm nhớt dưới, chứng minh phần
nghiệm nhớt trên được tiến hành tương tự. Cho x ∈ Ω và p ∈ D+ v(x). Khi đó ta có:
v(y) ≤ v(x) + p.(y − x) + o(|y − x|),
khi y → x. Từ Φ là không giảm đối với r ta có:
Φ(y, v(y)) ≤ Φ(y, v(x) + p.(y − x) + o(|y − x|)),
14

và từ đó
Φ(y, v(y)) ≤ Φ(x, v(x)) + Dx Φ(x, v(x)).(y − x)
+Φx (x, v(x))p.(y − x) + o(|y − x|)).
Theo định nghĩa của v thì điều này có nghĩa là Dx Φ(x, v(x)) + Φx (x, v(x))p ∈
D+ u(x). Do đó
F(x, u(x), Dx (Φ(x, r)) + Φr (x, r)p) ≤ 0,
vậy v là nghiệm nhớt dưới của phương trình (1.13).
Mệnh đề tiếp theo nêu nên một số dạng của bán vi phân trong các trường hợp
thông dụng.
Mệnh đề 1.8 (xem [2], Proposition 2.7). Cho u ∈ C(Ω). Khi đó
(i) với v(x, r) = ϕ(r)u(x) (x ∈ Ω, r ∈ R) và ϕ ∈ C1 (R), ϕ(r) ≥ 0, với mọi r ∈ R; ta
có
D+ v(x, r) = (q, ρ) ∈ Rn+1 : q ∈ ϕ(r)D+ u(x), ρ = ϕ (x)u(x) ;
(ii) với u(x) = v(T (x)), v ∈ C(Ω); ta có (cơng thức đổi biến)
p ∈ D+ v(y0 ) nếu và chỉ nếu (DT (x0 ))t p ∈ D+ u(x), trong đó T : Ω → Ω là một vi
phôi, At là chuyển vị của A và y0 = T (x0 );
(iii) với η(r) = u(y(x)), y ∈ C1 (R, Ω) ta có (cơng thức đạo hàm hàm hợp)
D+ η(r) ⊇ D+ u(y(r)) · y(r).
˙
Nhận xét 1.3. Các kết quả tương tự vẫn đúng với D− . Từ công thức “đổi biến”
(ii) ta có u là một nghiệm dưới của phương trình (HJ) trong Ω nếu và chỉ nếu
v(x) = u(T −1 (x)) là một nghiệm dưới của phương trình:
ˆ
ˆ
F(T −1 (x), v(x), DT (T −1 (x))Dv(x)) = 0,
ˆ
ˆ
ˆ

ˆ

x ∈ Ω.
ˆ

Bây giờ ta sẽ đi tìm điều kiện để một hàm khả vi liên tục từng mảnh thỏa mãn
phương trình (HJ) là nghiệm nhớt của phương trình trên.
Đầu tiên ta xét trường hợp một biến. Giả sử u ∈ C([−a, a]) ∩C1 ([−a, 0] ∪ [0, a])
là một nghiệm cổ điển của phương trình
trong [−a, 0] ∩ [0, a] .

F(x, u(x), u (x)) = 0
15


Theo khai triển Taylor với |y| đủ nhỏ ta có
u(y) =

u(0) + u+ (0)y + o(|y|)

nếu y > 0

u(0) + u− (0)y + o(|y|)

nếu y < 0,

trong đó u+ (0) và u− (0) tương ứng là các đạo hàm phải, đạo hàm trái của u tại 0.
Từ đó p ∈ D+ u(0) nếu và chỉ nếu
u+ (0) ≤ p ≤ u− (0).
Tương tự, p ∈ D− u(0) tương đương với p ∈ u− (0), u+ (0) . Do đó u là nghiệm

nhớt của phương trình trên khi
F(0, u(0), p) ≤ 0,

∀p ∈ I+ := u+ (0), u− (0) = D+ u(0);

F(0, u(0), p) ≥ 0,

∀p ∈ I− := u− (0), u+ (0) = D− u(0).

Tất nhiên trong trường hợp u+ (0) = u− (0) thì chỉ I+ hoặc I− là không rỗng.
Để mở rộng kết quả trên với trường hợp số chiều cao hơn ta giả sử rằng: Ω =
Ω1 ∪ Ω2 ∪ Γ, trong đó Ωi (i = 1, 2) là các tập con mở của Ω và Γ là một mặt trơn.
Ta ký hiệu n(x) và T (x)(x ∈ Γ) là các vector đơn vị chuẩn tắc từ Γ vào Ω1 và vào
không gian tiếp xúc với Γ tại x, PT và PN là hình chiếu vng góc của RN tương ứng
xuống T (x) và không gian véc tơ sinh bởi n(x).
Theo hệ quả của định nghĩa nghiệm nhớt ta có: nếu u ∈ C(Ω) là một nghiệm
nhớt của phương trình (HJ) trong Ωi (i = 1, 2) thì u là nghiệm nhớt của phương trình
(HJ) trong Ω1 ∪ Ω2 = Ω \ Γ.
Vậy u là nghiệm nhớt trên Ω khi một số điều kiện trên Γ được thỏa mãn đó là:
Mệnh đề 1.9. Cho u ∈ C(Ω) và giả sử rằng thu hẹp của nó ui trên Ωi ∪ Γ thuộc
C1 (Ωi ∪ Γ)(i = 1, 2). Khi đó u là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) trong Ω nếu
và chỉ nếu các điều kiên sau đúng:
(a)

ui là nghiệm cổ điển của phương trình (HJ) trong Ωi (i = 1, 2),

(b1 ) F(x, u(x), PT Dui (x) + ξ n(x)) ≤ 0
∀ξ ∈ Du1 (x).n(x), Du2 (x).n(x) , ∀x ∈ Γ
,
(b2 ) F(x, u(x), PT Dui (x) + ξ n(x)) ≥ 0

16


∀ξ ∈ Du2 (x).n(x), Du1 (x).n(x) , ∀x ∈ Γ.
Bổ đề tiếp theo là rất cần thiết trong việc nghiên cứu các phương trình tiến hóa.
Bổ đề 1.4 (xem [2], Lemma 2.10). Ta giả sử rằng
p1 → F(x, r, p1 , p2 , ..., p¯N )
¯ ¯
¯

(1.14)

là không giảm với mọi điểm x, r, p2 , ..., p¯N . Cũng giả sử rằng Ω = (a, b] × Ω , với
¯ ¯ ¯
¯
Ω là tập con mở của RN−1 . Nếu u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới (tương ứng
nghiệm nhớt trên) của phương trình (HJ) thì
F(x, u(x), Dϕ(x)) ≤ 0,
¯ ¯
¯

(tương ứng ≥ 0)

(1.15)

tại mọi điểm cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) x của u − ϕ trên
¯
(a, b] × Ω với mọi ϕ ∈ C1 ((a, b] × Ω ).

1.1.3. Hàm lề

Định nghĩa 1.3. Cho hàm số g : Ω × B → RN , Ω ⊆ Rn là một tập mở và B là một
không gian topo. Hàm số u(x) được xác định bởi:
u(x) = inf g(x, b),

(1.16)

b∈B

được gọi là hàm lề.
Một số ví dụ rất cơ bản về hàm lề: đó là hàm khoảng cách đến một tập hợp
S ⊆ RN được xác định bởi:
d(x, S) := inf |x − s| .
s∈S

Trong chương sau ta cũng đề cập đến một ví dụ khác về hàm lề đó là phép chập-inf
của một hàm u được xác định bởi:
uε (x) := inf u(y) + |x − y|2 /2ε ,
y∈Ω

ε > 0,

Ta ký hiệu M(x) là tập hợp (có thể rỗng):
M(x) = arg min g(x, b) := {b ∈ B : u(x) = g(x, b)}
b∈B

17


và giả sử rằng g(x, B) bị chặn với mọi x ∈ Ω và x → g(x, b) là liên tục đều tại x đối
với b ∈ B; tức là:

|g(x, b) − g(y, b)| ≤ ω(|x − y| , R),

(1.17)

với mọi |x|, |y| ≤ R, b ∈ B với mô đun ω nào đó.
Một kết quả đầu tiên về hàm lề đó là mối quan hệ giữa các bán vi phân của hàm
u và các bán vi phân của hàm g theo biến x (ký hiệu là D± g).
x
Bổ đề 1.5. Cho giả thiết (1.17). Khi đó u ∈ Ω và
D+ u(x) ⊇ D+ g(x, b),
x
D− g(x, b) ⊇ D− u(x),
x
với mọi b ∈ M(x).
Chứng minh. Tính liên tục của u là một hệ quả đơn giản của Định nghĩa 1.3 và giả
thuyết (1.17). Bây giờ cho p ∈ D+ g(x, b) thì
x
g(x + h, b) ≤ g(x, b) + p.h + o(|h|) khi |h| → 0.
Với b ∈ M(x) ta được
u(x + h, b) ≤ u(x, b) + p.h + o(|h|) khi |h| → 0.
do đó p ∈ D+ u(x). Nếu p ∈ D− u(x) thì
u(x + h, b) ≥ u(x, b) + p.h + o(|h|) khi |h| → 0.
Với b ∈ M(x) ta có
g(x + h, b) ≥ g(x, b) + p.h + o(|h|) khi |h| → 0.
Điều đó chứng tỏ p ∈ D− g(x, b) với mọi b ∈ M(x).
x
Nhận xét 1.4. Từ bổ đề trên ta có D+ u(x) = 0 tại những điểm x mà g khả vi và
/
M(x) = 0.
/

18


Để nghiên cứu sâu hơn ta giả sử g(·, b) khả vi đều tại x, tức là với mô đun ω1
nào đó,
|g(x + h, b) − g(x, b) − Dx g(x, b).h| ≤ |h| ω1 (|h|)

(1.18)

với mọi b ∈ B và h đủ nhỏ. Ta cũng giả sử rằng
b → Dx g(x, b) liên tục

(1.19)

b → g(x, b) nửa liên tục dưới.

(1.20)

Ta sẽ sử dụng những ký hiệu sau đây:
Y (x) := {Dx g(x, b) : b ∈ M(x)}
và đạo hàm theo hướng (một phía) của u theo hướng q,
∂u
u(x + tq) − u(x)
(x) := lim
.
∂q
t
x→0+
Mệnh đề 1.10. (xem [2], Proposition 2.13) Cho các giả thiết (1.17), (1.18), (1.19),

(1.20) và B là tập compact. Khi đó
Y (x) = 0
/
D+ u(x) = coY (x),

{y}
−
D u(x) =
0
/

(1.21)
(1.22)

nếu Y (x) = {y}

(1.23)

nếu Y (x) không phải là tập một điểm.

Đặc biệt, u khả vi tại x nếu và chỉ nếu Y (x) là tập một điểm. Hơn nữa, u có đạo hàm
theo hướng (một phía) theo mọi hướng q, được cho bởi
∂u
(x) = min y · q = min y · q.
∂q
y∈Y (x)
p∈D+ u(x)
Tiếp theo áp dụng Mệnh đề 1.10 ta tính các bán vi phân của hàm khoảng cách
từ tập bất kỳ S ∈ RN , S = 0 xác định bởi
/

d(x, S) := inf |x − z| = min |x − z| .
¯
z∈S

z∈S

(1.24)

Biểu thức sau của d(x) thuận tiện hơn trong tính tốn và liên quan đến việc xét tập
¯
hình chiếu của x lên S có dạng
P(x) := {z ∈ ∂ S : d(x) = |x − z|} = 0.
/
19


Mệnh đề 1.11. Với S = 0, d ∈ C(Rn ) bất kỳ và với mọi x ∈ S và vector đơn vị q. Khi
/
/ ¯
đó
D+ d(x) = co

−

D d(x) =




x−p(x)

|x−p(x)|

0
/

x−z
: z ∈ P(x) ,
|x − z|
nếu P(x) = {p(x)}
nếu P(x) là tập một điểm,

x−z
∂u
(x) = min
· q.
∂q
x∈P(x) |x − z|
Nhận xét 1.5. Từ Mệnh đề 1.11 và Bổ đề 1.1 ta có d khả vi tại x nếu và chỉ nếu
¯
hình chiếu của x lên S là duy nhất. Một kết quả nổi tiếng trong giải tích lồi (định lý
¯
Motzkin) khẳng định rằng tập hình chiếu p(x) là tập một điểm nếu và chỉ nếu S là
¯
¯
tập lồi. Khi đó S là tập lồi nếu và chỉ nếu d khả vi trong RN \ S. Trong trường hợp
¯
này hình chiếu p(x) phụ thuộc liên tục trên x do vậy d ∈ C1 (RN \ S).
Dễ biết rằng nếu ∂ S trơn thì hàm khoảng cách là trơn ở gần ∂ S và thỏa mãn
phương trình eikonal
¯

trong RN \ S

|Du| = 1

(1.25)

một cách địa phương quanh ∂ S. Nếu phương trình này xét theo nghĩa nhớt thì nó là
nghiệm tồn cục với mọi S.
Hệ quả 1.1. Hàm khoảng cách d đến S là nghiệm nhớt của phương trình (1.25)
trong S. Nó cũng là nghiệm nhớt dưới, nhưng khơng là nghiệm nhớt trên trong cả
RN .
Một khái niệm khác liên quan mật thiết đến tính chất của hàm khoảng cách đó
là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị n(x) của S tại x ∈ ∂ S. Trong trường hợp ∂ S trơn,
hàm n là mở rộng duy nhất của Dd lên ∂ S, với x ∈ S đủ gần ∂ S ta có
/ ¯
x = p(x) + s(x)n(p(x)),

Dd(x) = n(p(x)),

(1.26)

¯
trong đó p(x) biểu thị hình chiếu duy nhất của x lên S. Điều này dẫn đến định nghĩa
sau:
Định nghĩa 1.4. Cho S ⊆ RN là một tập không rỗng. Một vector đơn vị v là một
¯
vector pháp tuyến ngoài (suy rộng) của S tại z ∈ ∂ S (ta ký hiệu là v ∈ N(z)) nếu tồn
20

tại x ∈ S thỏa mãn
/
x = z + d(x)v

và

{z} = P(x).

Chú ý rằng từ Mệnh đề 1.11 thì cơng thức thứ hai trong (1.26) trở thành
P(x) = {p(x)} ,

Dd(x) ∈ N(p(x)),

(1.27)

tại mọi điểm x mà d khả vi.

1.2. Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm
Trong mục này ta đề cập đến vấn đề tính duy nhất và sự so sánh nghiệm của
nghiệm nhớt. Đây là một vấn đề lớn trong lý thuyết và có mối liên hệ với các điều
kiện đủ trong bài toán điều khiển tối ưu.
¯
Để bắt đầu với vấn đề này: Ta giả sử rằng u1 , u2 ∈ C(Ω) ∩C1 (Ω), thỏa mãn các
bất đẳng thức
u1 (x) + H(x, Du1 (x)) ≤ 0

(1.28)

u2 (x) + H(x, Du2 (x)) ≥ 0
với x ∈ Ω và

u1 ≤ u2

trên ∂ Ω.

(1.29)

¯
Giả sử Ω bị chặn và cho x0 là điểm cực đại của u1 − u2 trên Ω. Nếu x0 ∈ Ω thì
Du1 (x0 ) = Du2 (x0 ) và do (1.28) ta có
u1 (x) − u2 (x) ≤ u1 (x0 ) − u2 (x0 )

∀x ∈ Ω.

Mặt khác, nếu x0 ∈ ∂ Ω thì
u1 (x) − u2 (x) ≤ u1 (x0 ) − u2 (x0 )

∀x ∈ Ω.

Do đó u1 ≤ u2 trên Ω. Đổi vai trò của u1 và u2 trong (1.28) và (1.29) ta được tính
duy nhất của nghiệm cổ điển của bài tốn Dirichlet
u(x) + H(x, Du(x)) = 0,
u=ϕ

x∈Ω

trên ∂ Ω.

Chứng minh trên là sai nếu u1 , u2 là các hàm số liên tục thỏa mãn các bất đẳng thức
theo nghĩa nhớt vì khi dó Dui có thể khơng tồn tại tại x0 . Tuy nhiên các thông tin
21